লম্ব বৃত্তাকার চোঙ Class X কষে দেখি - ৮

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – ৮ || Koshe Dekhi – 8 || লম্ব বৃত্তাকার চোঙ || Right Circular Cylinder || দশম শ্রেণী || Class -X || অষ্টম অধ্যায় || Chapter 8 || সম্পূর্ণ সমাধান || Complete Solution

লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ঃ- কোনো আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ওই বাহুর চারিদিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে লম্ব বৃত্তাকার চোঙ বলে।
👉 যেমন রড, নল, চক, জলের পাইপ ইত্যাদি।
🔷 নীচের তলটিকে চোঙের ভূমি বলে।
👉 ভূমিতলের পরিধি বরাবর ভূমিতলের উপর লম্বভাবে দন্ডায়মান বক্রতলটি যা চোঙটির চারপাশ ঘিরে আছে তাকে চোঙের পার্শ্বতল বলে।

অষ্টম অধ্যায়

👉 চোঙের তিনটি তলের দুটি সমতল ও একটি বক্রতল ।
👉 চোঙের বৃত্তাকার তল দুটির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক হলে,
✴️ চোঙটির ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গএকক
✴️ চোঙটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ( ভূমির পরিধি × উচ্চতা ) বর্গএকক
= 2πrh বর্গএকক
✴️ চোঙটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (2 × ভূমির ক্ষেত্রফল + চোঙটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ) বর্গএকক
= (2πr² + 2πrh) বর্গএকক
= 2πr(r + h) বর্গএকক
✴️ চোঙটির ঘনফল বা আয়তন = ( ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা ) ঘনএকক
= πr²h ঘনএকক

Koshe Dekhi – 8

👉 কোনো ফাঁপা চোঙের বাইরের ব্যাসার্ধ R এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে
✴️ চোঙটির ভিতরের ও বাইরের বক্রতলের মোট ক্ষেত্রফল
= 2π(R + r)h বর্গএকক
✴️ ফাঁপা চোঙটির ঘনফল বা আয়তন
= π(R² − r²)h ঘনএকক

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

1. পাশের চিত্রে ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।

(i) ছবির ঘনবস্তুটির _________ টি তল।
Ans: ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।

(ii) ছবির ঘনবস্তুটির _________ টি বক্রতল ও _________ টি সমতল।
Ans: ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।

2. আমার বাড়ির 5 টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।
Ans: 5 টি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ঘনবস্তু হল টিউব লাইট, গ্যাস সিলিন্ডার, গ্লাস, জগ, ড্রাম।

3. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনাসমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গ সেমি. চাদর লাগে, তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, ড্রামের উচ্চতা h সেমি.
ড্রামটির ব্যাসার্ধ (r) = ²⁸/₂= 14 সেমি.
∴ ড্রামটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh
⇒ 2×²²/₇×14×h বর্গ সেমি.
= 2×22×2×h বর্গ সেমি.
প্রশ্নানুযায়ী,
2×22×2×h = 2816
বা, h = 32
Ans: ড্রামটির উচ্চতা 32 সেমি.

4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্বা দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

সমাধানঃ
পিলারের ব্যাসার্ধ (r) = ^5.6/₂= 2.8 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা (h) = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.
2 টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের আয়তন
= 2×πr²h
= 2×²²/₇×(2.8)²×25 ঘন ডেসিমি.
⇒ 2×²²/₇×²⁸/₁₀×²⁸/₁₀×25 ঘন ডেসিমি.
⇒ 2×22×⁴/₁₀×²⁸/₂×5 ঘন ডেসিমি.
= 2×22×28 ঘন ডেসিমি.
= 1232 ঘন ডেসিমি.
2 টি পিলারের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= 2×2πrh
= 2×2×²²/₇×²⁸/₁₀×25 বর্গডেসিমি.
⇒ 2×22×4×5 বর্গডেসিমি.
= 880 বর্গডেসিমি.
= 8.8 বর্গ মিটার
প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে
= 125×8.8 টাকা
= 1100 টাকা
Ans: ঢালাই করতে 1232 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে।
প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে 1100 টাকা।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

5. 2.8 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি. লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
সিলিন্ডারের অন্তব্যাসার্ধ (r) = ^2.8/₂= 1.4 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা = 7.5 ডেসিমি.
গ্যাস সিলিন্ডারের আয়তন
= πr²h
= ²²/₇×1.4²×7.5 ঘন ডেসিমি.
⇒ ²²/₇×¹⁴/₁₀×¹⁴/₁₀×⁷⁵/₁₀ ঘন ডেসিমি.
= 22×7×³/₁₀ ঘন ডেসিমি.
গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা = 15105 গ্রাম গ্যাস আছে।
∴ প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন
= ¹⁵⁰¹⁵/_{22×7×³/₁₀} গ্রাম
= ¹³⁶⁵/_{2×7×³/₁₀} গ্রাম
⇒ ¹³⁶⁵/_7×³/₅ গ্রাম
⇒ ¹⁹⁵/_³/₅ গ্রাম
= 65×5 গ্রাম
= 325 গ্রাম
Ans: প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন 325 গ্রাম।

6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির ²/₃ অংশ, দ্বিতীয়টির ⁵/₆ অংশ এবং তৃতীয়টির ⁷/₉ অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি. হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি. হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
প্রথম তিনটি জারের ব্যাসার্ধ(r) = ^1.4/₂= 0.7 ডেসিমি.
ধরি, প্রতিটি জারের উচ্চতা = h ডেসিমি.
∴ প্রতিটি জারের আয়তন
= πr²h
= π×(0.7)²×h
তিনটি জারে মোট অ্যাসিডে ছিল
= ²/₃×π×(0.7)²×h + ⁵/₆×π×(0.7)²×h + ⁷/₉×π×(0.7)²×h ঘন ডেসিমি.
= π×(0.7)²×h×(²/₃ + ⁵/₆ + ⁷/₉) ঘন ডেসিমি.
⇒ π×(0.7)²×h×(^{2×6+5×3+7×2}/₁₈) ঘন ডেসিমি.
= π×(0.7)²×h×^12+15+14/₁₈ ঘন ডেসিমি.
= π×(0.7)²×h×⁴¹/₁₈ ঘন ডেসিমি.
বড়ো জারের ব্যাসার্ধ = ^2.1/₂ডেসিমি.
জারে অ্যাসিডের উচ্চতা = 4.1 ডেসিমি.
বড়ো জারের অ্যাসিডের আয়তন
= π×(^2.1/₂)²×4.1 ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুযায়ী,
π×(0.7)²×h×⁴¹/₁₈ = π×(^2.1/₂)²×4.1
⇒ ⁷/₁₀×⁷/₁₀×h×⁴¹/₁₈ = ²¹/₂₀×²¹/₂₀×⁴¹/₁₀
⇒ h×⁴¹/₁₈ = ³/₂×³/₂×⁴¹/₁₀
বা, h×¹/₉ = 3×³/₂×¹/₁₀
⇒ h = ⁸¹/₂₀
⇒ h = 4.05
Ans: প্রতিটি জারের উচ্চতা 4.05 ডেসিমি.

7. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি.। পাত্রটির ভুমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
পাত্রটির ভুমির ব্যাস = 14
∴ পাত্রটির ভুমির ব্যাসার্ধ(r) = ¹⁴/₂= 7 সেমি.
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
πr(r + 2h) = 2002
⇒ ²²/₇×7×(7 + 2h) = 2002
⇒ 22(7 + 2h) = 2002
বা, 7 + 2h = 91
⇒ 2h = 91 – 7
⇒ 2h = 84
বা, h = 42
∴ পাত্রটিতে জল ধরবে
= πr²h
= ²²/₇×7²×42 ঘন সেমি.
⇒ 22×7×42 ঘন সেমি.
⇒ 6468 ঘন সেমি.
= 6.468 ঘন ডেসিমি.
= 6.468 লিটার
Ans: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

8. যদি 14 সেমি. ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘণ্টায় কত কিলো লিটার জলসেচ করবে, হিসাব করে লিখি। [ 1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি.]

সমাধানঃ
পাইপটির ব্যাসার্ধ(r) = ¹⁴/₂= 7 সেমি. = 0.7 ডেসিমি.
পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার = 25000 ডেসিমি. জলসেচ করতে পারে।
∴ পাম্পসেটটি 1 মিনিটে জলসেচ করে
= πr²h
= ²²/₇×(0.7)²×25000 ঘন ডেসিমি.
⇒ ²²/₇×⁷/₁₀×⁷/₁₀×25000 ঘন ডেসিমি.
= 22×7×250 ঘন ডেসিমি.
= 38500 ঘন ডেসিমি.
⇒ 38500 লিটার
∴ পাম্পসেটটি 1 ঘণ্টায় জলসেচ করে
= 38500×60 লিটার
= 2310000 লিটার
⇒ 2310 কিলোলিটার
Ans: পাম্পসেটটি 1 ঘণ্টায় 2310 কিলোলিটার জলসেচ করে।

9. 7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি. লম্বা একটি লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তাহলে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরোর ব্যাসার্ধ = ^5.6/₂= 2.8 সেমি
এবং উচ্চতা (h) = 5 সেমি
∴ চোঙাকৃতি টুকরোর আয়তন
= πr²h
⇒ π×2.8²×5 ঘন সেমি.
= π×2.8²×5 ঘন সেমি.
গ্যাসজারের ব্যাসার্ধ = ⁷/₂ সেমি
∴ গ্যাসজারের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr²
= π×(⁷/₂)² ঘন সেমি.
∴ জলতল উপরে উঠবে
= ^π×2.8²×5/_{π×(⁷/₂)²} সেমি.
⇒ ^{2.8×2.8×5×2×2}/_7×7 সেমি.
= 0.4×0.4×5×4 সেমি.
= 3.2 সেমি.
Ans: জলতল 3.2 সেমি. উপরে উঠবে।

10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তল 924 ঘন মিটার হলে, এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, স্তম্ভের ব্যাস 2r মিটার
এবং উচ্চতা h মিটার
প্রশ্নানুযায়ী,
2πrh = 264 – – – – (i)
এবং πr²h = 924– – – – (ii)
(ii) কে (i) দিয়ে ভাগ করে পাই,
^πr²h/_2πrh =⁹²⁴/₂₆₄
বা, ^r/₂ =⁷/₂
⇒ r = 7
বা, 2r = 2×7 = 14
(i) নং থেকে পাই,
2πrh = 264
বা, 2×²²/₇×7×h = 264
⇒ 2×22h = 264
বা, h = 6
Ans: স্তম্ভের ব্যাস 14 মিটার
এবং উচ্চতা 6 মিটার

11. 9 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
পাইপের ব্যাসার্ধ (r) = ⁶/₂= 3 সেমি
পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বা, 22500 সেমি বেগে জল বের হয়।
পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয়
= π×3²×22500 ঘন সেমি
= π×9×22500 ঘন সেমি
∴ পাইপ দিয়ে 36 মিনিটে জল বের হয়
= 36×π×9×22500 ঘন সেমি
ধরি, ট্যাঙ্কটির ব্যাস = 2r সেমি
ট্যাঙ্কটির উচ্চতা = 9 মিটার = 900 মিটার
∴ ট্যাঙ্কটিতে জল আছে = πr²×900 ঘন সেমি
প্রশ্নানুসারে,
πr²×900 = 36×π×9×22500
বা, r² = 36×225
বা, r = 6×15
⇒ r = 90
Ans: ট্যাঙ্কটির ব্যাস = 2×90 = 180 সেমি

12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমি.। এক ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা. এবং গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্টাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির ব্যাস 2r ডেসিমি. এবং উচ্চতা h ডেসিমি.।
এক ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন = 1.5 কিগ্রা. এবং
গুঁড়িটির ওজন = 9.24 কুইন্টাল
= 9.24×100 কিগ্রা.
= 924 কিগ্রা.
∴ কাঠের গুঁড়ির আয়তন
= ⁹²⁴/_1.5ঘন ডেসিমি.
= ^924×10/₁₅ঘন ডেসিমি.
⇒ 308×2 = 616ঘন ডেসিমি.
∴ πr²h = 616– – – – (i)
প্রশ্নানুযায়ী,
2πrh = 440 – – – – (ii)
(i) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,
^πr²h/_2πrh =⁶¹⁶/₄₄₀
বা, ^r/₂ =¹⁴/₁₀
বা, r =²⁸/₁₀
⇒ r = 2.8
(ii) নং থেকে পাই,
2πrh = 440
বা, 2×²²/₇×²⁸/₁₀×h = 440
⇒ 2×22×4×h = 440×10
বা, h = 25
Ans: গুঁড়ির ব্যাস 2×2.8 = 5.6 ডেসিমি. এবং
উচ্চতা 25 ডেসিমি.

13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি., অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি. এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে, হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
লোহার পাইপের বহির্ব্যাসার্ধ(R) = ³⁰/₂= 15 সেমি
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = ²⁶/₂= 13 সেমি
এবং দৈর্ঘ্য(h) = 14.7 মিটার = 1470 সেমি
∴ পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2π(R + r)h + 2π(R² − r²) বর্গএকক
= 2×²²/₇×(15 + 13)×1470 + 2×²²/₇×(15² − 13²) বর্গসেমি
⇒ 2×²²/₇×28×1470 + 2×²²/₇×(225 − 169) বর্গসেমি
= 2×22×4×1470 + 2×²²/₇×56 বর্গসেমি
= 258720 + 2×22×8 বর্গসেমি
⇒ 258720 + 352 বর্গসেমি
= 259072 বর্গসেমি
= 2590.72 বর্গডেসিমি
প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে খরচ হবে
= 2590.72×2.25 টাকা
= 5829.12 টাকা
Ans: প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে 5829.12 টাকা খরচ হবে।

14. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি,, চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধ = R ডেসিমি
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = ^4.6/₂= 2.3 ডেসিমি
এবং উচ্চতা (h) = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = π(R² − r²)h ঘনএকক
= π(R² − 2.3²)×28 ঘনডেসিমি
প্রশ্নানুযায়ী,
²²/₇×(R² − 2.3²)×28 = 84.48
বা, R² − 5.29 = ⁸⁴⁴⁸/₁₀₀×⁷/₂₂×¹/₂₈
বা, R² − 5.29 = ⁹⁶/₁₀₀
⇒ R² = .96 + 5.29
বা, R² = 6.25
বা, R = 2.5
Ans: চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2×2.5 = 5 ডেসিমি।

15. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুন। যদি উচ্চতা 6 গুন হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h
= π×r²×2r ঘন ডেসিমি
= 2πr³ ঘন ডেসিমি
উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = π×r²×6r ঘন ডেসিমি
= 6π×r³ ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
6π×r³ – 2π×r³ = 539
বা, 4×²²/₇×r³ = 539
বা, r³ = 539×⁷/₂₂×¹/₄
⇒ r³ = 49×⁷/₂×¹/₄
বা, r³ = (⁷/₂)³
বা, r = ⁷/₂
Ans: চোঙটির উচ্চতা = 2×⁷/₂ বা, 7 ডেসিমি

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি জলভরতি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে (i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে
(ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
হোস পাইপের ব্যাসার্ধ = ²/₂ = 1 সেমি = 0.1 ডেসিমি
হোস পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয়
= 420 মিটার = 4200 ডেসিমি
∴ হোস পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন
= πr²h
= ²²/₇×(0.1)²×4200 ঘন ডেসিমি
⇒ 22×0.01×600 ঘন ডেসিমি
= 132 ঘন ডেসিমি।
= 132 ঘন লিটার।
∴ তিনটি হোস পাইপ দিয়ে 40 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন
= (3×40×132) লিটার
= 15840 লিটার
ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধ = = ^2.8/₂ = 1.4 মিটার = 14 ডেসিমি
এবং উচ্চতা = 6 মিটার = 60 ডেসিমি
∴ ট্যাঙ্কারটির আয়তন
= πr²h
= ²²/₇×(14)²×60 ঘন ডেসিমি
⇒²²/₇×14×14×60 ঘন ডেসিমি
= 22×2×14×60 ঘন ডেসিমি
= 36960 ঘন ডেসিমি
⇒ 36960 লিটার
ট্যাঙ্কারটির জলের আয়তন = 36960 লিটার
Ans:
(i) আগুন নেভাতে জল খরচ হয়েছে 15840 লিটার।
(ii) ট্যাঙ্কারে আর জল রয়েছে = (36960 – 15840) লিটার
= 21120 লিটার।

17. 17.5 সেমি ব্যাসের 4 টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলারের চারিপাশে 3.5 সেমি পুরু বালি-সিমেন্ট প্লাস্টার করতে হবে।
(i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
(ii) প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4 : 1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি. সিমেন্টের প্রয়োজন, হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ঢালাই পিলারের অন্তর্ব্যাসার্ধ(r) = ^17.5/₂ = 8.75 সেমি
প্লাস্টার পুরু = 3.5 সেমি
পিলারের বহির্ব্যাসার্ধ(R) = (8.75 + 3.5) সেমি= 12.25 সেমি এবং
(i) প্রতিটি পিলারের উচ্চতা(h) = 3 মিটার = 300 সেমি।
4 টি পিলার ঢালাই করতে মশলা লাগবে
= 4×π(R² − r²)h ঘনএকক
= 4×²²/₇×{(12.25)² − (8.75)²}×300 ঘনসেমি
⇒ 4×²²/₇×(12.25 + 8.75)(12.25 – 8.75)×300 ঘনসেমি
= 4×²²/₇×21×3.5×300 ঘনসেমি
= 4×22×3×3.5×300 ঘনসেমি
⇒ 14×66×300 ঘনসেমি
= 277200 ঘনসেমি
= 277.2 ঘনডেসেমি
(ii) মশলাতে বালি ও সিমেন্টের অনুপাত = 4:1
∴ সিমেন্টের প্রয়োজন = 277.2×¹/₅ ঘনডেসেমি
= 55.44 ঘনডেসেমি
Ans:
(i) 4 টি পিলার ঢালাই করতে 277.2 ঘনডেসেমি মশলা লাগবে।
(ii) 55.44 ঘনডেসেমি সিমেন্টের প্রয়োজন।

18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করি।
সমাধানঃ
ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসার্ধ = ¹⁶/₂ = 8 সেমি
ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ = ¹²/₂ = 6 সেমি এবং
উচ্চতা 36 সেমি।
∴ ফাঁপা চোঙের আয়তন
= π(R² − r²)h ঘনএকক
⇒ π(8² − 6²)×36 ঘনসেমি
= π×28×36 ঘনসেমি
প্রতিটি নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ = ²/₂ = 1 সেমি এবং
উচ্চতা 6 সেমি।
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙটিকে গলিয়ে x টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।
∴ x টি নিরেট চোঙের আয়তন = ফাঁপা চোঙের আয়তন
x × πx1²x6 = π×28×36
বা, x = 28×6
বা, x = 168
Ans: ফাঁপা চোঙটিকে গলিয়ে 168 টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

19. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 2 : 5 (b) 8 : 7 (c) 10 : 9 (d) 16 : 9
Ans: (c) 10 : 9
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
∴ r₁ : r₂ = 2 : 3 এবং
h₁ : h₂ = 5 : 3
তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$$\large{=2πr_{1}h_{1}:2πr_{2}h_{2}\\=\frac{2πr_{1}h_{1}}{2πr_{2}h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{2}{3}\right)×\left(\frac{5}{3}\right)\\=\frac{10}{9}\\=10:9]}$$

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
(a) 27 : 20 (b) 20 : 27 (c) 4 : 9 (d) 9 : 4
Ans: (b) 20 : 27
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
∴ r₁ : r₂ = 2 : 3 এবং
h₁ : h₂ = 5 : 3
তাদের আয়তনের অনুপাত

$$\large{=πr_{1}^2h_{1}:πr_{2}^2h_{2}\\=\frac{πr_{1}^2h_{1}}{πr_{2}^2h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{2}{3}\right)^2×\left(\frac{5}{3}\right)\\=\frac{4}{9}×\frac{5}{3}\\=\frac{20}{27}\\=20:27]}$$

(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত
(a) 1 : √2 (b) √2 : 1 (c) 1 : 2 (d) 2:1

Ans: (b) √2 : 1
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
∴ h₁ : h₂ = 1 : 2
প্রশ্নানুযায়ী,
πr₁²h₁ = πr₂²h₂
বা, r₁²/r₂² = h₂/h₁
⇒ (r₁/r₂)²= ²/₁
বা, r₁/r₂= √²/₁
∴ r₁ ও r₂ = √2 : 1]

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন হলে, চোঙটির আয়তন হবে পুর্বের চোঙের আয়তনের
(a) সমান (b) দ্বিগুন (c) অর্ধেক (d) 4 গুন
Ans: (c) অর্ধেক
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
চোঙের আয়তন = πr²h ঘন একক
চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে,
∴ চোঙের আয়তন হবে = π(½r)².2h ঘন একক
= π.¹/₄.r².2h ঘন একক
= ½.πr²h ঘন একক]

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের
(a) সমান (b) দ্বিগুন (c) অর্ধেক (d) 4 গুন
Ans: (a) সমান
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গএকক
চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে = 2π.(2r).½h বর্গএকক
= 2πrh বর্গএকক]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে πr²h ঘন সেমি.।
Ans: মিথ্যা।
[জলের আয়তন হবে ½πr²h ঘন সেমি.]

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে-কোনো উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
Ans: সত্য।
[চোঙটির উচ্চতা h হলে,
চোঙটির আয়তন = πr²h = π(2)²h = 4πh
বক্রতলের ক্ষেত্রফলে = 2πrh = 2π.2.h = 4πh[

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য l একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল __________ বর্গ একক।
Ans: lb

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি হলে, চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য ______ সেমি।
Ans: 5
[লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি।
চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হবে
= √(3² + 4²)
⇒ √(9 + 16)
= √25 = 5]

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ______ একক।
Ans: 4
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুযায়ী,
πr²h = 2πrh
∴ r = 2
ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r = 2×2 = 4]

20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ 2πrh = 264
এবং πr²h = 924

$$\large{\therefore \frac{πr^2h}{2πrh}=\frac{924}{264}\\⇒ \frac{r}{2}=\frac{7}{2}\\⇒ r=7}$$ Ans: স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি।

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) কষে দেখি – ৮ দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় সম্পূর্ণ সমাধান

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গ একক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘন একক হলে, ^cr/_v -এর মান কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c = 2πrh
এবং আয়তন v = πr²h ঘন একক

$$\large{\therefore \frac{cr}{v} \\=\frac{2πrh×r}{πr^2h}\\=2}$$Ans: নির্ণেয় মান 2

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ সেমি. হলে, চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
সমাধানঃ
এখানে, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা(h) = 14 সেমি
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r সেমি।
প্রশ্নানুযায়ী,
2πrh = 264
বা, 2×²²/₇×r×14 = 264
⇒ 2×22×2×r = 264
বা, r = 3
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন
= πr²h
= ²²/₇ ×3²×14 ঘন সেমি
⇒ 22 ×9×2 ঘন সেমি
= 396 ঘন সেমি
Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন 396 ঘন সেমি

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
শর্তানুযায়ী,
2πr₁ : 2πr₂ = 3 : 4
বা, r₁ : r₂ = 3 : 4
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত

$$\large{πr_{1}^2h_{1}:πr_{2}^2h_{2}\\=\frac{πr_{1}^2h_{1}}{πr_{2}^2h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}}$$Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলো এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h ঘন একক
চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলে
ব্যাসার্ধ হবে = r×⁵⁰/₁₀₀ একক
= ^r/₂ একক এবং
উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলে উচ্চতা হবে
= h×¹⁵⁰/₁₀₀ একক
= ^3h/₂ একক
∴ পরিবর্তিত আয়তন হবে = π×(^r/₂)²×^3h/₂ ঘন একক
= ³/₈πr²h ঘন একক
∴ চোঙটির আয়তন হ্রাস হল

$$\large{=πr^2h-\frac{3}{8}πr^2h\\=\frac{5}{8}πr^2h\\=\frac{\frac{5}{8}πr^2h}{πr^2h}×100\%\\=\frac{125}{2}\%\\=62\frac{1}{2}\%}$$

Ans: চোঙটির আয়তন হ্রাস পাবে শতকরা 62¹/₂

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ একটি ফাঁপা চোঙাকৃতি পাইপের বাইরের ও ভিতরের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অন্তর 44 বর্গ সেমি এবং পাইপের দৈর্ঘ্য 14 সেমি, পাইপটির পদার্থের ঘনফল 99 ঘন সেমি। পাইপটির বাইরের ও ভেতরের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2023

▶️ সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমিটার। 1 ঘন ডেসিমিটার কাঠের ওজন 3 kg এবং গুঁড়িটির ওজন 18.48 কুইন্টাল হলে গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

VIEW ANSER

MP-2022

▶️ দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কত?

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি.। নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে ,নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2019

▶️ একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 3টি

▶️ একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান ও তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

VIEW ANSER

▶️ ঢাকনাবিহীন একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ্য 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?(1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি)

VIEW ANSER