Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (LA) S N Dey Class-XI
সেট তত্ত্ব SET THEORY
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)
সেট তত্ত্ব SET THEORY ∴ ∵
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
1. কোনো সসীম সেট A-এর ক্ষেত্রে, A সেটের পদসংখ্যা n(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি ভেন চিত্রের প্রয়োগে (অথবা অন্য পদ্ধতিতে) যে-কোনো দুটি সেট A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
প্রমানঃ
মনে করি, A, B এবং A ∩ B সেট তিনটির পদসংখ্যা যথাক্রমে p, q ও r
অর্থাৎ n(A) = p;
n(B) = q এবং
n(A∩B) = r
ভেন চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায় যে,
n(A-B) = n(A) – n(A∩B)
= p – r ;
n(B-A) = n(B) – n(A∩B)
= q – r ;
আবার ভেন চিত্র থেকে দেখা যায় (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটি পরস্পর বিচ্ছেদ সেট এবং (A∪B) সেটটির পদসংখ্যা (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটির পদসংখ্যার সমষ্টির সমান।
∴ n(A ∪ B)
= n(A-B) + n(A ∩ B) + n(B)
= p – r + r + q – r
= p + q – r
∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (Proved)
2. A = { x: 0 < x ≤ 2 } এবং B = { x : 1 < x < 3 } হলে,
(i) A ∩ B
সমাধানঃ
A ∩ B
= { x: 0 < x ≤ 2 } ∩ { x : 1 < x < 3 }
= { x: 1 < x ≤ 2 } (Ans)
(ii) A ∪ B
সমাধানঃ
A ∪ B
= { x: 0 < x ≤ 2 } ∪ { x : 1 < x < 3 }
= { x: 0 < x < 3 } (Ans)
(iii) A – B
সমাধানঃ
A – B
= { x: 0 < x ≤ 2 } – { x : 1 < x < 3 }
= {x: 0 < x ≤ 1 } (Ans)
(iv) (A ∪ B) – (A ∩ B)
সমাধানঃ
(A ∪ B) – (A ∩ B)
= { x: 0 < x < 3 } – { x: 1 < x ≤ 2 }
= {0 < x ≤ 1, 2 < x < 3} (Ans)
3. A = { 2 ≤ x < 5 } এবং B = { x: 3 < x < 7 } হল সার্বিক সেট্, S = { x : 0 < x ≤ 10 } -এর দুটি উপসেট্; প্রমাণ করো যে, (A ∪ B)C = AC ∩ BC ।
সমাধানঃ
A ∪ B = {x: 2 ≤ x < 7}
∴ (A ∪ B)C
= S – (A ∪ B)
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 2 ≤ x < 7}
= {0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10 }
AC = S – A
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {2 ≤ x < 5}
= {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10}
BC = S – B
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 3 < x < 7}
= {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10}
∴ AC ∩ BC
= {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10} ∩ {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10}
= {x : 0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10}
∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)
4. P = { p, q, r, s, t, u } এবং Q ∩ R = { q, r, v, w } হলে,
(i) ( P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R)
সমাধানঃ
(P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)
= P ∪ (Q ∩ R)
= {p, q, r, s, t, u } ∪ {q, r, v, w }
= {p, q, r, s, t, u, v, w} (Ans)
(ii) ( P – Q) ∪ ( P – R) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
(P – Q) ∪ (P – R)
= P – (Q ∩ R)
= { p, q, r, s, t, u } – { q, r, v, w }
= {p, s, t, u} (Ans)
5. যদি S সার্বিক সেটের A, B, C তিনটি উপসেট হয়,যেখানে S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 6}, B ∩ C = { 1, 2, 6 } তবে ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) এবং ( BC ∪ CC) নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ
(A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
= A ∪ (B ∩ C)
= { 1, 3, 5, 6} ∩ { 1, 2, 6 }
= { 1, 2, 3, 5, 6} (Ans)
(BC ∪ CC)
= (B ∩ C)C
= S – B ∩ C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 2, 6 }
={3, 4, 5, 7} (Ans)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।
6. যদি U = { a, b, c, d, e, f } সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C যদি U এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = { a, c, d } এবং B ∪ C = { a, d, c, f } তবে ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) এবং ( B’ ∩ C’) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= A ∩ ( B ∪ C)
= { a, c, d } ∩ { a, d, c, f }
= {a, c, d} (Ans)
B’ ∩ C’
= (B ∪ C)’
= U – ( B ∪ C)
= { a, b, c, d, e, f } – { a, d, c, f }
= {b, e} (Ans)
7. প্রদত্ত, X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}, X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5, }, X ∩ Y = { 2, 3} এবং X ∩ Z = { 2, 4} ; X, Y এবং Z নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ
∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}
∴ 5 ∉ X ∪ Y
⇒ 5 ∉ X এবং 5 ∉ Y
আবার ∵ X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5}
∴ 1 ∉ X ∪ Z
⇒ 1 ∉ X এবং 1 ∉ Z এবং 5 ∈ Z
∵ X ∩ Y = { 2, 3}
∴ 2, 3 ∈ X এবং Y
∵ X ∩ Z = { 2, 4}
∴ 2, 4 ∈ X এবং Z
∴ X = {2, 3, 4},
∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}
∴ 1 ∈ Y
∴ Y = {1, 2, 3}
∴ Z = {2, 4, 5}
Ans: X = {2, 3, 4};
Y = {1, 2, 3};
Z = {2, 4, 5}
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(i) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∪C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Proved)
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 6 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সাধারন অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
7 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 8 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 9 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সমগ্র অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(iii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∩(A∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)
সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
| সেট তত্ত্ব Set Theory | প্রশ্নমালা- 1 |
|---|---|
| সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট | CLICK HERE |
| উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট | CLICK HERE |
| ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ | CLICK HERE |
| বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) | CLICK HERE |
| অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) | CLICK HERE |
| সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) | CLICK HERE |
| দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA) | CLICK HERE |
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(iv) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 9 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 10 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(v) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∪B এবং 2 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)C সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা AC এবং 4 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল BC সেটকে প্রকাশ করে।
5 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল AC ∩ BC সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)
(vi) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)C সেটকে প্রকাশ করে।
8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা AC এবং 9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল BC সেটকে প্রকাশ করে।
9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল AC ∩ BC সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A ∩ B)C = AC ∪ BC (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(vii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)(Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(viii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A-B)∩(A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)(Proved)
S N DEY CLASS XI সেটতত্ত্ব তত্ত্বের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো ।
| সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট | CLICK HERE |
| উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট | CLICK HERE |
| ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ | CLICK HERE |
| সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (MCQ) | CLICK HERE |
| সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (VSA) | CLICK HERE |
| সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA) | CLICK HERE |
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A-C এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল B-C সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C)∩(B-C) সেটকে প্রকাশ করে।
4 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B)-C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C(Proved)
Q NO – 8
9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে :
(i) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ ϕ
9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে :
(ii) A ⊂ B, B ∩ C ≠ ϕ, C ∩ A = ϕ, C ⊄ B
10.যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A ∪ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A অথবা x ∈ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A অথবা (x ∈ B এবং x ∈ C)
⇒ (x ∈ A অথবা x ∈ B) এবং (x ∈ A অথবা x ∈ C)
⇒ {x ∈ (A ∪ B) এবং x ∈ (A ∪ C)}
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
∴ x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
∴ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
⇒ y ∈ (A ∪ B) এবং y ∈ (A ∩ C)
⇒ (y ∈ A অথবা y ∈ B) এবং (y ∈ A অথবা y ∈ C)
⇒ y ∈ A অথবা (y ∈ B এবং y ∈ C)
⇒ y ∈ A অথবা y ∈ (B ∩ C)
⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
∴ y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
∴ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A ∩ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∈ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∈ B অথবা x ∈ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∈ B) অথবা (x ∈ A এবং x ∈ C)
⇒ {x ∈ (A ∩ B) অথবা x ∈ (A ∩ C)}
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
⇒ y ∈ (A ∩ B) অথবা y ∈ (A ∩ C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ B) অথবা (y ∈ A এবং y ∈ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∈ B অথবা y ∈ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∈ (B ∪ C)
⇒ y ∈ A ∩ (B ∪ C)
∴ y ∈ A ∩ (B ∪ C)) ⇒ y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
(iii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
সমাধানঃ
A ∩ (B ∩ C)
⇒ {x: x ∈ A এবং x ∈ (B ∩ C)}
⇒ {x: x ∈ A এবং (x ∈ B এবং x ∈ C)}
⇒ {x: (x ∈ A এবং x ∈ B) এবং x ∈ C}
⇒ {x: x ∈ (A ∩ B) এবং x ∈ C} = (A ∩ B) ∩ C (Proved)
(iv) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
সমাধানঃ
A ∪ (B ∪ C)
⇒ {x: x ∈ A বা, x ∈ (B ∪ C)}
⇒ {x: x ∈ A বা, (x ∈ B বা, x ∈ C)}
⇒ {x: (x ∈ A বা, x ∈ B) বা, x ∈ C}
⇒ {x: x ∈ (A ∪ B) বা, x ∈ C} = (A ∪ B) ∪ C (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) দেখতে এখানে CLICK করো।
(v) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
সমাধানঃ
যে- কোনো উপাদান a ∈ A হলে a ∉ A হয়।
ধরি, x ∈ (A ∪ B)C
⇒ x ∉ (A ∪ B)
⇒ x ∉ A এবং x ∉ B
⇒ x ∈ AC এবং x ∈ BC
⇒ x ∈ AC ∩ BC
∴ (A ∪ B)C ⊆ AC ∩ BC – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ AC ∩ BC
⇒ y ∈ AC এবং y ∈ BC
⇒ y ∉ A এবং y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∪ B)
⇒ y ∈ (A ∪ B)C
∴ AC ∩ BC ⊆ (A ∪ B)C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)
(vi) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ (A ∩ B)C
⇒ x ∉ (A ∩ B)
⇒ x ∉ A বা x ∉ B
⇒ x ∈ AC বা x ∈ BC
⇒ x ∈ AC ∪ BC
∴ (A ∩ B)C ⊆ AC ∪ BC – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ AC ∪ BC
⇒ y ∈ AC বা y ∈ BC
⇒ y ∉ A বা y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∩ B)
⇒ y ∈ (A ∩ B)C
∴ AC ∪ BC ⊆ (A ∩ B)C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∩ B)C = AC ∪ BC (Proved)
(vii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A – (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B এবং x ∉ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) এবং (x ∈ A এবং x ∉ C)
⇒ x ∈ (A – B) এবং x ∈ (A – C)
⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A – B) ∩ (A – C)
⇒ y ∈ (A – B) এবং (A – C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) এবং (y ∈ A এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∉ B ∪ C
⇒ y ∈ A – (B ∪ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) (Proved)
(viii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A – (B ∩ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B বা, x ∉ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) বা, (x ∈ A এবং x ∉ C)
⇒ x ∈ (A – B) বা, x ∈ (A – C)
⇒ x ∈ (A – B) ∪ (A – C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A – B) ∪ (A – C)
⇒ y ∈ (A – B) বা, (A – C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) বা, (y ∈ A এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B বা, y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∉ (B ∩ C)
⇒ y ∈ A – (B ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)
(ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C
সমাধানঃ
ধরি, A = {1, 2, 3};
B = {2, 3, 4};
C = {1, 3, 5};
LHS = (A – C) ∩ (B – C)
= ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∩ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5})
= {2} ∩ {2, 4}
= {2}
RHS = (A ∩ B) – C
= ({1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5}
= {2, 3} – {1, 3, 5}
= {2, 4} = LHS
∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C (Proved)
(x) (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C)
সমাধানঃ
ধরি, A = {1, 2, 3};
B = {2, 3, 4};
C = {1, 3, 5};
LHS = (A ∪ B) – C
= ({1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5}
= {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 5}
= {2, 4}
RHS = (A – C) ∪ (B – C)
= ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∪ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5})
= {2} ∪ {2, 4}
= {2, 4} = LHS
∴ (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C) (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) দেখতে এখানে CLICK করো।
11. সেট বীজগণিতের সূত্রাবলী প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) A ∩ ( B – A) = ϕ
সমাধানঃ
A ∩ ( B – A)
= A ∩ ( B ∩ AC)
= A ∩ ( AC ∩ B)
= ( A ∩ AC) ∩ B
= ϕ ∩ B
= ϕ (Proved)
(ii) A ∪ ( B – A) = A ∪ B
সমাধানঃ
A ∪ ( B – A)
= A ∪ ( B ∩ AC)
= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ AC )
= ( A ∪ B) ∩ S
= ( A ∪ B) (Proved)
(iii) (A ∩ B) – C = ( A – C) ∩ ( B – C)
সমাধানঃ
(A ∩ B) – C
= (A ∩ B) ∩ CC
= (A ∩ B) ∩ (CC ∩ CC)
= [(A ∩ B) ∩ CC] ∩ CC)]
= [A ∩ (B ∩ CC)] ∩ CC)]
= (B ∩ CC) ∩ (A ∩ CC)
= (B – C) ∩ (A – C)
= (A – C) ∩ (B – C) (Proved)
(iv) (A ∪ B) – C = ( A – C) ∪ ( B – C)
সমাধানঃ
(A ∪ B) – C
= (A ∪ B) – CC
= (A ∪ CC) ∪ (B ∪ CC)
= ( A – C) ∪ ( B – C) (Proved)
12. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics -এ পড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন ছাত্র দ্বিতীয় ও তৃতীয় এবং 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য কতগুলো আসন আছে? (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে)
সমাধানঃ
ধরি, Computer Science- এর ছাত্রদের সেট C;
Information Technology- এর ছাত্রদের সেট I ও
Electronics এর ছাত্রদের সেট যথাক্রমে E.
এখানে, n(C) = 80;
n(I) = 75;
n(E) = 72;
n(C ∩ I) = 60;
n(I ∩ E) = 50;
n(E ∩ C) = 40;
n(C ∩ I ∩ E) = 30;
∴ n(C ∪ I ∪ E)
= n(C) + n(I) + n(E) – n(C ∩ I) – n(I ∩ E) – n(E ∩ C) + n(C ∩ B ∩ E)
= 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30
= 227 – 150 + 30
= 107
Ans: কলেজে ছাত্রদের জন্য 107 টি আসন আছে ।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
13. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত ; 20 জন লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ও ধার করা পুস্তকব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, সমগ্র ছাত্রের সেট S;
লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহারকারী ছাত্রের সেট A;
নিজস্ব পুস্তক অছে এমন ছাত্রের সেট B;
ধার করে পুস্তক ব্যবহার করে এমন ছাত্রের সেট C;
এখানে, n(S) = 100;
n(A) = 50;
n(B) = 40;
n(C) = 30;
n(A ∩ B) = 20;
n(B ∩ C) = 15;
n(A ∩ C) = 10;
∴ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n( B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 50 + 40 + 30 – 20 – 15 – 10 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 120 – 45 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 75 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, n(A ∩ B ∩ C) = 25
Ans: তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা 25 জন।
14. কোনো কোম্পানি 300 জন ব্যবহারকারীর কোন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে তার তথ্যানুসন্ধান করে। দেখা গেল যে, 226 জন A সামগ্রী, 51 জন B সামগ্রী, 54 জন C সামগ্রী, 21 জন A ও B উভয় সামগ্রী, 54 জনA ও C উভয় সামগ্রী, 39 জন B ও C উভয় সামগ্রী এবং 9 জন তিন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে। প্রমাণ করো যে, তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয় (ধরে নাও যে, প্রত্যেক ব্যবহারকারী অন্তত এক ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে)।
সমাধানঃ
ধরি, A সামগ্রীর সেট = A;
B সামগ্রীর সেট = B;
C সামগ্রীর সেট = C হলে,
এখানে, n(A) = 226;
n(B) = 51;
n(C) = 54;
n(A ∩ B) = 21;
n(A ∩ C) = 54;
n(B ∩ C) = 39;
n(A ∩ B ∩ C) = 9
∴ ( A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 226 + 51 + 54 – 21 – 39 – 54 + 9
= 331 – 114 + 9
= 340 – 114
= 226
কিন্তু প্রশ্নানুযায়ী, মোট ব্যবহারকারীর সংখ্যা 300
∴ তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয়। (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
15. শ্রমিকদের দ্বারা উৎপাদিত 100 টি সামগ্রী পরীক্ষা করে সেন, সরকার ও লাহিড়ী কোম্পানির ম্যানেজার তাঁর বসের কাছে নিম্নলিখিত রিপোর্ট দাখিল করেন: পরিমাপে ত্রুটি 50 টি সামগ্রীতে, রঙে ত্রুটি 30 টিতে, উৎকর্ষে ত্রুটি 23 টিতে, উৎকর্ষে ও রঙে ত্রুটি 10 টিতে, পরিমাপ ও রঙে ত্রুটি 8 টিতে, পরিমাপ ও উৎকর্ষে ত্রুটি 20 টিতে এবং 5 টি সবগুলিতেই ত্রুটিপূর্ণ । দাখিল করা রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল। সেট তত্ত্বের প্রয়োগে দন্ড দেওয়ার কারণ ব্যাখ্যা করো।
সমাধানঃ
ধরি, পরিমাপে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট A,
রঙে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট B ও
উৎকর্ষে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট C
এখানে, n(A) = 50;
n(B) = 30;
n(C) = 23;
n(B ∩ C) = 10;
n(A ∩ B) = 8;
n(A ∩ C) = 20;
n(A ∩ B ∩ C) = 5;
∴ মোট সামগ্রী
= n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= 50 + 30 + 23 – 8 – 10 – 20 + 5
= 103 – 38 +5
= 70
শর্তানুযায়ী মোট সামগ্রী সংখ্যা 100;
∴ দাখিল করা রিপোর্টের সাথে মোট সামগ্রীর পরিমাণ অভিন্ন নয়।
তাই ভুল রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল।
16. কোন শহরে তিনটি দৈনিক সংবাদপত্র X, Y, Z প্রকাশিত হয়।ঐ শহরের 65% লোক X পত্রিকা ,54% Y পত্রিকা, 45% Z পত্রিকা পড়ে; 38% লোক X ও Y; 32% Y ও Z; 28% X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক এই তিন পত্রিকার কোনটাই পড়ে না। যদি শহরের মোট লোকসংখ্যা 1000000 জন হয়, তবে শহরের কত জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি মোট পাঠকের সংখ্যা 100 জন। আরও ধরি P, Q এবং R হল X, Y, Z সংবাদপত্র পাঠকের সেট।
∴ n(P) = 65% ;
n(Q) = 54% ;
n(R) = 45%;
n(P∩Q) = 38%;
n(Q∩R) = 32%;
n(R∩P) = 28%;
n(PC∩QC∩RC) = 12%;
∴ তিনটি সংবাদপত্র পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা = n(P∩Q∩R) এখন,n(PC∩QC∩RC) = n(P∪Q∪R)C
বা, 12 = n(S) – n(P∪Q∪R)
বা, 12 = 100 – n(P∪Q∪R)
বা, n(P∪Q∪R) = 88
বা, n(P) + n(Q) + n(R) – n(P∩Q) – n(Q∩R) – n(R∩P) + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 65 + 54 + 45 – 38 – 32 – 28 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 164 – 98 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 66 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, n(P∩Q∩R) = 88 – 66
বা, n(P∩Q∩R) = 22
100 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22 জন
∴ 100,0000 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22×10000 জন = 220000 জন
Ans: শহরের 220000 জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
17. কোনো কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্রসংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রতিটি গেম খেলে। কতজন ছাত্র- (i) কোনো গেম খেলে না (ii) কেবল একটি গেম খেলে এবং (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে?
সমাধানঃ
ধরি , কলেজের সমস্ত ছাত্রের সেট = S,
ফুটবল খেলা ছাত্রের সেট F,
ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C ও
ভলিবল খেলা ছাত্রের সেট V
এখানে, n(S) = 1000;
n(F) = 540;
n(C) = 465;
n(V) = 370;
n(F ∩ C) = 325;
n(F ∩ V) = 260;
n(C ∩ V) = 235;
n(F ∩ C ∩ V) = 125;
∴ n( F ∪ C ∪ V)
= n(F) + n(C) + n(V) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 + 465 + 370 – 325 – 260 – 235 + 125
= 1375 – 820 + 125
= 1500 – 820
= 680
(i) কোনো গেম খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা
= n(FC ∩ CC ∩ VC)
= n( F ∪ C ∪ V)C
= n(S) – n( F ∪ C ∪ V)
= 1000 – 680
= 320
(ii) শুধু ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ CC ∩ VC)
= n(F) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 – 325 – 260 + 125
= 80
শুধু ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(C ∩ FC ∩ VC)
= n(C) – n(C ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 465 – 325 – 235 + 125
= 590 – 560
= 30
শুধু ভলিবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(V ∩ FC ∩ CC)
= n(V) – n(V ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 370 – 235 – 260 + 125
= 495 – 495
= 0
∴কেবল একটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ CC ∩ VC) + n(C ∩ FC ∩ VC) + n(V ∩ FC ∩ CC)
= 80 +30 + 0
= 110
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ V) +n(C ∩ V) +n(F ∩ V) – 3 x n(F ∩ C ∩ V)
= 325 + 235 + 260 -3 x 125
= 820 – 375
= 445
Ans: (i) কোনো গেম খেলে 320 জন;
(ii) কেবল একটি গেম খেলে 110 জন; এবং
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে 445 জন।
18. একটি দলে কয়েক্জন ছাত্র অছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, বাংলায় কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট B,
হিন্দিতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট H এবং
ইংরেজীতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট E;
এখানে, n( B) = 65 ;
n( H) = 54 ;
n( E) = 37 ;
n( B ∩ H) =31;
n( H ∩ E) = 17
; n( B ∩ E) = 18
n( B ∪ H ∪ E)
= n( B) + n( H) + n( E) – n( B ∩ H) – n( H ∩ E) – n( E ∩ B) + n( B ∩ H ∩ E) = 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n( B ∩ H ∩ E)
= 90 + n( B ∩ H ∩ E)
এখন, n ( B ∪ H ∪ E) -এর মান ক্ষুদ্রতম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0 হয়।
∴ n( A ∪ H ∪ E) -এর ক্ষুদ্রতম মান
= 90 + 0
= 90
n( B ∪ H ∪ E) -এর মান বৃহত্তম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0-এর মান বৃহত্তম হয়।
এখন, n( A ∪ H ∪ E) -এর বৃহত্তম মান
= { n( B ∩ H) , n( H ∩ E) , n( E ∩ B) } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= {31, 17, 18 } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= 17
Ans: দলের বৃহত্তম ছাত্রসংখ্যা = 90 + 17 = 107 ও
ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা = 90
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
19. সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, 231 ও 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।
সমাধানঃ
ধরা যাক, 231 ও 260 সংখ্যা দুটির গুনণীয়কের সেট যথাক্রমে A ও B।
∴ A = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 },
B = { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 }
∴ A ∩ B = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 } ∩ { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 }
= {1}
∴ 231, 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক। (Proved)
Q NO 20
20. মনে করো, A1, A2, ….., A30 এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে পাঁচটি করে এবং B1, B2 …..Bn এই n-সংখ্যক সেটের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে।
ধরো, A1 ∪ A2 ∪….. ∪ A30 = B1 ∪ B2 ∪ ….. ∪ Bn = S; মনে করো, S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে। n-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
S = A1 ∪ A2 ∪….. ∪ A30 ;
A1, A2, ….., A30 এই সেটের প্রত্যেকটিতে 5 টি করে পদ আছে।
∴ 30 টিতে মোট পদ আছে
= 30 × 5
= 150 টি।
আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 10 টি A সেটের মধ্যে আছে।
∴ S সেটের পদসংখ্যা
= 150 ÷ 10
= 15
S = B1 ∪ B2 ∪ ….. ∪ Bn
B1, B2 …..Bn এই সেটের প্রত্যেকটিতে 3 টি করে পদ আছে।
∴ n টিতে মোট পদ আছে
= n × 3 টি
= 3n টি।
আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 9 টি B সেটের মধ্যে আছে।
∴ S সেটের পদসংখ্যা
= 3n ÷ 9
= n ÷ 3
প্রশ্নানুযায়ী,
n ÷ 3 = 15
⇒ n = 45
Ans: n-এর মান 45
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
দীর্ঘ উত্তরধর্মী
21. একটি সভার 100 জন লোকের মধ্যে 29 জন ভারতীয় মহিলা এবং 23 জন ভারতীয় পুরুষ। এই ভারতীয়দের মধ্যে 4 জন ডাক্তার এবং 24 জন হয় পুরুষ নয়তো ডাক্তার। সভায় কোনো বিদেশী ডাক্তার নেই। সভায় কতজন বিদেশী ছিলেন? সভায় মহিলা ডাক্তারের সংখ্যাই বা কত? সমাধানঃ
ধরি,ভারতীয় মহিলার সেট = F,
ভারতীয় পুরুষের সেট = M, এবং
ভারতীয় ডাক্তারের সেট = D।
∴ মোট ভারতীয়ের সংখ্যা
= n (F) + n (M)
= 29 + 23
= 52
মোট বিদেশীর সংখ্যা
= 100 – 52
= 48
এখানে, n (D) = 4,
n ( M ∪ D) = 24
আবার, n ( M ∩ D)
= n ( M) + n ( D) – n ( M ∪ D)
= 23 + 4 – 24
= 3
Ans: সভায় বিদেশী ছিলেন 48 জন এবং
মহিলা ডাক্তারের সংখ্যা = 4 – 3 = 1 জন
22. যদি দুটি সেট A এবং B-এর 99 টি সাধারণ পদ থাকে তবে দেখাও যে, A×B এবং B×A-এর সাধারণ পদ সংখ্যা 992 টি।
সমাধান:
(AxB) ∩ (B×A)
= n((A∩B)×(B∩A))
= n(A∩B) × n(B∩A)
= 99 × 99
= 992 (Proved)
- যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA) S N DEY CHAPTER-3
- যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3
- JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
- জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
- Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
- Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ
- Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)
- Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
- SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)
- Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
- সেটতত্ত্ব SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (MCQ)
- ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ What is Venn Diagram Class-XI
- উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট
- সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট
- COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply
- Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply
- PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply
- ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply
- NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply
- Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply
Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)
Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)
Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)
1 সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
(i) সেট্সমূহের ধারণা, উপসেট্, দুটি সেটের সমতা, সার্বিক সেট্ এবং শূন্য সেট্, সসীম ও অসীম সেট্।
S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.3 , অনুচ্ছেদ 1.5 এর 4, 5, 7, 3,1 দেখো।
(ii) দুটি সেটের যোগ, ছেদ ও অন্তর, পূরকতা।
S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.8 এর 1, 2, 4, 5 দেখো।
2. ভেন চিত্র কী? সেট তত্ত্বে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করো।
3 সেটের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ বিবৃত করো।
▶️ বর্গৈকসম সূত্র
A যেকোনো একটি সেট হলে
(i) A ⋃ A = A
(ii) A ⋂ A = A
▶️ বিনিময় সূত্র
A এবং B যেকোনো দুটি সেট হলে
(i) A ⋃ B = B ⋃ A
(ii) A ⋂ B = B ⋂ A
এবং AB = BA
▶️ সেটের সংযোগ সূত্র (Associative Law):
A, B, C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C
(ii) (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)
▶️ সেটের বণ্টন সূত্র (Distributive Law):
A,B,C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) A ⋃ ( B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
(ii) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
▶️ অভেদ সূত্র (Identity Law):
A যে-কোনো সেট এবং U সার্বিক সেট এবং ∅ শুন্য সেট হলে,
(i) A ⋃ ϕ = A
(ii) A ⋂ U = A
(iii) A ⋃ U = U
(iv) A ⋂ ϕ = ϕ
Set Theory
▶️ পূরক সূত্র(Complement Law):
U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ শুন্য সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
(i) A ⋃ A′ = U
(ii) A ⋂ A′ = ϕ
(iii) (A′)′ = A
(iv) U′ = ϕ
(v) ϕ′ = U
ডি মরগানের সূত্র(De Morgan’s Law) :
A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
(i) (A ⋃ B)′ = A′ ⋂ B′
(ii) (A ⋂ B)′ = A′ ⋃ B′
একাধিক সসীম সেটের যোগের পদসংখ্যা নির্ণয়ঃ
A একটি সসীম সেট হলে, A এর পদসংখ্যা n(A) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
A এবং B দুইটি সসীম সেট হলে (A⋃B) ও একটি সসীম সেট হবে।
(i) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
(ii) n(A⋃B)′ = n(S) – n(A⋃B) = n(S) – n(A) – n(B) + n(A⋂B)
(iii) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – (A⋂B) – n(B⋂C) – n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)
4 দেখাও যে, n-সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট্ A-র সূচক সেট্ 2n -সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে।
সমাধানঃ
ধরি, A একটি সেট যার উপাদান বা পদের সংখ্যা n.
A সেটে যদি কোনো পদ না থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC0
A সেটে যদি 1টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC1
আবার A সেটে যদি 2টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC2
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
A সেটে যদি nটি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nCn
∴A সেট্ থেকে যে সকল উপসেট্ গঠন করা যায় তার মোট সংখ্যা
= nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
এখন, (1 + x)n = nC0 + nC1.x+ nC2.x2 + ….. + nCn.xn
x-এর স্থলে 1 বসিয়ে পাই,
2″ = nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
∴ নির্ণেয় মোট উপসেটের সংখ্যা = 2. 1
সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
| সেট তত্ত্ব Set Theory | প্রশ্নমালা- 1 |
|---|---|
| সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট | CLICK HERE |
| উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট | CLICK HERE |
| ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ | CLICK HERE |
| বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) | CLICK HERE |
| অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) | CLICK HERE |
| সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) | CLICK HERE |
| দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA) | CLICK HERE |
Set Theory
Q. NO. 5, 6
5. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {a, b}, C = {a, b, d}, D = {c, d} এবং E = {d} ; যুক্তিসহ নিম্নলিখিত বক্তব্যসমূহের কোন্গুলি সত্য বলো:
(i) B ⊂ A
(ii) D ⊅ E
(iii) D ⊂ B
(iv) {a} ⊂ A
(i) B ⊂ A
সমাধানঃ
a, b ∈ A এবং a, b ∈ B
আবার c ∈ A কিন্তু c ∉ B
∴ B ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।
(ii) D ⊅ E
সমাধানঃ
d ∈ E এবং d ∈ D
আবার c ∈ D কিন্তু c ∉ E
∴ E ⊂ D
∴ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।
(iii) D ⊂ B
সমাধানঃ
c ∈ D কিন্তু c ∉ B
∴ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।
(iv) {a} ⊂ A
সমাধানঃ
∵ a ∈ A
∴ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।
Set Theory
6. মনে করো, A = {a, b, c. d, e, f, g, h, i}, B = {b, d, f, h}, C = {a, c, e, g, i}, D = { c, d, e} এবং E = {c, e}। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন্ সেট্ X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে?
(i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
(ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
(iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
(iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
(i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
সমাধানঃ
X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট্ হবে যদি x ∈ B হয় কিন্তু x ∉ X হয়।
এখানে b, d, f, h ∈ B কিন্তু b, d, f, h ∉ C এবং b, d, f, h ∉ E
∴ X = C বা X = E হতে পারে। (Ans)
(ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
সমাধানঃ
এখানে B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
আবার B এবং D, C এর সাবসেট নয়।
X = B বা X = D হতে পারে। (Ans)
(iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
সমাধানঃ
এখানে E সেট D এর সাবসেট। কিন্তু E এর সাবসেট নয়।
X = E হতে পারে। (Ans)
(iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
সমাধানঃ
এখানে E সেট C এর সাবসেট।
কিন্তু B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
সুতরাং কোনো সেটই X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে না। (Ans)
Set Theory
Q. NO. 7
7. A = { a, b, c, d, e }, B = { a, c, e, g } এবং C = { b, c, f, g } হলে দেখাও যে,
(i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
(ii) ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)
(i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
সমাধানঃ
A ∪ B = { a, b, c, d, e } ∪ { a, c, e, g }
= { a, b, c, d, e, g }
( A ∪ B) ∩ C = { a, b, c, d, e, g } ∩ { b, c, f, g }
= { b, c, g }
A ∩ C = { a, b, c, d, e } ∩ { b, c, f, g }
= { b, c }
B ∩ C = { a, c, e, g } ∩ { b, c, f, g }
= { c, g }
( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) = { b, c } ∪ { c, g }
= {b, c, g }
∴( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) (Proved)
Set Theory
(ii) ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)
সমাধানঃ
A ∩ B = { a, b, c, d, e } ∩ { a, c, e, g }
= { a, c, e, }
(A ∩ B) ∪ C = { a, c, e, } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
A ∪ C = { a, b, c, d, e } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
B ∪ C = { a, c, e, g } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
∴ ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)
= { a, b, c, d, e } ∩ {a, b, c, e, f, g }
= {a, b, c, e, f, g } (Proved)
Set Theory
Q. NO. 8 (i), (ii)
8. (i) মনে করো, সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 3, 4, 5 } এবং A = { 3, 4, 5 } ও B = { 1, 4, 5 } তার দুটি উপসেট্। যাচাই করে দেখাও যে, ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ।
সমাধানঃ
A ∪ B = { 3, 4, 5 } ∪ { 1, 4, 5 }
= { 1, 3, 4, 5 }
(A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 1, 3, 4, 5 }
= {2}
A’ = S – A
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 5 }
= {1, 2}
B’ = S – B
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – {1, 4, 5}
= {2, 3}
A’ ∩ B’ = {1, 2} ∩ {2, 3}
= {2}
( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (Proved)
(ii) S = { 1, 2, 3, … , 12 }-কে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেট্ A, B, C-তে বিভক্ত করা হল যাতে A ∪ B ∪ C = S, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ হয়। এরূপে S-কে কত রকমভাবে বিভক্ত করা যাবে?
সমাধানঃ
S সেটে মোট পদ আছে 12টি।
∴ সেটটিকে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেটে ভাগ করলে প্রতিটি সেটে পদের সংখ্যা হবে 4 টি করে।
আবার, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ সুতরাং, A, B, C সেটের প্রতিটির পদ ভিন্ন ভিন্ন হবে। সুতরাং, এরূপে S-কে যতরকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় তা হল
Set Theory
Q. NO. 9 (i), (ii), 10 (i) – (iii)
9. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C ={1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে
(i) A – B
(ii) A – C নির্ণয় করো এবং
তারপর দেখাও যে, A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
সমাধানঃ
A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 3, 4, 5}
= {1}
(ii) A – C = {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {2}
B ∩ C = {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {3, 4, 5}
∴ A – (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} – {3, 4, 5}
= {1, 2}
(A – B) ∪ (A – C) = {1} ∪ {1, 2}
= {1, 2}
∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)
10. সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } এবং A = { 1, 2, 8, 32 } , B = { 4, 8, 32 } তার দুটি উপসেট্ হলে দেখাও যে,
(i) (AC)C = A
(ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
(iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC
(i) (AC)C = A
সমাধানঃ
AC = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
(AC)C = S – AC
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 16 }
= { 1, 2, 8, 32 }
∴ (AC)C = A (প্রমাণিত)
Set Theory
(ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
সমাধানঃ
A ∩ B = { 1, 2, 8, 32 }∩{ 4, 8, 32 }
= { 8, 32 }
∴ ( A ∩ B)C = S – ( A∩B)
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 8, 32 }
= { 1, 2, 4, 16 }
আবার, AC = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
BC = S – B
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 16 }
∴ AC ∪ BC = { 4, 16 } ∪ { 1, 2, 16 }
= {1, 2, 4, 16}
∴ ( A ∩ B)C = AC ∪ BC (Proved)
(iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC
সমাধানঃ
A ∪ B = { 1, 2, 8, 32 } ∪ { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 4, 8, 32 }
(A ∪ B)C = S – ( A ∪ B)
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 4, 8, 32 }
= { 16 }
AC = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
BC = S – B
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 16 }
∴ AC ∩ BC = { 4, 16 } ∩ { 1, 2, 16 }
={ 16 }
∴ ( A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)
Set Theory
Q. NO. 11
11. (i) P = { a, b, c, d, e, f } এবং Q = { a, c, e, f } হলে প্রমাণ করো যে, ( P – Q) ∪ ( P ∩ Q) = P।
সমাধানঃ
(i) P – Q = { a, b, c, d, e, f } – { a, c, e, f }
= { b, d }
P ∩ Q = { a, b, c, d, e, f } ∩ { a, c, e, f }
= { a, c, e, f }
∴ ( P – Q) ∪ ( P ∩ Q)
= { b, d } ∪ { a, c, e, f }
= { a, b, c, d, e, f } = P (Proved)
(ii) যদি P = { θ : sinθ – cosθ = √2 cosθ } এবং Q = { θ : sinθ + cosθ = √2 sinθ } হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P = Q।
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ P যে-কোনো একটি পদ।
∴ sinx – cosx = √2 cosx
বা, sinx = √2 cosx + cosx
বা, sinx = (√2 + 1) cosx
।বা, 1 /(√2 + 1) sinx = cos x
বা, (√2 – 1) /(2 – 1) sinx = cosx
বা, √2 sinx – sinx = cosx
⇒ √2 sinx = cosx + sin x
⇒ x ∈ Q
∵ x একটি যে-কোনো পদ,
∴ P ⊆ Q – – – (i)
আবার ধরা যাক, y ∈ Q যে-কোনো একটি পদ।
∴ siny + cosy = √2 siny
⇒ cosy = √2 siny – siny
⇒ cosy = (√2 – 1) siny
= siny = 1 /(√2 – 1) cosy
⇒ siny = (√2 + 1) /(2 – 1) cosy
⇒ siny = (√2 + 1) cosy
= siny = √2 cosy + cosy
⇒ siny – cosy = √2 cosy
⇒ y ∈ P যেহেতু, y একটি যে-কোনো পদ।
∴ Q ⊆ P – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
P = Q (প্রমাণিত)
Set Theory
Q. NO. 12 – 13
12. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং ( B ∪ C) = { 3, 4, 6} হলে,
(i) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
(ii) ( A – B) ∩ ( A – C) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
(i) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
= A ∩ ( B ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5} ∩ { 3, 4, 6} = {3, 4} (Ans)
(ii) ( A – B) ∩ ( A – C)
= A – ( B ∪ C)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 } = { 1, 2, 5 } (Ans)
13. তিনটি সেট্ P, Q এবং R এমনভাবে গঠন করো, যাতে P ∩ Q ≠ ϕ, Q ∩ R ≠ ϕ, R ∩ P ≠ ϕ কিন্তু P ∩ Q ∩ R = ϕ হয়।
সমাধানঃ
ধরা যাক, P = { p, q },
Q = { q, r },
R = { r, p }
∴ P ∩ Q = { p, q } ∩ { q, r }
= { q } ≠ ϕ
Q ∩ R = { q, r } ∩ { r, p }
= { r } ≠ ϕ
R ∩ P = { r, p } ∩ { p, q }
= { p } ≠ ϕ
∴ P ∩ Q ∩ R = ( P ∩ Q) ∩ R
= { q } ∩ { r, p }
= ϕ (Proved)
Set Theory
Q. NO. 14 – 15
14. মনে করো, A, B এবং C তিনটি সেট্। যদি A ⊂ B এবং B ⊂ C হয়, তবে A ⊂ C হবে কি? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের সত্যতা প্রতিষ্ঠা করো।
সমাধানঃ
ধরা যাক, x ∈ A
এখন, x ∈ A ⇒ x ∈ B [ ∵ A ⊂ B ] – – (i)
আবার, x ∈ B ⇒ x ∈ C [ ∵ B ⊂ C ] – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে,
x ∈ A ⇒ x ∈ C
∴ A ⊂ C
A ⊂ B এবং B ⊂ C হলে, A ⊂ C হবে। (Proved)
15. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {a, b, c, d, e} এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} তার দুটি উপসেট্। ( A ∩ B)’ এবং ( A ∪ B)’ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
A ∩ B = {a, b, d} ∩ {b, d, e}
= {b, d}
∴ ( A ∩ B)’ = S – (A ∩ B)
= {a, b, c, d, e} – {b, d}
= {a, c, e} (Ans)
A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
= {a, b, d, e}
∴ ( A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
= {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
= {c} (Ans)
Set Theory
Q. NO. 16 – 19 (i)
16. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; AC ∩ BC নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
AC ∩ BC = ( A ∪ B)C
= S – ( A ∪ B)
⇒ {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} (Ans)
17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট্ ℕ এবং aℕ = { ax : x ∈ ℕ } হলে, 3ℕ ∩ 7ℕ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
∴ 3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
= 21ℕ (Ans)
18. মনে করো, সব অখণ্ড সংখ্যার সেট্ ℤ এবং A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ } ও B = { x : x = 4n, n ∈ of ℤ } : A ∩ B নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
= 6ℕ
B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
= 4ℕ
∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
= kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
⇒ 12ℕ
= { x: x = 12n, n ∈ ℤ} (Ans)
19 যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) ( B – A) ∩ A = ϕ
সমাধানঃ
(B-A) ∩ A
= (B ∩ AC) ∩ A
= B ∩ ( AC ∩ A)
⇒ B ∩ ϕ
= ϕ
∴ ( B – A) ∩ A = ϕ (Proved)
Set Theory
Q. NO. 19 (ii), (iii)
(ii) AC – BC = B – A
সমাধানঃ
ধরি, ∀x ∈ (AC – BC)
⇒ x ∈ AC এবং x ∉ BC
⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
বা, x ∈ B এবং x ∉ A
⇒ x ∈ (B – A)
∴ AC – BC ⊆ B – A – – – (i)
আবার ধরি,
∀y ∈ (B – A)
⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
বা,y ∈ AC এবং y ∉ BC
⇒ y ∈ (AC – BC)
∴ B – A ⊆ AC – BC – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
AC – BC = B – A
∴ AC – BC = B – A (Proved)
(iii) A-B = A-(A∩B)
সমাধানঃ
যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
A∩B ⊆ B
ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∉A∩B [ ∵ A∩B ⊆ B ]
∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
সুতরাং, x ∈ A-B
⇒ x∈A – (A∩B)
∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)
ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B) যে-কোনো পদ
⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ AC) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ y ∈ ( A ∩ AC) অথবা y ∈ ( A – B)
বা, y ∈ ( A ∩ AC) ∪ ( A – B)
⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
A-B = A-(A∩B) (Proved)
Set Theory
Q. NO. 19 (iv) – (viii), 20 (i)
(iv) A-B = A∩BC
সমাধানঃ
∀x ∈(A-B)
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∈BC
∴ x∈A∩BC
A-B = A∩BC (Proved)
(v) B-AC = A∩B
সমাধানঃ
∀x ∈ (B – AC)
⇒ x∈B এবং x∉AC
⇒ x∈B এবং x∈ A
বা, x∈B∩A
⇒ x∈A∩B
∴ B-AC = A∩B (Proved)
(vi) B⊆(A-B)C
সমাধানঃ
যে-কোনো দুটি সেটে A ও B-এর জন্য
B⊆AC∪B
⇒ B⊆(A∩BC)C. [ডি মর্গানের সূত্র]
⇒ B⊆(A-BC)
∴ B⊆(A-B)C (Proved)
(vii) (A∪B)-(A∩B) = (A-B)∪(B-A)
সমাধানঃ
(A∪B)-(A∩B)
= [ (A∪B)-A]∪[(A∪B)-B]
= [(A∪B)∩AC]∪[(A∪B)∩BC]
⇒ [(A∩AC)∪(B∩AC)]∪[(A∩BC)∪(B∩BC)]…. [বণ্টন সূত্র]
= [ϕ∪(B-A)]∪[(A-B)∪ϕ)
= (B-A)∪(A-B)
⇒ (A-B)∪(B-A)
∴ (A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) (Proved)
(viii) (A-B)∪(A∩B) = A
সমাধানঃ
(A-B)∪(A∩B)
= (A∩BC)∪(A∩B)
= A∩(BC∪B) ….. [বণ্টন সূত্র]
= A∩S [S হল সার্বিক সেট্]
= A
∴ ( A – B) ∪ ( A ∩ B) = A (Proved)
20. মনে করো, A, B এবং C তিনটি প্রদত্ত সেট্; উদাহরণের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, নীচের বিবৃতিগুলি সত্য নয়:
(i) B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে,
সমাধানঃ
ধরি, B = {x}
∵ B ∈ A
∴ A = {B} ={{x}}
∴ x ∉ A
x ∈ A হবে, বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)
Set Theory
Q. NO. 20 (ii)- (iii), 21 – 22
(ii) B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে
সমাধানঃ
ধরি, B = {b} এবং
A = {a, b},
∵ A ∈ C
∴ C = {A}
অর্থাৎ, C = {{a, b}}
স্পষ্টতই, {b} ∉ C
∴ B ∉ C
সুতরাং, B ∉ C বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)
(iii) A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে
সমাধানঃ
ধরি, A = { a } এবং
B = { b, c },
C = { a, c }
স্পষ্টতই, A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু, A ⊂ C
∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)
21. সেট্ প্রক্রিয়া প্রয়োগে 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির গসাগু নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির উৎপাদকগুলির সেট A, B এবং C ;
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
B = {1, 3, 5, 15 } এবং
C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির বৃহত্তম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির গসাগু।
A∩B∩C = {1, 3}
A∩B∩C এর বৃহত্তম উপাদানটি হল 3
Ans: 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গসাগু 3.
22. (i) সেট্ তত্ত্বের প্রয়োগে 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গুননীয়কের সেট A, B এবং C ;
A = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180 ……. }
B = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200……. } এবং
C = {30, 60, 90, 120, 150, 180.. }
সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির ক্ষুদ্রতম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির লসাগু।
A∩B∩C = {150, 300….. }
A∩B∩C এর ক্ষুদ্রতম উপাদানটি হল 150
Ans: 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু 150
Set Theory
Q. NO. 23 & 24
23. ভেন্ চিত্রের প্রয়োগে বা অন্য পদ্ধতিতে নীচের প্রশ্নটির সমাধান করো: একটি শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরেজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
যে সমস্ত ছাত্ররা ইংরেজি পাঠ করে তাদের সেটকে E এবং যে সমস্ত ছাত্ররা হিন্দি পাঠ করে তাদের সেটকে H দ্বারা সূচিত করা হল।
প্রশ্নানুসারে, n(E) = 45 এবং n(H) = 30
ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয়ে পাঠ করে 70 জন ছাত্র।
∴ n(EUH) = 70
∵ n(EUH) = n(E) + n(H) – n(E∩H)
⇒ 70 = 45 + 30 – n(E∩H)
⇒ n(E∩H) = 45 + 30 – 70
∴ n(E∩H) = 5
Ans: 5 জন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে।
24. কলকাতার 1003টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63টি পরিবারের রেডিয়ো বা টিভি ছিল না; 794টি পরিবারের রেডিয়ো এবং 187টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল?
সমাধানঃ
ধরি ,কলকাতার পরিবারের সেট S, রেডিয়ো ছিল এমন পরিবারের সেট R এবং টিভি ছিল এমন পরিবারের সেট T ;
এখানে, n(S) = 1003, n(R) = 794, n(T)= 187
রেডিয়ো বা টিভি ছিল এমন পরিবারসমূহের সেট = RUT
∴ রেডিয়ো বা টিভি ছিল না এমন পরিবারসমূহের সেট্ = (RUT)C
প্রশ্নানুযায়ী,
n(RUT)C = 63
∴ n(S) – n(RUT) = n(RUT)C
⇒ 1003 – n(RUT) = 63
⇒ n(R) + n(T) – n(R∩T) = 940
বা, 794 +187 – n( R∩T) = 940
⇒ 981- 940 = n(R∩T)
⇒ 41 = n(R∩T)
Ans: রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল এমন পরিবারের সংখ্যা 41।
Set Theory
Q. NO. 25
25. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যানুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে?
সমাধানঃ
ধরি , A সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট A এবং B সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট B;
প্রশ্নানুযায়ী,
n(A) = 720
n(B) = 450
n(A ∪ B) = 1000
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
⇒ 1000 = 720 + 450 – n(A∩B)
⇒1000 = 1170 – n(A∩B)
⇒ n(A∩B) = 1170 -1000 = 170
Ans: 170 জন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে।
Set Theory
Q. NO. 26
26. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে। শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না তা গণনা করো। সম্ভাব্য সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করা তাও নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, A এবং B পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যক্তিদের সেট যথাক্রমে A এবং B।
প্রদত্ত শর্তানুসারে,
n(A) = 60 এবং
n(B∩AC) = 25
কোনো না কোনো পত্রিকা পাঠ করে, এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা
n(A∪B) = n(A) + n(B∩AC)
= 60 + 25 = 85
∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা = 100 – 85 = 15(Ans)
আবার, B ⊆ A∪B
⇒ n(B) ≤ n(A∪B)
⇒ n(B) ≤ 85
∴ সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা 85 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)
আবার, n(A∩B) ≥ 0
⇒ n(A)+ n(B) – n(A∪B) ≥ 0
বা, 60 + n(B) – 85 ≥ 0
বা, n(B) ≥ 25
∴ সম্ভাব্য সর্বনিম্ন শতকরা 25 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)
Set Theory
Q. NO. 27
27. (i) দুটি সেট্ A ও B-এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p ও q-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ (i) A সেটের পদসংখ্যা, n(A) = p এবং
B সেটের পদসংখ্যা, n(B) = q
A সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(A)) = 2p এবং
B সেটের উপসেটের সংখ্যা =n(P(B)) = 2q
প্রশ্নানুসারে,
2p – 2q = 56
⇒ 2q (2p – q – 1) = 8×7
⇒2q (2p – q – 1) = 8×7
⇒2q (2p – q – 1) = 23 (23 – 1)
স্পষ্টতই, উপরের শর্ত সিদ্ধ হবে যদি q = 3 এবং p – q = 3 হয়।
∵ p – q = 3
বা, p – 3 = 3
বা p = 6
Ans: p = 6 এবং q = 327.
(ii) দুটি সসীম সেট্ A এবং B-এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, A∪B-এর সবচেয়ে বেশি এবং সবচেয়ে কম কতগুলি উপাদান সংখ্যা পাওয়া যাবে।
সমাধানঃ A সেটের উপাদান সংখ্যা n(A) = m এবং
B সেটের উপাদান সংখ্যা n(B) = n
আমরা জানি,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = m + n – n(A∩B)
A∩B = ϕ হবে যদি A এবং B বিছিন্ন সেট হয়।
সেক্ষেত্রে n(A∩B) = 0
∴ n(A) + n(B) – n(A∩B)
= m + n – 0
= m + n
∴ n(A∪B) ≤ m + n হবে।
Ans: n(A∪B) এর বৃহত্তম মান = m + n
আবার n(A∩B) ≤ [n(A), n(B) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম]
∴ n(A) + n(B) – n(A∩B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
⇒ n(A∪B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
Ans: n(A ∪ B) এর ক্ষুদ্রতম মান = m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
- যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA) S N DEY CHAPTER-3
- যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3
- Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
- Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ
- Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)
- SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)
- সেটতত্ত্ব SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (MCQ)
- ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ What is Venn Diagram Class-XI
- উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট
- সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট
