Tag: পাঠ্যবই দ্বাদশ শ্রেণি সেমিস্টার ২ এস এন দে গনিত

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক
CHAPTER 2

UNIT 1 CHAPTER 2
অপেক্ষক (Function)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)        প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট), তাহলে ƒ হবে —
Ⓐ বহু-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ একটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

Solution: f(x) = x²
f(-1) = 1;  f(1) = 1
∴ -1 ও 1 উভয়ের প্রতিবিম্ব 1
সুতরাং চিত্রণটি এক-এক চিত্রণ নয়।
আবার অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল R কিন্তু পাল্লা R⁺
অর্থাৎ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴চিত্রণটি উপরিচিত্রণও নয়।
অতএব চিত্রণটি বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ।
Ans: Ⓓ বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

2. মনে করো, g: Q – {3} → Q অপেক্ষক g(x) = ^{2x + 3}/_{x – 3} দ্বারা সংজ্ঞাত (এখানে Q হল সব মূলদ সংখ্যা সমূহের সেট); তাহলে g হবে —
Ⓐ উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ একটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: g: Q – {3} → Q এবং g(x) = ^{2x + 3}/_{x – 3}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Q – {3}
⇒ g(x₁) = g(x₂)
⇒ ^{2x₁ + 3}/_{x1 – 3} = ^{2x₂ + 3}/_{x2 – 3}
⇒2x₁x₂ – 6x₁ + 3x₂ – 9 = 2x₁x₂ + 3x₁ – 6x₂ – 9
⇒ – 6x₁ – 3x₁ = – 6x₂ – 3x₂
⇒ – 9x₁ = 9x₂
⇒x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, g(x) = y যেখানে y ∈ Q
⇒ ^{2x + 3}/_{x – 3} = y
⇒ xy – 3y = 2x + 3
⇒xy – 2x = 3 + 3y
⇒ x = ^{3y + 3}/_{y – 2}
∴ y = 2 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ Q – {3}
অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

3. মনে করো, f: [0, ∞) → [0, 2] চিত্রণটি f(x) = ^2x/_{x + 1} দ্বারা সংজ্ঞাত, তবে f চিত্রণটি হবে —
Ⓐ ইনজেক্টিভ্ কিন্তু সারজেক্টিভ্ নয়
Ⓑ একটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓒ একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণⒹ ইনজেক্টিভ্ বা সারজেক্টিভ্ নয়

Solution: f: [0, ∞) → [0, 2] এবং f(x) = ^2x/_{x + 1}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Q – {3}
⇒ g(x₁) = g(x₂)
⇒ ^2x₁/_{x1 + 1} = ^2x₂/_{x2 + 1}
⇒2x₁x₂ + 2x₁ = 2x₁x₂ + 2x₂
⇒ 2x₁ = 2x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ [0, 2]
⇒ ^2x/_{x + 1} = y
⇒ xy + y = 2x
⇒xy – 2x = -y
⇒ x = ^y/_{2 – y}
∴ y = 2 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ [0, ∞)
অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
∴ চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ ইনজেক্টিভ্ কিন্তু সারজেক্টিভ্ নয়

4. মনে করো, f: N → N চিত্রণ, যা নিম্নরূপে সংজ্ঞাত;
f(x) = {x + 1, যখন x ∈ N অযুগ্ম
               {x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম
তবে ƒ চিত্রণটি হবে —
Ⓐ একটি এক-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓑ একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি বহু-এক উপরিচিত্রণ
Ⓓ বাইজেকটিভ্ চিত্রণ

Solution: f: N → N এবং f(x) = x + 1, যখন x ∈ N অযুগ্ম//x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম
∴ f(1) = 1 + 1 = 2,     f(3) = 3 + 1 = 4,
    f(5) = 5 + 1 = 6,   f(2) = 2 – 1 = 1,
    f(4) = 4 – 1 = 3,     f(6) = 6 – 1 = 5,
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি এক-এক।
আবার উপঅঞ্চলের প্রতিটি পদের প্রাগবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি উপরিচিত্রণ।
Ans: Ⓑ একটি এক-এক উপরিচিত্রণ

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
• 2. নির্ণায়ক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

5. মনে করো, A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 1, 1, 2, 3, – 3} এবং সব x ∈A -র জন্য f: A → B চিত্রণ f(x) = 2x – 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f হল B সেটে A সেটের একটি —
Ⓐ এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓑ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ একটি বহু-এক এবং উপরিচিত্রণ

Solution: A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 1, 1, 2, 3, – 3}
f: A → B এবং f(x) = 2x – 1
∴ f(-1) = 2(-1) – 1 = -3,
f(0) = 2(0) – 1 = -1,
f(1) = 2(1) – 1 = 1,
f(2) = 2(2) – 1 = 3
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি এক-এক।
আবার 2 এর কোনো প্রাগবিম্ব নেই।
তাই চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

6. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত। যে বৃহত্তম ক্ষেত্র (domain-এ) f অপেক্ষক এক-এক, তা হল —
Ⓐ – ∞ < x < 0 অথবা 0 < x < ∞
Ⓑ – ∞ < x < 0 অথবা 0 ≤ x < ∞
Ⓒ – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞
Ⓓ – ∞ < x ≤ 0 অথবা 0 < x < ∞

Solution: f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত।
∴ f এর ক্ষেত্র এবং উপঅঞ্চল হবে (-∞, +∞)
যে বৃহত্তম ক্ষেত্র (domain-এ) f অপেক্ষক এক-এক, তা হল – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞
Ans: Ⓒ – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞

7. মনে করো, A = {1, 2, 3}; নীচের কোনটি A সেটের ওই একই সেটে সংজ্ঞাত এক-এক অপেক্ষক?
Ⓐ {(1, 2), (2, 3), (3, 3)}
Ⓑ {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}
Ⓒ {(1, 3), (2, 3), (3, 2)}
Ⓓ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

Solution: একটি অপেক্ষককে এক-এক অপেক্ষক বলা হয় যদি সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব থাকে।
Ⓓ তে 1 -এর প্রতিবিম্ব 3, 2 -এর প্রতিবিম্ব 2 এবং 3 -এর প্রতিবিম্ব 1
তাই অপেক্ষকটি এক-এক।
Ans: Ⓓ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

8. মনে করো f: R → R চিত্রণ f(x) = 3x³ + 4 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে —
Ⓐ f হল R থেকে ওই একই সেটে একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓑ f অপেক্ষকটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ নয় কিন্তু সারজেক্টিভ্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f: R → R এবং f(x) = 3x³ + 4
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ R
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3x₁³ + 4 = 3x₂³ + 4
⇒3x₁³ = 3x₂³
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার অপেক্ষকটির উপঅঞ্চলের যেকোনো পদের জন্য একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
∴ চিত্রনটি উপরিচিত্রণ।
Ans: Ⓐ f হল R থেকে ওই একই সেটে একটি এক-এক উপরিচিত্রণ

9. মনে করো, A = {- 1, 1, 2, – 3}, B = {2, 8, 18, 32} এবং f: A → B চিত্রণ f(x) = 2x² দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে —
Ⓐ f হল A সেটে থেকে B সেটে একটি এক-এক চিত্রণ
Ⓑ f হল B সেটে A সেটের একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓒ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ f হল A সেটে B সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

Solution: f(-1) = 2(-1)² = 2
f(-1) = 2(-1)² = 2,
f(2) = 2(2)² = 8,
f(-3) = 2(-)² = 18
A সেটের দুটি ভিন্ন পদ (-1 এবং 1)-এর প্রতিবিম্ব একই(2)।
∴ এটি বহু-এক চিত্রণ
আবার চিত্রণের পাল্লা {2, 8, 18}
এবং উপঅঞ্চল {2, 8, 18, 32}
উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা ⇒ উপরিচিত্রণ নয়।
∴ এটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
∴ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ans: Ⓒ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

10. মনে করো যে, f: R → R চিত্রণ, যা f(x) = cos x দ্বারা সংজ্ঞাত (সব x ∈ R এর জন্য) তবে —
Ⓐ f চিত্রণটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓑ f চিত্রণটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓒ f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: f: R → R এবং f(x) = cos x
ধরি, x = 0, 2π ∉ R
∴ f(0) = cos 0 = 0,
এবং f(2π) = cos 2π = 0
∴ 0, 2π উভয়েরই প্রতিবিম্ব 0
অতএব চিত্রণটি এক-এক নয়।
-1 ≤ cos x ≤ 1
চিত্রণের পাল্লা [-1, 1]
এবং উপঅঞ্চল R
উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা ⇒ উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

