PROSTUTI

Tag: Class-11 Relations

  • এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation and Function

    S. N. DEY CLASS 11 MATHEMATICS SOLUTIONS
    SEMESTER-I
    CHAPTER 2

    সম্বন্ধ (Relation)

    বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
    Conventional Type

    1. A সেটে m-সংখ্যক বিভিন্ন পদ ও B সেটে n-সংখ্যক বিভিন্ন পদ থাকলে A সেট থেকে B সেটে যত সংখ্যক বিভিন্ন সম্বন্ধের সংজ্ঞা দেওয়া যায়, তা হল –
    Ⓐ 2(m + n)           Ⓑ 2nm
    Ⓒ 2mn              Ⓓ 2mn

    Solution: n(A×B) = n(A)×n(B) = m×n = mn
    ∴ A সেট থেকে B সেটে যত সংখ্যক বিভিন্ন সম্বন্ধের সংজ্ঞা দেওয়া যায়, তা হল = 2mn
    Ans: Ⓓ 2mn

    2. R = {(3, 9), (3, 12), (4, 8), (4, 12), (5, 10), (6, 12)} একটি প্রদত্ত সম্বন্ধ হলে R-এর ক্ষেত্র [Dom. (R)] –
    Ⓐ {3, 4, 5, 6}     Ⓑ {8, 9, 10, 12}
    Ⓒ {3, 5}             Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Semester 1
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1       সেট ও অপেক্ষক

    👉 UNIT-2       বীজগণিত

    • CHAPTER 1 সূচকের নিয়মাবলি
    • CHAPTER 2 লগারিদম্
    • CHAPTER 3 দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
    • CHAPTER 4 জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
    • CHAPTER 5 রৈখিক অসমীকরণ
    • CHAPTER 6 বিন্যাস ও সমবায়
    • UNIT-3 কলনবিদ্যা

    👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

    • CHAPTER 1 বাস্তব সংখ্যা
    • CHAPTER 2 সীমা
    • CHAPTER 3 অন্তরকলন বা অবকলন
    • CHAPTER 4 অন্তরকলজের তাৎপর্য

    Solution: R-এর ক্ষেত্র
    = {x: (x, y) ∈ R}
    = {3, 4, 5, 6}
    Ans: Ⓐ {3, 4, 5, 6}

    3. R = {(3, 9), (3, 12), (4, 8), (4, 12), (5, 10), (6, 12)} একটি প্রদত্ত সম্বন্ধ হলে R-এর পাল্লা  [Range (R)] =
    Ⓐ {3, 4, 5, 6}      Ⓑ {8, 9, 10, 12}
    Ⓒ {3, 10, 12}      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: R-এর পাল্লা
    = {y: (x, y) ∈ R}
    = {9, 12, 8, 10} = {8, 9, 10, 12}
    Ans: Ⓑ {8, 9, 10, 12}

    4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} সেটের ওপর R একটি সম্বন্ধ যেখানে xRy ⇔ y = 3x। তবে R =
    Ⓐ{(3, 1), (6, 2), (8, 2), (9, 3)}
    Ⓑ{(3, 1), (6, 2), (9, 3)}
    Ⓒ{(3, 1), (2, 6), (3, 9)}
    Ⓓএদের কোনোটিই নয়

    Solution: R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9)}
    Ans: Ⓓএদের কোনোটিই নয়


    5. A সেট থেকে B সেটের ওপর R একটি সম্বন্ধ হলে –
    Ⓐ R = A ∪ B     Ⓑ R = A ∩ B
    Ⓒ R ⊆ A×B      Ⓓ R ⊆ B×A

    Solution: A সেট থেকে B সেটের ওপর যেকোনো সম্বন্ধ A×B–এর একটি উপসেট হয়।
    Ans: Ⓒ R ⊆ A×B

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

    6. নীচের কোনটি A = {a, b, c} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা?
    Ⓐ 29           Ⓑ 26
    Ⓒ 28          Ⓓ 23

    Solution: n(A×A) = n(A)×n(A) = 3×3 = 9
    ∴ A সেট থেকে B সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 29
    Ans: Ⓐ 29

    7. নীচের কোনটি A = {1, 2, 3} সেট থেকে B = {4, 5} সেটে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা?
    Ⓐ 23            Ⓑ 24
    Ⓒ 25       Ⓓ 26

    Solution: n(A×B) = n(A)×n(B) = 3×2 = 6
    ∴ A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 26
    Ans: Ⓓ 26

    8. A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-এর ক্ষেত্রে নীচের কোন্ বিকল্পটি সঠিক?
    Ⓐ Dom(R) = {(x, y): x ∈ R}   Ⓑ Range(R) = {(x,y): y ∈ R}
    Ⓒ Dom(R) = {x: (x, y) ∈ R}   Ⓓ Range(R) = {y: (y, x) ∈ R}

    Solution: A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত যেকেনো একটি সম্বন্ধ R-এর ক্ষেত্রে,
     Dom(R) = {x: (x, y) ∈ R} এবং Range(R) = {y: (x, y) ∈ R} হয়।
    Ans: Ⓒ Dom(R) = {x: (x, y) ∈ R}

