Tag: দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

(i) 2x² + 7x + 3 = 0  

সমাধানঃ
2x² + 7x + 3 = 0
এখানে, a = 2; b = 7; c  = 3;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² – 4.2.3
= 49 – 24 = 25 > 0
Ans: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

(ii) 3x² – 2√6x + 2 = 0

সমাধানঃ
3x² – 2√6x + 2 = 0
এখানে, a = 3; b = -2√6; c = 2;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-2√6)² + 4.3.2
= 24 – 24 = 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান

(iii) 2x² -7x + 9 = 0

সমাধানঃ
2x² – 7x + 9 = 0
এখানে, a = 2; b = – 7; c  = 9;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² + 4.2.9
= 49 – 72  =  -23 <0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক

(iv) ²/₅ x² – ²/₃ x + 1 = 0

সমাধানঃ
²/₅x² – ²/₃ x + 1 = 0
এখানে, a = ²/₅ ; b = – ²/₃ ; c  = 1;
প্রদত্ত সমীকরণটির নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= ( – ²/₃ )² – 4 .²/₅.1
= ⁴/₉ – ⁸/₅
⇒ ^20-72/₄₅
= – ⁵²/₄₅  < 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।

(i) 49x² + kx + 1 = 0

সমাধানঃ
49x² + kx + 1 = 0
এখানে, a = 49 ; b = k ; c = 1;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac
⇒ (k)² – 4.49.1 = 0
বা, k² =  196
বা, k = ±√196 = ±14
Ans: k = ±14

(ii) 3x² -5x + 2k = 0

সমাধানঃ 
3x² – 5x + 2k = 0
এখানে, a = 3 ; b = – 5 ; c  = 2 ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।  
∴ b² – 4ac = 0
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (-5)² – 4.3.2k = 0
বা‌, 25  – 24k =  0
বা  – 24k = – 25
বা, k = ²⁵/₂₄
Ans: k-এর মান ²⁵/₂₄

(iii) 9x² -24x + k = 0

সমাধানঃ
9x² – 24x + k = 0
এখানে, a = -9 ; b = -24 ; c  = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।  
∴ b² – 4ac = 0 
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (- 24)² – 4.9.k = 0
বা, 36k = 576
∴ k = 16
Ans: k-এর মান 16

(iv) 2x² + 3x + k = 0

সমাধানঃ
2x² + 3x + k = 0
এখানে, a = 2 ; b = 3 ; c  = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।  ∴
∴ b² – 4ac = 0
বা, (3)² – 4.2.k = 0
বা, 8k = 9
∴ k = ⁹/₈
Ans: k – এর মান ⁹/₈

(v) x² – 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0

সমাধানঃ
x²- 2(5+2k)x +3 (7+10k)=0
এখানে,
a = 1;
b =  -2(5+2k);
c  =3 (7+10k);
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {-2(5+2k)}² – 4.1.3(7+10k) = 0
বা, 4{(5+2k)² – 1.3(7+10k)} = 0
⇒ (5+2k)² – 3 (7+10k) = 0
বা, 25 + 20k + 4k² – 21 – 30k = 0
বা, 4k² – 10k + 4 = 0
⇒ 2(2k² – 5k + 2) = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0
বা, 2k(k-2) – 1(k-2)= 0
⇒ (k -2)(2k-1)=0
হয় (k -2) =0   নতুবা (2k-1)=0
বা, k = 2 বা,   k = ½
Ans: k = 2 ও ½

(vi) (3k+1)x² + (2k+1)x + k = 0

সমাধানঃ
(3k+1)x² + 2(k+1)x + k = 0
এখানে,
a = (3k+1);
b =  2(k+1);
c  = k;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরুপক : b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {2(k+1)}² – 4. (3k+1).k = 0
বা, 4{(k+1)² – (3k+1).k} = 0
বা, (k+1)² – (3k+1).k = 0
⇒ k²+ 2k + 1 – 3k² – k = 0
বা, -2k² + k + 1 = 0
বা, -(2k² -k – 1) = 0
⇒ 2k² – k – 1 = 0
বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0
বা, 2k(k -1 ) + 1(k – 1) = 0
⇒ (2k + 1)(k – 1) = 0
হয় (2k + 1)= 0  নতুবা (k – 1) = 0
বা, 2k = – 1 বা, k = 1
বা, k = – ¹/₂ 
Ans: k = 2 ও – ¹/₂

(i) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
4, 2

সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 4 ও 2 ; 
∴ সমীকরণটি হলঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – (4 + 2) x + 4 . 2 = 0 
বা, x² – 6 x + 8 = 0 (Ans.)

(ii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, -3

সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও – 3 ; 
∴ সমীকরণটি হলঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – (-4 – 3) x + (-4 x- 3) = 0 
বা, x² + 7x + 12 = 0 (Ans.)

(iii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, 3

সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও  3 ; 
∴ সমীকরণটি হলঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – (-4 + 3) x + (-4 x 3) = 0 
বা, x² + x – 12 = 0 (Ans.)

(iv) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
5, -3

সমাধানঃ সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 5 ও  – 3 ; 
∴ সমীকরণটি হলঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – (5 – 3) x + (5 x- 3) = 0 
বা, x² – 2x – 15 = 0 (Ans.)

4. m এর মান কত হলে 4x² + 4(3m-1)x + m + 7 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে? 

সমাধানঃ
4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের 
বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে
^{(m + 7)}/₄ = 1 হবে
বা, (m -+7) = 4 হবে।
বা, m = – 3
Ans:  m-এর মান হবে -3

5. (b – c)x² + (c – a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b = a + c

সমাধানঃ  
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের মান সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে।  অর্থাৎ b² – 4ac = 0 হবে।
এখানে, a = (b – c);
b = (c – a);
c = (a – b)
∴  (c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
বা, c² – 2ac + a² – 4ab + 4ac + 4b² – 4bc = 0
বা, a² + 4b²+ c² – 4ab – 4bc + 2ac = 0
⇒ (a)² + (-2b)²+ (c)² + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0
বা,  (a -2b + c)² = 0
বা, (a – 2b + c) = 0
⇒ a + c = 2b
∴  2b = a + c (প্রমাণিত)

6. (a² + b²)x²– 2(ac + bd)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ^a/_b = ^c/_d 

সমাধানঃ
(a² + b²)x – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় সমান.
∴ সমীকরণের  নিরূপক অর্থাৎ b²-4ac = 0
এখানে,
a = (a² + b²);
b = -2(ac + bd);
c = (c² + d²) ;
∴ {- 2(ac + bd)}² -4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা,  4(ac+bd)² – 4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা, 4{(ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²)} = 0 
বা, (ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²) = 0
⇒ a²c² + 2abcd + b²d² – a²c² – a²d² – b²c² – b²d² = 0
বা,  2abcd  – a²d² – b²c² = 0
বা, -(a²d² – 2abcd + b²c²) = 0
⇒ (ad – bc)² = 0
বা, ad – bc = 0
বা, ad = bc
∴ ^a/_b = ^c/_d (Proved)

7. প্রমাণ করি যে,  2(a² + b²)x²  + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয়।

সমাধানঃ
এখানে,
a = 2(a² + b²);
b = 2(a+b);
c = 1; 
∴ 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0
সমীকরণের নিরূপক
= b² – 4ac
= {2(a + b)}² – 4.{2(a² + b²)}.1
= 4{(a + b)² – (2a² +2b²)}
= 4(a² + 2ab + b²– 2a² – 2b²)
⇒ 4(- a² + 2ab – b²)
= – 4(a² – 2ab + b²)
= – 4(a – b)² 
∵ (a – b)² ≥ 0
∴ 4(a – b)² ≥ 4.0
∴ – 4(a – b)² ≤ 0
a ≠ b হলে,
– 4(a – b)² = 0 হয় অর্থাৎ নিরূপক শূন্য হয়।
নিরূপক শূন্য হলে বীজদ্বয়ের কোন বাস্তব বীজ থাকে না।
∴  a ≠ b হলে সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(i) α² + β² এর মান নির্ণয় করি।

(i) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅   এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α² + β²
=  (α+β)² – 2.α.β
⇒ (- ²/₅)² – 2. (-³/₅)
= ⁴/₂₅ + ⁶/₅
= ^{(4 +30)}/₂₅
⇒ ³⁴/₂₅ (Ans)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(ii) α³ + β³ এর মান নির্ণয় করি।

(ii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅   এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α³ + β³
= (α+β)³ – 3.α.β (α+β)
⇒ (- ²/₅)³ – 3.(- ³/₅).(- ²/₅ )
= – ⁸/₁₂₅ – ¹⁸/₂₅
= ^{(- 8 – 90)}/₁₂₅
⇒ –⁹⁸/₁₂₅ (Ans)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iii) ¹/_α + ¹/_β এর মান নির্ণয় করি।

(iii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅   এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
⇒ ¹/_α + ¹/_β
⇒ ^{(α +.β)}/_αβ
= ^{– 2/₅}/_{– ⅗}
= ²/₃ (Ans)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iv) ^α2/_β + ^β2/_α এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +β = – ²/₅   এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ

9. ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac

সমাধানঃ
ধরি ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজ দুটি যথাক্রমে   α ও 2α বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α + 2 α  = – ^b/_a 
বা, 3α = – ^b/_a
বা, α = – ^b/_3a
বীজদ্বয়ের গুণফল-

