নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক SEMESTER 3

SOLUTION OF DETERMINANT S N DEY MINOR AND COFACTOR
নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক

**S N DEY MINOR AND COFACTOR নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদকQUESTION PAPER WITH SOLUTION**

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

\(1.\ \begin{vmatrix}a\quad b\quad a\\a\quad b\quad b\\a\quad b\quad c\end{vmatrix}\) এর মান হবে —

Ⓐ -1 Ⓑ 1 Ⓒ 0 Ⓓ 2
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}a\quad b\quad a\\a\quad b\quad b\\a\quad b\quad c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad 1\quad a\\1\quad 1\quad b\\1\quad 1\quad c\end{vmatrix}\)

= ab.0 = 0. . [∵ নির্ণায়কের দুটি স্তম্ভ অভিন্ন]
Ans: Ⓒ 0

2. [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] কে একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়কের আকারে লিখলে তা হবে —

\(Ⓐ\ \begin{vmatrix}x_1\quad -y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad -1\\x_3\quad -y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓑ\ \begin{vmatrix}x_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad 1\\x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓒ\ \begin{vmatrix}x_1\quad -y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad -1\\-x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓓ\ \begin{vmatrix}-_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad -y_2\quad 1\\-x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ans:\quad Ⓑ\ \begin{vmatrix}x_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad 1\\x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\)

\(3.\ △=\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}\)

এবং a₁, b₁, c₁. . . ইত্যাদির সহ-উৎপাদকগুলি যথাক্রমে A₁, B₁, C₁. . . ইত্যাদি হলে, △এর মান হরে —
Ⓐ a₂C₂ + b₂C₂ + c₂C₂
Ⓑ a₂A₁ + b₂B₁ + c₂C₁
Ⓒ a₁B₁ + a₂B₂ + a₃B₃
Ⓓ c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃Solution: △ = নির্ণায়কের যেকোনো সারি বা স্তম্ভের পদ্গুলির সঙ্গে তার সহ-উৎপাদকগুলির গুণফলের সমষ্টি।
∴ △ = c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃
Ans: Ⓓ c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃

4. যদি \(\begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x\quad 6\\4\quad 2x\end{vmatrix}\) হয়, তবে x এর মান হবে —

Ⓐ 0 Ⓑ ±1 Ⓒ ±√3 Ⓓ ±3
Solution:

\(\quad \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x\quad 6\\4\quad 2x\end{vmatrix}\)

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒2x²= 6
⇒ 2x²= ±√3
Ans: Ⓒ ±√3

5. একক মাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান হবে —
Ⓐ 1 Ⓑ -1 Ⓒ 2 Ⓓ -2
Ans: Ⓐ 1

\(6.\ \begin{vmatrix}log_xy\quad 1\\1\quad\quad log_yx\end{vmatrix}\) এর মান হবে —

Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ -1 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}log_xy\quad 1\\1\quad\quad log_yx\end{vmatrix}\)

= log_xy.log_yx – 1.1
=^{log y}/_{log x} . ^{log x}/_{log y}
= 1 – 1 = 0
Ans: Ⓐ 0

7. যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর মান হবে —

Ⓐ –¹/₂, 3 Ⓑ ¹/₂, -3
Ⓒ 1, ¹/₂ Ⓓ 1, -3
Solution:

\(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\)

⇒ (x – 2).2x – (-3).3x = 3
⇒ 2x² – 4x + 9x = 3
⇒2x² + 5x – 3 = 0
⇒ 2x² + 6x – x – 3 = 0
⇒2x(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(2x – 1) = 0
∴ x = -3, ¹/₂
Ans: Ⓑ ¹/₂, -3

\(8.\ \begin{vmatrix}ω^2\quad 1\quad ω\\ω\quad ω^2\quad 1\\1\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কের মান হবে (যেখানে ω হল 1 এর অবাস্তব ঘনমূল) —
Ⓐ 1 Ⓑ φ Ⓒ φ² Ⓓ 0
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}ω^2\quad 1\quad ω\\ω\quad ω^2\quad 1\\1\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}ω^2+1+ω\quad 1\quad ω\\ω^2+1+ω\quad ω^2\quad 1\\ω^2+1+ω\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}..[C_1’=C_1+C_2+C_3]\\=\begin{vmatrix}0\quad 1\quad ω\\0\quad ω^2\quad 1\\0\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}..[1+ω+ω^2=0]\\=0\\Ans:\quad Ⓓ\ 0\)

