সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

SOLUTION OF CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY S N DEY
সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
SEMESTER-3
সন্ততা (CONTINUITY)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি —
Ⓐ lim_x→0 f(x) এর অস্তিত্ব থাকে
Ⓑ f(0)-এর একটি নির্দিষ্ট মান থাকে
Ⓒ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়
Ⓓ lim_x→0+ f(x) = lim_x→0- f(x) হয়

Solution: f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি lim_x→0+ f(x) = lim_x→0- f(x) = f(0) হয়
অর্থাৎ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়
Ans: Ⓒ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়

2. f(x) = |x| অপেক্ষকটি —
Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ⓑ x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓒ শুধুমাত্র x = 0 বিন্দুতে সন্তত
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = |x|
                              = {-x     যখন x<0
                                  {0        যখন x =0
                                  {x         যখন x >0
∴ lim_x→0- f(x) = lim_x→0- -x = 0
    lim_x→0+f(x) = lim_x→0+ x = 0
∴ lim_x→0- f(x) = lim_x→0+ f(x) = f(0)
অতএব x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য অপেক্ষকটি সন্তত।
Ans: Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত

3. f(x) = [x] বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
Ⓒ x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যার জন্য সন্তত
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = [x] অপেক্ষকটি বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক।
যেকোনো বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যা বাদে বাকি সব বাস্তব মানের জন্য সর্বদা সন্তত হয়।
∴ অপেক্ষকটি x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
Ans: Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত

4. f(x) = x^k অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-
Ⓐ k ≠ 0 Ⓑ k < 0
Ⓒ k ≤ 0 Ⓓ k ≥ 0

Solution: f(x) = x^k
Ⓐ k ≠ 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓑ k < 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓒ k ≤ 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓓ k ≥ 0 হলে ধরি k = 0, 1, 2 . . .
∴ f(x) = 0, x, x² . . . একটি বহুপদী অপেক্ষক হয় যা x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ans: Ⓓ k ≥ 0

5. f(x) = ^{x + 2}/_2x² _{– x – 1} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —
Ⓐ ¹/₂, -1 Ⓑ –¹/₂, -1
Ⓒ 1, –¹/₂ Ⓓ¹/₂, 1

Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
2x² – x – 1 = 0 হয়
⇒ 2x² – 2x + x – 1 = 0
⇒2x(x – 1) + 1(x – 1) = 0
⇒ (x – 1)(2x + 1) = 0
∴ x = 1, –¹/₂
Ans: Ⓒ 1, –¹/₂

6. f(x) = ¹/_{sin x – cos x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —
Ⓐ x = nπ + ^π/₄
Ⓑ x = nπ + (-1)ⁿ ^π/₄
Ⓒ x = nπ – ^π/₄
Ⓓ x = nπ + ^3π/₄ [n ∈ Z]

Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
sin x – cos x = 0 হয়
⇒ sin x – cos x = 0
⇒sin x = cos x
⇒ tan x = 1
⇒ tan x = tan ^π/₄ = tan (nπ + ^π/₄)
∴ x = nπ + ^π/₄
Ans: Ⓐ x = nπ + ^π/₄

7. যদি f(x) = {kx + 5     যখন x ≤ 2
                              {x – 1        যখন x > 2
        অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ 0        Ⓑ -1
Ⓒ -2      Ⓓ -3

Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
lim_x→2-f(x) = lim_x→2+ f(x) = f(2)
⇒ lim_x→2- (kx + 5) = lim_x→2+ (x – 1) = k.2 + 5
⇒ 2k + 5 = 2 – 1 = 2k + 5
∴ 2k + 5 = 1
⇒ 2k = -4
⇒ k = -2
Ans: Ⓒ -2

8. মনে করো, f(x) = {2x+1      যখন x< 2
                                              {k              যখন x = 2
                                              {3x-1       যখন x > 2
       k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —
Ⓐ 0        Ⓑ 2
Ⓒ 4        Ⓓ 5

Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
lim_x→2-f(x) = lim_x→2+f(x) = f(2)
⇒lim_x→2- (2x + 1) = lim_x→2- (3x – 1) = k
⇒ 2.2 + 1 = 3.2 – 1 = k
⇒ 5 = 5 = k
∴ k = 5
Ans: Ⓓ 5

9. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
f(x) = {x³ – 3 যখন x ≤ 2
{x² + 1 যখন x > 2 f(x) সন্তত —
Ⓐ x = 1 বিন্দুতে
Ⓑ x = 2 বিন্দুতে
Ⓒ x = 3 বিন্দুতে
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

