বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
|| RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE || KOSHE DEKHI 7.3 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH
1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি –(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD
সমাধানঃ △ABC -এর তিনটি বিন্দু অসমরেখ বিন্দু এবং A ও C বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই B বিন্দুটিও বৃত্তের উপরেই অবস্থিত হবে। – – – [তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।]
প্রশ্নানুযায়ী, AB রেখাকে বৃত্তটি D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ B ও D বিন্দু দুটি একই বিন্দু হবে।
∴ AB = AD হবে।
Ans: (ii) AB = AD
2. প্রমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
স্বীকারঃ △ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, AB -কে ব্যাস ধরে O কেন্দ্রীয় বৃত্ত আঁকা হল। যা BC -কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ BD = DC
অঙ্কনঃ A, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∠ADB = 1 সমকোণ – – – [∵∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
∴ ∠ADC = 1 সমকোণ।
△ADB ও △ADC -এর
∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
অতিভুজ AC = অতিভুজ AB – – – [প্রদত্ত]
∠ABD = ∠ACD – – – [সমান বাহুর বিপরীত কোণ]
∴ △ADB ≅ △ADC
⇒ BD = DC
∴ D বিন্দু BC –কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। [প্রমাণিত]
3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
স্বীকারঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কনঃ A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
∴ ∠PQA এবং ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PQA = ∠PQB = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [প্রমাণিত]
4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ-কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে PS = ST
স্বীকারঃ PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু R এবং PR ও PQ –কে ব্যাস ধরে দুটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে। P বিন্দুগামী যেকোনো রেখা ওই বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ PS = ST
অঙ্কনঃ S, R ও T, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ যেহেতু, ∠PSR এবং ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PSR = ∠PTQ = 1 সমকোণ।
∴ SR ও TQ উভয়েই একই সরলরেখা PT -এর উপর লম্ব।
∴ SR || TQ
△PTQ –এর PQ বাহুর মধ্যবিন্দু R এবং RS || QT
∴ S, PT –এর মধ্যবিন্দু।
∴ PS = ST [প্রমাণিত]
5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ = ST
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি PS এবং PT বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ RQ = ST
অঙ্কনঃ Q, S; R, T; S, T; S, O; T, O; R, O এবং Q,O যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PS ⊥ PQ
∴ ∠QPS = 90°
অর্থাৎ ∠QPS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QS বৃত্তের ব্যাস।
আবার PR ⊥ PT
∴ ∠RPT = 90°
অর্থাৎ ∠RPT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ RT বৃত্তের ব্যাস।
△SOT ও △QOR -এর থেকে পাই,
OT = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OS = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∠SOT = বিপ্রতীপ ∠ROQ
∴ △SOT ≅ △QOR
∴ RQ = ST [প্রমাণিত]
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে এ ক্লিক করো।
6. ABC একটি সূক্ষ্মকোনী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।
স্বীকার: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: BPCQ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: B, P ও C, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP;
∴ ∠ABP এবং ∠ACP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°
অর্থাৎ, PB ⟂ AB
এবং PC ⟂ AC
∵ PB ⟂ AB এবং CF⟂ AB (প্রদত্ত)
∴ PB || CF
অর্থাৎ, PB || CQ
আবার, PC ⟂ AC
এবং BE ⟂ AC (প্রদত্ত)
∴ PC || BE
অর্থাৎ, PC || BQ
∴ BPCQ চতুর্ভুজের,
PB || CQ এবং
PC || BQ
∴ BPCQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]
7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
স্বীকারঃ △ABC এর ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ও বহির্দ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ PQ বৃত্তের একটি ব্যাস ।
অঙ্কনঃ P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক যথাক্রমে AP ও AQ;
∵ কোনো কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক পরস্পর লম্ব হয়।
∴ AP ⊥ AQ
∠PAQ = 1 সমকোণ [
অর্থাৎ ∠PAQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ৷
∴ PQ বৃত্তের ব্যাস [প্রমাণিত]
8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
অঙ্কনঃ A, D; D, B; B, C; C, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠CAD, ∠ADB, ∠DBC এবং ∠BCA প্রতিটি কোণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠CAD = ∠ADB = ∠DBC = ∠BCA = 90°
আবার
∠CAD + ∠DBC
= 90° + 90° = 180°
∴ ADBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
ACBD একটি আয়াতাকার চিত্র। [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
স্বীকারঃ ABCD একটি রম্বস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে ।
অঙ্কনঃ A C এবং B,D যুক্ত করা হল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং,
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
আবার যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ, তাই AB বা BC বা CD বা DA যেকোনো বাহুকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি O বিন্দু দিয়ে যাবে ।
∴রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে। [প্রমাণিত]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এবং PR = RQ; ∠RPQ-এর মান(a) 30° (b) 90° (c) 60° (d) 45°
Ans: (d) 45°
[∵ PR = RQ
∴ ∠RPQ = ∠RQP
∠PRQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
△PRQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠PRQ = 90°
∴ ∠RPQ + ∠RQP = 90°
বা, 2∠RPQ = 90°
বা, ∠RPQ = 45°]
(ii) QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD, QR বাহুর উপর লম্ব। OD = 4 সেমি হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য
(a) 4 সেমি (b) 2 সেমি (c) 8 সেমি (d) কোনটিই নয়
Ans: (c) 8 সেমি
[OD ⊥ QR
O হল বৃত্তের কেন্দ্র
∴ D, QR এর মধ্যবিন্দু।
∠PQR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ PQ ⊥ QR
OD = 12 PQ [:: ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক
∴ PQ ∥ OD এবং
½ PQ = OD
বা, PQ = 2×OD
বা PO = 2 × 4
= 8 ]
(iii) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD = 40° হলে, ∠CED-এর মান(a) 40° (b) 80° (c) 20° (d) 70°
Ans: (d) 70°
[∠COD = 40°
C, D ও A, D যুক্ত করা হল।
CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAE বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAE = ½ ∠COD
= ½ × 40°
= 20°
∴ ∠ADB = 90° – – – [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।]
বা, ∠ADE = 90°
△ADE –এর ক্ষেত্রে,
∠AED + ∠EDA + ∠DAE = 180°
বা, ∠AED + 90° + 20° = 180°
বা, ∠AED + 110° = 180°
⇒ ∠AED = 70°
বা, ∠CED = 70°]
(iv) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC = 3 সেমি ও BC = 4 সেমি হলে AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 3 সেমি (b) 4 সেমি (c) 5 সেমি (d) 8 সেমি
Ans: (c) 5 সেমি
[∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB = 90°
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের,
AB2 = AC2 + BC2
= 32 + 42
= 9 + 16
⇒ 25 = 52
∴ AB = 5]
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25° হলে, ∠AEC-এর মান নির্ণয় করি।
(a) 50° (b) 90° (c) 45° (d) 20°
Ans: (c) 45°
[প্রদত্ত ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25°
∠ACB = 90° – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
△ADC –এর,
∠ADC = 180° – ∠ACD – ∠CAD
= 180° – 90° – 25°
= 65°
△CED –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠ADC = ∠DCE + ∠DEC
বা, 65° = 20° + ∠DEC
বা, ∠DEC = 65° – 25°
= 45°
∴ ∠AEC = 45°]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
(B) সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থুলকোণ।
Ans: মিথ্যা।
(ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু O এবং OA = OB = OC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
Ans: সত্য।
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ __________।
Ans: সমকোণ।
(ii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোন __________।
Ans: স্থুলকোণ।
(iii) সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি _________ বিন্দু দিয়ে যাবে।Ans: সমকৌনিক বিন্দু।
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে, BD = 4 সেমি হলে CD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত BD = 4 সেমি
∵ AB ব্যাস।
∴ ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = ∠ADC
= 90°
△ABD এবং △ACD থেকে পাই,
AB = AC
∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ADC
∴ BD = CD – – – [অনুরূপ বাহু]
⇒ CD = 4 সেমি। – – – [∵ BD = 4 সেমি]
Ans: CD-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি
(ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি ও AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
AC = 3 সেমি
AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, BC ব্যাস।
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের
BC2 = AB2 + AC2
= 42 + 32
= 16 + 9
⇒ 25 = 52
∴ BC = 5
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 5/2
=2.5
Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি
(iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি হলে, জ্যা QR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি
PR ও PQ পরস্পর লম্ব।
∴ ∠RPQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QR বৃত্তের ব্যাস।
Ans: QR -এর দৈর্ঘ্য 2r সেমি।