\(9.\ \begin{vmatrix}1\quad 5\quad -7\\2\quad -3\quad 5\\6\quad 0\quad\quad 4\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটির পদ 4 -এর সহ-উৎপাদক হবে —
Ⓐ 13 Ⓑ -13 Ⓒ 12 Ⓓ -12

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির 4 -এর সহ-উৎপাদক
= 1×(-3) – 2×5 = -13
Ans: Ⓑ -13

\(10.\ \begin{vmatrix}0\quad 2\quad 6\\1\quad 5\quad 0\\3\quad 7\quad 1\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটির পদ 5 -এর মাইনর্ হবে —
Ⓐ -18 Ⓑ 9 Ⓒ -9 Ⓓ 18

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির 5 -এর মাইনর্
= 0×1 – 3×6 = -18
Ans: Ⓐ -18

\(11.\ \begin{vmatrix}1\quad -3\quad 2\\4\quad -1\quad 2\\2\quad\quad 5\quad 7\end{vmatrix}\)

এর পদ a₃₂ -এর সহ-উৎপাদক হবে —
Ⓐ -6 Ⓑ 4 Ⓒ -4 Ⓓ 6

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির a₃₂ বা 5-এর সহ-উৎপাদক
= -[1×2 – 4×2]
= -(-6) = 6
Ans: Ⓓ 6

\(12.\ \begin{vmatrix}3\quad x\\x\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3\quad 2\\4\quad 1\end{vmatrix}\) হলে, x =

Ⓐ ±2√2 Ⓑ ±2√3
Ⓒ ±2√5 Ⓓ ±2√7

\(Solution:\ \begin{vmatrix}3\quad x\\x\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3\quad 2\\4\quad 1\end{vmatrix}\)

⇒ 3 – x² = 3 – 8
⇒ – x² = – 8
⇒x² = 8
⇒ x = ±2√2
Ans: Ⓐ ±2√2

\(13.\ \begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\2\quad -2\quad 2\\3\quad 3\quad -3\end{vmatrix}=\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 15\quad Ⓒ\ 24\quad Ⓓ\ 30\\Solution:\ \begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\2\quad -2\quad 2\\3\quad 3\quad -3\end{vmatrix}\)

= -1(6 – 6) – 1(-6 -6) + 1(6 + 6)
= 0 + 12 + 12 = 24
Ans: Ⓒ 24

14. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য।
Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে।
Ⓑ কোনো নির্ণায়কের একটি পদের সহ-উৎপাদক হল ওই পদের মাইনর।
Ⓒ কোনো নির্ণায়কের সারিসমূহের পদগুলি স্তম্ভ বরাবর এবং স্তম্ভসমূহের পদগুলি সারি বরাবর লিখলে তার মান পরিবর্তিত হয়।
Ⓓ কোনো নির্ণায়কের প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ পরস্পর অভেদ হলে, তার মান শূন্য হবে।
Ans: Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে।

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ______________

1. যদি \(\begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\) হয়, তবে x এর মান ____________ \(\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 1\quad Ⓒ\ 2\quad Ⓓ\ 3\\Solution:\ \begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\)

⇒ 12x – 14 = 10
⇒12x = 24
⇒ x = 2
Ans: Ⓒ 2

\(2.\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}= —–\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ tan 15°\\Ⓒ\ tan 75°\quad Ⓓ\ 1\\Solution:\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}\)

= cos 15°. cos 75° -sin 75°.sin 15°
=cos (75 +15)°
= cos 90° = 0
Ans: Ⓐ 0

\(3.\ \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x\quad 4\\6\quad x\end{vmatrix}\) হলে, x =

Ⓐ ±√2 Ⓑ ±√3
Ⓒ ±√5 Ⓓ ±√7
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x\quad 4\\6\quad x\end{vmatrix}\)

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒2x² = 6
⇒ x² = 3
⇒ x = ±√3
Ans: Ⓑ ±√3

