Complete Solution of MP-17

মাধ্যমিক গণিত ২০১৭ সমাধান

2017 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৭

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো

2017
MATHEMATICS
Time – 3 Hours Fifteen Minutes
(First fifteen15 minutes for reading the question paper)
Full Marks-90 -For Regular Candidates
100 – For External Candidates

[প্রশ্ন নং 1, 2, 3, 4-এর উত্তরগুলির প্রশ্নসংখ্যা লিখে ক্রমানুযায়ী উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনীয়, হিসাবপত্র ও চিত্র অঙ্কন আবশ্যিকভাবে উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে মার্জিন টেনে ডান দিকে করতে হবে।//কোনো প্রকার সারণী বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করতে দেওয়া হবে না। প্রয়োজনে π = 22/7 ধরে নিতে হবে। প্রয়োজন মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

Complete Solution of MP-17

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচিত করো। 1×6 = 6

(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 25 : 28 হলে বার্ষিক’ সুদের হার
(a) 3% (b) 12% (c) 10 ⁵/₇% (d) 8%
Ans. (b) 12%
[ধরি আসল 25x টাকা এবং সবৃদ্ধিমূল 28x টাকা
∴ সুদ = (28x – 25x) = 3x টাকা
3x = ^25x×1×r/₁₀₀
⇒ 3 = ^r/₄
∴ r = 12]

(ii) কোন শর্তে ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে?
(a) a = 0 (b) b = 0 (c) c = 0 (d) এদের কোনটিই নয়।
Ans. (c) c = 0
[দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হয় যদি ধ্রুবক পদের সহগ শূন্য হয়]

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা
(a) 2টি (b) 1টি (c) 3টি (d) 4টি
Ans. (d) 4টি

2017 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

(iv) sinθ = cosθ হলে 2θ-এর মান হবে (a) 30^o (b) 60^o (c) 45^o (d) 90^o
Ans. (d) 90^o
[ sinθ = cosθ
⇒ sinθ = sin(90^o – θ)
⇒ θ = 90^o – θ
⇒ 2θ = 90^o]

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) ৪ গুণ
Ans. (d) ৪ গুণ
[ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ শঙ্কুটির আয়তন V₁= ¹/₃πr²h ঘন একক
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃π×(2r)²×2h ঘন একক
= ¹/₃π×4r²×2h ঘন একক
= 8×¹/₃πr²h ঘন একক
= 8×V₁ ঘন একক]

(vi) 2, 8, 2, 3, 8, 3, 9, 5, 6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা
(a) 8 (b) 6.5 (c) 5.5 (d) 52
Ans. (d) 52
[সংখ্যাগুলিকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই- 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9
এখানে n = 9
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদ
= ⁹⁺¹/₂ তম পদ
= ¹⁰/₂ তম পদ
= 5 তম পদ = 5]

Complete Solution of MP-17

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান।
Ans: এক

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে।
Ans: সমান

(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি __________ হবে।
Ans: সদৃশ

(iv) cos²θ – sin²θ = ¹/_x (x > 1), হলে cos⁴θ – sin⁴θ __________
Ans: ¹/_x
[cos⁴θ – sin⁴θ
= (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
= 1×¹/_x
= ¹/_x]

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
Ans: একটি

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x_n এই n সংখ্যক সংখ্যার গড় x হলে Kx₁, Kx₂, Kx₃ …….. Kx_n এর গড় __________ (K≠ 0)
Ans: Kx̄
[ ^{x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n}/_n = x̄
∴ ^{Kx₁+Kx₂+Kx₃+ …….. +Kx_n}/_n
⇒ ^{K(x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n)}/_n
= Kx̄]

Complete Solution of MP-17

3. সত্য বা মিথ্যা লেখ (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল। বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে।
Ans: সত্য
[A B এর মূলধনের অনুপাত
= 10,000×12 : 20,000×6
= 120,000 : 120,000
= 1 : 1
লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত = 1 : 1]

(ii) x = 2 + √3 হলে x + ¹/_x – এর মান হবে 2√3

Ans: মিথ্যা
[ x = 2 + √3
∴ ¹/_x = ¹/_{2 + √3}
= ^{2 – √3}/_{(2 + √3)(2 – √3)}
= ^{2 – √3}/_{(2)² – (√3)²}
= ^{2 – √3}/_4-3
= 2 – √3
∴ X + ¹/_x = 2 + √3 + 2 – √3 = 4]

(iii) 7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি হবে।
Ans: মিথ্যা
[7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হবে
= (7 + 3) সেমি = 10 সেমি

(iv) 0^o < θ < 90^o হলে sinθ > sin²θ হবে।
Ans: সত্য

(v) একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ 3πr² = 36π
⇒ r² = 12
⇒ r² = 2√3]

(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্ব টানলে, x অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা।
Ans: সত্য

Complete Solution of MP-17

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি) 2×10=20

(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?

Solution:
ধরি, মূলধনের পরিমাণ P টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r%
P টাকা 8 বছরে দ্বিগুণ হয়।

\(\large{∴P(1+\frac{r}{100})^8=2P\\⇒(1+\frac{r}{100})^8=2 —-(i)\\}\)ধরি P টাকা t বছরে চারগুণ হবে।\(\large{\\∴P+\frac{r}{100})^t=4P\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=4\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=(2)^2\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=[(1+\frac{r}{100})^8]^2\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=(1+\frac{r}{100})^{16})\\\quad ∴ r=16}\)

Ans: 16 বছরে চারগুণ হবে

(ii) কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের দেড়গুণ। ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা পাবে?

Solution:
ধরি, B-এর মূলধন x টাকা
∴ A-এর মূলধন = x × .1¹/₂ টাকা
= ^3x/₂ টাকা
∴ A ও B-এর মূলধনের অনুপাত
= ^3x/₂ : x
= ³/₂ : 1
= 3 : 2
আরও ধরি A লভ্যাংশ পাবে p টাকা
B লভ্যাংশ পায় 1,500 টাকা
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ p : 1,500 = 3 : 2
বা, p = 1,500 × ³/₂
বা, p = 750×3
বা, p = 2250
Ans: A পাবে 2250 টাকা ।

(iii) সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।

Solution:
x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
∴ b² – 4ac = 0
বা, (p-3)² – 4.1.p = 0
বা, p² – 6p + 9 – 4p = 0
বা, p² – 10p + 9 = 0
বা, p² – 9p – p + 9 = 0
বা, p(p – 9) -1(p – 9) = 0
বা, (p – 9)(p – 1) = 0
হয় p – 9 = 0 নতুবা p – 1 = 0
∴ p = 9 ∴ p = 1
Ans: ‘p’ এর মান 9 অথবা 1-এর জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Complete Solution of MP-17

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।
Solution:
x ∝ yz এবং y ∝ zx
⇒ x = kyz – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং
y ∝ zx
⇒ y = mzx – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ y = mz.kyz – – – – [∵ x = kyz]
⇒ 1 = mkz²
⇒ z² = ¹/_mk
⇒ z = ¹/_√mk
∴ z = ধ্রুবক (Proved)

(v) একটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত তাদের পরিসীমার অনুপাতের সমান হয়।
এখানে সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত = 20 : 16 = 5 : 4
প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহু 7 সেমি।
ধরি, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
∴ 9 : x = 5 : 4
বা, ⁹/_x = ⁵/₄
বা, 5x = 36
বা, x = ³⁶/₅
∴ x = 7.2
Ans: দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি

(vi) △ABC এর ∠ABC = 90^o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC এর ∠ABC = 90^o,
AB = 5 সেমি,
BC = 12 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (5)² + (12)²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
∴ AC = 13
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র ঐ ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত হয়।
Ans: ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ¹³/₂ = 6.5 সেমি.

(vii) ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2√2a সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC এর মান লেখো।
Solution:
ABC ত্রিভুজের,
AB = (2a – 1) সেমি,
AC = 2√2a সেমি এবং
BC = (2a + 1) সেমি
∴ AB² + AC²
= (2a – 1)² + (2√2a)²
= 4a² – 4a + 1 + 8a
= 4a² + 4a + 1
= (2a – 1)² = BC²
∴ BC² = AB² + AC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BC
∴ ∠BAC সমকোণ
∴ ∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC এর মান 90^o

(viii) x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।
Solution:
x = asecθ
∴ ^x/_a = secθ
বা, ^x²/_a² = sec²θ – – – – (i)
y = btanθ
∴ ^y/_b = tanθ
বা, ^y²/_b² = tan²θ – – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
^x²/_a² – ^y²/_b² = sec²θ – tan²θ
⇒ ^x²/_a² – ^y²/_b² = 1 – – – – [∵ sec²θ – tan²θ= 1]
Ans: θ বর্জিত সম্পর্কটি হল ^x²/_a² – ^y²/_b² = 1

Complete Solution of MP-17

(ix) tan(θ + 15^o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
tan(θ + 15^o) = √3
⇒ tan(θ + 15^o) = tan60^o
⇒ θ + 15^o = 60^o
⇒ θ = 60^o – 15^o
⇒ θ = 45^o
∴ sinθ + cosθ
= sin45^o + cos45^o
= ¹/_√2 + ¹/_√2
= ¹⁺¹/_√2
= ²/_√2
= √2
Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2

(x) একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

Solution:
ধরি, ছোট গোলকটির ব্যাস 2r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাস 4r একক
∴ ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাসার্ধ 2r একক
বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(2r)² বর্গ একক
= 16πr² বর্গ একক

ছোট গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³ ঘন একক
∵ বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান = ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমান
∴ 16πr² = ⁴/₃πr³
বা, 48πr² = 4πr³
বা, 12 = r
∴ r = 12
Ans: ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ 12 একক

(xi) একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x, ধার সংখ্যা y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা P হলে x – y + z + P এর মান কত?
Solution:
আয়তঘনকের তলসংখ্যা x = 6,
ধার সংখ্যা y = 12,
শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z = 8 এবং
কর্ণের সংখ্যা P = 4
∴ x – y + z + P
= 6 – 12 + 8 + 4
= 6
Ans: x – y + z + P এর মান 6

(xii) 11, 12, 14, x – 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে x এর মান নির্ণয় কর।
Solution:
এখানে রাশির সংখ্যা 9 (অযুগ্ম)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ⁹⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ¹⁰/₂ = 5-তম রাশির মান
= x + 4
প্রশ্নানুযায়ী
x + 4 = 24
∴ x = 20
Ans: x এর মান 20

Complete Solution of MP-17

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?

Solution:
ধরি, আসল = P টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 80 টাকা
ধরি, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I₁
প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 4%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি,
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

\(\large{I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{4}{100} \right )^{2}-1 \right]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{25} \right )^{2}-1 \right]\\=P\left [ \left ( \frac{26}{25} \right )^{2}-1 \right ]\\=P×\frac{26+25}{25}×\frac{26-25}{25}\\=P×\frac{51}{25}×\frac{1}{25}\\=\frac{51P}{625}}\)

2 বছরের সরল সুদ

\(\large{I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×4×2}{100}\\=\frac{2P}{25}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,

\(\large{I_{1}-I_{2}=80\\\therefore \frac{51P}{625}-\frac{2P}{25}=80\\⇒\frac{51P-50P}{625}=80}\)

⇒ P = 625×8
∴ P =50000
Ans: 50000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে।

(ii) A, B, C যৌথভাবে 1,90,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও।

Solution:
ধরি C-এর মূলধনের x টাকা
∴ B-এর মূলধনের (x + 20000) টাকা এবং
A-এর মূলধনের [(x + 20000) + 20000] টাকা = (x + 40000) টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(x + 40000) + (x + 20000) + x = 180000
বা, 3x + 60000 = 180000
বা, 3x = 180000 – 60000
বা, 3x = 120000
বা, x = 40000
∴ A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= (40000 + 40000) : (40000 + 20000) : 40000
= 80000 : 60000 : 40000
= 8 : 6 : 4
= 4 : 3 : 2
∴ 10800 টাকার মধ্যে,
A পাবে = 10800×⁴/₄₊₃₊₂ টাকা
= 10800×⁴/₉ টাকা
= 1200×4 টাকা
= 4800 টাকা
B পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
C পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
Ans: A পাবে 4800 টাকা,
B পাবে 3600 টাকা ও
C পাবে 2400 টাকা

6. যে কোনো একটি সমাধান কর: 3

\(\Large{\mathbf{(i)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)

⇒ x² + ax + bx = -ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b

(ii) একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত?
Solution:
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – 5x = 3
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(2x + 1) = 0
হয় (x – 3) = 0 নতুবা (2x + 1) = 0
বা, x = 3 বা, x = – 1/2
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা
x ≠ – ½
∴ x = 3
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3

Complete Solution of MP-17

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল কর:

\(\Large{\mathbf{(i)\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}\\=\frac{(√3-√2)}{(√3+√2)(√3-√2)}-\frac{(√3+1)(2-√3)}{(2+√3)(2-√3)}+\frac{(√2+1)(3-2√2)}{(3+2√2)(3-2√2)}\\=\frac{√3-√2}{(√3)^2-(√2)^2}-\frac{2√3-3+2-√3}{(2)^2-(√3)^2}+\frac{3√2-2.2+3-2√2}{(3)^2-(2√2)^2}\\=\frac{√3-√2}{3-2}-\frac{√3-1}{4-3}+\frac{√2-1}{9-8}\\=\frac{√3-√2}{1}-\frac{√3-1}{1}+\frac{√2-1}{1}}\)

= √3 – √2 – √3 + 1 + √2 – 1
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলমান 0

(ii) একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?

Solution:
ধরি, হোস্টেলের ব্যয় C টাকা যার মধ্যে C₁ ধ্রুবক এবং C₂ আবাসিকদের সংখ্যা N-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
∴ C = C₁ + C₂
∴ C₂ ∝ N
বা, C₂ = kN – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ C = C₁ + kN – – – – (i)
N = 120 হলে C = 2000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
2000 = C₁ + k×120
বা, 2000 = C₁ + 120k – – – – (ii)
N = 100 হলে C = 1700 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
1700 = C₁ + k×100
বা, 1700 = C₁ + 100k – – – – (iii)

(ii) – (iii) করে পাই,
C₁ + 120k – (C₁ + 100k) = 2000 – 1700
বা, C₁ + 120k – C₁ – 100k = 300
বা, 20k = 300
বা, k = 15
(ii) নং সমীকরণে k = 15 বসিয়ে পাই,
2000 = C₁ + 15×120
বা, 2000 = C₁ + 1800
∴ C₁ = 200
(i) নং সমীকরণে C₁ ও k-এর মান বসিয়ে পাই,
C = 200 + 15N
C = 1880 হলে,
1880 = 200 + 15N
⇒ 15N =1880 – 200
⇒ 15N =1680
⇒ N =112
Ans: ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা হবে 112 জন।

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

\(\mathbf{(i)}\) যদি \(\Large{\mathbf{\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}}\)

হয়, তবে প্রমাণ কর যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় ¹/₂ অথবা -1

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই)

\(\Large{=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}\\=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}\\=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}\\=\frac{1}{2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয়

\(\Large{=\frac{a-b}{b+c-c-a}\\=\frac{a-b}{b-a}\\=\frac{a-b}{-(a-b)}\\=-1\quad \mathbf{(Proved)}}\)

(ii) যদি (b + c − a) x = (c + a – b)y = (a + b – c) z = 2, হয়, তবে দেখাও যে

\(\Large{\mathbf{\quad(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=abc}}\)

Solution:
∵ (b + c − a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2
∴ (b + c − a)x = 2
বা, ^{b + c − a}/₂ = ¹/_x
(c + a – b)y = 2
বা, ^{c + a − b}/₂ = ¹/_y
(a + b – c) z = 2
বা, ^{a + b – c}/₂ = ¹/_z

\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})\\=(\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2})(\frac{c+a-b}{2}+\frac{a+b-c}{2})(\frac{a+b-c}{2}+\frac{b+c-a}{2})\\=(\frac{b+c-a+c+a-b}{2})(\frac{c+a-b+a+b-c}{2})(\frac{a+b-c+b+c-a}{2})\\=(\frac{2c}{2})(\frac{2a}{2})(\frac{2b}{2})=\mathbf{R.H,S\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-17

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও? 5

(i) যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।

স্বীকার: ΔABC-এর AB বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, AB² = AC² +BC²
প্রামান্য বিষয়: ∠ACB= 1 সমকোণ
অঙ্কন: CB-এর সমান করে FE সরলরেখাংশ অঙ্কন করলাম। FE বাহুর উপর F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করলাম এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান করে FD অংশ কেটে নিলাম এবং D ও E বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ: AB² = AC² + BC² – – – [প্রদত্ত]
= DF² + EF² – – – [অঙ্কনানুসারে AC = DF এবং BC = EF]
=DE²– – – [∵∠DFE = 1 সমকোণ]
∴ AB = DE
△ABC ও △DEF-এর ক্ষেত্রে,
AB = DE – – – [পূর্বে প্রমানিত],
BC = EF – – – [অঙ্কনানুসারে]এবং
AC = DF – – – [অঙ্কনানুসারে]
∴ △ABC ≅ △DEF – – – (S-S-S সর্বসমতার শর্তানুসারে)
∴ AB = DE
∵ ∠ACB = ∠DFE = 1 সমকোণ – – – [অঙ্কনানুসারে, DF ⊥ EF]
∴∠ACB = । সমকোণ (Proved)

(ii) কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোগক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B,
O.A; O, B; O, P যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PA = PB
প্রমাণ: PA ও PB স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
POA ও POB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
∠OAP = ∠OBP – – – (প্রত্যেকে 1 সমকোণ)
অতিভুজ OP সাধারণ বাহু এবং
OA = OB – – – (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ΔΡΑΟ = ΔΡΒO – – – [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴PA = PB [Proved]

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তঃস্থ চতুর্ভুজ।

স্বীকার: ABCD চতুর্ভুজের AR, BP, CP ও DR যথাক্রমে ∠A, ∠B, ∠C ও ∠D-এর সমদ্বিখণ্ডক যা পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রমাণ: △ARD-এর,
∠ARD + ∠RDA + ∠DAR = 180^o
⇒ ∠ARD+ ¹/₂∠D + ¹/₂∠A = 180^o – – – – – (i)
আবার, △BPC-এর,
∠BPC + ∠PCB + ∠CBP = 180^o
⇒ ∠BPC + ¹/₂∠C+ ¹/₂∠B = 180^o – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠ARD + ¹/₂∠D + ¹/₂∠A + ∠BPC + ¹/₂C+ ¹/₂∠B = 180^o + 180^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + ¹/₂(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + ¹/₂×360^o = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + 180^o = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC = 360^o – 180^o
∴ ∠ARD + ∠BPC = 180^o
অনুরূপে ∠QRS + ∠QPS = 180^o
∴PQRS চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (Proved)

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
△BOD ও △COD থেকে পাই,
BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]

Complete Solution of MP-17

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(ⅰ) 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর এবং ঐ ত্রিভুজটির অর্ন্তবৃত্ত অঙ্কন কর। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

(ii) ৪ সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন কর এবং ঐ আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন কর। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

12. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(i) কোনে৷ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ ^π/₃, ^5π/₆, 90^o হলে চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো।
Solution:
π/3 = 180°/3
= 60°;
5π/6 = 5×180°/6
= 150°
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
= 360° – (60° + 150° + 90°)
= 360° – 300°
= 60°
= 60°×3/3
= 180°/3
= π/3
Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
বৃত্তীয় মান = π/3

\(\large{\mathbf{(ii)\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\large{\mathbf{sinθ – cosθ=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\)

\(\Large{\mathbf{Solution}\\\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}\\⇒\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{x}{y}\\⇒tanθ=\frac{x}{y}}\)

আমরা জানি, sec²θ = 1 + tan²θ

\(\Large{∴secθ=\sqrt{1+tan^2θ}\\\quad=\sqrt{1+(\frac{x}{y})^2}\\\quad=\sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{y^2+x^2}{y^2}}\\\quad=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\\∴cosθ=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

আাবার sin²θ + cos²θ = 1

\(\Large{∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ} \\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-y^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

\(\Large{\mathbf{L.H.S.} \\=sinθ-cosθ\\=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

(iii) যদি tan9^o = ^a/_b হয় তবে প্রমাণ কর যে,

\(\large{\quad\mathbf{\frac{sec^281^o}{1+ cot^281^o}=\frac{b^2}{a^2}}\\\mathbf{Solution:}}\)

\(\large{\quad tan9^o=\frac{a}{b}\\⇒tan(90^o-81^o)=\frac{a}{b}\\⇒cot81^o=\frac{a}{b}\\∴tan81^o=\frac{b}{a}}\)

\(\large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\frac{sec^281^o}{1+ cot^281^o}\\=\frac{sec^281^o}{cosec^281^o}\\=\frac{\frac{1}{cos^281^o}}{\frac{1}{sin^281^o}}\\=\frac{sin^281^0}{cos^281^o}\\=tan^281^o\\=(\frac{b}{a})^2\\=\frac{b^2}{a^2}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-17

13. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মি.। একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
Solution:

ধরি, ছোট স্তম্ভ CD = x মিটার এবং
বড় স্তম্ভ AB = 3x মিটার।
AB ও CD স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোজক রেখাংশ AC -এর মধ্যবিন্দু E থেকে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং (90^o – θ)
এখানে AC = 150 মিটার
∴ AE = CE = ¹⁵⁰/₂ = 75 মিটার
∠AEB = θ
∠CED = 90^o – θ
ΔBAE -এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AE = tanθ
⇒ ^3x/₇₅ = tanθ
⇒ 3x = 75×tanθ – – – (i)
আবার ΔDCE -এর ক্ষেত্রে,
^CD/_CE = tan(90^o – θ)
⇒ ^x/₇₅ = cotθ
⇒ x = 75×cotθ – – – (ii)
(i)×(ii) করে পাই
3x.x = 75×tanθ×75×cotθ
⇒ 3x² = 75×75×tanθ.cotθ
⇒ x² = 75×25×1 – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ x² = 3×25×25
∴ x = 25√3
Ans: ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা 25√3 মিটার।

(ii) একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি 60° এবং 30° হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মি. দূরে থাকে তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত?
Solution:

ধরি, লাইটহাউসের উচ্চতা(AB) = x মিটার
প্রথম জাহাজ থেকে দ্বিতীয় জাহাজের দূরত্ব(CD) = y মিটার:
এখন ΔABC থেকে পাওয়া যায়,

\(\Large{\quad tan60^{\circ}=\frac{AB}{BC} \\⇒\sqrt{3}=\frac{x}{150}\\⇒x=150√3}\)

∴ লাইটহাউসের উচ্চতা = 150√3 মিটার
আবার ΔABD থেকে পাওয়া যায়,

\(\Large{\quad tan30^{\circ}=\frac{AB}{BD}\\⇒\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BC+CD}\\⇒\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{150+y}}\)

⇒ 150 + y = √3x
⇒ 150 + y = √3×150√3 – – – – – [∵ x = 150√3]
⇒ 150 + y = 450
⇒ y = 450 – 150
⇒ y = 300
∴ CD = y = 300
BD = BC + CD
= (150 + 300) মিটার
= 450 মিটার
Ans: দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটহাউস থেকে 450 মিটার দূরে অবস্থিত।
লাইটহাউসের উচ্চতা 100√3 মিটার।

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 4.2 ডেসি মি দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবথেকে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় কর।
Solution:
কাঠের ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি. = 42 সেমি.।
নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ^4.2/₂ = 2.1ডেসিমি. =21 সেমি. এবং উচ্চতা 42 সেমি.।
∴ নিরেট শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×21×21×42 ঘন সেমি.
= 22×21×42 ঘন সেমি.
= 19404 ঘন সেমি.।
= 19.404 ঘন ডেসিমি.।
Ans: নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।

(ii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং 4 সেমি উচ্চবিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে। পাত্রটি খালি করতে কতগুলি বোতল দরকার হবে?
Solution:
অর্ধগোলাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ 9 সেমি
∴ পাত্রের জলের আয়তন
= ²/₃ πr³ ঘনএকক
= ²/₃ π(9)r³ ঘনসেমি
= 2×243π ঘনসেমি
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি
∴ চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ = ³/₂ সেমি
উচ্চতা(h) = 4 সেমি
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr²h ঘনএকক
= π(³/₂)²×4 ঘনসেমি
= π×⁹/₄×4 ঘনসেমি
= 9π ঘনসেমি
ধরি, পাত্রটি খালি করতে x টি বোতল দরকার।
∴ x.9π = 2×243π
বা, x = 2×27
বা, x = 54
Ans: পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতল দরকার।

(iii) একটি ঢাকনা সমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার। ঐ ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

Solution:
ধরি, জলের ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
প্রশ্নানুযায়ী
πr² = 616
বা, ²²/₇× r² = 616
বা, r² = 28×7
∴ r = 14
এখানে ট্যাঙ্কের উচ্চতা 21 মিটার।
∴ ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= (2πr² + 2πrh) বর্গমিটার
= (2×616 + 2×²²/₇×14×21) বর্গমিটার
= (1232 + 2×22×2×21) বর্গমিটার
= (1232 +1848) বর্গমিটার
= 3080 বর্গমিটার
Ans: ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 3080 বর্গমিটার।

Complete Solution of MP-17

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় কর যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100:

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0-10	10	10
10-20	x	10+x
20-30	25	10+x+25=35+x
30-40	30	35+x+30=65+x
40-50	y	65+x+y
50-60	10	65+x+y+10=75+x+y
মোট

এখানে, N = 100
∴ ^N/₂ = ¹⁰⁰/₂ = 50
প্রশ্নানুযায়ী
75 + x + y = 100
বা, x + y = 25 – – – – (i)
∵ মধ্যমা 32
∴ মধ্যমা শ্রেনিটি হল 30-40।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 30; N = 100;
C = 35 + x; fm = 30;
h = 30 – 40 = 10

\(\Large{ = 30 + \left(\frac{50 – (35+x)}{30}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{15-x}{3}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,
30 + ^15-x/₃ = 32
বা, ^15-x/₃ = 32 – 30 = 2
বা, 15 – x = 6
বা, x = 9
(i) নং সমীকরণে x = 9 বসিয়ে পাই,
9 + y = 25
∴ y = 16
Ans: x -এর মান 9
y-এর মান 16

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় কর:

শ্রেণী-সীমা	0-5	5–10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35
পরিসংখ্যা	5	12	18	28	17	12	8

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 28
∴ পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু শ্রেনি 15 – 20
এখানে, । = 15; f₁ = 28;
f₀ = 18; f₂ = 17;
h = 5 – 0 = 5
নির্নেয় সংখ্যাগুরু মান

\(\Large{=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)×h\\=15+\left(\frac{28-18}{2×28-18-17}\right)×5\\=15+\left(\frac{10}{56-35}\right)×5\\=15+\frac{50}{21}}\)

= 15 + 2.38 (প্রায়)
= 17.38
Ans: সংখ্যাগুরু মান 17.38

(iii) নীচের তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন কর।
Solution:

শ্রেণী-সীমা	0-5	5–10	10-15	15-20	20-25	25-30
পরিসংখ্যা	4	10	15	8	3	5

শ্রেণী	বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0 বা 0 এর বেশি	4
5 বা 5 এর বেশি	10
10 বা 10 এর বেশি	15
15 বা 15 এর বেশি	8
20 বা 20 এর বেশি	3
25 বা 25 এর বেশী	5

X অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (0, 45), (5, 41), (10, 31), (15,16), (20, 8), (25, 5) বিন্দুগুলি স্থাপন করও যুক্ত করে বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া গেল।

PREVIOUS

NEXT