Tag: Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
S N Dey Matrix Solution Part-1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{1.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে A² – 4A + 3I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ A² – 4A + 3I
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+0+0\quad 0+0-1\quad 2+0+1\\2+0+0\quad 0+0+1\quad 1+0-1\\0-1+0\quad 0+0+1\quad 0+1+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-8+3\quad -1-0+0\quad 3-4+0\\2-4+0\quad\quad 1-0+3\quad 0+4+0\\-1+0+0\quad -1+4+0\quad 2-4+3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad\quad 4\quad\quad 4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{1.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে A² – 5A – 14I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
∴ A² – 5A – 14I
\(=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-14\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 9+20\quad -15-10\\-12-8\quad\quad 20+4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 15\quad -25\\-20\quad\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}14\quad 0\\0\quad 14\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
\(\mathbf{2.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (i) A(BC) = (AB)C (ii) A(B + C) = AB + AC
(i)
Solution:
\(\quad BC\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0-6\quad\quad 0-1+0\quad\quad 0-2+2\\3+0-3\quad -6+2+0\quad\quad 0+4+1\\4+0+0\quad -8-2+0\quad 0-4+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(BC)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12+0+36\quad -2+0-90\quad 0+0-36\\\quad 6+0+40\quad\quad 1-24-100\quad 0+30-40\\-24+0+8\quad -4+4-20\quad 0-5-8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad\quad -123\quad -10\\-16\quad -20\quad -13\end{bmatrix}\\=\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\)
R.H.S.
(AB)C
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36+0-12\quad -72-20+0\quad 0-40+4\\58+0-12\quad -116-7-0\quad 0-14+4\\ 5+0-21\quad -10+10+0\quad\quad 0-20+7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad -123\quad -10\\ -16\quad -20\quad\quad -13\end{bmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii)
Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B + C\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(B + C)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+63\quad -6+0-18\quad -4+0-9\\-1+18+70\quad\quad 3+18-20\quad 2+6-10\\4-3+14\quad -12-3-4\quad -8-1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\\\\\quad AC\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+27\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\-1+0+30\quad\quad 2+6+0\quad 0+12-10\\4+0+6\quad -8-1-0\quad 0-2-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\)
R.H.S.
AB + AC
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}=L.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{3.}\\\)প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)
x-এর কোনো মান থাকলে তা নির্ণয় করো যাতে AB = BA সম্পর্ক সিদ্ধ হয়।

Solution:14 4.8
\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\\quad ∴AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad x+0+0\quad x+0+0\\0-x+0\quad 0-4+0\quad 0-5+0\\0+0-x\quad 0+0-6\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∴BA\\=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad 0-x+0\quad 0+0-x\\x+0+0\quad 0-4+0\quad 0+0-5\\x+0+0\quad 0-6+0\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∵BA=AB\\∴\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)
AB = BA
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
∴ x = -x
⇒ x +x = 0
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x-এর মান 0
4. A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে কি? উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তর সমর্থন করো।

Solution:
AB = AC হলে সর্বদা B = C নাও হতে পারে।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad∴AB\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}18-15\quad 12-15\\6-5\quad 4-5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad ∴AC\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-3\quad –6+3\\2-1\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ AB = AC কিন্তু B ≠ C (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{5.}\\\) \(A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে (A + I₃)(A – I₃)-এর মান নির্ণয় করো যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-I_3\\=(A+I_3)-2I_3\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A+I_3)(A-I_3)\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-3-8\quad\quad 3-3-12\quad\quad 4+9-4\\\quad 1-1-6\quad -3-1-9\quad -4+3-3\\\quad 2+3-1\quad -6+3-3\quad -8-9-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12\quad -12\quad\quad 9\\\quad -6\quad -13\quad -4\\\quad 3\quad -6\quad -18\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
6. (i)
মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\)
f(A) নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=2A^2+3A+5\\=2A×A+3A+5I\\=2\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}4+3\quad 2+4\\6+12\quad 3+16\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\quad 3\\9\quad 12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18\quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\quad 12\\36\quad 38\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}25\quad 15\\45\quad 55\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
6. (ii)
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\)
এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে দেখাও যে, f(A) = 0

