Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

সদৃশতা Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

1. (i)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
PB = AQ, AP = 9 একক, QC = 4 একক হলে, PB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Solution:

এখানে PB = AQ
AP = 9 একক, QC = 4 একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ⁹/_PB = ^PB/₄
⇒ PB² = 36
⇒ PB = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 একক

1. (ii)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
PB-এর দৈর্ঘ্য AP-এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং QC-এর দৈর্ঘ্য AQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC-এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
Solution:

এখানে PB = 2AP
ধরি, AQ = x একক,
∴ QC = (x + 3) একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ^AP/_2AP = ^x/_{x + 3}
⇒ ¹/₂ = ^x/_{x + 3}
⇒ 2x = x + 3
∴ x = 3
∴ QC = (3 + 3) একক
= 6 একক
∴ AC = AQ + QC
= (3 + 6) = 9 একক
Ans: AC-এর দৈর্ঘ্য 9 একক

1. (iii)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যদি AP = QC, AB-এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ-এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ-এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
Solution:

ধরি, AP = QC = x একক , AB = 12 একক
এবং AQ = 2 একক
∴ PB = (12 – x) একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ^x/_(12-x) = ²/_x
⇒ x² = 2(12 – x)
⇒ x² + 2x -24 = 0
বা, x² + 6x – 4x -24 = 0
⇒ x(x + 6) – 4(x + 6) = 0
⇒ (x + 6)(x – 4) = 0
হয় (x + 6) = 0 নতুবা (x – 4) = 0
∴ x = -6 x = 4
বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
x ≠ -6
∴ x = 4
Ans: CQ-এর দৈর্ঘ্য 4 একক

Koshe Dekhi 18.2 Class X

2. (i) △PQR-এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক, YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে, XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
Solution:

এখানে PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক,
YR = 7 একক, PY = 4.25 একক
XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি
^PX/_XQ= ^PY/_YRহয়।
∴ ^PX/_XQ= ²/_3.5 = ²⁰/₃₅ = ⁴/₇
^PY/_YR= ^4.25/₇ = ⁴²⁵/₇₀₀ = ¹⁷/₂₈
∴ ^PX/_XQ≠ ^PY/_YR
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
∴ XY ∦ QR
Ans: XY ও QR সমান্তরাল হবে না।

2 (ii)△PQR-এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
PQ = 8 একক, YR = 12 একক, PY = 4 একক এবং PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
Solution:

এখানে PQ = 8 একক, YR = 12 একক,
PY = 4 একক
PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম।
∴ XQ = PY + 2 একক
= (4 + 2) একক = 6 একক
∴ PX = PQ – XQ
= (8 – 6) একক = 2 একক
XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি
^PX/_XQ= ^PY/_YRহয়।
∴ ^PX/_XQ= ²/₆ = ¹/₃
^PY/_YR= ⁴/₁₂= ¹/₃
∴ ^PX/_XQ= ^PY/_YR
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
∴ XY ∥ QR
Ans: XY ও QR সমান্তরাল হবে ।

3. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। [ থ্যালাসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি]
Solution:

স্বীকার: △ABC –এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P দিয়ে অঙ্কিত BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AC-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: Q, AC –এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, AQ = QC।
প্রমান: △ABC –এর PQ || BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB= ^AQ/_QC
⇒ ^AP/_AP= ^AQ/_QC – – – [∵ X, AB বাহুর মধ্যবিন্দু, ∴ AP = PB]
⇒ 1 = ^AQ/_QC
∴ AQ = QC
∴ Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: RQ ∥ BC
অঙ্কন: AD- কে X পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন PD = DX হয়। B, X; C, X যুক্ত করা হল।
প্রমান: PBXC চতুর্ভুজের,
PD = DX – – – [ অঙ্কনানুসারে]
এবং BD = DC – – – [∵ AD মধ্যমা]
∴ PBXC চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক – – – [ ∵ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে]
∴ PC || BX অর্থাৎ RP || BX
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
^AR/_RB= ^AP/_PX– – – (i)
আবার ∵ PBXC একটি সামান্তরিক
∴ BP || XC অর্থাৎ PQ || XC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
^AP/_PX= ^AQ/_QC– – – (Ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
^AR/_RB= ^AQ/_QC
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
RQ || BC [প্রমাণিত]

5. △ABC-এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AO = 3OG
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে
প্রামাণ্য বিষয়: AO = 3OG
অঙ্কন: AG কে বর্ধিত করা হল যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △ABC-এর, AB বাহুর মধ্যবিন্দু F – – – (∵ CF মধ্যমা)
এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E – – -(∵ BE মধ্যমা)
∴ FE || BC
△ABD-এর FO || BD – – – – [∵ FE || BC]
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AF/_FB= ^AO/_OD– – – (i)
⇒ ^AF/_AF= ^AO/_OD – – – [∵ F, AB বাহুর মধ্যবিন্দু, ∴ AF = FB]
⇒1 = ^AO/_OD
⇒ AO = OD
∴O, AD বাহুর মধ্যবিন্দু।
আবার
AO + OD = AD
⇒ AO + AO = ³/₂ AG – – – [AG = ²/₃AD]
⇒ 2AO = ³/₂ (AO + OG)
বা, 4AO = 3(AO + OG)
⇒ 4AO = 3AO + 3OG
⇒ AO = 3OG (প্রমাণিত)

6. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়মের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
Solution:

স্বীকার: ABCD ট্রাপিজিয়মের AD || BC এবং তির্যক বাহু AB ও CD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
প্রামাণ্য বিষয়: PQ || AD এবং
PQ || BC
অঙ্কন: BA ও CD কে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △RBC এর AD || BC – – – – (স্বীকার)
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^RA/_AB= ^RD/_DC– – – (i)
আবার AB ও CD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ AB = 2AP এবং DC = 2DQ
(i) থেকে পাই,
^RA/_AB= ^RD/_DC
⇒ ^RA/_2AP= ^RD/_2DQ
⇒ ^RA/_AP= ^RD/_DQ
∴ △RAP এর ^RA/_AP= ^RD/_DQ
∴থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
PQ || AD (Proved)
আবার PQ || AD এবং AD || BC
∴ PQ || BC (Proved)

7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র।
প্রামাণ্য বিষয়: PQ ∥ BC
অঙ্কন: ABD ও ADC ত্রিভুজের মধ্যমা যথাক্রমে AR এবং AS অঙ্কন করা হলো।
প্রমান: AR, ত্রিভুজ ABD-এর মধ্যমা এবং P, AR-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^AP/_PR= ³/₁ – – – – (i)
আবার, AS, ত্রিভুজ ADC-এর মধ্যমা এবং Q, AS-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^AQ/_QS = ³/₁ – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^AP/_PR = ^AQ/_QS
∴ ARS ত্রিভুজের ^AP/_PR = ^AQ/_QS
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে,
PQ ∥ RS
∴ PQ ∥ BC (প্রমাণিত)

8. একই ভূমি QR-এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ △PQR ও △SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG ∥ QR.
Solution:

স্বীকার: সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজ △PQR এবং △SQR একই ভূমি QR-এর উপর এবং QR-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত।F ও G যথাক্রমে △PQR এবং △SQR ত্রিভুজ দুটির ভরকেন্দ্র।
অঙ্কন: P, S যুক্ত করা হল। P, F ও S, G যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে QR-এর উপর E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: FG ∥ QR
প্রমান: ∵ ত্রিভুজ △PQR এবং △SQR একই ভূমি QR-এর উপর এবং QR-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান।
∴ QR ∥ PS
PT ত্রিভুজ PQR-এর মধ্যমা এবং F, PT-এর উপর অবস্থিত।
∴ PF/_FT = ³/₁ – – – – (i)
আবার, ST ত্রিভুজ SQR-এর মধ্যমা এবং G, ST-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^SG/_GT = ³/₁ – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^PF/_FT = ^SG/_GT
∴ PST ত্রিভুজের ^PF/_FT = ^SG/_GT
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে,
FG ∥ QR (প্রমাণিত)

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
Solution:

স্বীকার: ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের AD ∥ BC এবং AB = DC
প্রামাণ্য বিষয়: ∠BAD = ∠ADC
অঙ্কন: BA ও CD-কে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △EBC ত্রিভুজের AD ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^EA/_AB = ^ED/_DC
আবার AB = DC
∴ ^EA/_AB = ^ED/_AB
⇒ EA = ED
∴ EAD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠EAD = ∠EDA
∵ ∠BAD = 180^o – ∠EAD
= 180^o – ∠EDA – – – – [∵ ∠EAD = ∠EDA]
= ∠ADC
∴ ∠BAD = ∠ADC (প্রমাণিত)

10. △ABC এবং △DBC একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD ∥ FG.
Solution:

স্বীকার: △ABC এবং △DBC একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু E দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AD ∥ FG
অঙ্কন: AD ও FG যুক্ত করা হল।
প্রমান: △ABC ত্রিভুজের AB ∥ FE
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^CE/_EB = ^CF/_FA – – – – (i)
আবার △CBD ত্রিভুজের EG ∥ BD
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^CE/_EB = ^CG/_GD – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^CF/_FA = ^CG/_GD
∴ △CAD ত্রিভুজের,
^CF/_FA = ^CG/_GD
∴ থ্যালাসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
FG ∥ AD
∴ AD ∥ FG (প্রমাণিত)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Koshe Dekhi 18.2 Class X

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে X এবং Y বিন্দুতে ছেদ করে। AX = 2.4 সেমি, AY = 3.2 সেমি এবং YC = 4.8 সেমি, হলে AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 3.6 সেমি(b) 6 সেমি(c) 6.4 সেমি(d) 7.2 সেমি

Ans: (b) 6 সেমি
[△ABC-এর BC ∥ XY
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YC}\\⇒\frac{2.4}{XB}=\frac{3.2}{4.8}\\⇒XB=\frac{2.4×4.8}{3.2}}\)

∴ XB = 3.6
∴ AB = AX + XB
= (2.4 + 3.6) সেমি
= 6 সেমি]

(ii) △ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE ∥ BC এবং AD : DB = 3 : 1; যদি EA = 3.3 সেমি হয়, তাহলে AC-এর দৈর্ঘ্য
(a) 1.1 সেমি (b) 4 সেমি (c) 4.4 সেমি (d) 5.5 সেমি

Ans: (c) 4.4 সেমি
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad\frac{A D}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{3}{1}=\frac{3.3}{EC}\\⇒EC=\frac{3.3}{3}}\)

∴ EC = 1.1
∴ AC = AE + EC
= (3.3 + 1.1) সেমি
= 4.4 সেমি]

(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad\frac{A D}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{x+3}{3x+19}=\frac{x}{3x+4}}\)

⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 3x² + 19x
ব্যা 13x + 12 = 19x
⇒ 13x – 19x = -12
⇒ -6x = -12
∴ x = 2]

(iv) ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং AD ও BC বাহুর উপর P ও Q বিন্দু দুটি এমনভাবে অবস্থিত যে PQ ∥ DC; যদি PD = 18 সেমি, BQ = 35 সেমি, QC = 15 সেমি হয়, তাহলে AD-এর দৈর্ঘ্য
(a) 60 সেমি (b) 30 সেমি (c) 12 সেমি (d) 15 সেমি
Ans: (a) 60 সেমি.

ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং PQ ∥ DC;

\(\Large{∴\frac{A P}{PD}=\frac{BQ}{QC}\\⇒\frac{A P}{18}=\frac{35}{15}\\∴AP=\frac{35×18}{15}\\⇒AP=42}\)

AD = AP + PD
= (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]

(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে
(a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF
[PE = DE – DP
= (15 – 5) সেমি = 10 সেমি

\(\Large{∴\frac{DP}{PE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\\\frac{DQ}{PE}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\\∴\frac{DP}{PE}≠\frac{DQ}{PE}\\∴PQ ∦ EF]}\)

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
Ans: মিথ্যা

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে

Ans: সত্য
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\\⇒\frac{AD}{BD}+1=\frac{AE}{CE}+1\\⇒\frac{AD+BD}{BD}=\frac{AE+CE}{CE}\\⇒\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}]}\)

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি ত্রিভুজের যে-কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে

(ii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________।
Ans: সমান

(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে \(\Large{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}\) এবং ∠ADE = ∠ACB হলে, বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি।

△ABC-এর \(\Large{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}\)

∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
DE ∥ BC
∵ DE ∥ BC এবং AB ভেদক
∴∠ADE = ∠ABC – – – (অনুরূপ কোন)
আবার ∠ADE = ∠ACB
∴ ∠ABC = ∠ACB
△ABC-এর ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC
Ans: বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Koshe Dekhi 18.2 Class X

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
Solution:

△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{3}{5}=\frac{AE}{EC}}\)

