Tag: RELATIONS AND FUNCTIONS COMPOSITION OF FUNCTIONS Textbook Class 12 Semester 3 S N Dey Mathematics

SOLUTION OF COMPOSITION OF FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)        প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট); তাহলে (f০f)(x) হবে —
Ⓐ 7x – 8       Ⓑ 9x – 7
Ⓒ 9x – 8       Ⓓ 8x – 9

Solution: f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x – 2
∴(f০f)(x) = f{f(x)}= f(3x – 2)
    = 3(3x – 2) – 2 = 9x – 6 – 2 = 9x – 8
Ans:  Ⓒ 9x – 8

2. সব বাস্তব সংখ্যার সেট R -এর ওপর f এবং g অপেক্ষক দুটি f(x) = cos x ও g(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে (f০g)(x) হবে —
Ⓐ cos² x      Ⓑ cos x²
Ⓒ sin² x       Ⓓ sin x²

Solution:  f(x) = cos x ও g(x) = x²
∴ (f০g)(x) = f{g(x)}= f(x²) = cos x²
Ans:  Ⓑ cos x²

3. যদি f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x + 2 এবং g(x) = 2x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত হয় (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট), তবে নীচের কোনটি (g০f)(x) -এর মান বলো?
Ⓐ 6x – 7     Ⓑ 6x + 1
Ⓒ 3x + 5    Ⓓ 6x + 4

Solution: f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x + 2 এবং g(x) = 2x – 3
∴ (g০f)(x) =  g{f(x)} = g(3x + 2)
     = 2(3x + 2) – 3 = 6x + 4 – 3 = 6x + 1
Ans:  Ⓑ 6x + 1

4. মনে করো, সব বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R → R ও g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 5 – x²এবং g(x) = 3x – 4 দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে, নীচের কোনটি (f০g)(-1) -এর মান হবে?
Ⓐ 8     Ⓑ -44   Ⓒ 54    Ⓓ 16

Solution:  f: R → R ও g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 5 – x² এবং g(x) = 3x – 4
∴ g(-1) = 3.(-1) – 4= -3 – 4 = -7
∴ (f০g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)
     = 5 – (-7)² = 5 – 49 = -44
Ans:  Ⓑ -44

5. যদি g(x) = x² + x – 2 এবং (g০f)(x) = 2(2x² – 5x + 2) হয়, তবে f(x) =
Ⓐ 2x – 3     Ⓑ 2x + 3
Ⓒ 2x² + 3x + 1
Ⓓ 2x² – 3x – 1

Solution: g(x) = x² + x – 2 . . . (i)
    (g০f)(x) = 2(2x² – 5x + 2)
⇒ g[f(x)] = 4x² – 10x + 4
⇒ g[f(x)] = (2x)² – 2.2x.3 + 3² + 2x – 5
⇒g[f(x)] = (2x – 3)² + (2x – 3) -2 . . . (ii)
(ii) ও (ii) নং তুলনা করে পাই,
f(x) = (2x – 3)
Ans: Ⓐ 2x – 3

6. যদি f(x) = sin² x এবং g(f(x)) = |sin x| হয়, তবে g(x) =

Solution: f(x) = sin² x এবং
    g(f(x)) = |sin x|
⇒ g(sin² x) = |sin x|
ধরি, sin² x = y
∴ g(y) = |±√y| = √y
∴ g(x) = √x
Ans: Ⓑ √x

7. মনে করো, সব x ∈ Q এর জন্য f: Q → Q অপেক্ষকটি f(x) = 2x + 5 দ্বারা সংজ্ঞাত। যদি ( g০f) = I_Q হয়, তবে g: Q → Q অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ ¹/₂(x+5)   Ⓑ¹/₂(x-5)
Ⓒ 2(x + 5)   Ⓓ 2(x – 5)