11. মনে করো, Modulus Function f: R → R যা f(x) = |x| দ্বারা প্রদত্ত, যেখানে
|x|= {x যখন           x ≥ 0
           { -x যখন        x < 0 তবে সঠিক বিকল্পটি হবে —
Ⓐ f অপেক্ষকটি এক-এক
Ⓑ f অপেক্ষকটি সারজেক্টিভ্
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ এবং সারজেক্টিভ্
Ⓓ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ কিংবা সারজেক্টিভ্ কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = |x| = x
এবং f(-x) = |-x| = x
 x ও -x উভয়ের প্রতিবিম্ব x
∴ চিত্রণটি এক-এক বা ইনজেক্টিভ নয়।
f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা R⁺
 অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি সারজেক্টিভ্ও নয়।
Ans: Ⓓ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ কিংবা সারজেক্টিভ্ কোনোটিই নয়

12. মনে করো, A = R – {2} এবং B = R – {1} তবে f: A → B অপেক্ষক, যা f(x) = ^{x – 3}/_{x – 2} দ্বারা সংজ্ঞাত, একটি —
Ⓐ ইনজেশন্ কিন্তু সারজেকশন্ নয়
Ⓑ ইনজেকশন্ নয় কিন্তু সারজেকশন্
Ⓒ বাইজেকশন্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: ধরি, x₁ ও x₂ ∈ A
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ ^{x₁ – 3}/_{x1 – 2} = ^{x₂ – 3}/_{x2 – 2}
⇒x₁x₂ – 2x₁ – 3x₂ + 6 = x₁x₂ – 3x₁ – 2x₂ + 6
⇒ – 2x₁ + 3x₁ = – 2x₂ + 3x₂
⇒ x₁ = x₂
⇒x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ B
⇒ y = ^{x – 3}/_{x – 2}
⇒ xy – 2y = x – 3
⇒xy – x = 2y – 3
⇒ x = ^{2y – 3}/_{y – 1}
∵  y ∈ B এবং  B = R – {1}
∴ y ≠ 1 এর জন্য সর্বদা একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ।
অতএব চিত্রনটি এক-এক উপরিচিত্রণ অর্থাৎ চিত্রনটি বাইজেকশন্।
Ans: Ⓒ বাইজেকশন্

13. Signum Function f: R → R নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
f(x) = {1         যখন x > 0
               {0         যখন x = 0
               {-1        যখন x < 0
Ⓐ f চিত্রণটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়Ⓑ f চিত্রণটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়Ⓒ f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণⒹ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: 1, 2 ∈ R
f(1) = 1,    f(2) = 1
∴ f(1) = f(2) কিন্তু 1 ≠ 2
চিত্রণটি এক-এক অপেক্ষক নয়।
আবার, 3 ∈ R কিন্তু f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা {-1, 0, 1}
 অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

14. মনে করো, A = {x ∈ R: – 1 ≤ x ≤ 1} = B এবং f: A → B চিত্রণ f(x) = x|x| দ্বারা সংজ্ঞাত। f চিত্রণটি — 
Ⓐ বাইজেকটিভ্
Ⓑ f অপেক্ষকটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ নয় কিন্তু সারজেক্টিভ্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = x|x|
      = {-x²         যখন -1 ≤ x ≤ 0
          { x²          যখন 0 <x ≤ 1
 -1 ≤ x ≤ 0 হলে -1 ≤ f(x) ≤ 0 হয়।               
আবার  0 < x ≤ 1 হলে 0 < f(x) ≤ 1 হয়।
x –এর প্রতিটি মানের জন্য f(x) –এর একটি করে ভিন্ন মান পাওয়া যায়।
f অপেক্ষকটি এক-এক।
একইভাবে f(x) –এর প্রতিটি মানের জন্য সর্বদা একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
f অপেক্ষকটি উপরিচিত্রণ।
∴ f অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ্।
Ans:   Ⓐ বাইজেকটিভ্                                             

15. মনে করো, f: N → N একটি চিত্রণ, যা নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x)= {x +1,    যখন x ∈ N অযুগ্ম
              {x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম            তবে f অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ শুধুমাত্র এক-এক
Ⓒ শুধুমাত্র উপরিচিত্রণ
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়
f(x) =
∴ f(1) = 1 + 1 = 2;      f(3) = 3 + 1 = 4;      f(5) = 5 + 1 = 6;    . . . . . .
   f(2) = 2 – 1 = 1;       f(4) = 4 – 1 = 3;       f(6) = 6 – 1 = 5;     . . . . . .
x অযুগ্ম হলে তার প্রতিবিম্ব সেট যুগ্ম হয় আবার x যুগ্ম হলে তার প্রতিবিম্ব সেট অযুগ্ম হয়।
Ans: Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ

16. যদি, f: [0, α) → [0, α) অপেক্ষকটি f(x) = ^x/_{1 + x} দ্বারা সংজ্ঞাত হয়, তবে ƒ অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓑ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: f: [0, α) → [0, α) এবং f(x) = ^x/_{1 + x}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ [0, α)
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ ^x₁/_{1 + x1} = ^x₂/_{1 + x2}
⇒x₁ + x₁x₂ = x₂ + x₁x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ [0, α)
⇒ ^x/_{1 + x} = y
⇒ x = y + xy
⇒x = ^y/_{1 – y}
∵ y ∈ [0, α) ∴ y = 1 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ [0, α) অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 1 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ________

1. যে ক্ষেত্র (domain)-তে f(x) = 3x² – 2x এবং g(x) = 3(3x – 2) অপেক্ষক দুটি সমান তা হবে ________।
Ⓐ {1, ²/₃}      Ⓑ {1, 3}
Ⓒ {²/₃, 3}    Ⓓ {²/₃, 0}

Solution: f(x) = g(x)
⇒ 3x² – 2x = 3(3x – 2)
⇒ 3x² – 11x + 6 = 0
⇒3x² – 9x – 2x + 6 = 0
⇒ 3x(x – 3x) – 2(x – 3) = 0
⇒ (3x – 2)(x – 3) = 0
∴ x = ²/₃, 3
Ans: Ⓒ {²/₃, 3}

2. যদি A শূন্য সেট না হয়, তবে A-এর ওপর উপাদানস্থির অপেক্ষক হবে ________।
Ⓐ বাইজেকটিভ
Ⓑ সারজেকটিভ কিন্তু ইনজেকটিভ নয়
Ⓒ ইনজেকটিভ কিন্তু সারজেকটিভ নয়
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়। 

Solution: ধরি A = {1, 2}
A-এর ওপর উপাদানস্থির অপেক্ষক f(I) হলে,
  f(1) = 1,  f(2) = 2
∴ অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হবে।
Ans:  Ⓐ বাইজেকটিভ

3. মনে করো, সব x ∈Z এর জন্য f: Z → Z চিত্রণ f(x) = 3x – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f চিত্রণটি হল ________।
Ⓐ একটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ বহু-এক উপরিচিত্রণ

Solution: f: Z → Z  এবং f(x) = 3x – 2
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Z
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3x₁ – 2  = 3x₂ – 2
⇒3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ Z
⇒ 3x – 2 = y
⇒ 3x = y + 2
⇒x = y + 23
∴ y = 2 হলে x = ⁴/₃ হয়।
কিন্ত ⁴/₃ ∉ Z অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans:  Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

4. যদি A = {x ∈ R: – 1 ≤x ≤1} = B হয়, তবে f(x) = sin πx দ্বারা সংজ্ঞাত B সেটে A সেটের চিত্রণটি ________।
Ⓐ ইনজেকটিভ
Ⓑ সারজেকটিভ
Ⓒ বাইজেকটিভ
Ⓓ কোনোটিই নয়

