Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
1. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Solution:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP এবং OP ব্যাসার্ধ।
এখানে OA = 17 সেমি,
OP = 16/2 = 8 সেমি
APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AP2 + OP2 = OA2
বা, AP2 + 82 = 172
বা, AP2 + 64 = 289
বা, AP2 = 225
∴ AP = 15
Ans: বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।
2.একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।
Solution: বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AP ও AQ।
∴ AP = AQ
∴ APQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠APQ = ∠AQP
প্রদত্ত ∠PAQ = 60°
△APQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180°
বা, ∠APQ + ∠AQP = 180° – ∠PAQ
বা, ∠APQ + ∠APQ = 180° – 60°
বা, 2∠APQ = 120°
বা, ∠APQ = 60°
Ans: ∠APQ-এর মান 60°
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA ∥ RQ
Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR বৃত্তের ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়: OA || RQ
অঙ্কন: O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে PA ও QA দুটি স্পর্শক।
∴ ∠AOP = ∠AOQ
∴ ∠AOP + ∠AOQ + ∠QOR = 180°
বা ∠AOP + ∠AOP = 180° – ∠QOR
বা 2∠AOP = 180° – ∠QOR – – – (i)
আবার △ORQ –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠ORQ + ∠RQO + ∠QOR = 180°
বা, ∠RQO + ∠RQO = 180° – ∠QOR – – – [∵ OR = OQ, ∠ORQ = ∠RQO]
বা, 2∠RQO = 180° – ∠QOR – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
2∠AOP = 2∠RQO
∴ ∠AOP = ∠RQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ OA || RQ (প্রমাণিত)
4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।
Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তটি AB, BC, CE ও AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠AOB + ∠COD = 180°
অথবা, ∠AOD + ∠BOC = 180°
অঙ্কন: O, A; O, B; O, C; O, D; O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও S বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ ∠AOP = ∠AOS
∴ ∠AOP + ∠AOS = ∠POS
বা ∠AOP + ∠AOP = ∠POS
বা 2∠AOP = ∠POS
বা ∠AOP = 1/2∠POS
অনুরূপে,
∠BOP = 1/2∠POQ
∠COR = 1/2∠QOR
∠DOR = 1/2∠ROS
∴ ∠AOB + ∠COD
= (∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR )
= (1/2∠POS + 1/2∠POQ) + (1/2∠QOR + 1/2∠ROS)
= 1/2(∠POS + ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS)
= 1/2 × 360°
= 180°
অনুরূপে, প্রমাণ করা যায়
∠AOD + ∠BOC = 180°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180° (প্রমাণিত)
∠AOD + ∠BOC = 180° (প্রমাণিত)
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।
Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক হল ABCD; এবং বৃত্তটি AB, BC, CD ও AD বাহুকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন: O, A; O, P; O, B; O, Q; O, R; O, D; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি AP ও AS;
∴ AP = AS
অনুরূপে, BP = BQ;
CQ = CR;
এবং DS = DR
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS – – – [∵ AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS]
= BQ + CQ + DS + AS
∴ AB + CD = BC + AD
বা AB + AB = BC + AD – – – – [∵ ABCD একটি সামান্তরিক
বা 2AB = 2BC AB = CD; BC = AD]
বা AB = BC
ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8
Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের O একটি বিন্দু। OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∠COD = 56°, ∠COE = 40°,
∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রামাণ্য বিষয়: OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণ: A কেন্দ্রীয় বৃত্তের D ও C বিন্দুতে যথাক্রমে OD ও OC দুটি স্পর্শক।
∴ OD = OC – – – – (i)
∴ ∠ODC = ∠OCD
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C ও E বিন্দুতে যথাক্রমে OC ও OE দুটি স্পর্শক।
∴ OC = OE – – – – (ii)
∴ ∠OCE = ∠OEC
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
OD = OC = OE (প্রমাণিত)
△COD –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°
বা, ∠OCD + ∠OCD + 56° = 180°
বা, 2∠OCD = 180° – 56° = 124°
∴ ∠OCD = 62°
∴ ∠ACD = ∠OCA – ∠OCD
= 90° – 62° = 28°
∴ x = 28
△COE –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCE + ∠OEC + ∠EOC = 180°
বা, ∠OCE + ∠OCE + 40° = 180°
বা, 2∠OCE = 180° – 40° = 140°
∴ ∠OCE = 70°
∴ ∠BCE = ∠OCB – ∠OCE
= 90° – 70° = 20°
∴ y = 28
x – y = 28 – 20
= 8 (প্রমাণিত)
| অধ্যায় | বিষয় | কষে দেখি |
|---|---|---|
| 1 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5 |
| 2 | সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি – 2 |
| 3 | বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2 |
| 4 | আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি – 4 |
| 5 | অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion) | কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3 |
| 6 | চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2 |
| 7 | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3 |
| 8 | লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি – 8 |
| 9 | দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd) | কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3 |
| 10 | বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি – 10 |
| 11 | সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle) | কষে দেখি – 11.1 |
| 12 | গোলক (Sphere) | কষে দেখি – 12 |
| 13 | ভেদ (Variation) | কষে দেখি – 13 |
| 14 | অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি – 14 |
| 15 | বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2 |
| 16 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি – 16 |
| 17 | সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি – 17 |
| 18 | সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4 |
| 19 | বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি – 19 |
| 20 | ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা | কষে দেখি – 20 |
| 21 | সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional ) | কষে দেখি – 21 |
| 22 | পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি – 22 |
| 23 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3 |
| 24 | পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle ) | কষে দেখি – 24 |
| 25 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances) | কষে দেখি – 25 |
| 26 | রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4 |
7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।
Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রীয় অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AO + BO = ধ্রুবক।
অঙ্কন: O, X; O, A যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ স্পর্শবিন্দুটি A ও B কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার, O ও A কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OB রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
এবং B ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি OX রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
∴ AO + BO = (AB + BO) + (AO – AB)
= AB + BO + AO – AB
= BO + AO
= BX – OX + AY + OY
= BX – OX + AY + OX – – – [OX = OY,একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= BX + AY
= B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= ধ্রুবক
∴ AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)
8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP ∥ BQ.
Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AP || BQ
অঙ্কন: A, P; B, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △AOP –এর OA = OP – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠AOP = ∠APO
আবার, △BOQ –এর OB = BQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠BOQ = ∠BQO
A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB তাদের কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ। ∴ ∴ A, O, B বিন্দু তিনটি সমরেখ।
PQ ও AB রেখাংশদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠AOP = বিপ্রতীপ ∠BOQ
∴ ∠APO = ∠BQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ AP || BQ (প্রমাণিত)
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
Solution:
স্বীকার: A, B, C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে P, Q, R বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB, BC, CA যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়: △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে এবং AB হল কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশ।
∴ R বিন্দুটি AB রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অনুরূপে P ও Q বিন্দুটি যথাক্রমে BC এবং AC রেখাংশের উপর অবস্থিত।
বৃত্ত তিনটি সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
∴ AR = RB = BP = PC = CQ = QA
∴ AR + RB = BP + PC = CQ + QA
⇒ AB = BC = CA
∴ △ABC –এর AB, BC, CA বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB.
Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। উপচাপ BC-এর উপর, X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: △ADE –এর পরিসীমা = 2AB
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AB = AC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B ও X বিন্দুতে যথাক্রমে BD ও DX দুটি স্পর্শক।
∴ BD = DX
এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তের X ও C বিন্দুতে যথাক্রমে XE ও CE দুটি স্পর্শক।
∴ XE = CE
△ADE-এর পরিসীমা
= AD + DE + EA
= AD + DX + XE + EA
= AD + DB + EC + EA
= AB + AC
= AB + AB
= 2AB
11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 12 সেমি (b) 13 সেমি (c) 6.5 সেমি (d) 6 সেমি
Ans: (a) 12 সেমি
[OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি
∴ AB = √(132 – 52)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি]
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর মান পরিমাপ
(a) 60° (b) 45° (c) 30° (d) 90°
Ans: (d) 90°
C বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা, AB স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ DA = DC
∴ ∠DAC = ∠DCA
অনুরূপে DC = DB
∴ ∠DCB = ∠DB
△ACB ত্রিভুজ থেকে পাই,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
বা, ∠DCA + ∠DCB + ∠DAC+ ∠DBC=180°
বা, 2(∠DCA + ∠DCB) =180°
বা, ∠DCA + ∠DCB = 90°
বা, ∠ACB =90°]
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দুরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 60 বর্গ সেমি (b) 30 বর্গ সেমি (c) 120 বর্গ সেমি (d) 150 বর্গ সেমি
Ans: (a) 60 বর্গ সেমি
[OQ = OR = 5 সেমি, OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(132 – 52)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি]
(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 2 সেমি (b) 2.5 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) 8 সেমি
Ans: (d) 8 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (5 + 3) সেমি
= 8 সেমি]
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 5.5সেমি (b) 1 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) 1.5 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (3.5 – 2) সেমি
= 1.5 সেমি]
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
Ans: সত্য।
(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের __________ বলে।
Ans: ছেদক।
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: 4
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো __________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক)।
Ans: তির্যক।
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি। Solution:
এখানে ∠PBO = 30°
△BOP –এর OB = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠BPO = ∠PBO = 30°
PT স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OPT = 90°
∴ ∠BPT = ∠BPO + ∠OPT
= 30°+ 90°
= 120°
△BPT -এর ক্ষেত্রে,
∠PTB + ∠TBP + ∠BPT =180°
বা, ∠PTA + 30° + 120° = 180°
বা, ∠PTA + 150° =180°
বা, ∠PTA = 30°
Ans: ∠PTA-এর মান 30°
Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়। তাহলে x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
এখানে, AP = 4 সেমি,
BP = 6 সেমি,
AC = 12 সেমি।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও R বিন্দুতে AP ও AR দুটি স্পর্শক।
∴ AR = AP = 4 সেমি
∴ CR = AC – AR
= 12 – 4 – – – [∵ AC = 12]
= 8 সেমি
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক।
∴ BQ = BP = 6 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে Q ও R বিন্দুতে CQ ও CR দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CR = 8 সেমি
∴ BC = BQ + CQ
= (6 + 8)
= 14 সেমি।
Ans: x -এর মান 14।
(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:
এখানে, AB = 5 সেমি,
BC = 7 সেমি,
CA = 6 সেমি
∴ AP = AB – BP
= 5 – BR
= 5 – (BC – CR) – – – [∵ BR = BC – CR]
= 5 – (7 – CQ)
= 5 – 7 + CQ
= -2 + (AC – AQ) – – – [∵ CQ = AC – AQ]
= -2 + (6 – AQ)
= -2 + 6 – AQ
= 4 – AP – – – [∵ AQ = AP]
∴ AP + AP = 4
বা, 2AP = 4
বা, AP = 2
Ans: A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি
(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:
এখানে CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CP ও CQ দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CP = 11 সেমি
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে R ও Q বিন্দুতে BR ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BQ = BR
বা, BQ = CQ – BC
= 11 – 7
= 4
∴ BR = 4
Ans: BR -এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:
এখানে, দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1 = 8 সেমি এবং r2 = 3 সেমি,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব d = 13 সেমি
বৃত্ত দুটির সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য
- Madhyamik -26 Mathematics Solution
- Madhyamik -25 Mathematics Solution
- কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান
- কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ
- কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা
- Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
- Solution of Koshe dekhi 22
- Solution of Koshe dekhi 21
- KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
- ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
- Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
- Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X
- Complete Solution of MP-24 Mathematics
- Complete Solution of MP-20 Mathematics
- Complete Solution of MP-19 Mathematics
- Complete Solution of MP-18 Mathematics
