SOLUTION OF ASSOCIATED ANGLES S N DEY SEMESTER 1 সংযুক্ত কোণ

SOLUTION OF ASSOCIATED ANGLES S N DEY SEMESTER 1 সংযুক্ত কোণ

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. যদি sinθ = – ¹/₂ হয়, তবে θ =
Ⓐ 30° Ⓑ 120°
Ⓒ 150° Ⓓ 210°

Solution: sinθ = – ¹/₂
বা, sinθ = – sin30°
বা, sinθ = sin(180° + 30°)
∴ sinθ = sin210°
∴ θ = 210°
Ans: Ⓓ 210°

2. sin(α – 540°) =
Ⓐ sinα Ⓑ -sinα
Ⓒ cosα Ⓓ -cosα

Solution: sin(α – 540°)
= sin-(540° – α)
= -sin(6×90° – α) = -sinα
Ans: Ⓑ -sinα

3. যদি tan35° = 0.7 হয়, তবে tan(- 665°) =
Ⓐ 0.7 Ⓑ 0.007
Ⓒ ¹⁰/₇ Ⓓ ¹⁰⁰/₇

Solution: tan35° = 0.7
∴ tan( – 665°)
= – tan(665°)
= – tan(7×90° + 35°)
== – (-cot35°)
= cot35°
= ¹/_tan35° = ¹/_0.7 = ¹⁰/₇
Ans: Ⓒ ¹⁰/₇

4. নীচের কোনটি cot(- 870°) -এর মান?
Ⓐ √3 Ⓑ ¹/_√3
Ⓒ –¹/_√3 Ⓓ -√3

Solution: cot(- 870°)
= – cot(870°)
= – cot(10×90° – 30°) = – (-cot30°) = √3
Ans: Ⓐ √3

5. নীচের কোনটি cos(-1170°) এর মান?
Ⓐ 1 Ⓑ -1
Ⓒ 0 Ⓓ –¹/₂

Solution: cos(-1170°)
= cos(13×90° + 0°) = – sin0° = 0
Ans: Ⓒ 0

6. নীচের কোনটি sec(-945°)-এর মান?
Ⓐ √2 Ⓑ -√2
Ⓒ 2 Ⓓ -2

Solution: sec(-945°)
= sec(945°)
= sec(10×90° + 45°)= -sec45° = -2
Ans: Ⓑ -√2

7. নীচের কোনটি cos(^5π/₂ – ^19π/₃)-এর মান?
Ⓐ ^√3/₂ Ⓑ –^√3/₂
Ⓒ ¹/₂ Ⓓ –¹/₂

Solution: cos(^5π/₂ – ^19π/₃)
= sin ^19π/₃
= sin(6π + ^π/₃) = sin ^π/₃ = ^√3/₂
Ans: Ⓐ ^√3/₂

8. sec²θ = ^4xy/_{(x + y)²} সত্য হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি –
Ⓐ x + y ≠ 0 হয়
Ⓑ x = y, x ≠ 0 হয়
Ⓒ x = y হয়
Ⓓ x ≠ 0, y ≠ 0 হয়

Solution: sec²θ = ^4xy/_{(x + y)²}হলে,
(x + y)² ≤ 4xy হবে
=(x + y)² – 4xy ≤ 0 হবে
বা, (x – y)² = 0 হবে
= x – y = 0 হবে
= x = y হবে
Ans: Ⓑ x = y, x ≠ 0 হয়

9. যদি tanθ + secθ = e^x হয়, তবে cos θ -এর মান –
Ⓐ ^{e^x + e^-x}/₂ Ⓑ ²/_{e^x + e^-x}
Ⓒ ^{e^x – e^-x}/₂ Ⓓ ^{e^x – e^-x}/_{e^x + e^-x}

Solution: tanθ + secθ = e^x . . . (i)
আমরা জানি, sec²θ – tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
⇒ e^x(secθ – tanθ) = 1
বা, secθ – tanθ = ¹/_e^x = e^-x . . . (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
secθ + tanθ + secθ – tanθ = e^x + e^-x
বা, 2secθ = e^x + e^-x
⇒ ²/_cosθ = e^x + e^-x
বা, cosθ = ²/_{e^x + e^-x}Ans: Ⓑ ²/_{e^x + e^-x}

10. sin 45° cos 65° + sin135° cos115° -এর মান-
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ -1 Ⓓ ¹/₂

Solution: sin 45° cos 65° + sin135° cos115°
= sin 45°. cos65° + sin(180° – 45°). cos(180° – 65°)
== sin 45° . cos65° + sin45°. (-cos65°)
= sin 45° . cos65° – sin 45° . cos65°
= 0
Ans: Ⓐ 0

11. tanθ = ⁵/₁₂ এবং sinθ ঋণাত্মক হলে cosθ -এর মান –
Ⓐ ¹²/₁₃ Ⓑ –¹²/₁₃
Ⓒ 0 Ⓓ -1

Solution: tanθ = ⁵/₁₂ এবং sinθ ঋণাত্মক।
∴ θ কোণটি তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
sec²θ = 1 + tan²θ
= 1 + (⁵/₁₂)² = 1 + ²⁵/₁₄₄
= ¹⁶⁹/₁₄₄
∴ secθ = –¹³/₁₂
বা, cosθ = –¹²/₁₃
Ans: Ⓑ –¹²/₁₃

Solution: tanθ = 5/12 এবং sinθ ঋণাত্মক। ∴ θ কোণটি তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + (⁵/₁₂)² = 1 + ²⁵/₁₄₄ = ¹⁶⁹/₁₄₄ ∴ secθ = –¹³/₁₂ বা, cosθ = –¹²/₁₃
Ans: Ⓑ –¹²/₁₃

\(12.\ \frac{cosθ}{sin(90° + θ)}+\frac{sin(- θ)}{sin(180° + θ)}-\frac{tan(90° + θ)}{cotθ}\)

Ⓐ 1 Ⓑ 2
Ⓒ 3 Ⓓ 5

\(Solution:\ \frac{cosθ}{sin(90° + θ)}+\frac{sin(- θ)}{sin(180° + θ)}-\frac{tan(90° + θ)}{cotθ}\\=\frac{cosθ}{cosθ}+\frac{-sinθ}{-sinθ}-\frac{-cotθ}{cotθ}\\=1+1+1=3\\Ans:\ Ⓒ 3\)

\(13.\ \frac{cos(2π + α) cosec(π – α) tan(\frac{π}{2} + α)}{sec(\frac{π}{2} + α) sin(\frac{3π}{2} – α) cot(2π – α)}\)

Ⓐ 1 Ⓑ 2
Ⓒ 3 Ⓓ 4

\(Solution:\ \frac{cos(2π + α) cosec(π – α) tan(\frac{π}{2} + α)}{sec(\frac{π}{2} + α) sin(\frac{3π}{2} – α) cot(2π – α)}\\= \frac{cos α.cosec α.(-cot α)}{(-cosecα) (-cosα) (-cotα)}\\=1\\Ans:\ Ⓐ\ 1\)

14. n যুগ্ম হলে, sinθ + sin(π + θ) + sin(2π + θ) + sin(3π + θ) +……… -এর n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি-
Ⓐ θ Ⓑ 1
Ⓒ sinθ Ⓓ sinnθ

Solution: sinθ + sin(π + θ) + sin(2π + θ) + sin(3π + θ) +……… -এর n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
=(sinθ – sinθ) + (sinθ – sinθ) + . . . -এর n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
=(sinθ – sinθ) + (sinθ – sinθ) + . . . -এর ⁿ/₂-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
= 0
Ans: Ⓐ 0

15. কোনো একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরপর চারটি কোণ A, B, C, D হলে, tan(A + B) + tan(C + D) =
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ π Ⓓ 2π

Solution: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরপর চারটি কোণ A, B, C, D
∴ A + C =180° এবং B + D = 180°
∴ tan(A + B) + tan(C + D)
= tan(A + B) + tan(180° – A + 180° – B)
== tan(A + B) + tan[360° – (A + B)]
= tan(A + B) – tan(A + B)
= 0
Ans: Ⓐ 0

16. tan1° tan2° tan3°……… tan87° tan88° tan89° =
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ tan1° Ⓓ tan89°

Solution: tan1° tan2° tan3°……… tan87° tan88° tan89°
= tan1° tan2° tan3°……… cot3° cot2° cot1°
= 1
Ans: Ⓑ 1

17. tan² ^π/₁₆ tan² ^2π/₁₆ tan² ^3π/₁₆ tan² ^4π/₁₆tan² ^5π/₁₆tan² ^6π/₁₆ tan² ^7π/₁₆ =
Ⓐ 0 Ⓑ ¹/₂
Ⓒ 1 Ⓓ 2

Solution: tan² ^π/₁₆ tan² ^2π/₁₆ tan² ^3π/₁₆ tan² ^4π/₁₆tan² ^5π/₁₆tan² ^6π/₁₆ tan² ^7π/₁₆
= tan² ^π/₁₆ tan² ^2π/₁₆ tan² ^3π/₁₆ tan² ^π/₄tan² (^π/₂ – ^3π/₁₆) tan² (^π/₂ – ^2π/₁₆) tan² (^π/₂ – ^π/₁₆)
= tan² ^π/₁₆ tan² ^2π/₁₆ tan² ^3π/₁₆ . 1 .cot² ^3π/₁₆ cot² ^2π/₁₆ cot² ^π/₁₆
== (tan² ^π/₁₆. cot² ^π/₁₆).( tan² ^2π/₁₆. cot² ^2π/₁₆).( tan² ^3π/₁₆. cot² ^3π/₁₆) = 1.1.1 = 1
Ans: Ⓒ 1

18. cos² ^π/₄ + sin² ^3π/₄ + sin² ^5π/₄ + sin² ^7π/₄ =
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3

Solution: cos² ^π/₄ + sin² ^3π/₄ + sin² ^5π/₄ + sin² ^7π/₄
= (¹/_√2)² + sin² (π – ^π/₄) + sin² (π + ^π/₄) + sin² (2π – ^π/₄)
= ¹/₂ + sin^{2 π}/₄ + (-sin ^π/₄)² + (-sin ^π/₄)²
== 1/2 + sin^{2 π}/₄ + sin^{2 π}/₄ + sin^{2 π}/₄
= ¹/₂ + 3.sin^{2 π}/₄
= ¹/₂ + 3×¹/₂ = 2
Ans: Ⓒ 2

19. tan25° = a হলে ^{tan155° – tan115°}/_{1 + tan155°.tan115°} =
Ⓐ¹/_2a Ⓑ ^a²/₂
Ⓒ 1 – a^2/a Ⓓ 1 – a^2/2a

Solution: tan155° = tan(180° – 25°)
= – tan25° = -a
tan115° = tan(90° + 25°)
= – cot25° = –¹/_a

\(∴\ \frac{tan155° – tan115°}{1 + tan155°.tan115°}\\=\frac{-a + \frac{1}{a}}{1+(-a).\left( -\frac{1}{a} \right)}\\=\frac{\frac{-a^2 +1}{a}}{1+1}\\=\frac{1-a^2}{2a}\\Ans: Ⓓ\quad \frac{1-a^2}{2a}\)

\(20.\ \frac{sin^3(2π – θ)}{cos^2(\frac{3π}{2} + θ)}.\frac{cos^3(2π – θ)}{sin^3(2π + θ)}.\frac{tan(π – θ)}{cosec^2(π – θ)}.\frac{sec^2(π + θ)}{sinθ}\) -এর মান

Ⓐ sinθ Ⓑ cosec^2θ
Ⓒ cos(π + θ)
Ⓓ θ -এর ওপর নির্ভর করে না

\(Solution:\ \frac{sin^3(2π – θ)}{cos^2(\frac{3π}{2} + θ)}.\frac{cos^3(2π – θ)}{sin^3(2π + θ)}.\frac{tan(π – θ)}{cosec^2(π – θ)}.\frac{sec^2(π + θ)}{sinθ}\\=\frac{(-sinθ)^3}{sin^2θ}.\frac{cos^3θ}{sin^3θ}.\frac{(-tanθ)}{cosec^2θ}.\frac{(-secθ)^2}{sinθ}\\=\frac{-sin^3θ}{sin^2θ}.\frac{cos^3θ}{sin^3θ}.\frac{-tanθ}{cosec^2θ}.\frac{sec^2θ}{sinθ}\\=1\)

Ans: Ⓓ θ -এর ওপর নির্ভর করে না

21. sin²1° + sin²3° + sin²5° + . . . + sin²85° + sin²87° + sin²89°
Ⓐ22¹/₂° Ⓑ 45°
Ⓒ 67¹/₂° Ⓓ 60°

Solution: sin²1° + sin²3° + sin²5° + . . . + sin²85° + sin²87° + sin²89°
= sin²1° + sin²3° + sin²5° + . . . + sin²45° + . . . + sin²(90° – 5°) + sin²(90° – 3°) + sin²(90° – 1°)
= sin²1° + sin²3° + sin²5° + . . . + (¹/_√2)² + . . . + cos²5° + cos²3° + cos²1°
== (sin²1° + cos²1°) + (sin²3° + cos²3°) + (sin²5° + cos²5°) + . . . + (sin²43° + cos²47°) + ¹/₂
= 1×22 + ¹/₂ = 22¹/₂Ans: Ⓐ 22 ¹/₂°

22. θ একটি স্থূলকোণ হলে, θ-এর যে মানে tanθ + cotθ = 2secθ সিদ্ধ হয় তা হল–
Ⓐ 95° Ⓑ 120°
Ⓒ 135° Ⓓ 150°

Solution: tanθ + cotθ = 2secθ
বা, ^sinθ/_cosθ + ^cosθ/_sinθ = ²/_cosθ
বা, ^sin² ^{θ + cos²} ^θ/_sinθcosθ = ²/_cosθ
⇒ ¹/_sinθcosθ = ²/_cosθ
⇒ ¹/_sinθ = 2
বা, sinθ = ¹/₂ = sin30°
বা, θ = 30°
∴ θ = 30°, 180° – 30° = 150°
θ একটি স্থূলকোণ
∴ θ = 150°
Ans: Ⓓ 150°

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সেট ও অপেক্ষক

সেট তত্ত্ব
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
- ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
- সম্বন্ধ (Relation) PART II
- অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
- চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
- অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2 বীজগণিত

সূচকের নিয়মাবলি
লগারিদম্
দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
রৈখিক অসমীকরণ
বিন্যাস ও সমবায়
- বিন্যাস
- সমবায়
কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

বাস্তব সংখ্যা
সীমা
অন্তরকলন বা অবকলন
অন্তরকলজের তাৎপর্য

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. cot 660° + tan(- 1050°) = ^k/₂ হলে k = __________
Ⓐ 3 Ⓑ 5
Ⓒ 7 Ⓓ 0

Solution: cot 660° + tan(- 1050°) = ^k/₂
⇒ cot (7×90° + 30°) – tan(1050°) = ^k/₂
⇒ -tan30° – tan(12×90° – 30°) = ^k/₂
⇒= -tan30° + tan30° = ^k/₂
⇒ 0 = ^k/₂
∴ k = 0
Ans: Ⓓ 0

2. যদি sinθ = –³/₅ হয় এবং θ তৃতীয় পাদে থাকে, তবে tanθ + secθ -র মান __________
Ⓐ ¹/₂ Ⓑ –¹/₂
Ⓒ ³/₄ Ⓓ –³/₄

Solution: sinθ = –³/₅ এবং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।

\(∴ cosθ = – \sqrt{1 – sin^2θ}\\\quad\quad = – \sqrt{1 – \frac{9}{25}} = – \sqrt{\frac{16}{25}} = – \frac{4}{5}\)

∴ secθ = –⁵/₄
tanθ = ^sinθ/_cosθ
= –³/₅ × (-⁵/₄) = ³/₄
∴ tanθ + secθ
= ³/₄ – ⁵/₄ = – ¹/₂ Ans: Ⓑ –¹/₂

3. tan181° tan182° tan183° . . . tan267° tan268° tan269° -এর মান __________
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ √3 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: tan181° tan182° tan183° . . . tan267° tan268° tan269°
= tan(180° + 1°).tan(180° + 2°) . tan(180° + 3°) . . . tan(270° – 3°) . tan(270° – 2°). tan(270° – 1°)
= tan1°.tan2°. tan3° . . . cot3°. cot2°. cot1°
== tan1° . tan2° . tan3° . . . ¹/_tan3°. ¹/_tan2°. ¹/_tan1°
= 1
Ans: Ⓑ 1

\(4.\quad 2^{sin^2 θ} + 2^{cos^2 θ}\)-এর লঘিষ্ঠ মান

Ⓐ √2 Ⓑ 2√2
Ⓒ 3√2 Ⓓ 5√2

\(Solution:\ \left[ \sqrt{2^{sin^2 θ}} + \sqrt{2^{cos^2 θ}} \right]^2 ≥ 0\\⇒ (\sqrt{2^{sin^2 θ}})^2 + (\sqrt{2^{cos^2 θ}})^2 – 2.\sqrt{2^{sin^2 θ}}.\sqrt{2^{cos^2 θ}} ≥ 0\\⇒2^{sin^2 θ} + 2^{cos^2 θ} – 2.\sqrt{2^{sin^2 θ} . 2^{cos^2 θ}} ≥ 0\\⇒2^{sin^2 θ} + 2^{cos^2 θ} – 2.\sqrt{2^{sin^2θ + cos^2θ}} ≥ 0\\⇒ 2^{sin^2 θ} + 2^{cos^2 θ} – 2.√2 ≥ 0\\⇒ 2^{sin^2 θ} + 2^{cos^2 θ} ≥ 2√2\\Ans:\quad Ⓑ\ 2√2\)

Column Matching

1. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] cos ^π/₁₁ + cos ³^π/₁₁ + cos ⁵^π/₁₁+ cos ⁷^π/₁₁ + cos ⁹^π/₁₁	[a] 0
[ii] tan ^π/₁₂ tan ⁵^π/₁₂ tan ⁷^π/₁₂ tan ¹¹^π/₁₂	[b] -1
[iii] sec(270° – θ) sec(90° – θ) – tan(270° – θ) tan(90° + θ)	[c] ¹/₂
[iv] cos306° + cos234° + cos162° + cos18°	[d] 1

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution: [i] cos ^π/₁₁ + cos ^3π/₁₁ + cos ^5π/₁₁+ cos ^7π/₁₁ + cos ^9π/₁₁
= ¹/_{2sin π/11}[2sin ^π/₁₁ . cos ^π/₁₁ + 2sin ^π/₁₁. cos ^3π/₁₁ + 2sin ^π/₁₁.cos ^5π/₁₁ + 2sin ^π/₁₁. cos ^7π/₁₁ + 2sin ^π/₁₁. cos^9π/₁₁]
== ¹/_{2sin π/11}[sin(^π/₁₁ + ^π/₁₁) – sin(^π/₁₁ – ^π/₁₁) + sin(^3π/₁₁ + ^π/₁₁) – sin(^3π/₁₁ – ^π/₁₁) + sin(^5π/₁₁ + ^π/₁₁) – sin(^5π/₁₁ – ^π/₁₁) + sin(^7π/₁₁ + ^π/₁₁) – sin(^7π/₁₁ – ^π/₁₁) + sin(^9π/₁₁ + ^π/₁₁) – sin(^9π/₁₁ – ^π/₁₁)]
= ¹/_{2sin π/11}[sin ^2π/₁₁ – sin0 + sin ^4π/₁₁ – sin ^2π/₁₁ + sin ^6π/₁₁ – sin ^4π/₁₁ + sin ^8π/₁₁ – sin ^6π/₁₁ + sin ^10π/₁₁ – sin ^8π/₁₁]
== ¹/_{2sin π/11}[sin ^10π/₁₁]
= ¹/_{2sin π/11}[sin(π – ^π/₁₁)]
== ¹/_{2sin π/11} . sin ^π/₁₁
= ¹/₂ – [c][ii] tan ^π/₁₂ tan ^5π/₁₂ tan ^7π/₁₂ tan ^11π/₁₂
= tan ^π/₁₂ tan(^π/₂ – ^π/₁₂) tan(^π/₂ + ^π/₁₂) tan(π – ^π/₁₂)
== [tan ^π/₁₂ . cot ^π/₁₂][(-cot ^π/₁₂).(-tan ^π/₁₂)]
= 1.[cot ^π/₁₂. tan ^π/₁₂] = 1.1 = 1 – [d]

[iii] sec(270° – θ) sec(90° – θ) – tan(270° – θ) tan(90° + θ)
= (-cosecθ).cosecθ – cotθ.(-cotθ)
== -cosec²θ + cot²θ
= -(cosec²θ – cot²θ)
= -1 – [b]
[iv] cos306° + cos234° + cos162° + cos18°
= cos(360° + 54°) + cos(180 + 54°) + cos(180° – 18°) + cos18°
== cos54° – cos54° – cos18° + cos18°
= 0 – [a]
Ans: Ⓐ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [b], [iv] – [a]

2. n -এর মান পূর্ণসংখ্যা হলে স্তম্ভ A-এর সাথে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] cos(nπ + θ)	[a] tanθ
[ii] tan{ⁿ^π/₂ + (-1)ⁿ ^π/₄} =	[b] (-1)ⁿ cosθ
[iii] sin{nπ + (-1)ⁿ. ^π/₆} =	[c] 1
[iv] tan(nπ + θ)	[d] ¹/₂

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]

Solution: [i] n যুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k যেখানে k ∈ z
∴ cos(nπ + θ)
= cos(2kπ + θ) = cosθ
n অযুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k + 1 যেখানে k ∈ z
∴ cos(nπ + θ)
= cos{(2k +1)π + θ}
= cos{2kπ +π + θ} = -cosθ
∴ cos(nπ + θ) = (-1)ⁿ cosθ – [b]
[ii] n যুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k যেখানে k ∈ z
∴ tan{^nπ/₂ + (-1)ⁿ ^π/₄} = tan{^2kπ/₂ + (-1)^2k ^π/₄} = tan{kπ + ^π/₄} = tan ^π/₄ = 1
n অযুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k + 1 যেখানে k ∈ z
∴ tan{^nπ/₂ + (-1)ⁿ ^π/₄}
= tan{(2k + 1)^π/₂ + (-1)^{2k + 1} ^π/₄}
== tan{kπ + ^π/₂ – ^π/₄}
= tan{kπ + ^π/₄}
= tan ^π/₄ = 1 – [c]

[iii] n যুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k যেখানে k ∈ z
∴ sin{nπ + (-1)ⁿ. ^π/₆}
= sin{2kπ + (-1)^2k.^π/₆}
== sin(2kπ + ^π/₆)
= sin ^π/₆ = ¹/₂ n অযুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k + 1 যেখানে k ∈ z
∴ sin{nπ + (-1)ⁿ. ^π/₆}
= sin{(2k + 1)π + (-1)^{2k + 1}.^π/₆}
== sin{2kπ + π – ^π/₆}
= sin(π – ^π/₆)
= sin ^π/₆ = ¹/₂ – [d]
[iv] n যুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k যেখানে k ∈ z
∴ tan(nπ + θ)
= tan(2kπ + θ) = tanθ
n অযুগ্ম সংখ্যা হলে,
ধরি n = 2k + 1 যেখানে k ∈ z
∴ tan(nπ + θ)
= tan{(2k + 1)π + θ}
= tanθ . . . [{(2k + 1)π + θ} কোণটি প্রথম অথবা তৃতীয় পাদে অবস্থিত হবে।] – [a]
Ans: Ⓑ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]

3. নীচের ছকটির স্তম্ভ A-তে কিছু সমীকরণ ও স্তম্ভ B-তে কিছু সমাধান (0 ≤ θ ≤ 360°) দেওয়া হল।
A স্তম্ভ-এর সাথে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] cos²θ – sinθ = ¹/₄	[a] 30°, 120°, 150°, 240°
[ii] cosθ + √3sinθ = 2	[b] 45°, 60°, 120°, 135°
[iii] 4sinθ cosθ = 1 – 2sinθ + 2cosθ	[c] 30°, 150°
[iv] tan⁴θ – 4tan²θ + 3 = 0 [0 < θ < 180°]	[d] 60°, 300°

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [d]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [b], [iv] – [a]

Solution: [i] cos²θ – sinθ = ¹/₄
বা, 1 – sin²θ – sinθ = ¹/₄
বা, 4 – 4sin²θ – 4sinθ = 1
⇒ 3 – 4sin²θ – 4sinθ = 0
বা, 4sin²θ + 4sinθ – 3 = 0
বা, 4sin²θ + 6sinθ – 2sinθ – 3 = 0
⇒ 2sinθ(2sinθ + 3) – 1(2sinθ + 3) = 0
বা, (2sinθ + 3)(2sinθ – 1) = 0
∴ 2sinθ + 3 = 0
বা, sinθ = –³/₂ < -1 – ইহা অসম্ভব।
2sinθ – 1 = 0
বা, sinθ = ¹/₂ = sin30°
বা, θ = 30°
∴ θ = 30°, 180° – 30° = 150° – [c]
[ii] cosθ + √3sinθ = 2
বা, ¹/₂cosθ + ^√3/₂ sinθ = 1
বা, sin30°cosθ + cos30°sinθ = 1
⇒ sin(30° + θ) = sin90°
বা, 30° + θ = 90°
বা, θ = 60°
∴ θ = 60°, (360 – 60)° = 300° – [d]

সংযুক্ত কোণ

[iii] 4sinθ cosθ = 1 – 2sinθ + 2cosθ
বা, 4sinθ cosθ + 2sinθ – 2cosθ – 1 = 0
⇒ 2sinθ(2cosθ + 1) – 1(2cosθ + 1) = 0
বা, (2cosθ + 1)(2sinθ – 1) = 0
হয় 2cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ = – 1
বা, cosθ = – ¹/₂
⇒ cosθ = – cos60° = cos(180° – 60°)
বা, θ = 120°
বা, θ = 120°, 360° – 120° = 120°, 240°
নতুবা 2sinθ – 1 = 0
বা, 2sinθ = 1
বা, sinθ = ¹/₂ = sin30°
⇒ θ = 30°
বা, θ = 30°, 180° – 30° = 30°, 150°
∴ θ = 30°, 120°, 150°, 240° – [a]

[iv] tan⁴θ – 4tan²θ + 3 = 0 [0 < θ < 180°]
বা, tan⁴θ – 3tan²θ – tan²θ + 3 = 0
বা, tan²θ(tan²θ – 3) – 1(tan²θ – 3) = 0
⇒ (tan²θ – 3)(tan²θ – 1) = 0
হয় tan²θ – 3 = 0
বা, tan²θ = 3
বা, tanθ = ±√3
∴ tanθ = √3 = tan60°
⇒ θ = 60°
এবং tanθ = -√3 = -tan60° = tan(180° – 60°)
⇒ θ = 120°
নতুবা tan²θ – 1 = 0
বা, tan²θ = 1
বা, tanθ = ±1
∴ tanθ = 1= tan45°
⇒ θ = 45°
এবং tanθ = -1 = -tan45° = tan(180° – 45°)
⇒ θ = 135°
∴ θ = 45°, 60°, 120°, 135° – [b]
Ans: Ⓑ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: sin(120° – θ) = cos(30° – φ)
বিবৃতি-B: θ + φ = 60°

Solution: sin(120° – θ) = cos(30° – φ)
বা, sin(120° – θ) = sin{90° -(30° – φ)}
বা, 120° – θ = 90° – 30° + φ
⇒ – θ – φ = 60° – 120°
বা, – (θ + φ) = – 60°
বা, θ + φ = 60°
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

2. বিবৃতি-A: sinθ + sin(π + θ) + sin(2π + θ) + …….. sin{(n – 1)π + θ} = sin θ যখন n অযুগ্ম।
বিবৃতি-B: sin (kπ + θ) = {sinθ যখন k যুগ্ম
{-sinθ যখন k অযুগ্ম

Solution: বিবৃতি-A:
      sinθ + sin(π + θ) + sin(2π + θ) + …….. sin{(n – 1)π + θ}
= sinθ – sinθ + sinθ – sinθ + sinθ . . . + sinθ
= sinθ . . . [∴ n অযুগ্ম।] → বিবৃতিটি সঠিক।
বিবৃতি-B:  k যুগ্ম সংখ্যা হলে, ধরি k = 2m যেখানে m ∈ z
     sin (kπ + θ)
= sin (2mπ + θ)
= sinθ . . . [∵ (2mπ + θ) প্রথম পাদে অবস্থিত]
   k অযুগ্ম সংখ্যা হলে, ধরি k = 2m + 1 যেখানে m ∈ z
     sin (kπ + θ)
= sin {(2m + 1)π + θ}
= sin [2mπ + (π + θ)]
== sin (π + θ) . . . [∵ (2mπ + π + θ) প্রথম পাদে অবস্থিত]
= – sinθ . . . (∵ π + θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত)
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Assertion-Reasoning

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি I। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি ।। সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): tanθ = ¹⁵/₈ এবং cosθ ঋণাত্মক হলে ^sin(-^θ^{) – cos}^θ/_tan(-_θ_{) + sec(-}_θ₎ -র মান-1।
বিবৃতি-II(R): θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত হলে এবং sec(θ) = ⁵/₃ হলে ^6tan^θ^{+ 5cos}^θ/_5cot_θ_{+ cosec}_θ -র মান 1।

Solution: বিবৃতি-I: tanθ = ¹⁵/₈ এবং cosθ ঋণাত্মক ।
∴ θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + (¹⁵/₈)² = 1 + ²²⁵/₆₄ = ²⁸⁹/₆₄
∴ secθ = –¹⁷/₈
বা, cosθ = –⁸/₁₇
sin²θ = 1 – cos²θ = 1 – (-⁸/₁₇)² = 1 – ⁶⁴/₂₈₉ = ^{289 – 64}/₂₈₉ = ²²⁵/₂₈₉
∴ sinθ = –¹⁵/₁₇
প্রদত্ত রাশি = ^{sin(-θ) – cosθ}/_{tan(-θ) + sec(-θ)}
= ^{-sinθ – cosθ}/_{-tanθ + secθ}
= ^{-(-15/17) – (-8/17)}/_{-15/8 + (-17/8)}
== ^{15/17 + 8/17}/_{-15/8 – 17/8}
= ^{15 + 8/17}/_{-15 – 17/8}
= ^23/17/_-32/8
== ²³/₁₇×⁸/_-32
= –²³/₆₈ ≠ 1 → বিবৃতিটি সঠিক নয়।

বিবৃতি-II: θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত।
secθ = ⁵/₃
∴ cosθ = ³/₅
tan²θ = 1 – sec²θ = 1 – (⁵/₃)² = 1 – ²⁵/₉ = ¹⁶/₉
∴ tanθ = –⁴/₃
বা, cotθ = –³/₄
cosecθ = ¹/_sinθ = ¹/_sinθ × ^cosθ/_cosθ = ^cotθ/_cosθ = ^-3/4/_3/5 = –⁵/₄
∴ ^{6tanθ + 5cosθ}/_{5cotθ + cosecθ}
= ^{6×(-4/3) + 5×(3/5)}/_{5×(-3/4) + (-5/4)}
== ^{-8 + 3}/_{-15/4 – 5/4}
= ^-5/_-20/4= 1 → বিবৃতিটি সঠিক।
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

2. বিবৃতি-I(A): 3[sin⁴ (^3π/₂ – x) + sin⁴ (3π + x)] – 2[sin⁶ (^π/₂ + x) + sin⁶ (5π – x)] এর মান x-নিরপেক্ষ।
বিবৃতি-II(R): ^{cos(2pπ ± π/₄)}/_{sin(qπ + (- 1)^q.π/4)}= 0 যেখানে p ও q যে-

কোনো অখণ্ড সংখ্যা।

Solution: বিবৃতি-I: 3[sin⁴ (^3π/₂ – x) + sin⁴ (3π + x)] – 2[sin⁶ (^π/₂ + x) + sin⁶ (5π – x)]
= 3[cos⁴ x + sin⁴ x] – 2[cos⁶x + sin⁶x]
= 3[(cos²x)² + (sin²x)²] – 2[(cos²x)³ + (sin²x)³]
== 3[(cos²x + sin²x)² – 2.cos²x.sin²x] – 2[(cos²x + sin²x)³ – 3.cos²x.sin²x.(cos²x + sin²x)]
= 3[(1)² – 2.cos²x.sin²x] – 2[(1)³ – 3.cos²x.sin²x.1]
= 3[1 – 2cos²x.sin²x] – 2[1 – 3cos²x.sin²x]
== 3 – 6cos²x.sin²x – 2 + 6.cos²x.sin²x
= 3 – 2 = 1 -ইহা x-নিরপেক্ষ। → সঠিক

বিবৃতি-II: p-এর যেকোনো মানের জন্য (2pπ ± ^π/₄) কোণটি প্রথম অথবা চতুর্থ পাদে অবস্থিত হবে।
∴ cos(2pπ ± ^π/₄) = cos ^π/₄ = ¹/_√2
আবার q-এর যেকোনো মানের জন্য qπ + (- 1)^q.^π/₄ কোণটি প্রথম অথবা দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত হবে।
∴ sin {qπ + (- 1)^q.^π/₄}
= sin ^π/₄ = ¹/_√2∴ ^{cos(2pπ ± π/₄)}/_{sin(qπ + (- 1)^q.^π/4)}
= ^1/√2/_1/√2 = 1 ≠ 0→ বিবৃতিটি সঠিক নয়।
Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি ।I সঠিক নয়।

3. বিবৃতি-I(A): x ও y-এর ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মান যথাক্রমে ^π/₁₂ ও ^π/₄ হবে যখন sin(x – y) = ¹/₂; cos(x + y) = ¹/₂
বিবৃতি-II(R): x ও y-এর ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সমাধানের জন্য (x – y) অপেক্ষা (x + y) -এর মান বেশি হতেই হবে।

Solution: sin(x – y) = ¹/₂
বা, sin(x – y) = sin30°
বা, x – y = 30° . . . (i)
এবং cos(x + y) = ¹/₂
বা, cos(x + y) = cos60°
বা, x + y = 60° . . . (ii)
  (i) + (ii) করে পাই,
    x – y + x + y = 30° + 60°
বা, 2x = 90°
বা, x = 45° = ^π/₄ (ii) নং থেকে পাই,
      45° + y = 60°
বা, y = 60° – 45°
বা, y = 15° = ^π/₁₂
x ও y-এর ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মান যথাক্রমে ^π/₄ও ^π/₁₂→ বিবৃতিটি সঠিক নয়
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

4. বিবৃতি-I(A): 2tan 1095° + cot 975° + tan(- 195°) = 4 – 2√3
বিবৃতি-II(R): tan 15° = 2 – √3

Solution: বিবৃতি-I: 2tan 1095° + cot 975° + tan(- 195°)
= 2tan(12×90° + 15°) + cot (11×90° – 15°) + tan(- 180° – 15°)
= 2tan15° + tan15° – tan15°
== 2tan15°
= 2tan(60° – 45°)
= 2×^{tan60° – tan45°}/_{1 + tan60°tan45°}
== 2×^{√3 – 1}/_{1 + √3.1}
= 2^{(√3 – 1)²}/_{(√3 + 1)(√3 – 1)}
= 2×^{3 + 1 – 2√3}/_{(√3)^² – (1)^²}
== 2×^{4 – 2√3}/₂
= (4 – 2√3) → বিবৃতিটি সঠিক
বিবৃতি-II: 2tan 15° = (4 – 2√3)
বা, 2tan 15° = 2(2 – √3)
বা, tan 15° = 2 – √3 →বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।

True and False

1. বিবৃতি-I: sin² 120° + cos² 150° + tan² 120° + cos 180° – tan 135° = ¹/₂
বিবৃতি-II: sin 420° cos 390° – cos(- 300°) sin(- 330°) = ¹/₂
Ⓐ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓑ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

Solution: বিবৃতি-I:sin² 120° + cos² 150° + tan² 120° + cos 180° – tan 135°
= sin² (180° – 60°) + cos² (180° – 30°) + tan² (180° – 60°) + cos (180° – 0°) – tan (180° – 45°)
= sin² 60° + (-cos30°)² + (-tan60°)² – cos0° + tan45°
== (^√3/₂)² + (-^√3/₂)² + (√3)² – 1 + 1
= ³/₄ + ³/₄ + 3
= ^{3 + 3 + 12}/₄
== ¹⁸/₄ = ⁹/₂≠ ¹/₂→ বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II:sin 420° cos 390° – cos(- 300°) sin(- 330°)
= sin(360° + 60°) cos (360° + 30°) + cos(300°)sin(330°)
= sin 60°. cos 30° + cos(360° – 60°).sin(360° – 30°)
== ^√3/₂×^√3/₂ – cos 60°.sin 30°
= ³/₄ – ¹/₂×¹/₂
= ³/₄ – ¹/₄ = ^{3 – 1}/₄ = ¹/₂→ বিবৃতিটি সত্যAns: Ⓓ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

2. বিবৃতি-I: cos² ^π/₈ + cos² ^3π/₈ + cos² ^5π/₈ + cos² ^7π/₈ = ¹/₂
বিবৃতি-II: cos 24° + cos 55° + cos 125° + cos 204° + cos 300° = –¹²/₁₃
Ⓐ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓑ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

Solution: বিবৃতি-I:cos² ^π/₈ + cos² ^3π/₈ + cos² ^5π/₈ + cos² ^7π/₈
= cos² ^π/₈ + cos² (π – ^5π/₈) + cos² ^5π/₈ + cos² (π – ^π/₈)
= cos² ^π/₈ + (-cos ^5π/₈)² + cos² ^5π/₈ + (-cos ^π/₈)²
== cos² ^π/₈ + cos² ^5π/₈ + cos² ^5π/₈ + cos ^π/₈²
= 2(cos² ^π/₈ + cos² ^5π/₈)
= 2[cos² ^π/₈ + cos² (^π/_{2 +}^π/₈)]
== 2[cos² ^π/₈ + sin² ^π/₈]
= 2.1 = 2 ≠ ¹/₂→ বিবৃতিটি মিথ্যা

বিবৃতি-II: cos 24° + cos 55° + cos 125° + cos 204° + cos 300°
= cos 24° + cos 55° + cos (180° – 55°) + cos(180° + 24°) + cos(360° – 60°)
= cos 24° + cos 55° – cos55° – cos24° + cos60°
== cos60°
= ¹/₂ ≠ –¹²/₁₃→ বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓑ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

3. cosec(α – β) = ²/_√3 এবং sec(α + β) = √2 হলে
বিবৃতি-I: α -এর -ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মান 187¹/₂°
বিবৃতি-II: β -এর ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মান 172 ¹/₂°
Ⓐ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓑ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

Solution: cosec(α – β) = ²/_√3
বা, cosec(α – β) = cosec60°
বা, α – β = 60° …….. (i)
এবং sec(α + β) = √2
বা, sec(α + β) = sec45°
বা, sec(α + β) = sec(360 – 45°)
      . . . [∵ α – β = 60° ∵ α + β ≥ 60°]
বা, sec(α + β) = sec315°
বা, α + β = 315° . . . (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
     α – β + α + β = 60° + 315°
বা, 2α = 375°
বা, α = 187¹/₂°
∴ β = 315° – ³⁷⁵/₂°
        = ^{630° – 375}/₂° = ²⁵⁵/₂° = 127¹/₂°
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