    9. নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি A = {1, 2} সেট থেকে B = {3} সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধকে নির্দেশ করে?
    Ⓐ {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}    Ⓑ {(1, 3), (1, 2), (3, 3)}
    Ⓒ {(1, 2)}                         Ⓓ {(2, 3)}

    Solution: A×B = {(1, 3), (2, 3)}
    {(2, 3)} ⊆ A×B
    ∴ {(2, 3)} A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধকে নির্দেশ করে।
    Ans: Ⓓ {(2, 3)}

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

    10. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4, 5} সেট থেকে B = {1, 3, 4} সেটে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয়: (x, y) ∈ R ⇒ x > y; তবে R-1 =
    Ⓐ {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 3), (5, 1), (5, 3), (5, 4)}
    Ⓑ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 5), (4, 5)}
    Ⓒ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 5), (3, 5), (4, 5)}
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: A = {1, 2, 3, 4, 5},   B = {1, 3, 4}
    R সম্বন্ধটি হল(x, y) ∈ R ⇒ x > y;
    ∴ R = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 3), (5, 1), (5, 3), (5, 4)}
    ∴ R-1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 5), (3, 5), (4, 5)}
    Ans: Ⓒ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 5), (3, 5), (4, 5)}

    আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

    11. মনে করো, A = {2, 3, 4, 5} এবং B = {8, 9, 10, 11} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒ y সর্বদা x দিয়ে বিভাজ্য তবে নীচের কোনোটি সত্য নয়?
    Ⓐ 4 ∈ Dom(R)    Ⓑ 10 ∈ Range (R)
    Ⓒ (10, 2) ∈ R      Ⓓ (5, 10) ∈ R

    Solution: R সম্বন্ধটি হল xRy⇒ y সর্বদা x দিয়ে বিভাজ্য।
    ∴ R = {(2, 8), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 10)}
    Dom(R) = {x: (x, y) ∈ R} এবং Range(R) = {y: (x, y) ∈ R} হয়।
    যেহেতু 2, 10 দ্বারা বিভাজ্য নয়, সুতরাং (10, 2) ∉ R
    Ans: Ⓒ (10, 2) ∈ R

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

    12. A = {2, 3, 4, 5, 6} সেটের ওপর নিম্নরূপে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ: aRb ⇒ |a – b|-এর মান 3 দিয়ে বিভাজ্য। তবে
    Ⓐ Dom(R) = {2, 3, 4, 5, 6}   Ⓑ Dom(R) = {3, 4, 6}
    Ⓒ Range (R) = {2, 3, 4}       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: a = 2, b = 5 হলে
    |a – b| = |2 – 5| = 3 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    a = 5, b = 2 হলে
    |a – b| = |5 – 2| = 3 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    a = 3, b = 6 হলে
    |a – b| = |3 – 6| = 3 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    a = 6, b = 3 হলে
    |a – b| = |6 – 3| = 3 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    a = 2, b = 2 হলে
    |a – b| = |2 – 2| = 0 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    অনুরূপে (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) হলে |a – b| = 0 হয় যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
    R = {(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3)}
    ∴ Dom(R) = {2, 3, 4, 5, 6
    Ans: Ⓐ Dom(R) = {2, 3, 4, 5, 6}

    13. R সম্বন্ধটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N-এর ওপর নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(x, y); x + 5y = 20, x, y ∈ ℕ} R-এর প্রসার
    Ⓐ {5, 10, 15}      Ⓑ {1, 2, 3, 4}
    Ⓒ {1, 2, 3}          Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: R = {(x, y); x + 5y = 20, x, y ∈ ℕ} ∵ x + 5y = 20

    x51015
    y321

    ∴ R = {(5, 3), (10, 2), (15, 1)}
    R-এর প্রসার = {1, 2, 3}
    Ans: Ⓒ {1, 2, 3}

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

    14. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} এবং A-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(x, y): x ∈ A, y ∈ A এবং 2x + y = 12} R-1 এর পাল্লা হবে –
    Ⓐ {2, 4, 6, 8}       Ⓑ {2, 3, 4, 6}
    Ⓒ {3, 4, 6, 8}       Ⓓ {2, 3, 4, 5}

    Solution: R = {(x, y); x ∈ A, y ∈ A এবং 2x + y = 12}
    ∵ 2x + y = 12

    x2345
    y8642

    ∴ R = {(2, 8), (3, 6), (4, 4), (5, 2)}
     R-1 = {(8, 2), (6, 3), (4, 4), (2, 5)}
    ∴ R-1 এর পাল্লা = {2, 4, 6, 8}
    Ans: Ⓐ {2, 4, 6, 8}

    15. যদি R = {(x, y): x, y ∈ Z, x2 + y2 ≤ 4}, Z সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ হয়, তাহলে R-এর ক্ষেত্র হবে-
    Ⓐ {0, 1, 2}               Ⓑ {0, – 1, – 2}
    Ⓒ {- 2, – 1, 0, 1, 2}   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: R = {(x, y): x, y ∈ Z, x2 + y2 ≤ 4}
        = {(-2, 0), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (2, 0)}
    ∴ R-এর ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2}
    Ans: Ⓒ {- 2, – 1, 0, 1, 2}

    Column Matching

    1. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

    স্তম্ভ Aস্তম্ভ B
    [i] {(a, 1/a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্য।}[a] সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4}
    [ii] {(x,y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}[b] সম্বন্ধের পাল্লা = {39, 37, 35 ,….,3,1}
    [iii] {(x,y): x ∈ N, y ∈ N এবং x + 2y = 41}[c] সম্বন্ধের পাল্লা = {- 5, – 4, – 3, 0, 3, 4, 5}
    [iv] {(x,y)|x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x2 + y2 = 25[d] সম্বন্ধের পাল্লা = {1, 1/2, 1/3, 1/4}

    Ⓐ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[a], [iv]-[c]
    Ⓑ [i]-[d], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[b]
    Ⓒ [i]-[d], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[c]
    Ⓓ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]

    Solution: [i] {(a, 1/a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্য।}
    = {(1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3), (4, 1/4)}
    সম্বন্ধের পাল্লা = {1, 1/2, 1/3, 1/4} – [d]
    [ii] {(x,y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}
    = {(-4, -1), (-2, -2), (-1, -4), (1, 4), (2, 2), (4, 1)}
    সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4} – [a]
    [iii] {(x,y): x ∈ N, y ∈ N এবং x + 2y = 41}
    = {(1, 39), (2, 37), (3, 35), ……. , (19, 3), (20, 1)}
    সম্বন্ধের পাল্লা = {39, 37, 35 ,….,3,1} – [b]
    [iv] {(x,y)|x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x2 + y2 = 25}
    = {(-5, 0), (-4, -3), (-4, 3), (-3, -4), (-3, 4), (0, 5), (0, -5), (3, -4), (3, 4), (4, -3), (4, 3), (5, 0)}
    সম্বন্ধের পাল্লা = {- 5, – 4, – 3, 0, 3, 4, 5} – [c]
    Ans: Ⓒ [i]-[d], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[c]

    এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

    2. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

    স্তম্ভ Aস্তম্ভ B
    [i] {(x – 5, 2x – 7): x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।}[a] সম্বন্ধের ক্ষেত্র = {9, 6, 3}
    [ii] {(x, x2 – 31): x হল 12 -এর চেয়ে ছোটো একটি মৌলিক সংখ্যা।[b] সম্বন্ধের ক্ষেত্র = {-2, -1, 0, 1, 2}
    [iii] {(x, y): x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|}[c] সম্বন্ধের পাল্লা = {- 5, – 1, 3, 7, 11}  
    [iv] {(x,y): x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}[d] সম্বন্ধের পাল্লা = {- 27, – 22, – 6, 18, 90}

    Ⓐ [i]-[c], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[a]
    Ⓑ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[b]
    Ⓒ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]
    Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[a]

    Solution: [i] {(x – 5, 2x – 7): x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।}
    10-এর কম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হল 1, 3, 5, 7, 9
    সম্বন্ধটি হল = {(-4, -5), (-2, -1), (0, -3), (2, 7), (4, 11)}
    সম্বন্ধের পাল্লা = {- 5, – 1, 3, 7, 11} – [c]
    [ii] {(x, x2 – 31): x হল 12 -এর চেয়ে ছোটো একটি মৌলিক সংখ্যা।
    12 -এর চেয়ে ছোটো মৌলিক সংখ্যা হল 2, 3, 5, 7, 11
    সম্বন্ধটি হল = {(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18), (11, 90)}
    সম্বন্ধের পাল্লা = {- 27, – 22, – 6, 18, 90} – [d]
    [iii] {(x, y): x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|}
    |x| < 3 ⇒ x = -2, -1, 0, 1, 2
    সম্বন্ধটি হল = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)}
    সম্বন্ধের ক্ষেত্র = {-2, -1, 0, 1, 2} – [b]
    [iv] {(x,y): x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}
    সম্বন্ধটি হল = {(3, 3), (6, 2), (9, 1)}
    [a] সম্বন্ধের ক্ষেত্র = {9, 6, 3}
    Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[a]

    Assertion-Reasoning

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
    Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
    Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
    Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
    Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    1. বিবতি-I(A): যদি A = {1, 2, 3}, B = {2, 4} হয়, তবে A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হবে 64।
    বিবৃতি-II(R): A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত সম্বন্ধসমূহের সেট সংখ্যা হল 2n(A).n(B)

    Solution: n(A×B) = n(A)×n(B)
    = 3×2 = 6
    A সেট থেকে B সেটে সংজ্ঞাত সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা
    = 2n(A)×n(B)
    = 26 = 64
    Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

    2. বিবতি-I(A): মনে করো, A = {1, 2, 3 ,……. ,12} এবং R = {[x, y]: x + 2y = 12 যেখানে x ,y ∈ A}; তবে R-এর পাল্লা হবে {1, 2, 3, 4, 5}
    বিবৃতি-II(R): A সেটে সংজ্ঞাত কোনো সম্বন্ধ R-এর পাল্লা হবে {y: (y, x) ∈ R} |

