পিথাগোরাসের উপপাদ্য

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

কষে দেখি ২২ || পিথাগোরাসের উপপাদ্য || দশম শ্রেণির উপপাদ্য
KOSHE DEKHI 22 || PYTHAGORAS THEOREM || CLASS 10

1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি:

(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.

Ans: (8)² + (15)² = 64 + 225
= 289
= (17)²
∴ দেখা যাচ্ছে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটো বাহুর বর্গের সমষ্টি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী তিনটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.

Ans: (9)² + (6)² = 81 + 36
= 117
≠ (11)²
∴ দেখা যাচ্ছে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটো বাহুর বর্গের সমষ্টি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান নয়। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী তিনটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করবে না।

Solution of Koshe dekhi 22

2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।

এখানে মইয়ের দৈর্ঘ্য ED =EC= 15 মিটার।
মিলিদের জানালার উচ্চতা AD = 9 মিটার এবং
আমাদের জানালা BC = 12 মিটার
DAE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + AE² = DE²
বা, 9² + AE² = (15)²
বা, AE² = 225 – 81 =144
∴ AE =√144 = 12
আবার CBE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² + BE² = EC²
বা, (12)² + BE² = (15)²
বা, BE² = 225 – 144 = 81
∴ BE =√81 = 9
∴ AB = AE + EB
= 12 + 9
= 21
Ans: রাস্তাটি 12 মিটার চওড়া।

3. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

ABCD রম্বসের কর্ণ BD = 12 সেমি. এবং প্রতিটি বাহু 10 সেমি.
এখাণে AB = 10 সেমি.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্দিত করে।
∴ AO ⊥ 0B এবং
OB = ¹/₂BD = ¹/₂×12 = 6 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OB² + OA² = AB²
বা, 6² + OA² = (10)²
বা, OA² = 100 – 36 = 64
∴ OA = √64 = 8
∴ AC = 2.OA = 2.8 = 16
Ans: রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি.

Solution of Koshe dekhi 22

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS² + QR² = PR² + QS²

প্রদত্ত: △PQR-এর ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু।
প্রামান্য বিষয়: PS² + QR² = PR² + QS²
প্রমান: △PQR-এর ∠Q সমকোণ।
∴ △PQS এবং △PQR প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ ।
PQS সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PS² = PQ² + QS² – – – (i)
PQR সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² + QR² = PR²
বা, QR² = PR² – PQ² – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
PS² + QR² = PQ² + QS² + PR² – PQ²
বা, PS² + QR² = QS² + PR²
বা, PS² + QR² = PR² + QS² (Proved)

Solution of Koshe dekhi 22

5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।

প্রদত্ত: ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB² + BC² + CD² + DA² = AC²+ BD²
প্রমান: রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্দিত করে।
∴ AC ⊥ BD এবং AO = OC ও BO = OD
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OA² + OB²– – – – (i)
BOC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OB² + OC²– – – – (ii)
COD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OC² + OD²– – – – (iii)

DOA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DA² = OD² + OA²– – – – (iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
AB² + BC² + CD² + DA²
= OA² + OB² + OB² + OC² + OC² + OD² + OD² + OA²
⇒ 2OA² + 2OB² + 2OC² + 2OD²
⇒ 2OA² + 2OC² + 2OB² + 2OD²
= 2OA² + 2OA² + 2OB² + 2OB² – – – [∵ AO = OC ও BO = OD]
⇒ 4OA² + 4OB²
= (2OA)² + (2OB)²
= AC² + BD²
∴ AB² + BC² + CD² + DA² = AC²+ BD² (Proved)

Solution of Koshe dekhi 22

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB² + BC² + CA² = 4AD²

প্রদত্ত: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: AB² + BC² + CA² = 4AD²
প্রমান: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = BC = CA
আবার, AD, BC বাহুর উপর লম্ব।
△ADB এবং △ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ ।
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AD² + BD²
বা,AB² = AD² + (^BC/₂)²
বা,AB² = AD² + ^BC²/₄
⇒4AB² = 4AD² + BC²
⇒AB² + BC² + CA² + BC² = 4AD² + BC² – – – [∵ AB = BC = CA]
বা,AB² + BC² + CA² = 4AD² (Proved)

Solution of Koshe dekhi 22

7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q: B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, BQ² + PC² = BC² + PQ²

প্রদত্ত: △ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর যথাক্রমে P ও Q দুটি বিন্দু। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করা হল।
প্রামান্য বিষয়: BQ² + PC² = BC² + PQ²
প্রমান: △ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ △BAQ, △PAC, △BAC এবং △PAQ প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
BAQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BQ² = AB² + AQ²– – – – (i)
PAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PC² = AP² + AC²– – – – (ii)
BAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = AC² + AB²– – – – (iii)
PAQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² = AP² + AQ²– – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
BQ² + PC² = AB² + AQ²+ AP² + AC²
বা, BQ² + PC² = (AC² + AB²) + (AP² + AQ²)
বা, BQ² + PC² = BC² + PQ² – – -[(iii) ও (iv) থেকে]
∴ BQ² + PC² = BC² + PQ² (Proved)

Solution of Koshe dekhi 22

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB² + CD² = BC² + DA²

প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB² + CD² = BC² + DA²
প্রমাণ:– △AOB, △BOC, △COD, △DOA প্রতিটি ত্রিভুজই সমকোণী ত্রিভুজ।
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OB² + OA²– – – – (i)
BOC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OB² + OC²– – – – (ii)
COD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
CD² = OC² + OD²– – – – (iii)
DOA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DA² = OD² + OA²– – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
AB² + CD² = OB² + OA² + OC² + OD²
বা, AB² + CD² = (OB² + OC²) + (OA² + OD²)
বা, AB² + CD² = BC² + DA² – – -[(iii) ও (iv) থেকে]
∴ AB² + CD² = BC² + DA² [Proved]

Solution of Koshe dekhi 22

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB² – AC² = BD² – CD²

প্রদত্তঃ △ABC-এর উচ্চতা AD এবং AB > AC;
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB² – AC² = BD² – CD²
প্রমাণ: △ABC-এর AD উচ্চতা
∴ AD ⟂ BC
∴ △ADB ও △ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AD² + BD² – – – – (i)
ACD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AD² + CD² – – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
AB² – AC² = AD² + BD² – AD² – CD²
বা, AB² – AC² = BD² – CD² [Proved]

Solution of Koshe dekhi 22

10. 10. △ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC² + BP² = AB² + CP²

প্রদত্তঃ △ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB)বাহুদুটির উপর লম্ব যথাক্রমে BD ও CE পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC² + BP² = AB² + CP²
অঙ্কনঃ A, P যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ △ABC –এর BD ⟂ AC ও CE ⟂ AB
∴ AF ⟂ BC – – – [P লম্ববিন্দু]
∴ △AFC, △BFP, △AFB, △CFP প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ। AFC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AF² + CF² – – – – (i)
BFP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BP² = BF² + PF² – – – – (ii)
AFB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AF² + BF² – – – – (iii)
CFP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
CP² = PF² + CF² – – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
AC² + BP² = AF² + CF² + BF² + PF²
বা, AC² + BP² = AF² + BF² + PF² + CF²
বা, AC² + BP² = AB² + CP² – – – [(iii) ও (iv) থেকে]
∴ AC² + BP² = AB² + CP² [Proved]
Solution of Koshe dekhi 22