Solution: Ⓐ x = 1 বিন্দুতেঃ
x < 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x³ – 3
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
∴ x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ⓑ x = 2 বিন্দুতেঃ
lim_x→2- f(x)
= lim_x→2- (x³ – 3) = 8 – 3 = 5
lim_x→2+f(x)
= lim_x→2+ (x² + 1) = 4 + 1 = 5
আবার f(2) = 2³ – 3 = 8 – 3 = 5
∴ lim_x→2- f(x) = lim_x→2+ f(x) = f(2) = 5
∴ x = 2 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ⓒ x = 3 বিন্দুতেঃ
x > 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x² + 1 ও একটি বহুপদী অপেক্ষক।
বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
∴ x = 3 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ans: Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {^{1 – cos x}/_{x_^²}      যখন x ≠ 0
                                                              {1 যখন x=2
Ⓐ 0 -তে       Ⓑ 1 -এ
Ⓒ -2 -তে       Ⓓ 4 –এ

Solution: lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{1 – cos x}/_{x_^²}
= lim_x→0 ^{1 – cos 2.^x/₂}/_{x_^²}
=lim_x→0 ^2sin² ^{^x/₂}/_{x_^²}
= ¹/₂[lim_x→0 ^sin ^{^x/₂}/_x/₂]^²
= ¹/₂
আবার f(0) = 1
∴ lim_x→0 f(x) ≠ f(0)
x = 0 –তে f(x) অসন্তত
Ans: Ⓐ 0 -তে

11. যদি f(x) = {^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x}    যখন x ≠ 0
                               {k + ¹/₂                 যখন x = 0
        x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ ³/₂        Ⓑ -2
Ⓒ 1             Ⓓ 2

Solution: f(0) = k + ¹/₂
lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x}
= lim_x→0 ^{sin 5x}/_x(x _{+ 2)}
=lim_x→0 ^{sin 5x}/_5x × 5 × lim_x→0 ¹/_(x _{+ 2)}
= 1×5×¹/_{0 + 2} = ⁵/₂
f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়।
∴ lim_x→0 f(x) = f(0)
⇒ ⁵/₂ = k + ¹/₂
⇒ k = ⁵/₂– ¹/₂= 2
Ans: Ⓓ 2

12. f(x) = ^2x² ^{+ 7}/_{x^³ + 3x^²} _{– x – 3} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —
Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
Ⓑ x = 1 এবং x = – 1
Ⓒ x = – 1 এবং x = 3
Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
x³ + 3x² – x – 3 = 0 হয়
⇒ x²(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒(x² – 1)(x + 3) = 0
⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 3) = 0
∴ x = 1, -1, -3
Ans: Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
- সন্ততা
- অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
- সম্ভাবনা
- Bayes’ উপপাদ্য
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ___________________

1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ 0 Ⓑ -1 Ⓒ -2
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

Solution: f(x) = 2x – |x|
2x অপেক্ষকটি রৈখিক অপেক্ষক এবং |x| অপেক্ষকটি মডিউলাস অপেক্ষক।
রৈখিক অপেক্ষক এবং মডিউলাস অপেক্ষক x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
∴ 2x – |x| অপেক্ষকটি x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত।
Ans: Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত
φ(x) = {^|x|/_x     যখন x ≠ 0
                {0             যখন x = 0
Ⓐ 0     Ⓑ 2
Ⓒ 4     Ⓓ 5

Solution: lim_x→0- φ(×)
= lim_x→0- ^-x/_x
= lim_x→0- (-1) = -1
lim_x→0+φ(×)
= lim_x→0+ ^x/_x
= lim_x→0+ (1) = 1
∴ lim_x→0- f(×) ≠ lim_x→0- f(×)
∴ x = 0 বিন্দুতে φ(x) –এর অস্তিত্ব নেই।
Ans: Ⓐ 0

3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = ^{x² – 16}/_{x – 4} অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে
Ⓐ 1 Ⓑ 27
Ⓒ 8 Ⓓ 49

Solution: lim_x→4 f(×)
= lim_x→4 ^{x² – 16}/_{x – 4}
= lim_x→4 ^{(x + 4)(x – 4)}/_{x – 4}
=lim_x→4 (x + 4)
= 4 + 4 = 8
∴ অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি
lim_x→4 f(×) = f(4) = 8 হয়।
Ans: Ⓒ 8

4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।
f(x) = {x + 1          যখন x ≤1
               { 3 – ax²     যখন x >1
     a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।
Ⓐ 0     Ⓑ 1
Ⓒ 2     Ⓓ 4