Solution:  0, 1 ∈ R: – 1 ≤ x ≤ 1
f(0) = sin 0 = 0,
f(1) = sin π = 0
∴ f(0) = f(1) কিন্তু 0  ≠ 1 →চিত্রণটি ইনজেকটিভ নয়।
 f(x) অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল [-1, 1]
আবার -1 ≤ sin πx ≤ 1
∴ f(x) অপেক্ষকটির পাল্লা  [-1, 1]
অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল = পাল্লা
অতএব f(x) অপেক্ষকটি সারজেকটিভ
Ans:  Ⓑ সারজেকটিভ

5. মনে করো, বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক f: R → R যা f(x) = [x] দ্বারা সংজ্ঞাত যেখানে [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা x-এর সমান বা তার চেয়ে ছোটো। তবে f অপেক্ষকটি হবে ________।
Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ শুধুমাত্র এক-এক
Ⓒ শুধুমাত্র উপরিচিত্রণ
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution:  1.1, 1.2 ∈ R
f(1.1) = [1.1] = 1,   f(1.2) = [1.2] = 1
∴ f(1.1) = f(1.2) কিন্তু 1.1  ≠ 1.2 →চিত্রণটি এক-এক নয়।
আবার f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা Z  অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans:  Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

1. বিবৃতি-A: ধ্রুবক অপেক্ষকের পাল্লা সর্বদা একটি একপদী সেট।
বিবৃতি-B: f(x) = k, (k ধ্রুবক) সব x ∈ A এর জন্য হলে  f(x) একটি ধ্রুবক অপেক্ষক।

Solution:  ধ্রুবক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের জন্য একটিমাত্র প্রতিবিম্ব থাকে।
তাই এক্ষেত্রে পাল্লা সর্বদা একপদী সেট হয়। → বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি B ও সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

2. বিবৃতি-A: বাইজেকটিভ অপেক্ষক বহু-এক অপেক্ষক হতেও পারে।
বিবৃতি-B: একটি অপেক্ষক এক-এক ও উপরিচিত্রণ হলে সেটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক।

Solution:  বাইজেকটিভ অপেক্ষক সর্বদা এক এক এবং উপরিচিত্রন হয়, বহু-এক চিত্রন হয় না।
বিবৃতি A মিথ্যা।
আবার বিবৃতি B সত্য।
Ans:  Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Assertion-Reasoning.

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ  বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I: f: R → R যেখানে f(x) = 2x² – 1, একটি এক-এক অপেক্ষক।
বিবৃতি-II: f(x) = f(y) সমাধান করে শুধুমাত্র x = y পাওয়া গেলে, f অপেক্ষকটি এক-এক অপেক্ষক হবে।

Solution:  -1, 1 ∈ R
f(-1) = 2(-1)² – 1 = 2 – 1 = 1
এবং  f(1) = 2(1)² – 1 = 2 – 1 = 1
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু -1  ≠ 1 → অপেক্ষকটি এক-এক নয়।
বিবৃতি-I মিথ্যা।
বিবৃতি-II:f(x) = f(y) সমাধান করে শুধুমাত্র x = y পাওয়া গেলে, f অপেক্ষকটি এক-এক অপেক্ষক হয়। বিবৃতি-II সত্য
Ans: Ⓓবিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

2. বিবৃতি-I(A): f: z → z যেখানে f(x) = x²একটি বহু-এক অপেক্ষক।বিবৃতি-II(R): x ≠ y -এর জন্য f(x) = f(y) হলে f(x) একটি বহু-এক অপেক্ষক।

Solution: বিবৃতি-I: f: z → z এবং f(x) = x²
-1, 1 ∈ Z
f(-1) = (-1)² = 1
এবং f(1) = (1)² = 1
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু  -1 ≠ 1
অপেক্ষকটি বহু-এক অপেক্ষক।→ বিবৃতি-I সত্য।
বিবৃতি-II x ≠ y -এর জন্য f(x) = f(y) হলে f(x) একটি বহু-এক অপেক্ষক।
বিবৃতি-II সত্য এবং বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

True and False

1. বিবৃতি-I: মনে করো, A = (0, 1), B = {2, 6} এবং f: A → B চিত্রন f(x) = 6 – 4x দ্বারা ও g: A → B চিত্রণ g(x) = x² – 5x + 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f = g
বিবৃতি-II:  মনে করো, সব x ∈ R-এর জন্য f: R → R চিত্রণ f(x) = x² + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f চিত্রণ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ নয়।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution:  A = (0, 1), B = {2, 6}
f(0) = 6 – 4.0 = 6
f(1) = 6 – 4.1 = 2
g(0) = 0² – 5.0 + 6 = 6
g(1) = 1² – 5.1 + 6 = 2
D_f = D_g এবংx ∈ D_f ও x ∈ D_g এর জন্য f(x) = g(x) হয়।
∴ f = g → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: f: R → R এবং f(x) = x² + 1
f(-1) = (-1)² + 1 = 2
এবং f(1) = (1)² + 1 = 2
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু  -1 ≠ 1 অপেক্ষকটি বহু-এক অপেক্ষক।
f চিত্রণ এক-এক নয়।
অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল R কিন্তু পাল্লা R⁺
∴ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
f চিত্রণ উপরিচিত্রণ নয়। → বিবৃতি-II সত্য।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

2. বিবৃতি-I: f: N → N চিত্রণ, যা f(x) = 3x দ্বারা সংজ্ঞাত, N সেটে ওই একই সেটের একটি এক-এক চিত্রণ কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়।
বিবৃতি-II: f: R → R চিত্রণ, যা f(x) = x³ + 3x দ্বারা সংজ্ঞাত, R সেটে ওই একই সেটের একটি বাইজেকশন।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution:  f: N → N এবং f(x) = 3x
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ N
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক।
আবার f(x) এর উপঅঞ্চল N কিন্তু পাল্লা শুধুমাত্র 3 – এর গুণিতক
∴ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
f চিত্রণ উপরিচিত্রণ নয়। → বিবৃতি-I সত্য।
f: R → R এবং f(x) = x³ + 3x
f`(x) = 3x² + 3 > 0
চিত্রণটি এক-এক।
x – এর সব মানের জন্য f(x) সন্তত।
চিত্রণটি উপরিচিত্রণ।
∴ চিত্রণটি বাইজেকশন।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

3. বিবৃতি-I: y² = x হলে, y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায়।
বিবৃতি-II: f(x) = ^x2/_x ও Φ(x) = x অপেক্ষক দুটি অভিন্ন।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution:  বিবৃতি-I: y² = x বা, x = ±√y
∴ x -এর একটি মানের জন্য y এর দুটি মান পাওয়া যায়।
অতএব y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায় না। → বিবৃতি I মিথ্যা।
বিবৃতি-II: f(x) = ^x2/_x সংজ্ঞাত হবে যদি x ∈ R – {0} হয় এবং  Φ(x) এর সংজ্ঞার অঞ্চল R
∴ Dom_f ≠ Dom_Φ
অতএব অপেক্ষক দুটি অভিন্ন নয়। → বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans:  Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

4. বিবৃতি-I:। মনে করো, কোনো সমতলে অঙ্কিত সব চতুর্ভুজের সেট A এবং সব ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট R⁺; f: A → R⁺ চিত্রন, যা f(X) = X চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল x দ্বারা সংজ্ঞাত, একটি এক-এক উপরিচিত্রণ।
বিবৃতি II: মনে করো, A = {- 1, 1, – 2, 2}, B = {3, 4, 5, 6} এবং f: A → B অপেক্ষক, f = {(1, 6), (- 1, 4), (2, 3), (- 2, 5)} দ্বারা সংজ্ঞাত। f একটি বাইজেটিভ্ অপেক্ষক।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution: একই ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট চতুর্ভুজ বিভিন্ন আকারবিশিষ্ট হতে পারে। তাই অপেক্ষকটি এক এক নয়। বিবৃতি I মিথ্যা।
বিবৃতি II:

f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ।
∴ চিত্রণটি বাইজেকশন।
Ans:  Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য

5. বিবৃতি-I: কোনো ধ্রুবক অপেক্ষকের উপ-অঞ্চলে কেবলমাত্র একটি পদ থাকলে অপেক্ষকটি একটি সারজেকটিভ অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-II: মনে করো, সব জটিল সংখ্যার সেট C এবং f: R → R ও g: C→ C অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x² ও g(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত; সেক্ষেত্রে f = g হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I সত্য।
বিবৃতি II: Dom_f = R কিন্তু Dom_g = C
∴ Dom_f ≠ Dom_g
অতএব f = g হবে না। → বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