Fill in the Blanks

\(4.\ \begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\14\quad 17\quad 20\\15\quad 18\quad 21\end{vmatrix}=—–\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 15 \quad Ⓒ\ 24\quad Ⓓ\ 30\)

\(Solution:\ \begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\14\quad 17\quad 20\\15\quad 18\quad 21\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{vmatrix}\)

. . .[R₂^’=R₂-R₁,R₃^’=R₃-R₂]
=0 . . [∵ নির্ণায়কের দুটি সারি অভিন্ন]
Ans: Ⓐ 0

\(5.\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}= ———–\)

Ⓐ (a + b)(b + c)(c + a)
Ⓑ a³ + b³ + c³
Ⓒ (a – b)(b – c)(c – a)
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

\(Solution:\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad\quad\quad a\quad\quad\quad\quad bc\\0\quad a-b\quad -c(a-b)\\0\quad b-c\quad -a(b-c)\end{vmatrix}..[R_2’=R_1-R_2,\ R_3’=R_2-R_3]\\=(a-b)(b-c)\begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\0\quad 1\quad -c\\0\quad 1\quad -a\end{vmatrix}\)

= (a – b)(b – c)(-a + c)
= (a – b)(b – c)(c – a)
Ans: Ⓒ (a – b)(b – c)(c – a)

\(6.\ \begin{vmatrix}\quad 0\quad sin α\quad -cos α\\-sin α\quad 0\quad\quad sin β\\cos α\quad -sin β\quad\quad 0\end{vmatrix}= ———–\\Ⓐ\ 0\quadⒷ\ sin α\quad Ⓒ\ cos α\quad Ⓓ\ tan α\\Solution:\ \begin{vmatrix}\quad 0\quad sin α\quad -cos α\\-sin α\quad 0\quad\quad sin β\\cos α\quad -sin β\quad\quad 0\end{vmatrix}\)

= 0 – sin α(0 – cos α sin β) – cos α (sin α sin β – 0)
=sin α sin β cos α – sin α sin β cos α
= 0
Ans: Ⓐ 0

\(7.\ \begin{vmatrix}5\quad\quad 2\\0\quad -1\end{vmatrix}\)

-এ 5-এর মাইনর ও 0-এর সহ-উৎপাদক যথাক্রমে __________ ও __________
Ⓐ -1, -2 Ⓑ -2, -1
Ⓒ 1, 2 Ⓓ 2, 1

Solution: 5-এর মাইনর = -1 ও
0-এর সহ-উৎপাদক = –(2) = -2
Ans: Ⓐ -1, -2

\(8.\ \begin{vmatrix}x^2\quad x\quad 1\\0\quad 2\quad 1\\3\quad 1\quad 4 \end{vmatrix}= 28\)

হয়, তবে x-এর পূর্ণসংখ্যা মান (integral value)
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}x^2\quad x\quad 1\\0\quad 2\quad 1\\3\quad 1\quad 4 \end{vmatrix}= 28\)

⇒ x²(8 – 1) – x(0 – 3) + 1(0 – 6) = 28
⇒ 7x² + 3x – 34 = 0
⇒7x² + 17x – 14x – 34 = 0
⇒ x(7x + 17) – 2(7x + 17) = 0
⇒ (7x + 17)(x – 2) = 0
∴ x = ^-17/₇, 2
Ans: Ⓒ 2

Column Matching ______________

\(1.\ △=\begin{vmatrix}[x]+1\quad\quad [y]\quad\quad [z]\\\quad [x]\quad [y]+1\quad\quad [z]\\\quad [x]\quad\quad [y]\quad [z]+1\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটি বিবেচনা করো: যেখানে [x] দ্বারা x-এর মানের বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বোঝায়, যা x-এর মানের চেয়ে বড়ো নয় এবং -1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1, 1 ≤ z < 2
A স্তম্ভ -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] [z] + 1 =	[a] 1
[ii] △ =	[b] 2
[iii] [x] =	[c] -2
[iv] [y] + 1 =	[d] -1

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]

Solution: [x] = -1 . . (∵ 1 ≤ x < 0),
[y] = 0. . (∵ 0 ≤ x < 1),
[z] = 1. . (∵ 1 ≤ x < 2)
[i] [z] + 1 = 1 + 1 = 2 → [b],

