বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক SEMESTER-3

SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক
SEMESTER-3

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. a ≤ x ≤ b এবং a < x₁ < x₂ < b বিস্তারে f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হলে, a ≤ x ≤ b বিস্তারে f(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী হবে যখন-
Ⓐ f(x₂) > f(x₁) যখন x₂ > x₁
Ⓑ f(x₂) < f(x₁) যখন x₂ > x₁
Ⓒ f(x₂) > f(x₁) যখন x₂ < x₁
Ⓓ f(x₂) < f(x₁) যখন x₂ < x₁

Ans: Ⓑ f(x₂) < f(x₁) যখন x₂ > x₁

2. f: [0, 2] → R অপেক্ষকটি f(x) = x³ – 3x দ্বারা সংজ্ঞাত হলে, নিম্নোক্ত কোন্ পরিসরে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান?
Ⓐ (1, 2)Ⓑ (0, 1)
Ⓒ (0, 2)Ⓓ (¹/₂, ³/₂)

Solution: f(x) = x³ – 3x
∴ f’(x) = 3x² – 3
= 3(x²– 1)
= 3(x + 1)(x – 1)
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হবে
যদি f’(x) ≥ 0 হয়
বা, 3(x + 1)(x – 1) > 0 হয়
বা, (x + 1)(x – 1) > 0 হয়
⇒ x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
কিন্তু f: [0, 2] → R
∴ অপেক্ষকটি (1, 2) পরিসরে ক্রমবর্ধমান
Ans: Ⓐ (1, 2)

3. যদি f(x) = μx – sin x, x > 0, একটি সমক্রমী ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক হয় তবে-
Ⓐ μ > – 1Ⓑ μ < 1
Ⓒ μ > 1Ⓓ μ < – 1

Solution: f(x) = μx – sin x, x > 0, অপেক্ষকটি সমক্রমী ক্রমবর্ধমান হবে
যদি f’(x) ≥ 0 হয়
বা, μ – cos x ≥ 0 হয়
বা, μ ≥ cos x হয়।
আবার cos x ≤ 1
∴ μ ≥ 1
Ans: Ⓒ μ > 1

4. সঠিক বিকল্পটি নির্বাচন করো।
Ⓐ f(x) = ^{2x – 3}/_{4x + 5} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
Ⓑ ϕ(x) = sin x (0 ≤ x ≤ π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী
Ⓒ f(x) = loge x (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
Ⓓ f(x) = tan x (0 < x < π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

Solution: Ⓐ f(x) = ^{2x – 3}/_{4x + 5}
∴ f’(x) = ^{2(4x + 5) – 4(2x – 3)}/_{(4x + 5)²}
= ^{8x + 10 – 8x + 12}/_{(4x + 5)²}
= ²²/_{(4x + 5)²}
∵ x > 0
∴ ²²/_{(4x + 5)²} > 0
⇒ f’(x) > 0
∴ f(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী → বিবৃতিটি ভুল
Ⓑ ϕ(x) = sin x
∴ ϕ’(x) = cos x
0 ≤ x ≤ π/2 বিস্তারে cos x ≥ 0
∴ ϕ(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী → বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓑ ϕ(x) = sin x (0 ≤ x ≤ π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী

5. সঠিক বিকল্পটি নির্বাচন করো।
Ⓐ ^{x + 2}/_{x + 1} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী
Ⓑ sin x (^π/₂ ≤ x ≤ π) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহীl
Ⓒ f(x) = ¹/_{x + 1} + ¹/_{x + 2} + ¹/_{x + 3} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
Ⓓ f(x) = e^x অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

Solution: Ⓐ f(x) = ^{x + 2}/_{x + 1}
= ^{x + 1 + 1}/_{x + 1}= 1 + ¹/_{x + 1}
∴ f’(x) = – ¹/_{(x + 1)²}
(x + 1)² ≥ 0
∴ f’(x) = – ¹/_{(x + 1)²} ≤ 0
∴ ^{x + 2}/_{x + 1} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
অতএব বিবৃতিটি ভুল
Ⓑ sin x
∴ f’(x) = cos x
^π/₂ ≤ x ≤ π বিস্তারে cos x সর্বদা ঋণাত্মক বা শূন্য হয়।
∴ f’(x) ≤ 0
∴ sin x (^π/₂ ≤ x ≤ π) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
অতএব বিবৃতিটি ভুলl
Ⓒ f(x) = ¹/_{x + 1} + ¹/_{x + 2} + ¹/_{x + 3}
∴ f’(x) = – ¹/_{(x + 1)²} – ¹/_{(x + 2)²} – ¹/_{(x + 3)²}
∴ f’(x) < 0
f(x) = ¹/_{x + 1} + ¹/_{x + 2} + ¹/_{x + 3} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
অতএব বিবৃতিটি সঠিক।
Ans: Ⓒ f(x) = ¹/_{x + 1} + ¹/_{x + 2} + ¹/_{x + 3} (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

6. মনে করো, f(x) = ^{2x – 1}/_{3x + 4} একটি অপেক্ষক, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ অপেক্ষকটি (¹/₂, ∞) অন্তরালে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓑ অপেক্ষকটি (- ∞, ¹/₂) অন্তরালে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓒ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র বর্ধিষ্ণু
Ⓓ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র ক্ষয়িষ্ণু

\(Solution:\ f(x) = \frac{2x – 1}{3x + 4}\\ ∴ f’(x) = \frac{2(3x + 4) – (2x – 1).3}{(3x + 4)^2}\\= \frac{6x + 8 – 6x + 3}{(3x + 4)^2}\\= \frac{11}{(3x + 4)^2}> 0\)

∴ অপেক্ষকটি x-এর যেকোনো মানের জন্য বর্ধিষ্ণু।
Ans: Ⓒ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র বর্ধিষ্ণু

7. মনে করো, f(x) = x(4x² – 3) একটি অপেক্ষক, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ অপেক্ষকটি [¹/₂, ∞) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
Ⓑ অপেক্ষকটি (- ∞, ¹/₂] অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
Ⓒ অপেক্ষকটি [¹/₂, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
Ⓓ অপেক্ষকটি (-¹/₂, ¹/₂) অন্তরালে ক্রমবর্ধান

Solution: f(x) = x(4x² – 3)
= 4x³ – 3x
∴ f’(x) = 12x² – 3
= 12(x² – ¹/₄)
⇒ 12[(x)² – (¹/₂)²]
= 12(x + ¹/₂)(x – ¹/₂)

∴ x < – ¹/₂ এবং x > ¹/₂ হলে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।
∴ x ∈ [¹/₂, ∞) অন্তরালে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।
Ans: Ⓒ অপেক্ষকটি [¹/₂, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান

৪. যে অন্তরালে f(x) = 2x² – log|x| ( x ≠ 0) অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান, তা হল-
Ⓐ 0 < x < ¹/₂
Ⓑ x < – ¹/₂
Ⓒ – ¹/₂ < x অথবা x > ¹/₂
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² – log|x|

\(∴ f’(x) = 4x – \frac{1}{x}\\=\frac{4x^2 – 1}{x}\\= \frac{4}{x}\left(x^2-\frac{1}{4}\right)\\= \frac{4}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\) f’(x) = 0 হলে,\(\quad \frac{4}{x}\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=0\\⇒\frac{4}{x}\left[(x^2-\left( \frac{1}{2}\right)^2 \right]=0\\⇒ \frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=0\)

∴ [-¹/₂ , 0) এবং [¹/₂ , ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
∴ [- ¹/₂, 0) এবং [¹/₂ , ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

9. f(x) = ³/_x + ^x/₃ অপেক্ষক
Ⓐ (- ∞, – 3] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓑ (- 3, 0) ∩ (0,3) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓒ [-3, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓓ (- 3, 0) ∪ (0,3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

Solution: f(x) = ³/_x + ^x/₃
∴ f’(x) = – ³/_x² + ¹/₃
₌ ¹/₃ – ³/_x²
f’(x) = 0 হলে,
¹/₃ – ³/_x² = 0
বা, ³/_x² = ¹/₃
বা, x² = 9
∴ x = ±3

(-∞, -3] U [3, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
∴ (-∞, -3] U [3, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
Ans:Ⓐ (- ∞, – 3] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

10. f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1 অপেক্ষক-
Ⓐ (- ∞, 2] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓑ (2, 3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓒ (- ∞, 2) ∪ (3, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓓ (2, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

Solution: f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
∴ f’(x) = 6x² – 30x + 36
= 6(x² – 5x + 6)
= 6(x² – 3x – 2x + 6)
== 6[x(x – 3) – 2(x – 3)]
= 6(x – 3)(x – 2)
f’(x) = 0 হলে,
6(x – 3)(x – 2) = 0
⇒ (x – 3)(x – 2) = 0

(-∞, 2] U [3, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
∴ (-∞, 2] U [3, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
Ans: Ⓐ (- ∞, 2] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

11. f(x) = x³ – 12x² + 36x + 17 অপেক্ষক-
Ⓐ (-∞, 2] ∩ [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓑ (2, 7] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓒ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓓ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

Solution: f(x) = x³ – 12x² + 36x + 17
∴ f’(x) = 3x² – 24x + 36
= 3(x² – 8x + 12)
= 3(x² – 6x – 2x + 12)
⇒ 3[x(x – 6) – 2(x – 6)]
= 3(x – 6)(x – 2)
f’(x) = 0 হলে,
3(x – 6)(x – 2) = 0
⇒ (x – 6)(x – 2) = 0

(-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
∴ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
Ans: Ⓓ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

12. f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15 অপেক্ষক-
Ⓐ (1, 4] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓑ [1, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
Ⓒ (1, 3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓓ (-∞, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

Solution: f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
∴ f’(x) = 3x² – 12x + 9
= 3(x² – 4x + 3)
= 3(x² – 3x – x + 3)
= 3[x(x – 3) – 1(x – 3)]
⇒ 3(x – 3)(x – 1)
f’(x) = 0 হলে,
3(x – 3)(x – 1) = 0
⇒ (x – 3)(x – 1) = 0