Solution: lim_x→1- f(×)
= lim_x→1- (x + 1)
= 1 + 1 = 2
lim_x→1+ f(×)
= lim_x→1+ (3 – ax²)
= 3 – a.(1)² = 3 – a
আবার f(1) = 1 + 1 =2
f(x) সন্তত হবে যদি
lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(1) হয়।
∴ 2 = 3 – a
বা, a = 1
Ans: Ⓑ 1

5. f(x) = {kx + 1    যখন x ≤ π
                    {cosx      যখন x > π
      x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।
Ⓐ 0          Ⓑ –²/_π
Ⓒ ^2π/₃    Ⓓ ³/_3π

Solution: lim_x→π- f(×)
= lim_x→π- (kx + 1)
= kπ + 1
lim_x→π+f(×)
= lim_x→π+ cos x
= cos π = – 1
আবার f(π) = kπ + 1
x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হবে যদি
lim_x→π- f(×) = lim_x→π+ f(×) = f(π) হয়।
∴ kπ + 1 = -1
বা, kπ = -2
বা, k = –²/_π
Ans: Ⓑ –²/_π

6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ শুধু x = 0
Ⓑ শুধু x = 1
Ⓒ সব x ∈ R
Ⓓ শুধু x = – 1

Solution: যেকোনো বাস্তব মানের জন্য sin x ও cos x অপেক্ষক দুটি সর্বদা সন্তত হয়।
আবার দুটি সন্তত অপেক্ষকের যোগফলও সন্তত হয়।
যেকোনো সন্তত অপেক্ষকের মডিউলাস অপেক্ষক সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
∴ f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষকটি সব x ∈ R এর জন্য সন্তত।
Ans: Ⓒ সব x ∈ R

7. মনে করো, f(x) ={^{x³ + x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²}   যখন x ≠ 2
                                             {k                                              যখন x=2
            x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।
Ⓐ 7       Ⓑ 3
Ⓒ 17       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Solution: lim_x→2 f(×)
= lim_x→2 ^{x³+ x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^{x³ – 2x^²} ^{+ 3x² – 6x – 10x + 20}/_{(x – 2)²}
=lim_x→2 ^{x²(x – 2)} ^{+ 3x(x – 2) – 10(x – 2)}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^{(x – 2)(x²} ^{+ 3x – 10)}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^(x² ^{+ 3x – 10)}/_{(x – 2)}
=lim_x→2 ^(x² ^{+ 5x – 2x- 10)}/_{(x – 2)}
= lim_x→2 ^x(x ^{+ 5) – 2(x + 5)}/_{(x – 2)}
= lim_x→2 ^(x ^{+ 5)(x – 2)}/_{(x – 2)}
=lim_x→2 (x + 5)
= 2 + 5 = 7
x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত
∴ lim_x→2 f(×) = f(2)
⇒ 7 = k
Ans: Ⓐ 7

Column Matching

1. একটি অপেক্ষক f(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x) = {^{1 – sin³ x}/_3cos²_x       যখন x <^π/₂
               {               a                       যখন x = ^π/₂
               {^{b(1 – sin x)}/₍_π_{– 2x)^²}   যখন x >^π/₂
x = ^π/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে, স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] ab =	[a] 4¹/₂
[ii] a + b =	[b] 2
[iii] b – a	[c] 8
[iv] ^b/_a =	[d] 3¹/₂

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [d]
Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]

Solution: lim_{x→^π/₂–} f(×)
= lim_{x→^π/₂–} ^{1 – sin³ x}/_{3cos² x}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 – sin x)(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 – sin² x)}
=lim_{x→^π/₂–} ^{(1 – sin x)(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)(1 – sin x)}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)}
=^{(1 + sin π/2 + sin² π/2)}/_{3(1 + sin ^π/2)}
= ^{(1 + 1 + 1)}/_{3(1 + 1)} = ¹/₂

lim_x→^π/₂+ f(×)
= lim_x→^π/₂+ ^{b(1 – sin x)}/_{(π – 2x)²}
= b lim_x→^π/₂+ ^{(1 – sin x)}/_{(π – 2x)²}
=b lim_x→^π/₂+ ^{(0 – cos x)}/_{2(π – 2x).(-2)}
= ^b/₄ lim_x→^π/₂+ ^{cos x}/_{(π – 2x)}
= ^b/₄ lim_x→^π/₂+ ^{-sin x}/_{(0 – 2)}
=^b/₄ × ^{-sin π/2}/_{– 2}
= ^b/₄ × ^-1/_{– 2} = ^b/₈
∵ x = ^π/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_{x→^π/₂–} f(×) = lim_{x→^π/₂–} f(×) = f(^π/₂)
⇒ ¹/₂ = ^b/₈ = a
∴ a = ¹/₂; b = 4

[i] ab = ¹/₂×4 = 2 → [b]
[ii] a + b = ¹/₂ +4 = 4¹/₂ → [a]
[iii] b – a = 4 – ¹/₂ = 3¹/₂ → [d]
[iv] ^b/_a = 4/_1/2 = 8 → [c]
Ans: Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]

2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
f(x) = {ax + 1 যখন x ≤ 3
{bx + 3 যখন x > 3
Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] lim_x→3+ f(x)	[a] ²/₃
[ii] lim_x→3- f(x)	[b] 3b + 1
[iii] f(3)	[c] 3a + 1
[iv] a – b	[d] 3b + 3

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [c]

Solution: [i] lim_x→3+ f(×)
= lim_x→3+(bx + 3)
= 3b + 3 → [d]
[ii] lim_x→3- f(×)
= lim_x→3-(ax + 1)
= 3a + 1 → [c]
[iii] f(3) = 3a + 1 → [c]
[iv] lim_x→0+f(×) = lim_x→0+ f(×) = f(3)
⇒ 3b + 3 = 3a + 1 = 3a + 1
∴ 3b + 3 = 3a + 1
⇒ 3a – 3b = 3 -1
⇒3(a – b) = 2
⇒ a – b = ²/₃→ [a]
Ans: Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]

Relationship between Statements ____________
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন্ বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া আছে:
f(x) ={3 + 2x    যখন –³/₂ ≤ x < 0
               {3 – 2x     যখন 0≤ x <³/₂
               {-3 -2x    যখন x ≥³/₂
বিবৃতি-A: x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
  বিবৃতি-B: x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়

Solution: বিবৃতি-A: lim_{x→³/₂–} f(×)
= lim_{x→³/₂–} (3 – 2x)
= 3 – 2.³/₂ = 0
lim_x→³/₂+f(×)
= lim_x→³/₂+ (3 + 2x)
= 3 + 2.³/₂ = 6
∴ lim_{x→³/₂–} f(×) ≠ lim_x→³/₂+ f(×)
অতএব x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
∴ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: lim_x→0- f(×)
= lim_x→0- (3 + 2x)
= 3 + 2.0 = 3
lim_x→0+ f(×)
= lim_x→0+(3 – 2x)
= 3 – 2.³/₂ = 3
∴ lim_x→0- f(×) = lim_x→0+ f(×)
অতএব x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: f(x) = {^x²/₂  যখন 0 ≤ x <1
                                          {2x² – 3x + ³/₂ যখন 1 ≤ x ≤ 2
                         0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত।
     বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় lim_x→a+ f(x) = lim_x→a- f(x) = f(a) হয়।

Solution: বিবৃতি-A: lim_x→0+ f(×)
= lim_x→0+ ^x²/₂ = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0+ f(×) = f(0)
∴ x = 0 –এর ডানদিকে f(×) সন্তত।
  0 < x < 1 বিস্তারে f(×) = ^x²/₂ একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ 0 < x < 1 বিস্তারে f(×)সন্তত।
   lim_x→1- f(×)
= lim_x→1- ^x²/₂ = ¹/₂
      lim_x→1+f(×)
= lim_x→1+(2x² – 3x + ³/₂)
= 2 – 3 + ³/₂ = – 1 + ³/₂ = ¹/₂
এবং f(1) = 2.1² – 3.1 + ³/₂ = – 1 + ³/₂ = ¹/₂
∴ lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(0)
∴ x = 1 বিন্দুতে f(×) সন্তত।
   1 < x < 2 বিস্তারে f(×) = 2x² – 3x + ³/₂ একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ 1 < x < 2 বিস্তারে f(×)সন্তত।

lim_x→2- f(×)
=lim_x→2- (2x² – 3x + ³/₂)
= 2.2² – 3.2 + ³/₂
= 8 – 6 + ³/₂ = ⁷/₂
আবার f(2) = 2.2² – 3.2 + ³/₂ = ⁷/₂
∴ lim_x→2- f(×) = f(2)
অতএব x = 2 –এর বামদিকে f(×) সন্তত।
∴ 0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় f(x) = f(x) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

3. বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}, t = 0 বিন্দুতে সন্তত
বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

Solution: বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}
= ^2x²/_π (lim_t→0 ¹/_{sin t/t})
= ^2x²/_π × ¹/₁ = ^2x²/_π
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ f(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)]
= ^2x/_π[lim_t→0tan^-1 (²/_t^²)]
= ^2x/_π[tan^-1 (²/₀)]
=^2x/_π[tan^-1 ∞)]
= ^2x/_π[tan^-1 tan(^π/₂)]
= ^2x/_π × ^π/₂ = x
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ g(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

4. মনে করো, f(x) = ^{x² – 1}/_{x³ – 1}
বিবৃতি-A: f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অনির্ণেয়
বিবৃতি-B: f(1) -এর মান ³/₂ হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।

Solution: বিবৃতি-A: f(1) = ^{x² – 1}/_{x³ – 1} = ^{1 – 1}/_{1 – 1} = ⁰/₀ → অনির্ণেয়
∴ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: lim_x→1 f(×)
= lim_x→1 ^{x² – 1}/_{x³ – 1}
= lim_x→1 ^{(x + 1)(x – 1)}/_{(x – 1)(x² + x + 1)}
=lim_x→1 ^{(x + 1)}/_{(x² + x + 1)} . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
= ^{(1 + 1)}/_{(1 + 1 + 1)} = ²/₃ ≠ ³/₂
∴ lim_x→1 f(×) ≠ f(1)
∴ অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

5. বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

Solution: বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|}
= {x + ^{x + 2}/_{-|x + 2|} যখন x + 2<0
     {x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} যখন x + 2 ≥ 0
= {x – 1 যখন x <-2
     {x + 1 যখন x ≥ 2
     lim_x→-2-f(×)
= lim_x→-2-(x – 1) = – 2 – 1 = -3
এবং  lim_x→-2+f(×)
= lim_x→-2+(x + 1) = – 2 + 1 = -1
∴ lim_x→-2-f(×) ≠ lim_x→-2+f(x)
∴ অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ
= lim_x→-2+f(×) – lim_x→-2-f(×)
= – 1 – (-3) = 2 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Assertion-Reasoning ____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?।
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x = a

Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)]
= lim_x→0 ^{log(1 + 3x)}/_x – lim_x→0 ^{log(1 + 2x)}/_x
=lim_x→0 ^{log(1 + 3x)}/_3x×3 – lim_x→0 ^{log(1 + 2x)}/_2x×2
= 1×3 – 1×2 = 1
∴ f(0) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x
= lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_ax×a
= 1×a = a → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): f(x) = {^{sin 3x}/_2x যখন x≠0
{²/₃ যখন x=0
f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে,
যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়।

Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{sin 3x}/_2x
= (lim_x→0 ^{sin 3x}/_3x)×³/₂ = 1×³/₂ = ³/₂
আবার f(0) = ²/₃
∴ lim_x→0 f(x) ≠ f(0)
∴ f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে, যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

3. বিবৃতি-I(A): f(x) = {^{1 – cos⁡2x}/_2x² যখন x≠0
{k যখন x=0
x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k –এর মান 1 হবে।
বিবৃতি-II(R): f(x) = {^{1 – cos⁡2x}/_x² যখন x≠0
{k যখন x=0
k = 14¹/₃ হলে f অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে।

Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(×)
=lim_x→0 ^{1 – cos ⁡2x}/_2x²
= lim_x→0 ^{2 sin² ⁡x}/_2x²
=lim_x→0 ^{sin^²} ^⁡x/_x^²
=(lim_x→0 ^sin⁡x/_x )^² = (1)^² = 1
আবার f(0) = k
∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
বা, 1 = k হয়। → বিবৃতিটি সত্য।

বিবৃতি-II(R): lim_x→0 f(×)
=lim_x→0 ^{1 – cos ⁡5x}/_x²
= lim_x→0 ^{2 sin² ^5⁡x/₂}/_x²
= 2. (lim_x→0 ^{sin ^5⁡x/₂}/_5x/₂)^²×²⁵/₄
= 2.(1)².²⁵/₄
= ²⁵/₂ = 12¹/₂
আবার f(0) = k
∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→0f(×) = f(0)
বা, 12¹/₂ = k হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

4. বিবৃতি-I(A): ¹/_{sin⁡x +cos⁡x} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ nπ – ^π/₄, যেখানে n যে-কোনো পূর্ণসংখ্যা
বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে ^p(x)/_q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে।

Solution: বিবৃতি-I(A): ¹/_{sin⁡x +cos⁡x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি sin x + cos x = 0 হয়।
∴ sin x + cos x = 0
⇒ sin x = – cos x
⇒ tan x = -1 = – tan ^π/₄ = tan (-^π/₄)
∴ x = nπ – ^π/₄ → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে ^p(x)/_q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

True and False _______________________

1. বিবৃতি-I: f(x) = {x sin ¹/_x       যখন x ≠ 0
                                        {0                     যখন x = 0      অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
     বিবৃতি-II: f(x) ={x² sin ¹/_x     যখন x ≠ 0
                                        {0                     যখন x = 0       অপেক্ষকটি সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: x ≠ 0 হলে,
|f(x)| = |x sin ¹/_x| = |x||sin ¹/_x| ≤ 1 . . . [∵ |x sin ¹/_x ≤ 1|
x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
∴ lim_x→0 f(×) = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: : x ≠ 0 হলে,
|f(x)| = |x² sin ¹/_x| = |x²||sin ¹/_x| ≤ |x²| . . . [∵ |x sin ¹/_x ≤ 1|
x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
∴ lim_x→0 f(×) = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

2. বিবৃতি-I: ^x/_{x² – 2x – 3} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1
বিবৃতি-II: ^{3x² – 4}/_{x³ + x² – x – 1} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x² – 2x – 3 = 0 হয়।
∴ x² – 2x – 3 = 0
⇒ x² – 3x + x – 3 = 0
⇒x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
∴ x = 3, – 1
∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x² – 2x – 3 = 0 হয়।
∴ x³ + x² – x – 1 = 0
⇒ x²(x + 1) – 1(x + 1) = 0
⇒(x² – 1)(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0
∴ x = -1, 1, -1
⇒ x = ± 1
∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

3. বিবৃতি-I: f(x) = ^{x³ – 1}/_{x – 1} অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে f(x) = 3
বিবৃতি-II: g(x) = ^{x – 1}/_{x³ – 1}, x ≠ 1 অপেক্ষকটি R-এর সকল বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: lim_x→1 f(×)
= lim_x→1 ^{x³ – 1}/_{x – 1}
=lim_x→1 ^{(x – 1)(x² + x + 1)}/_{x – 1}
= lim_x→1 (x² + x + 1) . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
= 1 + 1 + 1 = 3
অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে,
lim_x→1f(×)= f(1) = 3 হবে।
∴ f(x) = 3 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: g(x) = ^{x – 1}/_{x³ – 1}
g(x) অপেক্ষকটি অসংজ্ঞাত হবে যদি x³ – 1 = 0 হয়।
∴ x³ – 1 = 0
বা, (x – 1)(x² + x + 1) = 0
বা, x = 1
∴ অপেক্ষকটি R – {1} বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য

4. মনে করো, f(x) ={3ax + b       যখন x>1
                                             {11                   যখন x=1
                                             {5ax -2b      যখন x<1

বিবৃতি-I: a ও b-এর যে-কোনো মানেই অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
বিবৃতি-II: a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত
∴ lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(1)
⇒ lim_x→1-(5ax – 2b) = lim_x→1+(3ax + b) = 11
⇒ 5a – 2b = 3a + b = 11
        ∴ 5a – 2b = 11 . . . (i)
এবং   3a + b = 11 . . . (ii)
    (i) + (ii) ×2 করে পাই,
     5a – 2b + 6a + 2b = 11 + 22
বা, 11a = 33
বা, a = 3
    (ii) নং থেকে পাই,
b = 11 – 3.3 = 2
∴ a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
অতএব বিবৃতি-I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি-II সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য

5. মনে করো, f(x) = {^{1 – cos αx}/_{x sin x} যখন x≠0
{¹/₂ যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

বিবৃতি-I: α -এর মান 1 হবে।
বিবৃতি-II: α -এর মান -1 হবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
   ∴   lim_x→0f(×) = f(0)
⇒   lim_x→0 ^{1 – cos αx}/_{x sin x} = ¹/₂
⇒ lim_x→0 ^{+α sin αx}/_{sin x + x cos x}= ¹/₂
⇒lim_x→0 ^{α² cos αx}/_{cos x + cos x – x sin x} = ¹/₂
⇒ ^{α² . 1}/_{1 + 1 – 0} = ¹/₂
⇒^α²/₂ = ¹/₂
⇒ α² = 1
∴ α = ± 1
  অতএব বিবৃতি-I এবং বিবৃতি-II উভয়ই সত্য।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

6. মনে করো, g(x) = x – [x] একটি অপেক্ষক যেখানে [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা x-এর চেয়ে ছোটো বা x-
    এর সমান।
    বিবৃতি-I: সকল x ∈ R বিন্দুতে g(x) সন্তত
    বিবৃতি-II: R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত

বিবৃতি-III: x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত
Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য Ⓒ বিবৃতি II সত্য Ⓓ বিবৃতি I, III সত্য