\([ii]\ △=\begin{vmatrix}\quad 0\quad 0\quad 1\\-1\quad 1\quad 1\\-1\quad 0\quad 2\end{vmatrix}\)

= -0 – 0 + 1(0 + 1) = 1 →[a],
[iii] [x] = -1 →[d],
[iv] [y] + 1 = 0 + 1 = 1 →[a]
Ans: Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]

2. যদি \(A=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}\) এবং \(B=\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\) হয়, তবে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] \|A\| =	[a] 26
[ii] \|AB\| =	[b] 28
[iii] \|B\| =	[c] -208
[iv] \|A + B\| =	[d] -8

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution:
[i] |A| = 2 – 10 = -8→ [d],

\([ii]\ AB=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}8+10\quad -6+25\\8+2\quad\quad -6+5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}18\quad 19\\10\quad -1\end{vmatrix}\)

∴ AB = -18 – 190 = -208→ [c],
[iii] |B| = 20 – (-6) = 26 → [a],

\([iv]\ A+B=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}6\quad 2\\4\quad 6\end{vmatrix}\)

∴ |A + B| = 36 – 8 = 28 → [b]
Ans: Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [b]

Column Matching Q No – 3

\(3.\ △=\begin{vmatrix}1\quad a\quad b\\-a\quad 1\quad c\\-b\quad -c\quad 1\end{vmatrix}\) হলে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] a₂₁ এর মাইনর্	[a] -(c + ab)
[ii] a₃₂ এর সহ-উৎপাদক	[b] (b + ac)
[iii] △ =	[c] (a + bc)
[iv] a₁₃ এর সহ উৎপাদক	[d] 1 + a² + b² + c²

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [a]

Solution: [i] a₂₁ = -a এর মাইনর্
= a – (-bc)
= a + bc →[c]
[ii] a₃₂ = -c এর সহ-উৎপাদক
= -[c – (-ab)]
= -(c + ab) →[a]
[iii] △ = 1(1 + c²) – a(-a + bc) + b(ac + b)
= 1 + c² + a²– abc + abc + b²
= a² + b² + c² →[d]
[iv] a₁₃ = b এর সহ উৎপাদক
= ac – (-b)
= ac + b→[b]
Ans: Ⓑ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]

Click here to visit our Facebook

Rearrangement of Sentences/Events ______________

1. সারাস নিয়ম (Sarrus rule)-এর সাহায্যে

\(\begin{vmatrix}\quad 2\quad 3\quad -5\\\quad 7\quad 1\quad -2\\-3\quad 4\quad\quad 1\end{vmatrix}\) মান নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল —

[i] নির্ণায়কের মান = (সমান্তরাল মুখ্য কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি) – (সমান্তরাল গৌণ কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি)
[ii] [2×1 ×1 + 3×(- 2)×(- 3) + (- 5)×7×4] – [3×7×1 + 2×(- 2)×4 + (-5)×1×(- 3)]
[iii] প্রথম দুটি স্তম্ভকে তৃতীয় স্তম্ভের ডানদিকে স্থাপন করে নিম্নলিখিতভাবে লিখতে হবে

2 3 -5 2 3

-3 4 1 -3 4

7 1 -2 7 1

[iv] নির্ণায়কের মান -140

ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল –
Ⓐ [i] – [ii] – [iii] – [iv]
Ⓑ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]
Ⓓ [i] – [iii] – [ii] – [iv]

Solution: [iii] প্রথম দুটি স্তম্ভকে তৃতীয় স্তম্ভের ডানদিকে স্থাপন করে লিখতে হবে।
[i] নির্ণায়কের মান = (সমান্তরাল মুখ্য কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি) – (সমান্তরাল গৌণ কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি)
[ii] [2×1 ×1 + 3×(- 2)×(- 3) + (- 5)×7×4] – [3×7×1 + 2×(- 2)×4 + (-5)×1×(- 3)]
[iv] নির্ণায়কের মান -140
Ans: Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]

2. যদি A = হয়, তবে A² – 2A ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কটির মান নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল —

\([i]\ |A^2-2A|=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}=25\\ [ii]\ A^2=\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}×\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}\\ [iii]\ -2A=\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}\\ [iv]\ A^2-2A =\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}\)

ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে —
Ⓐ [ii] – [iii] – [iv] – [i]
Ⓑ [ii] – [iii] – [i] – [iv]
Ⓒ [iv] – [ii] – [iii] – [i]
Ⓓ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Solution:

\([ii]\ A^2=\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}×\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}\\ [iii]\ -2A=\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}\\ [iv]\ A^2-2A =\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}\\ [i]\ |A^2-2A|=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}=25\)

Ans: Ⓐ [ii] – [iii] – [iv] – [i]

Relationship between Statements ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিবৃতিটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B -এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A:

\(\begin{vmatrix}\ a+ib\quad c+id\\-c+id\quad a-ib\end{vmatrix}=a^2+b^2+c^2+d^2\)

বিবৃতি-B: i² = 1
Solution: বিবৃতি-A: = (a + ib)( a – ib) – (-c + id) (c + id)
= a² – i²b² – (i²d² – c²)
=a² + b² – (-d² – c²)
= a² + b² + c² + d²→ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: i² = -1 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A:

\(\quad \begin{vmatrix}\quad 1\quad 4\quad -3\\-4\quad 1\quad 2\\3\quad -2\quad 1 \end{vmatrix}=30\\\)বিবৃতি-\(B:\begin{vmatrix}x\quad z\quad 0\\0\quad y\quad y\\z\quad 0\quad x\end{vmatrix}=y(z^2+x^2)\)

Solution: বিবৃতি-A: △ = 1(1 + 4) – 4(-4 – 6) + (-3)(8 – 3)
= 5 + 40 – 15
= 30 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: △ = x(xy – 0) – z(0 – yz) + 0
= x²y + yz²
= y(z² + x²) → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

3. বিবৃতি-A:

\(\quad \begin{vmatrix}\quad 1\quad z\quad -y\\-z\quad 1\quad x\\y\quad -x\quad 1 \end{vmatrix}=x^2+y^2+z^2+1\)

বিবৃতি-\(B:\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}= a_1\begin{vmatrix}b_2\quad c_2\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}b_1\quad c_1\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}b_1\quad c_1\\b_2\quad c_2\end{vmatrix}\)

Solution: △ = 1(1 + x²) – z(-z – xy) + (-y)(xz – y)
= 1 + x² + z² + xyz – xyz + y²
= x² + y² + z²+ 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): যদি \(A=\begin{vmatrix}1\quad 2\\6\quad 2\end{vmatrix}\) হয়, তবে |2A| = 4|A|

বিবৃতি-II(R): \(x=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2x=\begin{vmatrix}a\quad\quad b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\)

Solution: বিবৃতি-I: n ক্রমের নির্ণায়কের(A) ক্ষেত্রে det(kA) = kⁿA হয়।
∴ |2A| = 2²|A|
= 4|A| → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II:

\(X=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2X=\begin{vmatrix}2a\quad 2b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\) হবে।

2. বিবৃতি-\(I(A):\begin{vmatrix}1\quad\quad 1\quad\quad 1\\1\quad 1+x\quad 1\\1\quad 1\quad 1+y\end{vmatrix}=xy\)

বিবৃতি-\(II(R):\begin{vmatrix}1+a\quad\quad b\quad\quad c\\\quad a\quad 1+b\quad\quad c\\\quad a\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}=a+b+c+1\)

Solution: বিবৃতি-I

\(\ \begin{vmatrix}1\quad\quad 1\quad\quad 1\\1\quad 1+x\quad 1\\1\quad 1\quad 1+y\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad 1\quad 1\\0\quad x\quad 0\\0\quad 0\quad y\end{vmatrix}\\ . . . [R_2’ = R_2 – R_1;\ R_3’ = R_3 – R_1]\)

= 1(xy – 0)
= xy → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II:

\(\begin{vmatrix}1+a\quad\quad b\quad\quad c\\\quad a\quad 1+b\quad\quad c\\\quad a\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1+a+b+c\quad b\quad\quad c\\1+a+b+c\quad 1+b\quad\quad c\\1+a+b+c\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\. . . [C_1’=C_1+C_2+C_3]\\= (1+a+b+c)\begin{vmatrix}1\quad\quad b\quad\quad c\\\quad 1\quad 1+b\quad\quad c\\\quad 1\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\=(1+a+b+c)\begin{vmatrix}1\quad b\quad c\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{vmatrix}\\. . .[R_2’=R_2-R_1;\ R_3’=R_3-R_1]\)

= (1 + a + b + c)(1 – 0)
= 1 + a + b + c → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।

Assertion-Reasoning ______________

3. বিবৃতি-\(I(A):\begin{vmatrix}-a\quad\quad a\quad\quad a\\\quad b\quad -b\quad\quad b\\\quad c\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix}\)

বিবৃতি-\(II(R):\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix}b_2\quad c_2\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}-b_1\begin{vmatrix}a_2\quad c_2\\a_3\quad c_3\end{vmatrix}+c_1\begin{vmatrix}a_2\quad b_2\\a_3\quad b_3\end{vmatrix}\)

Solution: বিবৃতি-I:

\(\begin{vmatrix}-a\quad\quad a\quad\quad a\\\quad b\quad -b\quad\quad b\\\quad c\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}0\quad\quad a\quad\quad a\\0\quad -b\quad\quad b\\0\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix} . . . [C_1’ = C_1 + C_2]\)

= 2c(ab + ab)
= 4abc → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: বিবৃতিটি সত্য এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

4. বিবৃতি-I(A): \(△=\begin{vmatrix}\ 1\quad\quad sin θ\quad\ 1\\-sin θ\quad 1\quad sin θ\\-1\quad -sin θ\quad 1\end{vmatrix}\) হলে 2 ≤ △ ≤ 4

বিবৃতি-II(R): 0 ≤ sin² θ ≤ 1

Solution: △ = 1(1 + sin² θ) – sin θ (-sin θ + sin θ) + 1(sin² θ + 1)
= 1 + sin² θ + sin² θ + 1
= 2 + 2 sin² θ
∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1
∴ 0 ≤ sin² θ ≤ 1
⇒ 0 ≤ 2sin² θ ≤ 2
⇒0 + 2 ≤ 2 + 2sin² θ ≤ 2 + 2
⇒ 2 ≤ △ ≤ 4 → বিবৃতি I সঠিক
বিবৃতি-II: ∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1
∴ 0 ≤ sin² θ ≤ 1 → বিবৃতি II সঠিক
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

True and False ____

1. বিবৃতি-I: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান -3

বিবৃতি-II: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান \(\frac{1}{2},-3\)

Solution: △ = (x – 2).2x – (-3).3x = 3
⇒ 2x² – 4x + 9x = 3
⇒ 2x² + 5x – 3 = 0
⇒2x² + 6x – x – 3 = 0
⇒ 2x(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(2x – 1) = 0
∴ x = -3, ¹/₂
∴ বিবৃতি-I মিথ্যা এবং বিবৃতি-II সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

2. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 4-এর মাইনর্ 2

বিবৃতি-II: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 3 -এর সহ-উৎপাদক -1

Solution: বিবৃতি-I: 4-এর মাইনর্ 2 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: 3 -এর সহ-উৎপাদক -1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓবিবৃতি I ও II সত্য।

3. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}0\quad 2\quad 6\\1\quad 5\quad 0\\3\quad 7\quad 11\end{vmatrix}\)-এ 7-এর মাইনর ও সহ-উৎপাদক যথাক্রমে -6 ও -6

বিবৃতি-II: 3-এর মাইনর্ ও 5-এর সহগুণনীয়ক যথাক্রমে -30 এবং -18
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: বিবৃতি-I: 7-এর মাইনর = (0 – 6) = -6,
7-এর সহ-উৎপাদক
= -(-6) = 6 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-II: 3-এর মাইনর্ = 0 – 30 = -30,
5-এর সহগুণনীয়ক = (0 – 18) = -18 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা।

\(4.\ A=\begin{vmatrix}1\quad 0\quad 1\\0\quad 1\quad 2\\0\quad 0\quad 4\end{vmatrix}\) হলে, নীচের বিবৃতি দুটি বিবেচনা করো।

বিবৃতি-I: |A| = 4
বিবৃতি-II: |3A| = 27|A|
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: বিবৃতি-I: |A| = 1(4 – 0) – 0 + 1(0 – 0) = 4 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: n ক্রমের নির্ণায়কের(A) ক্ষেত্রে det(kA) = kⁿA হয়।
∴ |3A| = 3³|A|
= 27|A| → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓবিবৃতি I ও II সত্য

5. যদি \(f(θ)=\begin{vmatrix}\quad cos^2θ\quad\quad cosθsinθ\quad -sinθ\\cosθsinθ\quad sin^2θ\quad\quad cosθ\\sinθ\quad -cosθ\quad\quad 0\end{vmatrix}\) হয়, তবে

বিবৃতি-I: f(^π/₆) = 1
বিবৃতি-II: f(^π/₂) = 1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: f(θ) = sin θ(cos² θsin θ + sin³ θ) + cos θ(cos³ θ + cos θsin² θ) + 0
= sin² θ(cos² θ + sin² θ) + cos² θ(cos² θ + sin² θ)
= sin² θ + cos² θ = 1
f(θ) = 1
বিবৃতি-I: ∴ f(^π/₆) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: f(θ) = 1 ∴ f(^π/₂) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Case Based ______

\(1.\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}\) -এর

[i] bc-এর মাইনর্ হল —
Ⓐ b – c   Ⓑ c – b
Ⓒ b + c   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 1×c – 1×b = c – b
Ans:   Ⓑ   c – b

[ii] ab-এর সহ-উৎপাদক হল —
Ⓐ b – a      Ⓑ a – b
Ⓒ a + b     Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 1×b – 1×a = b – a
Ans:   Ⓐ   b – a

[iii] b-এর মাইনর্ হল —

\(Ⓐ\ \begin{vmatrix}1\quad ca\\1\quad bc\end{vmatrix}\ Ⓑ\ \begin{vmatrix}bc\quad 1\\ab\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓒ\ \begin{vmatrix}1\quad bc\\1\quad ab\end{vmatrix}\ Ⓓ\ \begin{vmatrix}1\quad a\\1\quad c\end{vmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\ \begin{vmatrix}1\quad bc\\1\quad ab\end{vmatrix}\)

\(2.\ \begin{vmatrix}\quad 2\quad 4\quad 1\\\quad 8\quad 5\quad 2\\-1\quad 3\quad 7\end{vmatrix}\) নির্ণায়কটির

[i] প্রথম স্তম্ভের প্রত্যেকটি পদের মাইনর্ যথাক্রমে —
Ⓐ 29, -25, 3       Ⓑ -29, -25, -3
Ⓒ 29, 25, 3          Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 2-এর মাইনর্ = 5×7 – 3×2 = 29,
8-এর মাইনর্ = 4×7 – 3×1 = 25,
-1-এর মাইনর্ = 4×2 – 5×1 = 3
Ans:   Ⓒ   29, 25, 3

[ii] নির্ণায়কটির মান —
Ⓐ -145     Ⓑ 145
Ⓒ 165       Ⓓ -165
Solution: △ = 2(5×7 – 3×2) – 4(8×7 +1×2) + 1(8×3 + 1×5)
= 2×29 – 4×58 + 29
=58 – 232 + 29
= 87 – 232
= – 145
Ans:   Ⓐ   -145

[iii] দ্বিতীয় সারির প্রত্যেকটি পদের সহ-উৎপাদক —
Ⓐ 25, -15, 10     Ⓑ -25, 15, -10
Ⓒ 15, 25, 10       Ⓓ -15, -10, 25
Solution: 8-এর সহ-উৎপাদক = –(4×7 – 3×1) = -25,
5-এর সহ-উৎপাদক = 2×7 – (-1)×1 = 15,
2-এরসহ-উৎপাদক = –(2×3 – (-1)×4) = -10
Ans: Ⓑ   -25, 15, -10

MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION →

← MATRIX

Tag: নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক SEMESTER 3

SOLUTION OF DETERMINANT S N DEY MINOR AND COFACTOR নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক

5. একক মাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান হবে —Ⓐ 1 Ⓑ -1 Ⓒ 2 Ⓓ -2Ans: Ⓐ 1

এর পদ a32 -এর সহ-উৎপাদক হবে —Ⓐ -6 Ⓑ 4 Ⓒ -4 Ⓓ 6