[1, 3] বিস্তারে f’(x) ≤ 0
∴ [1, 3] বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু
Ans: Ⓑ [1, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

13. f(x) = 4x³ + 6x² – 24x + 1 অপেক্ষক-
Ⓐ [-2, 1] বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান
Ⓑ (-2, 1) বিস্তারে ক্রমবর্ধমান
Ⓒ (2, 1) বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান
Ⓓ (2, 1) বিস্তারে ক্রমবর্ধমান

Solution: f(x) = 4x³ + 6x² – 24x + 1
∴ f’(x) = 12x² + 12x – 24 = 12(x² + x – 2)
= 12(x² + 2x – x – 2)
= 12[x(x + 2) – 1(x + 3)]
= 12(x + 2)(x – 1)
f’(x) = 0 হলে,
12(x + 2)(x – 1) = 0
⇒ (x + 2)(x – 1) = 0

[-2, 1] বিস্তারে f’(x) ≤ 0
∴ [-2, 1] বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্রমহ্রাসমান
Ans: Ⓐ [-2, 1] বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান

14. f(x) = (x – 1)³ (x – 2)² অপেক্ষক
Ⓐ (- ∞, ⁸/₅] ∪ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓑ [⁸/₅, 2) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓒ (- ∞, 1) ∪ (⁸/₅, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
Ⓓ (1, 2) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

Solution: f(x) = (x – 1)³ (x – 2)²
∴ f’(x) = 3(x – 1)²(x – 2)² + (x – 1)³.2(x – 2)
= (x – 1)²(x – 2)[3(x – 2) + 2(x – 1)]
= (x – 1)²(x – 2)(5x – 8)
⇒ 5(x – 1)²(x – 2)(x – ⁸/₅)
f’(x) = 0 হলে,
5(x – 1)²(x – 2)(x – ⁸/₅) = 0
⇒ (x – 1)²(x – 2)(x – ⁸/₅) = 0

(- ∞, ⁸/₅] এবং (2, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
∴ (- ∞, ⁸/₅] ∪ (2, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
Ans: Ⓐ (- ∞, ⁸/₅] ∪ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

15. f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7 অপেক্ষকটি
Ⓐ (-∞, -2) অন্তরালে যথার্থ বর্ধিষ্ণু এবং (-2, ∞) অন্তরালে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু
Ⓑ (-∞, 3) অন্তরালে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু এবং (3,∞) অন্তরালে যথার্থ বর্ধিষ্ণু
Ⓒ (-∞, -2) U (3, ∞)-তে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু
Ⓓ (-2, 3) -এ যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু

Solution:: f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7
∴ f’(x) = 6x² – 6x² – 36
= 6(x² – x – 6)
= 6(x² – 3x + 2x – 6)
⇒ 6[x(x – 3) + 2(x – 3)]
= 6(x – 3)(x + 2)
f’(x) = 0 হলে,
6(x – 3)(x + 2) = 0
⇒ (x – 3)(x + 2) = 0

(- 2, 3) -এ f’ (x) > 0
∴ (- 2, 3) -এ অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু
Ans: Ⓓ (-2, 3) -এ যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু

16. যদি x > 0 হয়, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ x < log(x² + 1)
Ⓑ log(1 + x) ≤ x
Ⓒ x < sin x
Ⓓ x² > (1 + x) [log(1 + x)]²

Solution: Ⓐ ধরি, f(x) = x – log(x² + 1)
f(0) = 0 – log(0² + 1) = 0
∴ f’(x) = 1 – ¹/_{x² + 1}.2x
= ^{x² + 1 – 2x}/_{x² + 1}
= ^{(x – 1)²}/_{x² + 1} > 0, ∀_x > 0
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
x > 0
∴ f(x) > f(0)
⇒ x – log(x² + 1) > 0
⇒ x > log(x² + 1) → বিবৃতিটি ভুল

Ⓑ ধরি, g(x) = x – log(1 + x)
g(0) = 0 – log(1 + 0) = 0
∴ g’(x) = 1 – ¹/_{1 + x}
= ^{1 + x – 1}/_{1 + x}
= ^x/_{1 + x} > 0, ∀_x > 0
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
x > 0
∴ g(x) > g(0)
⇒ x – log(1 + x) > 0
⇒ log(1 + x) < x → বিবৃতিটি ভুল

Ⓒ ধরি, h(x) = x – sin x
h(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
∴ h’(x) = 1 – cos x
= 2sin² ^x/₂ > 0, ∀_x > 0
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
x > 0
∴ h(x) > h(0)
⇒ x – sin x > 0
⇒ x > sin x → বিবৃতিটি ভুল