    Solution: R = {[x, y]: x + 2y = 12 যেখানে x ,y ∈ A}
    = {(2, 5), (4, 4), (6, 3), (8, 2), (10, 1)}
    ∴ R-এর পাল্লা
    = {y: (x, y) ∈ R}
    Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

    Case Based

    1. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 4), (4, 2)}উপরোক্ত সম্বন্ধটি বিবেচনা করো।
    [i] নীচের কোন্ বিকল্পটি সঠিক?
    Ⓐ 3R2      Ⓑ 4R/1
    Ⓒ 1R3      Ⓓ 2R4

    Solution: (3, 2) ∉ R
    ∴ 3R2 বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    (4, 1) ∈  R
    ∴ 4R/1 বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    (1, 3) ∉ R
    ∴ 1R3 বিবৃতিটি সঠিক নয় l
    (2, 4) ∈ R
    ∴ 4R3 বিবৃতিটি সঠিক l
    Ans: Ⓓ 2R4

    [ii] নীচের কোন্ বিকল্পটি সঠিক?
    Ⓐ 2R/1       Ⓑ 3R2
    Ⓒ 1R/4       Ⓓ 4R3

    Solution: (2, 1) ∈ R
    ∴ 2R/1 বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    (3, 2) ∉ R
    ∴ 3R2 বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    (1, 4) ∉ R
    ∴ 1R/4 বিবৃতিটি সঠিক l
    (4, 3) ∉ R
    ∴ 4R3 বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    Ans: Ⓒ 1R/4

    2. মনে করো, S = {a, b, c, d, e} এবং S-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত, R = {(b, a), (b, d), (d, b), (d, d), (e, b)}
    [i] R সম্বন্ধের ক্ষেত্র =
    Ⓐ {a, d, b}          Ⓑ {a, b}
    Ⓒ {b, d}              Ⓓ {b, d, e}

    Solution: R সম্বন্ধের ক্ষেত্র
    = {x: (x, y) ∈ R}
    = {b, d, e}
    Ans: Ⓓ {b, d, e}

    [ii] R সম্বন্ধের পাল্লা =
    Ⓐ {a, d, b}      Ⓑ {b, d, e}
    Ⓒ {a, b}          Ⓓ {d, b}

    Solution: R সম্বন্ধের পাল্লা
    = {y: (x, y) ∈ R}
    = {a, d, b}
    Ans: Ⓐ {a, d, b}

    [ii] R-1 =
    Ⓐ {(a, b), (d, b), (d, d), (b, e)}
    Ⓑ {(b, a), (b, d), (e, e), (d, d)}
    Ⓒ {(a, b), (d, b), (b, d), (d, d), (b, e)}
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: R-1 = {(y, x): (x, y) ∈ R}
          = {(a, b), (d, b), (b, d), (d, d), (b, e)}
    Ans: Ⓒ {(a, b), (d, b), (b, d), (d, d), (b, e)}

    S N DEY SEMESTER-I

    3. A = {2, 3, 4, 6} সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত। (x, y) ∈ R ⇒ x এবং y পরস্পর মৌলিক,[i] R সম্বন্ধের ক্ষেত্র =
    Ⓐ {3, 4}        Ⓑ {2, 3}
    Ⓒ {2, 3, 4}    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: R = {(2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)
    R সম্বন্ধের ক্ষেত্র
    = {x: (x, y) ∈ R} = {2, 3, 4}
    Ans: Ⓒ {2, 3, 4}

    [ii] R সম্বন্ধের পাল্লা =
    Ⓐ {2, 4}         Ⓑ {2, 3}
    Ⓒ {2, 3, 4}     Ⓓ এদের কোনোটিই

    Solution: R = {(2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)}
    R সম্বন্ধের পাল্লা
    = {y: (x, y) ∈ R} = {2, 3, 4}
    Ans: Ⓒ {2, 3, 4}

    4. স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:R = {(x, y): x ∈ N, y∈ N এবং 2x + y = 10}
    [i] R-1     সম্বন্ধের ক্ষেত্র =
    Ⓐ {1, 2, 3, 4}     Ⓑ {6, 8}
    Ⓒ {4, 6, 8}         Ⓓ {2, 4, 6, 8}

    Solution: R = {(x, y): x ∈ N, y∈ N এবং 2x + y = 10}
     = {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)}
    ∴ R-1 = {(8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)}
    ∴ R-1 সম্বন্ধের ক্ষেত্র
    = {x: (x, y) ∈ R-1}
    = {1, 2, 3, 4}
    Ans: Ⓐ {1, 2, 3, 4}

    [ii] R-1 সম্বন্ধের পাল্লা =
    Ⓐ {1, 2, 4, 6}      Ⓑ {1, 2, 3, 4}
    Ⓒ {2, 4, 6, 8}      Ⓓ {3, 4, 6, 8}

    Solution: R = {(x, y): x ∈ N, y∈ N এবং 2x + y = 10}
    = {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)}
    ∴ R-1 = {(8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)}
    ∴ R-1 সম্বন্ধের পাল্লা
    = {y: (x, y) ∈ R}
    = {2, 4, 6, 8}
    Ans: Ⓒ {2, 4, 6, 8}

    Function or Mapping
  • RS AGGARWAL CLASS 11 MATHS SOLUTION RELATIONS-2

    RS AGGARWAL CLASS 11 MATHS SOLUTION RELATIONS-2

    RS AGGARWAL CLASS 11 MATHS SOLUTION RELATIONS

    RELATIONS Exercise 2D, 2E, 2C

    Exercise 2D

    Q. 1. What do you mean by a binary relation on a set A?
    Define the domain and range of relation on A.

    Answer:  A binary relation on a set A is a subset of the Cartesian product A x A.
    It’s a rule or way of associating elements of a set with other elements within the same set. 
    ▶️ The domain of a relation on A is the set of all first elements in the ordered pairs of the relation,
    ▶️ The range of a relation on A is the set of all second elements in those ordered pairs. 

    Q. 2. Let A = {2, 3, 5} and R = {(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}. 
    Show that R is a binary relation on A.
    Find its domain and range.

    Solution: Given: A = {2, 3, 5}
    ∴ A×A = {(2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}
    ∵ R = {(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.
    Since, R is a subset of A × A, it’s a binary relation on A.
    The domain of R is the set of first co-ordinates of R
    ∴ Dom(R) = {2, 3}
    The range of R is the set of second co-ordinates of R.
    ∴ Range(R) = {3, 5}

    Q. 3. Let A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} and let R = {(a, b) : a, b ∈ A and 2a + 3b = 12}.
    Express R as a set of ordered pairs.
    Show that R is a binary relation on A.
    Find its domain and range.

    Solution: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
    2a + 3b = 12
    ⇒ 3b = 12 – 2a
    ⇒ b = 12 – 2a/3
    If a = 0 then b = 4
    a = 3 then b = 2
    and a = 6 then b = 0
    ∴  R = {(0, 4), (3, 2), (6, 0)}
    Since, R is a subset of A × A, it is a binary relation to A.
    ∴  Dom(R) = {0, 3, 6}
    ∴  Range(R) = {4, 2, 0}

    Q. 4. If R is a binary relation on a set A define R–1 on A.
    Let R = {(a, b) : a, b ∈ W and 3a + 2b = 15} and 3a + 2b = 15}, where W is the set of whole numbers.
    Express R and R–1 as sets of ordered pairs.
    Show that (i) dom (R) = range (R–1)
    (ii) range (R) = dom (R–1)

    Solution: R = {(a, b) : a, b ∈ W and 3a + 2b = 15} and 3a + 2b = 15}
    3a + 2b = 15
    ⇒ 2b = 12 – 3a
    ⇒ b = 12 – 3a/2
    If a = 1 then b = 6
    a = 3 then b = 3
    and a = 5 then b = 0
    ∴  R = {(1, 6), (3, 3), (5, 0)}
    ∴  Dom(R) = {1, 3, 5} and
    Range(R) = {6, 3, 0}
    Now
    R–1 = {(6, 1), (3, 3), (0, 5)}
    ∴  Dom(R–1) = {6, 3, 0} and
    Range(R–1) = {1, 3, 5}
    Thus,
    Dom (R) = {1, 3, 5} = Range (R–1) (Proved)
    Range (R) = {6, 3, 0} = Dom (R–1)  (Proved)

    Q. 5. What is an equivalence relation?
    Show that the relation of ‘similarity’ on the set S of all triangles in a plane is an equivalence relation.

    Solution: An equivalence relation is one which possesses the properties of reflexivity, symmetry and transitivity.
    Let S be a set of all triangles in a plane.
    Reflexivity: A relation R on A is said to be reflexive if (a, a) ∈ R for all a ∈ A.
       Since every triangle is similar to itself, it is reflexive.

    Symmetry: A relation R on A is said to be symmetrical if (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R for all (a, b) ∈ A.
       If one triangle is similar to another triangle, it implies that the other triangle is also similar to the first triangle.
    Hence, it is symmetric.

    Transitivity: A relation R on A is said to be transitive if (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R for all (a, b, c) ∈ A.
       If one triangle(Δ1) is similar to a triangle(Δ2) and another triangle(Δ3) is also similar to that triangle(Δ2), then all the three triangles are similar.
    So the first triangle(Δ1) is also similar to the last triangle(Δ3).
    Hence, it is transitive.

    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    Q. 6. Let R = {(a, b) : a, b ∈ Z and (a – b) is even}.
    Then, show that R is an equivalence relation on Z.

    Solution: R = {(a, b) : a, b ∈ Z and (a – b) is even}
    Reflexivity: Let a ∈ Z,
    ∴ a – a = 0 ∈ Z which is also even.
    Thus, (a, a) ∈ R for all value of a ∈ Z.
    Hence, it is reflexive
    Symmetry: Let (a, b) ∈ R,
    (a, b) ∈ R
    ∴ a – b is even
    ∴ -(b – a) is even
    ⇒ (b – a) is even
    ∴ (b, a) ∈ R
    Thus, (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
    So it is symmetric.

    Transitivity: Let (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R
    (a – b) is even and (b – c) is even.
    ∴ [(a – b) + (b – c)] is even
    = (a – c) is even.
    Thus (a, c) ∈ R.
    So it is transitive.
    Since, the given relation possesses the properties of reflexivity, symmetry and transitivity,
    So it is an equivalence relation.

    Q. 7. Let A = {1, 2, 3} and R = {(a, b) : a, b ∈ A and |a2 – b2| ≤ 5.
    Write R as a set of ordered pairs.
    Mention whether R is (i) reflexive (ii) symmetric (iii) transitive.
    Give reason in each case.

    Solution: Given: A = {1, 2, 3} and R = {(a, b) : a, b ∈ A and |a2 – b2| ≤ 5.
    If a = 1, b = 1 then |12 – 12| = 0 < 5
    ∴ (1, 1) ∈ R
    If a = 1, b = 2 then |12 – 22| = 3 < 5
    ∴ (1, 2) ∈ R
    If a = 1, b = 3 then |12 – 32| = 8 > 5
    ∴ (1, 3) ∉ R

    If a = 2, b = 1 then |22 – 12| = 3 < 5
    ∴ (2, 1) ∈ R
    If a = 2, b = 2 then |22 – 22| = 0 < 5
    ∴ (2, 2) ∈ R
    If a = 2, b = 3 then |22 – 32| = 5 = 5
    ∴ (2, 3) ∈ R
    If a = 3, b = 1 then |32 – 12| = 8 > 5
    ∴ (3, 1) ∉ R
    If a = 3, b = 2 then |32 – 22| = 5 = 5
    ∴ (3, 2) ∈ R
    If a = 3, b = 3 then |32 – 32| = 0 < 5
    ∴ (3, 3) ∈ R
    ∴ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

    RS AGGARWAL CLASS 11 MATHS SOLUTION RELATIONS-2

    (i) R is reflexive if (a, a) ∈ R for all value of a ∈ Z.
    |a2 – a2| = 0 ≤ 5.
    Thus, it is reflexive.
    (ii) R is symmetric if (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R for all value of a, b ∈ Z.
    Let (a, b) ∈ R
    (a, b) ∈ R
    ⇒ |a2 – b2| ≤ 5
    ∴ |b2 – a2| ≤ 5
    ∴ (b, a) ∈ R
    Hence, it is symmetric

    (iii) R is transitive if (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R for all value of a, b, c ∈ Z.
    Putting a = 1 , b = 2 , c = 3.
    |12 – 22| = 3 ≤ 5 and
    |22 – 32| = 5 ≤ 5
    but |12 – 32| = 8 > 5
    Thus, it is not transitive.

    Q. 8. Let R = {(a, b) : a, b ∈ Z and b = 2a – 4}.
    If (a, –2} ∈ R and (4, b2) ∈ R. Then, write the values of a and b.

    Solution: b = 2a – 4……(ii)
    Putting  b = -2 in equation (i) ,
    -2 = 2a – 4
    ⇒ 2a = 3
    ⇒ a = 1
    Putting  a = 4 in equation (i)
    b = 2×4 – 4
    ⇒ b = 8 – 4 = 4
    Ans: Value of a = 1 , b = 4

    Q. 9. Let R be a relation on Z, defined by (x, y) ∈ R ⇔ x2 + y2 = 9.
    Then, write R as a set of ordered pairs.
    What is its domain?

    Solution: x2 + y2 = 9
    (x, y) ∈ R
    If x = 0 , y = ±3 , 02 + (±3)2 = 9
    If x = ±3 , y = 0 , (±3)2 + 02 = 9
    ∴ R = {(0, 3) , (0, -3) , (3, 0) , (-3, 0)}
    ∴ Dom(R) = {-3 , 0 , 3}

    Q. 10. Let A be the set of first five natural numbers and let R be a relation on A,
    defined by (x, y) ∈ R ⇔ x ≤ y.
    Express R and R–1 as sets of ordered pairs.
    Find: dom (R–1) and range (R).

    Solution:  A = {1, 2, 3, 4, 5}
    Since, x ≤ y
    ∴ R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}

    R–1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 5)}
    ∴ Dom(R–1) = {1, 2, 3, 4, 5}
    ∴ Range(R) = {1, 2, 3, 4, 5}

    Q. 11. Let R = (x, y) : x, y ∈ Z and x2 + y2 = 25}.
    Express R and R–1 as sets of ordered pairs.
    Show that R = R–1.

    Solution: x2 + y2 = 25
    (x, y) ∈ R
    If x = 0 , y = ±5 , 02 + (±5)2 = 25
    If x = ±3 , y = ±4 , (±3)2 + (±5)2 = 25
    x = ±4 , y = ±3 , (±4)2 + (±3)2 = 25
    If x = ±5 , y = 0 , (±5)2 + (0)2 = 25
    ∴ R = {(-5, 0), (-4, -3), (-4, 3), (-3, -4), (-3, 4), (0, -5), (0, 5), (3, -4), (3, 4), (4, -3), (4, 3), (5, 0)}
    ∴ R–1 = {(0, -5), (-3, -4), (3, -4), (-4, -3), (4, -3), (-5, 0), (5, 0), (-4, 3), (4, 3), (-3, 4), (3, 4), (0, 5)}
    Since, all ordered pair of R is in R–1.
    Hence, R = R–1 (Proved)

    RS AGGARWAL CLASS 11 MATHS SOLUTION RELATIONS-2
    Exercise 2D

    Q. 12. (i) Find R–1, when
    R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2), (4, 5)}

    Solution: R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2), (4, 5)}
    ∴ R–1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (5, 4)}

    Q. 12. (ii) Find R–1, when
    R = {(x, y) : x, y ∈ N, x + 2y = 8}.

    Solution: R = {(x, y) : x, y ∈ N, x + 2y = 8}.
    Put x = 2, y = 3
    ∴ x + 2y = 2 + 2.3 = 8
    Put x = 4, y = 2
    ∴ x + 2y = 2 + 2×3 = 8
    Put x = 6, y = 1
    ∴ x + 2y = 6 + 2×1 = 8
    ∴ R = {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}
    R–1 = {(3, 2), (2, 4), (1, 6)}

    Q. 13. Let A = {a, b}. List all relation on A and find their number.

    Solution:  Any relation on A is a subset of A×A
    ∴ A×A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
    Number of relation on A is the number of subsets of A×A
    ∴ All relation on A are:
    {}, {(a, a)}, {(a, b)}, {(b, a)}, {(b, b)}, {(a, a), (a, b)}, {(a, a), (b, a)}, {(a, a), (b, b)}, {(a, b), (b, a)}, {(a, b), (b, b)}, {(b, a), (b, b)}, {(a, a), (a, b), (b, a)}, {(a, a), (b, a), (b, b)}, {(a, b), (b, a), (b, b)}, {(a, a), (a, b), (b, b)}, {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
    Thus, there are 16 total relations.

    Q. 14. Let R = {(a, b) : a, b, ε N and a < b}.
    Show that R is a binary relation on N, which is neither reflexive nor symmetric.
    Show that R is transitive.

    Solution: N is the set of all the natural numbers.
    ∴ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…..}
    R = {(a, b) : a, b, ∈ N and a < b}
    R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4) …. (2, 3), (2, 4), (2, 5) ……}
    For reflexivity,
    A relation R on N is said to be reflexive if (a, a) ∈ R for all value of a ∈ N.
    Here R = {(a, b) : a, b, ∈ N and a < b}
    Hence a < b,
    So the two co-ordinates of the ordered pair are never equal.
    Thus, the relation is not reflexive.

    For symmetry,
    A relation R on N is said to be symmetrical if (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R for all value of a, b ∈ N
    Here R = {(a, b) : a, b ∈ N and a < b}
    (a, b) ∈ R
    ⇒ a < b
    ⇒ b > a
    ∴ (b, a) ∉ R 
     Thus, it is not symmetric.
    For transitivity,
    A relation R on A is said to be transitive if (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R for all value of (a, b, c) ∈ N.
    Let’s take three values a, b and c such that a < b < c.
    So, (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R
    ⇒ (a,c) ∈ R.
    Thus, it is transitive.

    Exercise 2E

    Q. 1. (i) Let A and B be two sets such that n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2. n(A ∪ B)

    Solution: Given: n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2
    We know,
      n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
    ∴ n(A ∪ B) = 5 + 3 – 2 = 6

    Q. 1. (ii) Let A and B be two sets such that n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2.  n(A × B)

    Solution: Given: n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2
    We know, 
    n(A × B) = n(A) × n(B)
    ∴ n(A × B) = 5 × 3 = 15

    Q. 1. (iii) Let A and B be two sets such that n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2. n(A × B) ∩ (B × A)

    Solution: Given: n(A) = 5, n(B) = 3 and n(A ∩ B) = 2
    ∴ n(A × B) ∩ (B × A)
    = 2n(A ∩ B)
    = 22 = 4

    Q. 2 Find a and b when (a – 2b, 13) = (7, 2a – 3b)

    Solution: Since the ordered pairs are equal,
    Comparing corresponding elements,
    ∴ a – 2b = 7 …… (ii)  and
    2a – 3b = 13 …… (ii)
    (i)×2 – (ii),
    2a – 4b – 2a + 3b = 14 – 13
    ⇒ -b = 1
    ⇒ b = -1
    Putting b = -1 in equation (i), 
    a – 2(-1) = 7
    ⇒ a = 7 – 2
    ⇒ a = 5
    Hence a = 5; b = -1

    Q. 3. If A = {1, 2}, find A × A × A

    Solution: Given: A = {1, 2}
    ∴ A × A
    = {1, 2} × {1, 2}
    = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

    ∴ A × A × A
    = {1, 2} × {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
    = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}

    Q. 4. If A = {2, 3, 4} and B = {4, 5}, draw an arrow diagram represent (A × B}.

    Solution: Given: A = {2, 3, 4} and B = {4, 5},
    Arrow Diagram:

    ARROW DIAGRAM:

    B        A> > > > > > 3 2            4 4            5

    Q. 5. If A = {3, 4}, B = {4, 5} and C = {5, 6}, find A × (B × C).

    Solution: Given: A = {3, 4}, B = {4, 5} and C = {5, 6}
    B × C
    = {4, 5} × {5, 6}
    = {(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6)}

    ∴ A × (B × C)
    = {3, 4} × {(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6)}
    = {(3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 5), (3, 5, 6), (4, 4, 5), (4, 4, 6), (4, 5, 5), (4, 5, 6)}

    Q. 6. If A ⊆ B, prove that A × C = B × C

    Solution: Given: A ⊆ B
    Let any arbitrary element (a, c) ∈ A × C
    (a, c) ∈ A × C
    ⇒ a ∈ A and c ∈ C
    ⇒ a ∈ B and c ∈ C …… [∵ A ⊆ B]
    ∴ (a, c) ∈ B × C
    ∴ A × C = B × C [Proved]

    Q. 7. Prove that A × B = B × A ⇒ A = B.

    Solution: Let A and B be any two sets such thatA × B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}
    Now, B × A = {(b, a): b ∈ A, a ∈ B}
    Since A × B = B × A
    ∴ (a, b) = (b, a)
    This is possible only when the ordered pairs are equal.
    Therefore,a = b and b = a
    Hence  A = B. (Proved)

    Q. 8. If A = {5} and B = {5, 6}, write down all possible subsets of A × B.

    Solution: Given: A = {5}, B = {5, 6}
    ∴ A × B
    = {(5, 5), (5, 6)}
    ∴ All  possible subsets of A × B are:
    {}, {(5, 5)}, {(5, 6)}, {(5, 6), (5, 6)}

    Q. 9. Let R = {(x, x2): x is a prime number less than 10}.
    (i) Write R in roster form.
    (ii) Find dom (R) and range (R).

    Solution: (i) {(x, x2): x is a prime number less than 10}.
    Prime number less than 10 are 2, 3, 5 and 7
    ∴ Roster form:
    R = {(2, 4), (3, 9), (5, 25), (7, 49)}
    (ii) Domain of R is the set of first coordinates of R
    ∴ Dom(R)
    = {2, 3, 5, 7}
    Range of R is the set of second coordinates of R
    Range(R) = {4, 9, 25, 49}

    Q. 10. Let A = (1, 2, 3} and B = {4}
    How many relations can be defined from A to B.

    Solution: Given: A = (1, 2, 3} and B = {4}
    ∴ n(A) = 3 and n(B) = 1
    ∴ n(A×B)
    = n(A) × n(B)
    = 3 × 1= 3
    The number of relations from set A to set B
    = 2n(A×B)
    = 23 = 8
    Total number of relations = 8

    Q. 11. Let A = {3, 4, 5, 6} and R = {(a, b) : a, b ∈ A and a < b}
    (i) Write R in roster form.
    (ii) Find: dom (R) and range (R)
    (iii) Write R–1 in roster form.

    Solution: (i) Given: A = {3, 4, 5, 6} and R = {(a, b) : a, b ∈ A and a > b}
    ∴ Roster form: R = {(4, 3), (5, 3), (5, 4), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
    (ii) Domain of R is the set of first coordinates of R
    Dom(R) = {4, 5, 6}
    Range of R is the set of second coordinates of R
    Range(R) = {3, 4, 5}
    (iii) R–1 = = {(3, 4), (3, 5), (4, 5), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}

    Q. 12. Let R = {(a, b) : a, b ∈ N and a < b}.
    Show that R is a binary relation on N which is neither reflexive nor symmetric.
    Show that R is transitive.

    Solution:  A binary relation R on sets A and B is a subset of the Cartesian product A×B
    Given: R = {(a, b) : a, b ∈ N and a < b}
    Since a, b ∈ N
    So the ordered pair of (a, b) is an element of the Cartesian product N×N
    ∴ R is a subset of the Cartesian product N×N
    Therefore R is a binary relation on N. (Proved)

    For reflexivity,
    A relation R on N is said to be reflexive if (a, a) ∈ R for all value of a ∈ N.
    Here R = {(a, b) : a, b, ∈ N and a < b}
    Hence a < b, so the two co-ordinates of the ordered pair are never equal.
    Thus, the relation is not reflexive.
    For symmetry,
    A relation R on N is said to be symmetrical if (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
    Here R = {(a, b) : a, b ∈ N and a < b}
    (a, b) ∈ R
    ∴ a < b
    ⇒ b > a
    ∴ (b, a) ∉ R 
    Thus, it is not symmetric.

    For transitivity,
    A relation R on A is said to be transitive if (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R for all value of (a, b, c) ∈ N.
    Let’s take three values a, b and c such that a < b < c.
    So, (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R
    ⇒ (a,c) ∈ R.
    Thus, it is transitive.

    RELATIONS 2A, 2B, 2C
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights