সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস

সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস সম্পূর্ণ সমাধান কষে দেখি 6.2

কষে দেখি 6.2 দশম শ্রেণী

সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস সম্পূর্ণ সমাধান কষে দেখি 6.2 || দশম শ্রেণী || Class X || ষষ্ঠ অধ্যায় || Chapter Six || সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস || Uniform Rate of Increase and Decrease || কষে দেখি ৬.২ || Koshe Dekhi 6.2 || সম্পূর্ণ সমাধান || Complete Solution

⛔ কোন দ্রব্যের বর্তমান মূল্য P টাকা এবং বার্ষিক মূল্য বৃদ্ধির হার r% হলে,

✴️ (i) n বছর পর দ্রব্যটির মূল্য হবে ঃ$$\large{\mathbf{P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}}}$$

✴️ (ii) n বছর পূর্বে দ্রব্যটির মূল্য হবে ঃ$$\large{\mathbf {\frac{P}{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}}}$$

⛔ কোন দ্রব্যের বর্তমান মূল্য P টাকা এবং বার্ষিক মূল্য হ্রাসের হার r% হলে

✴️ (i) n বছর পর দ্রব্যটির মূল্য হবে ঃ$$\large{\mathbf{P{\left( {1 – \frac{r}{{100}}} \right)^n}}}$$

✴️ (ii) n বছর পূর্বে দ্রব্যটির মূল্য হবে ঃ$$\large{\mathbf{\frac{P}{\left( {1 – \frac{r}{{100}}} \right)^n}}}$$

1. পহলমপুর গ্রামের বর্তমান লোকসংখ্যা 10000; ওই গ্রামে প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 3% হলে, 2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
পহলমপুর গ্রামের বর্তমান লোকসংখ্যা (P) = 10000 জন
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার (r) = 3%
সময় (n) = 2 বছর

2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা হবে$$\large{=P\left(1 +\frac{r}{100} \right)^n\\=10000\left( 1 +\frac{3}{100} \right)^2\\=10000\left( \frac{103}{100}\right)^2\\=10000×{\frac{103×103}{100×100}}\\=10609}$$2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা হবে 10609 জন।

2. কোনো একটি রাজ্যের প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2%; বর্তমান জনসংখ্যা 80000000 হলে, 3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা কত হবে, তা নির্ণয় করি।

Ans:বর্তমান লোকসংখ্যা (P) = 80000000 জন
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার (r) = 2%
সময় (n) = 3 বছর

3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা হবে $$\large{=P\left( {1 +\frac{r}{100}} \right)^n\\=80000000\left( {1 +\frac{2}{100}} \right)^3\\=80000000\left( {1 +\frac{1}{50}} \right)^3\\=80000000\left( {\frac{51}{50}} \right)^3\\=80000000×{\frac{51×51×51}{50×50×50}}\\=84896640}$$3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা হবে 84896640 জন।

3. পাড়ার একটি লেদ কারখানার একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস প্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 100000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
Ans: মেশিনের বর্তমান মূল্য (P) = 100000 টাকা
মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর

3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে $$\large{=P\left( {1 -\frac{r}{100}} \right)^n\\=100000\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3\\=100000\left( {1 -\frac{1}{10}} \right)^3\\=100000\left( {\frac{9}{10}} \right)^3\\=100000×{\frac{9×9×9}{10×10×10}}\\=72900}$$3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে 72900 টাকা।

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

CLICK

4. সর্বশিক্ষা অভিযানের ফলে বিদ্যালয় ছেড়ে চলে যাওয়া শিক্ষার্থীদের পুনরায় বিদ্যালয়ে ভর্তির ব্যবস্থা করা হয়েছে। এরূপ শিক্ষার্থীদের ভর্তির হার প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছর অপেক্ষা 5% বৃদ্ধি পেয়েছে। কোনো এক জেলায় বর্তমান বছরে যদি 3528 জন এরূপ শিক্ষার্থী নতুন করে ভর্তি হয়ে থাকে, তবে 2 বছর পূর্বে এরূপ কত জন শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল, তা হিসাব করে লিখি।
Ans:
ধরি, 2 বছর পূর্বে শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল (P) x জন।
শিক্ষার্থী বৃদ্ধির হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
বর্তমানে শিক্ষার্থীর সংখ্যা (A) = 3528 জন

$$\large{\therefore P\left( {1 +\frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒x\left( {1 +\frac{5}{100}} \right)^2=3528\\⇒x\left( {1 +\frac{1}{20}} \right)^2=3528\\⇒x\left( { \frac{21}{20}} \right)^2=3528\\⇒x=3528×\frac{20×20}{21×21}\\⇒x=8×20×20\\⇒x=3200}$$2 বছর পূর্বে শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল 3200 জন।

5. পুরুলিয়া জেলায় পথ নিরাপত্তা সংক্রান্ত প্রচার অভিযানের মাধ্যমে পথ দূর্ঘটনা প্রতি বছর তার পূর্ব বছরের তুলনায় 10% হ্রাস পেয়েছে। বর্তমান বছরে এই জেলায় 8748 টি পথ দূর্ঘটনা ঘটে থাকলে, 3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।

Ans:
ধরি 3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা (P) ছিল x টি
দূর্ঘটনা হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমানে দূর্ঘটনার সংখ্যা (A) = 8748 টি

$$\large{\therefore P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒x\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3=8748\\⇒x\left( {1 – \frac{1}{10}} \right)^3=8748\\⇒x\left( { \frac{9}{10}} \right)^3=8748\\⇒x=8748×\frac{10×10×10}{9×9×9}\\⇒x=12×10×10×10\\⇒x=12000}$$Ans: 3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা ছিল 12000 টি।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

6. একটি মৎস্যজীবী সমবায় সমিতি উন্নত প্রথায় মাছ চাষ করার জন্য এরূপ একটি পরিকল্পনা গ্রহণ করেছে যে কোনো বছরের মাছের উৎপাদন পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 10% বৃদ্ধি করবে। বর্তমান বছরে যদি ওই সমবায় সমিতি 400 কুইন্টাল মাছ উৎপাদন করে, তবে 3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
বর্তমান বছরে মাছের উৎপাদন (P) = 400কুইন্টাল
উৎপাদন বৃদ্ধির হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর

3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন হবে $$\large{=P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n\\=400\left( {1 + \frac{10}{100}} \right)^3\\=400\left( {1 +\frac{1}{10}} \right)^3\\=400\left( {\frac{11}{10}} \right)^3\\=400×{\frac{11×11×11}{10×10×10}}\\=532.4}$$3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন হবে 532.4 কুইন্টাল

7. একটি গাছের উচ্চতা প্রতি বছর 20% হারে বৃদ্ধি পায়। গাছটির বর্তমান উচ্চতা 28.8 মিটার হলে, 2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।

Ans:
ধরি 2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা(P) ছিল x মিটার।
উচ্চতা বৃদ্ধির হার (r) = 20%
সময় (n) = 2 বছর
গাছটির বর্তমান উচ্চতা (A) = 28.8 মিটার

$$\large{\therefore P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒x\left( {1 + \frac{20}{100}} \right)^2=28.8\\⇒x\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^2=28.8\\⇒x\left( { \frac{6}{5}} \right)^2=28.8\\⇒x=28.8×\frac{5×5}{6×6}\\⇒x=0.8×25\\⇒x=20}$$2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা ছিল 20 মিটার

8. কোনো একটি পরিবার আজ থেকে 3 বছর পূর্বে বিদ্যুৎ অপচয় বন্ধ করতে ইলেকট্রিক বিলের খরচ পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 5% হ্রাস করার পরিকল্পনা গ্রহণ করে। 3 বছর পূর্বে ওই পরিবারকে বছরে 4000 টাকার ইলেকট্রিক বিল দিতে হয়েছিল। বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
3 বছর আগে ইলেকট্রিক বিল (P) ছিল = 4000 টাকা
বিদ্যুৎ অপচয় হ্রাসের হার (r) = 5%
সময় (n) = 3 বছর

বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ হবে$$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=4000\left( {1 – \frac{5}{100}} \right)^3\\=4000\left( {1 – \frac{1}{20}} \right)^3\\=4000\left( {\frac{19}{20}} \right)^3\\=4000×{\frac{19×19×19}{20×20×20}}\\=3429.50}$$বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ হবে 3429.50 টাকা

9. শোভনবাবুর ওজন 80 কিগ্রা। ওজন কমানোর জন্য তিনি নিয়মিত হাঁটা শুরু করলেন। তিনি ঠিক করলেন যে প্রতি বছরের প্রারম্ভে যা ওজন থাকবে তার 10% হ্রাস করবেন। 3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
শোভনবাবুর বর্তমান ওজন (P) = 80 কিগ্রা
ওজন হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর

3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন হবে 58.32 কিগ্রা$$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=80\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3\\=80x\left( {1 – \frac{1}{10}} \right)^3\\=80\left( {\frac{9}{10}} \right)^3\\=80×{\frac{9×9×9}{10×10×10}}\\=58.32}$$3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন হবে 58.32 কিগ্রা

10. কোনো এক জেলার সমস্ত মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের (M.S.K) বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা 3993 জন। প্রতি বছর বিগত বছরের তুলনায় যদি 10% শিক্ষার্থী বৃদ্ধি পেয়ে থাকে, তবে 3 বছর পূর্বে ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।

Ans:
ধরি, 3 বছর পূর্বে শিক্ষার্থীর সংখ্যা (P) ছিল x জন।
শিক্ষার্থী বৃদ্ধির হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা (A) = 3993 জন

$$\large{\therefore P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒x\left( {1 + \frac{10}{100}} \right)^3=3993\\⇒x\left( {1 + \frac{1}{10}} \right)^3=3993\\⇒x\left( { \frac{11}{10}} \right)^3=3993\\⇒x=33750×\frac{10×10×10}{11×11×11}\\⇒x=3×10×10×10\\⇒x=3000}$$3 বছর পূর্বে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ছিল 3000 জন।

11. কৃষিজমিতে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারের কুফল সম্পর্কে সচেতনতা বৃদ্ধির ফলে রসুলপুর গ্রামে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারকারী কৃষকের সংখ্যা পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 20% হ্রাস পায়। 3 বছর পূর্বে রসুলপুর গ্রামের ওরকম কৃষকের সংখ্যা 3000 জন হলে, বর্তমানে ওই গ্রামে ওরকম কৃষকের সংখ্যা কত হবে, তা নির্ণয় করি।

Ans:
3 বছর পূর্বে কৃষকের সংখ্যা (P) = 3000 জন
কৃষকের সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 20%
সময় (n) = 3 বছর

বর্তমানে ওই গ্রামে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারকারী কৃষকের সংখ্যা$$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=3000\left( {1 – \frac{20}{100}} \right)^3\\=3000x\left( {1 – \frac{1}{5}} \right)^3\\=3000\left( {\frac{4}{5}} \right)^3\\=3000×{\frac{4×4×4}{5×5×5}} \\=24×64\\=1536}$$বর্তমানে ওই গ্রামে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারকারী কৃষকের সংখ্যা 1536 জন।

12. একটি কারখানার একটি মেশিনের মূল্য 180000 টাকা। মেশিনটির মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস প্রাপ্ত হয়। 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
বর্তমানে মেশিনের মূল্য (P) = 180000 টাকা
মেশিনের মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর

3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য হবে $$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=180000\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3\\=180000x\left( {1 – \frac{1}{10}} \right)^3\\=180000\left( {\frac{9}{10}} \right)^3\\=180000×{\frac{9×9×9}{1000}} \\=131220}$$3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য হবে 131220 টাকা

13. বকুলতলা গ্রামের পঞ্চায়েত সমিতি যেসব পরিবারে বিদ্যুৎ সংযোগ নেই তাদের বাড়িতে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর পরিকল্পনা গ্রহণ করে। এই গ্রামে 1200 পরিবারের বিদ্যুৎ সংযোগ নেই। প্রতি বছর যদি পূর্ব বছরের তুলনায় 75% বিদ্যুৎহীন পরিবারে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর ব্যবস্থা করা হয়, তবে 2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
বর্তমানে বিদ্যুৎ সংযোগ নেই (P) = 1200 পরিবারের
বিদ্যুৎহীন পরিবার হ্রাসের হার (r) = 75%
সময় (n) = 2 বছর

2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা হবে $$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=1200\left( {1 – \frac{75}{100}} \right)^2\\=1200x\left( {1 – \frac{3}{4}} \right)^2\\=1200\left( {\frac{1}{4}} \right)^2\\=1200×{\frac{1}{4×4}} \\=75}$$2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা হবে 75

14. বোতল ভর্তি ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারের উপর বিরূপ প্রতিক্রিয়া প্রচারের ফলে প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় ওই ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা 25% হ্রাস পায়। 3 বছর পূর্বে কোনো শহরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা 80000 হলে, বর্তমানে বছরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

Ans:
3 বছর পূর্বে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা (P) = 80000 টি
ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 25%
সময় (n) = 3 বছর

বর্তমানে বছরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা হবে$$\large{=P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n\\=80000\left( {1 – \frac{25}{100}} \right)^3\\=80000x\left( {1 – \frac{1}{4}} \right)^3\\=80000\left( {\frac{3}{4}} \right)^3\\=80000×{\frac{3×3×3}{4×4×4}} \\=1250×27\\=33750}$$3 বছর পূর্বে ওই শহরে x জন ধূমপায়ী ছিল

15. ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ীর সংখ্যা 6¹/₄% হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 33750 জন ধূমপায়ী থাকলে, 3 বছর পূর্বে ওই শহরে কত জন ধূমপায়ী ছিল, তা হিসাব করে লিখি।

Ans: ধরি 3 বছর পূর্বে ওই শহরে x জন ধূমপায়ী ছিল।
ধূমপায়ীর সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 6¹/₄% = ²⁵/₄ %
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমানে ধূমপায়ীর সংখ্যা (A) = 33750 জন

$$\large{\therefore P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒x\left( {1 – \frac{\frac{25}{4}}{100}} \right)^3=33750\\⇒x\left( {1 – \frac{25}{100×4}} \right)^3=33750\\⇒x\left( {1 – \frac{1}{16}} \right)^3=33750\\⇒x\left( {\frac{15}{16}} \right)^3=33750\\⇒x=33750×\frac{16×16×16}{15×15×15}\\⇒x=10×16×16×16\\⇒x=40960}$$3 বছর পূর্বে ওই শহরে 40960 জন ধূমপায়ী ছিল।

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রতি বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার
(a) সমান (b) অসমান (c) সমান অথবা অসমান উভয়ই (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) সমান অথবা অসমান উভয়ই

(ii) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে
(a) প্রতি বছর আসল একই থাকে (b) প্রতি বছর আসল পরিবর্তিত হয়
(c) প্রতি বছর আসল একই থাকতে পারে অথবা পরিবর্তিত হতে পারে (d) কোনোটিই নয়
Ans: (b) প্রতি বছর আসল পরিবর্তিত হয়

(iii) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা p এবং প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে

$$\large{\mathbf{(a)\quad P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n\quad\quad (b)\quad P\left( {1 + \frac{r}{50}} \right)^n\\(c)\quad P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^{2n}\quad\quad(d)\quad P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^n}}$$$$\large{\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad\quad P\left( {1 + \frac{r}{50}} \right)^n\\P\left( {1 + \frac{2r}{100}} \right)^n\\=P\left( {1 + \frac{r}{50}} \right)^n]}$$

(iv) একটি মেশিনের বর্তমান মূল্য 2p টাকা এবং প্রতি বছর মেশিনটির দাম 2r% হ্রাস হলে 2n বছর পরে মেশিনটির দাম হবে

$$\large{\mathbf{(a)\quad P\left( {1 – \frac{r}{100}} \right)^nটাকা\quad\quad (b)\quad 2P\left( {1 – \frac{r}{50}} \right)^nটাকা\\(c)\quad P\left( {1 – \frac{r}{50}} \right)^{2n}টাকা\quad\quad(d)\quad 2P\left( {1 – \frac{r}{50}} \right)^{2n}টাকা}}$$$$\large{\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad\quad 2P\left( {1 – \frac{r}{50}} \right)^{2n}\\\left[2P\left( {1 – \frac{2r}{100}} \right)^{2n}\\=2P\left( {1 – \frac{r}{50}} \right)^{2n}\right]}$$

(v) এক ব্যক্তি একটি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার
(a) 10% (b) 20% (c) 5% (d) 10½
Ans: (a) 10%

$$\large{[\therefore P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒100\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=121\\⇒\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=\frac{121}{100}\\⇒\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=\left( {\frac{11}{10}} \right)^2\\⇒1 + \frac{r}{100}=\frac{11}{10}\\⇒ \frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1\\⇒ \frac{r}{100}=\frac{1}{10}\\⇒r=10]}$$

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা হার সুদে নির্দিষ্ট সময়ের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ সরল সুদের থেকে কম হবে।
Ans: মিথ্যা।
(ii) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট সময় অন্তর সুদ-আসলের সঙ্গে যোগ হয়। সেই কারণে আসলের পরিমাণ ক্রমাগত বাড়তে থাকে।
Ans: সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা হার সুদে 1 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ এবং সরল সুদের পরিমাণ _______।
Ans: সমান।
(ii) সময়ের সঙ্গে কোনো কিছুর নির্দিষ্ট হারে বৃদ্ধি হলে সেটি ______ বৃদ্ধি।
Ans: সমহার।
(iii) সময়ের সঙ্গে কোনো কিছুর নির্দিষ্ট হারে হ্রাস হলে সেটি সমহার _________।
Ans: হ্রাস।