Ⓓ x² > (1 + x) [log(1 + x)]²
⇒ x > √(1 + x).log(1 + x)
ধরি, φ(x) = ^x/_{√(1 + x)}– log(1 + x)
φ(0) = ⁰/_{√(1 + 0)}– log(1 + 0) = 0 – 0 = 0
∴ φ’(x) = ^{1.√(1 + x) – x.1/2√(1 + x)}/_{(1 + x)}– ¹/_{(1 + x)}
= ^{2(1 + x) – x}/_{2(1 + x)√(1 + x)}– ¹/_{(1 + x)}
== ^{2 + x}/_{2(1 + x)√(1 + x)}– ¹/_{(1 + x)}
= ^{2 + x – 2√(1 + x)}/_{2(1 + x)√(1 + x)} > 0, ∀_x > 0
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
x > 0
∴ φ (x) > φ (0)
⇒ ^x/_{√(1 + x)}– log(1 + x) > 0
⇒ ^x/_{√(1 + x)}> log(1 + x)
বা, x > √(1 + x).log(1 + x)
⇒ x² > (1 + x) [log(1 + x)]²→ বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓓ x² > (1 + x) [log(1 + x)]²

17. যদি \( 1+xlog(x+\sqrt{x^2+1}\sqrt{1+x^2}\) হয়, তবে-

Ⓐ x > 0 Ⓑ x < 0
Ⓒ x ≥ 0 Ⓓ x ≤ 0

Solution: ধরি,\( \ f(x)=1+xlog(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{1+x^2}\)

∴ f(0) = 1 + 0 – 1 = 0

\(∴ f’(x) = 0 + 1. log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1}) 0\, ∀_x 0\)

∵ x > 0 ∴ f’(x) > 0
∴ x > 0 এর জন্য
f(x) >f(0)

\(⇒ 1+xlog(x + \sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}0\\⇒ 1+xlog(x + \sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}\\Ans:\ Ⓐ\ x 0\)

18. x > 0 হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ x > log(1 + x) ≥ ^x/_{1 + x}
Ⓑ x – ^x²/₂ < log(1 + x) < x – ^x²/_{2(x + 1)}

\(Ⓒ\ log(x + \sqrt{1 + x^2} x\\Ⓓ\ log(x + \sqrt{1 + x^2} tan^{-1} x\)

Solution: Ⓐ ধরি, f(x) = x – log(1 + x)
∴ f’(x) = 1 – ¹/_{1 + x} = ^x/_{1 + x}
∵ x > 0
∴ f’(x) > 0
f(0) = 0 – log1 = 0
তাই x > 0 এর জন্য f(x) > f(0)
বা, x – log(1 + x) > 0
বা, x > log(1 + x)
আবার ধরি, g(x) = log(1 + x) – ^x/_{(1 + x)}

\(∴g’(x) = \frac{1}{1+x} – \frac{1(1+x)-x.(0+1)}{(1+x)^2}\\=\frac{1}{1+x} – \frac{1}{(1+x)^2}\\=\frac{x}{(1+x)^2}\)

∵ x > 0 ∴ g’(x) > 0
g(0) = log(1 + 0) – ⁰/_{(1 + 0)} = 0
তাই x > 0 এর জন্য,
g(x) > 0
বা, log(1 + x) – ^x/_{(1 + x)} > 0
বা, log(1 + x) > ^x/_{(1 + x)}
কিন্তু log(1 + x) ≥ ^x/_{(1 + x)}→ মিথ্যা

Ⓑ f(x) = x – ^x²/₂ – log(1 + x)
∴ f(0) = 0 – 0 – log1 = 0 > 0
∴ f’(x) = 1 – ^2x/₂ – ¹/_{1 + x}
= ^{1 + x – x – x² – 1}/_{1 + x}
= –^x²/_{1 + x}

আবার ধরি, g(x) = log(1 + x) – x + ^x²/_{2(x + 1)}
∴ g(0) = log(1 + 0) – 0 + ⁰/_{2(0 + 1)}
= log1 = 0

\(∴ g’(x) =\frac{1}{1+x}–1+\frac{1}{2}.\frac{2x.(x + 1)-x^2 (1 + 0)}{(x + 1)^2}\\=\frac{1}{1+x}–1+\frac{1}{2}.\frac{2x^2+2x-x^2}{(x + 1)^2}\\=\frac{1}{1+x}–1+\frac{x^2+2x}{2(x + 1)^2}\\=\frac{2(x + 1)-2(x + 1)^2+ x^2+ 2x}{(x + 1)^2}\\=\frac{2x+2-2x^2-4x-2+x^2+2x}{2(x + 1)^2}\\=-\frac{x^2}{(x + 1)^2}\)

∵ x > 0
∴ f’(x) < 0
x > 0 এর জন্য,
f(x) < 0
বা, log(1 + x) – x + ^x²/_{2(x + 1)}< 0
বা, log(1 + x) < x – ^x²/_{2(x + 1)}
Ans: Ⓑ x – ^x²/₂ < log(1 + x) < x – ^x²/_{2(x + 1)}

19. যদি x-এর মান বাস্তব হয়, তবে a প্যারামিটারের যেসব মানের জন্য y = ax³ + 3x² + (2a + 1)x + 1000 যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু সেই মানগুলি হবে-
Ⓐ a ≤ – ³/₂ Ⓑ a < – ³/₂
Ⓒ a > ³/₂ Ⓓ a ≥ ³/₂

Solution: y = ax³ + 3x² + (2a + 1)x + 1000
∴ y’ = 3ax² + 6x + 2a + 1
অপেক্ষকটি যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি,
y’ < 0
বা, 3ax² + 6x + 2a + 1 < 0 হয়।
অর্থাৎ 3a < 0
বা, a < 0 . . . (i)
এবং নিরূপক < 0
বা, (6)² – 4.3a.(2a + 1) < 0
বা, 36 – 24a² – 12a < 0
⇒ 3 – 2a² – a < 0
বা, 2a² + a – 3 > 0
বা, 2a² + 3a – 2a – 3 > 0
⇒ a(2a + 3) – 1(2a – 3) > 0
বা, (2a + 3)(a – 1) > 0
বা, (a + ³/₂)(a – 1) > 0
∴ a < – ³/₂ এবং a > 1 . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে বলা যায় অপেক্ষকটি যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি a < – ³/₂ হয়।
Ans: Ⓑ a < – ³/₂

20. ^{2sin θ + cos θ}/_{3sin θ + 4cos θ} অপেক্ষক ক্রমবর্ধমান হবে, θ -এর যে মানের জন্য তা হল-
Ⓐ θ ∈ Z Ⓑ θ ∈ W
Ⓒ θ ∈ R Ⓓ θ ∈ N

Solution: ধরি, f(θ) = ^{2sin θ + cos θ}/_{3sin θ + 4cos θ}
∴ f’(θ) = ^{(2cos θ – sin θ)(3sin θ + 4cos θ) – (3cos θ – 4sin θ)(2sin θ + cos θ)}/_{(3sin θ + 4cos θ)²}
= ^{6sin θcos θ + 8cos² θ – 3sin² θ} ^{– 4sin θcos θ – 6sin θcos θ – 3cos² θ + 8sin² θ + 4sin θcos θ}/_{(3sin θ + 4cos θ)²}
= ^{5cos² θ + 5sin² θ}/_{(3sin θ + 4cos θ)²}
=^{5(cos² θ + sin² θ)}/_{(3sin θ + 4cos θ)²}
= ⁵/_{(3sin θ + 4cos θ)²} > 0
θ এর যেকোনো মানের জন্য f’(θ) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
∴ θ ∈ R
Ans: Ⓒ θ ∈ R

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
- সন্ততা
- অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
- সম্ভাবনা
- Bayes’ উপপাদ্য
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. f(x) = x + ¹/_x (x ≠ 0) অপেক্ষক সব _________ তে ক্ষয়িষ্ণু।
Ⓐ x ∈ [- 1, 0) ∪ (0, 1]
Ⓑ x ∈ (- 1, 0) ∪ (0, 1)
Ⓒ x ∈ [- 1, 0] ∪ [0, 1]
Ⓓ x ∈ (- 1, 1)

Solution: f(x) = x + ¹/_x
∴ f’(x) = 1 – ¹/_x²
= ^{x² – 1}/_x²
= ^{(x + 1)(x – 1)}/_x²
f(x) ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি
^{(x + 1)(x – 1)}/_x² ≤ 0 হয়
বা, (x + 1)(x – 1) ≤ 0 হয়
∴ x ∈ [-1, 1] – {0}
Ans: Ⓐ x ∈ [- 1, 0) ∪ (0, 1]

2. f(x) = x³ – 6x² + 12x – 18 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু হবে যখন x ∈ _________।
Ⓐ R Ⓑ R⁺
Ⓒ R^– Ⓓ N

Solution: f(x) = x³ – 6x² + 12x – 18
∴ f’(x) = 3x² – 12x + 12
= 3(x² – 4x + 4)
= 3(x – 2)²
f(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি 3(x – 2)² ≥ 0 হয়।
x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য 3(x – 2)² ≥ 0
অর্থাৎ f’(x) ≥ 0 হবে।
∴ অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু হবে যখন x ∈ R
Ans: Ⓐ R

3. f(x) = (x – 1)e^x + 1 > 0 হবে যখন x ∈ _________ I
Ⓐ R Ⓑ R⁺
Ⓒ R^– Ⓓ N

Solution: f(x) = (x – 1)e^x + 1
∴ f(0) = (0 – 1)e⁰ + 1 = – e⁰ + 1 = -1 + 1 = 0
∴ f’(x) = 1. e^x + (x – 1)e^x
     = (1 + x – 1)e^x
      = xe^x > 0 যখন x > 0
এখন x > 0 হলে,
      f((x) > f(0)
⇒ (x – 1)e^x + 1 > 0
Ans: Ⓑ R+

4. 5 + 24x + 3x² – x³ অপেক্ষক ক্রমবর্ধমান _________ বিস্তারে।
Ⓐ – 2 < x < 4 Ⓑ – 2 < x ≤ 4
Ⓒ – 2 ≤ x < 4 Ⓓ – 2 ≤ x ≤ 4

Solution: f(x) = 5 + 24x + 3x² – x³
∴ f’(x) = 24 + 6x – 3x²
= -3(x² – 2x – 8)
= -3(x² – 4x + 2x – 8)
== -3[x(x – 4) + 2(x – 4)]
= -3(x – 4)(x – 2)
অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হবে যদি,
f’(x) > 0 হয়
বা, -3(x – 4)(x – 2) > 0 হয়
বা, (x – 4)(x – 2) < 0 হয়।
∴ x ∈ (-2, 4)
Ans: Ⓓ – 2 ≤ x ≤ 4

5. f(x) = x – |x – a| অপেক্ষক বর্ধিয়ু, যেখানে a যে-কোনো বাস্তব সংখ্যা তবে x ∈ _________
Ⓐ RⒷ N
Ⓒ WⒹ Z

Solution:
f(x) = x - |x - a|
     = {x - [-(x - a)] যখন x < a
       {x - (x - a) যখন x ≥ a
     = {x + x - a যখন x < a
       {x - x + a যখন x ≥ a
     = {2x - a যখন x < a
       {a যখন x ≥ a
∴ f’(x) = {2 যখন x < a
          {0 যখন x ≥ a

f(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি f’(x) > 0 হয়।
∴ f’(x) > 0 ∀x ∈ R
Ans: Ⓐ R

Column Matching

1. বামদিকের স্তম্ভটির সঙ্গে ডানদিকের স্তম্ভটি মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] x² – 6x + 7 ক্ষয়িষ্ণু হবে	[a] (-∞, -1] ∪ [2, ∞) বিস্তারে
[ii] 2x³ – 3x² – 12x + 4 বর্ধিষ্ণু হবে	[b] [1, 3] বিস্তারে
[iii] 4 – 9x + 6x² – x³ ক্ষয়িষ্ণু হবে	[c] (-∞, 3]
[iv] sin x – cos x (0 < x < 2π) বর্ধিষ্ণু হবে	[d] (0, ^3π/₄] ∪ [^7π/₄, 2π)

Solution: [i] f(x) = x² – 6x + 7
∴ f’(x) = 2x – 6
f(x) ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি
f’(x) ≤ 0 হয়
⇒ 2x – 6 ≤ 0 হয়
⇒ x ≤ 3 হয়।
∴ x² – 6x + 7 ক্ষয়িষ্ণু হবে (-∞, 3] বিস্তারে। → [c]

[ii] g(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 4
∴ g’(x) = 6x² – 6x – 12
= 6[x² – x – 2]
= 6[x² – 2x + x – 2]
=6[x(x – 2) + 1(x – 2)]
= 6(x – 2)(x + 1)
g(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি
g’(x) ≥ 0 হয়
⇒ 6(x – 2)(x + 1) ≥ 0 হয়
⇒ (x – 2)(x + 1) ≥ 0 হয়।
∴ x ≤ -1 এবং x ≥ 2
বা, x ∈ (-∞, -1] ∪ [2, ∞) হলে (x – 2)(x + 1) ≥ 0
∴ 2x³ – 3x² – 12x + 4 বর্ধিষ্ণু হবে (-∞, -1] ∪ [2, ∞) বিস্তারে। → [a]

[iii] h(x) = 4 – 9x + 6x² – x³
∴ h’(x) = -9 + 12x – 3x²
= -3[x² – 4x + 3]
= -3[x² – 3x – x + 3]
=-3[x(x – 3) – 1(x – 3)]
= -3(x – 3)(x – 1)
h(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি
h’(x) ≥ 0 হয়
⇒ -3(x – 3)(x – 1) ≥ 0 হয়
⇒ (x – 3)(x – 1) ≤ 0 হয়।
∴ x ∈ [1, 3] হলে -3(x – 3)(x – 1) ≥ 0
∴ 2x³ – 3x² – 12x + 4 বর্ধিষ্ণু হবে (-∞, -1] ∪ [2, ∞) বিস্তারে। → [b]

[iv] p(x) = sin x – cos x
∴ p’(x) = cos x + sin x
= √2[¹/_√2cos x + ¹/_√2sin x]
= √2[sin ^π/₄.cos x + cos ^π/₄.sin x]
=√2[sin (x + ^π/₄)
p(x) বর্ধিষ্ণু হবে
যদি p’(x) ≥ 0 হয়
⇒ √2sin (x + ^π/₄) ≥ 0 হয়।
sin (x + ^π/₄) ≥ 0 হবে
যখন 0 ≤ x + ^π/₄ ≤ π হয়
⇒ –^π/₄ ≤ x ≤ ^3π/₄ হয়
∴ x ∈ (0, ^3π/₄]. . . [∵ 0 < x < 2π]
আবার sin (x + ^π/₄) ≥ 0 হবে
যখন 2π ≤ x + ^π/₄ ≤ 3π হয়
⇒ ^7π/₄ ≤ x ≤ ^11π/₄ হয়
∴ x ∈ [^7π/₄, 2π) . . . [0 < x < 2π]
∴ (0, ^3π/₄ ] ∪ [^7π/₄, 2π) বিস্তারে sin x – cos x [∵ 0 < x < 2π] বর্ধিষ্ণু হবে। → [d]
Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]

2. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] f(x) = cos 2x	[a] (0, ^π/₄) অন্তরালে বর্ধিষ্ণু
[ii] ϕ(x) = x² – x + 1	[b] x = ^3π/₄ বিন্দুতে বর্ধিষ্ণু
[iii] g(x) = \|x	\|[c] (-1, 1) -এ বর্ধিষ্ণু বা ক্ষয়িষ্ণু কোনোটিই নয়
[iv] h(x) = sin x	[d] (0, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Ⓓ[i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]

Solution: [i] f(x) = cos 2x
∴ f’(x) = – 2sin 2x
∴ f’(^3π/₄) = – 2sin 2.^3π/₄
= – 2sin ^3π/₂
= -2.(-1) = 2 > 0
f(x) অপেক্ষকটি ^3π/₄ বিন্দুতে বর্ধিষ্ণু → [b]
[ii] ϕ(x) = x² – x + 1
∴ ϕ’(x) = 2x – 1
ϕ’(x) < 0 হলে,
2x – 1 < 0
বা, x < ¹/₂
∴ -1 < x < ¹/₂ হলে ϕ’(x) < 0 হয় অর্থাৎ অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু হয়।
আবার ϕ’(x) > 0 হলে,
2x – 1 > 0
বা, x > ¹/₂
∴ ¹/₂ < x < 1 হলে ϕ’(x) > 0 হয় অর্থাৎ অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু হয়।
∴ (-1, 1) -এ বর্ধিষ্ণু বা ক্ষয়িষ্ণু কোনোটিই নয়। → [c]

[iii] g(x) = |x| = x যখন x ∈ (0, ∞)
∴ g’(x) = 1
⇒ g’(x) > 0
g(x) অপেক্ষকটি (0, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান → [d]
[iv] h(x) = sin x
∴ h’(x) = cos x ∴
(0, ^π/₄) অন্তরালে,
cos x > 0
⇒ h(x) অপেক্ষকটি (0, ^π/₄) অন্তরালে বর্ধিষ্ণু → [a]
Ans: Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]

INCREASING AND DECREASING FUNCTION

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Rearrangement of Sentences/Events

1. 0 < x < ^π/₂ হলে, sin x < x < tan x প্রমাণ করার ধাপগুলি হল-
[i] g(x) > g(0) ⇒ tan x – x > 0 ⇒ tan x > x ∀x0 < x < ^π/₂
[ii] f(x) > f(0) ⇒ x – sin x > 0 ⇒ x > sin x ∀x0 < x < ^π/₂
[iii] f'(x) = 1 – cos x এবং g'(x) = sec² x – 1
[iv] sin x < x < tan x
[v] f(x) = x – sin x এবং g(x) = tan x – x
[vi] f'(x), g’(x) > 0 ∀x0 < x < ^π/₂

ধাপগুলির সঠিক ক্রম-
Ⓐ [v]-[iii]-[vi]-[ii]-[i]-[iv]
Ⓑ [v]-[vi]-[iii]-[ii]-[i]-[iv]
Ⓒ [v]-[iii]-[ii]-[vi]-[i]-[iv]
Ⓓ [v]-[vi]-[ii]-[iii]-[i]-[iv]

Solution: [v] প্রথমে ফাংশন দুটি ধরতে হবে।
      ধরি, f(x) = x – sin x এবং g(x) = tan x – x
[iii] এরপর ফাংশন দুটির অন্তরকল নির্ণয় করতে হবে।
      f'(x) = 1 – cos x এবং g'(x) = sec² x – 1
[vi] চিহ্ন যাচাই করতে হবে।
      0 < x < ^π/₂ বিস্তারে,
   0 < cos x < 1
∴ 1 – cos x > 0
⇒ f'(x) > 0
এবং sec² x > 1
∴ sec² x – 1 > 0
⇒ g'(x) > 0
∴ f(x) এবং g(x) ক্রমবর্ধমান
[ii] x > sin x প্রমান করতে হবে।
    f(x) ক্রমবর্ধমান
∴ f(x) > f(0)
⇒ x – sin x > 0
⇒ x > sin x
[i] tan x > x প্রমান করতে হবে।
    g(x) ক্রমবর্ধমান
∴ g(x) > g(0)
⇒ tan x – x > 0
⇒ tan x > x
[iv] sin x < x < tan xপ্রমান করতে হবে।
∵ x > sin x এবং tan x > x
∴ sin x < x < tan x
Ans: Ⓐ [v]-[iii]-[vi]-[ii]-[i]-[iv]

Assertion-Reasoning

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি I। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি ।। সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = (x + 2)e^-x অপেক্ষকটি [-1, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু।
বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষক f(x), S সেটে ক্ষয়িষ্ণু হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি সব x ∈ S এর জন্য f'(x) ≥ 0 হয়।

Solution: বিবৃতি-I(A): f(x) = (x + 2)e^-x
∴ f’(x) = 1. e^-x + (x + 2) e^-x(-1)
   = e^-x(1 – x – 1)
   = -(1 + x)e^-x[-1, ∞) বিস্তারে অর্থাৎ x ≥ 1 এর জন্য -(1 + x) ≥ 0 এবং e^-x > 0 হবে
∴ -(1 + x)e^-x ≤ 0 হবে
∴ f’(x) ≤ 0
অতএব f(x) = (x + 2)e^-x অপেক্ষকটি [-1, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু। → বিবৃতিটি সঠিক
বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষক f(x), S সেটে ক্ষয়িষ্ণু হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি সব x ∈ S এর জন্য f'(x) ≤ 0 হয়।
∴ বিবৃতিটি সঠিক নয়।
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

2. বিবৃতি-I(A): x = 4 বিন্দুতে 4x² – 6x – 11 অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু
বিবৃতি-II(R): যদি f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে x = a বিন্দুতে অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু হবে যখন f'(a) > 0

Solution: বিবৃতি-I(A): f(x) = 4x² – 6x – 11
∴ f’(x) = 8x – 6
∴ f’(4) = 8.4 – 6 = 26
∴ f’(4) > 0
অতএব x = 4 বিন্দুতে 4x² – 6x – 11 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু → বিবৃতিটি সঠিক
বিবৃতি-II(R): যদি f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে x = a বিন্দুতে অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু হবে যখন f'(a) > 0 → বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।

True and False

1. যদি 0 < x <^π/₂ হয়, তবে-
   বিবৃতি-I: sin x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
   বিবৃতি-II: cos x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
   বিবৃতি-III: tan x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
Ⓐ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য
Ⓓ বিবৃতি । সত্য

Solution: বিবৃতি-I: f(x) = sin x
∴ f’(x) = cos x
   0 < x <^π/₂ বিস্তারে cos x ধনাত্মক
∴ sin x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: g(x) = cos x
∴ g’(x) = – sin x
   0 < x <^π/₂ বিস্তারে sin x ধনাত্মক
∴ g’(x) = – sin x < 0
∴ cos x একটি ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-III: h(x) = tan x
∴ h’(x) = sec² x
   0 < x <^π/₂ বিস্তারে sec² x ধনাত্মক
∴ tan x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য

2. বিবৃতি-I: (-∞, ∞) বিস্তারে f(x) = x³ অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু।
বিবৃতি-II: (-∞, ০) বিস্তারে f(x) = x⁴ অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু। তবে-
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: f(x) = x³
∴ f’(x) = 3x²
x এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য f’(x) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
∴ অপেক্ষকটি (-∞, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু।
(-∞, ∞) বিস্তারে f(x) = x³ অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু। → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: : f(x) = x⁴
∴ f’(x) = 4x³
(-∞, ০) বিস্তারে x এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য f’(x) সর্বদা ঋণাত্মক হবে।
∴ অপেক্ষকটি (-∞, 0) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু।
(-∞, ০) বিস্তারে f(x) = x⁴ অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

3. বিবৃতি-I: x = – 2 বিন্দুতে ^x²/_{x² + 16} অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু
    বিবৃতি-II: x = 4 বিন্দুতে 4x² – 6x – 11 অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু
Ⓐ বিবৃতি । সত্য          Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য          Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: f(x) = ^x²/_{x² + 16}
∴ f’(x) = ^{2x(x² + 16) – x^².2x}/_{x² + 16}
= ^{2x³ + 32x – 2x³}/_{(x² + 16)^{^²}}
= ^32x/_{(x² + 16)^{^²}}
∴ f’(-2) = ^32.(-2)/_{(4 + 16)^{^²}}
= – ⁶⁴/₄₀₀ < 0
∵ f’(-2) < 0
অতএব x = – 2 বিন্দুতে ^x²/_{x² + 16} অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: g(x) = 4x² – 6x – 11
∴ g’(x) = 8x – 6
∴ g’(4) = 8.4 – 6 = 26
∴ g’(4) > 0
অতএব x = 4 বিন্দুতে 4x² – 6x – 11 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans:Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Diagram/Chart Based

Solution: লেখচিত্রটি x = a থেকে x = b এর মধ্যে ক্রমাগত ওপরের দিকে উঠছে এবং x = b বিন্দুতে সর্বোচ্চ চূড়ায় পৌঁছাচ্ছে।
∴ [a, b] বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু।
Ans: Ⓑ [a, b]

ওপরের চিত্র অনুযায়ী নীচের কোন্ বিকল্পটি সঠিক?
Ⓐ f অপেক্ষকটি (0, 6) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
Ⓑ f অপেক্ষকটি (-5, 0) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
Ⓒ f অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: x = -5 থেকে x = -3 পর্যন্ত গ্রাফটি ওপরের দিকে উঠছে (ক্রমবর্ধমান)।
x = -3 থেকে x = 3 পর্যন্ত গ্রাফটি ক্রমাগত নিচের দিকে নামছে (ক্রমহ্রাসমান)
আবার x = 3 থেকে x = 6 পর্যন্ত গ্রাফটি পুনরায় ওপরের দিকে উঠছে (ক্রমবর্ধমান)।
∴ অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান।
Ans: Ⓒ f অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান

DIFFERENTIABILITY →

← IFFERENTIABILITY

Tag: বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক SEMESTER-3

SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3