Complete Solution of Probability S N Dey

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1 Click Here

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

1. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36
(b) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
(c) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
(d) P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।
Ans: (b) এবং (c)
[ধরি, তামা থাকার ঘটনা A ও লোহা থাকার ঘটনা B
∴ P(A) = 0.28
তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা = সম্পুর্ন ঘটনা
অর্থাৎ AUB = S
∴ P(AUB) = P(S) = 1
কিন্তু P(AUB) = 0.36
∴ এটি সত্য নয়।]

2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
(a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
(b) P(A/B) > P(B/A)
(c) P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) − 1
(d) P(A^CUB^C) = 1 – P(A∩B)
Ans: (a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
[P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A∩B) = 0 হলে,
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A∩B) ≠ 0 হলে,
P(AUB) < P(A) + P(B)
∴ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)]

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) P(A^c∩B^c) দ্বারা A অথবা B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
(b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1
(c) P(A^cUB^c) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
(d) একটি সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)
Ans: (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/B^c) = P(A) হবে।
(b) যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(AUB) = P(A)) + P(B) হবে।
(c) একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া যাবে।
(d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

Ans: (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।
[নমুনাদেশে সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2⁵ = 32 টি]

5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ⁵/₈ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে –
(a) 5 : 13 (b) 5 : 3 (c) 3 : 5 (d) 8 : 13
Ans: (c) 3 : 5
[∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = ^8-5/₅ = ³/₅ = 3 : 5
▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m

6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁹/₁₃ (b) ⁴/₁₃ (c) ⁴/₉ (d) ⁵/₁₃
Ans: (b) ⁴/₁₃
[ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = ⁴/₉₊₄ = ⁴/₁₃
▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = ^b/_a+b]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

7. একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
(a) 4 : 7 (b) 7 : 4 (c) 4 : 3 (d) 3 : 4
Ans: (c) 4 : 3
[ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ হলে,
ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 – ⁴/₇ = ³/₇
∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = ^7-3/₃ = ⁴/₃ = 4 : 3
▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m]

8. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁵/₉ (b) ⁴/₉ (c) ⁴/₅ (d) ¹/₉
Ans: (a) ⁵/₉
[ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = ⁵/₅₊₄ =⁵/₉
▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = ^b/_a+b ]

9. প্রথম 11টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁶/₁₁ (b) ⁵/₆ (c) ⁴/₁₁ (d) ⁵/₁₁
Ans: (d) ⁵/₁₁
[1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 2, 4, 6, 8, 10 অর্থাৎ 5টি
∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে – ⁵/₁₁]

10. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ¹/₂ (b) ⁵/₈ (c) ³/₄ (d) ³/₈
Ans: (d) ³/₈
[একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2³ = 8
ধরি, A দ্বারা হেড পাওয়ার ঘটনা সূচিত করা হয়।
∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 3টি
∴ P(A) = ³/₈]

11. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ¹/₁₈ (b) ¹/₉ (c) ¹/₁₂ (d) ⁵/₃₆
Ans: (a) ¹/₁₈
[সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6² = 36
ধরি, 11 পাওয়ার ঘটনা A দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা (5,6),(6,5) বা 2টি
∴ P(A) = ²/₃₆ = ¹/₁₈]

12. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে P(A) = ¹/₂ P(AUB) = ²/₃ হলে, P(B) -এর মান হবে – (a) ¹/₄ (b) ¹/₆ (c) ¹/₃ (d) ¹/₅
Ans: (b) ¹/₆
[A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা।
∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ ²/₃ = ¹/₂ + P(B)
⇒ P(B) = ²/₃ – ¹/₂
= ¹/₆]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

13. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ³/₅ ও P(A∩B) = ⁴/₉ হলে, P(B) -এর মান হবে –
(a) ⁵/₉ (b) ⁸/₉ (c) ⁵/₂₇ (d) ²⁰/₂₇
Ans: (d) ²⁰/₂₇
[A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
P(A∩B) = P(A) P(B)
⇒ ⁴/₉ = ³/₅×P(B)
⇒ P(B) = ⁴/₉×⁵/₃ = ²⁰/₂₇]

14. P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A∩B) = ²/₉ হলে, P(A/B) -এর মান হবে –
(a) ⁷/₁₈ (b) ¹⁴/₂₇ (c) ⁵/₁₈ (d) ⁴/₉
Ans: (a) ⁷/₁₈
[P(A/B) = ^P(A∩B)/_P(B)
= ^²/₉/_⁴/₇
= ²/₉×⁷/₄ = ⁷/₁₈]