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক , সেই সমীকরণটি গঠন করি।

সমাধানঃ
x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = – p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় ¹/_α ও ¹/_β
নির্ণেয় সমীকরনের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ¹/_α + ¹/_β
= ^{(α +.β)}/_αβ
⇒ ^-p/₁
= -p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল
= ¹/_α . ¹/_β
= ¹/_αβ = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- p)x + 1 = 0
বা, x² + px + 1 = 0

11. x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β²
= (α +.β)² – 2α.β
⇒ (-1)² – 2.1
= 1- 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
=  (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (-1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0

(i) x²– 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) – 2 (c) 6 (d) – 6

Ans: (c) 6
সমাধানঃ
α + β = –^b/_a
= – ^(-6)/₁ = 6

(ii) x² – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল – 2 হলে, k-এর মান
(a) – 2 (b) – 8 (c) 8 (d) 12

Ans: (c) 8
সমাধানঃ  
x² – 3x + k = 10
বা, x² – 3x + k-10 = 0
∴ ^c/_a = k-10 
প্রশ্নানুযায়ী 
k-10 = – 2
বা, k= -2+10 = 8

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² – 4ac হবে
(a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 (d) কোনােটিই নয়

Ans: (a) > 0

(iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) c = – ^b/_2a  (b) c = ^b/_2a (c) c = – ^b2/_4a (d) c = ^b2/_4a

Ans:  (d) c = ^b2/_4a
সমাধানঃ
বীজদ্বয় সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে অর্থাৎ 
b² – 4ac = 0 হবে।
বা, – 4ac = – b²
⇒ 4ac = b² 
বা, c = ^b2/_4a

(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজয় α এবং β হলে ¹/_α + ¹/_β এর মান
(a) – ³/₈  (b) ²/₃  (c) – 4 (d) 4

Ans: (c) 4
সমাধানঃ
α + β = – ^b/_a
= – ⁽⁸⁾/₃ = –⁸/₃ এবং
αβ = ^c/_a
= ²/₃ 
∴ ¹/_α + ¹/_β = ^{(β+ α)}/_αβ
= ^–8/₃/ _²/3
= -4

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

Ans: উক্তিটি মিথ্যা।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (-1)² – 4.1.1
⇒ 1 – 4
= -3 < 0

(ii) x² – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

Ans: উক্তিটি সত্য ।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (1)² – 4.1.2
⇒ 1 – 8
= -7 < 0

(i)7x² – 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ________

Ans: 2 : 3
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – ^(-12)/₇ = ¹²/₇
বীজদ্বয়ের গুণফল = ¹⁸/₇ ;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত
= ¹²/₇ : ¹⁸/₇
⇒ 12 : 18
= 2 : 3

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = ________

Ans: a
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = 1
বা, c = a

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে a + c = ________

Ans: 0
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = – 1
বা, c = -a
বা, a + c = 0

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল 24
∴  দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ 
x² – ( বীজদ্বয়ের সমষ্টি).x+ বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – 14x + 24 = 0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ  x² – 14x + 24 = 0

(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।

সমাধানঃ
kx²+ 2x + 3k = 0 সমীকরণের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –²/_k এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = ^3k/_k = 3
∵ বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুনফল সমান।
∴ –²/_k = 3
বা, k = – ²/₃
Ans: k-এর মান – ²/₃

(iii) x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়  α এবং β হলে, ( α – β )এর মান লিখি।

সমাধানঃ
x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β ;
α + β = -(-22) = 22 এবং
α.β = 105
∴ ( α – β )² = ( α + β )² – 4α β
বা, ( α – β )² = (22)² – 4 x 105 
বা, ( α – β )²= 484 – 420 = 64
⇒ α – β  = ±√64
বা, α – β  = ±8
 Ans: α – β = এর মান ± 8.

(iv) x² – x = k(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।

সমাধানঃ
x² – x = k(2x – 1)
বা, x² – x – 2kx  + k = 0
বা, x² – (1 + 2k)x  + k = 0
প্রশ্নানুযায়ী,
1 + 2k = 0
বা, 2k = -1
বা, k = – ¹/₂
Ans: k-এর মান – ¹/₂

(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।

সমাধানঃ
x² + bx + 12 = 0 এর একটি বীজ 2,
∴ (2)² + b.2 + 12 = 0
বা, 4 +2b +12 = 0
বা, 2b +16 = 0
⇒ 2b = -16
বা, b = -8
আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণেরও একটি বীজ 2
∴ (2)² + b.2 + q = 0
বা, 4 +2.(-8) +q = 0 . . . . . .[∵ b = -8]
বা, 4 – 16 +q = 0
⇒ – 12 +q = 0
বা, q = 12
Ans: q-এর মান 12