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) 400 টাকার 2 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 441 টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হার কত তা লিখি।

সমাধানঃ
এখানে আসল (P) = 400 টাকা; সময় (t) = 2 সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 441 টাকা

$$\large{\therefore P\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^n=A\\⇒400\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=441\\⇒\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=\frac{441}{400}\\⇒\left( {1 + \frac{r}{100}} \right)^2=\left( {\frac{21}{20}} \right)^2\\⇒1 + \frac{r}{100}=\frac{21}{20}\\⇒ \frac{r}{100}=\frac{21}{20}-1\\⇒ \frac{r}{100}=\frac{1}{20}\\⇒r=5}$$Ans: বার্ষিক শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5 টাকা।

(ii) বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা n বছরে দ্বিগুন হলে, কত বছরে 4 গুন হবে তা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি P টাকা t বছরে 4 গুন হবে।

$$\large{\therefore P\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n=2P\\⇒\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n=2\\\therefore P\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^t=4P\\⇒\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^t=4\\⇒\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^t=2^2\\⇒\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^t=\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^{2n}\\⇒t=2n}$$Ans: 2n বছরে 4 গুন হবে।

(iii) বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ 615 টাকা হলে, আসল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি P টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ হয় 615 টাকা।
এখানে চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%

$$\large{\therefore P\left[\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^2-1\right]=615\\⇒P\left[\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^2-1\right]=615\\⇒P\left[\left( {\frac{21}{{20}}} \right)^2-1\right]=615\\⇒P\left[ \frac{441}{400}-1\right]=615\\⇒P×\frac{41}{400}=615\\⇒P=\frac{615×400}{41}\\⇒P=6000}$$ Ans: নির্ণেয় আসল 6000 টাকা

(iv) প্রতি বছর r% হ্রাসপ্রাপ্ত হলে, n বছর পর একটি মেশিনের মূল্য হয় v টাকা। n বছর পূর্বে মেশিনটির মূল্য কত ছিল তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
মূল্য হ্রাস পায় r%
n বছর পর মেশিনের মূল্য হয় v টাকা।
ধরি n বছর পূর্বে মেশিনের মূল্য ছিল x টাকা।
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{x{\left( {1 – \frac{r}{{100}}} \right)^n}=v\\⇒x=\frac{v}{\left( {1-\frac{r}{{100}}} \right)^n}\\⇒x=v\left( {1-\frac{r}{{100}}} \right)^{-n}}$$Ans: n বছর পূর্বে মেশিনের মূল্যছিল $$=\large{v\left( {1-\frac{r}{{100}}} \right)^{-n}\\}$$

(v) প্রতি বছর জনসংখ্যা r% বৃদ্ধি হলে n বছর পর জনসংখ্যা হয় p; n বছর পূর্বে জনসংখ্যা কত ছিল তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
জনসংখ্যা বৃদ্ধি r%
n বছর পর জনসংখ্যা হয় p জন
ধরি n বছর পূর্বে জনসংখ্যা ছিল x জন।
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{x{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}=p\\⇒x=\frac{P}{\left( {1+\frac{r}{{100}}} \right)^n}\\⇒x=P\left( {1+\frac{r}{{100}}} \right)^{-n}}$$Ans: n বছর পূর্বে জনসংখ্যা ছিল $$=\large{P\left( {1+\frac{r}{{100}}} \right)^{-n}\\}$$

Madhyamik Question

MP-2023

▶️ ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ীর সংখ্যা 6¼ % হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 22500 জন ধূমপায়ী থাকলে, 2 বছর পূর্বে ওই শহরে কতজন ধূমপায়ী ছিল ?

VIEW ANSER

MP-2022

▶️ একটি মেশিনের বর্তমান মূল্য 2p টাকা এবং প্রতি বছর মেশিনটির দাম 2r% হ্রাস হলে 2n বছর পরে মেশিনটির দাম হবে

VIEW ANSER

▶️ কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে?

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হাসপ্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 6000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে?

VIEW ANSER

PREVIOUS

NEXT