SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্স

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1

SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION — **SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1**

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t-এর সমান হয়, তবে A-কে বলা হবে —
Ⓐ প্রতিসম Ⓑ একক ম্যাট্রিক্স Ⓒ বিপ্রতিসম Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Ans: Ⓐপ্রতিসম

2. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A’ হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি —
Ⓐ A^t = -A হয় Ⓑ AA^t = A হয় Ⓒ A^tA = A হয় Ⓓ A^-1 হয়
Ans: Ⓐ A^t = -A হয়

3. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং I একই ক্রমের একক ম্যাটিক্স হলে, A.I =
Ⓐ A Ⓑ A^t Ⓒ -A Ⓓ A.A^t
Ans: Ⓐ A
Solution: ∵ AI = IA =A

4. যদি A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = i + 2j তবে A হবে —

\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 0\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়। \(\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)

Solution:   [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = i + 2j
∴ a₁₁ = 1 + 2.1 = 3;   a₁₂ = 1 + 2.2 = 5;
a₂₁ = 2 + 2.1 = 4;   a₂₂ = 2 + 2.2 = 6;

5. যদি A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে-

\(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad Ⓓ \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\)

Solution: A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = ¹/₂(i + 2j)²
∴ a₁₁ = ¹/₂(1 + 2.1)²= ⁹/₂;
a₁₂ = ¹/₂(1 + 2.2)²= ²⁵/₂;
a₂₁ = ¹/₂(2 + 2.1)²= 8;
a₂₂ = ¹/₂(2 + 2.2)²= 18;

6. যদি A = [a_ij] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = 3i – 2j তবে A হবে —

\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\)

Solution: A = [a_ij] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = 3i – 2j
∴ a₁₁ = 3.1 – 2.1 = 1;   a₁₂ = 3.1 – 2.2 = -1;
a₂₁ = 3.2 – 2.1 = 4;   a₂₂ = 3.2 – 2.2 = 2;
a₃₁ = 3.3 – 2.1 = 7;   a₃₂ = 3.3 – 2.2 = 5;

7. যদি A = [a_ij] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = ¹/₂|3i – 4j| তবে A হবে —

\(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 5\quad9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\)

Solution: A = [a_ij] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = ¹/₂|3i – 4j|

∴ a₁₁ = ¹/₂|3.1 – 4.1| = ¹/₂|– 1| = ¹/₂;
a₁₂ = ¹/₂|3.1 – 4.2| = ¹/₂|– 5| = ⁵/₂;
a₁₃ = ¹/₂|3.1 – 4.3| = ¹/₂|– 9| = ⁹/₂;
a₂₁ = ¹/₂|3.2 – 4.1| = ¹/₂|2| = 1;
a₂₂ = ¹/₂|3.2 – 4.2| = ¹/₂|– 2| = 1;
a₂₃ = ¹/₂|3.2 – 4.3| = ¹/₂|– 6| = 3

8. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A² হবে —

Ⓐ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Ⓒ একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

9. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A এর অনুরূপ পদের K গুণ।
Ⓑ A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
Ⓒ A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
Ⓓ দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

Ans: Ⓐ K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A এর অনুরূপ পদের K গুণ।

10. যদি \(\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\3\quad\quad\quad y\end{bmatrix}\)

হয়, তবে x-এর মান হবে —
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3

Ans: Ⓒ 2
Solution: y = -2;
2x – y = 6
⇒ 2x = 6 – 2 = 4
⇒ x = 2

11. যদি \(\begin{bmatrix}1\quad 4\\2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}\ (y \lt 0) \)

হয়, তবে x – y + z এর মান হবে —
Ⓐ 5 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ -3

Ans: Ⓐ5
Solution: x = 1; z = 2
y² = 4 ⇒ y = ±2
∵ y < 0 ∴ y = -2 ;
∴ x – y + z =1 + 2 + 2 = 5

12. যদি \(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}\)

তবে B ম্যাট্রিক্সটি হবে —

\(Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}0\quad 6\\-3\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7 \end{bmatrix}\)

\(Solution:\ B=(2A-3B)–2(A-2B)\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\quad -10\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)

13. যদি \(A=\begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\)

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) হবে — [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স]
Ⓐ A             Ⓑ I                 Ⓒ 0                Ⓓ 5I
Ans:   Ⓒ   0
Solution:   (A – 2I)(A – 3I)

\(=\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\\=\begin{bmatrix}2\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓒ\)

14. যদি \(A=\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\)

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
2. নির্ণায়ক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A² = I হয়, তবে
Ⓐ 1 + x² + yz = 0        Ⓑ 1 – x² + yz = 0
Ⓒ 1 – x² – yz = 0          Ⓓ 1 + x² – yz = 0
Ans:   Ⓒ 1 – x² – yz = 0
Solution:  A² = I

\(⇒\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad 0\\0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ x² + yz = 1
⇒ 1 – x² – yz = 0

15. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
Ⓐ A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ⓑ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
Ⓒ দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
Ⓓ ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।
Ans: Ⓓ ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

16. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে —
    Ⓐ কর্ণ ম্যাট্রিক্স       Ⓑ বর্গ ম্যাট্রিক্স
   Ⓒ শূন্য ম্যাট্রিক্স        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:   Ⓒ শূন্য ম্যাট্রিক্স
Solution:   A ম্যাট্রিক্স প্রতিসম ∴ A = A^T
আবার A ম্যাট্রিক্স বিপ্রতিসম ∴ A = -A^T
∴ A = -A    বা, 2A = 0     বা, A = 0

17. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A তবে (I + A)³ – 7A এর মান হবে —
     Ⓐ A                Ⓑ I – A
     Ⓒ I                  Ⓓ 3A
Ans:   Ⓒ I

Solution: (I + A)³ – 7A
= (I + A) (I + A) (I + A) – 7A
= (I² + IA + AI + A²) (I + A) – 7A
⇒ (I + A + A + A) (I + A) – 7A . . . [∵IA = AI = A, I²= I এবং A² = A]
⇒ (I + 3A) (I + A) – 7A
= I² + IA + 3AI + 3A² – 7A
= I + A + 3A + 3A – 7A = I

18. যদি \(A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}\) ও \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}\)

এবং 2A + B + X = 0 হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স হল —

\(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\7\quad -13\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad 13\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয় \(\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\)

Solution: 2A + B + X = 0

\(⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 2\\7\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\∴X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}→Ⓐ\)

\(19.\ A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}\) এবং \(A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\) হলে \(Ⓐ B=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓑ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad -2\end{bmatrix}\\Ⓒ B=\begin{bmatrix}4\quad 2\\2\quad 5\end{bmatrix}\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\)

Solution: A = 3(A – 2B) – 2(A – 3B)

\(=3\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-21\quad 21\\12\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-22\quad 18\\8\quad -26\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}→ Ⓓ\)

20. A = [1      2      3] হলে AA^T হবে —
     Ⓐ [12]              Ⓑ [13]
     Ⓒ [14]                Ⓓ [16]
Ans:   Ⓒ     [14]
Solution:

\(\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}\\=[1+4+9]=[14]→Ⓒ\)

\(21. \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\) এর মান হবে –

Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]
Ⓑ [ax²+by²+cz²+2fxy+2hyz+2gzx]
Ⓒ [ax²+by² + cz²+2gxy+2hyz+2fzx]
Ⓓ [ax²+by² + cz²+2hxy+2gyz+2fzx]
Ans: Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]

\(Solution:\ \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}ax+hy+gz\quad hx+by+fz\quad gx+fy+cz\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)

= [ax²+hxy+gzx+hxy+by²+fyz+gzx+fyz+cz²]
= [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx] → Ⓐ

22. a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0 সমীকরণদ্বয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX + C = 0 যেখানে —

\(Ⓐ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓑ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓒ\ A =\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓓ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_2\\c_1\end{bmatrix}\\Ans:\ ⒸA=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)

Solution:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
এবং AX + C = 0

\(∴A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)

23. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
Ⓐ A. B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB তাহলে সর্বদা A = B হবে।
Ⓑ যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
Ⓒ A ≠ 0 ও B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
Ⓓ একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AA^T = A^TA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।
Ans: Ⓐ A. B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB তাহলে সর্বদা A = B হবে।

\(24.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\) হলে, \(A – A^T \) ম্যাট্রিক্সটি হবে —

    Ⓐ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স                  Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    Ⓒ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স             Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:   Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Solution:

\(\quad A-A^T=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad 0\end{bmatrix}→Ⓑ\)

25. যদি A = [a_ij] একটি n ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে —
    Ⓐ a_ij = 1/a_ij ∀ i, j      Ⓑ a_ij ≠ 0 ∀ i, j
    Ⓒ a_ij = 0 যেখানে i = j       Ⓓ a_ij ≠ 0 যেখানে i = j
Ans:   Ⓒ a_ij = 0 যেখানে i = j
Solution:

3 ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}0\quad 2\quad -3\\-2\quad 0\quad 4\\3\quad -4\quad 0\end{bmatrix}\)

26. যদি \(2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)

হয়, তবে x ও y এর মান —
Ⓐ x = 9, y = 2 Ⓑ x = 2 , y = 9
Ⓒ x = 3 , y = 7 Ⓓ x = 7, y = 3
Ans: Ⓑ x = 2, y = 9
Solution:

\(\ 2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)

∴ 2x + 3 = 7
বা, x = 2;
2y – 4 = 14
বা, y = 9

\(27.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\) হলে AB – 2B =

\(Ⓐ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad -6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 1\quad 14\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\-4\quad 2\quad 4\\1\quad 14\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\)

Solution: AB – 2B

\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓓ\)

\(28.\ A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\)

হলে, A² + 3A + 5I =

\(Ⓐ\begin{pmatrix}8\quad 3\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}3\quad 8\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-1\quad -12\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)

Solution: A² + 3A + 5I

\(=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 6\\-9\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}→Ⓑ\)

29. যদি \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

হয়, তবে k -এর মান কত হলে A² = 8A + KI হবে?
Ⓐ 6 Ⓑ -6 Ⓒ -7 Ⓓ 7
Ans: Ⓒ -7
Solution: A² = 8A + KI

\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\quad 0\\0\quad k\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8+k\quad 0\\8\quad 56+k\end{bmatrix}\)

∴ 8 + k = 1
⇒ k = -7

30. যদি \(A=\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}\)

এবং A³ + A = 0 হয়, তাহলে x এবং y এর মধ্যে সম্পর্ক (x, y ≠ 0) হল —
    Ⓐ xy = 1          Ⓑ x = y
    Ⓒ xy + 1 = 0         Ⓓ xy + 2 = 0
Ans: Ⓒ xy + 1 = 0
Solution:   A³ + A = 0

\(⇒\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}xy\quad 0\\0\quad xy\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y\\xy^2\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y+x\\xy^2+y\quad 0\end{pmatrix}=0\)

∴ x²y + x = 0
⇒ x(xy +1) = 0
⇒ xy + 1 = 0 . . . [∵ x ≠ 0]

\(31.\ A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\)

হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স কী হবে যাতে 3A – 2X = B হয়?

\(Ⓐ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad -\frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad 2\quad -2\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\)

Solution: 3A – 2X = B
⇒ 2X = 3A – B

\(⇒2X=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2X=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad 6\quad 10\\-7\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒X=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}→ Ⓑ\)

\(32.A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং B=\(\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)

হলে, AB =
Ⓐ 0 Ⓑ I Ⓒ 2I Ⓓ 3I

\(Solution:\ AB=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=I → Ⓑ\)

\(33.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\)হলে \(AA^T=\)

\(Ⓐ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\)

\(Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\\ Solution:\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}→Ⓓ\)

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1

\(34.\ A=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}\)

হলে A² – 4A + 3I =

\(Ⓐ\begin{pmatrix}2\quad 3\\6\quad 5\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\ Ⓒ\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

Solution: A² – 4A + 3I

\(=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}- 4\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad -4\\-4\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\quad -4\\-4\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}→Ⓑ\)

\(35.\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)

হলে x-এর মান —
Ⓐ x = 2, 7 Ⓑ x = – 2, – 14
Ⓒ x = – 2, 10 Ⓓ x = – 2, 14
Ans: Ⓑ x = – 2, – 14
Solution:

\(\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)

⇒ [2x + 16 + 10x + 12 + x² + 4x] = 0
⇒ [x² + 16x + 28] = 0
∴ x²+ 16x + 28 = 0
⇒ x²+ 14x + 2x + 28 = 0
⇒ (x + 14)(x + 2) = 0
∴ x = -14, -2

\(36.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\)

হলে A² – 4A + 3I =

\(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয় \(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\)

Solution: A² – 4A + 3I

\(=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad 0\quad 4\\4\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}→ Ⓑ\)

37. প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)

x-এর যে মানের জন্য AB = BA হবে, তা হল —
Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3

Ans: Ⓐ 0
Solution: AB = BA

\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)

∴ x= – x
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0

\(38.\ A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)

\(⇒\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+1\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad 12\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix} \\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}\)

∴ 2x + 3 = 3
⇒ x = 0

\(39.A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)

এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে, I + A = (I – A)K যেখানে

\(Ⓐ\begin{bmatrix}cosα\quad sinα\\-sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}sinα\quad -cosα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}sinα\quad sin2α\\cosα\quad cos2α\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)

Solution: I + A = (I – A)K

\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}=\left( \begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix} \right)k\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}k\)

\(⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{bmatrix}(let)\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+ctan\frac{α}{2}\quad b+dtan\frac{α}{2}\\-atan\frac{α}{2}+c\quad -btan\frac{α}{2}+d\end{bmatrix}\)

∴ a + c tan ^α/₂ = 1 . . . . (i)
b + d tan ^α/₂ = -tan ^α/₂ . . . . (ii)
c – a tan ^α/₂ = tan ^α/₂ . . . . (iii)
d – b tan ^α/₂ – 1 . . . . (iv)
(i)×tan ^α/₂ + (iii) করে পাই,
a tan ^α/₂ + c tan² ^α/₂ + c – a tan ^α/₂ = tan ^α/₂ + tan ^α/₂
⇒ c(1 + tan² ^α/₂) = 2tan ^α/₂
⇒ c sec² ^α/₂ = 2tan ^α/₂

\(⇒c=\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}×cos^2\frac{α}{2}\\⇒c=2sin\frac{α}{2}×cos\frac{α}{2}\\⇒c=2sin2.\frac{α}{2}=sinα\)

\(\quad a+sinα.tan\frac{α}{2}=1\\⇒a=1-2sin\frac{α}{2}.cos\frac{α}{2}.\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}\\⇒a=1-2sin^2\frac{α}{2}=cos2.\frac{α}{2}=cosα\)

Click here to visit our Facebook

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

Ans: Ⓐ B²
Solution: B = BA = B(AB) = (BA)B = B.B = B²

3. যদি \(A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(f(x)=1+x+x^2+ ….. + x^{20}\)

হয়, তবে 3. f(A) = ___________

\(Ⓐ\quad 0\quad Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 1\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\)

Solution: f(A)= 1 + A + A² + . . . . . + A²⁰

\(A^2=\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\ 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴ f(A)= 1.I +\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix} + 0 +. . . . . + 0\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\ 0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}→Ⓒ\)

4. যদি \(A=\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}\)

, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X = ___________ যখন 3A + 4B = 2X হয়

\(Ⓐ\begin{pmatrix}9\quad 18\\35\quad 27\end{pmatrix}Ⓑ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 17\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}Ⓓ\begin{pmatrix}18\quad 9\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\)

Solution: 3A + 4B = 2X

\(⇒ 3\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}=X\)

\(5.A=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)

হলে AA^T = ___________

\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\4\quad 2\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\3\quad 6\quad 9\\2\quad 4\quad 6\end{bmatrix}Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\9\quad 6\quad 3\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)

\(Solution:\\AA^T =\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix} → Ⓐ\)

\(6.A=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 5\quad 7\end{pmatrix}\)

হলে AB = ___________

\(Ⓐ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad -5\quad 7\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়\(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)

\(Solution:\\AB =\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix} → Ⓑ\)

\(7.P=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)

\(P^2=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}→ Ⓑ\)

8. α – β = = (2n + 1)^π/₂ , n ∈ Z হলে,

\(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}\) এবং \(\quad \begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\)

ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হবে ___________
Ⓐ I            Ⓑ 0
Ⓒ (cos² α + sin² β)             Ⓓ (sin² α + cos² β)
Ans:   Ⓑ   0
Solution:

\(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cos^2αcos^2β+cos α sin α cos β sin β\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cosαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad cosαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\\sinαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad sinαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix}cosαcosβcos⁡(α-β)\quad cosαsinβcos⁡(α-β)\\sinαcosβcos⁡(α-β)\quad sinαsinβcos⁡(α-β)\end{pmatrix}\\=cos⁡(α-β)\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos⁡(2n + 1)\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos⁡(nπ+\frac{π}{2})\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=±cos⁡\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=0\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}=0 → Ⓑ\)

\(9.A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\)

হলে, A² – 4A – ___________ I = 0

যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

\(A^2-4A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=5I\)

\(10.X^2=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)

\(⇒\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k-2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)

∴ 3k – 2 = 1
⇒ 3k = 3 ⇒ k = 1

এই প্রশ্নমালার পরবর্তী অঙ্কগুলির জন্য PART 2 দেখো →

← INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক

MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION

Tag: SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্স