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=A^2-2A-3\\=A×A-2A-3I\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+4\quad 2+2\\2+2\quad 4+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 4\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5-2-3\quad 4-4-0\\4-4-0\quad 5-2-3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ f(A) = 0 (Proved)
\(\mathbf{7.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
এবং A² + 2I₃ = 3A হলে x-এর মান নির্নয় করো; এখানে I₃ হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\∴A^2+2I_3\\=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2x+0\quad x+2x+0\quad -2+4x-4\\ 2+4+0\quad 2x+4+0\quad -4+8+8\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad\quad 0+0+4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+1\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\)
∵ A² + 2I₃ = 3A
\(∴\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad\quad 12\\0\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\\⇒\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + 3 = 3
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x = 0
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t, যেখানে A^t হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix},\quad B^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\AB=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2-1\quad -4+1\\3-4\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\\-1\quad-2\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\\B^tA^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2-1\quad\quad 3-4\\-4+1\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^I =B^IA^I যেখানে A^I হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 0\\\quad 1\quad\quad 4\\\quad 3\quad -1\end{bmatrix}.\quad B^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad -5\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-4-3+12\quad -2+0-15\\0-12-4\quad\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\∴AB^I=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\\quad -17\quad\quad 5\end{bmatrix}\\B^IA^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-4-3-12\quad 0-12-4\\\quad -2+0-15\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\-17\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
(AB)^I =B^IA^I (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(iii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^T =B^TA^T যেখানে A^T হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix},\quad B^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -2-2+10\quad\quad 1+8-5\\-3+0-20\quad\quad 2-3-8\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad\quad 6\quad 4\\-23\quad -9\quad 15\end{bmatrix}\\∴(AB)^T=\begin{bmatrix}28\quad -23\\ 6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\∴B^TA^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -3+0-20\\-2-2+10\quad 2-3-8\\\quad 1+8-5\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\)
(AB)^T =B^TA^T (Proved)
\(\mathbf{8.(iv)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\end{bmatrix},\quad B^t==\begin{bmatrix} -2\\\quad -1\\\quad -4\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad\quad 4\\-4\quad -2\quad -8\\-6\quad -3\quad -12\end{bmatrix}\\(AB)^t=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\\∴B^tA^t=\begin{bmatrix}-2\\-1\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{9.\\}\)\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স AA^I = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে a, b, c-এর মান নির্ণয় করো।( এখানে A^I হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\\∴A^I=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\∴AA^I=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}\\∴AA^I=I\\⇒\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2a + 2 + 2b = 0
⇒ a + b + 1 = 0 – – – – (i)
2a + 2c + 2 = 0
⇒ a + c + 1 = 0 – – – – (ii)
4 + c + b = 0
⇒ b + c + 4 = 0 – – – – (iii)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
a + b + 1 + a + c + 1 + b + c + 4 = 0
⇒ 2a + 2b + 2c + 6 = 0
⇒ a + b + c = -3 – – – – (iv)
(iv) – (i) করে পাই
a + b + c -a – b – 1 = -3
∴ c = -2
(iv) – (ii) করে পাই
a + b + c -a – c – 1 = -3
∴ b = -2
(iv) – (iii) করে পাই
a + b + c -b – c – 4 = -3
∴ a = 1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ a = 1; b = -2; c = -2
\(\mathbf{10.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে (A^IB)A একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^IB=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+0+0\quad\quad 2+0+0\quad 0+0+0\\-2+2+0\quad -4+3+0\quad 0-1+0\\\quad 2-2+0\quad\quad 4-3-1\quad 0+1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A^IB)A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0+0\quad -2+2+0\quad 2-2+0\\0+0+0\quad\quad 0-1+0\quad 0+1-1\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad 0+0-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{11\\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=∴A+A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+4\quad\quad 2+3\quad -1+1\\3+2\quad\quad 5+5\quad\quad 7-2\\1-1\quad -2+7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}\\A-A^I=\)
এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