6. বিবৃতি-I: মনে করো, A = {0, 1, 2, 3} B = {- 3, – 2, – 1, 0, 1} এবং সব x ∈ A র জন্য f: A → B অপেক্ষক f(x) = x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে, f একটি একৈক অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-II: কোনো ধ্রুবক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে কেবলমাত্র একটি পদ থাকলে অপেক্ষকটি একৈক হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution:  f(0) = 0 – 3 = -3 ∈ B;
  f(1) = 1 – 3 = -2 ∈ B;
  f(2) = 2 – 3 = -1 ∈ B;
  f(3) = 3 – 3 = 0 ∈ B;
∴ f(x) এর সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের জন্য পৃথক প্রতিবিম্ব পাওয়া যায়।
f একটি একৈক অপেক্ষক হবে। → বিবৃতি I সত্য
আবার বিবৃতি II সত্য
Ans:. Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য

Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: f এর ক্ষেত্র =  {R} – {2},
g এর ক্ষেত্র =  R
∴ f এর ক্ষেত্র ≠ g এর ক্ষেত্র।
∴ f = g হবে না। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-II: f(x) = x² + 4x -1
∴ f(- 2) = (-2)² + 4(-2) -1
    = 4 -8-1 = -5 < 0
তাই f(- 2) -এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য

8. নীচের বিবৃতিগুলি বিবেচনা করো।
বিবৃতি-I: A একটি প্রদত্ত সেট এবং f: A → A একটি এক-এক অপেক্ষক হলে সেটি একটি উপরিচিত্রণ হবে।
বিবৃতি-II: A একটি প্রদত্ত সেট এবং f: A → A একটি উপরিচিত্রণ অপেক্ষক হলে সেটি একটি এক-এক অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-III: A একটি সসীম সেট হলে যে-কোনো অপেক্ষক f: A → A একটি বাইজেকশন হবে।
বিবৃতি-IV: যদি A একটি সসীম সেট এবং f: A → A একটি উপরিচিত্রণ হয়, তবে চিত্রণটি এক-এক হবে।
Ⓐ বিবৃতি I, IV সত্য
Ⓑ বিবৃতি II, IV সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II, IV সত্য
Ⓓ বিবৃতি IV সত্য

Solution: বিবৃতি-I: এক-এক অপেক্ষক সবসময় উপরিচিত্রণ হয় না।
যদি  পাল্লা এবং উপঅঞ্চল একই সসীম সেট হয় তবে একটি অপেক্ষক একই সঙ্গে এক-এক অপেক্ষক ও উপরিচিত্রণ হয়। → মিথ্যা
বিবৃতি-II: উপরিচিত্রণ হলেও সর্বদা এক-এক হয় না।→ মিথ্যা
বিবৃতি-III: যে-কোনো অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকশন নয়।→ মিথ্যা
বিবৃতি-IV: সসীম সেটে উপরিচিত্রণ হলে এক-এক হবেই। → সত্য
Ans: Ⓓ বিবৃতি IV সত্য

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Case Based

1. মনে করো, D হল সব বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট। আরও মনে করো, f: N → D চিত্রণ, যা f(x) = 2x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত এবং g: Z → Z চিত্রণ, যা g(x) = 2x – 3 সংজ্ঞাত।

[i] f অপেক্ষকটি —
Ⓐ ইনজেক্টিভ হবে না
Ⓑ সারজেকটিভ হবে না
Ⓒ ইনজেকটিভ্ কিন্তু সারজেকটিভ নয়
Ⓓ সারজেকটিভ

Solution:  f: N → D;
f(x) = 2x + 3 = 2(x + 1) + 1
2(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা যখন x ∈ N
∴ 2(x + 1) + 1 = f(x) একটি বিজোড় সংখ্যা।
f -এর পাল্লা বিজোড় সংখ্যা এবং f -এর উপঅঞ্চল বিজোড় সংখ্যা।
যেহেতু পাল্লা = উপঅঞ্চল
∴ f অপেক্ষকটি সারজেকটিভ
Ans: Ⓓ সারজেকটিভ

[ii] g অপেক্ষকটি —
Ⓐ ইনজেক্টিভ্ নয়
Ⓑ সারজেক্টিভ্ নয়
Ⓒ বাইজেক্টিভ্
Ⓓ সারজেক্টিভ্

Solution: g: Z → Z;
g(x) = 2x – 3 = 2x – 3
         = 2(x – 1) – 1 2(x – 1) একটি জোড় সংখ্যা যখন x ∈ Z
∴ 2(x – 1) – 1 = g(x) একটি বিজোড় সংখ্যা।
g -এর পাল্লা বিজোড় সংখ্যা এবং g -এর উপঅঞ্চল অখণ্ড(Z) সংখ্যা।
যেহেতু পাল্লা ≠ উপঅঞ্চল
∴ g অপেক্ষকটি সারজেকটিভ নয়।
Ans: Ⓑ সারজেক্টিভ্ নয়

2. মনে করো, A = {- 1, – 2, 0, 1, 52, 3}, B = {- 6, – 5, 0, 1, 4, 9} এবং সব x ∈A এর জন্য f: A → B অপেক্ষক f(x) = 2x²– 3x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত।

[i] f অপেক্ষক —
Ⓐ এক-এক
Ⓑ বাইজেক্টিভ্
Ⓒ বহু-এক
Ⓓ কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² – 3x – 5
∴ f(-1) = 2(-1)² – 3(-1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0
f(52) = 2(52)² – 3(52) – 5 = 252 – 152 – 5 = 25 – 15 -102 = 0
A সেটের দুটি পদের (1 ও 52) একই প্রতিবিম্ব (0) B সেটে আছে।
তাই f অপেক্ষক বহু-এক অপেক্ষক।
Ans: Ⓒ বহু-এক

[ii] f(A) =
Ⓐ B         Ⓑ {9, -5, -6, 4}
Ⓒ {0, 9, -5, -6, 4}
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² – 3x – 5
A = {- 1, – 2, 0, 1, 52, 3}
∴ f(-1) = 2(-1)² – 3(-1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0
f(-2) = 2(-2)² – 3(-2) – 5 = 8 + 6 – 5 = 9
f(0) = 2(0)² – 3(0) – 5 = 0 – 0 – 5 = -5
f(1) = 2(1)² – 3(1) – 5 = 2 – 3 – 5 = -6
f(52) = 2(52)² – 3(52) – 5 = 252 – 152 – 5 = 25 – 15 -102 = 0
f(3) = 2(3)² – 3(3) – 5 = 18 – 9 – 5 = 4
∴ f(A) = {- 6, – 5, 0, 4, 9} = {- 6, – 5, 0, 1, 4, 9} Ans: Ⓒ {0, 9, -5, -6, 4}

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

1. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A-এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধ বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম হয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়
Ⓒ স্বসম এবং সংক্রমণ হয়
Ⓓ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়
Ans:     Ⓓ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়

2. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e) সেটে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় —
Ⓐ 2⁶       Ⓑ 2⁸      Ⓒ 2⁴      Ⓓ 2¹⁵
Ans:     Ⓐ 2⁶
Solution: n(A) = 3; n(A) = 2;
∴ n(A×B) = 3×2 = 6;
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2ⁿ  = 2⁶

3. মনে করো, A = {8, 9, 10, 11} এবং B = {2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরূপে সজ্ঞাত: xRy⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য R-এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {2, 3, 4, 5}        Ⓑ {8, 9, 10}
Ⓒ {8, 9, 10, 11}     Ⓓ {8, 10}
Ans:    Ⓑ {8, 9, 10}
Solution: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
= {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
∴ R-এর ক্ষেত্র {8, 9, 10}

4. R = {(x, y): x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R-এর পাল্লা হবে —
Ⓐ {-2, -1, 0, 1, 2}
Ⓑ {-2, -1, 0}
Ⓒ {5, 4, 3, 2, 1}
Ⓓ {4, 3, 2, 1}

Ans: Ⓒ {5, 4, 3, 2, 1}
Solution: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3
∴ -3 < x > 3
⇒ x = -2, -1, 0, 1, 2
∴ y = |-2 – 3| = |-5| = 5, |-1 – 3| = |-4| = 4,
            |0 – 3| = |-3| = 3, |1 – 3| = |-2| = 2, |2 – 3| = |-1| = 1 ∴ y = {5, 4, 3, 2, 1}

5. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A-এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসম হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে, তার সংখ্যা হল —
Ⓐ 1     Ⓑ 2     Ⓒ 3     Ⓓ 4
Ans:     Ⓐ 1
Solution: R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসম হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না যদি R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3,1)} হয়।

6. মনে করো, X = {1, 2, 3, 4} এবং X-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2), (4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম
Ⓑ স্বসম নয় কিন্তু প্রতিসম
Ⓒ প্রতিসম নয়
Ⓓ সংক্রমণ

Ans: Ⓒ প্রতিসম নয়
Solution: 1 ∈ X কিন্তু (1, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
(1, 2) ∈ R এবং (2, 3) ∈ R কিন্তু (1, 3) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়

7. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)} A-র ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম               Ⓑ প্রতিসম
Ⓒ স্বসম নয় কিন্তু প্রতিসম
Ⓓ স্বসম বা প্রতিসম কোনোটিই নয়
Ans: Ⓓ স্বসম বা প্রতিসম কোনোটিই নয়
Solution: 4 ∈ A কিন্তু (4, 4) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়
(2, 1) ∈ R কিন্তু (1, 2) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
• 2. নির্ণায়ক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

8. R₁= {(a, ¹/_a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্যা} ক্ষেত্র ও পাল্লা যথাক্রমে —
Ⓐ {1, 2, 3} ও {1, ¹/₂, ¹/₃}
Ⓑ {2, 3, 4} ও {¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Ⓒ {1, 2, 3, 4} ও {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Ⓓ {1, 2, 3, 4} ও {1, 2, 3, 4}

Ans: Ⓒ {1, 2, 3, 4} ও {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Solution: R₁ = {(a, ¹/_a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্যা}
∴ a = 1, 2, 3, 4
R₁ = {(1, 1), (2, ¹/₂), (3, ¹/₃), (4, ¹/₄)}
∴ R₁ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং পাল্লা {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}

9. {1, 2, 3, 4} -এর R সম্বন্ধ নিম্নরূপে প্রদত্ত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের কোনটি সঠিক উক্তি?
Ⓐ R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়;
Ⓑ R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়;
Ⓒ R সম্বন্ধ প্রতিসম ও সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়;
Ⓓ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

Ans: Ⓑ R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়;
Solution: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R→ সম্বন্ধটি স্বসম
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
এবং (1, 3) ∈ R, (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ

10. R = {(x – 5, 2x – 7):  x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা} সম্বন্ধের — Ⓐ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 0, 2, 4}
Ⓑ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 2, 4}
Ⓒ পাল্লা = {5, 7, 11}
Ⓓ পাল্লা = {- 5, – 1, 3, 7}

Ans: Ⓐ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 0, 2, 4}
Solution: R = {(x – 5, 2x – 7):  x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}
∴ x = 1, 3, 5, 7, 9 ∴ R = {(-4, -5), (-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)
∴ R-এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4}

11. R = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 এবং y = |x – 3|} সম্বন্ধের —
Ⓐ ক্ষেত্র = {0, 1, 2} ও পাল্লা = {3, 4, 5}
Ⓑ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}
Ⓒ ক্ষেত্র = (- 2, – 1, 1, 2) ও পাল্লা = {2, 3, 4, 5}
Ⓓ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4}

Ans: Ⓑ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}
Solution: R = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 এবং y = |x – 3|}
|x| < 3 ⇒ -3 < x < 3 y = |x – 3|
∴ R = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)
∴ R-এর ক্ষেত্র {- 2, – 1, 0, 1, 2} এবং পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}

12. সকল ত্রিভুজসমূহের সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R = {(T₁, T₂): T₁ও T₂সদৃশ}। মনে করো, T₁, T₂ও T₃তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10; T₁, T₂ ও T₃ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ⓐ T₁ ও T₂      Ⓑ T₂ ও T₃      Ⓒ T₁ ও T₃      Ⓓ কেউই সম্বন্ধযুক্ত নয়

Ans: Ⓒ T₁ ও T₃
Solution: R = {(T₁, T₂): T₁ ও T₂ সদৃশ}
T₁ -এর বাহু তিনটি 3, 4, 5; 
T₂ -এর বাহু তিনটি 5, 12, 13
এবং T₃ -এর বাহু তিনটি 6, 8, 10;
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
এখানে ³/₆ = ⁴/₈ = ⁵/₁₀ = ¹/₂
∴ T₁ ও T₃ সম্বন্ধযুক্ত

13. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেটের ওপর সংজ্ঞাত “অপেক্ষা বড়ো” সম্বন্ধ —
Ⓐ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়।
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓐ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Solution: ধরি, প্রদত্ত সম্বন্ধটি R = {(a, b): a > b এবং a, b ∈ R}
ধরি, a, b, c ∈ R (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
∵ a > b এবং b > c ⟹ a > c
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R →সম্বন্ধটি সংক্রমণ
আবার a ∈ R হলে (a, a) ∉ R কারন a, a-এর থেকে বড়ো হতে পারে না। → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R হলে (b, a) ∉ R যেহেতু a > b সুতরাং b ≯ a→ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
∴ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়

14. কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাসমূহের সেট -এর ওপর সংজ্ঞাত “l₁সরলরেখা l₂-এর ওপর লম্ব, l₁, l₂∈L” সম্বন্ধ L -এর ওপর —
Ⓐ সংক্রমণ, কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Solution: প্রদত্ত সম্বন্ধটি R = {(l₁, l₂): l₁ ⊥ l₂ এবং l₁, l₂ ∈ L}
l₁ ∈ L হলে l₁ ⊥ l₁ ∉ L
কারন কোনো সরলরেখাই, নিজের উপর লম্ব হতে পারে না। → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
l₁, l₂ ∈ L হলে l₁ ⊥ l₂ ⟹ l₂ ⊥ l₁ → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
l₁, l₂, l₃ ∈ L, l₁ ⊥ l₂  এবং l₂ ⊥ l₃
⟹ l₁ ∥ l₃ →সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়

15. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒“y, x দিয়ে বিভাজ্য” সব x ,y ∈N এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: R = {(x, y): “y, x দিয়ে বিভাজ্য” সব x ,y ∈ N}
যে-কোনো সংখ্যা সর্বদা সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়।
∴ (x ,x) ∈ R, ∀ x ∈ N → সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R কিন্তু (y, x) ∉ R
কারন y, x দিয়ে বিভাজ্যহলে x, y দিয়ে বিভাজ্য হবে না।→ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ R হলে (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
∴ y = ax এবং z = by
⟹ z = b.ax = abx
∴ z, x দিয়ে বিভাজ্য হবে।
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R হলে (x, z) ∈ R →সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
অতএব সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

16. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒x + y = 12 , সব x, y ∈ N -এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ স্বসম কিন্তু প্রতিসম কিংবা সংক্রমণ নয়
Ⓒ সমতুল্যতা সম্বন্ধ
Ⓓ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়

Ans: Ⓓ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়
Solution: R = {(x, y):  x + y = 12 , সব x, y ∈ N} 4 ∈ N
কিন্তু 4 + 4 = 8 ≠ 12 ⇒ (4, 4) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
x + y = 12 হলে y + x = 12 হবে সব x, y ∈ N 
∴ (x, y) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R →R সম্বন্ধটি প্রতিসম ।
(3, 9) ∈ R এবং (9, 3) ∈ R কিন্তু (3, 3) ∉ R কারন 3 + 3 = 6 ≠ 12
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়

17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒x + 2y = 10 সব x, y ∈N-এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম        Ⓑ সমতুল্যতা
Ⓒ সংক্রমণ      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Solution: R = {(x, y): x + 2y = 10 সব x, y ∈ N}
x + 2y = 10 এবং y + 2x = 10
⇒ x + 2y = y + 2x ⇒ x = y
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R ⇒ x = y
N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।