(iv) AOB বৃত্তে একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60° হলে ∠OCA-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত ∠OBC = 60°
∠ACB = 90° – – – [∵ ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
△ABC –এর
∠BAC = 180° – ∠ACB – ∠ABC
= 180° – 90° – 60°
= 30°
∴ ∠OAC = 30°
∠OCA = ∠OAC – – – [∵ OC = OA]
= 30°
△AOC –এর OA = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
আবার, ∠OAC = ∠CAB
∴ ∠OCA = 30°
Ans: ∠OCA-এর মান 30°
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD-কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
A, D যুক্ত করা হল।
জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান
∴ OB = OA = OC = OD =CD
∴ △COD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
⇒ ∠COD = 60°
CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAP বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAP = ½ × ∠COD
= ½ × 60°
= 30°
আবার, ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = 90°
∴ ∠PDA = 90°
△PDA -এর ক্ষেত্রে
∠APD = 180° – ∠DAP – ∠PDA
= 180° – 30° – 90°
= 60°
∴ ∠APB = 60°
Ans: ∠APB-এর মান 60°
Madhyamik Question
MP-2022
▶️ ‘0’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের ওপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হলে ∠RPQ এর মান :
(a) 30o (b) 90o (c) 60o (d) 45o
MP-2020
▶️ দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমান কর A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
MP-2019
▶️ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-প্রমাণ করো।
MP-2018
▶️ অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
- Madhyamik -26 Mathematics Solution
- Madhyamik -25 Mathematics Solution
- কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান
- কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ
- কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা
- Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
- Solution of Koshe dekhi 22
- Solution of Koshe dekhi 21
- KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
- ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
- Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
- Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X
- Complete Solution of MP-24 Mathematics
- Complete Solution of MP-20 Mathematics
- Complete Solution of MP-19 Mathematics
- Complete Solution of MP-18 Mathematics
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান – কষে দেখি – 7.1 || Class – X Koshe Dekhi – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
প্রয়োজনীয় উপপাদ্য এবং তথ্যসমূহ
✴️ পরিধিস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপ পরিধির উপর যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ বলে।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণের সংখ্যা অসংখ্য।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন সকল পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ কোণের মান সমান হয়।
✴️ কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।
নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
▶️ একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা দুটি এবং কেবল মাত্র দুটি কেন্দ্রস্থ কোণ অঙ্কন করা সম্ভব যার একটা অবশ্যই প্রবৃদ্ধ কোণ হবে।
▶️ যেকোনো বৃত্তের সমস্ত পরীক্ষা পরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ 360° এবং অর্ধপরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণের মান হয় 180°।
✴️ বৃত্তস্থ কোণের সঙ্গে কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক:✴️
একই বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
▶️ একই বৃত্তাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ
হয়।
▶️ কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলির মান সমান।
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ x° হলে, কেন্দ্রস্থ কোন হবে
2x°
▶️ বৃত্তের একই চাপের উপর অবস্থিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ x° হলে,পরিধিস্থ
কোন হবে x/2°;
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোন x° ও y° হলে,
x° = y° হবে
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
△BOC থেকে পাই,
OB=OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
প্রদত্ত ∠BOC = 100°
∴ ∠OBC + ∠OCB = 180° – 100°
= 80°
∴ ∠OBC = ∠OCB
= 80°/2
= 40°
আবার,
প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° – ∠BOC
= 360° – 100°
= 260°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
বা, 2∠BAC = 260°
বা, ∠BAC = 260°/2
= 130°
আবার △ABC থেকে পাই,
AB = BC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∵ ∠BAC = 130°
∴ ∠ABC = ∠ACB
= (180°−130°)/2
= 50°/2
=25°
∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC
= 25° + 40° = 65°
Ans: ∠ABC এর মান 25° এবং
∠ABO এর মান 65°।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
আবার, ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ∠AOC
= 360° – 110°
= 250°
∴ ∠ABC = ½ × ∠AOC
= ½ × 250°
= 125°
Ans: ∠ABC –এর মান 125°।
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
∠এখানে, ∠BCP = 108°
∴ ∠BCD = 180° – 108°
= 72°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
∴ ∠BOD = 2×∠BCD
বা, ∠BOD = 2 × 72°
= 144°
Ans: ∠BOD –এর মান 144°।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
প্রদত্ত ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°
একই বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA
∴ ∠DOA = 2 × ∠DCA
বা, ∠DCA = ½ × ∠DOA
= ½ X 40°
⇒ 20°
∴ ∠BCO = ∠DCA+ ∠ACB
⇒ 20° + 35°
= 55°
আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠AOB = 2 × ∠ACB
= 2 × 35°
= 70°
∠BOD = ∠AOB + ∠AOD
= 70° + 40°
= 110
Ans: ∠BCO = 55° এবং
∠BOD = 110°
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
∴ ∠COD = 2∠DBC
∴ ∠AOB + ∠COD
= 2∠ACB + 2∠DBC
= 2(∠ACB + ∠DBC)
⇒ 2(∠PCB + ∠PBC) – – – (1
△PBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB
∴ ∠PCB + ∠PBC = ∠APB
বা, ∠PCB + ∠PBC = 80° – – – [∵ ∠APB = 80°]
(1) নং থেকে পাই,
∠AOB + ∠COD = 2 × 80°
= 160°
Ans: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°
২০০ টি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ও আবিষ্কারক CLICK HERE
6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD
সমাধানঃ
স্বীকারঃ C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD
অঙ্কনঃ C, B ও B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
∴ ∠PCA = 2∠PBA – – – (1)- – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
∴ ∠ADQ = 2∠ABQ – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBA + 2∠ABQ
= 2(∠PBA + ∠AQB)
⇒ ∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBQ – – – (3)
△APC –এর ক্ষেত্রে,
∠APC = ∠PAC – – – [∵ CP = CA]
∵ ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
বা, ∠PCA = 180° – 2∠PAC – – – (3)
অনুরূপে, △ADQ –এর ক্ষেত্রে,
∠ADQ = 180° – 2∠DAQ – – – (4)
(3) + (4) করে পাই,
∠PCA + ∠ADQ = 180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ
বা, 2∠PBQ = 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) – – – [(3) থেকে পাই]
বা, 2∠PBQ = {2(180° – (∠PAC + ∠DAQ)}
⇒, ∠PBQ = (180° – (∠PAC + ∠DAQ)
বা, ∠PBQ = ∠CAD [Proved]
আবার, △ACB –এর
CA = CB – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠CAB = ∠CBA
অনুরূপে, △ADB –এর ক্ষেত্রে,
∠DAB = ∠DBA
∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
বা, ∠CAD = ∠ABD
কিন্তু, ∠CAD = ∠PBQ – – [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ ∠CAD = ∠PBQ
আবার, ∠PBD – ∠CAD = ∠PBD – ∠PBQ
বা, ∠PBC = ∠DBQ
∴ ∠BPC = ∠BQD [Proved]
7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90o
সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠OBC + ∠BAC = 90°
অঙ্কনঃ O, B ও O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
△BOC থেকে পাই,
BO = OC – – – [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [Proved]
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রীয় দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
অঙ্কনঃ A,P ; P,B ; B,Q ; A,Q এবং P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △APQ এর
AP = PQ = AQ – – [ ∵ বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধও সমান ]
∴ △APQসমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠APQ = ∠AQP = 60°
অনুরূপে, △BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴∠BPQ = ∠BQP = 60°
∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ
= 60° +60°
= 120°
অনুরূপে, ∠AQB = 120°
AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ACB = ½ × ∠APB
= ½ × 120°
= 60°
আবার APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ADB = ½ × ∠AQB
= ½ × 120°
= 60°
∴ ∠DCB =180° – ∠ACB – ∠ADB
= 180° – 60° – 60°
= 60°
△BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [Proved]
দশম শ্রেণির বয়েলের সুত্র (Boyels Law) এর উপর Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।
9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAD = ∠SAC
অঙ্কনঃ S,A ; S,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △SAC এর,
SA = SC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠SAC = ∠SCA
S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ASC = 2∠ABC
আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
⇒ ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
বা, ∠SAC = 90° – ½ ×2∠ABC – – – [∵ ∠ASC = 2∠ABC]
বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC – – – (1)
ABD সমকোণী ত্রিভুজের,
∠BAD = 90° – ∠ABD
= 90° – ∠ABC – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠SAC = ∠BAD [Proved]
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
O, D; O, B যুক্ত করা হল।
∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
∴ ∠AOD = 2∠ABD – – – (1)
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
∴ ∠BOC = 2∠BDC – – – (2)
△BDP –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) + (2) করে পাই,
∴ ∠AOD + ∠BOC
= 2∠ABD + 2∠BDC
⇒ 2(∠ABD + ∠BDC)
= 2(∠PBD + ∠BDP)
= 2∠BPC
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [Proved]
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
তবে ∠AOD + ∠BOC = 180° হয়
∴ 2∠BPC = 180°
বা, ∠BPC = 90°
∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। [Proved]
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
△BPC –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
(3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
সমাধানঃ
স্বীকারঃ A কেন্দ্রীয় বৃত্ত ABCD চতুর্ভুজের B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত ।
B, D যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির উপর একটি বিন্দু নেওয়া হল। B,P এবং D, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △BCD থেকে পাই,
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) – – – (1)
আবার ∠BCD + ∠BPD = 180° – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।]
বা, ∠BCD = 180° – ∠BPD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
180° – (∠CBD + ∠CDB) = 180° – ∠BPD
বা, ∠CBD + ∠CDB = ∠BPD – – – (3)
BCD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠BPD পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠BPD = 1/2∠BAD – – – (4) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
বা, ∠CBD + ∠CDB = 1/2∠BAD [Proved]
13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC
সমাধানঃ
স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
△BOD ও △COD থেকে পাই,
BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
H
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান (a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20
Ans: (d) 20
[O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ
= 180° – 140°
= 40°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ
= ½ ∠ROQ
⇒ ½ × 40°
= 20°
∴ x = 20]
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান (a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200
Ans: (a) 70
[∠QOR = 360° – (140° + 80°)
= 360° – 220°
= 140°
∴ ∠QPR = 1/2 ∠QOR
= 1/2 × 140°
= 70°
∴ x = 70]
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান (a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80
Ans: (b) 50
[Δ AOB এর OB = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA
= 50°
∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA
= 50° + 50° – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
= 100°
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
= 1/2 ∠AOC
⇒ 1/2 × 100°
= 50°]
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান (a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°
Ans: (c) 40°
[ΔOAB এর AO = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°)
= 180° – 100°
= 80°
এখানে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
= 1/2 ∠AOB
⇒ 1/2 × 80°
= 40°]
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান (a) 20° (b) 40° (c) 60° (d) 80°
Ans: (c) 60°
[△POQ –এর
OP = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OPQ = ∠OQP = 10°
∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°)
= 180° – 20°
= 160°
আবার, △ROQ –এর,
OR = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR = 40°
∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°)
= 180° – 80°
= 100°
∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ
= 160° – 100°
= 60°]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
সত্য বা মিথ্যা / শূন্যস্থান পূরণ
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,
∠AOB=2∠ACD
Ans: মিথ্যা,
[কারণ AB এবং AD দুটি বৃত্তচাপ অভিন্ন নয়।]
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB=2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
Ans: সত্য।
[∠AOB = 2∠ACB
চিত্রানুযায়ী,
∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।
আবার কোণদ্বয় একই বৃত্তচাপ AB-এর ওপর অবস্থিত ।
সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত।
C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের দ্বারা গঠিত সন্মুখ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের __________ ।
Ans: অর্ধেক
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
Ans: সমান
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________ ।
Ans: 120°
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40o, ∠ABC = 120o, ∠BCO=yo এবং ∠COA = xo হলে,
x ও y-এর মান নির্ণয় করি
সমাধানঃ APC বৃত্তচাপের ওপর.
কেন্দ্ৰস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½ প্ৰবিদ্ধ ∠AOC – – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
∴ 120° = ½(360° – x)
বা, 240° = 360° – x
বা, x = 360° – 240°
∴ x = 120°
∴ y = 360° – (40°+120° +120°)- – – [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]
= 360° – 280°
= 80°
Ans: x-এর মান 120° ও
y-এর মান y 80°
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: O,B ;O,D ; O,C যুক্ত করা হল ।
BC বৃত্তচাপের ওপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC এবং কেন্দ্ৰস্থ কোণ ∠BOC
∴ ∠BOC = 2∠BAC
=2 × 40° = 80°
ΔBOD ও ΔCOD এর ক্ষেত্রে,
BD=DC – – – [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]
OB = OC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OD সাধারণ বাহু
∴ বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে,
ΔBOD ≅ ΔCOD
∴ ∠BOD = ∠COD
আবার ∠BOC = 80°
∴∠BOD = ∠COD
=40°
Ans: ∠BOD-এর মান 40°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।
∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∠AOC = ∠ABC – – – [সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।]
= 180°
ABC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 ×∠ABC – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
আবার,
প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠ABC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠AOC + ∠AOC = 360°
⇒ 3∠AOC = 360°
বা, ∠AOC = 120°
Ans: ∠AOC-এর মান 120°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 এবং ∠ABC = 120° ;
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
O,A ; O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
Δ AOB ও ΔCOB এর মধ্যে
OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AB = BC – – – [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু]
OB সাধারন বাহু
∴ Δ AOB ≅ ΔCOB
∠OBA = ∠OAB – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠OBA = ½ ∠ABC – – – {∠ABC = 120°]
= ½ × 120°
= 60°
∠OAB =∠OBA – – – [∵OA = OB]
= 60°
∴ ∠AOB = 180° – 60° -60°
= 60°
∴ Δ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = OA = 5 সেমি
Ans: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত।
∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
BC ও BD যুক্ত করা হল।
প্রদত্ত ∠CQD = 70°
B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CQD
∴ ∠CBD = 2 ×∠CQD – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
= 2 × 70°
= 140°
আবার,
∠CPD + ∠CBD = 180° – – – [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়]
বা, ∠CPD + 140° = 180°
বা, ∠CPD = 40°
Ans: ∠CPD-এর মান 40°
Madhyamik Question
MP-2017
▶️ (ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC
- Madhyamik -26 Mathematics Solution
- Madhyamik -25 Mathematics Solution
- কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান
- কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ
- কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা
- Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
- Solution of Koshe dekhi 22
- Solution of Koshe dekhi 21
- KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
- ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
- Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
- Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X
- Complete Solution of MP-24 Mathematics
- Complete Solution of MP-20 Mathematics
- Complete Solution of MP-19 Mathematics
- Complete Solution of MP-18 Mathematics