Solution: সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
∴ g(x) = x – [x] সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতি-I মিথ্যা
সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত এবং [x] পূর্ণসংখ্যা বাদে সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য [x] অসন্তত।
∴ R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত → বিবৃতি-II সত্য
সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
∴ x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত নয়। → বিবৃতি-III মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি II সত্য

Case Based _______________________

1. মনে করো, f(x) = \(\left\{ \begin{array}{cl}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\ যখন x<0\\ c\quad যখন x=0\\\frac{(x + bx^2 )^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\ যখন x>0 \end{array} \right.\)

\(\quad lim_{x→0-} f(×)\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{x}+lim_{x→0-}\frac{sinx}{x}\\=(a+1)lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{(a+1)x}+1\\=(a+1).1+1\\=a+2\)

\(\quad lim_{x→0+} f(×)\\=lim_{x→0+}\frac{(x + bx^2)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x + bx^2}-\sqrt{x}}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)(\sqrt{1 + bx}+1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{(1 + bx-1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{bx}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{1}{(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)

অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
∴ lim_x→0- f(×) = lim_x→0+ f(×) = f(0)
⇒ a + 2 = ¹/₂ = c
∴ a + 2 = ¹/₂
বা, a = ¹/₂– 2
বা, a = –³/₂
c = ¹/₂
এবং b ≠ 0
Ans: Ⓓ –³/₂

12. f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
   f(x) = {¹/₂ - x    যখন  x < 3
          {1          যখন  x = 3
          {x - ¹/₂    যখন  x > 3

Solution: f(3 – 0)
= lim_x→3- f(×)
= lim_x→3- ¹/₂ – x
=¹/₂ -3 = – ⁵/₂
Ans: Ⓑ –⁵/₂

Solution: f(3 + 0)
= lim_x→3+ f(×)
= lim_x→3+ x- ¹/₂
=3 – ¹/₂
= ⁵/₂
Ans: Ⓓ ⁵/₂

সম্ভাবনা →

← মাইনর ও সহ- উৎপাদক

Tag: সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

4. f(x) = xk অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-Ⓐ k ≠ 0 Ⓑ k < 0Ⓒ k ≤ 0 Ⓓ k ≥ 0

5. f(x) = x + 2/2x2 – x – 1 অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —Ⓐ 1/2, -1 Ⓑ –1/2, -1Ⓒ 1, –1/2 Ⓓ1/2, 1

6. f(x) = 1/sin x – cos x অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —Ⓐ x = nπ + π/4Ⓑ x = nπ + (-1)n π/4Ⓒ x = nπ – π/4Ⓓ x = nπ + 3π/4 [n ∈ Z]

7. যদি f(x) = {kx + 5 যখন x ≤ 2 {x – 1 যখন x > 2 অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —Ⓐ 0 Ⓑ -1Ⓒ -2 Ⓓ -3

8. মনে করো, f(x) = {2x+1 যখন x< 2 {k যখন x = 2 {3x-1 যখন x > 2 k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —Ⓐ 0 Ⓑ 2 Ⓒ 4 Ⓓ 5

10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {1 – cos x/x2 যখন x ≠ 0 {1 যখন x=2Ⓐ 0 -তে Ⓑ 1 -এⒸ -2 -তে Ⓓ 4 –এ

11. যদি f(x) = {sin 5x/x2 + 2x যখন x ≠ 0 {k + 1/2 যখন x = 0 x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —Ⓐ 3/2 Ⓑ -2Ⓒ 1 Ⓓ 2

12. f(x) = 2x2 + 7/x3 + 3x2 – x – 3 অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3Ⓑ x = 1 এবং x = – 1Ⓒ x = – 1 এবং x = 3Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।Ⓐ 0 Ⓑ -1 Ⓒ -2Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত φ(x) = {|x|/x যখন x ≠ 0 {0 যখন x = 0Ⓐ 0 Ⓑ 2Ⓒ 4 Ⓓ 5

3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = x2 – 16/x – 4 অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবেⒶ 1 Ⓑ 27Ⓒ 8 Ⓓ 49

4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।f(x) = {x + 1 যখন x ≤1 { 3 – ax2 যখন x >1 a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।Ⓐ 0 Ⓑ 1Ⓒ 2 Ⓓ 4

5. f(x) = {kx + 1 যখন x ≤ π {cosx যখন x > π x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।Ⓐ 0 Ⓑ –2/πⒸ 2π/3 Ⓓ 3/3π

6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।Ⓐ শুধু x = 0Ⓑ শুধু x = 1Ⓒ সব x ∈ RⒹ শুধু x = – 1