UNIT – 6
সম্ভাবনা
PROBABILITY

বেইজ উপপাদ্য Bayes’ Theorem প্রশ্নমালা 1B	▶️ CLICK HERE
সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-II)	▶️ CLICK HERE
সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

15. A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ; যদি P(A) = ³/₅ ও P(B) = ¹/₆ হয়, তবে P(C) এর মান হবে –
(a) ²³/₃₀ (b) ⁷/₃₀ (c) ¹/₁₀ (d) ⁹/₁₀
Ans: (b) ⁷/₃₀
[A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ;
∴ AUBUC = S
⇒ P(AUBUC) = P(S)
⇒ P(AUBUC) = 1
⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
⇒ P(C) = 1 – P(A) – P(B)
⇒ P(C) = 1 – ³/₅ – ¹/₆
= ^30-18-5/₃₀
= ⁷/₃₀]

16. P(A∩B) = ⁵/₁₃ হলে, P(A^cUB^c) এর মান হবে-
(a) ⁴/₁₃ (b) ⁶/₁₃ (c) ⁷/₁₃ (d) ⁸/₁₃
Ans: (d) ⁸/₁₃
[ P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – ⁵/₁₃
= ⁸/₁₃]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তে এ ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
Ans: E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B (B ≠ 0) হলে B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে A ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলে এবং তা P(A/B) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
(i) P(AUB) = P(A) + P(B) (ii) P(A∩B) = 0
(iii) P(A) = P(B) (iv) P(AUB) = 1
(v) P(A∩B) ≠ 0 (vi) P(A/B) = P(A)
(vii) P(A) = P(B) (viii) P(A∩B) = P(A) P(B)

Solution:
(i)
P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P (B)
⇒ P(A∩B) = 0
∴ A ও B পৃথক ঘটনা

(ii)
P(A∩B) = 0
∴ A ও B পৃথক ঘটনা।

(iii)
P(A) = P(B)
অর্থাৎ A ও B উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান।
∴ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা।

(iv)
P(AUB) = 1
অর্থাৎ A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটবে।
∴ এটি একটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

(v)
P(A∩B) ≠ 0
⇒ A∩B ≠ ϕ
∴ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা নয়।

(vi)
P(A/B) = P(A)
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = P(A)
⇒P(A∩B) = P(A) P(B)
∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

(vii)
P(A) ≠ P(B)
∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা নয়।

(viii)
P(A∩B) = P(A) P(B)
∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

3. A ও B̄ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পূরক ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, P(A বা B)=1- P(A) P(B/A)
Solution:

$$\large{P(\overline A)=1-P(A);\\P(\overline B)=1-P(B);\\\therefore P(\overline AU\overline B)=P(\overline A)+P(\overline B)-P(\overline A∩\overline B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-P(\overline{AUB})\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-1+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(A)+P(B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(AUB)+P(A∩B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(AUB)-P(A∩B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A∩B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)P(B/A)\quad\mathbf{(Proved)}}$$

4. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা। সেট্ তত্ত্বের প্রচলিত প্রতীকসমূহের প্রয়োগে নিম্নলিখিত ঘটনাসমূহের প্রতীকসমূহ নির্ণয় করো:
(i) কেবল A ঘটে
(ii) A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না
(iii) তিনটি ঘটনাই ঘটে
(iv) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে
(v) কমপক্ষে দুটি ঘটনা ঘটে

(i) Ans: A∩B^c∩C^c
(ii) Ans: A∩B∩C^c
(iii) Ans: A∩B∩C
(iv) Ans: AUBUC
(v) Ans: (A∩B) U (B∩C) U (C∩A)

5. মনে করো, কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A₁, A₂, A₃ হলে কোন্ কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
Ans:
প্রদত্ত ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হলে,
A₁∩A₂ = A₂∩A₃ = A₃∩A₁ = ϕ
⇒ P(A₁∩A₂) = P(A₂∩A₃) = P(A₃∩A₁) = 0 হবে।
সেক্ষেত্রে,
P(A₁UA₂UA₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) হয়।
ঘটনা তিনটি সম্পূর্ণ হলে,
A₁UA₂UA₃ =S হবে – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
সেক্ষেত্রে,
P(A₁UA₂UA₃) = P(S) = 1 হয়।

