Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part I
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
1. দেখাও যে, বাস্তব সংখ্যাসমুহের সেটের ওপর সংজ্ঞাত “অপেক্ষা বড়ো” সম্বন্ধ সংক্রমণ, কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, R হল একটি বাস্তব সংখ্যার সেট এবং R সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R = {(x, y) : x > y, x এবং y ∈ R }
এখন, a ∈ R হলে
(a, a) ∉ R কারণ a, a-এর থেকে বড় নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R হলে
(b, a) ∉ R কারণ a, b এর থেকে বড় হলে b, a থেকে বড় হতে পারে না।
∴ (a, b) ∈ R
⇒ (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
ধরি, a, b, c ∈ R
(a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
⇒ a > b এবং b > c
⇒ a > c
⇒ (a, c) ∈ R
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
2. প্রমাণ করো যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাসমূহের সেট L এর ওপর সংজ্ঞাত “l1 সরলরেখা l2 এর ওপর লম্ব, l1,l2 ∈ L” সম্বদ্ধ L-এর ওপর প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
L= কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখা সমূহের সেট।
প্রদত্ত সম্বন্ধটি R হলে,
R = {(l1, l2) : l1 ⊥ l2, এবং l1, l2 ∈ L}
(l1, l2) ∈ R
⇒ l1, l2 এর ওপর লম্ব
⇒ l2, l1 এর ওপর লম্ব
⇒ (l2, l1) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
ধরি, l1 ∈ L;
কোনো সরলরেখা তার নিজের উপর লম্ব হতে পারে না।
∴ (l1,l1) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার ধরি, l1, l2, l3 ∈ L
(l1, l2) ∈ R এবং (l2, l3) ∈ R
⇒ l1 ⊥ l2
⇒ l2 ⊥ l3
⇒ l1 ∥ l3
⇒ ( l1, l3) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
3. R = {(x, y) : y, x দিয়ে বিভাজ্য, x, y ∈ N} যে-কোনো সংখ্যা x ∈ N-এর জন্য, x সংখ্যাটি সর্বদা x দিয়ে বিভাজ্য হবে।
Ans:
যেকোনো সংখ্যা সর্বদা সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ N
∴ R একটি স্বসম সম্বন্ধ।
ধরি , x, y, z ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ y = ax, a ∈ N এবং z = by, b ∈ N
⇒ z = b(ax) = (ab)x, ab ∈ N
⇒ z, x দ্বারা বিভাজ্য
⇒(x, z) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ (x, z) ∈ R, ∀x, y, z ∈ N
∴ R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 6, 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ, (3, 6) ∈ R কিন্তু 3, 6 দিয়ে বিভাজ্য নয়।
∴ (3, 6) ∈ R
⇒ (6, 3) ∉ R
∴ R প্রতিসম নয়।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।
4. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + y = 12 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
প্রমাণ করো যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
R = {(x, y) : x + y = 12, x, y ∈ N}
ধরা যাক, x, y ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে,
(x, y) ∈ R
⇒ x + y = 12
⇒ y + x = 12 [∵ x + y = y + x, ∀x, y ∈ N]
⇒ (y, x) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R ∀x, y ∈ N
∴ R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 7 ∈ N কিন্তু
7 + 7 = 14 ≠ 12 ⇒ (7, 7) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(5, 7) ∈ R এবং (7, 5) ∈ R কিন্তু (5, 5) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
5. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংঘাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
দেখাও যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
(x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R, x, y ∈ N
⇒ x + 2y = 10 এবং y + 2x = 10
⇒ x + 2y = y + 2x
⇒ x = y
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R,
⇒ x = y, x, y ∈ N
∴ N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
6. মনে করো, সব সেটসমূহের সেট S এবং S-এর ওপর R সম্বন্ধের সংজ্ঞা হয় X ⊆ Y, সব X, Y ∈ S -এর জন্য। দেখাও যে, S-এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম এবং সংক্রমণ, কিন্তু প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, x ∈ R x ⊆ x যেহেতু প্রতিটি সেট তার নিজের সাবসেট।
∀x ∈ S, (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
আবার, x, y ∈ S এবং x ⊆ y
x ⊆ y হলে y ⊆ x সম্ভব নয়।
(x, y) ∈ R
⇒ (y, x) ∉R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ S
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ x ⊆ y এবং y ⊆ z
⇒ x ⊆ z
⇒ (x, z) ∈
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
7. অখণ্ড সংখ্যাসমূহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y) এর মান জোড় }
প্রমাণ করো যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y ) = 2k,
∀x ∈ Z, x − x = 0 = 0.2
⇒ (x, x) ∈ R, x ∈ Z
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
ধরি, (x, y) ∈ R
⇒ x – y = 2k যেখানে k ∈ Z
⇒ y – x = 2.(-k) যেখানে, – k ∈ Z
∴ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = 2k, k ∈ Z
⇒ (y – z) = 2m, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = 2k + 2m = 2(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
8. (i) সব অখন্ড সংখ্যাসমুহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
দেখাও যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
∀x ∈ Z
x – x = 0 যা n দিয়ে বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R, x, y ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – x) = n(-k), k ∈ Z
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – z) = nm, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = nk + nm = n(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
(ii) মনে করো, সব বহুভুজসমূহের সেট A; A-তে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয়, R = {(P1, P2 ) : P1 ও P2 -এর সমসংখ্যক বাহু আছে}। দেখাও যে, R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। 3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসমূহের সেট নির্ণয় করো।
Ans: A বহুভুজের সেট।
R = {(P1, P2 ) : P1 ও P2 -এর সমসংখ্যক বাহু আছে, P1, P2 ∈ R}
P1 ∈ R এর জন্য P1 এর বাহুসংখ্যা P1 এর সমান হয়।
∴ (P1, P1) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
∀P1, P2 ∈ A
P1 এর বাহুসংখ্যা = P2 এর বাহুসংখ্যা
(P1, P2 ) ∈ R
⇒ (P2, P1 ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
∀P1, P2, P3 ∈ A এর জন্য
(P1, P2 ) ∈ R এবং (P2, P3 ) ∈ R
⇒ P1 এর বাহুসংখ্যা = P2 এর বাহুসংখ্যা এবং P2 এর বাহুসংখ্যা = P3 এর বাহুসংখ্যা
⇒ P1 এর বাহুসংখ্যা = P3 এর বাহুসংখ্যা
⇒ (P1, P3 ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের বাহুসংখ্যা 3
সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসংখ্যা 3 যা যেকোনো ত্রিভুজের পদসংখ্যা।
A সেটটি হল সমস্ত ত্রিভুজসমূহের সেট।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
9. মনে করো, কোনো সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু। P ও Q এর মধ্যে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়। দেখাও যে, সংজ্ঞাত S সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: কোনও সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু।
OP = OQ
∴ ওই সমতলে সব বিন্দু P এর জন্য OP = OP হবে
⇒ (P,P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
আবার ওই একই সমতলে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়।
∴ OP = OQ
⇒ OQ = OP
∴(P,Q) ∈ S এবং (Q, P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ওই সমতলে তিনটি বিন্দু P,Q, R এমনভাবে নেওয়া হল যেন (P,Q) ∈ S এবং (Q,R) ∈ S হয়
∴ OP = OQ এবং OQ = OR
⇒ OP = OR
⇒ (P,R) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
10. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x= ±y}
দেখাও যে, R-র ওপর S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x = ±y}
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x এর জন্য x = +x
(x, x) ∈ S, ∀x ∈ R
∴ S একটি স্বসম সম্বন্ধ ৷
আবার ধরা যাক, (x, y) ∈ S এবং x = ±y
∵ x = ±y
⇒ y = ±x
⇒ (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ধরা যাক, x, y, z ∈ R, (x, y) ∈ S এবং (y, z) ∈ S
∵ x = ±y এবং y = ±z
⇒ x = ±z
⇒ (x, z) ∈ S
∴ S একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
11. একটি প্রদত্ত সেট A-এর ওপর ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও ।
Ans:
ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
IA= {(x, x) : x ∈ A} সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে বৃহত্তম সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর সার্বিক সম্বন্ধ হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
A×A = {(x, y) : x, y ∈ A} সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
12. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x2 + y2 = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
R-এর ওপর S সম্বন্ধটির (i) স্বসমতা (ii) প্রতিসাম্য এবং (iii) সংক্রমিতা পরীক্ষা করো।
সমাধান:
(i) স্বসমতা
S = {(x, y) : x2 + y2 = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
S= {(x, y) : x2 + y2 = 1, x, y ∈ R }
∴ 12 +12 = 2 # 1
(1, 1) ∉ S
∴ S স্বসম নয়৷
(ii) প্রতিসাম্য
ধরি, (x, y) ∉ S
⇒ x2 + y2 = 1
⇒ y2 + x2 = 1
⇒ (x, y) ∈ S এবং (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(iii) সংক্রমিতা
13. মনে করো, A = {a, b, c} একটি প্রদত্ত সেট A-র ওপর একটি সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করো যাতে A -র ওপর সম্বন্ধটি:
(i) স্বসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R1 = {(a, a),(b, b),(c, c),(b, a)}(a, a),(b, b),(c, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R1
∴ R1 সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, a), (a, a) ∈ R1
⇒ (b, a) ∈ R1
∴ R1 সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
(b, a) ∈ R1 কিন্তু (a, b) ∉ R1
∴ R1 সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ নয়।
(ii) স্বসম এবং প্রতিসম হয় কিন্তু সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R2 = {(a, a), (b, b), (c. c), (b, c), (c. b), (a, b), (b. a)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R2
∴ R2 সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, c) ∈ R2
⇒ (c, b) ∈ R2
এবং (a, b) ∈ R2
⇒ (b, a) ∈ R2
∴ R2 সম্বন্ধটি প্রতিসম
(a, b), (b, c) ∈ R2 কিন্তু (a, c) ∉ R2
∴ R2 সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
(iii) প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু স্বসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R3
R3 = {(b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}
(b, c) ∈ R3
⇒ (c, b) ∈ R3
∴ R3সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(b, c), (c, b) ∈ R3
⇒ (b, b) ∈ R3
∴ R3 সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R3
∴ R3 সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(iv) স্বসম কিন্তু প্রতিসম কিম্বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R4
R4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R4
∴ R4 সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(a, b) ∈ R4 কিন্তু (b, a) ∉ R4
∴ R4 সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R4 কিন্তু (a, c) ∉ R4
∴ R4 সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
(v) প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R5
R5 = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}
(a, b) ∈ R5 ⇒ (b, a) ∈ R5
(b, c) ∈ R5 ⇒ (c, b) ∈ R5
∴ R5 সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(a, a) ∉ R5
∴ R5 সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b), (b, a) ∈ R5 (a, a) ∉ R5
∴ R4 সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
(vi) সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R6
R6 = {(a, b), (b, b)}
(a, b), (b, b) ∈ R6 ⇒ (b, b) ∈ R6
∴ R6 সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R6 এবং (c, c) ∉ R6
∴ R6 সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R6 কিন্তু (b, a) ∉ R6
∴ R6 সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(vii) স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R7
R7 = {(a, b), (b, c ), (c, a )}
(a, a) ∉ R7
∴ R7 সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R7 কিন্তু (b, a) ∉ R7
∴ R7 সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R7 কিন্তু (a, c) ∉ R7
∴ R7 সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
(viii) একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R8
R8 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, a)}
এখানে ∀a, b, c ∈ A,
(a, a), (b, b), (c, c) ∈ R8
∴ R8 সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R8 সম্বন্ধটি স্বসম।
∀a, b, c ∈ A
(a, b) ∈ R8 ⇒ (b, a) ∈ R8 ,
(b. c) ∈ R8 ⇒ (c. b) ∈ R8
(c, a) ∈ R8 ⇒ (a, c) ∈ R8
∴ R8 সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R8 সম্বন্ধ প্রতিসম।
আবার, ∀a, b, c ∈ A,
(a, b) ∈ R8, (b, c) ∈ R8 ⇒ (a, c) ∈ R8
∴ R8 সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
A সেটের ওপর সম্বন্ধ R8 সংক্রমণ ।
∴ A সেটের ওপর সংজ্ঞায়িত সম্বন্ধ R8 একটি সমতুলাতা সম্বন্ধ।
আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।
14. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ N নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয় :
R={(x,y): x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ টি স্বসম ,সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়।
সমাধান:
R={(x,y) : x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
যেকোন সংখ্যা সেই সংখ্যার গুণিতক হয়।
⇒(x,x) ∈ R, ∀x ∈ N,
∴ R সম্বন্ধ টি স্বসম ৷
ধরি (x,y) ∈ R এবং (y,x) ∈ R
যেখানে x = yk এবং y = xl, এবং k, l ∈ N
এখন y = xl
⇒ y= (yk)l
⇒ y= y(kl)
⇒ 1 = kl
⇒ k = l = 1
∴ x = y
∴ (x,y) ∈ R (y,x) ∈ R
⇒ x=y
∴ R সম্বন্ধটি বিপ্ৰতিসম
আবার ধরি, x,y,z ∈ N এবং (x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
∴ x = yk এবং y = zl, k, I ∈ N
∴ x = yk
⇒ x = (zl)k
⇒ x = z(lk)
⇒ x = zm, যেখানে m = lk ∈ N
∴ (x,z) ∈ R
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
⇒ (x,z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ ৷
আবার (10,5) ∈ R কিন্তু (5,10) ∉ R, ∵ x, y -এর গুণিতক।
∴ R প্রতিসম নয়।
15. মনে করো একটি সেট A এর ওপর R ও S দুটি সম্বন্ধ। যদি
(i) R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হয় তবে প্রমান করো যে RUS এবং R∩S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হবে।
(ii) R স্বসম এবং S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ হয় তবে প্রমান করো যে RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হবে।
(iii) R ও S উভয় A এর ওপর সংক্রমণ হয় তবে প্রমান করো যে R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ কিন্তু RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
(i) সমাধান:
ধরি, (x,y) ∈ RUS যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R অথবা (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R অথবা S এবং (y, x) ∈ R অথবা S
⇒ (y,x) ∈ RUS
∴ RUS A এর ওপর প্রতিসম । (প্রমানিত)
ধরি, (x,y) ∈ R∩S যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
⇒ (y, x) ∈ R এবং ( y,x) ∈ S
⇒ (y,x) ∈ R∩S
∴ R∩S A এর ওপর প্রতিসম। (প্রমানিত)
(ii) সমাধান:
(ii) A সেটের ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ,
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A এর জন্য,
⇒ (x,x) ∈ RUS, ∀x ∈ A এর জন্য, যেখানে S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ ।
RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম। (প্রমানিত)
(iii) সমাধান:
(iii) ধরি, (x,y),(y,z) ∈ R∩S এবং x,y,z ∈ A
R ও S উভয়েই A এর ওপর সংক্রমণ
∴ (x,y), (y,z) ∈ R এবং (x,y), (y,z) ∈ S
⇒ (x,z) ∈ R এবং (x,z) ∈ S,
⇒ (x,z) ∈ R∩S
R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ।
আবার ধরি, x,y,z ∈ A যেখানে
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ S কিন্তু (x,z) ∉ R এবং (x,z) ∉ S
∴ (x,y), (y,z) ∈ RUS কিন্তু (x,z) ∉ RUS
∴ RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
16. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয়ঃ
(x, y) ∈ R ⇒ x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা, সব x, y ∈ N এর জন্য দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম।
সমাধান:
R = {(x, y) : x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা এবং x, y ∈ N}
∀x ∈ N, (x, x) ∈ R
⇒ x – x + √3 = √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
∴ N এর ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ ।