Solution: f(x) = 2x + 5
∵ (g০f) = I_Q
∴ (g০f)(x) = x
⇒ g[f(x)] = x
⇒ g[2x + 5] = x . . . (i)
ধরি, 2x + 5 = y
বা, x = ^{y – 5}/₂
(i) থেকে পাই,
   g(y) = ^{y – 5}/₂
∴ g(x) = ^{x – 5}/₂
Ans:  Ⓑ ¹/₂(x-5)

8. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 4x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত। যদি (g০f)(x) = 8x – 1 হয়, তবে g: R → R অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ 2x – 5    Ⓑ 2x + 5
Ⓒ 2x + 7    Ⓓ – 2x + 5

Solution:  f(x) = 4x – 3
   (g০f)(x) = 8x -1
⇒ g[f(x)] = 8x -1
⇒ g[4x – 3] = 8x -1 . . . (i)
ধরি, 4x – 3 = y
বা, x = ^{y + 3}/₄
(i) থেকে পাই,
g(y) = 8. ^{y + 3}/₄  – 1
   = 2y + 6- 1
   = 2y + 5
∴ g(x) = 2x + 5
Ans: Ⓑ 2x + 5

9. মনে করো, f: R → R অপেক্ষকটি f(x) = x + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত।
(g০f)(x) = x² + 3x + 3 হয়, তবে g: R → R অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ x² – x – 1
Ⓑ x² – x + 1
Ⓒ x² + x – 1
Ⓓ x² + x + 1

Solution:  f(x) = x + 1
∴ (g০f)(x) = x² + 3x + 3
⇒ g[f(x)] = x² + 3x + 3
⇒ g(x  + 1) = x² + 3x + 3 . . . (i)
ধরি, x  + 1 = y
বা, x = y – 1
(i) নং থেকে পাই,
g(y) = (y – 1)² + 3(y – 1) + 3
       = y² – 2y + 1 + 3y – 3 + 3
       = y² + y + 3
∴ g(x) = x² + x + 3
Ans: Ⓓ x² + x + 1

10. f: R → R এবং g: R → R দুটি অপেক্ষক এমন যে (g০f)(x) = sin² x এবং (f০g)(x) = sin(x²) ; f(x) এবং g(x) যথাক্রমে হবে —
Ⓐ x², sin x    Ⓑ sin x, x²
Ⓒ sin x², x    Ⓓ x, sin x²

Solution: (g০f)(x) = sin² x     ⇒ g[f(x)] = sin² x . . . (i)
     (f০g)(x) = sin(x²) ⇒ f[g(x)] = sin(x²) . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
f(x) = sinx এবং g(x) = x²
Ans:  Ⓑsin x, x²

11. যদি ƒ বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক, যা f(x) = [x] দ্বারা সংজ্ঞাত এবং g মডিউলাস অপেক্ষক, যা g(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞাত হয়, তবে g০f(-⁵/₄) =
Ⓐ 1          Ⓑ 2    
Ⓒ 0        Ⓓ 3

Solution: f(x) = [x] = [-⁵/₄] = [-1.25] = -2
∴ g০f(-⁵/₄) =  g[f(-⁵/₄)] = g(-2) = |-2| = 2
Ans: Ⓑ   2

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
• 2. নির্ণায়ক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ______________

1. মনে করো . f: R → R এবং g: R → R} চিত্রণ দুটি যথাক্রমে f(x) = 2x + 1 ও g(x) = x² – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে (g০f)(x) = ______________ এবং ( f০g)(x) = ______________।
Ⓐ 4x² + 4x – 1 , 2x² + 3
Ⓑ 4x² + 4x + 1 , 2x + 3
Ⓒ 4x² + 4x + 1 , 2x² – 3
Ⓓ 4x² + 4x – 1 , 2x² – 3

Solution:  (g০f)(x) =  g[f(x)] = g(2x + 1)
= (2x + 1)² – 2 = 4x² + 4x + 1 – 2
= 4x² + 4x – 1
   (f০g)(x) =  f[g(x)] = f(x² – 2)
= 2(x² – 2) + 1 = 2x² – 3
Ans: Ⓓ 4x² + 4x – 1, 2x² – 3

2. মনে করো, সব x ∈ R এর জন্য  f: R → R অপেক্ষক f(x) = ax + b দ্বারা সংজ্ঞাত; যদি (f০f) = I_R হয়, তবে a = ______________ ও b = ______________
Ⓐ 1, -1      Ⓑ -1, 0
Ⓒ 1, সকল বাস্তব সংখ্যা
Ⓓ -1, সকল বাস্তব সংখ্যা

Solution: ∵(f০f) = I_R
⇒ f[f(x)] = x
⇒ f(ax + b) = x
⇒a(ax + b) + b = x
⇒ a²x + ab + b = x
এটি একটি অভেদ।
∴ a² = 1  ⇒ a = ±1  এবং ab + b = 0
a = 1 হলে, 1.b + b = 0 বা, 2b = 0 বা, b = 0
 আবার a = -1 হলে,
-1.b + b = 0
বা, b.0 = 0
∴ b যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
Ans:  Ⓓ -1, সকল বাস্তব সংখ্যা

3. f(x) = {x, যখন x ∈ Q
                     {1 – x, যখন x ∉ Q হলে,
(fof)(x) = ______________
Ⓐ 1 – x      Ⓑ x
Ⓒ 1            Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  x ∈ Q হলে,
(fof)(x) = f[f(x)]
= f(x) = x
x ∉ Q হলে,
(fof)(x) = f[f(x)]
= f(1 – x)
= 1 – (1 – x) = x
∴ (fof)(x) = x
Ans: Ⓑ x

Click here to visit our Facebook

Column Matching

1. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং f: A → A ও g: A → A চিত্রণ দুটি নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 2, f(4) = 1 এবং
g(1) = 2, g(2) = 4, g(3) = 1, g(4) = 3;
A স্তম্ভের সঙ্গে B স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [a], [ii] — [b],[iii] — [c], [iv] — [d]
Ⓑ [i] — [d], [ii] — [b], [iii] — [c], [iv] — [a]
Ⓒ [i] — [d], [i] — [c], [ii] — [b], [iv] — [a]
Ⓓ [i] — [d], [ii] — [b], [iii] — [b], [iv] — [b]

Solution:  [i] (g০f)(4) = g[f(4)] = g(1) = 2 → [a]
[ii] (f০g)(1) = f[g(1)] = f(2) = 4 → [b]
[iii] (g০f)(3) = g[f(3)] = g(2) = 4 → [c]
[iv] (f০g)(2) = f[g(2)] = f(4) = 1 → [d]
Ans:  Ⓐ [i] — [a], [ii] — [b], [iii] — [c], [iv] — [d]

2. মনে করো, f: R→R এবং g: R→R অপেক্ষক দুটি f(x) = 3x – 2 এবং g(x) = 3|x| – x² দ্বারা সংজ্ঞাত।
A স্তম্ভের সঙ্গে B স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [c]
Ⓑ [i] — [b], [i] — [c], [iii] — [a], [iv] — [d]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [d]
Ⓓ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [a]

Solution:  f(x) = 3x – 2 এবং g(x) = 3|x| – x²
[i] (g০f)(-1) = g[f(-1)] = g[3(-1) – 2]
= g(-5) = 3|-5| – (-5)²
= 3.5 – 25 = 15 – 25 = -10 → [b]
[ii] (f০g)(-2) = f[g(-2) = f[3|-2| – (-2)²]
= f[3.2 – 4] = f(2)
= 3.2 – 2 = 6 – 2 = 4 → [a]

[iii] (g০f)(3) = g[f(3)] = g[3(3) – 2]
= g(7) = 3|7| – (7)² = 3.7 – 49
= 21 – 49 = -28 → [c]
[ii] (f০g)(4) = f[g(4) = f[3|4| – (4)²]
= f[3.4 – 16] = f(-4) = 3.(-4) – 2
= -12 – 2 = -14 → [d]
Ans:  Ⓒ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [d]

Relationship between Statements __________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

1. বিবৃতি-A: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² হলে (g০f)(x) ≠ (f০g)(x)
বিবৃতি-B: যে-কোনো দুটি অপেক্ষক ƒ ও g-এর ক্ষেত্রে সর্বদা f০g = g০f

Solution: বিবৃতি A:(g০f)(x) = g[f(x)] = g(2x + 1)
= (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
(f০g)(x) = f[g(x)] = f(x²) = 2x² + 1
∴ (g০f)(x) ≠ (f০g)(x) → বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি B: বিবৃতি B মিথ্যা।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: f: A → B এবং g: B → A যেখানে f০g = I_B,  তাহলে f একটি উপরিচিত্রণ ও g একটি এক-এক চিত্রণ।
বিবৃতি-B: f, g, h তিনটি অপেক্ষক হলে h০(g০f) ≠ (h০g)০f

Solution: বিবৃতি-A: ∵ f০g = I_B ⇒ f একটি উপরিচিত্রণ এবং f০g = I_B ⇒ g একটি এক-এক চিত্রণ। → বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি-B:   তিনটি অপেক্ষক f, g, h-এর ক্ষেত্রে অপেক্ষকসমূহের সংযোজন সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।
অর্থাৎ h০(g০f) = (h০g)০f
∴ h০(g০f) ≠ (h০g)০f বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Assertion-Reasoning __________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ  বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): (g০f) -এর অস্তিত্ব থাকবে যখন f অপেক্ষকের পাল্লা, g অপেক্ষকের ক্ষেত্রের একটি উপসেট হয়।
বিবৃতি-II(R): f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে h: (gof): C → A ∀x ∈ A

Solution:  বিবৃতি I: বিবৃতি I সত্য।
বিবৃতি II: f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে h: (gof): A → C ∀x ∈ A হয়। → বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

2. বিবৃতি-I(A): f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে fog = gof)
বিবৃতি-II(R): দুটি বাইজেকটিভ অপেক্ষকের সংযোজনের দ্বারা প্রাপ্ত অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকটিভ।

Solution:  বিবৃতি I: বিবৃতি I মিথ্যা।
বিবৃতি II: দুটি বাইজেকটিভ অপেক্ষকের সংযোজনের দ্বারা প্রাপ্ত অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকটিভ হয়। → সত্য।
Ans:  Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

True and False __________

1. বিবৃতি-I: মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = sin x ও g(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে, (g০f) ≠ (f০g)
বিবৃতি-II: মনে করো, f: R → R এবং g: R → R চিত্রণ দুটি যথাক্রমে f(x) = x + 1 ও g(x) = x – 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে, (g০f) = (f০g) = I_R
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I:f(x) = sin x এবং g(x) = x²
  (g০f) = g[f(x)] = g(sin x) = sin² x
(f০g) = f[g(x)] = f(x²) = sin x²
∵ sin² x ≠ sin x²
∴ (g০f) ≠ (f০g) → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: f(x) = x + 1 ও g(x) = x – 1
(g০f) = g[f(x)] = g(x + 1) = x + 1 – 1 = x = I_R
(f০g) = f[g(x)] = f(x – 1) = x – 1 + 1 = x = I_R
∴ (g০f) = (f০g) = I_R → বিবৃতি II সত্য
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

2. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x² ও g(x) = x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে ‌—
বিবৃতি-I: (f০g)(2) = 25
বিবৃতি-II: (g০f)(3) = 12
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution:  f(x) = x² ও g(x) = x + 3
বিবৃতি-I: (f০g)(2) = f[g(2)] = f(2 + 3)
= f(5) = 5² = 25 → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: (g০f)(3) = g[f(3)] = g(3²)
= g(9) = 9 + 3 = 12 → বিবৃতি II সত্য
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