4. x ও y-এর ধনাত্মক ক্ষুদ্রতম মানের জন্য, tanx + tany = 2, 2cosx cosy = 1 সমীকরণদ্বয় বিবেচনা করো।
বিবৃতি-I: x-এর ক্ষুদ্রতম মান ^π/₄
বিবৃতি-II: y-এর ক্ষুদ্রতম মান ^π/₃
Ⓐ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓑ বিবৃতি I ও বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

Solution: tanx + tany = 2
বা, ^sinx/_cosx + ^siny/_cosy = 2
বা, ^{sinx cosy + siny cosx}/_{cosx cosy} = 2
⇒ ^{sin(x + y)}/_{2cosx cosy} = 1 . . . [∵ 2cosx cosy = 1]
⇒ sin(x + y) = 1
বা, sin(x + y) = sin ^π/₂
বা, x + y = ^π/₂আবার, 2cosx cosy = 1
বা, 2cosx cos(^π/₂ – x) = 1
বা, 2cosx sinx = 1
⇒ sin2x = sin ^π/₂
বা, 2x = ^π/₂
বা, x = ^π/₄ ∵ x + y = ^π/₂
⇒ ^π/₄ + y = ^π/₂
⇒ y = ^π/₂ – ^π/₄ = ^π/₄
∴ x = ^π/₄, y = ^π/₂Ans: Ⓒ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

Diagram/Chart Based

Solution: x প্রথম পাদে অবস্থিত।
তাই sinx, cosx, tanx প্রত্যেকেই ধনাত্মক।
Ans: Ⓓ সবকটিই

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Case Based

1. [i] একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি হল A, B, C I
            sinB cos(C + A) + cos B sin(C + A)
Ⓐ 1       Ⓑ 0
Ⓒ sinA       Ⓓ cosA

Solution: ত্রিভুজের তিনটি কোণ হল A, B, C
∴ A + B + C = π
∴ sinB cos(C + A) + cos B sin(C + A)
= sin{π – (C + A)} cos(π – B) + cos B sin(C + A)
=sin(C + A) (-cosB) + cos B sin(C + A)
= -sin(C + A) cosB + cos B sin(C + A) = 0
Ans: Ⓑ 0

1. [ii] একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি হল A, B, C I
             ^{cos A cos C + cos(A + B) cos(B + C)}/cos A sin C – sin(A + B) cos(B + C) =
Ⓐ cot A        Ⓑ cot B
Ⓒ cot C        Ⓓ 0

Solution: ত্রিভুজের তিনটি কোণ হল A, B, C
∴ A + B + C = π
∴ ^{cos A cos C + cos(A + B) cos(B + C)}/_{cos A sin C – sin(A + B) cos(B + C)}
= ^{cos A cos C + cos(π – C) cos(π – A)}/_{cos A sin C – sin(π – C) cos(π – A)}
⇒ ^{cos A cos C + cosC cosA}/_{cos A sin C + sin C cos A}
= ^{2cos A cos C}/_{2cos A sin C}
= ^{cos C}/_{sin C} = cotC
Ans: Ⓒ cot C

1. [iii] একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি হল A, B, C I
              ^{tan(B + C) + tan(C + A) + tan(A + B)}/_{tan(π – A) + tan(2π – B) + tan(3π – C)} =
Ⓐ 0                Ⓑ 1
Ⓒ tan A        Ⓓ tan B

Solution: ত্রিভুজের তিনটি কোণ হল A, B, C
∴ A + B + C = π
∴ ^{tan(B + C) + tan(C + A) + tan(A + B)}/_{tan(π – A) + tan(2π – B) + tan(3π – C)}
= ^{tan(π – A) + tan(π – B) + tan(π – C)}/_{-tanA – tanB – tanC}
⇒ ^{-tanA – tanB – tanC}/_{-tanA – tanB – tanC}
= 1
Ans: Ⓑ 1

2.[i] একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরপর চারটি কোণ A, B, C এবং D
            tan A + tan B + tan C + tan D =
Ⓐ tanA                      Ⓑ tan(A + D)
Ⓒ tan(2π – D)        Ⓓ 0

Solution: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের চারটি কোণ হল A, B, C এবং D
∴ A + C = π এবং B + D = π
∴ tan A + tan B + tan C + tan D
= tan (π – C) + tan (π – D) + tan C + tan D
= – tanC – tanD + tan C + tan D = 0
Ans: Ⓓ 0

2.[ii]একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরপর চারটি কোণ A, B, C এবং D
            cos(180° – A) + cos(180° + B) + cos(180° + C) – sin(90° + D) =
Ⓐ 0      Ⓑ 1
Ⓒ 2     Ⓓ π

Solution: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের চারটি কোণ হল A, B, C এবং D
∴ A + C = 180° এবং B + D = 180°
∴ cos(180° – A) + cos(180° + B) + cos(180° + C) – sin(90° + D)
= – cosA – cosB – cosC – cosD
⇒ – cos(180° – C) – cos(180° – D) – cosC – cosD
= cosC + cosD – cosC – cosD
= 0
Ans: Ⓐ 0

2.[ii]একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরপর চারটি কোণ A, B, C এবং D
cos A + cos B + cos C + cos D =
Ⓐ cos ^{(A + C)}/₂
Ⓑ sin ^{(B + D)}/₂
Ⓒ π Ⓓ 0

Solution: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের চারটি কোণ হল A, B, C এবং D
∴ A + C = 180° এবং B + D = 180°
∴ cos (180° – C) + cos (180° – D) + cos C + cos D
= – cosC – cosD + cos C + cos D = 0
Ans: Ⓓ 0

PERMUTATION →

← VARIABLE AND CONSTANT

Tag: SOLUTION OF ASSOCIATED ANGLES S N DEY SEMESTER 1 সংযুক্ত কোণ