Ratio and Proportion 5.1

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.1
অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.2
অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.3

⛔ দুটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটি অপেক্ষা কতগুণ বা কত অংশ, যার দ্বারা সংক্ষেপে সরল আকারে প্রকাশ করা হয় তাকে অনুপাত বলে।
যেমন ঃ- a : b

⛔ পূর্বপদ ও উত্তরপদ ঃ a : b অনুপাতের a-কে পূর্বপদ এবং b-কে উত্তরপদ বলে।

⛔ সাম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a = b হয় তবে অনুপাতটিকে সাম্যানুপাত বলে।
যেমন ঃ- 3 : 3

⛔ বৈষম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a ≠ b হয় তবে অনুপাতটিকে বৈষম্যানুপাত বলে।
যেমন ঃ- 3 : 5

⛔ গুরু অনুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a > b হয় তবে অনুপাতটিকে গুরু অনুপাত বলে।
যেমন ঃ- 5 : 3

⛔ লঘু অনুপাত বলে ঃ a : b অনুপাতের যদি a < b হয় তবে অনুপাতটিকে লঘু অনুপাত বলে।
যেমন ঃ- 5 : 7

⛔ a : b এর ব্যস্ত অনুপাত b : a

⛔ দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত ঃ a : b এর দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত a² : b²

🔅 ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত ঃ a : b এর ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত a³ : b³

⛔ দ্বিবিভাজিত বা অর্ধমিশ্র অনুপাত ঃ a : b এর দ্বিবিভাজিত বা অর্ধমিশ্র অনুপাত √a : √b

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত , লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখ ।
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস

সমাধানঃ
4 মাস এবং 1 বছর 6 মাসের অনুপাত
= 4 মাস : 1 বছর 6 মাস
= 4 মাস : (12 + 6) মাস
⇒ 4 মাস : 18 মাস
= 4 : 18
= 2 : 9
Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 9
অনুপাতটি লঘু অনুপাত।

(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা

সমাধানঃ
75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
= 75 পয়সা : 1 টাকা 25 পয়সা
= 75 পয়সা : (100 + 25) পয়সা
⇒ 75 পয়সা : 125 পয়সা
= 75 : 125= 3 : 5
Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 3 : 5
অনুপাতটি লঘু অনুপাত।

(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার

সমাধানঃ
60 সেমি. এবং 0.6 মিটারের অনুপাত
= 60 সেমি. : 0.6 মিটার
= 60 সেমি. : 0.6 × 100 সেমি.
⇒ 60 সেমি. : 60 সেমি.
= 60 : 60
⇒ 1 : 1
Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 1 : 1
অনুপাতটি সাম্যানুপাত।

(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম

সমাধানঃ
1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রামের অনুপাত
= 1.2 কিগ্রা. : 60 গ্রাম
= 1.2 × 1000 গ্রাম : 60 গ্রাম
⇒ 1200 গ্রাম : 60 গ্রাম
= 1200 : 60
= 20 : 1
Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 20 : 1
অনুপাতটি গুরু অনুপাত।

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

CLICK

2. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি ।

সমাধানঃ
p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত
= p কিগ্রা. : q গ্রাম
= p × 1000 গ্রাম : q গ্রাম
⇒ 1000p গ্রাম : q গ্রাম
= 1000p : q
Ans: p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত = 1000p : q

(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।

উত্তর: x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে যখন রাশি দুটোর একক একই একক হবে। অর্থাৎ মাসকে দিনে পরিণত করতে হবে বা দিনকে মাসে পরিণত করতে হবে।

(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি ।

উত্তর:একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত একটি সাম্যানুপাত।

(iv) ^a / _b : c, ^b / _c : a, ^c / _a : b- এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
^a / _b : c, ^b / _c : a, ^c / _a : b- এর মিশ্র অনুপাত
=^a / _b × ^b / _c × ^c / _a : c × a × b
= 1 : abc
Ans: নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : abc

(v) x² : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z² হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, x² : yz এবং a : b – এর মিশ্র অনুপাত হবে xy : z² ।
∴ x² × a : yz × b= xy : z²
বা, ax² : byz = xy : z²
বা, ax : by = y : z
⇒, a : b = y × y : x × z
বা, a : b = y² : xz
Ans: নির্ণেয় অনুপাত = y² : xz

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

(vi) x²: ^yz /_x , y²: ^zx /_y , z²: ^yx / _z অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
x² : ^yz /_x, y² : ^zx /_yও z² : ^yx / _z এর ব্যস্ত অনুপাতগুলি হল যথাক্রমে ^yz /_x : x², ^zx /_y : y² ও ^yx / _z : z²
∴ ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত
= (^yz /_x × ^zx /_y × ^yx / _z) : (x² × y² × z²)
= xyz : x²y²z²
⇒ 1 : xyz
Ans: ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত = 1 : xyz

দশম শ্রেণির রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLICK HERE

3 . নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি:
(i) 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11

সমাধানঃ
4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাত
= (4 × 5 × 9) : (5 × 7 × 11)
= 36 : 77
Ans: 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাত = 36 : 77

(ii) (x + y) : (x – y) , (x² + y²) : (x + y)² এবং (x² – y²)² : (x⁴ – y⁴)

সমাধানঃ
(x + y) : (x – y) , (x² + y²) : (x + y)² এবং (x² – y²)² : (x⁴ – y⁴) এর মিশ্র অনুপাত
= {(x + y)(x² + y²)(x² – y²)²} : {(x – y)(x + y)²(x⁴ – y⁴)}
= (x + y)(x² + y²)(x² – y²)² : (x – y)(x + y)^²(x^² + y²)(x² – y²)
⇒ (x² – y²)² : (x – y)(x + y)(x² – y²)
= (x² – y²) : (x – y)(x + y)
⇒ (x + y)(x – y) : (x – y)(x + y)
= 1 : 1
Ans: নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : 1

অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

4 . (i) A : B = 6 : 7 এবং B : C = 8 : 7 হলে, A : C নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
এখানে, A : B = 6 : 7
বা, ^A / _B = ⁶ / ₇
এবং B : C = 8 : 7
বা, ^B / _C = ⁸ / ₇
∴ ^A / _B × ^B / _C = ⁶ / ₇ × ⁸ / ₇
বা, ^A / _C = ⁴⁸ / ₄₉
বা, A : C= 48 : 49
Ans: A : C = 48 : 49

(ii) A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হলে, A : D নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
এখানে, A : B = 2 : 3
বা, ^A / _B = ² / ₃
B : C = 4 : 5
বা, ^B / _C = ⁴ / ₅
এবং C : D = 6 : 7
বা, ^C / _D = ⁶ /₇
∴ ^A / _B × ^B / _C × ^C / _D
= ² / ₃ × ⁴ / ₅ × 6 : 7
বা, ^A / _D = ¹⁶ / ₃₅
∴ A : D = 16 : 35
Ans: A : D = 16 : 35

(iii ) যদি A : B = 3 : 4 এবং B : C = 2 : 3 হয় , তাহলে A : B : C নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
A : B = 3 : 4
B : C = 2 : 3 = 2×2 : 3×2 = 4 : 6
∴ A : B : C = 3 : 4 : 6
Ans: A : B : C = 3 : 4 : 6

(iv) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7 হলে , x : y : z নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
x : y = 2 : 3 = (2×4) : (3×4) = 8 : 12
y : z = 4 : 7 = (4×3) : (7×3) = 12 : 21
∴ x : y : z = 8 : 12 : 21
Ans: x : y : z = 8 : 12 : 21

5. (i) x : y = 3 : 4 হলে, (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
প্রদত্ত x : y = 3 : 4
ধরি, x = 3k
∴ y = 4k
এখন, (3y – x) : (2x + y)
= (3.4k – 3k) : (2.3k + 4k)
= (12k – 3k) : (6k + 4k)
⇒ 9k : 10k= 9 : 10
Ans: (3y – x) : (2x + y) = 9 : 10

(ii) a : b = 8 : 7 হলে , দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b) = 7 : 5

সমাধানঃ
প্রদত্ত a : b = 8 : 7
ধরি, a = 8k এবং b = 7k
L.H.S. = (7a – 3b) : (11a – 9b)
= (7.8k – 3.7b) : (11.8k – 9.7k)
= (56k – 21b) : (88k – 63k)
⇒ 35k : 25k
= 7 : 5= R.H.S. (প্রমাণিত)

(iii) p : q = 5 : 7 এবং p – q = -4 হলে, 3p + 4q এর মান নির্ণয় করি

সমাধানঃ
প্রদত্ত p : q = 5 : 7
ধরি, p = 5x এবং q = 7x
আবার,
p – q = -4
বা, 5x – 7x = -4
বা, -2x = -4
⇒ 2x = 4
বা, x = 2
∴ p = 5x
= 5.2
= 10
এবং q = 7x
= 7.2
= 14
∴ 3p + 4q
= 3.10 + 4.14
= 30 + 56
⇒ 86
Ans: 3p + 4q এর মান 86

MY OWN TRUE FAMILY Important Questions and Answer CLICK HERE

6. (i) (5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12 হলে, x : y নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
(5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12
বা, (5x − 3y) / (2x + 4y) = 11 : 12
বা, 12.(5x − 3y) = 11.(2x + 4y)
বা, 60x – 36y = 22x + 44y
বা, 60x – 22x = 44y + 36y
⇒, 38x = 80y
বা, 19x = 40y
বা, ^x / _y = ⁴⁰ / ₁₉
∴ x : y = 40 : 19
Ans: x : y = 40 : 19

( ii ) (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3 হলে, a : b নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
(3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3
বা, (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3
বা, 3.(3a + 7b) = 5.(5a – 3b)
বা, 9a + 21b = 25a – 15b
বা, 9a – 25a = – 15b – 21b
⇒, -16a = -36b
বা, ab = −36−16
বা, ^a/ _b = ⁹ / ₄
∴ a : b = 9 : 4
Ans: a : b = 9 : 4

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

7. (i) (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137 :473

সমাধানঃ:
এখানে,
(7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11
বা, (7x – 5y) / (3x + 4y) = 7 : 11
বা, 11.(7x – 5y) = 7.(3x + 4y)
বা, 77x – 55y = 21x + 28y
বা, 77x – 21x = 28y + 55y
⇒ 56x = 83y
বা, ^x / _y = ⁸³ / ₅₆
∴ x : y = 83 : 56
ধরি, x = 83k এবং
y = 56k
L.H.S. = (3x – 2y) : (3x + 4y)
= (3.83k – 2.56k) : (3.83k + 4.56k)
= (249k – 112k) : (249k + 224k)
⇒ 137k : 473k
= 137 : 473= RHS (Proved)

(ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11 : 13

সমাধানঃ
এখানে,
(10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5
বা, (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5
বা, 5.(10x + 3y) = 9.(5x + 2y)
বা, 50x + 15y = 45x + 18y
বা, 50x – 45x = 18y – 15y
⇒, 5x = 3y
বা, ^x /_y = ³ / ₅
∴ x : y = 3 : 5
ধরি, x = 3k এবং y = 5k
L.H.S. = (2x + y) : (x + 2y)
= (2.3k + 5k) : (3k + 2.5k)
= (6k + 5k) : (3k + 10k)
⇒ 11k : 13k
= 11 : 13 = R.H.S. (Proved)

বিভিন্ন দেশের সীমারেখা madhyamik-prostutI — **মাধ্যমিকের সব বিষয়ের জন্য App Madhyamik Prostuti ডাউনলোড করতে এখানে** **CLICK** করুন

8. (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
ধরি, 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে x যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।∴
∴ (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11
বা, (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11
বা, 11.(2 + x) = 6.(5 + x)
বা, 22 + 11x = 30 + 6x
⇒ 11x – 6x = 30 – 22
বা, 5x = 8
∴ x = ⁸/₅
Ans: ⁸/₅ যোগ করতে হবে।

(ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
ধরি, a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে।
∴ (a – x) : (b – x) = m : n
বা, (a – x) : (b – x) = m : n
বা, n.(a – x) = m.(b – x)
বা, an – nx = bm – mx
বা, mx – nx = bm – an
⇒ x(m – n) = bm – an
বা, x = ^{(bm − an)}/_{(m − n)}

Ans: ^{(bm − an)}/_{(m − n)} বিয়োগ করতে হবে।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

(iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে ।

সমাধানঃ
ধরি, 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে x যোগ এবং উত্তরপদ থেকে x বিয়োগ করতে হবে।
2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত
= (2 × 5) : (3 × 4)
= 5 : 6
প্রশ্নানুসারে,
^{(4 + x)} / _{(7 – x)} = 5 : 6
বা, 6.(4 + x) = 5.(7 – x)
বা, 24 + 6x = 35 – 5x
বা, 6x + 5x = 35 – 24
বা,11x = 11
∴ x = 1
Ans: 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করতে হবে।

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ যদি (3x – 2y) : (3x + 2y) = 4 : 5 হয়, তবে (x + y) : (x – y) এর মান কত?

VIEW ANSER

MP-2022

▶️ A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7, হলে, A : D = কতো ?
(a) 2 : 7 (b) 7 : 2 (c) 5 : 8 (d) 5 : 14
Ans: (d) 5 : 14

\(\quad[\frac{A}{B}×\frac{B}{C}×\frac{C}{D}=\frac{2}{3}×\frac{5}{8}×\frac{6}{7}\\⇒\frac{A}{D}=\frac{5}{14}\\∴ A:D=5:14]\)

MP-2020

▶️ 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে। (সত্য মিথ্যা)

VIEW ANSER

MP-2019

▶️ (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ (ii) ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত 1:1। (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত
= ab×bc×ca : a²×b²×c²
= a²b²c² : a²b²c²
⇒1 ; 1]