18. মনে করো, সব সেটসমূহের সেট S এবং S-এর ওপর R সম্বন্ধের সংজ্ঞা হয়: XRY যদি এবং কেবলমাত্র যদি X ⊆ Y সব X, Y এর জন্য। তবে S এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: S = সেটসমূহের সেট R = {(x, y): X ⊆ Y, X, Y ∈ S}
স্পষ্টতই, X ⊆ X ∀ X ∈ S
∴ (X, X) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম
আবার, ধরা যাক, (X, Y) ∈ R এবং (Y, Z) ∈ R যেখানে, X, Y, Z ∈ S
⇒ X ⊆ Y এবং Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z
∴ (X, Y) ∈ R এবং (Y, Z) ∈ R হলে (X, Z) ∈ R হয় → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
ধরা যাক, X ∈ S যেখানে X ≠ φ, φ ⊆ X কিন্তু X ⊄ φ
∴ (φ, X) ∈ R কিন্তু (X, φ) ≠ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

19. পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Z -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত R = {(x, y): x, y ∈Z এবং (x – y) এর মান জোড়।} তবে Z -এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓓ সমতুল্যতা
Solution: R = {(x, y): x, y ∈ Z এবং (x – y) এর মান জোড়।}
ধরি, (x – y) = 2k যেখানে k ∈ Z:
x ∈ Z হলে (x, x) ∈ R হবে যেহেতু x – x = 0 → সম্বন্ধটি স্বসম
আবার (x, y) ∈ R ⇒ (x – y) = 2k
⇒ (y – x) = -2k = 2(-k)
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম
x, y, z ∈ Z এবং (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R
⇒ (x – y) = 2k এবং (y – z) = 2m যেখানে k, m ∈ Z
∴ x – z = (x – y) + (y – z)
= 2k + 2m = 2(k + m) = 2n যেখানে k + m = n ∈ Z
∴ (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম এবং সংক্রমণ

20. মনে করো, সব বহুভুজসমূহের সেট A: A-তে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয় R = {(P₁, P₂: P₁ও P₂এর সমসংখ্যক বাহু আছে।} তবে R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓓ সমতুল্যতা
Solution: A = বহুভুজসমূহের সেটR = {(P₁, P₂: P₁ ও P₂ এর সমসংখ্যক বাহু আছে।}
বহুভুজ P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₁ এর বাহু সংখ্যা
∴ (P₁, P₁) ∈ R ∀ P₁ ∈ A → সম্বন্ধটি স্বসম
P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₂ এর বাহু সংখ্যা ⟹ P₂ এর বাহু সংখ্যা = P₁ এর বাহু সংখ্যা
∴ (P₁, P₂) ∈ R ⟹ (P₂, P₁) ∈ R ∀ P₁, P₂ ∈ A → সম্বন্ধটি প্রতিসম
P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₂ এর বাহু সংখ্যা এবং P₂ এর বাহু সংখ্যা = P₃ এর বাহু সংখ্যা
⟹ P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₃ এর বাহু সংখ্যা
P₁, P₂, P₃ ∈ A-এর জন্য, (P₁, P₂) ∈ R এবং (P₂, P₃) ∈ R
⟹ (P₁, P₃) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম এবং সংক্রমণ

21. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: S = {(x, y): x²+ y²= 1 সব x, y ∈R এর জন্য।} তবে R-এর ওপর S সম্বন্ধটি —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Solution: S = {(x, y): x² + y² = 1 সব x, y ∈ R এর জন্য।}
∵ 1² + 1²  = 2 ≠ 1
∴ (1, 1) ∉ R  → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
x² + y² = 1 ⇒ y² + x² = 1
∴ (x, y) ∈ R ⟹ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
1, 0, 1 ∈ R-এর জন্য,
1² + 0²  = 1, 0² + 1²  = 1
কিন্তু 1² + 1²  = 2 ≠ 1
∴ (1, 0) ∈ R, (0, 1) ∈ R কিন্তু (1, 1) ∉ R  → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়।

22. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয়: R = {(x, y): x ∈N, y ∈N এবং x, y-এর গুণিতক।} N-এর ওপর সংজ্ঞাত R সম্বন্ধটি —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Ⓓ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

Ans: Ⓓ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: R = {(x, y): x ∈ N, y ∈ N এবং x, y-এর গুণিতক।}
∵ x = 1.x 
∴ (x ,x) ∈ R, ∀ x ∈ N → সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R কিন্তু (y, x) ∉ R
কারন x, y-এর গুণিতক হলে y, x-এর গুণিতক হবে না। → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ R হলে (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
∴ x = a.y এবং y = b.z
⟹ x = a.bz = ab.z
∴ x, z -এর গুণিতক।
অতএব (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R হলে (x, z) ∈ R হয়→সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়।

23. মনে করো, একটি সেট A-র ওপর R ও S দুটি সম্বন্ধ। তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক নয়? 
Ⓐ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর প্রতিসম হয়, তবে RUS এবং R∩S উভয়েই A -এর ওপর প্রতিসম হবে।
Ⓑ R স্বসম এবং S যে-কোনো সম্বন্ধ হয়, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর স্বসম হবে।
Ⓒ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হয়, তবে R∩S সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে।
Ⓓ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হলে, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে।

Ans: Ⓓ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হলে, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ
Solution: Ⓐ ধরি, (x, y) ∈ RUS যেখানে x, y ∈ A
∴ (x, y) ∈ R অথবা  (x, y) ∈ S
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R→ R, A-এর ওপর প্রতিসম
এবং (x, y) ∈ S ⇒ (y, x) ∈ S → S, A-এর ওপর প্রতিসম
∴ (x, y) ∈ RUS ⇒ (y, x) ∈ RUS → RUS, A -এর ওপর প্রতিসম
আবার (x, y) ∈ R∩S যেখানে x, y ∈ A
∴ (x, y) ∈ R এবং  (x, y) ∈ S
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R→ R, A-এর ওপর প্রতিসম
এবং (x, y) ∈ S ⇒ (y, x) ∈ S → S, A-এর ওপর প্রতিসম
∴ (x, y) ∈ R∩S ⇒ (y, x) ∈ R∩S
∴ R∩S, A -এর ওপর প্রতিসম → বিবৃতিটি সঠিক।

Ⓑ R স্বসম ধরি, (x, x) ∈ R যেখানে x ∈ A
(x, x) ∈ R ⇒ (x, x) ∈ RUS
∴ RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর স্বসম → বিবৃতিটি সঠিক।
Ⓒ ধরি, (x, y), (y, R) ∈ R∩S যেখানে x, y, z ∈ A
∴ (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
এবং (x, y), (y, z) ∈ S ⇒ (x, z) ∈ S
∴ (x, z) ∈ R∩S ⇒(x, y), (y, R) ∈ R∩S
⇒(x, z) ∈ S
∴ R∩S সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে। → বিবৃতিটি সঠিক। অতএব
Ⓓ বিবৃতিটি সঠিক নয়।

24. মনে করো, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট এবং N×N -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত। (a, b)R(c, d) ⇒ ¹/_a + ¹/_d = ¹/_b + ¹/_cসব (a, b), (c, d) ∈ N×N -এর জন্য। তবে N×N-এর ওপর R —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Solution:

ধরি, (a, b)R(c, d) এবং (c, d)R(e, f)
∵ (a, b)R(c, d)

এবং (c, d)R(e, f)

সব (a, b), (c, d), (e, f) ∈ N×N -এর জন্য,
(a, b)R(c, d) এবং (c, d)R(e, f)
⇒ (a, b)R(e, f)  → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ

25. মনে করো, বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: aRb ⇔ |a – b| ≤ 1তবে R সম্বন্ধ হল —
Ⓐ শুধুমাত্র সংক্রমণ
Ⓑ শুধুমাত্র বিপ্রতিসম
Ⓒ শুধুমাত্র প্রতিসম
Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম

Ans: Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম
Solution: R = বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট
a ∈ R এবং |a – a| = |0| = 0 ≤ 1
∴ (a, a) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম।
a, b ∈ R এবং (a, b) ∈ R
⇒ |a – b| ≤ 1 ⇒ |-(b – a)| ≤ 1
⇒ |b – a| ≤ 1 ⇒ (b, a) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
a, b, c ∈ R (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
⇒ |a – b| ≤ 1 এবং |b – c| ≤ 1
∴ |a – c| = |(a – b) + (b – c)| ≤ |(a – b)| + |(b – c)| ≤ 1 +1 ≤ 2 ≮ 1
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R (a, c) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks___________