7. মনে করো, f(x) ={x3 + x2 – 16x + 20/(x – 2)2 যখন x ≠ 2 {k যখন x=2 x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।Ⓐ 7 Ⓑ 3Ⓒ 17 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত: f(x) = {ax + 1 যখন x ≤ 3 {bx + 3 যখন x > 3Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

3. বিবৃতি-A: f(x) = 2x2/π limt→0 t/sin t, t = 0 বিন্দুতে সন্তত বিবৃতি-B: g(x) = limt→0[2x/π tan-1 (2/t2)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

5. বিবৃতি-A: f(x) = x + x + 2/|x + 2| অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

Assertion-Reasoning ____________

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = 1/x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1 বিবৃতি-II(R): limx→0 log(1 + ax)/x = a

4. মনে করো, f(x) ={3ax + b যখন x>1 {11 যখন x=1 {5ax -2b যখন x<1

5. মনে করো, f(x) = {1 – cos αx/x sin x যখন x≠0 {1/2 যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।[i] a-এর মান হবে-Ⓐ 3/2 Ⓑ 1Ⓒ 1/2 Ⓓ –3/2Solution:

4. f(x) = x^k অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-
Ⓐ k ≠ 0 Ⓑ k < 0
Ⓒ k ≤ 0 Ⓓ k ≥ 0

5. f(x) = ^{x + 2}/_2x² _{– x – 1} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —
Ⓐ ¹/₂, -1 Ⓑ –¹/₂, -1
Ⓒ 1, –¹/₂ Ⓓ¹/₂, 1

6. f(x) = ¹/_{sin x – cos x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —
Ⓐ x = nπ + ^π/₄
Ⓑ x = nπ + (-1)ⁿ ^π/₄
Ⓒ x = nπ – ^π/₄
Ⓓ x = nπ + ^3π/₄ [n ∈ Z]

7. যদি f(x) = {kx + 5 যখন x ≤ 2
{x – 1 যখন x > 2
অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ 0 Ⓑ -1
Ⓒ -2 Ⓓ -3

8. মনে করো, f(x) = {2x+1 যখন x< 2
{k যখন x = 2
{3x-1 যখন x > 2
k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —
Ⓐ 0 Ⓑ 2
Ⓒ 4 Ⓓ 5

10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {^{1 – cos x}/_{x_^²} যখন x ≠ 0
{1 যখন x=2
Ⓐ 0 -তে Ⓑ 1 -এ
Ⓒ -2 -তে Ⓓ 4 –এ

11. যদি f(x) = {^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x} যখন x ≠ 0
{k + ¹/₂ যখন x = 0
x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ ³/₂ Ⓑ -2
Ⓒ 1 Ⓓ 2

12. f(x) = ^2x² ^{+ 7}/_{x^³ + 3x^²} _{– x – 3} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —
Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
Ⓑ x = 1 এবং x = – 1
Ⓒ x = – 1 এবং x = 3
Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ 0 Ⓑ -1 Ⓒ -2
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত
φ(x) = {^|x|/_x যখন x ≠ 0
{0 যখন x = 0
Ⓐ 0 Ⓑ 2
Ⓒ 4 Ⓓ 5

3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = ^{x² – 16}/_{x – 4} অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে
Ⓐ 1 Ⓑ 27
Ⓒ 8 Ⓓ 49

4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।
f(x) = {x + 1 যখন x ≤1
{ 3 – ax² যখন x >1
a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 4

5. f(x) = {kx + 1 যখন x ≤ π
{cosx যখন x > π
x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।
Ⓐ 0 Ⓑ –²/_π
Ⓒ ^2π/₃ Ⓓ ³/_3π

6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ শুধু x = 0
Ⓑ শুধু x = 1
Ⓒ সব x ∈ R
Ⓓ শুধু x = – 1

7. মনে করো, f(x) ={^{x³ + x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²} যখন x ≠ 2
{k যখন x=2
x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।
Ⓐ 7 Ⓑ 3
Ⓒ 17 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
f(x) = {ax + 1 যখন x ≤ 3
{bx + 3 যখন x > 3
Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

3. বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}, t = 0 বিন্দুতে সন্তত
বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

5. বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x = a

4. মনে করো, f(x) ={3ax + b যখন x>1
{11 যখন x=1
{5ax -2b যখন x<1

5. মনে করো, f(x) = {^{1 – cos αx}/_{x sin x} যখন x≠0
{¹/₂ যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
[i] a-এর মান হবে-
Ⓐ ³/₂ Ⓑ 1
Ⓒ ¹/₂ Ⓓ –³/₂

Solution: