Class XII Plane Ex 5a সমতল

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution CLICK HERE

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

1. bx – ay = n, cy – bz = l এবং az – cx = m সমতলগুলি একটি সরলরেখায় ছেদ করবে যদি- (a) al + bm + cn = 1 (b) al – bm – cn = 0 (c) al + bm + cn = 0 (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (c) al + bm + cn = 0
[al + bm + cn = 0; bx – ay = n এবং cy – bz = l সমতল দুটির ছেদক সরলরেখাগামী সমতলের সমীকরণ –
(bx – ay – n) + λ(cy – bz – l) = 0
⇒ bx + (λc – a)y – λbz – n – λl = 0 – – – (i)
az – cx = m
⇒ – cx + az – m = 0 – – – (ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
b = -c
⇒ c = -b;
λc – a = 0
⇒ λc = a
⇒ λ = ^a/_c;
-λb = a
⇒ λb = -a
⇒ λ = –^a/_b;
– n – λl = – m
⇒ n + λl = m
⇒ n + a/c×l = m – – – [∵ λ = ^a/_c]
⇒ cn + al = cm
⇒ cn + al = -bm – – – [∵ c = -b]
⇒ cn + al + bm = 0
⇒ al + bm + cn = 0]

2. ^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ সরলরেখা, x – 2y + z = 20 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল-
(a) (8, 7, 26) (b) (-8, 7, 26) (c) (8, -7, 26) (d) (8, 7, -26)

Ans: (a) (8, 7, 26)
[^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ = t (ধরি)
∴ x = 3t + 2 ;
y = 4t – 1;
z = 12t + 2
(3t + 2, 4t – 1, 12t + 2) বিন্দুটি x – 2y + z = 20 সমতলে অবস্থিত।
∴ 3t + 2 – 2(4t – 1) + 12t + 2 = 20
বা, 3t + 2 – 8t + 2 + 12t + 2 = 20
বা, 7t = 14
বা, t = 2
বিন্দুটি হল (3.2 + 2, 4.2 – 1, 12.2 + 2) বা, (8, 7, 26)]

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

3. (2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা xy সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল
(a) (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0) (c) (¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0)
[(2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6
ধরি, ^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6 =t
∴ x = t + 2;
y = 7t – 3;
z = -6t + 1
xy সমতলের সমীকরণ z=0
(t + 2, 7t – 3, -6t + 1) বিন্দু z = 0 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ -6t + 1 = 0
বা, t = ¹/₆
বিন্দুটি হল (¹/₆ + 2, 7.¹/₆ – 3, -6.¹/₆ + 1) বা, (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0)]

4. (1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখা 3x + 2y + z = 6 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল- (a) (-3, -2, -1) (b) (3, -2, 1) (c) (-3, 2, 1) (d) (3, 2, 1)

Ans: (b) (3, -2, 1)
[(1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1
ধরি, ^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1 = t
∴ x = 2t + 1;
y = -3t + 1;
z = -t + 2
(2t + 1, -3t + 1, -t + 2) বিন্দু 3x + 2y + z = 6 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ 3(2t + 1) + 2(-3t + 1) – t + 2 = 6
⇒ 6t + 3 – 6t + 2 – t + 2 = 6
⇒ -t = 6-7
⇒ t = 1
বিন্দুটি হল (2.1 + 1, -3.1 + 1, -1 + 2) বা, (3, -2, 1)]

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

5. একটি সমতল অক্ষত্রয়কে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a, a, a) হলে সমতলের সমীকরণ হয় x + y + z = p; তাহলে, p-এর মান হবে-
(a) 6a (b) -3a (c) 0 (d) 3a

Ans: (d) 3a
[সমতলের সমীকরণ হয়
x + y + z = p
⇒ ^x/_p + ^y/_p + ^z/_p = 1
∴ A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (p, 0, 0), (0, p, 0) ও (0, 0, p)
∴ ^p+0+0/₃=a
⇒ p = 3a]

6. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য হবে?
(a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
(b) যে সমতল (3, 4, -1) বিন্দুগামী এবং r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 7 = 0 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 10 = 0
(c) x – y + 2z = 5 এবং 3x + y + z = 6 সমতল দুটির ছেদক সরলরেখার সমীকরণ হয় ^4x-11/₃ = ^4y+9/₅ = ^z-0/₁
(d) ^x+3/₂ = ^y-4/₃ = ^z+5/₂সরলরেখা এবং 4x – 2y – z = 1 সমতল পরস্পর লম্ব।

Ans: (a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।

7. (2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2 হলে, সমতলের সমীকরণ হবে-
(a) 5x – 3y – 2z = 21 (b) 5x + 3y + 2z = -21
(c) 5x + 3y + 2z = 21 (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (c) 5x + 3y + 2z = 21
[(2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2;
∴ সমতলের সমীকরণ হবে –
5(x – 2) + 3(y – 3) + 2(z – 1) = 0
⇒ 5x – 10 + 3y – 9 + 2z – 2 = 0
⇒ 5x + 3y + 2z = 21]

8. সরলরেখা 3x – 2y + z +3 = 0 = 4x – 3y + 4z +1 যদি 2x – y + mz – 2 = 0-এর সমান্তরাল হয়, তবে m-এর মান হবে-
(a) -2 (b) 8 (c) 18 (d) 11

