Tag: COMBINATION S N DEY SEMESTER 1 সমবায়

SOLUTION OF COMBINATION S N DEY SEMESTER 1 সমবায়

SOLUTION OF COMBINATION S N DEY SEMESTER 1
সমবায়

1

সমবায় [Combination]ঃ কতকগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে ক্রম নির্বিশেষে বিভিন্ন দল বা নির্বাচন (group or selection) গঠন করা হলে, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমবায় (combination) বলে

প্রয়োজনী সূত্রাবলীঃ

👉 n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কর্নের সংখ্যা = ⁿC₂ – n
👉 ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type 

1. ^{n – 1}C_r + ^{n – 1}C_{r – 1} =
Ⓐ ⁿC_{r + 1}     Ⓑ ^{n + 1}C_r
Ⓒ ⁿC_r           Ⓓ n!

Solution: ^{n – 1}C_r + ^{n – 1}C_{r – 1}
= ^{(n – 1)!}/_{r!(n – 1 – r)!} + ^{(n – 1)!}/_{(r – 1)!(n – 1 – r + 1)!}
= ^(n-r)(n-1)!/_{r!(n-r)(n-1-r)!} + ^r(n-1)!/_{r(r-1)!(n-r)!}
=^(n-r)(n-1)!/_r!(n-r)! +  ^{r(n – 1)!}/_{r!(n – r)!}
= ^{(n – 1)!}/_{r!(n – r)!} × [n – r + r]
= ^{(n – 1)!}/_{r!(n – r)!} × n
=^{n(n – 1)!}/_{r!(n – r)!}
= ^n!/_{r!(n – r)!}
= ⁿC_r
Ans: Ⓒ   ⁿC_r

2. ⁿP_r = x × ⁿC_r হলে x =
Ⓐ ⁿP_{r – 1}        Ⓑ ⁿC_{r – 1}
Ⓒ n!                Ⓓ r!

Solution: ⁿP_r = x × ⁿC_r
⇒^n!/_{(n – r)!} = x × ^n!/_{r!(n – r)!}
⇒1 = ^x/_r!
⇒ x = r!
Ans: Ⓓ    r!

3. ⁿC₃ = k . n(n – 1)(n – 2) হলে, k =
Ⓐ 1      Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ¹/₃      Ⓓ ¹/₆

Solution: ⁿC₃ = k . n(n – 1)(n – 2)
⇒ ^{n(n – 1)(n – 2)}/_3!= k . n(n – 1)(n – 2)
⇒ ¹/_3! = k
⇒k×3! = 1
⇒ 6k = 1
⇒ k= ¹/₆
Ans: Ⓓ    ¹/₆

4. ⁿCp = ⁿCq এবং p ≠q হলে, n – p =
Ⓐ n – q     Ⓑ p
Ⓒ q            Ⓓ p + q

Solution: ⁿC_p = ⁿC_q এবং p ≠ q
∴ n = p + q
বা, n – p = q
Ans: Ⓒ     q

5. (n – r + 1) × ⁿCr – 1 = m × ⁿCr হলে, m =
Ⓐ r!        Ⓑ 1
Ⓒ n        Ⓓ r

Solution: (n – r + 1) × ⁿC_{r – 1} = m × ⁿC_r
⇒ (n – r + 1) × ^n!/_{(r – 1)!(n – r + 1)!} = m × ^n!/_{r!(n – r)!}
⇒ (n – r + 1) × ^n!/_{(r – 1)!(n – r + 1)(n – r)!} = m × ^n!/_{r!(n – r)!}
⇒^n!/_{(r – 1)!(n – r)!} = m × ^n!/_{r!(n – r)!}
⇒ ¹/_{(r – 1)!} = m × ¹/_r!
⇒ r! = m(r – 1)!
⇒r(r – 1)! = m(r – 1)!
⇒ r = m
Ans: Ⓓ    r

6. n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা কত হবে, যাতে নির্বাচিত r -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p -সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদাই থাকবে?
Ⓐ ^{n – p}C_{r – p}
Ⓑ^{n – p}P_{r – p}
Ⓒ pr        Ⓓ (r – p)!
Ans: Ⓐ ^{n – p}C_{r – p}

7. n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা কত হবে, যাতে নির্বাচিত r -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p -সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই থাকবে না?
Ⓐ ^{n – p}C_{r – p}
Ⓑ ^{n – p}C_r
Ⓒ^{n – p}P_r
Ⓓ ^{(n – p)!}/_r!
Ans: Ⓑ ^{n – p}C_r

8. ¹¹C₈ + ¹¹C₉ = নীচের কোন্ মানটি?
Ⓐ ¹³C₈       Ⓑ¹³C₉
Ⓒ¹²C₉        Ⓓ ¹²C₈

Solution: ¹¹C₈ + ¹¹C₉
= ^11!/_8!×3! + ^11!/_9!×2!
= ^11!×9/_9×8!×3! + ^11!×3/_9!×3×2!
=^11!×9/_9!×3! + ^11!×3/_9!3!
= ^11!/_9!3! × [9 + 3]
=^12×11!/_9!3!
= ^12!/_9!×3!
= ¹²C₉
Ans: Ⓒ     ¹²C₉

9. ²¹C₁₉ = নীচের কোন্ মানটি?
Ⓐ ²¹C₂        Ⓑ ²²C₂
Ⓒ ²¹C₂₀     Ⓓ ²²C₂₀

Solution: ²¹C₁₉ = ²¹C₂ . . . [∵ ⁿC_r = ⁿC_{r – 1}]
Ans: Ⓐ    ²¹C₂

10. ¹⁶C_r = ¹⁶C_{2r + 1} হলে, নীচের কোনটি r -এর মান হবে?
Ⓐ 6      Ⓑ 5
Ⓒ 4      Ⓓ 3

Solution: ¹⁶C_r = ¹⁶C_{2r + 1}.  . . [∵ ⁿC_p = ⁿC_q হলে n = p + q হয়]
∴ r + 2r + 1 = 16
⇒ 3r = 15
⇒ r = 5
Ans: Ⓑ    5

11. ⁿC₄, ⁿC₅, ⁿC₆ সমান্তর প্রগতিতে থাকলে n -এর মান হবে — 
Ⓐ 8      Ⓑ 7
Ⓒ 9     Ⓓ 10

Solution: ⁿC₄, ⁿC₅, ⁿC₆সমান্তর প্রগতিতে আছে। 
∴ ⁿC₄ + ⁿC₆ = 2× ⁿC₅

⇒ 50 + n² – 9n = 12n – 48
⇒ n² – 21n + 98 = 0
⇒n² – 14n – 7n + 98 = 0
⇒ n(n – 14) – 7(n – 4) = 0
⇒ (n – 14)(n – 7) = 0
∴ n=7, 14
Ans: Ⓑ   7

SOLUTION OF COMBINATION S N DEY SEMESTER 1 সমবায়

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       সেট ও অপেক্ষক

• সেট তত্ত্ব
• সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
  • ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
  • সম্বন্ধ (Relation) PART II
  • অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
  • চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
  • অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
• ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
• ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
• সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
• যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
• ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
• গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
• অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
• ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
• ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• সূচকের নিয়মাবলি
• লগারিদম্
• দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
• জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
• রৈখিক অসমীকরণ
• বিন্যাস ও সমবায়
  • বিন্যাস
  • সমবায়
• কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• বাস্তব সংখ্যা
• সীমা
• অন্তরকলন বা অবকলন
• অন্তরকলজের তাৎপর্য

12. একটি বৃত্তের উপরিস্থিত 7 টি বিন্দু যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা —
Ⓐ 25       Ⓑ 30
Ⓒ 35       Ⓓ 40

Solution: একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে তিনটি বিন্দুর প্রয়োজন।
বৃত্তের কোনো বিন্দু সমরৈখিক নয়।
বৃত্তের উপরিস্থিত 7 টি বিন্দু যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা
= ⁷C₃ = ^7×6×5/_3!
= ^7×6×5/₆ = 35
Ans: Ⓒ   35

13. n -সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা বাহুর সংখ্যার 3 গুণ হলে n -এর মান হবে — 
Ⓐ 7        Ⓑ 8
Ⓒ 10      Ⓓ 9

Solution: দুটি বিন্দু যুক্ত করলে একটি সরলরেখা পাওয়া যায়।
n -সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে n টি শীর্ষবিন্দু এবং n টি বাহু আছে।
n টি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করলে সরলরেখা পাওয়া যায় ⁿC₂
n-সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা
= ⁿC₂ – n
=^n(n-1)/_2! – n
= ^{n2 – n}/₂ – n= ^{n22 – 3n}/₂
প্রশ্নানুযায়ী,
      ^{n2 – 3n}/₂  = 3n
বা, n² – 3n = 6n
বা,n² – 9n = 0
বা, n(n – 9) = 0
∴ n = 0, 9
Ans: Ⓓ    9

14. একটি বৃত্তের ওপর 21 টি বিন্দু প্রদত্ত। ওই বিন্দুগুলি দ্বারা কতগুলি জ্যা অঙ্কন করা যাবে?
Ⓐ 205     Ⓑ 210
Ⓒ 110      Ⓓ 220

Solution: 21 টি বিন্দু থেকে 2 টি বিন্দু নিয়ে গঠিত জ্যায়ের সংখ্যা
= ²¹C₂ = ^21×20/_2! =21×10 = 210
Ans: Ⓑ    210

15. একটি বহুভুজের বাহুসংখ্যা 100 হলে বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা হবে —
Ⓐ 4850      Ⓑ 4950
Ⓒ 4750      Ⓓ 4500

Solution: 100 টি বিন্দু থেকে 2 টি বিন্দু নিয়ে গঠিত সরলরেখার সংখ্যা ¹⁰⁰C₂ = ^100×99/_2! = 50×99 = 4950
বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা = (4950 -100) = 4850
Ans: Ⓐ    4850

16. যদি ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 44 : 3 হয়, তাহলে r -এর কোন্ মানের জন্য ⁿCr -এর মান 15 হবে?Ⓐ r = 3      Ⓑ r = 4Ⓒ r = 6      Ⓓ r = 5

Solution: ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 44 : 3
⇒ ^{2n(2n – 1)(2n – 2)}/_3! : ^{n(n – 1)}/_2! = 44 : 3
⇒ ^{2n(2n – 1).2.(n – 1)}/_3×2×1 : ^{n(n – 1)}/_2×1 = 44 : 3
⇒^{(2n – 1).2}/₃ : ¹/₂ = 44 : 3
⇒ ^{4(2n – 1)}/₃ : 1 = 44 : 3
⇒ 4(2n – 1) : 3 = 44 : 3
⇒2n – 1 = 11
⇒ 2n = 12
⇒ n = 6
∵ ⁿC_r = 15
∴ ⁶C_r = 15
বা, ^6!/_{r!(6 – r)!} = 5×3
বা, ^6!/_{r!(6 – r)!} = ^{5×3×6×4×2×1}/_6×4×2×1,
বা,^6!/_{r!(6 – r)!} = ^6!/_{4×3×2×1×2×1}
বা, ¹/_{r!(6 – r)!} = ¹/_4!.2!
বা, r!(6 – r)! = 4!(6 – 4)!
∴ r = 4
Ans: Ⓑ    r = 4

17. যদি ⁿC₃ + ⁿC4 > ^{n + 1}C3 হয়, তাহলে —
Ⓐ n > 6      Ⓑ n < 6
Ⓒ n > 7      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: ⁿC₃ + ⁿC₄
= ⁿC₄ + ⁿC₃ = ^{n + 1}C₄ . . . [∵ ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ^{n + 1}C_r]
= ^{(n + 1)!}/_{4!.(n – 3)!}
=^{(n + 1)!.(n – 2)}/_{4.3!.(n – 2)(n – 3)!}
= ^{(n + 1)!.(n – 2)}/_{4.3!.(n – 2)!}
= ^{(n + 1)!}/_{3!.(n – 2)!} × ^{(n – 2)}/₄
=^{(n + 1)!}/_{3!.(n + 1 – 3)!} × ^{(n – 2)}/₄
= ^{(n + 1)}C₃ × ^{(n – 2)}/₄
      ⁿC₃ + ⁿC₄ > ^{n + 1}C₃
⇒ ^{(n + 1)}C₃ × ^{(n – 2)}/₄ > ^{(n + 1)}C₃
⇒^{(n – 2)}/₄ >1
⇒ n – 2 > 4
⇒ n > 6
Ans: Ⓐn > 6

18. যদি ⁿP₄ = 30 ⁿC₅ হয়, তাহলে n =
Ⓐ 6      Ⓑ 7
Ⓒ 8      Ⓓ 9

Solution: ⁿP₄ = 30 ⁿC₅
⇒ ^n!/_{(n – 4)!} = 30 × ^n!/_{5!(n – 5)!}
⇒ ¹/_{(n – 4)(n – 5)!} = 30 × ¹/_{5×4×3×2×1.(n – 5)!}
⇒¹/_{(n – 4)} = 30 × ¹/₄
⇒ n – 4 = 4
⇒ n = 8
Ans: Ⓒ   8

19. ^{n2 – n}C₂ = ^{n2 – 4}C₄ হলে n =
Ⓐ 2     Ⓑ 3
Ⓒ 4      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: ^{n2 – n}C₂ = ^{n2 – 4}C₄
∴ n² – n = 2 + 4 . . . [ⁿC_p = ⁿC_q হলে n = p + q হয়]
বা, n² – n – 6 = 0
বা, n² – 3n +2n – 6 = 0
বা,n(n – 3) + 2(n – 3) = 0
বা, (n – 3)(n + 2) = 0
∴ n = -2, 3
∴ n = 3 . . . [∵ n ≠ -2]
Ans: Ⓓএদের কোনোটিই নয়

20. একটি ফুটবল প্রতিযোগিতায় মোট 153 টি ম্যাচ আয়োজন করা হয়। যদি প্রতিটি দল অন্য দলগুলির সাথে মাত্র একটি করে ম্যাচ খেলে থাকে তাহলে প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণকারী দলের সংখ্যা হল —
Ⓐ 17        Ⓑ 18
Ⓒ 9         Ⓓ 13

Solution: ধরি, অংশগ্রহণকারী দলের সংখ্যা x
∴ ^xC₂ = 153
বা, ^x!/_{2!(x – 2)!} =153
বা, ^{x(x – 1)(x – 2)!}/_{2.(x – 2)!} =153
বা,x(x – 1) =153×2
বা, x(x – 1) = 18×17 = 18(18 – 1)
∴ x =18
Ans: Ⓑ18

21. একটি নির্বাচনে তিনটি পদের জন্য 5 জন প্রার্থী ভোটে দাঁড়িয়েছে। যদি একজন ভোটার সর্বোচ্চ 3 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারে, তাহলে মোট কত উপায়ে সে ভোটদান করতে পারবে?
Ⓐ 125        Ⓑ 60
Ⓒ 10          Ⓓ 25

Solution: একজন ভোটার 1 জন, 2জন অথবা 3 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারবে।
∴ সে ভোটদান করতে পারবে = (⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃) উপায়ে
= (^5!/_1!.4! + ^5!/_2!.3! + ^5!/_3!.2!) উপায়ে
=(^5.4!/_4! + ^5.4.3!/_2.3! + ^5.4.3!/_3!.2) উপায়ে
= (5 + 10 + 10) উপায়ে = 25 উপায়ে
Ans: Ⓓ25

22. কত উপায়ে 10টি লাল ও ৪টি সাদা বল ভরতি একটি ব্যাগ থেকে 5টি লাল ও 4টি সাদা বল বাছাই করা যাবে?
Ⓐ ⁸C₅ × ¹⁰C₄
Ⓑ ¹⁰C₅ × ⁸C₄
Ⓒ ¹⁰C₉
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 10টি লাল বল থেকে 5টি লাল বল বাছাই করা যায় ¹⁰C₅ উপায়ে।
৪টি সাদা বল থেকে 4টি সাদা বল বাছাই করা যায় ⁸C₄ উপায়ে।
∴ মোট সমবায় সংখ্যা ¹⁰C₅ × ⁸C₄
Ans: Ⓑ ¹⁰C₅ × ⁸C₄

23. একটি পরীক্ষায় তিনটি বহুবিকল্পধর্মী প্রশ্ন আছে যার প্রত্যেকটির 4 টি বিকল্প উত্তর আছে। তাহলে কত উপায়ে একটি ছাত্র সবকটি সঠিক উত্তর দিতে ব্যর্থ হবে?
Ⓐ 11        Ⓑ 12
Ⓒ 27      Ⓓ 63

Solution: প্রতিটি প্রশ্নের 4 টি করে বিকল্প উত্তর আছে।
∴ 3 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায় 4 × 4 × 4 = 64 উপায়ে।
কিন্তু এর মধ্যে একটি উপায় আছে যেটিতে সবকটি সঠিক উত্তর।
∴ সবকটি সঠিক উত্তর দিতে ব্যর্থ হবে (64 – 1) = 63 উপায়ে।
Ans: Ⓓ63

24. একটি তাসের প্যাকেটে 52 টি তাসের মধ্যে থেকে কত উপায়ে 5 টি তাস বাছাই করা যাবে যাতে কমপক্ষে একটি টেক্কা থাকবে?
Ⓐ ⁴⁸C₄ × ⁴C₁
Ⓑ ⁵²C₅ – ⁴⁸C₅
Ⓒ ⁵²P₅ – ⁴⁸P₅
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 52 টি তাসের মধ্যে থেকে 5 টি তাস বাছাই করা যাবে ⁵²C₅ উপায়ে।
আবার 4 টি টেক্কা বাদ দিলে তাস থাকে (52 – 4) বা, 48 টি।
48 টি তাসের মধ্যে থেকে 5 টি তাস বাছাই করা যাবে ⁴⁸C₅ উপায়ে যার মধ্যে একটিও টেক্কা থাকবে না।
∴ কমপক্ষে একটি টেক্কা থাকবে এমন সমবায় সংখ্যা ⁵²C₅ – ⁴⁸C₅
Ans: Ⓑ ⁵²C₅ – ⁴⁸C₅

25. কতগুলি উপায়ে 10 টি বল দুজন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেওয়া সম্ভব যাতে একজন দুইটি ও অন্যজন আটটি বল পায়?
Ⓐ 45        Ⓑ 75
Ⓒ 90        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: আমরা জানি, যদি m + n সংখ্যক বস্তুকে দুটি দলে ভাগ করা হয় যাতে একটি দলে m সংখ্যক এবং অন্য দলে n সংখ্যক বস্তু থাকে তবে তার সমবায় সংখ্যা ^m+nC_m = ^{(m + n)!}/_m!n! টি। ∴ 10 টি বল দুজন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেওয়া সম্ভব ^10!/_8!.2! = ^10×9×8!/_8!×2 = 45 Ans: Ⓐ45

26. ⁴⁵C₈ + ∑⁷_r=1 ^{52 – r}C₇ +  ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C_{50 – k} =
Ⓐ ⁴⁵C₈         Ⓑ ⁵²C₈
Ⓒ ⁵⁷C₈          Ⓓ 0

Solution: ∑⁷_r=1 ^{52 – r}C₇
= ⁵¹C₇ + ⁵⁰C₇ + . . . + ⁴⁶C₇ + ⁴⁵C₇
∴ ⁴⁵C₈ + ∑⁷_r=1 ^{52 – r}C₇
= ⁴⁵C₈ + ⁵¹C₇ + ⁵⁰C₇ + . . . + ⁴⁶C₇ + ⁴⁵C₇
=(⁴⁵C₈ + ⁴⁵C₇) + ⁵¹C₇ + ⁵⁰C₇ + . . . + ⁴⁶C₇
= (⁴⁶C₈ + ⁴⁶C₇) + ⁵¹C₇ + ⁵⁰C₇ + . . . + ⁴⁷C₇ ^{= 47}C₈ ^{+ .  . .}
=⁵²C₈

     ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C_{50 – k}
= ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C_{57 – k – 50 – k}
= ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C₇
=⁵⁶C₇ + ⁵⁵C₇ + ⁵⁴C₇ + ⁵³C₇ + ⁵²C₇

 ^{∴ 45}C₈ + ∑⁷_r=1 ^{52 – r}C₇ + ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C_{50 – k}
= ⁵²C₈ + ∑⁵_k=1 ^{57 – k}C_{50 – k}
= ⁵²C₈ + ⁵⁶C₇ + ⁵⁵C₇ + ⁵⁴C₇ + ⁵³C₇ + ⁵²C₇
=(⁵²C₈ + ⁵²C₇) + ⁵⁶C₇ + ⁵⁵C₇ + ⁵⁴C₇ + ⁵³C₇
= ⁵³C₈ + ⁵³C₇ + ⁵⁶C₇ + ⁵⁵C₇ + ⁵⁴C₇
= ⁵⁴C₈ + ⁵⁴C₇ + ⁵⁶C₇ + ⁵⁵C₇
=⁵⁵C₈ + ⁵⁵C₇ + ⁵⁶C₇
= ⁵⁶C₈ + ⁵⁶C₇
= ⁵⁷C₈
Ans: Ⓒ ⁵⁷C₈

27. ¹⁵C₈ + ¹⁵C₉ – ¹⁵C₆ – ¹⁵C₇ =
Ⓐ ¹⁵C₁₀     Ⓑ ¹⁵C₅
Ⓒ 1              Ⓓ 0

Solution: ¹⁵C₈ + ¹⁵C₉ – ¹⁵C₆ – ¹⁵C₇
= (¹⁵C₉ + ¹⁵C₈) – (¹⁵C₇ + ¹⁵C₆)
= ¹⁶C₉ – ¹⁶C₇ . . . [ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r]
=¹⁶C₉ – ¹⁶C_{16 – 7 . . .} [ⁿC_r = ⁿC_n-r]
= ¹⁶C₉ – ¹⁶C₉
=0
Ans: Ⓓ 0

Solution:

29. ⁿC_{r – 1} = 36, ⁿC_r = 84 এবং ⁿC_{r +1} = 126 হলে n ও r -এর মান যথাক্রমে-
Ⓐ 9, 3       Ⓑ 9, 8
Ⓒ 9, 6      Ⓓ 9, 4

⇒ 3n – 3r + 3 = 7r
⇒ 3n – 10r + 3 = 0 . . . (i)
আবার

⇒ 2n – 2r = 3r + 3
⇒ 2n – 5r – 3 = 0 . . . (ii)
(i)×1 – (ii)×2 করে পাই,
     3n – 10r + 3 – 4n + 10r + 6 = 0 – 0
বা, -n + 9 = 0
বা, n = 9 (ii) নং থেকে পাই,
      2×9 – 5r – 3 = 0
বা, – 5r + 15 = 0
বা, r = 3
∴ n = 9, r = 3
Ans: Ⓐ9, 3

30. ²⁰C₅ +  ∑⁵_j=2 ^{25 – j}C₄=
Ⓐ ²⁰C₄       Ⓑ ²⁵C₅
Ⓒ ²⁴C₅       Ⓓ ²⁰C₅

Solution: ²⁰C₅ + ∑⁵_j=2 ^{25 – j}C₄
= ²⁰C₅ + (²³C₄ + ²²C₄ + ²¹C₄ + ²⁰C₄)
=(²⁰C₅ + ²⁰C₄) + ²¹C₄ + ²²C₄ + ²³C₄
= (²¹C₅ + ²¹C₄) + ²²C₄ + ²³C₄
=(²²C₅ + ²²C₄) + ²³C₄
= ²³C₅ + ²³C₄
= ²⁴C₅
Ans: Ⓒ ²⁴C₅

31. যদি ⁿC₁, ⁿC₂ , ⁿC₃ সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তবে n =
Ⓐ 5         Ⓑ 7
Ⓒ 10       Ⓓ 6

Solution: ⁿC₁ , ⁿC₂ , ⁿC₃সমান্তর প্রগতিতে আছে।
∴ ⁿC₁ + ⁿC₃ = 2×ⁿC₂

⇒ 6 + n² – n – 2n + 2 = 6n – 6
⇒ n² – 9n + 14 = 0
⇒n² – 7n – 2n + 8 = 0
⇒ n(n – 7) – 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7)(n – 2) = 0
∴ n = 7, 2
Ans: Ⓑ7

Ⓐ 5          Ⓑ 7
Ⓒ 4          Ⓓ 6

Solution: ^{(2x + 1)!}/_{(x + 2)!} × ^{(x – 1)!}/_{(2x – 1)!} = ³/₅
⇒ ^{(2x + 1)2x(2x – 1)!}/_{(x + 2)(x + 1)x(x – 1)!} × ^{(x – 1)!}/_{(2x – 1)!} = ³/₅
⇒ ^{2(2x + 1)}/_{(x + 2)(x + 1)} = ³/₅
⇒5(4x + 2) = 3(x² + 3x + 2)
⇒ 3x² + 9x +6 = 20x + 10
⇒ 3x² – 11x – 4 = 0
⇒3x² – 12x + x – 4 = 0
⇒ 3x(x – 4) + 1(x – 4) = 0
⇒(3x + 1)(x – 4) = 0
∴x = –¹/₃, 4
∵ x ∈ N
∴x = 4
Ans: Ⓒ  4

33. 9 টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 2 টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ একযোগে নিয়ে 5 অক্ষরবিশিষ্ট যতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় তা হল —
Ⓐ ⁹C₂ × ⁵C₃
Ⓑ ⁹C₂ × ⁵C₃ ×5!
Ⓒ 4              Ⓓ 6

Solution: 9 টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 2 টি ব্যঞ্জনবর্ণ নির্বাচন করা যায় ⁹C₂ রকমে এবং 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ নির্বাচন করা যায় ⁵C₃ রকমে ।
আবার, 5 টি অক্ষর নিজেদের মধ্যে 5! রকমে বিন্যাসিত হতে পারে ।
যতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় তা হল ⁹C₂ × ⁵C₃ ×5!
Ans: Ⓑ ⁹C₂ × ⁵C₃ ×5!

34. 12 টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 5 টি বিভিন্ন স্বরবর্ণ থেকে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ও 3 টি স্বরবর্ণ নিয়ে যতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় তা হল —
Ⓐ ¹²C₄ × ⁵C₃
Ⓑ ¹²P₄ × ⁵P₃×7!
Ⓒ ¹²P₄ × ⁵P₃
Ⓓ ¹²C₄ × ⁵C₃ ×7!

Solution: 12 টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ নির্বাচন করা যায় ¹²C₄ রকমে এবং 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ নির্বাচন করা যায় ⁵C₃ রকমে ।
আবার, 7 টি অক্ষর নিজেদের মধ্যে 7! রকমে বিন্যাসিত হতে পারে ।
যতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় তা হল ¹²C₄ × ⁵C₃ ×7!
Ans: Ⓓ ¹²C₄ × ⁵C₃ ×7!

35. কোনো লটারিতে 8 টি পুরস্কার ঘোষণা করা হয়। প্রথম অংশগ্রহণকারী 50 টি টিকিটের একটি বাক্স থেকে 5 টি টিকিট তোলে। যত বিভিন্ন উপায়ে টিকিট 5 টি তুললে সে ঠিক দুটি পুরস্কারজয়ী টিকিট তুলবে তা হল —
Ⓐ ⁸C₂ × ⁴²C₃
Ⓑ ⁸P₂ × ⁴²P₃
Ⓒ ⁸C₂ × ⁴²P₃
Ⓓ⁸P₂ × ⁴²C₃

Solution: 8 টি পুরস্কারের মধ্যে 2 টি পুরস্কার নির্বাচন করা যায় ⁸C₂ রকমে।
বাকি (8 -2) = 6 টি পুরস্কার নির্বাচন করতে হবে (50 – 8) = 42 টি টিকিটের মধ্য থেকে।
বাকি 3 টি নির্বাচন করা যায় ⁴²C₃ রকমে।
5 টি তুললে সে ঠিক 2 টি পুরস্কারজয়ী টিকিট তুলবে ⁸C₂ × ⁴²C₃ রকমে।
Ans: Ⓐ ⁸C₂ × ⁴²C₃

36. 7 জন নির্বাচন প্রার্থীর মধ্য থেকে 4 জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে। একজন ভোটদাতা যতজন নির্বাচিত হবেন তার অনধিক যতজন প্রার্থীকে ইচ্ছা ভোট দিতে পারেন। তিনি যত বিভিন্ন উপায়ে ভোট দিতে পারেন তা হল —
Ⓐ ⁷P₁ + ⁷P₂ + ⁷P₃ + ⁷P₄
Ⓑ ⁷C₁ + ⁷C₂ + ⁷C₃ + ⁷C₄
Ⓒ ⁷C₄       Ⓓ ⁷P₄

Solution: একজন ভোটদাতা 1 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন ⁷C₁ রকমে
2 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন ⁷C₁ রকমে
3 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন ⁷C₁ রকমে
4 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন ⁷C₁ রকমে
∴ 1 একজন ভোটদাতা অনধিক 4 জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন ⁷C₁ + ⁷C₂ + ⁷C₃ + ⁷C₄ রকমে।
Ans: Ⓑ ⁷C₁ + ⁷C₂ + ⁷C₃ + ⁷C₄

37. ‘daddy did a deadly deed’ -এ যেসব অক্ষর আছে তাদের মোট নির্বাচন সংখ্যা হল —
Ⓐ 2¹⁹ – 1       Ⓑ 2¹⁹
Ⓒ 10 × 4 × 3 × 2 × 4 × 2
Ⓓ 10 × 4 × 3 × 2 × 4 × 2 – 1

Solution: ‘daddy did a deadly deed’ -এ 9 টি d, 3 টি a, 2 টি y, 1 টি i, 3 টি e এবং 1টি l আছে।
∴ মোট নির্বাচন সংখ্যা
= (9 + 1) × (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) – 1
= 10 × 4 × 3 × 2 × 4 × 2 – 1
Ans: Ⓓ10 × 4 × 3 × 2 × 4 × 2 – 1

38. 10 টি 10 পয়সা এবং 5টি 5 পয়সাকে যত রকমে এক লাইনে সাজানো যায়, যাতে 2 টি 5 পয়সা পাশাপাশি না থাকে তা হল —
Ⓐ ¹⁰C₅       Ⓑ ¹¹C₅
Ⓒ ¹⁵C₅       Ⓓ ¹⁶C₅

Solution: 10 টি 10 পয়সাকে যত এক লাইনে সাজানো যায় ¹⁰C₁₀ রকমে।
∵ 2 টি 5 পয়সা পাশাপাশি থাকবে না, তাই 5টি 5 পয়সাকে 10 টি 10 পয়সার মধ্যবর্তী 9 টি স্থানে এবং দুইপ্রান্তে অর্থাৎ (9 + 2) বা 11 টি স্থানে বসাতে হবে।
5 পয়সাগুলিকে 11 টি স্থানে বসানো যায় ¹¹C₅ রকমে।
2 টি 5 পয়সা পাশাপাশি না থাকে এমন ভাবে সাজানো যায়
= ¹⁰C₁₀×¹¹C₅ = 1×¹¹C₅ = ¹¹C₅ রকমে।
Ans: Ⓑ  ¹¹C₅

39. 10 জন বালক এবং 6 জন বালিকার মধ্য থেকে অন্তত 1 জন বালক ও অন্তত 1 জন বালিকা যত রকমে নির্বাচন করা যায় তা হল —
Ⓐ (2¹⁰ – 1)(2⁶ – 1)
Ⓑ (10 + 1)(6 + 1) – 1
Ⓒ (10 + 1)(6 + 1) – 2
Ⓓ 2¹⁶ – 1

Solution: 10 জন বালকের মধ্যে থেকে অন্তত 1 জন বালক নির্বাচন করা যায় 2¹⁰ – 1 রকমে এবং 6 জন বালিকার মধ্যে থেকে অন্তত 1 জন বালিকা নির্বাচন করা যায় 2⁶ – 1 রকমে।
10 জন বালক এবং 6 জন বালিকার মধ্যে থেকে  অন্তত 1 জন বালক এবং অন্তত 1 জন বালিকা নির্বাচন করা যায় (2¹⁰ – 1)(2⁶ – 1)রকমে।
Ans: Ⓐ (2¹⁰ – 1)(2⁶ – 1)

40. 2n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা এবং n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যার অনুপাত 1025 : 1 হলে n =
Ⓐ 4            Ⓑ 10
Ⓒ 100       Ⓓ 15

Solution: 2n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা
= ²ⁿC₁ + ²ⁿC₂ + ²ⁿC₃ + . . . + ²ⁿC_2n = 2²ⁿ – 1
আবার n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা
= ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + . . . + ⁿC_n = 2ⁿ – 1
প্রশ্নানুযায়ী,
      2²ⁿ – 1 : 2ⁿ – 1 = 1025 : 1
⇒ (2ⁿ)² – (1)² : 2ⁿ – 1 = 1025
⇒ (2ⁿ + 1)(2ⁿ – 1) : 2ⁿ – 1 = 1025
⇒(2ⁿ + 1) = 1025
⇒ 2ⁿ = 1025 – 1
⇒2ⁿ = 1024
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰
∴ n = 10
Ans: Ⓑ10

41. কোনো পরীক্ষায় দুটি বিভাগে 6 টি করে মোট 12 টি প্রশ্ন আছে এবং একজন পরীক্ষার্থীকে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হয়। যদি পরীক্ষার্থী কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্নের উত্তর করতে না পারে, তবে যত উপায়ে সে 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারবে তা হল —
Ⓐ ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄
Ⓑ ⁶C₀ + ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄
Ⓒ 2(⁶C₀ × ⁶C₆ + ⁶C₁ × ⁶C₅ + ⁶C₂ × ⁶C₄) + ⁶C₃ × ⁶C₃
Ⓓ ⁶C₂ × ⁶C₄ + ⁶C₃ × ⁶C₃+ ⁶C₄ × ⁶C₂

Solution: একজন পরীক্ষার্থী কোনো বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্নের উত্তর করতে না পারলে, একজন পরীক্ষার্থী প্রথম ও দ্বিতীয় বিভাগ থেকে যথাক্রমে 2, 4 অথবা 3, 3 অথবা 4, 2 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে।
একজন পরীক্ষার্থী যত উপায়ে 6টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে তা হল ⁶C₂ × ⁶C₄ + ⁶C₃ × ⁶C₃+ ⁶C₄ × ⁶C₂
Ans: Ⓓ ⁶C₂ × ⁶C₄ + ⁶C₃ × ⁶C₃+ ⁶C₄ × ⁶C₂

42. ব্যাটসম্যানের আধিক্য বজায় রেখে যত রকমে 9 জন ব্যাটসম্যান ও 6 জন বোলারের মধ্য থেকে 11 জনের একটি ক্রিকেট দল গঠন করা যায় যাতে অন্তত 3 জন বোলার থাকবে তা হল —
Ⓐ ⁹C₆ × ⁶C₅ + ⁹C₇ × ⁶C₄ + ⁹C₈ × ⁶C₃ + ⁹C₉ × ⁶C₂
Ⓑ ⁹C₆ + ⁹C₇ + ⁹C₈ + ⁹C₉
Ⓒ ⁹P₆ × ⁶P₅ + ⁹P₇ × ⁶P₄ + ⁹P₈ × ⁶P₃ + ⁹P₉ × ⁶P₂
Ⓓ ⁹P₆ + ⁹P₇ + ⁹P₈ + ⁹P₉

Solution: ব্যাটস্‌ম্যানের আধিক্য বজায় রেখে 9 জন ব্যাটস্‌ম্যান ও 6 জন বোলারের মধ্য থেকে যথাক্রমে 6, 5 অথবা 7, 4 অথবা 8, 3 জন নির্বাচন করা যেতে পারে।
ব্যাটস্‌ম্যানের আধিক্য বজায় রেখে এবং অন্তত 3 জন বোলার থাকে এমন ক্রিকেট দল গঠন করা যায় ⁹C₆ × ⁶C₅ + ⁹C₇ × ⁶C₄ + ⁹C₈ × ⁶C₃ + ⁹C₉ × ⁶C₂
Ans: Ⓐ ⁹C₆ × ⁶C₅ + ⁹C₇ × ⁶C₄ + ⁹C₈ × ⁶C₃ + ⁹C₉ × ⁶C₂

43. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 চিহ্নিত 8 টি কাউন্টার থেকে একযোগে 4 টি কাউন্টার নিয়ে যতগুলি সমবায় গঠন করা যায় যাতে প্রত্যেক সমবায়ে অন্তত একটি যুগ্ম ও একটি অযুগ্ম অঙ্কের কাউন্টার থাকে তা হল —
Ⓐ ⁶C₄
Ⓑ ⁸P₄ – ⁴P₄ – ⁴P₄
Ⓒ ⁸C₄ – ⁴C₄ × ⁴C₄
Ⓓ ⁸C₄ – ⁴C₄ – ⁴C₄

Solution: যুগ্ম এবং অযুগ্ম অঙ্কের কাউন্টারের সংখ্যা যথাক্রমে 4 টি করে।
অন্তত 1টি যুগ্ম ও 1টি অযুগ্ম অঙ্কের কাউন্টার থাকবে এমন 4টি কাউন্টারের সমবায়ের সংখ্যা
= ⁴C₁ × ⁴C₃ + ⁴C₂ × ⁴C₂ + ⁴C₃ × ⁴C₁
= 4×4 + ^4!/_2!.2! × ^4!/_2!.2! + 4×4
=16 + 6×6 + 16
= 68 = 70 – 2 = ⁸C₄ – ⁴C₄ – ⁴C₄
Ans: Ⓓ ⁸C₄ – ⁴C₄ – ⁴C₄

44. FORECAST এবং MILKY এই শব্দ দুটির অক্ষরগুলি থেকে 5 অক্ষরবিশিষ্ট বিন্যাস করতে হবে, যদি প্রত্যেক বিন্যাসে প্রথম শব্দ থেকে 3 টি অক্ষর এবং দ্বিতীয় শব্দটি থেকে 2 টি অক্ষর নেওয়া হয় তবে বিন্যাস সংখ্যা হবে —
Ⓐ ⁸C₃ × ⁵C₂
Ⓑ ⁸C₃ × ⁵C₂ × 5!
Ⓒ ⁸P₃ × ⁵P₂
Ⓓ ⁸P₃ × ⁵P₂ × 5!

Solution: FORECAST শব্দটির 8 টি অক্ষর থেকে 3টি অক্ষর নেওয়া যায় ⁸C₃ উপায়ে এবং MILKY শব্দটির 5 টি অক্ষর থেকে 2টি অক্ষর নেওয়া যায় ⁵C₂ উপায়ে।
আবার, এই 5টি অক্ষরকে সাজানো যায় 5! উপায়ে।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা ⁸C₃ × ⁵C₂ × 5!
Ans: Ⓑ ⁸C₃ × ⁵C₂ × 5!

45. 17 টি বস্তুর মধ্যে 12 টি বস্তু সদৃশ এবং বাকি 5 টি বস্তু পরস্পর বিভিন্ন। এই 17 টি বস্তু থেকে 13 টি বস্তু যত রকমে নির্বাচন করা যায় তা হল —
Ⓐ ∑⁵_i=1 ⁵C_i      Ⓑ ∑⁵_i=0 ⁵C_i
Ⓒ ∑⁵_i=1 ⁵C_i × ∑⁵_i=1 ¹²C_13-i
Ⓓ ∑⁵_i=0 ⁵C_i × ∑⁵_i=1 ¹²C_13-i

Solution: 13 টি বস্তু যত রকমে নির্বাচন করা যায় –
i) 12 টি সদৃশ এবং 1 টি ভিন্ন বস্তু 1×⁵C₁ = ⁵C₁ উপায়ে।
ii) 11 টি সদৃশ এবং 2 টি ভিন্ন বস্তু 1×⁵C₂ = ⁵C₂ উপায়ে।
iii) 10 টি সদৃশ এবং 3 টি ভিন্ন বস্তু 1×⁵C₃ = ⁵C₃ উপায়ে।
iv) 9 টি সদৃশ এবং 4 টি ভিন্ন বস্তু 1×⁵C₄ = ⁵C₄ উপায়ে।
v) 8 টি সদৃশ এবং 5 টি ভিন্ন বস্তু 1×⁵C₅ = ⁵C₅ উপায়ে।
মোট নির্বাচন সংখ্যা
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅ = ∑⁵_i=1 ⁵C_i
Ans:  Ⓐ   ∑⁵_i=1 ⁵C_i

46. EXAMINATION শব্দের অক্ষরগুলি থেকে একযোগে 4 অক্ষর কত উপায়ে নির্বাচন করা যায়?
Ⓐ ⁸C₄       Ⓑ ¹¹C₄
Ⓒ ⁸C₄ + ⁷C₂ × ³C₂ + ³C₂
Ⓓ ⁸P₄

Solution: EXAMINATION শব্দের 11 টি অক্ষরের মধ্যে 2 টি করে A, I, N আছে এবং বাকি 5 টি ভিন্ন অক্ষর আছে।
এখন, 4টি অক্ষর যত উপায়ে নির্বাচন করা যায় তা হল – 
i) সবগুলি ভিন্ন নির্বাচন করা যায় ³C₁ × ⁷C₂ উপায়ে।
ii) এক প্রকারের দুটি সদৃশ ও দুটিই পৃথক
iii) এক প্রকারের দুটি সদৃশ ও দ্বিতীয় প্রকারের দুটি সদৃশ নির্বাচন করা যায় ³C₂ উপায়ে।
সুতরাং, মোট নির্বাচন সংখ্যা নির্বাচন করা যায় ⁸C₄ উপায়ে।
মোট নির্বাচন সংখ্যা = ⁸C₄ + ⁷C₂ × ³C₂ + ³C₂
Ans: Ⓒ ⁸C₄ + ⁷C₂ × ³C₂ + ³C₂

47. 1, 1, 2, 2, 3, 4 অঙ্কগুলি দ্বারা 4 অঙ্কবিশিষ্ট যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তা হল — Ⓐ 70           Ⓑ 102
Ⓒ 104        Ⓓ ⁸P₄

Solution: 6 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি করে 1 এবং 2 আছে।
2 টি করে একই সংখ্যা (1, 1, 2, 2) নিয়ে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়
= ^{2C2 × 4!}/_2!.2! = 1×6 = 6 টি
1 টি করে একই সংখ্যা (1, 1 অথবা 2, 2) এবং 2 টি ভিন্ন সংখ্যা নিয়ে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় = ²C₁ × ³C₂ × ^4!/_2! = 2×3×12 = 72 টি
4 টি ভিন্ন সংখ্যা নিয়ে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়
= ⁴C₄ × 4! = 1×24 = 24 টি
∴ 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় (6 + 72 + 24) = 102 টি।
Ans: Ⓑ 102

48. 5 টি বিভিন্ন সবুজ বল, 4 টি বিভিন্ন নীল বল এবং 3 টি বিভিন্ন লাল বল থেকে কমপক্ষে একটি সবুজ ও একটি নীল বল নিয়ে মোট সমবায় সংখ্যা —
Ⓐ (2⁵ – 1)(2⁴ – 1) × 2³
Ⓑ (2⁵ – 1)(2⁴ – 1)(2³ – 1)
Ⓒ 5 × 4 × (3 + 1)
Ⓓ ⁵C₁ × ⁴C₁(3 + 1)

Solution: কমপক্ষে 1টি সবুজ বল নির্বাচন করা যায়
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 2⁵ – 1 উপায়ে।
কমপক্ষে 1টি নীল বল নির্বাচন করা যায়
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄
= 2⁴ – 1 উপায়ে।
আর লাল বল নির্বাচন করা যায়
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃
= 2³ উপায়ে।
∴ কমপক্ষে 1টি সবুজ ও 1টি নীল বল নিয়ে মোট সমবায় সংখ্যা হল (2⁵ – 1)(2⁴ – 1) × 2³
Ans: Ⓐ (2⁵ – 1)(2⁴ – 1) × 2³

49. এক ব্যক্তির 7 জন আত্মীয় আছেন যাদের মধ্যে 4 জন মহিলা এবং 3 জন পুরুষ; তার স্ত্রীরও 7 জন আত্মীয় আছেন যাদের মধ্যে 3 জন মহিলা এবং 4 জন পুরুষ। 3 জন মহিলা ও 3 জন পুরুষকে একটি ডিনার পার্টিতে তারা কত প্রকারে নিমন্ত্রণ করতে পারবেন যাদের মধ্যে ওই ব্যক্তির 3 জন আত্মীয় এবং তার স্ত্রীর 3 জন আত্মীয় থাকবেন?
Ⓐ 854        Ⓑ 845
Ⓒ 458        Ⓓ 485

Solution: প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী নিম্নলিখিত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারবেনঃ
(i) ব্যক্তিটির 3 জন পুরুষ আত্মীয় এবং তার স্ত্রীর 3 জন মহিলা আত্মীয়কে নিমন্ত্রণ করার উপায় = ³C₃×⁴C₀×⁴C₀׳C₃ = 1×1×1×1 = 1
(ii) ব্যক্তিটির 2 জন পুরুষ আত্মীয় ও 1 জন মহিলা আত্মীয় এবং তার স্ত্রীর 1 জন পুরুষ আত্মীয় ও 2 জন মহিলা আত্মীয়কে নিমন্ত্রণ করার উপায় = ³C₂×⁴C₁×⁴C₁׳C₂ =  3×4×4×3 = 144
(iii) ব্যক্তিটির 1 জন পুরুষ আত্মীয় ও 2 জন মহিলা আত্মীয় এবং তার স্ত্রীর 2 জন পুরুষ আত্মীয় ও 1 জন মহিলা আত্মীয়কে নিমন্ত্রণ করার উপায় = ³C₁×⁴C₂×⁴C₂׳C₁ = 3×6×6×3 = 324
(iv) ব্যক্তিটির 3 জন মহিলা আত্মীয় এবং তার স্ত্রীর 3 জন পুরুষ আত্মীয়কে নিমন্ত্রণ করার উপায় = ³C₀×⁴C₃×⁴C₃׳C₀ = 1×4×4×1 = 16
মোট সমবায় সংখ্যা
=(1 + 144 + 324 + 16) = 485
Ans: Ⓓ485

50. 18 জন অতিথিকে একটি লম্বা টেবিলের দু-দিকে 9 জন করে বসাতে হবে। যদি বিশেষ 4 জন অতিথি টেবিলের একদিকে এবং অন্য 3 জন অন্যদিকে বসতে ইচ্ছুক হয়, তবে যত প্রকারে অতিথিদের টেবিলের দু-দিকে বসানো যায় তা হল —
Ⓐ (11)! (9!)²
Ⓑ ^(11)!/_6!5! . (9!)²
Ⓒ (9!)²        Ⓓ (11)!

Solution: বিশেষ 4 জন অতিথি টেবিলের একদিকে এবং অন্য 3 জন অন্যদিকে বসতে ইচ্ছুক হয়।
∴ বাকি অতিথি থাকে = (18 – 4 – 3) = 11 জন।
বিশেষ অতিথি বসার পর টেবিলের দু-দিকে ফাঁকা জায়গা থাকে (9 – 4) বা 5 জন এবং (9 – 3) বা 6 জন।
ঐ ফাঁকা জায়গাগুলিতে বাকি 11 জন অতিথি বসতে পারে
= ¹¹C₅ × ^(11-5)C₆
= ¹¹C₅ × ⁶C₆ = ¹¹C₅ প্রকারে।
আবার টেবিলের একদিকে 9 জন অতিথি নিজেদের মধ্যে 9! প্রকারে বসতে পারে এবং অপরদিকের 9 জন অতিথিও নিজেদের মধ্যে 9! প্রকারে বসতে পারে।
∴ মোট নির্বাচন সংখ্যা = ¹¹C₅×9!×9! = ^11!/_5!.6! × (9!)²
Ans: Ⓑ ^(11)!/_6!5! . (9!)²

51. 22 খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে যতরকমভাবে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি দল গঠন করা যায় যাতে, নির্দিষ্ট 2 জন সর্বদা থাকবে এবং 4 জন কখনোই থাকবে না তা হল —
Ⓐ ¹⁶C₁₁        Ⓑ ¹⁶C₅
Ⓒ ¹⁶C₉        Ⓓ ²⁰C₉

Solution: 4 জন খেলোয়াড় কখনোই না থাকলে (22 – 4) বা 18 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকেই খেলোয়াড় নির্বাচন করতে হবে।
আবার 2 জন খেলোয়াড় সর্বদা থাকলে (18 – 2) বা 16 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে (11 – 2) বা 9 জন খেলোয়াড় নির্বাচন করতে হবে।
∴ নির্নেয় নির্বাচন সংখ্যা = ¹⁶C₉
Ans: Ⓒ ¹⁶C₉

2. Fill in the Blanks ____________

1. যদি ⁿC_{n – 2} = 21 হয়, তবে n = ________।
Ⓐ 2        Ⓑ 5
Ⓒ 7        Ⓓ 10

Solution: ⁿC_{n – 2} = 21
⇒ ^n!/_{(n – 2)!.(n – n + 2)!} = 21
⇒^{n(n – 1)(n – 2)!}/_{(n – 2)!.(n – n + 2)!} = 21
⇒ ^n(n-1)/_2! = 21
⇒ n(n-1) = 42 = 7×6
∴ n = 7
Ans: Ⓒ  7

2. ⁿC₇ = ⁿC₁₁ হলে ²¹C_n = ________।
Ⓐ 1330       Ⓑ 133
Ⓒ 13             Ⓓ 330

Solution: ⁿC₇ = ⁿC₁₁
∴ n = 7 + 11 = 18
     ²¹C_n
= ²¹C₁₈ = ²¹C₃
= ^21×20×19/_3!
=^21×20×19/_3×2×1
= 7×10×19
= 1330
Ans: Ⓐ  1330

3. ⁿP_r = 120 × ⁿC_{n  – r} হলে, r = ________।
Ⓐ 3        Ⓑ 4
Ⓒ 6        Ⓓ 5

Solution: ⁿP_r = 120 × ⁿC_{n  – r}
⇒ r!×ⁿC_r = 120 × ⁿC_{n  – r} . . . [∵ ⁿP_r = r! × ⁿC_r]
⇒ r! × ⁿC_{n – r} = 120 × ⁿC_{n – r}
⇒r! = 120 = 5×4×3×2×1 = 5!
∴ r = 5
Ans: Ⓓ  5

4. ²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে, r = ________।
Ⓐ n           Ⓑ n – 1
Ⓒ 2n        Ⓓ 2n – 1

Solution: ²ⁿC_r = ²ⁿC_{r +2}
⇒ r + r + 2 = 2n
⇒2r + 2 = 2n
⇒ r + 1 = n
⇒ r = n – 1
Ans: Ⓑ n – 1

5. যদি ⁿC₄ = 21 × ^n/2C₃ হয়, তবে n = ________।
Ⓐ n        Ⓑ n – 1
Ⓒ 22     Ⓓ 10

Solution: ⁿC₄ = 21 × ^n/₂C₃
⇒ ^n!/_{4!.(n – 4)!} = 21 × ^(n/₂)!/_{3!.(^n/2 – 3)!}
⇒ ^{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n-4)!}/_{4.3!.(n – 4)!} = 21 × ^{(n/₂)(n/₂ – 1)(n/₂ – 2)(n/₂ – 3)!}/_{3!.(^n/2 – 3)!}
⇒^{(n-1)(n-2)(n-3)}/₄= 21 × ¹/₂×(ⁿ/₂ – 1)(ⁿ/₂ – 2)
⇒ (n – 1)(n – 2)(n – 3) = 4 ×21 × ¹/₂ × ^{n – 2}/₂ × ^{n – 4}/₂
⇒ (n – 1)(n – 3) = 21 × ^{n – 4}/₂
⇒2(n² – 4n + 3) = 21n – 84
⇒ 2n² – 8n + 6 = 21n – 84
⇒ 2n² – 29n + 90 = 0
⇒2n² – 20n – 9n + 90 = 0 
⇒ 2n(n – 10) – 9(n – 10) = 0
⇒ (2n – 9)(n- 10) = 0
∴ n = ⁹/₂, 10 n ≠ ⁹/₂
∴ n = 10
Ans:  Ⓓ  10

6. n-সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ________।
Ⓐ ^{n(n + 1)}/₂
Ⓑ ^{n(n – 1)}/₂
Ⓒ ^{n(n – 3)}/₂
Ⓓ n

Solution: n -সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা n টি।
n টি শীর্ষবিন্দু যোগ করলে সরলরেখাংশ পাওয়া যায় ⁿC₂ টি।
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা
=(ⁿC₂ – n)
= ^{n(n – 1)}/_2! – n
=n[^{n – 1}/₂ – 1]
= ^{n(n – 3)}/ ₂ টি
Ans: Ⓒ ^{n(n – 3)}/₂

7. 9 জন স্বরাজ্যপন্থী ও 5 জন মন্ত্রিত্বপন্থী ব্যক্তি আছেন। তাঁদের মধ্য থেকে 6 জন স্বরাজ্যপন্থী ও 2 জন মন্ত্রিত্বপন্থী থাকবে এমন ________ টি কমিটি গঠন করা যায়।
Ⓐ ⁹C₆ × ⁵C₂
Ⓑ ⁹C₂ × ⁵C₆
Ⓒ ¹⁴C₈
Ⓓ ⁹P₆ × ⁵P₂

Solution: 9 জন স্বরাজ্যপন্থীর মধ্য থেকে 6 জন স্বরাজ্যপন্থী নিয়ে কমিটি গঠন করা যায় ⁹C₆ টি এবং 5 জন মন্ত্রিত্বপন্থীর মধ্য থেকে 2 জন মন্ত্রিত্বপন্থী নিয়ে কমিটি গঠন করা যায় ⁵C₂ টি।
∴ মোট কমিটির সংখ্যা ⁹C₆ × ⁵C₂ টি।
Ans: Ⓐ  ⁹C₆ × ⁵C₂