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD² + DB² = 2CD²

প্রদত্তঃ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু।
প্রামান্য বিষয়ঃ AD² + DB² = 2CD²
অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AC এবং BC-এর উপর যথাক্রমে DE এবং DF লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমানঃ CEDF চতুর্ভুজের,
∠CED = ∠CFD = 90^o
আবার ∠C সমকোণ।
∴ CEDF এক্টী একটি আয়তক্ষেত্র।
∠ADE = ∠ABC – – – – [∵DE ∥ BC এবং AB ভেদক]
আবার ∠ABC = ∠BAC
△AED এর ∠ADE = ∠DAE
∴ AE = ED
অনুরূপে △DFB এড় থেকে প্রমাণ করা যায়
BF = DF
△AED সমকোণী ত্রিভুজের,
AD² = AE² + DE²
বা, AD² = DE² + DE² – – – [∵ AD = DE]
বা, AD² = 2DE² – – – (i)
অনুরূপে DFB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BD² = 2DF² – – – (ii)
△DEC সমকোণী ত্রিভুজের,
CD² = DE² + CE²
বা, CD² = DE² + DF² – (iii)- – [∵ CE = DF]
(i) + (ii) করে পাই,
AD² + BD² = 2DE² + 2DF²
= 2(DE² + DF²)
= 2CD [(iii) নং থেকে]
∴ AD² + BD² = 2DE² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC² = CD² + 3AD²

প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD মধ্যমা।
প্রামান্য বিষয়ঃ BC² = CD² + 3AD²
প্রমানঃ ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ △CAD এবং △CAB ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
আবার CD মধ্যমা।
∴ AD = DB
∴ AB = 2AD
△CAB সমকোণী ত্রিভুজের,
BC² = AC² + AB²
বা, BC² = AC² + (2AD)²
বা, BC² = AC² + 4AD² – – – (i)
△CAD সমকোণী ত্রিভুজের,
CD² = AC² + AD² – – – (ii)
∵ BC² = AC² + 4AD²
= AC² + AD² + 3AD²
= CD² + 3AD² – – – [(ii) থেকে পাই]
∴ BC² = CD² + 3AD² (Proved)

13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ²

প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব ।
প্রামান্য বিষয়ঃ AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ²
অঙ্কনঃ O,A: O,B এবং O,C যুক্ত করা হল।
প্রমানঃ BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব
∴ △OXB, △OXC, △OYC, △OYA, △OZA এবং △OZB প্রতিটি ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
△OZA সমকোণী ত্রিভুজের,
AZ² = OA² – OZ² – – – (i)
△OXB সমকোণী ত্রিভুজের,
BX² = OB² – OX² – – – (ii)
△OYC সমকোণী ত্রিভুজের,
CY² = OC² – OY² – – – (iii)
△OYA সমকোণী ত্রিভুজের,
AY² = OA² – OY² – – – (iv)
△OXC সমকোণী ত্রিভুজের,
CX² = OC² – OX² – – – (v)
△OZB সমকোণী ত্রিভুজের,
BZ² = OB² – OZ² – – – (vi)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
AZ² + BX² + CY²
= OA² – OZ² + OB² – OX² + OC² – OY²
= OA² – OY² + OC² – OX² + OB² – OZ²
⇒ AY² + CX² + BZ² – – – [(iv), (v), (vi) থেকে পাই]
AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ² (Proved)

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY² + XT² = 5XY²

প্রদত্তঃ RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y;
প্রামান্য বিষয়ঃ RY² + XT² = 5XY²
প্রমানঃ RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ।
∴ △RSY, △TSX এবং △XSY প্রতিটি ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
△RSY সমকোণী ত্রিভুজের,
RY² = RS² + SY² – – – – (i)
△TSX সমকোণী ত্রিভুজের,
XT² = XS² + TS² – – – – (ii)
△XSY সমকোণী ত্রিভুজের,
XY² = XS² + SY² – – – – (iII)
(i) + (ii) করে পাই,
RY² + XT² = RS² + SY² + XS² + TS²
বা, RY² + XT² = (2XS)² + SY² + XS² + (2SY)² – – – [∵ RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; ]
বা, RY² + XT² = 4XS² + SY² + XS² + 4SY²
⇒ RY² + XT² = 5XS² + 5SY²
⇒ RY² + XT² = 5(XS² + SY²)
∴ RY² + XT² = 5XY² (Proved) – – – – [(iii) নং থেকে]

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.):

(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব (a) 34 মিটার, (b) 17 মিটার, (c) 26 মিটার, (d) 25 মিটার।
Ans: (c) 26 মিটার

এখাণে AB = 24 মিটার এবং BC = 10 মিটার
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
বা, AC² = 24² + 10²
বা, AC² = 576 + 100 = 676
∴ AC = √676 = 26]

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD² = (a) ³/₂DC² (b) 2DC² (c) 3DC² (d) 4DC²
Ans: (c) 3DC²

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = BC = CA
আবার AD ⊥ BC
∴ BD = DC
∴ BC = 2DC
ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + DC² = AC²
বা, AD² = BC² – DC²
বা, AD² = (2DC)² – DC²
∴ AD² = 4DC² – DC² = 3DC²]

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB² = – 2AC² হলে, ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°

Ans: (b) 90°
[ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের
AC = BCএবং
AB² = 2AC²
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = AC² + BC²
∴ ∠ACB = 90°]

(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
(a) 9 মিটার (b) 10 মিটার (c) 11 মিটার (d) 12 মিটার।
Ans: (b) 10 মিটার

[এখানে BC = 13 মিটার, AD = 7 মিটার AB = 8
∴ CE = BC – AD = 13 – 7 = 6
∴ DEC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DC² = DE² + EC²
বা, DC² = (8)² + (6)²
বা, DC² = 64 + 36 = 100
∴ DC = √100 = 10]

(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে, রম্বসটির পরিসীমা
(a) 13 সেমি. (b) 26 সেমি. (c) 52 সেমি. (d) 25 সেমি.।
Ans: (c) 52 সেমি.

[ABCD রম্বসের AB = 24 সেমি. এবং BD = 10 সেমি.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AO = ²⁴/₂ = 12 সেমি.
∴ BO = ¹⁰/₂ = 5 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AO² + BO²
বা, AB² = (12)² + (5)²
বা, AB² = 144 + 25 = 169
∴ AB = √169 = 13
∴ রম্বসটির পরিসীমা = 4×13 সেমি.
= 52 সেমি.]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

Ans: সত্য
[ধরি, ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক, 4x একক এবং 5x একক
(3x)² + (4x)²
= 9x² +16x²
= 25x² = (5x)²
∴ ত্রিভুজের দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর বর্গের সমান।অতএব ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।]

(ii) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হবে।
Ans: মিথ্যা

[চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করেছে।
এখানে, OA = OB = 10 সেমি.
∴ AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OA² + OB²
বা, AB² = (10)² + (10)²
বা, AB² = 100 + 100 = 200
∴ AB = √200 = 10√2]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের _______ সমান।
Ans: সমষ্টির

(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য _______ সেমি.।
Ans: 8
[ধরি, অতিভুজের দৈর্ঘ্য a সেমি.
∴ a² = (4√2)² + (4√2)²
বা, a² = 32 + 32
বা, a² = 64
∴ a = √64 = 8]

(ii) ABCD আয়তাকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB = 12 সেমি., AO = 6.5 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য _______ সেমি.।
Ans: 5
[আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ∴ AC = 2×6.5 = 13
এখানে, AB = 12 সেমি.।
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² + BC² = AC²
বা, (12)² + BC² = (13)²
বা, BC² = 169 – 144 = 25
∴ BC = √25 = 5]

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A.)

(i) ABC ত্রিভুজের AB= (2a – 1) সেমি., AC = 2√2a সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।

সমাধান:
AB² + AC²
= (2a – 1)² + (2√2a)²
= 4a² + 1 – 4a + 8a
⇒ 4a² + 1 + 4a
= (2a + 1)²
= BC²
∴ AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC সমকোণ।
∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC-এর মান 90^o

(ii) পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে ∠POQ = 90^o, OP = 6 সেমি. এবং OQ = 8 সেমি.। যদি PR = 24 সেমি. এবং ∠QPR = 90^o হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:

এখানে, OP = 6 সেমি. এবং OQ = 8 সেমি.
∠POQ = 90^o
∴ POQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² = OP² + OQ²
= 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ PQ = √100 = 10
আবার PR = 24 সেমি. এবং ∠QPR = 90^o
∴ QPR সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
QR² = PQ² + PR²
= (10)² + (24)²
= 100 + 576 = 676
∴ QR = √676 = 26
Ans: QR বাহুর দৈর্ঘ্য 26 সেমি.।

(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান:
এখানে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.
ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু।
∴ AO² + OC² = BO² + OD²
∴ 5² + OC² = 6² + 8²
বা, OC² = 36 + 64 – 25
বা, OC² = 100 – 25 = 75
∴ OC = √75 = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.

(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি. এবং AD = 4 সেমি. হয়, তাহলে ∠BAC-এর পরিমাপ কত তা লিখি।

সমাধান:
ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব।
∴ △ADB ও △ADC উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ।
এখানে BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি. এবং AD = 4 সেমি.
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = BD² + AD²
= 8² + 4²
= 64 + 16 = 80
আবার ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AD² + DC²
= 4² + 2²
= 16 + 4 = 20
∴ BC = BD + DC = 8 + 2 = 10
এখন
AB² + AC² = 80 + 20
= 100 = (10)²
= BC²
AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC সমকোণ।
∴ ∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC-এর পরিমাপ 90^o

(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB = 3 সেমি., BC = 4 সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
= 3² + 4²
= 9 + 16 = 25
∴ AC = √25 = 5
∵ BD ⊥ AC
∴ ¹/₂×AC×BD = ¹/₂×AB×BC
বা, AC×BD = AB×BC
বা, 5×BD = 4×3
∴ BD = ¹²/₅ = 2.4
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি.

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ △ABC এর ∠ABC = 90°, AB = 6 সেমি, BC = ৪ সেমি হলে △ABC এর পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

VIEW ANSER

▶️ PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90^o এবং PS, অতিভুজ QR-এর ওপর লম্ব। প্রমাণ করো যে ¹/_PS² – ¹/_PQ² = ¹/_PR²

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভূজ হবে।
Ans: সত্য
[15 দাগের অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীপ্রশ্নের (B) -এর (i) -এর মতো।]

▶️ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o, AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে, OB = 6 সেমি, OD=8 সেমি এবং OA = 5সেমি। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2019

▶️ △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

VIEW ANSER

▶️ △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।

VIEW ANSER

MP-2017

▶️ ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2√2a সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC এর মান লেখো।

VIEW ANSER

▶️ যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।

VIEW ANSER

KOSHE DEKHI 21

KOSHE DEKHI 23.1

May 5, 2024

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2025) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

Tag: পিথাগোরাসের উপপাদ্য

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.

(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS² + QR² = PR² + QS²

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB² + BC² + CA² = 4AD²

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB² + CD² = BC² + DA²

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB² – AC² = BD² – CD²

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD² + DB² = 2CD²

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC² = CD² + 3AD²

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY² + XT² = 5XY²

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.):

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD² = (a) ³/₂DC² (b) 2DC² (c) 3DC² (d) 4DC²
Ans: (c) 3DC²

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB² = – 2AC² হলে, ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A.)

(i) ABC ত্রিভুজের AB= (2a – 1) সেমি., AC = 2√2a সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

Tag: পিথাগোরাসের উপপাদ্য

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.

(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS2 + QR2 = PR2 + QS2

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB2 + CD2 = BC2 + DA2

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB2 – AC2 = BD2 – CD2

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD2 + DB2 = 2CD2

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC2 = CD2 + 3AD2

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY2 + XT2 = 5XY2

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.):

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD2 = (a) 3/2DC2 (b) 2DC2 (c) 3DC2 (d) 4DC2Ans: (c) 3DC2

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB2 = – 2AC2 হলে, ∠C-এর পরিমাপ (a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A.)

(i) ABC ত্রিভুজের AB= (2a – 1) সেমি., AC = 2√2a সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS² + QR² = PR² + QS²

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB² + BC² + CA² = 4AD²

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB² + CD² = BC² + DA²

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB² – AC² = BD² – CD²

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD² + DB² = 2CD²

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC² = CD² + 3AD²

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY² + XT² = 5XY²

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD² = (a) ³/₂DC² (b) 2DC² (c) 3DC² (d) 4DC²
Ans: (c) 3DC²

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB² = – 2AC² হলে, ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°