6. দেখাও যে, A ও B ঘটনা দুটির ঠিক একটা ঘটার সম্ভাবনা হয় P(A) + P(B) – 2P (A∩B)
Ans:
ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
= P(A – B) + P(B – A)
= P(A) – P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – 2P(A∩B)
= P(A) + P(B) – 2P(AB) (Proved)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

7. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রসমূহ দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে কি?
(i) P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P (C) = 0.1
(ii) P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 P (C) = 0.2
(iii)P (AUB) = 0.5, P(B) = 0.6, P (C) = 0.2
(iv)P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P (BAC) = 0.1
(v)P(A) = 0.32, P(B) = 0.47, P( BUC) = 0.6
(vi) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P (C’) = 0.8
যেখানে (AUBUC) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।

Ans:
প্রশ্নানুসারে,
AUBUC=S (নিশ্চিত ঘটনা)
∴ P(AUBUC) = P(S) = 1
∵ A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
P(A) + P(B) + P(C) = 1 – – – – (i)

(i)
P(A) + P(B) + P (C)
= 0.2 + 0.7 + 0.1 =1
এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

(ii)
P(A) + P(B) + P (C)
= 0.4 + 0.6 + 0.2 = 1.2
এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে না।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

(iii)
P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ 0.5 = P(A) + 0.6
⇒ P(A) = 0.5 – 0.6 = – 0.1
∵ 0 ≤ P(A) ≤ 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হবে না।

(iv)
এখানে, P(B∩C) = 0.1≠ 0
শর্তানুসারে, P(B∩C) = 0 হতে হবে।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

(v)
P(BUC) = P(B) + P(C)
⇒ 0.68 = 0.47 + P (C)
⇒ P(C) = 0.21
P(S) = P(AUBUC)
= P(A) + P(B) + P(C)
= 0.32 + 0.47 + 0.21 = 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

(vi)
P(B’) = 0.5.
⇒ P(B) = 1 – P(B’)
⇒ 1 – 0.5 = 0.5
P(C’) = 0.8
⇒ P(C) = 1 – P(C’)
⇒ 1 – 0.8 = 0.2
∴ P(A) + P(B) + P (C)
= 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

8. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P (Z) এবং XUYUZ=S। যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান নির্ণয় করো।

Ans:
XUYUZ=S
P(XUYUS) = P(S)
∵ S নিশ্চিত ঘটনা
∴ P(XUYUS) = P(S) = 1
∵ ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক
∴ P(XUYUS) = 1
⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
⇒ P(X) + ¹/₂P(X) + ¹/₃P(X) = 1
⇒ P(X) (1 + ¹/₂ + ¹/₃) = 1
⇒ P(X)×¹¹/₆ =1
⇒ P(X) = ⁶/₁₁
Ans: P(X) -এর মান ⁶/₁₁

9. 9. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35, P(A অথবা, B)= 0.85 এবং P(A এবং B)=0.15 তবে P(A) -এর মান নির্ণয় করো।

Ans:
P(B) = 0.35,
P(A অথবা, B)= 0.85
⇒ P(AUB) = 0.85,
P(A এবং B)= 0.15
⇒ P(A∩B) = 0.15
∵ P(AUB) = 0.85
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.85
⇒ P(A) + 0.35 – 0.15 = 0.85
⇒ P(A) + 0.20 = 0.85
⇒ P(A) = 0.65

10. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ²/₅, P(B) = ¹/₃ ; P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A) P(B) – – – [ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা]
= ²/₅ + ¹/₃ – ²/₅×¹/₃
= ^6+5-2/₁₅
= ⁹/₁₅= ³/₅

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

11.কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয়। যদি P(A) = ¹/₄, P(B) = ²/₅ এবং P(AUB) = ¹/₂ হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাসমূহের মান নির্ণয় করো:
(i) P(A∩B) (ii) P(A∩B^c)
(iii) P(A^cUB^c) যেখানে দিয়ে একটি ঘটনার পূরক ঘটনা প্রকাশিত হয়।

(i)
Solution:
P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
= ¹/₄ + ²/₅ – ¹/₂
= ^5+8-10/₂₀ = ³/₂₀ (Ans)

(ii)
Solution:
P(A∩B^c) = P(A – (A-B))
= P(A) – P(A∩B)
= ¹/₄ – ³/₂₀
= ^5-3/₂₀
= ²/₂₀ = ¹/₁₀ (Ans)

(iii)
Solution:
P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – P(A∩B)
= 1 – ³/₂₀ = ¹⁷/₂₀ (Ans)

12. P(ĀUB̄) = ⁵/₆, P(A) = ¹/₂ এবং P(B̄) = ²/₃ হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

Solution:
P(ĀUB̄) = ⁵/₆
∴ P(A∩B) = 1 – P(ĀUB̄)
⇒ P((A∩B) = 1 – ⁵/₆ = ¹/₆
আবার P(B̄) = ²/₃
∴ P(B) = 1 – P(B̄)
= 1 – ²/₃ = ¹/₃
∴ P(A) P(B) = ¹/₂×¹/₃
= ¹/₆ = P(A∩B)
Ans: ঘটনা দুটি স্বাধীন।

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক ঘটনাসমূহের সংজ্ঞা দাও। দুটি ঘটনা একই সঙ্গে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে কি? তোমার উত্তর ব্যাখ্যা করতে যথোপযুক্ত উদাহরণ দাও।

Ans:
⏺️যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
⏺️ দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে তাদের মধ্যে কোনো দুটি ঘটনা কখনও একই সঙ্গে ঘটা সম্ভব নয় তখন সেই ঘটনাসমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা বলা হয়।
দুটি ঘটনা একইসাথে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে না ।
⏺️ ধরি, A, B দুটি ঘটনা এমন যে P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0
আরও ধরি, A ও B পরস্পর পৃথক এবং স্বাধীন।
(A∩B) = ϕ
∴ P(A∩B) = 0
⇒ P(A) P(B) = 0
∴ হয় P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 যা অসম্ভব।

2. কখন দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়? দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B যেখানে P(A) ও P(B) কারও মান শূন্য নয়, স্বাধীন হতে পারে কি?

Ans: যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
⏺️ A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা যেখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত,
P(A∩B) = P(A)P(B) = 0
∴ P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 কিন্তু এখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
∴ দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

3. A₁, A₂ ও A₃ তিনটি ঘটনা। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়,

$$\mathbf{P(A_1∩A_2∩A_3)\\\quad\quad=P(A_1)P\left(\frac{A_2}{A_1}\right)P\left(\frac{A_3}{A_1∩A_2}\right)}\\$$

কোন্ শর্তাধীনে P(A₁∩A₂∩A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃) হয় তা উল্লেখ করো।

Solution:
তিনটি ঘটনা একসঙ্গে ঘটবে যখন A₁∩A₂∩A₃ ঘটবে।
∴ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হল –

$$\large{\quad\quad P(A_1∩A_2∩A_3)\\=\frac{P(A_1∩A_2∩A_3)}{P(A_1∩A_2)}P(A_1∩A_2)\\=P(A_1∩A_2)P(A_3/(A_1∩A_2))\\=P(A_1)\frac{P(A_1∩A_2)}{P(A_1)} P\left(A_3/(A_1∩A_2)\right)\\=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/(A_1∩A_2))\\}$$

ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে,
P(A₂/A₁) = P(A₂) এবং
P(A₃/(A₁∩A₂)) = P(A₃) হবে।
∴ P(A₁∩A₂∩A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃)

4. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে P(AUB) ≤ P(A) + P(B)।

Solution:
আমরা জানি,
0 ≤ (AUB) ≤ 1
⇒ -1 ≤ -(AUB) ≤ 0
⇒ P(A) + P(B) -1 ≤ P(A) + P(B) – (AUB) ≤ P(A) + P(B)
⇒ P(AUB) ≤ (A∩B) ≤ P(A) + P(B)
⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)

5. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো:
(i) P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1
(ii) P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(E)
(iii) P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) < P(B)
Solution:
(i)
(A∩B) ≤ A
⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
P(AUB) ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) ≤ P(A)
⇒ P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1 (Proved)
(ii)
(A∩B) ≤ A
⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
A ≤ (AUB)
⇒ P(A) ≤ P(AUB) – – – (ii)
আবার,
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) [∵ P(A∩B) ≥ 1] – – – (iii)
(i), (ii) ও (iii) থেকে পাওয়া যায় –
P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) (Proved)

(iii) প্রদত্ত
P(A) < P(B)
⇒ 1/P(A) > 1/P(B)
⇒ P(A∩B)/P(A) > P(A∩B)/P(B)
⇒ P(B/A) > P(A/B)
⇒ P(A/B) < P(B/A) (Proved)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

6. A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো : (i) A^c এবং B^c (ii) A^c ও B (iii) A ও B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Solution:
∵ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা
∴ P(A∩B) = P(A)P(B)

(i)
P(A^c∩B^c) = P[(AUB)^c]
⇒ P(A^c∩B^c) =1-P(AUB)
⇒ P(A^c∩B^c) = 1− P(A) – P(B) + P(AUB)
⇒ P(A^c∩B^c) = 1− P(A) – P(B)+ P(A)P(B)
⇒P(A^c∩B^c) = [1− P(A)] – P(B)[1 – P(A)]
⇒ P(A^c∩B^c) = [1− P(A)][1- P(B)]
⇒P(A^c∩B^c) = P(A^c)P(B^c)
∴ A^c এবং B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

(ii)
P(A^c∩B) = P(B-(A∩B))
⇒ P(A^c∩B) = P(B)-P(A∩B)
⇒ P(A^c∩B) = P(B)-P(A)P(B)
⇒ P(A^c∩B) = P(B)[1-P(A)]
⇒ P(A^c∩B) = P(B)P(A^c)
⇒ P(A^c∩B) = P(A^c)P(B)
∴ A^c এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

(iii)
P(A∩B^c) = P(A-(A∩B))
⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A∩B)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)-P(A)P(B)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)[1-P(B)]
⇒ P(A∩B^c) = P(A)P(B^c)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)P(B^c)
∴ A এবং B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

7. A^cও B^c ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে

Solution: A^c ও B^c ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(A^c∩B^c) = P(A^c) P(B^c)
⇒ P[(AUB)^c]= (1-P(A)) (1-P(B))
⇒ 1-P(AUB) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ 1- [P(A) + P(B) – P(A∩B)] = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ 1- P(A) – P(B) + P(A∩B) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ P(A∩B) = P(A)P(B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

8. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Solution:
তিনবার টস করার ঘটনা নমুনাদেশ হল –
{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
তিনবার টস করার ঘটনায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2³ = 8 টি।
A = {TTT, TTH, THT, THH }
B = {HHH, HHT, THH, THT} এবং
A∩B = {THH, THT}
∴ P(A) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(B) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(C) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(A∩B) = ²/₈ = ¹/₄
P(A)P(B) = ¹/₂×¹/₂
= ¹/₂ = P(A∩B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা দুবার টস্ করা হয়। মনে করো, A, B ও C দ্বারা যথাক্রমে প্রথম টসে হেড্‌, দ্বিতীয় টসে হেড্‌ এবং কেবল একটি হেড্‌ পড়ার ঘটনা সূচিত হয়। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি প্রতি জোড়ায় স্বাধীন।

Solution:
দুবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HH, HT, TH, TT}
A = {HH, HT},
B= {HH, TH},
C = {HT, TH}
∴ A∩B = {HH},
B∩C = {TH} এবং
C∩A = {HT }
∴ P(A) = ²/₄ = ¹/₂ P(B) = ²/₄ = ¹/₂
P(C) = ²/₄ = ¹/₂ P(A∩B)= ¹/₄
P(B∩C)= ¹/₄ P(C∩A) = ¹/₄
P(A)P(B) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(A∩B)
P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(B∩C)
P(C)P(A) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(C∩A)
∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।

10. প্রমাণ করো যে, দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় “প্রথম পাশায় 4 পড়ার” এবং “দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার” ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

Solution:
ধরি, প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়।
দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6² =36
প্রথম পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
∴ প্রথম পাশায় 4 পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = ¹/₆
দ্বিতীয় পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
∴ দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = ¹/₆
প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(A∩B) = ¹/₃₆
P(A) P(B) = ¹/₆×¹/₆
= ¹/₃₆=P(A∩B)
∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

11. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল e_i(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:
A = (e_1, e₂, e₃, e₄); B = (e₃, e₄, e₅, e₆) ও
C = (e₃, e₄, e₇, e₈) A, B ও C
ঘটনা তিনটির অধীনতা বা স্বাধীনতা পরীক্ষা করো।
Solution:
A∩B = (e₃, e₄), B∩C=(e₃, e₄)
C∩A =(e₃, e₄) এবং A∩B∩C= (e₃, e₄ )
∴ P(A) = ⁴/₈= ¹/₂; P(B) = ⁴/₈= ¹/₂;
P(C) = ⁴/₈= ¹/₂; P(A∩B) = ²/₈= ¹/₄;
P(B∩C) = ²/₈= ¹/₄;
P(C∩A) = ²/₈= ¹/₄;
P(A∩B∩C)= ²/₈= ¹/₄;
P(A)P(B) =¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(A∩B)
P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(B∩C)
P(C)P(A) =¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(C∩A)
∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।
P(A)P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ ×¹/₂= ¹/₄ ≠ P(A∩B∩C)
∴ ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন নয়।

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
(i) P(A^cUB^c)
(ii) P(A^cUB)
(iii) P(A^c∩B^c)

Solution:
(i)
P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – P(A∩B)
= 1 – c (Ans)
(ii) P(A^cUB) = P(A^c) + P(B) – P(A^c∩B)
= 1 – P(A) + P(B) – P(B – (A∩B))
= 1 – P(A) + P(B) – [P(B – P(A∩B))]
= 1 – P(A) + P(B) – P(B) + P(A∩B)
= 1 – P(A) + P(A∩B)
= 1 – b + c (Ans)
(iii) P(A^c∩B^c) = P(AUB)^c
= 1 – P(AUB)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B)
= 1 – a – b + c (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

13. P(A) = ¹/₃, P(B) = ¹/₂, P(A∩B) = ¹/₄ হলে P(B^c), P(A∩B^c), P(AUB), P(B/A), P(A^c∩B^c), P(AUB^c) এর মান নির্ণয় করো।
এক্ষেত্রে, A ও B ঘটনা দুটি
(i) পরস্পর পৃথক কি না (ii) স্বাধীন কি না
(iii) সমভাবে সম্ভাব্য কি না (iv) সম্পূর্ণ কি না বলো।

Solution:
P(B^c) = 1 – P(B)
= 1 − ¹/₂ = ¹/₂ (Ans)
P(A∩B^c) = P(A-A∩B)
= P(A)-P(A∩B)
= ¹/₃ – ¹/₄
= ^4-3/₁₂ = ¹/₁₂ (Ans)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= ¹/₃ + ¹/₂ – ¹/₄
= ^4+6-3/₁₂ = ⁷/₁₂ (Ans)
P(B/A) = ^P(A∩B)/_P(A)
= ^¹/₄/_¹/₃= ³/₄ (Ans)
P(A^c∩B^c) = P(AUB)^c
= 1 – P(AUB)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [¹/₃ + ¹/₂ – ¹/₄]
= 1 – ⁷/₁₂ = ⁵/₁₂ (Ans)
P(AUB^c) = P(A) + P(B^c) – P(A∩B^c)
= P(A) + 1 – P(B) – P(A – (A∩B))
= P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(A∩B)]
= P(A) + 1 – P(B) – P(A) + P(A∩B)
= 1 – P(B) + P(A∩B)
= 1 – ¹/₂ + ¹/₄ = ³/₄ (Ans)
(i) P(A∩B) = ¹/₄ ≠ 0
∴ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক নয়। (Ans)
(ii) P(A)P(B) = ¹/₃×¹/₂
= ¹/₆ ≠ ¹/₄
∴ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)
∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়। (Ans)
(iii) P(A) = ¹/₃ এবং P(B) = ¹/₂
∴ P(A) ≠ P(B)
∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। (Ans)
(i) P(AUB) = ⁷/₁₂ ≠ 1
∴ ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়। (Ans)

14. (i) প্রদত্ত P(E) = ¹/₃ , P(F)= ¹/₄ এবং P(E∩F)= ¹/₆ , P(E^cUF) মান নির্ণয় করো।

(i) Solution:
P(E^cUF) = P(E^c)+ P(F) – P(E^c∩F)
= P(E^c) + P(F)+ P(F∩E^c)
= 1-P(E)+ P(F) − P(F – P(E∩F))
= 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E∩F)]
= 1 – P(E) + P(F) – P(F) + P(E∩F)
= 1 – P(E) + P(F∩E)
= 1 – ¹/₃ + ¹/₆
= ^6-2+1/₆ = ⁵/₆ (Ans)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = ⁵/₁₃ এবং P(A/B) = ²/₅ হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
2P(A) = P(B)
বা, P(A) = ¹/₂×P(B)
= ¹/₂×⁵/₁₃ – – – [P(B) = ⁵/₁₃]
= ⁵/₂₆
P(A/B) = ²/₅
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = ²/₅
⇒ ^P(A∩B)/_⁵/₁₃ = ²/₅
⇒ P(A∩B) = ²/₅×⁵/₁₃
= 2/13
∴ P(AUB) = P(A)+ P(B) – P(A∩B)
= ⁵/₂₆ + ⁵/₁₃– ²/₁₃
= ^5+10-4/₂₆ = ¹¹/₂₆ (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(A^cUB^c)= 0.7; P(A/B^c) এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
P(A^cUB^c) = 0.7
⇒ P(A∩B)^c = 0.7
⇒ 1- P(A∩B) = 0.7
⇒ P(A∩B) = 1- 0.7 = 0.3
P(A/B) = 0.8
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = 0.8
⇒ ^0.3/_P(B) = 0.8
⇒ P(B) = ^0.3/_0.8
= ³/₈ = 0.375
P(B^c) = 1 – P(B)
= 1 – ³/₈
= ⁵/₈ = 0.625
P(B/A) = 0.6
⇒ ^P(A∩B)/_P(A) = 0.6
⇒ ^0.3/_P(A) = 0.6
⇒ P(A) = ^0.3/_0.6
= ¹/₂ = 0.5
P(A∩B^c) = P(A-A∩B)
= P(A) – P(A∩B)
= 0.5 – 0.3=0.2
P(A/B^c) = ^{P(A∩B^c)}/_P(B^c)
= ^0.2/_0.625= 0.32 (Ans)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

(i) Solution:
P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉
∵ P(A + B) = ⁷/₉
⇒ P(AUB) = ⁷/₉
⇒ P(A)+ P(B) – P(A∩B) =⁷/₉
⇒ ³/₇ + ⁴/₇ – P(A∩B) = ⁷/₉
⇒ P(A∩B) = ³/₇ + ⁴/₇ – ⁷/₉
= 1- ⁷/₉ = ²/₉
∴ P(A/B) = ^P(A∩B)/_P(B)
= ^²/₉/_⁴/₇
= ²/₉×⁷/₄= ⁷/₁₈ (Ans)

P(B/A) = ^P(A∩B)/_P(A)
= ^²/₉/_³/₇
= ²/₉×⁷/₃= ¹⁴/₂₇ (Ans)
আবার
P(A)P(B) = ³/₇ × ⁴/₇
= ¹²/₄₉≠ P(A∩B)
∴ ঘটনা দটি স্বাধীন নয়।

(ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2;
P(E/F) = ^P(E∩F)/_P(F)
= ^0.2/_0.3 = ²/₃ (Ans)
P(F/E) = ^P(E∩F)/^P(E)
= ^0.2/_0.6 = ¹/₃ (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

17. (i) দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ধরি, প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 2 : 7
∴ P(A) = ⁷/₂₊₇ = ⁷/₉
B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 7 : 5
∴ P(B) = ⁵/₇₊₅ = ⁵/₁₂
∵ ঘটনা দুটি স্বাধীন
∴ P(A∩B) = P(A)P(B) = ⁷/₉×⁵/₁₂ = ³⁵/₁₀₈
∴ ঘটনা দুটির অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা-
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A)P(B)
= ⁷/₉ + ⁵/₁₂ – ³⁵/₁₀₈
= ^84+45-35/₁₀₈
= ⁹⁴/₁₀₈ = ⁴⁷/₅₄

(ii) দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইন্টারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₆ এবং ¹/₇ হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
ধরি, A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S₁ এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(S₁) = ¹/₆ এবং
P(S₂) = ¹/₇
এখানে, S₁ এবং S₂ ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(S₁∩S₂) = P( S₁)P(S₂)
= ¹/₆ × ¹/₇ = ¹/₄₂
∴ P(S₁US₂) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁∩S2 )
⇒ P(S₁US2) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁)P(S₂ )
= ¹/₆ + ¹/₇ – ¹/₄₂
= ^7+6-1/₄₂
= ¹²/₄₂ = ²/₇
Ans: কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা ²/₇

18. একজন ঠিকাদারের প্লামবিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা ²/₃ এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা না পাওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₉ । যদি কমপক্ষে একটি ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₅ হয়, তবে তার পক্ষে উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?।

Solution:
ধরি, প্লাম্বিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা A এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
P(A) = ²/₃ ; এবং
P(B)^C = ⁵/₉
⇒ P(B) = 1 – P(B)^C
= 1- ⁵/₉ = ⁴/₉
P(AUB) = ⁴/₅
আবার, P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ ⁴/₅ = ²/₃ + ⁴/₉ – P(A∩B)
⇒ P(A∩B) = ²/₃ + ⁴/₉ – ⁴/₅
⇒ P(A∩B) = ^30+20-36/₄₅
⇒ P(A∩B) = ¹⁴/₄₅
Ans: উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 14/45

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

19. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

Solution:
ধরি, বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ n(A) = 30
⇒ P(A) = ³⁰/₃₀₊₂₀ = ³⁰/₅₀ = ³/₅
n(B) = ¹/₂×30 + ¹/₂×20 = 15+10 = 25,
⇒ P(B) = ²⁵/₅₀ = ¹/₂
n(A∩B) = ¹/₂×30 = 15
⇒ P(A∩B) =¹⁵/₅₀ = ³/₁₀
∴ উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচন করা হলে, বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল –
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
= ³/₅ + ¹/₂ – ³/₁₀
= ^6+5-3/₁₀
= ⁸/₁₀ = ⁴/₅
Ans: বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₅

20. প্রথম 200টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, তোলা টিকিটটি 3-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A এবং 7-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
1 থেকে 200-এর মধ্যে 3-এর গুণিতক আছে 66 টি
∴ n(A) = 66 ⇒ P(A)= ⁶⁶/₂₀₀ = ³³/₁₀₀
1 থেকে 200-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক আছে 28 টি।
∴ n(B) = 28 ⇒ P(B) = ²⁸/₂₀₀ = ⁷/₅₀
1 থেকে 200-এর মধ্যে 3 এবং 7-এর গুণিতক অর্থাৎ 21-এর গুণিতক আছে 9টি।
∴ n(A∩B) = 9 ⇒ P(A∩B) = ⁹/₂₀₀
∴ নির্বাচিত সংখ্যাটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= ³³/₁₀₀ + ⁷/₅₀ – ⁹/₂₀₀
= ^66+28-9/₁₀₀
= ¹⁷/₄₀
Ans: তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা ¹⁷/₄₀

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

21. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা B -এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, A-এর সমাধান করার ঘটনা S₁ এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা S₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(S₁) = ⁷⁵/₁₀₀ = ³/₄ এবং
P(S₂) = ⁷⁰/₁₀₀ = ⁷/₁₀
এখানে, S₁ এবং S₂ ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(S₁∩S₂) = P( S₁)P(S₂)
= ³/₄ × ⁷/₁₀ = ²¹/₄₀
∴ P(S₁US₂) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁∩S2 )
⇒ P(S₁US2) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁)P(S₂ )
= ³/₄ + ⁷/₁₀ – ²¹/₄₀
= ^30+28-21/₄₀
= ³⁷/₄₀
Ans: A অথবা B-এর সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা হল 37/40

22. চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, লক্ষ্যবস্তুতে A-এর আঘাত করার ঘটনা T₁ এবং B -এর আঘাত করার ঘটনা T₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(T₁) = ³/₄ এবং
P(T₂) = ⁴/₅ ,
দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা হল –
P(T₁UT₂) = P(T₁) + P ( T₂ ) – P( T₁∩T₂ )
⇒ P(T₁UT₂) = P(T₁) + P ( T₂ ) – P( T₁)P(T₂ ) – – – [T₁,T₂ ঘটনা দুটি স্বাধীন]
⇒ P(T₁UT₂) = ³/₄ + ⁴/₅ – ³/₄ × ⁴/₅
⇒ P(T₁UT₂) = ³/₄ + ⁴/₅ – ³/₅
⇒ P(T₁UT₂) = ^{15 + 16 – 12}/₂₀
⇒ P(T₁UT₂) = ¹⁹/₂₀
Ans: দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা ¹⁹/₂₀

NEXT

Tag: Complete Solution of Probability S N Dey

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

UNIT – 6সম্ভাবনাPROBABILITY

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

12. P(ĀUB̄) = 5/6, P(A) = 1/2 এবং P(B̄) = 2/3 হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো: (i) P(AcUBc) (ii) P(AcUB)(iii) P(Ac∩Bc)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = 5/13 এবং P(A/B) = 2/5 হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(AcUBc)= 0.7; P(A/Bc) এর মান নির্ণয় করো।

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

(ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

UNIT – 6
সম্ভাবনা
PROBABILITY

12. P(ĀUB̄) = ⁵/₆, P(A) = ¹/₂ এবং P(B̄) = ²/₃ হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
(i) P(A^cUB^c)
(ii) P(A^cUB)
(iii) P(A^c∩B^c)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = ⁵/₁₃ এবং P(A/B) = ²/₅ হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(A^cUB^c)= 0.7; P(A/B^c) এর মান নির্ণয় করো।

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?