আবার
\(A-A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-4\quad\quad 2-3\quad -1-1\\3-2\quad\quad 5-5\quad\quad 7+2\\1+1\quad -2-7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\)
এটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\(∴\frac{1}{2}(A+A^I)+\frac{1}{2}(A-A^I)\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8+0\quad 5-1\quad 0-2\\5+1\quad 10+0\quad 5+9\\0+2\quad 5-9\quad 2+0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad\quad 4\quad -2\\6\quad\quad 10\quad\quad 14\\2\quad -4\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad\quad 5\quad\quad \frac{9}{2}\\1\quad\quad \frac{9}{2}\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{12. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.1\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 4\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.2\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2m\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2+2m\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2(m+1)\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{12. (ii)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.1\quad -4.1\\\quad 1\quad\quad 1-2.1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-4\quad -12+4\\3-1\quad -4+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -8\\2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.2\quad -4.2\\2\quad\quad 1-2.2\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+6m-4m\quad -4-8m+4m\\\quad 3m+1-2m\quad\quad -4m-1+2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+2m\quad -4-4m\\m+1\quad -1-2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2(m+1)\quad -4(m+1)\\m+1\quad\quad 1-2(m+1)\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
\(\mathbf{13.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos1θ\quad isin1θ\\isin1θ\quad cos1θ\end{bmatrix}\)
P(1) সত্য
∴ P(2) :
A²= A×A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ\quad icosθsinθ+isinθcosθ\\isinθcosθ+isinθcosθ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ\quad isin2θ\\isin2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\\\quad ∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad i sinθ\\i sinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ+i^2sinmθsinθ\quad icosmθsinθ+isinmθcosθ\\isinmθcosθ+icosmθsinθ\quad i^2sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ-sinmθsinθ\quad i(cosmθsinθ+sinmθcosθ)\\i(sinmθcosθ+cosmθsinθ)\quad -sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(mθ+θ)\quad isin(mθ+θ)\\isin(mθ+θ)\quad cos(mθ+θ)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(m+1)θ\quad isin(m+1)θ\\isin(m+1)θ\quad cos(m+1)θ\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
Matrix S N Dey Solution Part-3
14.যদি
\(A=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n) : A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^1\quad \frac{b(a^1-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+0\quad ab+b\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad b(a+1)\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a+1)(a-1)}{a-1}\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a^2-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad a^{m+1}\quad a^mb+\frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0+0\quad\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^{m+1}\quad \frac{a^{m+1}b-a^mb+ba^m-b}{a-1}\\0\quad\quad 1\quad\quad\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad a^{m+1}\quad \frac{b(a^{m+1}-1)}{a-1}\\0\quad 1\quad\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
15.যদি
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\), n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n): A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix},\quad n∈N\\∴P(1): \\A^1=A\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\\\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{16.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)
এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে দেখাও যে,
\(I+A=(I-A)\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.\\}\)\(I+A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\∴I-A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\\)
\(\mathbf{R.H.S.\\}\)\(\quad (I-A) \begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad -\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\\\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad\quad \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad x\\-x\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad -\frac{2x}{1+x^2}\\\frac{2x}{1+x^2}\quad\quad \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\quad x=tan\frac{α}{2} (Let)\\=\begin{bmatrix}\frac{1-x^2+2x^2}{1+x^2}\quad \frac{-2x+x-x^3}{1+x^2}\\\frac{-x+x^3+2x}{1+x^2}\quad \frac{2x^2+1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x-x^3}{1+x^2}\\\frac{x+x^3}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x(1+x^2)}{1+x^2}\\\frac{x(1+x^2)}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -x\\x\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=L.H.S. \quad (Proved)\)
\(\mathbf{17}\\\)\(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে, (2I + 3E)³ = 8I + 36E

Solution:
\(\quad (2I+3E)\\=2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 3\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\\quad ∴(2I+3E)^2\\=(2I+3E)(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4+0\quad 6+6\\0+0\quad 0+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\\\mathbf{L.H.S}\\\quad ∴(2I+3E)^3\\=(2I+3E)^2(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8+0\quad 12+24\\0+0\quad 0+8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}\\\mathbf{R.H.S.}\\\quad 8I +36I\\=8\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+36\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 0\\0\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 36\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
PREVIOUS
NEXT
January 18, 2024

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

1. (i) নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
(b) A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(c) A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(d) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ans: (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
[► A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যাবে যদি A ও B সমক্রমের হয়।
এখানে A ম্যাট্রিক্স m×n ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স r×s ক্রমের কিন্তু r ≠ m এবং s ≠ n
∴ A ও B সমক্রমের নয়।
A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় না।
►►AB গুণফল সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা]

2. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
(b) ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
(c) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
(d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

Ans: (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।।
[A -এর ক্রম m×n
ও B -এর ক্রম n×p
∴ AB -এর ক্রম m×p]

3. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।
(b) যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
(c) A ≠ 0, B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
(d) একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AA^T = A^TA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Ans: (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।

4. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B =
(a) B² (b) I (c) A (d) 0

Ans: (a) B²
[B² = B.B
= BA.B – – – (∵ BA = B)
= B(AB)
= B.A – – – (∵ AB = A)
= B]

5. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t -এর সমান হয় তবে A-কে বলা হবে-
(a) প্রতিসম (b) একক ম্যাট্রিক্স
(c) বিপ্রতিসম (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (a) প্রতিসম

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি –
(a) A^t = -A হয় (b) AA^t = A হয়
(c) A^tA = A হয় (d) A^-1 হয়

Ans: (a) A^t = -A হয়

7. (AB)^t =
(a) B^tA^t (b) A^tB^t (c) A^tB (d) B^tA

Ans: (a) B^tA^t
[∵ (AB)^t = B^tA^t]

8. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং । একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হলে, A.I=
(a) A (b) A^T (c) -A (d) A.A^T

Ans: (a) A
[∵ AI = A]

9. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = i + 2j তবে A হবে-

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 4\end{bmatrix}\quad (b)}\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\quad (d)\)এদের কোনোটিই নয়\(\\\mathbf{Ans}\quad(c)\quad\begin{bmatrix}3\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\)

[∵ a_jj = i + 2j
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = (1 + 2.1) = 3;
a₁₂ = (1 + 2.2) = 5;
a₂₁ = (2 + 2.1) = 4;
a₂₂ = (2 + 2.2) = 6;

UNIT – 2
বীজগণিত
Algebra

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ প্রশ্নমালা 1 (Part-III)	▶️ CLICK HERE
Types of Matrix & Operation Matrices Exercise – 1 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ Types of Matrix & Operation Matrices প্রশ্নমালা 1 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\quad(a)\quad\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂(i + 2j)²
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂(1 + 2.1)² = ¹/₂(3)² = ⁹/₂ ;
a₁₂ = ¹/₂(1 + 2.2)² = ¹/₂(5)² = ²⁵/₂ ;
a₂₁ = ¹/₂(2 + 2.1)² = ¹/₂(4)² = 8 ;
a₂₂ = ¹/₂(2 + 2.2)² = ¹/₂(6)² = 18 ;]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

11. যদি A = [a_jj] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = 3i – 2j তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad 5\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}-1\quad -1\\\quad4\quad\quad 2\\\quad7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad \begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

[∵ a_ij = 3i – 2j
i = 1, 2, 3 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = 3.1 – 2.1 = 1;
a₁₂ = 3.1 – 2.2 = -1;
a₂₁ = 3.2 – 2.1 = 4;
a₂₂ = 3.2 – 2.2 = 2;
a₃₁ = 3.3 – 2.1 = 7;
a₃₂ = 3.3 – 2.2 = 5;]

12. যদি A = [a_jj] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂|3i – 4j| তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂|3i – 4j|
i = 1, 2 এবং j = 1, 2, 3 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂|3.1 – 4.1| = ¹/₂|-1| = ¹/₂
a₁₂ = ¹/₂|3.1 – 4.2| = ¹/₂|-5| = ⁵/₂
a₁₃ = ¹/₂|3.1 – 4.3| = ¹/₂|-9| = ⁹/₂
a₂₁ = ¹/₂|3.2 – 4.1| = ¹/₂|2| = 1
a₂₂ = ¹/₂|3.2 – 4.2| = ¹/₂|-2| = 1
a₂₃ = ¹/₂|3.2 – 4.3| = ¹/₂|-6| = 3]

13. যদি A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে নীচের কোন্ উক্তিটি সঠিক নয়?
(a) A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
(d) A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

Ans: (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
[∵ A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়।]

14. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}}\)

এবং f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰ হয়, তবে

\(\mathbf{f(a) =\\(a)\quad 0\quad\quad (b)\quad\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\(c)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}(d)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\1\quad 1\end{bmatrix}}\\\)\(\mathbf{Ans:}\quad (c)\quad \begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

[\(A^2=A.A\\=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)

∵ f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰
= I + A + A² + A³ +…..+ A²⁰
= I + A + 0 + 0.A + 0.A² +….. + 0.A¹⁸
= I + A

\(\quad=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\\quad=\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

15. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A² হবে-
(a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়
[ধরি

\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\)একটি 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\\A^2 =A.A\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+1\quad -2-2\\-2-2\quad\quad 1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{bmatrix}\)]

16. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\\quad 3\quad y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\quad\quad 5\\3\quad -2\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x-এর মান হবে –
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

Ans: (c) 2
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x – y = 6;
এবং y = -2
∵ 2x – y = 6
বা, 2x – (-2) = 6
বা, 2x = 4
বা, x = 2]

17. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}1\quad 4\\ 2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}}\)

(y<0) হয়, তবে x – y + z এর মান হবে-
(a) 5 (b) 2 (c) 1 (d) -3

Ans: (a) 5
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x = 1; z = 2
y² = 4
বা, y = ±2
∴ y = -2 – – -[y<0]
x – y + z = 1 – (-2) + 2
= 1 + 2 + 2
= 5]

18. যদি

\(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad 2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)

হয়, তবে B ম্যাট্রিক্স হবে-

\((a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\quad(b)\quad \begin{bmatrix}\quad 0\quad 6\\-3\quad 7\end{bmatrix}\\(c)\quad \begin{bmatrix}2\quad –1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\quad(d)\quad \begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans.}\quad(a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)

[\((2A-3B)-2(A-2B)=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

19. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix} \quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) -এর মান হবে [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] –
(a) A (b) I (c) 0 (d) 5I

Ans: (c) 0

[\(A=\begin{bmatrix}\quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix},\quad I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-2I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\\A-3I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix} \)

∴ (A – 2I)(A – 3I)

\(\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix} \)]

20. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}x\quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}}\)

ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A² = I হয়, তবে
(a) 1 + x² + yz = 0 (b) 1 – x² + yz = 0
(c) 1 – x² – yz = 0 (d) 1 + x² – yz = 0

Ans: (c) 1 – x² – yz = 0

[\(\quad A^2=I\\⇒A.A=I\\=\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad\quad 0\\\quad 0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴x^2+yz=1\\⇒1-x^2-yz=0\)]

21. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে –
(a) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স
(c) বর্গ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স

[ধরি\(A=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴A^T=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0=A\\∴A^T=0=-0=-A\)]

22 একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A, তবে (I + A)³ – 7A-এর মান হবে-
(a) A (b) I – A (c) I (d) 3A

Ans: (c) I
(I + A)³ – 7A
[ (I + A)³ – 7A
= (I + A)(I + A)(I + A) – 7A
= (I² + IA + AI +A²)(I + A) – 7A
= (I + A + A + A)(I + A) – 7A – – – [∵ A² = A; I² = A; AI =A]
= (I + 3A)(I + A) – 7A
= I + A + 3A + 3A – 7A
= I + 7A – 7A
= I ]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

\(\mathbf{1.\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad এবং \quad C=\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

(i) A + 2B (ii) 2B – 3C
(iii) 4C – A (iv) A + 4B – 3C ম্যাট্রিক্সগুলি নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
A + 2B

\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad\quad 7\\\quad 4\quad -5\\-1\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii)
Solution:
2B – 3C

\(2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad\quad 16\\\quad 4\quad -3\\\quad -9\quad -13\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iii)
Solution:
4C – A

\(=4\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 16\quad -8\\\quad 0\quad -4\\\quad 12\quad\quad 20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 14\quad -5\\\quad 0\quad -5\\\quad 13\quad\quad 16\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iv)
Solution:
A + 4B – 3C

\(\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\quad\quad 20\\\quad 8\quad -12\\\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 17\\\quad 8\quad -11\\-1\quad\quad 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad 23\\ 8\quad\quad14\\-10\quad -7\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

2. (i) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X নির্ণয় করো যখন 3A + 4B = 2X

Solution:

∵\(3A+4B=2X\\∴3\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} =2X\\⇒2X=\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} \\⇒X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad ও \quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

এবং হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:

\(∵2A+B+X=0\\⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\\quad 6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\\7\quad\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\⇒X=-\begin{bmatrix}1\quad 2\\\quad 7\quad 13\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\\quad -7\quad -13\end{bmatrix}\)

3. A ও B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন :

\(\mathbf{(i)\\A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix}}\\\)

\(\mathbf{Solution:}\\ A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix} – – – (i)\\ A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix} – – – (ii)\\\)

(i) + (ii) করে পাই

\(∴2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\ \)

(i) – (ii) করে পাই

\(∴2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\\ \)

\(\mathbf{(ii)\\A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}}\)

(i) – (ii) করে পাই,

\(\quad (A-2B)-(A-3B)=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\)

আবার (i) থেকে পাই,

\(\quad A-2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}8\quad -4\\0\quad\quad 10\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\ 4\quad 2\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(iii)\\2A+B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad এবং\quad A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}}\)

2×(i) – (ii) করে পাই,

\(\mathbf{Solution:}\\∴2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒4A+2B-A-2B=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 4\quad\quad 6\\-2\quad -4\quad -6\\\quad 8\quad\quad 4\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒3A=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

2×(ii) – (i) করে পাই,

\(\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒2A+4B-2A-B=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\8\quad 2\quad 14\\2\quad 2\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒3B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad9\quad\quad 4\quad\quad 17\\\quad -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad 9\quad\quad 4\quad\quad 17\\ -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

\(\mathbf{4.(i)}\\A=\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix} \quadএবং \quad C=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করো যখন 2A + 5B = C;

\(\mathbf{Solution:}\\∵ 2A + 5B = C\\∴2\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 10\\4\quad 2a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\quad 5b\\10\quad 45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
10 + 5b = a – – – – (i)
2a + 45 = 45
বা, 2a = 0
∴ a = 0
(i) নং থেকে পাই,
10 + 5b = 0
⇒ 5b = -10
∴ b = -2
Ans: a -এর মান 0
b-এর মান -2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(ii) একটি ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো।

Solution:
একটি ম্যাট্রিক্সের মোট পদ সংখ্যাকে যতগুলি ক্রমের আকারে প্রকাশ করা যাবে ততগুলি ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
18 = 1 × 18 ; 18 = 18 × 1 ;
18 = 2 × 9 ; 18 = 9 × 2 ;
18 = 3 × 6 ; 18 = 6 × 3;
∴ মোট ক্রমের 6 টি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
Ans: ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি 1×18, 18×1, 2×9, 9×2, 3×6 ও 6×3;
কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি হল 1×5, 5×1;
18 = 1 × 18 ;

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii) যদি

হয়, তবে x y-এর মান নির্ণয় করো।

\(\mathbf{2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}}\)

Solution:

\(\quad 2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\)

\(\mathbf{4.(iv)\\\quad \begin{bmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\5\\7\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x. y ও z-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y + z = 9 – – – (i)
z + x = 5 – – – (ii)
y + z = 7 – – – (ii)
(i) – (ii) – (iii) করে পাই,
(x + y + z) – (z + x) – (y + z) = 9 – 5 – 7
⇒ x + y + z – z – x – y – z = -3
⇒ – z = -3
∴ z = 3
(ii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
3 + x = 5
∴ x = 2
(iii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
y + 3 = 7
∴ y = 4
Ans: x -এর মান 2
y -এর মান 4
z -এর মান 3

\(\mathbf{5.(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}}\) হলে প্রমাণ করো যে,

\(\mathbf{(a)\quad (A+B)=A^I+B^I\\(b)\quad (A-B)^I=A^I-B^I}\)

\(\mathbf{5.(i)\\Solution}\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad ∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad \quad 4\\-5\quad \quad 7 \end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad∴B^I=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad \quad 5\\-1\quad \quad 0 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(a)}\\A+B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 1\quad -6\\1\quad 9\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I+B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I=A^I+B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(b)}\\A-B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\-7\quad -1\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad -1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I-B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I=A^I-B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 1
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 3
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1+ 2×2+3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের; যদি তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত ও px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m, n ও p-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের
∵ AB সংজ্ঞাত;
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ m = 3
∴ AB ম্যাট্রিক্স হবে 2 x n ক্রমের।
প্রদত্ত, AB ম্যাট্রিক্স px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ p = 2
Ans: m -এর মান = 3;
n -এর মান = 4;
p -এর মান = 2

7. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে A + B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত হলে প্রমাণ করো যে, A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে।

Solution:
A + B সংজ্ঞাত
∴ A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
ধরি, A ও B m×n ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
আবার AB সংজ্ঞাত
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ n = m
∴ A ও B m×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স (Proved)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

8. একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না।

Solution:
ধরি,

\(\\A=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 4×3+2×5\quad\quad 4×-1+2×2\\-1×3+3×5\quad -1×-1+3×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}22\quad 0\\12\quad 7\end{bmatrix}\)

আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = A-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3×4+-1×-1\quad\quad 3×2+-1×3\\\quad 5×4+2×-1\quad\quad 5×2+2×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 13\quad 3\\18\quad 16\end{bmatrix}\\∴\quad AB≠BA\)

∴ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (Proved)

\(\mathbf{(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}}\)

হলে AB নির্ণয় করো।

Solution:

\(\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 1
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2×3\quad\quad 2×5\quad\quad 2×7\\\quad 3×3\quad\quad 3×5\quad\quad 3×7\\-1×3\quad -1×5\quad -1×7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 6\quad\quad 10\quad\quad 14\\\quad 9\quad\quad 15\quad\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}\)

হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 4
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(AB=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1×1+2×2+3× 3+4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)

B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = Aএর সারি সংখ্যা = 1
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\quad 1×4\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\quad 2×4\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\quad 3×4\\4×1\quad 4×2\quad 4×3\quad 4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii). মান নির্ণয় করো:

\(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{Solution:}\\\quad\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} ax+hy+gz\\hx+by+fz\\gx+ fy+cz\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x(ax+hy+gz)+y(hx+by+fz)+z(gx+ fy+cz)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+hxy+gzx+hxy+by^2+fyz+gzx+ fyz+cz^2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{10.\\A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix},\quad এবং\quad B=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}}\)

হলে AX = B ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে প্রকাশিত x, y, z-এর একঘাত সমীকরণ তিনটি লেখো।

\(\mathbf{Solution:}\\∵AX=B\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\)

Ans: x, y ও z -এর একঘাত সমীকরণ তিনটি হল –
x + 2y + 3z = 14;
2x – y + 5z = 15;
-3x + 2y + 4z = 13

11. নীচের সমীকরণগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো:
(i) a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

(ii) a₁x + b₁y + c₁z = k₁
a₂x + b₂y + c₂z = k₂
a₃x + b₃y + c₃z = k₃

(i)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 – – – – (ii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix},\quad 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\\)

\(∴AX=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}\\∴AX+C\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\⇒AX+C=0 \)

(ii)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁z = k₁ – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂z = k₂ – – – – (ii)
a₃x + b₃y + c₃z = k₃ – – – – (iii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix} \\\)

\(∴AX= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(∴AX=K\\⇒\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\ a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{12.\\A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}}\)

হলে দেখাও যে, A – A^T একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স
Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A^T=\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A-A^T\\=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix} \\\therefore (A-A^T)^T\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 1\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=-\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=-(A-A^T)\) A – \(A^{T}\) একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স\(\quad\mathbf{(Proved)}\)

PREVIOUS

NEXT

December 17, 2023

Tag: Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

S N Dey Matrix Solution Part-1

Matrix S N Dey Solution Part-2

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

UNIT – 2বীজগণিতAlgebra

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

UNIT – 2
বীজগণিত
Algebra