Ans: (a) -2
[3x – 2y + z +3 = 0
4x – 3y + 4z +1 = 0

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\3\quad -2\quad\quad 1\\4\quad -3\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad}$$

= î(-8 + 3) – ĵ(12 – 4) + k̂(-9 + 8)
= -5î – 8ĵ – k̂
-5î – 8ĵ – k̂ ভেক্টরটি 2x – y + mz – 2 = 0-এর উপর লম্ব।
∴ -5×2 + (-8)×(-1) + (-1)×m = 0
⇒ -10 + 8 – m = 0
⇒ -2 – m = 0
∴ m = -2]

9. r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান হবে-
(a) ^q/_î.n̄ (b) ^î.n̄/_q (c) –^î.n̄/_q (d) ^q/_|n̄|

Ans: (a) ^q/_î.n̄
[ধরি r̄ = xî + yĵ + zk̂ এবং n̄ = n₁î + n₂ĵ + n₃k̂
∵ r̄.n̄ = q
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(n₁î + n₂ĵ + n₃k̂) = q

$$\large{⇒n_1x+n_2y+n_3z=q\\⇒\frac{n_1x+n_2y+n_3z}{q}=0\\⇒\frac{x}{\frac{q}{n_1}}+\frac{y}{\frac{q}{n_2}}+\frac{z}{\frac{q}{n_3}}=1}$$

r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান ^q/_n₁ = ^q/_în̄]

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

10. r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ – 3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
(a) ¹/_√38(2î + 5ĵ – 3k̂) (b) ¹/_√38(2î – 5ĵ + 3k̂)
(c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂) (d) ¹/_√38(-2î + 5ĵ – 3k̂)

Ans: (c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂)
[r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ -3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের অভিলম্ব ভেক্টর î – ĵ + k̂ ও 2î + ĵ -3k̂;
ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল ভেক্টর n̄ হলে n̄ = (î – ĵ + k̂)×(2î + ĵ -3k̂)

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 1\quad -3\end{vmatrix}\\\quad}$$

= î(3 – 1) – ĵ(-3 – 2) + k̂(1 + 2)
= 2î + 5ĵ + 3k̂
ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-

$$\large{\quad\frac{2\hat i+5\hat j+3\hat k}{|2\hat i+5\hat j+3\hat k|}\\=\frac{1}{\sqrt{2^2+5^2+3^2}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)\\=\frac{1}{\sqrt{38}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)]}$$

11. r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r̄.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি-
(a) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ = q হয় (b) b̄.n̄ ≠ 0, ā.n̄ ≠ q হয় (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয় (d) b̄.n̄ ≠0, ā.n̄ = q হয়

Ans: (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয়
[r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি তারা পরস্পর সমান্তরাল হয় অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্ত্তী কোণ 0° হয়।
sinθ = ^b̄.n̄/_|b̄||n̄|
⇒ ^b̄.n̄/_|b̄||n̄| = 0 হবে যদি b̄.n = 0 হয়৷]

12. r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলকে -2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা-
(a) 1 : 5 (b) 1 : 10 (c) 3 : 5 (d) 3 : 10

Ans: (d) 3 : 10
[r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলের কার্তেসীয় সমীকরন
(xî +yĵ + zk̂)(î – 2ĵ + 3k̂) = 17
বা, x – 2y + 3z = 17
-2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8)
ধরি, (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা x – 2y + 3z = 17 সমতলকে n : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (^3n-2/_n+1, ^-5n+4/_n+1, ⁸ⁿ⁺⁷/_n+1)
বিন্দুটি x – 2y + 3z = 17 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ ^3n-2/_n+1 -2(^-5n+4/_n+1) + 3(⁸ⁿ⁺⁷/_n+1) = 17
বা, 3n – 2 – 2(-5n + 4) + 3(8n + 7) = 17(n + 1)
বা, 3n – 2 +10n – 8 + 24n + 21 = 17n + 17
বা, 37n + 11 = 17n + 17
বা, 20n = 6
বা, 10n = 3
বা, n = ³/₁₀
∴ n : 1 = 3 : 10]

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

13. ^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
(a) k = 1 বা -1 হয় (b) K =0 বা -3 হয়
(c) k = 3 বা -3 হয় (d) k = 0 বা -1 হয়

Ans: (b) K =0 বা -3 হয়
[^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-x_1\quad y-y_1\quad z-z_1\\a_1\quad\quad\quad b_1\quad\quad\quad c_1\\a_2\quad\quad\quad b_2\quad\quad\quad c_2\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}1-2\quad 4-3\quad 5-4\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}-1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 1\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\}$$

⇒ -1(1 +2k) -1(1 + k²) +1(2 – k) = 0
⇒ -1 – 2k -1 – k² + 2 – k = 0
⇒ -3k – k² = 0
⇒ k² + 3k = 0
⇒ k(k + 3) = 0
k = 0; k = -3]

14. যে সমতলের ওপর ^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখা এবং (3, 2, 0) বিন্দুটি অবস্থিত তার সমীকরণ হয়-
(a) x – y + z = 1 (b) x + y + z = 5
(c) x + 2y – z = 1 (d) 2x – y + z = 5

Ans: (a) x – y + z = 1
[^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখাটি (3, 6, 4) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাত 1, 5, 4
আবার (3, 6, 4) ও (3, 2, 0) এর দিক অনুপাত (3 – 3), (6 – 2), (4 – 0) বা, 0, 4, 4;

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\0\quad\quad 4\quad\quad 4\\1\quad\quad 5\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(16-20)-\hat j(0-4)+\hat k(0-4)}$$

⇒ -4î + 4ĵ – 4k̂
⇒ -4(î – ĵ + k̂)
নির্ণেয় সমীকরণ –
r̄.n̄ = â.n̄
যেখানে r̄ = xî + yĵ + zk̂
এবং â = (3î + 2ĵ)
∴ (xî + yĵ + zk̂).-4(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).-4(î – ĵ + k̂)
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).(î – ĵ + k̂)
⇒ x – y + z = 3 – 2 = 1]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. 4x + 3y – 6z – 12 = 0 সমতলের সমীকরণটিকে ছেদিতাংশ আকারে প্রকাশ করো এবং সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা লেখো।

Solution:
4x + 3y – 6z – 12 = 0
⇒ 4x + 3y – 6z = 12
⇒ ^4x/₁₂ + ^3y/₁₂ – ^6z/₁₂ = 1
⇒ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলের ছেদিতাংশ আকারের সমীকরণ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা হল যথাক্রমে 3 একক, 4 একক ও 2 একক।

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

2. 2x – y + 2z = 5 সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর এবং অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
সমতলটির সমীকরণ 2x – y + 2z = 5
Ans: সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর 2î – ĵ + 2k̂

অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর

$$\large{=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{|2\hat i-\hat j+2\hat k|}\\=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\\= \frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{4+1+4}}\\=\frac{1}{3}(2\hat i-\hat j+2\hat k)}$$

Ans: সমতলটির অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর ¹/₃(2î – ĵ + 2k̂)

3. প্রদত্ত সমতলগুলির স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ [r̄.n̄ = d] নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (2î – k̂) + λî + μ(î – 2ĵ – k̂)
(ii) r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
(iii) r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)

(i)
Solution:
(i) প্রদত্ত তলটি (2î – k̂) বিন্দুগামী এবং î ও (î – 2ĵ – k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad\quad \hat j\quad\quad\quad\hat k\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\\1\quad\quad -2\quad\quad -1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0-0)-\hat j(-1-0)+\hat k(-2-0)\\=\hat j-2\hat k}$$

সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(ĵ – 2k̂) = (2î – k̂).(ĵ – 2k̂)
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 0+0+2
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 2
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(ĵ – 2k̂) = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
= (î + 2ĵ + 3k̂) + s(î – ĵ – 2k̂) + t(-î + 2k̂)
প্রদত্ত তলটি (î + 2ĵ + 3k̂) বিন্দুগামী এবং (î – ĵ – 2k̂) ও (-î + 2k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad -2\\-1\quad\quad 0\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(-2-0)-\hat j(-2-2)+\hat k(0-1)\\=-2\hat i-\hat k}$$

সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(-2î – k̂) = (-2î – k̂).(î + 2ĵ + 3k̂)
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -2 + 0 – 3
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -5
⇒ r̄.(2î + k̂) = 5
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(2î + k̂) = 5

(iii)
Solution:
r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)
প্রদত্ত তলটি (î – ĵ) বিন্দুগামী এবং (î + ĵ + k̂) ও (4î – 2ĵ + 3k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad\quad 1\quad\quad 1\\4\quad\quad -2\quad\quad 3\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(3+2)-\hat j(3-4)+\hat k(-2-4)\\=5\hat i+\hat j -6\hat k}$$

সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = (î – ĵ).(5î + ĵ – 6k̂)
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 5 – 1 + 0
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

4. প্রদত্ত সমতলগুলির কার্তেসিয় আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
(ii) r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂

(i)
Solution:
r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
∴ n̄ = (-î + ĵ + 2k̂)×(î + 2ĵ + k̂)

$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\-1\quad 1\quad2\\1\quad\quad 2\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(1-4)-\hat j(-1-2)+\hat k(-2-1)\\=-3\hat i+3\hat j-3\hat k\\=3(-\hat i+\hat j-\hat k)}$$

∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.3(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).3(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = – 1 – 1 + 0
⇒ -r̄.(î – ĵ + k̂) = – 2
⇒ r̄.(î – ĵ + k̂) = 2
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = 2
⇒ x – y + z = 2
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ x – y + z = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
⇒ r̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) +s(î – ĵ – 2k̂) + t(î + ĵ + 2k̂)
∴ n̄ = (î – ĵ – 2k̂)×(î + ĵ + 2k̂)

$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad-2\\1\quad\quad 1\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(-2+2)-\hat j(2+2)+\hat k(1+1)\\=-4\hat j+2\hat k}$$

∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.(-4ĵ + 2k̂) = (î + 2ĵ + 3k̂).(-4ĵ + 2k̂)
⇒ 2r̄.(-2ĵ + k̂) = 2(î + 2ĵ + 3k̂).(-2ĵ + k̂)
⇒ r̄.(-2ĵ + k̂) = 0 – 4 +3
⇒ -r̄.(2ĵ – k̂) = -1
⇒ r̄.(2ĵ – k̂) = 1
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(2ĵ – k̂) = 1
⇒ 0 + 2y – z = 1
⇒ 2y – z = 1
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ 2y – z = 1

5. প্রদত্ত সমতলগুলির নন-প্যারামেট্রিক আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
(ii) r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)

(i)
Solution:
r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
⇒ r̄ = 3ĵ + λ(î + 2k̂) + μ(-2î – ĵ + k̂)
∴ n̄ = (î + 2k̂)×(-2î – ĵ + k̂)

$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 0\quad\quad 2\\-2\quad -1\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0+2)-\hat j(1+4)+\hat k(-1+0)\\=2\hat i-5\hat j-\hat k}$$

∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = 3ĵ.(2î – 5ĵ – k̂)
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = -15
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0

(ii)
Solution:
r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)
∴ n̄ = (î + 2ĵ + 3k̂)×(5î – 2ĵ + 7k̂)

$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 2\quad\quad 3\\5\quad -2\quad\quad 7\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(14+6)-\hat j(7-15)+\hat k(-2-10)\\=20\hat i+8\hat j-12\hat k}$$

∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(20î + 8ĵ – 12k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(20î + 8ĵ – 12k̂)
⇒ 4r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 4(2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 10 + 4 + 3
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

6. 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂ বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂
∴ AB = 2î – 2ĵ – k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 2î – 2ĵ – k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= -î – 6ĵ – 3k̂
AC = 7î + 6k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 7î + 6k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= 4î – 4ĵ + 4k̂
সমতলটির ওপর A, B ও C বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
∴ সমতলটির ওপর AB, AC অবস্থিত
∴ সমতলটির অভিলম্ব ভেক্টর হল –

$$\large{\therefore \vec {AB}×\vec{AC}=\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\-1\quad -6\quad -3\\4\quad -4\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad=\hat i(-24-12)-\hat j(-12+4)+\hat k(4+24)\\\quad=-36\hat i-8\hat j+28\hat k}$$

A বিন্দুগামী ĀB̄×ĀC̄ ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টরের সমীকরণ হল –
r̄.(-36î – 8ĵ + 28k̂) = (-36î – 8ĵ + 28k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ -4r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = -4(9î – 2ĵ + 7k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 27 – 8 + 14
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
Ans: নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33

7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1)

Solution:
(2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\4-2\quad -1-3\quad 2-4\\-3-2\quad 5-3\quad 1-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\2\quad -4\quad -2\\-5\quad\quad 2\quad -3\end{vmatrix}=0}$$

⇒ (x – 2)(12 + 4) – (y – 3)(-6 – 10) + (z – 4)(4 – 20) = 0
⇒ 16(x – 2) + 16(y – 3) – 16(z – 4) = 0
⇒ 16[(x – 2) + (y – 3) – (z – 4)] = 0
⇒ x – 2 + y – 3 – z + 4 = 0
⇒ x + y – z = 1
Ans: (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ x + y – z = 17.

7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(ii) (3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0)

Solution:
(3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\1-3\quad 1-3\quad 1-0\\0-3\quad -1-3\quad 0-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\-2\quad -2\quad\quad 1\\-3\quad\quad -4\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$

⇒ (x – 3)(0 + 4) – (y – 3)(0 + 3) + (z – 0)(8 – 6) = 0
⇒ 4(x – 3) – 3(y – 3) + 2z = 0
⇒ 4x – 12 – 3y + 9 + 2z = 0
⇒ 4x – 3y + 2z = 3
Ans: ((3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ 4x – 3y + 2z = 3

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(i) (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1)

Solution:
(3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\4-3\quad 5-9\quad 1-4\\-4-3\quad 4-9\quad 4-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\1\quad -4\quad -3\\-7\quad -5\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒(x-3)(0-15)-(y-9)(0-21)+(z-4)(-5-28)=0\\⇒-15(x-3)+21(y-9)(0-21)-33(z-4)=0—(i)}$$

(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (0, -1, -1) বসিয়ে পাই,
-15(0 – 3) + 21(-1 – 9) – 33(-1 – 4)
= -15×(-3) + 21×(-10) – 33×(-5)
= 45 – 210 + 165
= -165 + 165
= 0
(0, -1, -1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)

8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(ii) (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1)

Solution:
(-1, -5, -3), (1, 1, -1) ও (0, 4, 3) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\1+1\quad 1+5\quad -1+3\\0+1\quad 4+5\quad 3+3\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\2\quad\quad\quad 6\quad\quad\quad 2\\1\quad\quad\quad 9\quad\quad\quad 6\end{vmatrix}=0\\⇒(x+1)(36-18)-(y+5)(12-2)+(z+3)(18-6)=0\\⇒18(x+1)-10(y+5)+12(z+3)=0 – – – (i)}$$

(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (-2, -2, 1) বসিয়ে পাই,
18(-2 + 1) -10(-2 + 5) + 12(1 + 3)
= 18×(-1) – 10×3 + 12×4
= -18 – 30 + 48
= -48 +48
= 0
(-2, -2, 1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)

9. (2, 3, -1) বিন্দুগামী যে সমতল তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমতলটি তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে a একক দূরত্বে ছেদ করে।
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_a + ^z/_a = 1
⇒ ^x+y+z/_a = 1
⇒ x + y + z = a – – – (i)
(i) নং সমতলটি (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2 + 3 – 1 = a
∴ a = 4
Ans: সমতলটির সমীকরণ x + y + z = 4

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

10. x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটি পরস্পর পরস্পরের ওপর লম্ব হলে K-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ হল 1, K, 5 ও 3, -2, K;
সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সমতল দুটির অভিলম্ব দুটিও লম্ব হবে।
∴ 1×3 + K×(-2) + 5×K =0
⇒ 3 – 2K + 5K = 0
⇒ 3K= -3
⇒ K= -1
Ans: K-এর মান -1

11. কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি △LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3) হয়, তবে সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক, b একক ও c একক ছেদ করে।
∴ L, M ও N বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে যথাক্রমে (a, 0, 0), (0, b, 0), ও (0, 0, с)
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1
△LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3)
∴ ^a+0+0/₃ = 1 ⇒ a = 3
^0+b+0/₃ = -2 ⇒ b = -6
∴ ^0+0+c/₃ = 3 ⇒ c = 9
∴ সমতলটির সমীকরণ
= ^x/₃ + ^y/_-6 + ^z/₉ = 1
= ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1
Ans: নির্ণেয় সমতলটির সমীকরণ ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1

12. (2, 1, -1) বিন্দুগামী যে সমতল x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c.
নির্নেয় সমতলটি x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব।
∴ a – b + c = 0;
3a + 4b – 2c =0
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_2-4 = ^b/₃₊₂ = ^c/₄₊₃ = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₅ = ^c/₇ = k
⇒ a = -2k; b = 5k; c = 7k
(2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ হল –
a(x – 2) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0
⇒ -2k(x – 2) + 5k(y – 1) + 7k(z + 1) = 0
⇒ -2(x – 2) + 5(y – 1) + 7(z + 1) = 0
⇒ -2x + 4 + 5y – 5 + 7z + 7 = 0
⇒ -2x + 5y + 7z + 6 = 0
⇒ 2x – 5y – 7z = 6
Ans: (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ 2x – 5y – 7z = 6

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

13. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5z + 4 = 0

Ans: 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 3, 4, -5
(1, 2, 3) বিন্দুগামী 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
3(x – 1) + 4(y – 2) + (-5)(z – 3) = 0
⇒ 3x – 3 + 4y – 8 – 5z + 15 = 0
⇒ 3x + 4y – 5z + 4 = 0
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 3x + 4y – 5z + 4 = 0 (Proved)

14. প্রমাণ করো যে, (2, -3, 5) বিন্দুগামী যে সমতল yz সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হবে x = 2 ।

Ans:
yz সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
(2, -3, 5) বিন্দুগামী yz সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
1(x – 2) + 0(y + 3) + 0(z – 5) = 0
⇒ x – 2 = 0
⇒ x = 2
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ: x = 2 (Proved)

15. 2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে সমতলের x, y ও z-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের সমষ্টি 19 একক, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে কোনো সমতলের সমীকরণ –
2x + 4y + 5z = k
⇒ ^2x/_k + ^4y/_k + ^5z/_k = 1₂₄₅
⇒ ^x/_k/₂ + ^y/_k/₄ + ^z/_k/₅ = 1
সমতলটি x, y ও z-অক্ষ থেকে যথাক্রমে ^k/₂, ^k/₄ ও ^k/₅ একক ছিন্ন করে।
প্রশ্নানুযায়ী,
^k/₂ + ^k/₄ + ^k/₅ = 19
⇒ ^10k+5k+4k/₂₀ = 19
⇒ ^19k/₂₀ = 19
⇒ k = 20
Ans: নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 2x + 4y + 5z = 20

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. P(3, 2, 1) বিন্দু থেকে 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব কত? অতঃপর উক্ত সমতলের সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল Q(α, β, γ)
∵ পাদবিন্দুটি 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অবস্থিত।
∴ 2α – β + γ + 1 = 0 – – – (i)
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2, 1)
∴ PQ-এর দিক্ অনুপাত α – 3, β – 2, γ – 1
আবার, 2x – y + z + 1 = 0 সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাত 2, -1, 1 PQ সরলরেখাংশ সমতলটির ওপর লম্ব।

$$\large{\therefore\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2(α-3)-(β-2)+(γ-1)}{2×2-(-1)+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2α-6-β+2+γ-1}{4+1+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{2α-β+γ-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{-1-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=-1\\\therefore\frac{α-3}{2}=-1\quad ⇒α=1\\\quad\frac{β-2}{-1}=-1\quad ⇒β=3\\\quad\frac{γ-1}{1}=-1\quad ⇒γ=0}$$

Ans: পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 0)
∴ পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব

$$\large{=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2+(1-0)^2}\\=\sqrt{4+1+1}\\=\sqrt{6}}$$

Ans: অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব √6 একক।

ধরি, সমতলটির সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব R (x₁, y₁, z₁)
∴ PR-এর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (^3+x₁/₂, ^2+y₁/₂, ^1+z₁/₂
∴ ^3+x₁/₂ = 1 ⇒ 3 + x₁ = 2 ⇒ x₁ = -1;
^2+y₁/₂ = 3 ⇒ 2 + y₁ = 6 ⇒ y₁ = 4;
^1+z₁/₂ = 0 ⇒ 1 + z₁ = 0 ⇒ z₁ = -1
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 4, -1)

2. প্রমাণ করো যে, (1, 2, 1), (-2, 2, -1) ও (1, 1, 0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)

Solution:
ধরি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হল A(1, 2, 1), B(-2, 2, -1) ও C(1, 1, 0)

$$\large{\therefore AB=\sqrt{(-2-1)^2+(2-2)^2+(-1-1)^2}\\\quad=\sqrt{9+0+4}\\\quad=\sqrt{13}\\BC=\sqrt{(1+2)^2+(1-2)^2+(0+1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{9+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{11}\\CA=\sqrt{(-1-1)^2+(2-1)^2+(0-1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{0+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{2}\\\therefore BC^2+CA^2\\\quad\quad=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2\\\quad\quad=11+2\\\quad\quad=13\\\quad\quad=(\sqrt{13})^2\\\quad\quad=AB^2}$$

∴ ∆ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ হল AB।
আবার সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
∴ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র
= AB-এর মধ্যবিন্দু
= (^1-2/₂, ²⁺²/₂, ^1-1/₂)
= (-¹/₂, 2, 0)
Ans: ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

3. (3, 1, 1) এবং (1, -2, 3) বিন্দুগামী যে সমতলগুলি x, y ও z-অক্ষের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
x-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং x -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$

∴ (x – 3)(0 – 0) – (y – 1)(0 + 2) + (z – 1)(0 – 3) = 0
⇒ 0 – 2(y – 1) – 3(z – 1) = 0
⇒ -2y + 2 – 3z + 3 = 0
⇒ -2y – 3z + 5 = 0
⇒ 2y + 3z = 5
Ans: x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 2y + 3z = 5

y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
y-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং y -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\}$$

∴ (x – 3)(0 + 2) – (y – 1)(0 + 0) + (z – 1)(2 – 0) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2x – 6 + 2z – 2 = 0
⇒ 2x + 2z – 8 = 0
⇒ x + z – 4 = 0
⇒ x + z = 4
Ans: y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ x + z = 4

z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
z-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং z -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0}$$

∴ (x – 3)(3 – 0) – (y – 1)(2 – 0) + (z – 1)(0 – 0) = 0
⇒ 3(x – 3) – 2(y – 1) + 0 = 0
⇒ 3x – 9 – 2y + 2 = 0
⇒ 3x – 2y – 7 = 0
⇒ 3x – 2y = 7
Ans: z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 3x – 2y = 7

4. মূলবিন্দু থেকে যে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1), তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দু থেকে সমতলটির ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1)
∴ সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 0), (-1 – 0) অর্থাৎ 2, 3, -1
∴ ধরি, সমতলটির সমীকরণ 2x + 3y – z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2×2 + 3×3 – (-1) = d
⇒ 4 + 9 + 1 = d
⇒ d =14
Ans: সমতলটির সমীকরণ হল 2x + 3y – z = 14

5. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5c = 3 সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5c = -4

Solution:
3x + 4y – 5c = 0 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল 3x + 4y – 5z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (1, 2, 3) বিন্দুগামী।
∴ 3×1 + 4×2 – 5×3 = d
⇒ 3 + 8 – 15 = d
⇒ d = -4
সমতলটির সমীকরণ হল 3x +4y – 5z = -4 (Proved)

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

6. (1, 1, 2) এবং (2, 4, 3) বিন্দুগামী যে সমতল x – 3y + 7z = 6 সমতলের ওপর লম্ব, তার কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো এবং কার্তেসিয় সমীকরণটিকে ভেক্টর সমীকরণে রূপান্তরিত করো।

Solution:
(1, 1, 2) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
সমতলটি (2, 4, 3) বিন্দুগামী।
∴ a(2 – 1) + b(4 – 1) + c(3 – 2) = 0
⇒ a + 3b + c = 0 – – – (ii)
(i) নং সমতলটি x – 3y + 7z = 6 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×1 + b×(-3) + c×7 = 0
⇒ a – 3b + 7c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₂₁₊₃ = ^b/_1-7 = ^c/_-3-3 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₂₄ = ^b/_-6 = ^c/_-6 = k
⇒ ^a/₄ = ^b/_-1 = ^c/_-1 = k
⇒ a = 4k; b = -k; c = -k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 4k(x – 1) + (-k)(y – 1) + (-k)(z – 2) = 0
⇒ 4(x – 1) – (y – 2) – (z – 3) = 0
⇒ 4x – 4 – y + 2 – z + 3 = 0
⇒ 4x – y – z + 1 = 0
Ans: সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ 4x – y – z + 1 = 0
সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ হল –
(xî + yĵ + 4k̂).(4î – ĵ – k̂) = 1
⇒ r̄..(4î – ĵ – k̂) = 1
Ans: সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(4î – ĵ – k̂) = 1

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

7. প্রমাণ করো (1, 2, 3) ও (3, 2, -1) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 6y + z + 7 = 0

Solution:
(1, 2, 3) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 2) + c(z – 3) = 0 – – – (i)
সমতলটি (3, 2, -1) বিন্দুগামী।
∴ a(3 – 1) + b(2 – 2) + c(-1 – 3) = 0
⇒ 2a – 4c = 0
⇒ 2a + 0b – 4c = 0 – – – (ii)

(i) নং সমতলটি 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×3 + b×2 + c×6 = 0
⇒ 3a + 2b + 6c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₀₊₈ = ^b/_-12-12 = ^c/_4-0 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₈ = ^b/_-24 = ^c/₄ = k
⇒ ^a/₂ = ^b/_-6 = ^c/₁ = k
⇒ a = 2k; b = -6k; c = k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 2k(x – 1) + (-6)k(y – 2) + k(z – 3) = 0
⇒ 2(x – 1) – 6(y – 2) + (z – 3) = 0
⇒ 2x – 2 – 6y + 12 + z – 3 = 0
⇒ 2x – 6y + z + 7 = 0 (Proved)

8. প্রমাণ করো (-1, 3, 2) বিন্দুগামী যে সমতলটি x + 2y + 2z = 5 ও 3x + 3y + 2z + 8 = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 4y + 3z + 8 = 0

Solution:
(−1, 3, 2) বিন্দুগামী একটি সমতলের সমীকরণ হল –
a(x + 1) + b(y – 3) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
(i) নং সমতলটি x + 2y + 2z = 5 এবং 3x + 3y + 2z + 8 = 0সমতল দুটির সাথে লম্ব।
∴ a + 2b + 2c = 0 – – – (ii)
3a + 3b + 2c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_4-6 = ^b/_6-2 = ^c/_3-6 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₄ = ^c/_-3 = k
⇒ a = -2k; b = 4k; c = -3k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ -2k(x + 1) + 4k(y – 3) + (-3k)(z – 2) = 0
⇒ -2(x + 1) + 4(y – 3) – 3(z – 2) = 0
⇒ -2x – 2 + 4y – 12 – 3z + 6 = 0
⇒ -2x + 4y – 3z – 8 = 0
⇒ 2x – 4y + 3z + 8 = 0 (Proved)

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

9. দেখাও যে, ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব।

Solution:
ax + by + r = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, b, 0
xy-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
এখন a×0 + b×0 + 0×1 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

by + cz + p = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, b, c
yz-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
এখন 0×1 + b×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

cz + ax + q = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, 0, c
zx-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
এখন a×0 + 1×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব। (Proved)

10. মূলবিন্দুগামী কোনো সমতল (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে, প্রমাণ করো যে, ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1

Solution:
সমতলটি মূলবিন্দুগামী।
∴ কোনো সমতল (0, 0, 0), (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে,

$$\large{\therefore\begin{vmatrix}2-x-0\quad\quad 2-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-y-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-0\quad\quad 2-z-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}2-x\quad 2\quad\quad 2\\2\quad\quad 2-y\quad 2\\2\quad\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}-x\quad y\quad 0\\0\quad -y\quad z\\2\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\\ \quad\quad\quad — [R_1^!=R_1-R_2;R_2^!=R_2-R_3]}$$

⇒ -x(-2y + yz – 2z) -y(0 – 2z) = 0
⇒ 2xy -xyz + 2zx +2yz = 0
⇒ 2xy + 2zx +2yz = xyz
⇒ ^2xy/_xyz + ^2zx/_xyz + ^2yz/_xyz = 1
⇒ ²/_z + ²/_y + ²/_x = 1
⇒ ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1 (Proved)

11. মনে করো, একটি ভেক্টর n̄ অক্ষগুলির সঙ্গে সমান কোণ (θ ≤ 90°) উৎপন্ন করে এবং ভেক্টরটির মান 2√3 । (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলটির ভেক্টর এবং কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, n̄ ভেক্টরটি অক্ষগুলির সাথে θ (θ ≤ 90°) কোণ উৎপন্ন করে।
∴ n̄ = 2√3(îcosθ + ĵcosθ + k̂cosθ)
আবার, cos²θ + cos²θ + cos²θ =1
⇒ 3cos²θ = 1
⇒ cos²θ = ¹/₃
⇒ cosθ = ¹/_√3 – – – [∵ θ ≤ 90°]
∴ n̄ = 2√3(^î/_√3 +^ĵ/_√3 + ^k̂/_√3)
⇒ n̄ = 2î + 2ĵ + 2k̂
∴ (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n̄ ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ
n̄.{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ (2î + 2ĵ + 2k̂).{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2î + 2ĵ + 2k̂).(î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2 – 2 + 4) = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – 4 = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) = 4
⇒ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 – – – (i)
∴ সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 (Ans)
(i) নং সমীকরণে r̄ = xî + yĵ + zk̂ বসিয়ে পাই,
(xî + yĵ + zk̂).(î + ĵ + k̂) = 2
⇒ x + y + z = 2
∴ সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ x + y + z = 2 (Ans)

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

12. মনে করো, P(α, β, γ) বিন্দুগামী কোনো সমতল তিনটি অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে এবং O মূলবিন্দু থেকে সমতলটির ওপর OP লম্ব। প্রমাণ করো যে, LMN ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ^r⁵/_2αβγ যেখানে |ŌP̄| = r

Solution:
OP-এর দিক অনুপাতসমূহ (α – 0), (β – 0), (γ – 0) অর্থাৎ α, β, γ
এবং |ŌP̄| = r
⇒ √(α² + β² + γ²) = r
⇒ α² + β² + γ² = r² – – – (i)
OP সমতলটির ওপর লম্ব।^r²/_αβγ
(α, β, γ) বিন্দুগামী এবং OP-এর ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ –
α(x – α) +β(y – β) + γ(z – γ) = 0
⇒ αx – α² + βy – β² + γz – γ² = 0
⇒ αx + βy + γz = α² + β² + γ²
⇒ αx + βy + γz = r² – – – [(i) থেকে পাই]
⇒ ^x/_{^r²/_α} + ^y/_{^r²/_β} + ^z/_{^r²/_γ} = 1
∴ L, M ও N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (^r²/_α, 0, 0), (0, ^r²/_β, 0) ও (0, 0, ^r²/_γ)
∴ OL-এর দিক অনুপাতসমূহ ^r²/_α, 0, 0
OM-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, ^r²/_β, 0
এবং ON-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, ^r²/_γ

OLMN চতুস্তলকটির আয়তন

$${\large=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}\frac{r^2}{α}\quad 0\quad 0\\0\quad \frac{r^2}{β}\quad 0\\0\quad 0\quad \frac{r^2}{γ}\end{vmatrix}\\=\frac{r^2}{α}(\frac{r^2}{β}×\frac{r^2}{γ})\\=\frac{r^6}{6αβγ}}$$

আবার, OLMN-এর আয়তন
= ¹/₃×ŌP̄×△LMN
= ¹/₃×r×△LMN
∴ ¹/₃×r×△LMN = ^r⁶/_6αβγ
⇒ △LMN = ^r⁵/_2αβγ (Proved)

13. একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু থেকে 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে ও অক্ষগুলিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, L, M ও N বিন্দুগামী xy, yz ও zx সমতল তিনটির সমান্তরাল সমতলগুলির ছেদবিন্দুর গতিপথ হবে

$$\large{\mathbf{9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}}\\}$$

Solution:
ধরি, L, M ও N বিন্দুগামী সমতল তিনটির ছেদবিন্ii
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
∴ L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) সমতলের দূরত্ব 3p একক

$$\large{\therefore \frac{|\frac{0}{α}+\frac{0}{β}+\frac{0}{γ}-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒3p\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}=1\\⇒9p^2\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=1\\⇒9\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=\frac{1}{p^2}\\⇒9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

14. (f, g, h) বিন্দুগামী একটি চলমান সমতল অক্ষ তিনটিকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M ও N বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত x, y ও z অক্ষের সমান্তরাল সমতলগুলি P বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ হবে f/x+g/y+h/z= 1

Solution:
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ =
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (f, g, h) বিন্দুগামী।
∴ ^f/_α + ^g/_β + ^h/_γ = 1
∴ P(α, β, γ) বিন্দুর সঞ্চারপথ –
^f/_x + ^g/_y + ^h/_z = 1 (Proved)

15. ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের ওপর P একটি চলমান বিন্দু।OP সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অঙ্কিত সমতল অক্ষ তিনটিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M, N বিন্দু থেকে xy, yz ও zx সমতলের সমান্তরাল সমতলগুলি Q বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তবে, দেখাও যে Q বিন্দুর সঞ্চারপথ হয়:

$$\large{\quad x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\}$$

Solution:
ধরি, Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ:
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
আরও ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x₁, y₁, z₁)
∴ OP-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x₁ – 0), (y₁ – 0), (z₁ – 0) অর্থাৎ x₁, y₁, z₁
(i) নং সমতল ও OP সরলরেখা পরস্পর লম্ব।

$$\large{\quad\frac{x_1}{\frac{1}{α}}=\frac{y_1}{\frac{1}{β}}=\frac{z_1}{\frac{1}{γ}}=k\\\therefore x_1=\frac{k}{α};\quad y_1=\frac{k}{β};\quad z_1=\frac{k}{γ}\\}$$

P (x₁, y₁, z₁) বিন্দুটি ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।

$$\large{\therefore \frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}+\frac{z_1}{c}=1\\⇒\frac{\frac{k}{α}}{a}+\frac{\frac{k}{β}}{b}+\frac{\frac{k}{γ}}{c}=1\\⇒\frac{k}{aα}+\frac{k}{bβ}+\frac{k}{cγ}=1\\⇒\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{k}—(ii)}$$

p বিন্দুটি ^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।

$$\large{\therefore \frac{x_1}{α}+\frac{y_1}{β}+\frac{z_1}{γ}=1\\⇒\therefore \frac{\frac{k}{α}}{α}+\frac{\frac{k}{β}}{β}+\frac{\frac{k}{γ}}{γ}=1\\⇒\frac{k}{α^2}+\frac{k}{β^2}+\frac{k}{γ^2}=1\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{k}—(iii)}$$

(ii) ও (iii) থেকে পাই,

$$\large{\quad\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}}$$

Q (α, β, γ) এর সঞ্চারপথ –

$$\large{\quad \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\⇒ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\quad\mathbf{(Proved)}}$$