8. একটি 10 জন সরকারি ও 15 জন বেসরকারি প্রতিনিধি সভায় 3 জন সরকারি ও 5 জন বেসরকারি প্রতিনিধিসম্বলিত একটি উপসমিতি নির্বাচন করা যায় ________ বিভিন্ন উপায়ে।
Ⓐ ¹⁰C₅ × ¹⁵C₃
Ⓑ ¹⁰C₃ × ¹⁵C₅
Ⓒ ²⁵C₈
Ⓓ ¹⁰P₃ × ¹⁵P₅

Solution: 10 জন সরকারি প্রতিনিধির মধ্য থেকে 3 জন সরকারি প্রতিনিধি  নির্বাচন করা যায় ¹⁰C₃ উপায়ে।
আবার, 15 জন বেসরকারি প্রতিনিধির মধ্য থেকে 5 জন বেসরকারি প্রতিনিধি নির্বাচন করা যায় ¹⁵C₅ উপায়ে।
∴ মোট উপসমিতি নির্বাচন করা যায় ¹⁰C₃ × ¹⁵C₅ উপায়ে।
Ans: Ⓑ  ¹⁰C₃ × ¹⁵C₅

9. 10 টি আম থেকে 3 টি করে নিয়ে ________ টি বিভিন্ন নির্বাচন করা যায় যাতে প্রতি নির্বাচনে একটি নির্দিষ্ট আম সর্বদা থাকে।
Ⓐ ⁹C₃       Ⓑ ¹⁰C₃ – 1
Ⓒ ¹⁰C₃     Ⓓ ⁹C₂

Solution: একটি নির্দিষ্ট আম সর্বদা থাকলে (10 – 1) বা 9 টি আম থেকে 2 টি করে আম নির্বাচন করা যায় ⁹C₂ উপায়ে।
Ans: Ⓓ ⁹C₂

10. এক ব্যক্তির 6 জন বন্ধু আছে। ________ রকমভাবে সে তার এক বা একাধিক বন্ধুকে আমন্ত্রণ করতে পারে।
Ⓐ 6! – ⁶C₀   Ⓑ 6!
Ⓒ 63              Ⓓ ⁶C₆

Solution: ব্যক্তিটি তার 6 জন বন্ধুর মধ্যে তার এক বা একাধিক বন্ধুকে আমন্ত্রণ করতে পারে।
সে আমন্ত্রণ করতে পারে ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆ = 2⁶ – 1= 63 উপায়ে।
Ans: Ⓒ63

11. এক ব্যক্তির কাছে একটি 10 টাকার, একটি 5 টাকার, একটি 2 টাকার এবং একটি 1 টাকার নোট আছে, সে ________ রকমভাবে কোনো দরিদ্র ভাণ্ডারে দান করতে পারে। Ⓐ 15           Ⓑ 16
Ⓒ ⁶C₁       Ⓓ ⁴C₄

Solution: ব্যাক্তিটির কাছে 10 টাকা, 5 টাকা, 2 টাকা এবং 1 টাকা মিলিয়ে মোট নোট আছে 4 টি।
সে একটি বা দুটি বা তিনটি বা চারটি নোট দান করতে পারে।
∴ মোট দান করার উপায়
= ⁴C₁ + ⁴C₂ + ⁴C₃ + ⁴C₄
= 2⁴ – 1= 15।
Ans: Ⓐ15

12. ⁿC_r : ⁿC_{r + 1} : ⁿC _{r + 2} = 1 : 2 : 3 হলে r = n = ________।
Ⓐ 15, 5        Ⓑ 14, 4
Ⓒ 1, 0           Ⓓ 12, 2

Solution: ⁿCr : ⁿC _{r + 1} : ⁿC_{r + 2} = 1 : 2 : 3
∴ ⁿCr : ⁿCr + 1 = 1 : 2

⇒ n – r = 2r + 2
⇒ n – 3r = 2 . . .  (i)
আবার ⁿC _{r + 1} : ⁿC _{r + 2} = 2 : 3

⇒ 2n – 2r – 2 = 3r + 6
⇒ 2n – 5r = 8 . . .  (ii)
(i)×2 – (ii) করে পাই,
     2n – 6r – (2n – 5r) = 4 – 8
⇒ 2n – 6r – 2n + 5r = -4
⇒ r = 4
(i)নং থেকে পাই,
      n – 3×4 = 2
⇒ n = 14
Ans: Ⓑ 14, 4

13. একটি সমতলে 20টি সরলরেখা যদি এমনভাবে টানা হয় যেন, তাদের মধ্যে কোনো দুটি সরলরেখাই সমান্তরাল নয় এবং কোনো তিনটি সরলরেখাই সমবিন্দু নয়, তবে সেক্ষেত্রে ________ টি ছেদবিন্দু থাকবে।
Ⓐ 20²        Ⓑ 2²⁰
Ⓒ 10            Ⓓ 190

Solution: ∵ সরলরেখাগুলি একতলীয়, অসমান্তরাল এবং কোনো তিনটি সমবিন্দু নয়
∴ যে-কোনো দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
20 টি সরলরেখার মধ্যে থেকে 2 টি সরলরেখা যত রকমে নির্বাচন করা যায় সেটিই হবে ছেদবিন্দুর সংখ্যা।
ছেদবিন্দুর সংখ্যা
= ²⁰C₂
=^20×19/_2! = 190
Ans: Ⓓ  190

14. একজন ব্যক্তির কাছে 10 টি 10 টাকার, 5টি 5 টাকার, 2টি 2 টাকার এবং 1 টি 1 টাকার নোট আছে, সে ________ রকমে কোনো দরিদ্র ভান্ডারে দান করতে পারে।
Ⓐ ¹⁰C₁ + ⁵C₁ + ²C₁ + ¹C₁
Ⓑ 10 × 5 × 2 × 1 – 1
Ⓒ 11 × 6 × 3 × 2 – 1
Ⓓ 2¹⁸ – 1

Solution: একজন ব্যক্তির কাছে 10 টি 10 টাকার, 5 টি 5 টাকার, 2 টি 2 টাকার এবং 1 টি 1 টাকার নোট আছে; সে কোনো দরিদ্র ভাণ্ডারে দান করতে পারে
= (10 + 1)(5 + 1)(2 + 1)(1 + 1) – 1
=  11 × 6 × 3 × 2 – 1 রকমে
Ans: Ⓒ11 × 6 × 3 × 2 – 1

15. 10 টি ফুটবল ম্যাচের ফলাফলের (জয়, পরাজয় অথবা অমীমাংসিতভাবে শেষ) ভবিষ্যদ্বাণী করতে হবে। ________ টি বিভিন্ন পূর্বাভাসে ঠিক ছয়টি সঠিক ফল থাকবে।
Ⓐ ¹⁰C₆
Ⓑ ¹⁰C₆ × 3⁶
Ⓒ ¹⁰C₆ × 2⁴
Ⓓ 3¹⁰ – 2⁴

Solution: 10 টির মধ্যে 6 টি সঠিক হবে ¹⁰C₆ উপায়ে।
যেকোনো ম্যাচের ফলাফলের পূর্বাভাসে 1 টি সঠিক এবং 2 টি ভূল পূর্বাভাস থাকবে।
বাকি ম্যাচ =(10 – 6) = 4
∴ পূর্বাভাসে ঠিক ছয়টি সঠিক ফল থাকবে
= ¹⁰C₆ × 2 × 2 × 2 × 2
= ¹⁰C₆ × 2⁴ টি
Ans: Ⓒ  ¹⁰C₆ × 2⁴

16. 4 টি আপেল, 5 টি কমলালেবু এবং 3 টি আম থেকে এক বা একাধিক ফল ________ রকমে নির্বাচন করা যায়, যদি এক ধরনের ফল একই আকারের হয়।
Ⓐ (4 + 1)(5 + 1)(3 + 1) – 1
Ⓑ (4 + 1)(5 + 1)(3 + 1)
Ⓒ 2⁴ × 2⁵ × 2³ – 1
Ⓓ2⁴ × 2⁵ × 2³

Solution: 4 টি আপেল, 5 টি কমলালেবু এবং 3 টি আম থেকে এক বা একাধিক ফল যত রকমে নির্বাচন করা যায় তা হল (4 + 1)(5 + 1)(3 + 1) – 1
Ans: Ⓐ(4 + 1)(5 + 1)(3 + 1) – 1

17. মনে করো, n-সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা t_n যদি t_{n + 1} = 9 হয়, তবে n = ________।
Ⓐ 7        Ⓑ 6
Ⓒ 4        Ⓓ 5

Solution: n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ⁿC₂ – 2
∴ t_n = ⁿC₂ – n
প্রশ্নানুযায়ী,
    t_{n + 1} = 9
⇒ ^{n + 1}C₂ – (n+ 1) = 9
⇒ ^{(n + 1)n}/₂ – (n+ 1) = 9
⇒^{n(n + 1) -2(n + 1)}/₂ = 9
⇒ n² + n – 2n – 2 = 18
⇒ n² – n – 20 = 0
⇒n² – 5n + 4n – 20 = 0
⇒ n(n – 5) + 4(n – 5) = 0
⇒ (n – 5)(n + 4) = 0
∴ n = -4, 5 কিন্তু n ≠ -4
সুতরাং n = 5 Ans:  Ⓓ5

18. মনে করো, n -সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলি যোগ করে T_n সংখ্যক ত্রিভুজ গঠন করা যায়। যদি T_{n + 1} – T_n = 21 হয়, তবে n = ________।
Ⓐ 7        Ⓑ 6
Ⓒ 4        Ⓓ 5

Solution: n -সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলি যোগ করে ত্রিভুজ গঠন করা যায় ⁿC₃ সংখ্যক।
∴ t_n = ⁿC₃
প্রশ্নানুযায়ী, T_{n + 1} – T_n = 21
⇒ ^{n + 1}C₃ – ⁿC₃ = 21
⇒^{(n + 1)!}/_{3!(n – 2)!} – ^n!/_{3!(n – 3)!} = 21
⇒ ^{(n + 1)n(n – 1)(n – 2)!}/_{3×2×1×(n – 2)!} – ^{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)!}/_{3×2×1×(n – 3)!} = 21
⇒^{(n + 1)n(n – 1)}/₆ – ^{n(n – 1)(n – 2)}/₆ = 21
⇒ ^{n(n – 1)}/₆ [ (n + 1) – (n – 2)] = 21
⇒ ^{n(n – 1)}/₆ [ n + 1 – n + 2] = 21
⇒^{n(n – 1)}/₆ × 3 = 21
⇒ ^{n(n – 1)}/₂ = 21
⇒ n² – n = 42
⇒n² – n – 42 = 0
⇒ n² – 7n + 6n – 42 = 0
⇒ n(n – 7) + 6(n – 7) = 0
⇒(n – 7)(n + 6) = 0
∴ n = -6, 7 কিন্তু n ≠ -6
সুতরাং n = 7
Ans:  Ⓐ  7

19. 6 জন ভদ্রলোক ও 4 জন মহিলার মধ্য থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করা হল। কমিটিতে অন্তত একজন মহিলা ও দুজন ভদ্রলোক থাকবে এমন ________ টি কমিটি গঠন করা যায়।
Ⓐ ⁶C₂ × ⁴C₁ × ⁷C₂
Ⓑ ⁶C₂ × ⁴C₁
Ⓒ ¹⁰C₅ – (⁶C₅ + ⁶C₁ × ⁴C₄)
Ⓓ ¹⁰P₅ – (⁶C₅ + ⁶C₁ × ⁴P₄)

Solution: (6 + 5)বা 10 জনের থেকে 5 জনকে নিয়ে মোট কমিটি তৈরি করা যায় ¹⁰C₅ উপায়ে।
শুধুমাত্র 5 জন ভদ্রলোক নিয়ে কমিটি তৈরি করা যায় ⁶C₅ উপায়ে।
5 জন ভদ্রলোক এবং 4 জন মহিলা নিয়ে কমিটি তৈরি করা যায় ⁶C₁ × ⁴C₄ উপায়ে।
∴ অন্তত একজন মহিলা ও দুজন ভদ্রলোক নিয়ে গঠিত কমিটির সংখ্যা ¹⁰C₅ – (⁶C₅ + ⁶C₁ × ⁴C₄)
Ans: Ⓒ ¹⁰C₅ – (⁶C₅ + ⁶C₁ × ⁴C₄)

20. 6 জন খেলোয়াড় ও 8 জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট দল গঠন করতে হবে। যদি 6 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 4 জনের কম খেলোয়াড় নেওয়া না হয়, তবে ________ উপায়ে খেলোয়াড় নির্বাচন করা যায়।
Ⓐ ⁶P₄ + ⁶P₅ + ⁶P₆
Ⓑ ⁶C₄ × ⁸P₇ + ⁶C₅ × ⁸P₆ + ⁶C₆ × ⁸P₅
Ⓒ ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆
Ⓓ ⁶C₄ × ⁸C₇ + ⁶C₅ × ⁸C₆ + ⁶C₆ × ⁸C₅

Solution:  6 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে কমপক্ষে 4 জন খেলোয়াড় নিয়ে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট দল নিম্নলিখিত উপায়ে গঠন করা যায়ঃ
(i) 6 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 4 জন এবং 8 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 7 জন নিয়ে ক্রিকেট দল গঠন করা যায় ⁶C₄ × ⁸C₇ উপায়ে।
(ii) 6 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 5 জন এবং 8 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 6 জন নিয়ে ক্রিকেট দল গঠন করা যায় ⁶C₅ × ⁸C₆ উপায়ে।
(iii) 6 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 6 জন এবং 8 জন খেলোয়াড়ের দল থেকে 5 জন নিয়ে ক্রিকেট দল গঠন করা যায় ⁶C₆ × ⁸C₅ উপায়ে।
∴ মোট খেলোয়াড় নির্বাচন করা যায় ⁶C₄ × ⁸C₇ + ⁶C₅ × ⁸C₆ + ⁶C₆ × ⁸C₅ উপায়ে।
Ans: Ⓓ ⁶C₄ × ⁸C₇ + ⁶C₅ × ⁸C₆ + ⁶C₆ × ⁸C₅

21. একটি বাক্সে 12 টি ল্যাম্প আছে যার মধ্যে 5 টি ত্রুটিপূর্ণ। ________ উপায়ে বাক্সটি থেকে 6 টি ল্যাম্পের নমুনা (সমসম্ভব প্রক্রিয়ায়) গ্রহণ করা যায়, যাতে নমুনায় সর্বাধিক 3 টি ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্প থাকতে পারে।
Ⓐ ⁵C₀ + ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃
Ⓑ ⁵C₀ x ⁷C₆ + ⁵C₁ x ⁷C₅ + ⁵C₂ x ⁷C₄ + ⁵C₃ x ⁷C₃
Ⓒ ⁵P₀ + ⁵P₁ + ⁵P₂ + ⁵P₃
Ⓓ ⁵C₁ × ⁷C₅ + ⁵C₂ × ⁷C₄ + ⁵C₃ × ⁷C₃

Solution: বাক্সটিতে ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্পের সংখ্যা 5 টি এবং ত্রুটিহীন ল্যাম্পের সংখ্যা (12 – 5) বা 7 টি।
6 টি ল্যাম্পের নমুনায় সর্বাধিক 3টি ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্প যত উপায়ে নেওয়া যায় তা হলঃ
(i) নমুনাতে ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্পের সংখ্যা 0 এবং ত্রুটিহীন ল্যাম্পের সংখ্যা 6 টি থাকলে নমুনার সংখ্যা হবে ⁵C₀ x ⁷C₆ টি।
(ii) নমুনাতে ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্পের সংখ্যা 1 এবং ত্রুটিহীন ল্যাম্পের সংখ্যা 5 টি থাকলে নমুনার সংখ্যা হবে ⁵C₁ x ⁷C₅ টি।
(iii) নমুনাতে ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্পের সংখ্যা 2 এবং ত্রুটিহীন ল্যাম্পের সংখ্যা 4 টি থাকলে নমুনার সংখ্যা হবে ⁵C₂ x ⁷C₄ টি।
(iv) নমুনাতে ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্পের সংখ্যা 3 এবং ত্রুটিহীন ল্যাম্পের সংখ্যা 3 টি থাকলে নমুনার সংখ্যা হবে ⁵C₃ x ⁷C₃টি।
সর্বাধিক 3 টি ত্রুটিপূর্ণ ল্যাম্প থাকতে পারে এমন নমুনার সংখ্যা ⁵C₀ x ⁷C₆ + ⁵C₁ x ⁷C₅ + ⁵C₂ x ⁷C₄ + ⁵C₃ x ⁷C₃টি।
Ans: Ⓑ ⁵C₀ x ⁷C₆ + ⁵C₁ x ⁷C₅ + ⁵C₂ x ⁷C₄ + ⁵C₃ x ⁷C₃

22. কোনো পরীক্ষায় দুটি বিভাগে 5 টি করে মোট 10 টি প্রশ্ন আছে এবং একজন পরীক্ষার্থীকে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হয়। যদি পরীক্ষার্থীর কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্নের উত্তর করার নির্দেশ না থাকে তবে ________ রকমে সে প্রশ্ন 6 টি নির্বাচন করতে পারে।
Ⓐ ⁵C₂ × ⁵C₄ + ⁵C₃ × ⁵C₃ + ⁵C₄ × ⁵C₂
Ⓑ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄
Ⓒ ⁵P₂ × ⁵P₄ + ⁵P₃ × ⁵P₃ + ⁵P₄ × ⁵P₂
Ⓓ ⁵P₂ + ⁵P₃ + ⁵P₄

Solution: পরীক্ষার্থীর কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্নের উত্তর করতে না পারলে, নিম্নলিখিত উপায়ে 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারেঃ
(i) প্রথম বিভাগ থেকে 2 টি এবং দ্বিতীয় বিভাগ থেকে 4 টি করে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে ⁵C₂ × ⁵C₄ উপায়ে।
(ii) প্রথম বিভাগ থেকে 3 টি এবং দ্বিতীয় বিভাগ থেকে 3 টি করে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে ⁵C₃ × ⁵C₃ উপায়ে।
(iii) প্রথম বিভাগ থেকে 4 টি এবং দ্বিতীয় বিভাগ থেকে 2 টি করে মোট 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে ⁵C₄ × ⁵C₂ উপায়ে।
∴ একজন পরীক্ষার্থী 6টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারে ⁵C₂ × ⁵C₄ + ⁵C₃ × ⁵C₃ + ⁵C₄ × ⁵C₂ উপায়ে।
Ans: Ⓐ ⁵C₂ × ⁵C₄ + ⁵C₃ × ⁵C₃ + ⁵C₄ × ⁵C₂

23. পনেরো জন খেলোয়াড়ের মধ্যে পাঁচজন বোলার। ________ রকমে ভারতীয় ক্রিকেট একাদশ গঠন করা যাবে, যেখানে দলে কম করে তিনজন বোলার থাকবে।
Ⓐ ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
Ⓑ ⁵C₃ × ¹⁰C₈ + ⁵C₄× ¹⁰C₇ + ⁵C₅ × ¹⁰C₆
Ⓒ ⁵P₃ × ¹⁰P₈ + ⁵P₄ × ¹⁰P₇ + ⁵P₅ × ¹⁰P₆
Ⓓ ⁵P₃ + ⁵P₄ + ⁵P₅

Solution: 15 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে বোলারের সংখ্যা 5 জন এবং ব্যাটস্‌ম্যানের সংখ্যা (15 – 5) বা 10 জন।
কম করে তিনজন বোলার নিয়ে 11 জনের দল গঠন করা যায় নিম্নলিখিত উপায়েঃ
(i) 3 জন বোলার এবং 8 জন ব্যাটস্‌ম্যান নিয়ে দল গঠন করা যায় ⁵C₃ × ¹⁰C₈ উপায়ে।
(ii) 4 জন বোলার এবং 7 জন ব্যাটস্‌ম্যান নিয়ে দল গঠন করা যায় ⁵C₄× ¹⁰C₇ উপায়ে।
(iii) 5 জন বোলার এবং 6 জন ব্যাটস্‌ম্যান নিয়ে দল গঠন করা যায় ⁵C₅ × ¹⁰C₆ উপায়ে।
∴ মোট দল গঠন করা যায় ⁵C₃ × ¹⁰C₈ + ⁵C₄× ¹⁰C₇ + ⁵C₅ × ¹⁰C₆ উপায়ে।
Ans:  Ⓑ  ⁵C₃ × ¹⁰C₈ + ⁵C₄× ¹⁰C₇ + ⁵C₅ × ¹⁰C₆

24. 8 জন মাঝির মধ্যে 2 জন নৌকার কেবল দাঁড়ের দিকে এবং 1 জন কেবল হালের দিকে কাজ করতে পারে। মাঝিদের দু-ধারে সমভাবে ________ রকমে সাজানো যাবে।
Ⓐ 1 × 1 × ⁵P₃ × 4! × 4!Ⓑ 4! × 4!Ⓒ 1 × 1 × ⁵C₃Ⓓ 1 × 1 × ⁵C₃ × 4! × 4!

Solution: সবদিকে কাজ করতে পারে (8 – 2 – 1) = 5 জন। দু-ধারে 4 জন করে সাজানো যাবে। ∴ দাঁড়ের দিকে 5 জনের মধ্যে 2 জনকে ⁵C₃ প্রকারে নেওয়া যাবে। আবার দাঁড়ের দিকের 4 জনকে 4! প্রকারে রাখা যাবে এবং হালের দিকের 4 জনকেও 4! প্রকারে রাখা যাবে। মাঝিদের দু-ধারে সাজানো যাবে ⁵C₃ × 4! × 4! প্রকারে। Ans: Ⓓ1 × 1 × ⁵C₃ × 4! × 4!

25. 3n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে 2n -সংখ্যক বস্তু সদৃশ এবং বাকি বস্তুসমূহ পরস্পর বিভিন্ন। এই 3n -সংখ্যক বস্তু থেকে 2n -সংখ্যক বস্তু ________ রকমে নির্বাচন করা যায়।
Ⓐ ∑_iⁿ₌₀ ⁿC_i  Ⓑ ∑_iⁿ₌₀ ²ⁿC_{n – i}
Ⓒ ∑_iⁿ₌₀ ⁿP_i  Ⓓ  ∑_iⁿ₌₀ ⁿP_i × ²ⁿP_{n – i}

Solution: 3n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে 2n -সংখ্যক বস্তু সদৃশ এবং (3n – 2n) বা n -সংখ্যক বস্তু পরস্পর বিভিন্ন।
সদৃশ বস্তু থেকে যত সংখ্যক বস্তুই নেওয়া হোক না কেন তা সর্বদা 1 রকমভাবেই নেওয়া যায়।
∴ 2n -সংখ্যক বস্তু যত রকমে নির্বাচন করা যায় তা হল
= ²ⁿC_2n × ⁿC₀ + ²ⁿC_{2n – 1} × ⁿC₁ + ²ⁿC_{2n – 2} × ⁿC2 + . . .  + ²ⁿC_{2n – n} × ⁿC_n
=ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + . . . . + ⁿC_n
=  ∑_iⁿ₌₀ ⁿC_i
Ans:  Ⓐ  ∑_iⁿ₌₀ ⁿC_i

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

3. Column Matching ___________

1. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution: [i] ⁿC_{n – 4} = 70
⇒ ^n!/_{(n – 4)!(n – n + 4)!} = 70
⇒ ^n!/_{(n – 4)!4!} = 70
⇒^{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)!}/_{(n – 4)!4!} = 70
⇒ ^{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)}/_4×3×2×1 = 70
⇒n(n – 1)(n – 2)(n – 3) = 8×7×6×5
⇒ n(n – 1)(n – 2)(n – 3) = 8×(8 – 1)×(8 – 2)×(8 – 3)
∴ n = 8 → [c]

[ii] ²ⁿC₄ : ⁿC₃ = 35 : 2
⇒ ^(2n)!/_{4!(2n – 4)!} × ^{3!(n – 3)!}/_n! = ³⁵/₂
⇒^{(2n)(2n – 1)(2n – 2)(2n – 3)(2n – 4)!}/_{4×3!×(2n – 4)} ×^{3!(n – 3)!}/_{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)!} = ³⁵/₂
⇒ ^{(2n)(2n – 1)(2n – 2)(2n – 3)}/₄ × ¹/_{n(n – 1)(n – 2)} = ³⁵/₂
⇒ ^{n×(2n – 1)×2×(n – 1)(2n – 3)}/₂ × ¹/_{n(n – 1)(n – 2)} = ³⁵/₂
⇒2×(2n – 1)×(2n – 3) × 1/(n – 2) = 35
⇒ 2×(2n – 1)×(2n – 3) = 35(n – 2)
⇒ 8n² – 12n – 4n + 6 = 35n – 70
⇒8n² – 51n + 76 = 0
⇒ 8n² – 32n – 19n + 76 = 0
⇒ 8n(n – 4) – 19(n – 4) = 0
⇒(n – 4)(8n – 19) = 0
∴ n = 4, ¹⁹/₈ কিন্তু n ≠ ¹⁹/₈
 ∴ n = 4 → [a]

[iii]  ⁿC₅ = ⁿC₉
∴ n = 5 + 9 = 14 → [d]
[iv] ²⁰C_3n = ²⁰C_{2n + 5}
∴ হয় 20 = 3n + 2n + 5
বা 3n = 2n + 5
⇒ 5n = 20 – 5
বা n = 5
⇒ n = 3 → [b]
Ans: Ⓐ[i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]

2. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution:[i] ⁿC_r + ^{n – 1}C_{r -1} + ^{n – 1}C_{r – 2}
= ⁿC_r + ^{n – 1 + 1}C_{r – 1} . . . [∵ ⁿC_r + ⁿC_{r -1} = ^{n + 1}C_r]
=ⁿC_r + ⁿC_{r -1}
= ^{n + 1}C_r → [c]
[ii] ^{n – r + 1}/_{r .} ⁿC_{r – 1}
= ^{n – r + 1}/_r × ^n!/_{(r – 1)!(n – r + 1)!}
=^{n – r + 1}/_r × ^n!/_{(r – 1)!(n – r + 1)(n – r)!}
=^n!/_{r(r – 1)!(n – r)!}
= ^n!/_{r!(n – r)!}
= ⁿC_r → [a]

[iv] ⁿC_r + 3.ⁿC_{r – 1} + 3.ⁿC_{r – 2} + ⁿC_{r – 3}
= ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} + 2(ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r – 2} + ⁿC_{r – 2} + ⁿC_{r – 3}
=ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} + 2(ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r – 2} + ⁿC_{r – 2} + ⁿC_{r – 3}
= ^{n + 1}C_r + 2. ^{n + 1}C_{r – 1} + ^{n + 1}C_{r – 2}
= ^{n + 1}C_r + ^{n + 1}C_{r – 1} + ^{n + 1}C_{r – 1} + ^{n + 1}C_{r – 2}
=^{n + 2}C_r + ^{n + 2}C_{r – 1}
= ^{n + 3}C_r → [b]
Ans: Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]

3. ⁿP_r = 336 এবং ⁿC_r = 56 হলে,  স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution: ⁿP_r = 336
বা, r! . ⁿC_r = 336
বা, r! . 56 = 336
⇒ r! = 6 = 3.2.1 = 3!
∴ r = 3
      ⁿP_r = 336
বা, ⁿP3 = 336
বা, n(n – 1)(n – 2) = 8×7×6
⇒ n(n – 1)(n – 2) = 8×(8 – 1)×(8 – 2)
∴ n = 8
[i] → [c],
[ii] → [d]
[iii] ⁿC₃ = ⁸C₃ = ^8×7×6/_3! = ^8×7×6/_3×2×1 = 56 → [a]
[iv] ⁿP₃ = ⁸P₃ = 8×7×6 = 336 → [b]
Ans: Ⓓ[i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Rearrangement of Sentences/Events ___________

1. (n + 1)[n!n + (n – 1)!(2n – 1) + (n – 2)!(n – 1)] = (n + 2)! (যেখানে N ∈N ) প্রমাণ করার ধাপগুলি ক্রম অনুসারে সাজাও।
 [i] (n + 2)! [ii] (n + 1)!(n + 2)
 [iii] (n + 1)[n!n + n!2 – (n – 1)! + (n – 1)!]
 [iv] (n + 1)n!(n + 2)
 [v] (n + 1)[n!n + n!2]
Ⓐ [iii] — [v] — [i] — [iv] — [ii]
Ⓑ [i] — [iv] — [iii] — [ii] — [v]
Ⓒ [iv] — [iii] — [i] — [v] — [ii]
Ⓓ [iii] — [v] — [iv] — [ii] — [i]

Solution: (n + 1)[n!n + (n – 1)!(2n – 1) + (n – 2)!(n – 1)]
 = (n + 1)[n!n + n(n – 1)!2n – (n – 1)! + (n – 1)(n – 2)!]
 = (n + 1)[n!n + n!2 – (n – 1)! + (n – 1)!] → [iii]
 = (n + 1)[n!n + n!2] → [v]
 = (n + 1)n!(n + 2) → [iv]
 = (n + 1)!(n + 2) → [ii]
 = (n + 2)! → [i]
 Ans: Ⓓ[iii] — [v] — [iv] — [ii] — [i]

2. INDEPENDENT শব্দের অক্ষরগুলি থেকে 5 টি অক্ষর নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা নির্ণয় করার ধাপগুলি ক্রম অনুসারে সাজাও।
 [i] INDEPENDENT শব্দে I → 1 টি, N → 3 টি, D → 2 টি, E → 3 টি, P → 1 টি, T → 1 টি
 [ii] 2 টি অক্ষর বিভিন্ন কিন্তু 3 টি অক্ষর অভিন্ন এমন নির্বাচনের সংখ্য ⁵C₂ × ²C₁
 [iii] 3 টি অক্ষর বিভিন্ন কিন্তু 2 টি অক্ষর অভিন্ন এমন নির্বাচনের সংখ্য ⁵C₃ × ³C₁
 [iv] 5 টি অক্ষর বিভিন্ন এমন শব্দের সংখ্যা ⁵C₅
 [v] 1 টি অক্ষর একধরনের, 2 টি অক্ষর একধরনের অন্য দুটি অক্ষর একধরনের এমন নির্বাচনের সংখ্যা ⁴C₁ × ³C₂
 [vi] 5 টি অক্ষর নির্বাচনের সংখ্যা ⁵C₅ + ⁵C₃ × ³C₁ + ⁵C₂ × ²C₁ + ⁴C₁ × ³C₂ + ²C₁ × ²C₁
 [vii] 2 টি অক্ষর একধরনের, 3 টি অক্ষর অন্য একধরনের এমন নির্বাচনের সংখ্যা ²C₁ × ²C₁
Ⓐ [iii] — [v] — [i] — [iv] — [ii] — [vi] — [vii]
Ⓑ [i] — [iv] — [iii] — [ii] — [v] —[vii] — [vi]
Ⓒ [iv] — [iii] — [i] — [v] — [ii] —[vii] — [vi]
Ⓓ [iii] — [v] — [iv] — [vii] — [ii] —[i] — [vi]

Solution: [i] INDEPENDENT শব্দে I → 1 টি, N → 3 টি, D → 2 টি, E → 3 টি, P → 1 টি, T → 1 টি
 [iv] 5 টি অক্ষর বিভিন্ন এমন শব্দের সংখ্যা ⁵C₅
 [iii] 3 টি অক্ষর বিভিন্ন কিন্তু 2 টি অক্ষর অভিন্ন এমন নির্বাচনের সংখ্য ⁵C₃ × ³C₁
 [ii] 2 টি অক্ষর বিভিন্ন কিন্তু 3 টি অক্ষর অভিন্ন এমন নির্বাচনের সংখ্য ⁵C₂ × ²C₁
 [v] 1 টি অক্ষর একধরনের, 2 টি অক্ষর একধরনের অন্য দুটি অক্ষর একধরনের এমন নির্বাচনের সংখ্যা ⁴C₁ × ³C₂
 [vii] 2 টি অক্ষর একধরনের, 3 টি অক্ষর অন্য একধরনের এমন নির্বাচনের সংখ্যা ²C₁ × ²C₁
 [vi] 5 টি অক্ষর নির্বাচনের সংখ্যা ⁵C₅ + ⁵C₃ × ³C₁ + ⁵C₂ × ²C₁ + ⁴C₁ × ³C₂ + ²C₁ × ²C₁
Ans: Ⓑ[i] — [iv] — [iii] — [ii] — [v] —[vii] — [vi]

3. শূন্যে n -সংখ্যক বিন্দু আছে, যাদের মধ্যে নির্দিষ্ট m (<n) -সংখ্যক বিন্দু একতলীয় এবং অন্য কোনো 4 টি বিন্দু একতলীয় নয়। ওই বিন্দুগুলি যোগ করে কতগুলি বিভিন্ন সমতল গঠন করা যায় তা নির্নয় করার ধাপগুলি ক্রম অনুসারে সাজাও।
 [i] বিন্দুগুলি দ্বারা সমতল গঠন করা যায় ⁿC₃ –  ^mC₃ – 1 রকমভাবে।
 [ii] একতলীয় বিন্দুগুলি দ্বারা কেবলমাত্র একটি সমতল গঠন করা যায়
 [iii] n -সংখ্যক বিন্দু থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করা যায় ⁿC₃ রকমভাবে
 [iv] m -সংখ্যক বিন্দু থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করা যায় ^mC₃ রকমভাবে
Ⓐ [iii] — [ii] — [iv] — [i]
Ⓑ [i] — [iv] — [iii] — [ii]
Ⓒ [iv] — [iii] — [i] — [ii]
Ⓓ [iii] — [i] — [ii] — [iv]

Solution: [iii] n -সংখ্যক বিন্দু থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করা যায় ⁿC₃ রকমভাবে
 [ii] একতলীয় বিন্দুগুলি দ্বারা কেবলমাত্র একটি সমতল গঠন করা যায়
 [iv] m -সংখ্যক বিন্দু থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করা যায় ^mC₃ রকমভাবে
 [i] বিন্দুগুলি দ্বারা সমতল গঠন করা যায় ⁿC₃ –  ^mC₃ – 1 রকমভাবে।
Ans: Ⓐ [iii] — [ii] — [iv] — [i]

Relationship between Statements ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিবৃতিটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B -এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
 Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
 Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
 Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
 Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. মনে করো, n, r ∈ N
   বিবৃতি-A: যদি n > 7 হয়, তবে ^{n – 1}C₃ + ^{n – 1}C₄ > ⁿC₃
    বিবৃতি-B: ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ⁿ⁺¹C_r এবং ^nCr/_{nCr – 1} = ^{n – r + 1}/_r

Solution: বিবৃতি-A:
   ^{n – 1}C₃ + ^{n – 1}C₄
= ^{n – 1 + 1}C₄  = ⁿC₄
= ^n!/_{4!(n – 4)!}
=^n!/_{4×3!(n – 3)(n – 4)!} × (n – 3)
= ^n!/_{3!(n – 3)!} × ^{(n – 3)}/₄
= ⁿC₃ × ^{(n – 3)}/₄
 ∵ n > 7
 ∴ ^{(n – 3)}/₄ > 1
 ∴ ^{n – 1}C₃ + ^{n – 1}C₄ > ⁿC₃ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ⁿ⁺¹C_r এবং ^nCr/_{nCr – 1} = ^{n – r + 1}/_r → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓑ   বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ 

2. n, r ∈ N
  বিবৃতি-A:  দুজন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে এভাবে 4 জন পুরুষ এবং 3 জন স্ত্রীলোক এক সারিতে আসন গ্রহণ করতে পারে 1440 রকমভাবে।
  বিবৃতি-B: যাতে কোনো দুজন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে এভাবে m জন পুরুষ এবং n জন স্ত্রীলোক এক সারিতে আসন গ্রহণ করে। যদি m > n হয়, তবে দেখাও যে, তারা ^{m!(m + 1)!}/_{(m – n + 1)!} প্রকারে আসন গ্রহণ করতে পারে।

Solution: বিবৃতি-A: 4 জন পুরুষ 4 টি স্থানে আসন গ্রহণ করতে পারে।
যদি কোনো স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে তবে, 3 জন স্ত্রীলোককে 4 জন পুরুষের মধ্যবর্তী স্থানে এবং দুইপ্রান্তে অর্থাৎ (4 – 1 + 2) বা, 5 টি স্থানে থাকতে হবে।
4 জন পুরুষ 4 টি স্থানে থাকতে পারে 4! রকমে আর 3 জন স্ত্রীলোক 5 টি স্থানে থাকতে পারে ⁵C₃ রকমে।
∴ কোনো দুজন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না রেখে বিন্যাসের সংখ্যা
= 4! × ⁵P₃
=24 × 5×4×3
= 24×60 = 1440 → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: m জন পুরুষ m -সংখ্যক স্থানে আসন গ্রহণ করতে পারে।
যদি কোনো স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে তবে, n জন স্ত্রীলোককে m জন পুরুষের মধ্যবর্তী স্থানে এবং দুইপ্রান্তে অর্থাৎ (m – 1 + 2) বা, (m + 1) টি স্থানে থাকতে হবে।
m -সংখ্যক পুরুষ m -সংখ্যক স্থানে থাকতে পারে m! রকমে আর n -সংখ্যক স্ত্রীলোক (m + 1) -সংখ্যক স্থানে থাকতে পারে ^{m + 1}C_n রকমে।
∴ কোনো দুজন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না রেখে বিন্যাসের সংখ্যা
 = m! × ^{m + 1}C_n
=m! × ^{(m + 1)!}/_{(m + 1 – n)!}
= ^{m!(m + 1)!}/_{(m – n + 1)!} → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓑ  বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ 

3. বিবৃতি-A: যদি (r + r’) সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে n -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা এবং (r – r’) সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে n -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা পরস্পর সমান হয়, তবে n = 2r |
   বিবৃতি-B: 2r -সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে থেকে r + r’ -সংখ্যক ব্যক্তিকে যতরকমভাবে একটি সারিতে সাজানো যায় তা r – r’ -সংখ্যক ব্যক্তিকে যতরকমভাবে একটি সারিতে সাজানো যায় তার সাথে সমান নয়।

Solution: বিবৃতি-A: (r + r’) সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে n -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা = ⁿC_{r + r’}
 আবার (r – r’) সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে n -সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা = ⁿC_{r – r’}
 প্রশ্নানুসারে,
         ⁿC_{r + r’} = ⁿC_{r – r’}
∴ r + r’ + r – r’ = n
⇒ n = 2r → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: 2r -সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে থেকে r + r’ -সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি সারিতে সাজানো যায়
= ^2rC_{r + r’}
=^(2r)!/_{(r + r’)!(2r – r – r’)!}
= ^(2r)!/_{(r + r’)!(r – r’)!}
আবার 2r -সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে থেকে r – r’ -সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি সারিতে সাজানো যায়
= ^2rC_{r – r’}
=^(2r)!/_{(r – r’)!(2r – r + r’)!}
= ^(2r)!/_{(r-  r’)!(r + r’)!}
∴ ^(2r)!/_{(r + r’)!(r – r’)!} ≠ ^(2r)!/_{(r-  r’)!(r + r’)!} → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓓ  বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

4. একটি প্রশ্নপত্রে আটটি প্রশ্ন প্রদত্ত এবং প্রত্যেকটি প্রশ্নের একটি করে বিকল্প প্রশ্ন আছে।
 বিবৃতি-A: এক বা একাধিক প্রশ্ন কোনো ছাত্র (3⁸ – 1) উপায়ে নির্বাচন করতে পারে।
 বিবৃতি-B: কোনো ছাত্র কেবলমাত্র 2 টি প্রশ্নের উত্তর ⁸C₂ রকমে দিতে পারে।

Solution: বিবৃতি-A: প্রশ্নপত্রের প্রতিটি প্রশ্নের একটি করে বিকল্প প্রশ্ন আছে।
 প্রতিটি প্রশ্নের সেট থেকে 1 টি, অথবা 2 টি অথবা একটিও নয় এইভাবে 3 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে।
 ∴ যদি কমপক্ষে একটি প্রশ্নের উত্তর দেয় তবে মোট নির্বাচন সংখ্যা
 = 3×3×3×3 ×3×3×3×3 – 1 = (3⁸ – 1) টি → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: প্রশ্নপত্র মোট প্রশ্ন সংখ্যা = 8×2 = 16 টি
 ∴ 16 টি প্রশ্ন থেকে কেবলমাত্র 2 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে ⁸C₂ রকমে। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Assertion-Reasoning ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): 1 ব্যতীত 2310-এর 31 টি উৎপাদক আছে।
     বিবৃতি-II(R): n₁ টি A₁ বস্তু, n₂ টি A₂ বস্তু, n₃ টি A₃ বস্তু, . . .  n_k টি A_k বস্তুর মধ্যে থেকে কমপক্ষে একটি বস্তু (n₁ + 1)(n₂ + 1)(n₃ + 1), . . . , (n_k + 1) – 1 রকমভাবে নির্বাচন করা যায়।

Solution: 2310 = 2×3×5×7×11
 ∴ 1 ব্যতীত 2310 -এর উৎপাদক আছে
= (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) – 1
=2×2×2×2×2 – 1
= 32 – 1 = 31 টি → বিবৃতিটি সত্য
 বিবৃতি-II: n₁ টি A₁ বস্তু, n₂ টি A₂ বস্তু, n₃ টি A₃ বস্তু, …… , n_k টি A_k বস্তুর মধ্যে থেকে কমপক্ষে একটি বস্তু (n₁ + 1)(n₂ + 1)(n₃ + 1), . . . , (n₁ + 1) – 1 রকমভাবে নির্বাচন করা যায়। → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓐ   বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি Ⅰ-এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): m = ⁿC₂ হলে, ^mC₂ = 3. ⁿ⁺¹C₄
    বিবৃতি-II(R): ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ⁿC_{r + 1}

Solution: বিবৃতি-I: m = ⁿC₂
⇒ m = ^n!/_{2!(n – 2)!}
⇒m = ^{n(n – 1)(n – 2)!}/_{2!(n – 2)!}
⇒ m = ^{n(n – 1)}/₂ . . . (i)
   (m – 1) = ^{n(n – 1)}/₂ – 1
⇒ (m – 1) = ^{n2 – n – 2}/₂
⇒(m – 1) = ^{n2 – 2n + n – 2}/₂
⇒ (m – 1) = ^{n(n – 2) + 1(n – 2)}/₂
⇒ (m – 1) = ^{(n – 2)(n + 1)}/₂ . . . (ii)

(i) × (ii) করে পাই,
    m.(m – 1) = ^{n(n – 1)}/₂ × ^{(n – 2)(n + 1)}/₂
⇒ ^{m.(m – 1)}/₂ = ^{(n + 1)n(n – 1)(n – 2)}/₈
⇒^{m.(m – 1)}/_2! = ^{3.(n + 1)n(n – 1)(n – 2)}/_8.3
⇒ ^mC₂ = ^{3×(n + 1)n(n – 1)(n – 2)}/_4.3.2.1
⇒ ^mC₂ = 3.^{.(n + 1)}C₄ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ⁿC_{r + 1} কিন্তু ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা
 Ans: Ⓒ    বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

3. বিবৃতি-I(A): ^nP1/_1! + ^nP2/_2! + ^nP3/_3! + . . . . + ^nPn/_n! = 2ⁿ – 1
    বিবৃতি-II(R): n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে থেকে যতরকমভাবে কমপক্ষে একটি বস্তু নির্বাচন করা যায় তা হল 2^{n –  1}।

Solution: বিবৃতি-I(A): ^nP1/_1! + ^nP2/_2! + ^nP3/_3! + . . . . + ^nPn/_n!
 = ^n!/_{1!(n – 1)!} + ^n!/_{2!(n – 2)!} + ^n!/_{3!(n – 3)!} + . . . . + ^n!/_{n!(n – n)!}
 = ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + . . . + ⁿC_n
=2ⁿ -1 → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II(R): n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে থেকে কমপক্ষে একটি বস্তু নির্বাচন করা যায়
 = ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + . . . + ⁿC_n
= 2ⁿ -1 → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓐ   বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি Ⅰ-এর সঠিক কারণ।

4. বিবৃতি-I(A): 2n টি বস্তু থেকে n টি বস্তুর সমবায়ের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এমন সমবায়ের সংখ্যা ও একটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না এমন সমবায়ের সংখ্যা পরস্পর সমান।
    বিবৃতি-II(R): ⁿC_x = ⁿC_y হলে হয় x = y অথবা x + y = n

Solution: বিবৃতি-I:1 টি নির্দিষ্ট বস্তু সমবায়ে সর্বদা থাকলে, 2n টি বস্তুর মধ্যে থেকে n টি বস্তুর সমবায়ের সংখ্যা
    = ^{2n – 1}C_{n – 1} টি
 সমবায়ে 1 টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও না থাকলে, 2n টি বস্তুর মধ্যে থেকে n টি বস্তুর সমবায়ের সংখ্যা
    = ^{2n – 1}C_n = ^{2n – 1}C_{(2n – 1 – n)} . . .  [∵ ⁿC_r = ⁿC_{r – 1}]= ^{2n – 1}C_{n – 1} টি।
2n টি বস্তু থেকে n টি বস্তুর সমবায়ের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এবং একটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না এমন সমবায়ের সংখ্যা একই। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-I: বিবৃতি-II সত্য এবং বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ  বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি Ⅰ-এর সঠিক কারণ।

5. বিবৃতি-I(A): a, b, c, d, e অক্ষরগুলির সবগুলির সঙ্গে ‘+’ ও ‘-‘ চিহ্নের সমন্বয়ে 32 টি বিভিন্ন বীজগাণিতিক রাশি গঠন করা যায়।
বিবৃতি-II(R): 4 টি স্থানে +, – চিহ্ন বসানো যায় 2⁴ রকমভাবে।

Solution: অক্ষরগুলির সামনে “—” অথবা ‘+’ চিহ্ন যত উপায়ে বসানো যায় তা হল –
(i) একটিও “—” চিহ্ন থাকবে না এরুপে  বসানো যায় ⁵C₀ উপায়ে
(ii) একটি “—” চিহ্ন বসানো যায় ⁵C₁ উপায়ে
(iii) দুটি “—” চিহ্ন বসানো যায় ⁵C₂ উপায়ে
(iv) তিনটি “—” চিহ্ন বসানো যায় ⁵C₃ উপায়ে
(v) চারটি “—” চিহ্ন বসানো যায় ⁵C₄ উপায়ে
(vi) পাঁচটি “—” চিহ্ন বসানো যায় ⁵C₅ উপায়ে
সুতরাং, মোট নির্বাচন সংখ্যা
= ⁵C₀ + ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 2⁵ = 32 টি। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: 4 টি স্থানে +, – চিহ্ন বসানো যায় 2×2×2×2 = 2⁴ রকমভাবে। → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓑ  বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি Ⅰ -এর সঠিক কারণ নয়।

True and False ___________

1. বিবৃতি-I: ⁿPr = ⁿP_{r + 1} এবং ⁿC_r = ⁿC_{r – 1} হলে, n = 3 এবং r = 2
    বিবৃতি-II: ⁿC_r = ⁿC_{n – r}
Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: ⁿPr = ⁿP_{r + 1}
⇒   ^n!/_{(n – r)!} = ^n!/_{(n – r – 1)!}
⇒^n!/_{(n – r)(n – r – 1)!}  = ^n!/_{(n – r – 1)!}
⇒ ¹/_{(n – r)} = 1
⇒ n – r = 1 ……….(i)
এবং ⁿC_r = ⁿC_{r – n}
⇒ r + r – 1 = n
⇒ n – 2r = -1 ……….(ii)
 (i) ও (ii) বিয়োগ করে পাই,
      n – r – (n – 2r) = 1 + 1
বা,  n – r – n + 2r =
বা, r = 2
আবার (i) নং থেকে পাই,
      n – 2 = 1
বা, n = 3
∴ n = 3 এবং r = 2 → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: ⁿC_r = ⁿC_{n – r} → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓒ   বিবৃতি I ও II উভয়ই সত্য

Solution: বিবৃতি I:

⇒ an – ar + a = br
⇒ an – (a + b)r + a = 0 ………. (i)

⇒ bn – br = cr + c
⇒ bn – (b + c)r – c = 0 ………. (ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণে বজ্রগুনন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

3. সোমনাথবাবুর 15 জন পরিচিত ব্যক্তি আছেন এবং তাঁদের মধ্যে 10 জন তাঁর আত্মীয়।
    বিবৃতি-I: সোমনাথবাবু ¹⁵P₉ রকমভাবে 9 জনকে অতিথি হিসেবে আহ্বান করতে পারেন।
    বিবৃতি-II: সোমনাথবাবুর ¹⁰P₇ x ⁵P₂ রকমভাবে 9 জনকে অতিথি হিসেবে আহ্বান পারেন যাতে নিমন্ত্রিত ব্যক্তিদের মধ্যে 7 জন তাঁর আত্মীয় হবেন।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: সোমনাথবাবুর 15 জন পরিচিত ব্যক্তির মধ্যে 10 জন আত্মীয় এবং (15 – 10) বা 5 জন আত্মীয় নন।
বিবৃতি-I: সোমনাথবাবু 15 জন পরিচিত ব্যক্তির মধ্য থেকে 9 জনকে ¹⁵C₉ রকমভাবে অতিথি হিসেবে আহ্বান করতে পারেন। → বিবৃতিটি মিথ্যা
সোমনাথবাবু 9 জনের মধ্যে 7 জনকে আত্মীয় হিসেবে ¹⁰C₇ উপায়ে আহ্বান করতে পারেন এবং 2 জন আত্মীয় নন এমন ব্যক্তিদের আহ্বান করা যায় ⁵C₂ উপায়ে।
∴ মোট নির্বাচন সংখ্যা ¹⁰C₇ × ⁵C₂ → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans:  Ⓓ  বিবৃতি I ও II উভয়ই মিথ্যা

4. বিবৃতি-Ⅰ: 37800 সংখ্যাটির 1 থেকে বড়ো 96 টি বিভিন্ন উৎপাদক আছে।
    বিবৃতি-II: 3528 সংখ্যাটির 1 থেকে বড়ো এবং 3528 থেকে ছোটো 34 টি বিভিন্ন উৎপাদকের সংখ্যা আছে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-Ⅰ: 37800 = 2³×5²×3³×7
∴ 1 থেকে বড়ো বিভিন্ন উৎপাদক আছে
= (3 + 1)(2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) – 1
=4×3×4×2 – 1
= 96 – 1
= 95 টি → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: 3528 = 2³×3²×7²
∴ 1 থেকে বড়ো এবং 3528 থেকে ছোটো বিভিন্ন উৎপাদক আছে
= (3 + 1)(2 + 1)(2 + 1) – 2
=4×3×3 – 2
= 36 – 2
= 34 টি → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓑবিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

5. বিবৃতি-I: STATISTICS শব্দের অক্ষরসমূহ থেকে একযোগে 4 টি অক্ষর নিয়ে 34 রকমে নির্বাচন করা যায়।
    বিবৃতি-II: PROPORTION শব্দের অক্ষরসমূহ থেকে একযোগে 4 টি অক্ষর নিয়ে 785 রকম বিন্যাস করা যায়।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I:STATISTICS শব্দটিতে S, T আছে 3 টি করে, I আছে 2টি এবং A, C আছে 1টি করে।
 4টি অক্ষর যত উপায়ে নির্বাচন করা যায় তা হল:
 (i) এক প্রকারের 3 টি সদৃশ ও 1 টি অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ²C₁×⁴C₁
 (ii) দুই প্রকারের 2 টি সদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ³C₂
 (iii) এক প্রকারের 2 টি সদৃশ ও 2 টি অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ³C₁×⁴C₂
 (iv) 4 টিই অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ⁵C₄
∴ মোট নির্বাচন সংখ্যা
= ²C₁×⁴C₁ + ³C₂ + ³C₁×⁴C₂ + ⁵C₄
=2×4 + 3 + 3× ^4×3/₂ + 5
= 8 + 3 + 18 + 5
= 34 → বিবৃতিটি সত্য

বিবৃতি-II: PROPORTION শব্দটিতে O আছে 3 টি, P, R আছে 2টি করে এবং I, N, T আছে 1টি করে।
 4টি অক্ষর যত উপায়ে নির্বাচন করা যায় তা হল:
 (i) এক প্রকারের 1 টি সদৃশ ও 1 টি অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ^{1C1×5C1×4!.}/_3!
 (ii) দুই প্রকারের 2 টি সদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ^3C2×4!/_2!.2!
 (iii) এক প্রকারের 2 টি সদৃশ ও 2 টি অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ^3C1×5C2×4!/_2!
 (iv) 4 টিই অসদৃশ অক্ষর নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা ⁶C₄×4!
∴ মোট নির্বাচন সংখ্যা
= ^{1C1×5C1×4!.}/_3! + ^3C2×4!/_2!.2! + ^3C1×5C2×4!/_2! + ⁶C₄×4!
=1 × ^5!/_4! × ^4!/_3! + 3 × ^4!/_2!.2! + 3 × ^5!/_2!.3! × ^4!/_2! + ^6!/_4!.2! × 4!
= ^5×4!/_4! × ^4×3!/_3! + 3 × ^4×3×2!/_2.2! + 3 × ^5×4×3!/_2.3! × ^4×3×2!/_2! + ^6×5×4!/_4!.2 × 24
= 20 + 18 + 360 + 360
= 758 → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

8. Diagram/Chart Based ___________

1. চিত্রের বহুভুজটির কৌণিক বিন্দুগুলি যুক্ত করে গঠিত ত্রিভুজ এবং কর্ণের সংখ্যা যথাক্রমে —