3. দুটি অপেক্ষক f এবং g নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} এবং g = {(2, – 1), (4, 2), (1, – 2), (3, 4)}
বিবৃতি-I: (g০f) সংজ্ঞাত কিন্তু (f০g) সংজ্ঞাত নয়।
বিবৃতি-II: (f০g)= {(- 1, 1), (4, 2), (2, 3), (- 2, 4)}
Ⓐ বিবৃতি I সত্য       Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য   Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: f-এর ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4}   এবং f-এর পাল্লা = {2, 3, 4, 1}
 g-এর ক্ষেত্র = {2, 4, 1, 3}   এবং g-এর পাল্লা = {-1, 2, -2, 4}
বিবৃতি-I: f-এর পাল্লা = {2, 3, 4, 1} = g-এর ক্ষেত্র
∴ (g০f) সংজ্ঞাত
আবার g-এর পাল্লা = {-1, 2, -2, 4} ≠ f-এর ক্ষেত্র
∴ (f০g) সংজ্ঞাত নয়। → বিবৃতি I সত্য
Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

4. f: R – {⁷/₅} → R – {³/₅} অপেক্ষক f(x) = ^{3x + 4}/_{5x – 7} দ্বারা এবং g: R – {³/₅} → R – {⁷/₅} অপেক্ষক g(x) = ^{7x + 4}/_{5x – 3} দ্বারা সংজ্ঞাত হয়। তবে —
বিবৃতি-I: (f০g)(x) = x
বিবৃতি-II: (g০f)(x)= ধ্রুবক
Ⓐ বিবৃতি I সত্য       Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য   Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I:

Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

Case Based __________

1. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x² + 3x + 1 ও g(x) = 2x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।

[i] (f০f)(x) =
Ⓐ x⁴ + 6x³ + 14x² – 15x + 5
Ⓑ x⁴ – 6x³ + 14x² – 15x + 5
Ⓒ x⁴ + 6x³ + 14x² + 15x + 5
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
∴ (f০f)(x) = f[f(x)]
= f(x² + 3x + 1)
=(x² + 3x + 1)² + 3(x² + 3x + 1) + 1
= x⁴ + 9x² + 1 + 6x³ + 6x + 2x² + 3x² + 9x + 3 + 1
= x⁴ + 6x³ + 14x² + 15x +  9x + 5
Ans:  Ⓒ x⁴ + 6x³ + 14x² + 15x + 5

[ii] (g০g)(x) =
Ⓐ 4x + 9     Ⓑ 4x – 9
Ⓒ 4x² – 9
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
∴ (g০g)(x) = g[g(x)]
= g(2x – 3)
= 2(2x – 3) -3
=4x – 9
Ans:  Ⓑ   4x – 9

[iii] (g০f)(x) =
Ⓐ 2x² + 7x – 1
Ⓑ 2x² – 6x – 1
Ⓒ 4x² – 6x + 1
Ⓓ 2x² + 6x – 1

Solution: f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
∴ (g০f)(x) = g[f(x)]
= g(x² + 3x + 1)
= 2(x² + 3x + 1) – 3
=2x² + 6x + 2 -3
= 2x² + 6x – 1
Ans:  Ⓓ 2x² + 6x – 1

[iv] (f০g)(x) =
Ⓐ 4x² – 6x + 1
Ⓑ 24x² + 6x – 1
Ⓒ 4x² – 6x – 1
Ⓓ 4x² + 6x – 1

Solution: f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
∴ (f০g)(x) = f[g(x)]
= f(2x – 3)
= (2x – 3)² + 3(2x – 3) + 1
=4x² – 12x + 9 + 6x – 9 – 1
= 4x² + 6x + 1
Ans:  Ⓐ 4x² – 6x + 1

2. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রম f(x) = 3x + 5 ও g(x) = x² – 3x + 2 দ্বারা সংজ্ঞাত।

[i] (g০f)(x² – 1) =
Ⓐ 3x² – 9x⁴     Ⓑ 3x⁴ – 9x²
Ⓒ 9x⁴ + 3x²    Ⓓ 9x² + 3x⁴

Solution:  f(x) = 3x + 5 এবং g(x) = x² – 3x + 2
∴ (g০f)(x² – 1)
= g[f(x² – 1)
= g[3(x² – 1) + 5]
=g(3x² + 2)
= (3x² + 2)² – 3(3x² + 2) + 2
=9x⁴ + 12x² + 4 – 9x² – 6 + 2
= 9x⁴ + 3x²
Ans:  Ⓒ 9x⁴ + 3x²

[ii] (f০g)(x + 2) =
Ⓐ 3x² + 3x – 5
Ⓑ 3x² – 3x + 5
Ⓒ 3(x² + x + 5)
Ⓓ 3x² + 3x + 5

Solution:  f(x) = 3x + 5 এবং g(x) = x² – 3x + 2
∴ (f০g)(x + 2)
= f[g(x + 2)]
=f[(x + 2)² – 3(x + 2) + 2]
= f(x² + 4x + 4 -3x – 6 + 2)
=f(x² + x)
= 3(x² + x) + 5
= 3x² + 3x + 5
Ans:  Ⓓ 3x² + 3x + 5

3. মনে করো, দুটি অপেক্ষক ƒ ও g নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f = {(1, 2), (3, – 2), (- 1, 1)} এবং g = {(2, 3), (- 2, 1), (1, 3)}

[i] (g০f) =
Ⓐ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}
Ⓑ {(3, 1), (3, – 1)}
Ⓒ {(1, 3), (2, – 2), (- 1, 3)}
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  f(1) = 2;    f(3) = -2;    f(-1) = 1;
এবং g(2) = 3;    g(-2) = 1;    g(1) = 3;
∴ (g০f) = g[f(x)] = g[f(1)] = g(2) = 3;
   (g০f) = g[f(x)] = g[f(3)] = g(-2) = 1;
   (g০f) = g[f(x)] = g[f(-1)] = g(1) = 3;
∴ ক্রমিত জোড় সমুহ হল (1, 3), (3, 1), (- 1, 3)
Ans:  Ⓐ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}

[ii] (f০g)=
Ⓐ {(1, 2), (1, 3), (- 2, 2)}
Ⓑ {(2, – 2), (- 2, 2), (1, – 2)}
Ⓒ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  f(1) = 2;    f(3) = -2;    f(-1) = 1;
এবং g(2) = 3;    g(-2) = 1;    g(1) = 3;
∴ (f০g) = f[g(x)] = f[g(2)] = f(3) = -2;
(f০g) = f[g(x)] = f[g(-2)] = f(1) = 2;
(f০g) = f[g(x)] = f[g(1)] = f(3) = -2;
∴ ক্রমিত জোড় সমুহ হল (2, -2), (-2, 2), (1, -2)
Ans:  Ⓑ {(2, -2), (-2, 2), (1, -2)}

4. মনে করো, f: R → R, g: R → R এবং h: R → R অপেক্ষক তিনটি যথাক্রমে f(x) = cos x, g(x) = 2x + 1 এবং h(x) = x³ – x – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। 

[i] h০(g০f)(x) =
Ⓐ 8cos³ x + 12cos² x – 6
Ⓑ 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x + 6
Ⓒ 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x – 6
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  h০(g০f)(x)
=h[g{f(x)}]
=h[g(cos x)]
=h(2cos x + 1)
= (2cos x + 1)³ – (2cos x + 1) – 6
=8cos³ x + 12cos² x + 6cos x + 1 – 2cos x – 1 – 6
= 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x – 6
Ans:  Ⓒ 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x – 6

[ii] [h০(g০f)](^π/₃) =
Ⓐ 1    Ⓑ -1
Ⓒ 2   Ⓓ 0

Solution:  ∵ h০(g০f)(x) = 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x – 6
∴ 8cos³ x + 12cos² x + 4cos x – 6
 = 8(cos ^π/₃)³ x + 12(cos ^π/₃)² + 4cos ^π/₃ – 6
= 8.(¹/₂)³ + 12.( ¹/₂)² + 4.( ¹/₂) – 6
= 1 + 3 + 2 – 6 = 0
Ans:  Ⓓ 0