1. A = {1, 2, 3, 4} এবং A-সেটের ওপর উপাদানস্থির সম্বন্ধ I_Aহলে ________ ∈  I_A
Ⓐ {1, 2}        Ⓑ {2, 2}
Ⓒ {2, 1}        Ⓓ {3, 4}

Ans: Ⓑ {2, 2}
Solution: উপাদানস্থির সম্বন্ধ বা একক সম্বন্ধ (I_A) হলো এমন সম্বন্ধ যেখানে সেটের প্রতিটি উপাদান শুধুমাত্র নিজের সাথেই সম্পর্কিত থাকে।
∴ {2, 2} ∈  I_A

2. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় ________।
Ⓐ 2⁴        Ⓑ 2⁸        Ⓒ 2¹²        Ⓓ 2¹⁶
Ans: Ⓓ 2¹⁶
Solution: n(A) = 4
n(A×A) = 4×4 = 16
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2ⁿ = 2¹⁶

3. মনে করো, A = {a, b, c, d} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)} ; A-র ওপর R সম্বন্ধটি হবে ________।
Ⓐ সার্বিক সম্বন্ধ
Ⓑ স্বসম
Ⓒ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Ⓓ সংক্রমণ ও স্বসম

Ans: Ⓒ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Solution: A = {a, b, c, d}
R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}
b ∈ A কিন্তু (b, b) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, c) ∈ R ⇒ (c, a) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(a, c) ∈ R এবং (c, a) ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম ও সংক্রমণ

4. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2), (4, 1)} A-র ওপর R সম্বন্ধ ________।
Ⓐ সংক্রমণ
Ⓑ সংক্রমণ নয়
Ⓒ সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓓ সমতুল্যতা সম্বন্ধ

Ans: Ⓑ সংক্রমণ নয় 
Solution: A = {1, 2, 3, 4}
∴ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2), (4, 1)}
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(4, 1) ∈ R এবং (1, 2) ∈ R কিন্তু (4, 2) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

5. কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ ________।
Ⓐ স্বসম কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ স্বসম ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা
Ans: Ⓓ সমতুল্যতা

6. R = {(x, x²– 31): x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা সম্বন্ধের ক্ষেত্র ________ এবং পাল্লা ________
Ⓐ {3, 5, 7, 11}, {-22, -6, 18, 90}
Ⓑ {2, 3, 5, 11}, {-22, -6,18, 90}
Ⓒ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, 18, 90}
Ⓓ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, -6, 18, 90}

Ans: Ⓓ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, -6, 18, 90}
Solution: R = {(x, x² – 31): x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
12-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলি হলো 2, 3, 5, 7, 11
∴ R = {(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18), (11, 90)}
সম্বন্ধের ক্ষেত্র {2, 3, 5, 7, 11} এবং
পাল্লা {-27, -22, -6, 18, 90}

7. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত। S = {(x, y): x, y ∈R এবং x = ±y} তবে R-এর ওপর S একটি ________ সম্বন্ধ।
Ⓐ স্বসম ও প্রতিসম
Ⓑ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Ⓒ সমতুল্যতা
Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়।

Ans: Ⓒ সমতুল্যতা
Solution: S = {(x, y): x, y ∈ R এবং x = ±y} 
∵ x ∈ R এবং x = ±y
⇒ x = x এবং x = -x
∴ (x, x) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম।
x, y ∈ R এবং x = ±y
⇒ x = y ⇒ y = x
এবং x = -y ⇒ y = -x
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
x, y, z ∈ R এবং x = ±y এবং  y = ±z
⇒  x = ±z
∴ (x, y) এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

Column Matching ___________

1. মনে করো A = {1, 2, 3} একটি প্রদত্ত সেট। বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [b], [iv] — [d]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

Ans: Ⓒ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Solution: A = {1, 2, 3} [i] {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (2, 2), (3, 3) আছে।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 1) আছে কিন্তু (1, 2) নেই।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়। সম্বন্ধটিতে (2, 1) এবং (1, 1) আছে, আবার (2, 1) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [c]
[ii] {(2, 3), (3, 2), (2, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে, আবার (2, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [a]
[iii] {(1,2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (2, 2), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1,2) ও (2, 3) আছে এবং (2, 1) ও (3, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে, কিন্তু (2, 2) নেই।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়। → [d]
[iv] {(1,2), (2, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1,2) আছে কিন্তু (2, 1) নেই।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1, 2) এবং (2, 2) আছে, আবার (1, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [b]

2. মনে করো, R₁= {(x, y): x ∈ℕ, y ∈ ℕএবং 2x + y = 41} এবং R₂= {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x²+ y²= 25} বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [a], [iv] — [d]
Ⓒ [i] — [c], [ii] — [c], [iii] — [b], [iv] — [a]
Ⓓ [i] — [a], [ii] — [b], [iii] — [b], [iv] — [c]

Ans: Ⓐ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]
Solution: R₁ = {(x, y): x ∈ ℕ, y ∈ ℕ এবং 2x + y = 41}
R₁ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35), . . . ,  (20, 1)}
R₁ -এর ক্ষেত্র = {1, 2, 3, . . . , 19, 20} – [c]
R₁-এর পাল্লা = {1, 3, 5, . . . , 39} – [a]
R₂ = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x² + y² = 25}
R₂ = {(-5, 0), (-4, -3), (-4, 3), (-3, -4), (-3, -4), (0, -5), (0, 5), (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (4, 3), (5, 0)}
R₂-এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} – [b]
R₂ -এর পাল্লা = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} – [d]

Relationship between Statements_____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. R = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}
বিবৃতি-A: R-এর ক্ষেত্র = (-4, -2, -1, 1, 2, 4}
বিবৃতি-B: R-এর পাল্লা = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4)

Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Solution: R = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}
∴ R = {(- 4, – 1), (- 2, – 2), (- 1, – 4), (1, 4), (2, 2) ,(4, 1)}
∴ R -এর ক্ষেত্র = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4} এবং
পাল্লা = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4}

2. বিবৃতি-A: কোনো সেটের ওপর P, Q দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হলে PUQ সমতুল্যতা সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
বিবৃতি-B: কোনো সেটের ওপর P, Q সম্বন্ধ দুটি সংক্রমণ হলে PUQ সংক্রমণ নাও হতে পারে।

Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ 
Solution: কোনো সেটের ওপর P, Q দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হলে PUQ স্বসম ও প্রতিসম হতে পারে, কিন্তু সংক্রমণ নাও হতে পারে।
তাই PUQ সমতুল্যতা সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
∴ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning_____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত, (x, y) ∈ R ⇒ (x – y)-এর মান n দিয়ে বিভাজ্য। বিবৃতি-1(A): R স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমন নয়
বিবৃতি-II(R): R সমতুল্যতা সম্বন্ধ

Ans: Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
Solution: R = {(x, y): (x – y) = nk যেখানে k ∈ Z}
x – x = 0 = n.0
∴ (x, x) ∈ R, ∀_x∈ Z
∴ সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R যেখানে x, y ∈ Z
⇒ (x – y) = nk
⇒ -(y – x) = nk
⇒(y – x) = n(-k)
⇒ (y, x) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম।
আবার ধরি, (x, y),  (y, z) ∈ R যেখানে x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, (y – z) = nl
∴ (x – z) = (x – y) + (y – z)
       = nk + nl = n(k + l)
∴ (x – z) ∈ R
অতএব (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
∴ সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ R সমতুল্যতা সম্বন্ধ

2. বিবৃতি-I(A): A সেটে m-সংখ্যক ও B সেটে n-সংখ্যক পদ থাকলে A থেকে B-তে মোট 2^mn সংখ্যক সম্বন্ধ সংজ্ঞায়িত করা যায়।
বিবৃতি-II(R): A সেটে m-সংখ্যক ও B সেটে n-সংখ্যক পদ থাকলে A×B সেটের পদসংখ্যা হবে mn।

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Solution: n(A) = m, n(B) = n
∴ n(A×B) = n(A)×n(B) = mn
∴ A থেকে B-তে মোট সম্বন্ধের সংখ্যা = 2^mn

3. মনে করো, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R এরূপ যে, nRm ⇔ n, m-এর একটি উৎপাদক।
বিবৃতি-I(A): R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা নয়।
বিবৃতি-II(R): R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Solution: R = {(n, m): n, m-এর একটি উৎপাদক।}
(3, 6) ∈ R যেখানে 3, 6 ∈ N
3, 6-এর একটি উৎপাদক।
কিন্তু 6, 3-এর একটি উৎপাদক নয়।
∴ (6, 3) ∉ R
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
সম্বন্ধটি প্রতিসম নয় বলে সম্বন্ধটি সমতুল্যতাও নয়।

True and False_____________

1. বিবৃতি-I: A = {1, 2, 3} এবং B = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1, 2)} হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
বিবৃতি-II: A = {a, b, c, d} এবং A-এর উপর একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত।
R = {(a, c), (b, d), (b, c), (c, a), (d, b)}, তাহলে A-র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা
Solution: একটি সম্বন্ধ স্বসম হবে যদি প্রতিটি a ∈ A এর জন্য (a, a) ∈ R হয়।
এখানে, (3) ∈ A কিন্তু (3, 3) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে না। → বিবৃতি I মিথ্যা
একটি সম্বন্ধ প্রতিসম হবে যদি (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∈ R হয়।
এখানে, এখানে, (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R
∴ A-র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে না। → বিবৃতি II মিথ্যা

2. বিবৃতি-I: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
বিবৃতি-II: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমণ।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Solution: বিবৃতি-I: ধরি, A = {a, b, c} এবং R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b)}
এখানে R সম্বন্ধটি স্বসম
আবার (a, b) ∈ R কিন্তু  (b, a) ∉ R
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: সার্বিক সম্বন্ধ হল সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
আবার কোনো সম্বন্ধ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হলে সেটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
∴ সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমণ। → বিবৃতিটি সত্য

3. বিবৃতি-I: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত উপাদানস্থির সম্বন্ধ সর্বদাই A-এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
বিবৃতি-II: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A-এর ওপর একটি উপাদানস্থির সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Solution: ধরি,A = {1, 2} এবং R₁ = {(1, 1), (2, 2)}
R₁ হল A-এর ওপর উপাদানস্থির এবং এটি স্বসম সম্বন্ধ।
R₂  = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}
R₂ হল A-এর ওপর স্বসম সম্বন্ধ কিন্তু উপাদানস্থির সম্বন্ধ নয়।
 সুতরাং একটি উপাদানস্থির সম্বন্ধ সর্বদাই একটি স্বসম সম্বন্ধ হয়। → বিবৃতি I সত্য
একটি স্বসম সম্বন্ধ উপাদানস্থির সম্বন্ধ নাও হতে পারে।→ বিবৃতি II সত্য 

4. বিবৃতি-I: মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2) , (3, 2), (2, 1), (1, 1)}।
তাহলে, A-র ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
বিবৃতি-II: যদি X = {a, b, c} এবং Y = {c, a, b} হয়, তবে X×Y = Y×X হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Solution: একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ হবে যদি (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R হয়।
এখানে (3, 2) ∈ R  (2, 1) ∈ R কিন্তু (3, 1) ∉ R → বিবৃতি-I মিথ্যা
X = {a, b, c} এবং Y = {c, a, b} = {a, b, c}
∴ X = Y
∴ X×Y = Y×X → বিবৃতি II সত্য

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

5. মনে করো, C থেকে R-এর ওপর ρ সম্বন্ধটি হয়: xρy ⇔|x| = y
বিবৃতি-I: (2 + 3i)ρ13
বিবৃতি-II: (1 + i)ρ2
বিবৃতি-III: iρ1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓓ বিবৃতি III সত্য
Solution: xρy ⇔|x| = y

6. মনে করো, A = {1, 3, 5} , B = {2, 4, 6} এবং A সেট থেকে B সেট-এ R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒(x + y) -এর মান জোড়
বিবৃতি-I: A থেকে B-তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
বিবৃতি-II: A থেকে B-তে R একটি সার্বিক সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
বিবৃতি-III: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Solution: A সেটের পদ তিনটি বিজোড় এবং B সেটের পদ তিনটি জোড়।
একটি বিজোড় এবং একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় হয়।
তাই x ∈ A, y ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় হবে।
সুতরাং (x + y) -এর মান কখনও জোড় হবে না।
∴ সম্বন্ধটি একটি শূন্য সেট হবে। → বিবৃতি-I সত্য।

7. মনে করো, কোনো সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ওই সমতলে অন্য দুটি বিন্দু। P ও Q-র মধ্যে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল, যাতে OP = OQ হয়। তবে—
বিবৃতি-I: S সম্বন্ধটি স্বসম
বিবৃতি-II: S সম্বন্ধটি প্রতিসম
বিবৃতি-III: S সম্বন্ধটি সংক্রমণ
Ⓐ শুধুমাত্র বিবৃতি I, II সত্য
Ⓑ শুধুমাত্র বিবৃতি I, III সত্য
Ⓒ শুধুমাত্র বিবৃতি II, III সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য

Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য
Solution: S = {(P,  Q}: OP = OQ}
(P, P) ∈ S ∀ P
∵ OP = OP
∴ S সম্বন্ধটি স্বসম → বিবৃতি-I সত্য
আবার, (P, Q) ∈ S
⇒ OP = OQ
⇒ OQ = OP
⇒(Q, P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি প্রতিসম → বিবৃতি-II সত্য
পুনরায় (P, Q) ∈ S এবং (Q, R) ∈ S
⇒ OP = OQ এবং OQ = OR
∴ OP = OR অর্থাৎ (P, R) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ → বিবৃতি-III সত্য

Case Based_____________

1. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B = {1, 4, 7} ।
[i] A থেকে B-তে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধের সংখ্যা —
Ⓐ 21       Ⓑ 2²¹       Ⓒ 2¹⁰       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans:    Ⓑ 2²¹
Solution: n(A) = 7;     n(B) = 3
∴ n(A×B) = 7×3 = 21
∴ A থেকে B-তে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধের সংখ্যা 2²¹

[ii] R হল A থেকে B সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ যেখানে R = {(x, y): x > y, x ∈A, y ∈B},
R-এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {1, 2, 4, 7}       Ⓑ {1, 4}       Ⓒ {2, 3, 4, 5, 6, 7}       Ⓓ {1, 4, 7}

Ans:    Ⓒ {2, 3, 4, 5, 6, 7}
Solution: R = {(x, y): x > y, x ∈ A, y ∈ B}
= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (5, 4), (6, 4), (7, 4)}
∴ R-এর ক্ষেত্র = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

[iii] R হল A থেকে B সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ যেখানে R = {(x, y): x > y, x ∈A, y ∈B} , R^-1এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {1, 4}       Ⓑ {2, 3, 4, 5, 6, 7}       Ⓒ {1, 4, 7}       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:    Ⓐ {1, 4}
Solution: R = {(x, y): x > y, x ∈ A, y ∈ B}
= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (5, 4), (6, 4), (7, 4)}
∴ R^-1 এর ক্ষেত্র = Rএর প্রসার = {1, 4}

2. A = {1, 2, 3} এবং A-এর ওপর একটি সম্বন্ধ নিম্নরূপ সংজ্ঞাত: R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 2)}
[i] R স্বসম নয় কারণ —
Ⓐ (2, 1) ∉ R      Ⓑ (3, 3) ∉ R      Ⓒ (2, 1) ∈ R      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans:    Ⓑ (3, 3) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ স্বসম হবে যদি প্রতিটি a ∈ A এর জন্য (a, a) ∈ R হয়।
এখানে 3 ∈ A কিন্তু (3, 3) ∉ R

[ii] R প্রতিসম নয় কারণ —
Ⓐ (3, 3) ∉ R      Ⓑ (1, 1) ∈ R      Ⓒ (2, 1) ∉ R      Ⓓ (1, 3) ∉ R
Ans:    Ⓒ (2, 1) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ প্রতিসম হবে যদি (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∈ R হয়।
এখানে, (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R

[iii] R সংক্রমণ নয় কারণ —
Ⓐ (3, 3) ∉ R      Ⓑ (2, 2) ∈ R      Ⓒ (2, 1) ∉ R      Ⓓ (1, 3) ∉ R
Ans:    Ⓓ (1, 3) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ হবে যদি (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R হয়।
এখানে (1, 2) ∈ R  (2, 3) ∈ R কিন্তু (1, 3) ∉ R