ধরি, D থেকে AB বাহুর লম্ব দূরত্ব h
∴△ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AE×h : ¹/₂×EC×h
= AE : EC = 3 : 5 (Ans)

(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

△CAB-এর LM ∥ AB
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad ∴\frac{CL}{LA}=\frac{CM}{MB}\\⇒\frac{CL}{LA}+1=\frac{CM}{MB}+1\\⇒\frac{CL+LA}{LA}=\frac{CM+MB}{MB}\\⇒\frac{AC}{AL}=\frac{BC}{BM}\\⇒\frac{2x}{x-3}=\frac{2x+3}{x-2}}\)

⇒ 2x(x – 2) = (x – 3)(2x + 3)
⇒ 2x² – 4x = 2x² +3x – 6x – 9
বা, – 4x + 6x – 3x = -9
⇒ -x = -9
⇒x = 9
Ans: x-এর মান 9

Koshe Dekhi 18.2 Class X

(iv) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE ∥ PQ ∥ BC এবং AD = 3 সেমি, DP = x সেমি, PB = 4 সেমি, AE = 4 সেমি, EQ = 5 সেমি, QC = y সেমি হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE ∥ PQ ∥ BC এবং
AD = 3 সেমি, DP = x সেমি,
PB = 4 সেমি, AE = 4 সেমি,
EQ = 5 সেমি, QC = y সেমি
△APQ-এর DE ∥ PQ
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DP}=\frac{AE}{EQ}\\⇒\frac{3}{x}=\frac{4}{5}\\∴x=\frac{3×5}{4}=\frac{15}{4}}\)

আবার,△ABC-এর PQ ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad ∴\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{AD+DP}{PB}=\frac{AE+EQ}{QC}\\⇒\frac{3+\frac{15}{4}}{4}=\frac{4+5}{y}\\⇒\frac{\frac{12+15}{4}}{4}=\frac{9}{y}\\⇒\frac{27}{16}=\frac{9}{y}\\∴y=\frac{16}{3}}\)

Ans: x-এর মান ¹⁵/₄ এবং
y-এর মান ¹⁶/₃

(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং ^AD/_DB = ²/₁ হলে, ^AX/_XB -এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{2}{1}=\frac{AE}{EC}\\∴\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}}\)

আবার, △AXC এর BE ∥ XC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

\(\Large{\quad∴\frac{AB}{BX}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{AB}{BX}=\frac{2}{1}\\⇒\frac{AB}{BX}+1=\frac{2}{1}+1\\⇒\frac{AB+BX}{BX}=\frac{2+1}{1}\\∴\frac{AX}{XB}=\frac{3}{1}\quad\mathbf{Ans}}\)

Madhyamik Question

MP-2022

▶️ △ABC -এর DE || BC, যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি, হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

\(\large{\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}}\)

⇒ x2 = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

PREVIOUS

NEXT

March 24, 2024

Tag: Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

সদৃশতা Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity

Koshe Dekhi 18.2 Class X

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.Solution:

7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.Solution:

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।Solution:

Koshe Dekhi 18.2 Class X

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান (a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2[△ABC-এর DE ∥ BC∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)⇒ 3x2 + 4x + 9x + 12 = 3x2 + 19xব্যা 13x + 12 = 19x⇒ 13x – 19x = -12⇒ -6x = -12∴ x = 2]

ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং PQ ∥ DC;

AD = AP + PD = (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]

(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে (a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF[PE = DE – DP = (15 – 5) সেমি = 10 সেমি

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।Ans: মিথ্যা

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে

Ans: সত্য[△ABC-এর DE ∥ BC∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।Ans: সমানুপাতে

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।Solution:

(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।Solution:

(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং AD/DB = 2/1 হলে, AX/XB -এর মান নির্ণয় করি।Solution:

Madhyamik Question

MP-2022

MP-2018

4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.
Solution:

7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.
Solution:

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
Solution:

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 3x² + 19x
ব্যা 13x + 12 = 19x
⇒ 13x – 19x = -12
⇒ -6x = -12
∴ x = 2]

AD = AP + PD
= (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]

(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে
(a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF
[PE = DE – DP
= (15 – 5) সেমি = 10 সেমি

(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
Ans: মিথ্যা

Ans: সত্য
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
Solution:

(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং ^AD/_DB = ²/₁ হলে, ^AX/_XB -এর মান নির্ণয় করি।
Solution: