2. যদি sinθ = -⅗ হয় এবং θ তৃতীয় পাদে থাকে, তবে tanθ ও secθ-র মান নির্ণয় করো।
$$ \Large{sinθ = -\frac{3}{5}\\\therefore cosθ=±\sqrt{1-sin^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{25}}\\\quad=±\frac{4}{5}\\\therefore secθ=±\frac{5}{4}}$$∵ sinθ = -⅗ এবং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।$$\Large{∴ secθ = -\frac{5}{4}\quad(Ans)\\∴tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}\\=\frac{3}{4} \quad(Ans)}$$
3. (i) tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$ \Large{Ans:\\tanθ = \frac{15}{8}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{225}{64}}\\\quad=±\sqrt{\frac{289}{64}}\\\quad=±\frac{17}{8}\\\therefore cosθ=-\frac{8}{17}}$$tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$ \Large{sinθ =\frac{sinθ}{cosθ}.cosθ\\=\frac{sinθ}{cosθ}.\frac{1}{secθ}\\\\=\frac{tanθ}{secθ}\\=\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{17}{8}}\\=-\frac{15}{17}\\\therefore\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}\\=\frac{-sinθ-cosθ}{-tanθ+secθ}\\=\frac{-\frac{-15}{17}-\frac{-8}{17}}{-\frac{15}{8}+\frac{-17}{8}}\\=\frac{\frac{15}{17}+\frac{8}{17}}{-\frac{15}{8}-\frac{17}{8}}\\=\frac{\frac{15+8}{17}}{\frac{-15-17}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{\frac{-32}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{-4}\\=-\frac{23}{68}}$$
(ii) θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত হলে এবং secθ = 5/3 হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$\Large{Ans.\\∵secθ = \frac{5}{3}\\\therefore tanθ=±\sqrt{sec^{2}θ-1}\\\quad=±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{25}{9}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{9}}\\\quad=±\frac{4}{3}}$$θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত।$$\Large{\\\therefore tanθ=-\frac{4}{3}\\cotθ=-\frac{3}{4}\\cosθ = \frac{3}{5}\\cosecθ=\frac{1}{sinθ}\\=\frac{cosθ}{sinθ}.\frac{1}{cosθ}\\=cotθ.\frac{1}{cosθ}\\=\frac{-3}{4}.\frac{1}{\frac{3}{5}}\\=\frac{-5}{4}\\∴\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}\\=\frac{6.\frac{-4}{3}+5.\frac{3}{5}}{5.\frac{-3}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-8+3}{\frac{-15}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-15-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-20}{4}}\\=\frac{-5}{-5}=1}$$
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI CLICK HERE
4. n- সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করোঃ sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+…= 0 আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+sinθ… = sinθ
5. n-এর মান অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে, (i) cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ
সমাধানঃ ধরি, n যুগ্ম সংখ্যা অর্থাৎ n=2p – – -[যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos(2pπ+θ) =cosθ =(-1)2p cosθ =(-1)n cosθ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos{(2p+1)π+θ} =cos(2p+π+θ) =- cosθ =(-1)2p+1 cosθ =(-1)n cosθ ∴cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ (Proved)
$$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1}}$$সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{2pπ}{2}+(-1)^{2p}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1}$$n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{(2p+1)π}{2}+(-1)^{2p+1}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{2}-\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1\\\therefore tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1\quad(Proved)}$$
(iii) sin{nπ+(-1)n. π/6}=½
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{2pπ+(-1)2p. π/6} = sin{2pπ+ π/6} = sin{p.2π+ π/6} = sinπ/6 = ½ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{(2p+1)π+(-1)(2p+1). π/6} = sin{2pπ+(π- π/6)} = sin{π- π/6} = sinπ/6 = ½ ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}=½ (Proved)
(iv) tan(nπ+α)=tanα
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ tan(nπ+α) = tan(2pπ+α) = tanα আবার,n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] tan(nπ+α) = tan{(2p+1)π+α} = tan{(2pπ+(π+α)} = tan(π+α) = tanα ∴ tan(nπ+α)=tanα(Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে, (i) sinBcos(C+A)+cosBsin(C+A)=0
সমাধানঃ ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C ∴ A+B+C=π LHS = sinB.cos(C+A)+cosB.sin(C+A) = sinB.cos(π-B)+cosB.sin(π-B) = sinB.(-cosB)+cosB.sinB = – sinB.cosB+cosB.sinB = 0 = RHS (Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে,
$$\Large{(ii) \quad\mathbf{tan\frac{A-B}{2}=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)\\Ans:}}$$ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C $$\Large{∴ A+B+C=π\\⇒A=π-B-C\\LHS=tan\frac{A-B}{2}\\=tan\frac{π-B-C-B}{2}\\=tan\frac{π-C-2B}{2}\\=tan\left[π-\left(\frac{C}{2}+B\right)\right]\\=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)=RHS\quad(Proved)}\\$$
