ত্রিকোণমিতি

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০
Class -X

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
TRIGONOMETRY: CONCEPT OF MEASUREMENT OF ANGLE
কষে দেখি 20

জ্যামিতিক কোণঃ দুটি রেখাংশ একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ওই বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয় । OA ও OB দুটি রেখাংশ O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, তার ফলে O বিন্দুতে ∠AOB কোণ উৎপন্ন হয়েছে । এই ∠AOB কে আমরা জ্যামিতিক কোণ বলি ।

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

ত্রিকোণমিতিক কোণঃ একটি রেখাংশকে তার প্রান্ত বিন্দুতে স্থির রেখে
যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘোরানো হয় , তবে সেই রেখার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে তার পরবর্তী অবস্থান সেই প্রান্তবিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন করে।

OA রেখাকে তার প্রান্তীয় বিন্দু O তে স্থির রেখে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘুরিয়ে যথাক্রমে OC ও OB অবস্থানে নিয়ে গেলে, প্রথম অবস্থানের সঙ্গে এই অবস্থানগুলি যথাক্রমে ∠COA এবং ∠BOA কোণ উৎপন্ন করে । এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলে ।

সুতরাং জ্যামিতিক কোণের পরিমাপই হল মূল বিচার্য বিষয় । জ্যামিতিক কোণের পরিমাপ 0° থেকে 360° পর্যন্ত যেকোনো মানের হতে পারে, কিন্তু তার চেয়ে বড়ো হতে পারেনা ।
কিন্তু ত্রিকোণমিতির কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণিয়মান রেখার দিক ও তার ফলে সৃষ্ট কোণের পরিমান উভয়ই বিচার করা হয় ।

⛔ ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ধনাত্মক কোণ বলে ।
বিপরীতক্রমে ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঋণাত্মক কোণ বলে ।
জ্যামিতিক কোণের ক্ষেত্রে রেখাটি একপাক সম্পূর্ণ ঘোরার পর আবার ঘুরতে শুরু করলে কোণের মান নতুন করে 0° থেকে বাড়তে শুরু করবে । তারপর একপাক সম্পূর্ণ করলে আবার 360° হবে। কিন্তু কোণের মান কখনই 360° এর বেশি হবেনা ।
ত্রিকোণমিতিক কোণ যে কোনো পরিমাপের হতে পারে, এমনকি ঋণাত্মকও ।
ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (1×360+30)° = 390° ;

আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (2×360+30)° = (720+30)°=750°
আবার ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(1×360+30)° = -390°
আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(2×360+30)° = -(720+30)°= -750°

⛔ কোণ পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতিঃ
ত্রিকোণমিতিক কোন পরিমাপ সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে করা হয়।
👉 (ক) ষষ্টিক পদ্ধতি ও
👉 (খ) বৃত্তীয় পদ্ধতি

👉 1. ষষ্ঠিক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি পুরো একপাক ঘুরে এলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে 360° ধরে তার চার ভাগের একভাগকে 90° বা এক সমকোণ ধরা হয় । এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে 90 টি সমান ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) বলে।
এই পদ্ধতিতে অন্যান্য নিম্ন এককগুলি হল মিনিট ও সেকেন্ড।
এদের মধ্যে সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলঃ
✴️ এক সমকোণ = 90° ( ডিগ্রি )
✴️ 1° ( ডিগ্রি ) = 60′ ( মিনিট )
✴️ 1′ ( মিনিট ) = 60” ( সেকেন্ড )

👉 2. বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে যে ধ্রূবক সম্পর্কটি রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে। যে কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চাপ সবসময় কেন্দ্রে একটি নিদিষ্ট পরিমান কোণ ধারণ করে। এই কোণের পরিমানকেই বৃত্তীয় পদ্ধতিতে একক ধরা হয় এবং তাকে এক রেডিয়ান বলা হয়।
✴️ রেডিয়ান ঃ কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ওর কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান বলে।

👉 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোন। একে 1^c (এক রেডিয়ান

) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$$\Large{\pi ^{c}=180^\circ\\\therefore1^{c}=\frac{180^\circ}{\pi}\\=\frac{180^\circ}{\frac{22}{7}}\\=\frac{180^\circ\times 7}{22}\\=\frac{90^\circ\times 7}{11}\\=\frac{630^\circ}{11}\\=57^\circ 16^{l}22^{ll}}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

👉 ষষ্টিক পদ্ধতি ও বৃত্তীয় পদ্ধতির সম্পর্কঃ
1^c = 57°16’22”

⛔ r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের s দৈর্ঘ্যের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় পরিমাপ θ হলে s = rθ হয়।

পদ্ধতি দুটির এককগুলির মধ্যে সম্পর্কঃ
ষষ্ঠিক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি
360° = 2π^c ;
180° = π^c ;
90° = π^c/2

1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি :
(i) 832′ (ii) 6312″
(iii) 375″ (iv) 27 1/12°
(v) 72.04″

$$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 832’\\Ans:}\\832’\\=\frac{832′}{60}\\=13^o +52’\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 6312”\\Ans:}\\6312”\\=\frac{6312}{60}’\\=105\frac{12}{60}’\\=105’+\frac{1}{5}’\\=60’+45’+\frac{1}{5}×60”\\=1^o+45’+12”\\=1^o45’12”\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad 375”\\Ans:}\\375”\\=\frac{375}{60}’\\=\frac{25}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}×60”\\=6’+15”\\=6’15”\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 27\frac{1}{12}^o\\Ans:}\\27\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}×60’\\=27^o+5’\\=27^o5’\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 72.04^o\\Ans:}\\72.04^o\\=72^o+.04^o\\=72^o+.04×60’\\=72^o+2.4’\\=72^o+2’+.4’\\=72^o+2’+.4×60”\\=72^o+2’+24”\\=72^{o}2’24”\\-*-}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি :
(i) 60° (ii) 135°
(iii) -150° (iv) 72°
(v) 22°30′ (vi) -62°30′
(vii) 52°52’30” (viii) 40°16’24”

$$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 60^o\\Ans:}\\60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\frac{π^c}{3}\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 135^o\\Ans:}\\135^o\\=135×\frac{π^c}{180}\\=3×\frac{π^c}{4}\\=\frac{3π^c}{4}\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad -150^o\\Ans:}\\-150^o\\=-150×\frac{π^c}{180}\\=-5×\frac{π^c}{6}\\=-\frac{5π^c}{6}\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 72^o\\Ans:}\\72^o\\=72×\frac{π^c}{180}\\=2×\frac{π^c}{5}\\=\frac{2π^c}{5}\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 22°30’\\Ans:}\\22°30’\\=22°+30’\\=22+\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=22°+\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(22+\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{44+1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{45}{2}\right)^o\\=\frac{45}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{1}{2}×\frac{π^c}{4}\\=-\frac{π^c}{8}\\-*-\\\mathbf{(vi)\quad\quad -62°30’\\Ans:}\\-62°30’\\=-62°-30’\\=-62-\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=-62°-\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(-62-\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-124-1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-125}{2}\right)^o\\=\frac{-125}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{-25}{2}×\frac{π^c}{36}\\=-\frac{25π^c}{72}\\-*-}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

$$\Large{\mathbf{(vii)\quad\quad 52°52’30”\\Ans:}\\52°52’30”\\=52°+52’+30”\\=52°+52’+\left(\frac{30}{60}\right)’\\=52°+52’+\left(\frac{1}{2}\right)’\\=52°+\left(52+\frac{1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{104+1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{105}{2}\right)’\\=52°+\left(\frac{105}{2×60}\right)^o \\=52°+\left(\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(52+\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{416+7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{423}{8}\right)^o\\=\frac{423}{8}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{47}{8}×\frac{π^c}{20}\\=\frac{47π^c}{160}\\-*-\\\mathbf{(viii)\quad\quad 40°16’24”\\Ans:}\\40°16’24”\\=40°+16’+24”\\=40°+16’+\left(\frac{24}{60}\right)’\\=40°+16’+\left(\frac{2}{5}\right)’\\=40°+\left(16+\frac{2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{80+2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{82}{5}\right)’\\=40°+\left(\frac{82}{5×60}\right)^o \\=40°+\left(\frac{41}{5×30}\right)^o\\=40°+\left(\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(40+\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6000+41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6041}{150}\right)^o\\=\frac{6041}{150}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{6041π^c}{27000}\\-*-}$$

3. ΔABC-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি ∠ACD=144° হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

ΔABC-এর AC = BC
∴ ∠BAC = ∠ABC
∵ ∠ACD=144°
∴ ∠ACB = 180° – 144°
= 36°
= 36×^π/₁₈₀
= π^c/5
∴ ∠BAC + ∠ABC = π^c – π^c/₅
= 4π^c/₅
∴ ∠BAC = ∠ABC = ½×4π^c/5
= 2π^c/5
Ans: ΔABC-এর তিনটি কোণের মান ∠ABC = 2π^c/5;
∠BCA = π^c/5;
∠CAB = 2π^c/5;

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 হলে, যষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 90° – θ
2π/5 = 2×180°/5 =72°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (90° – θ) = 72°
বা, θ – 90° + θ = 72°
বা, 2θ = 72° + 90°
বা, 2θ = 162°
বা, θ = 81°
∴ অপর কোণটি = 90° – 81° = 9°
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 81° ও 9°;

5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ π/12; তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
একটি কোণের পরিমাপ = 65° এবং
দ্বিতীয়টির পরিমাপ = π/12
= 180°/12 = 15°
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ তৃতীয় কোণটির মান
= 180° – (65°+15°)
= 180° – 80°
= 100°
= 100 × π^c/180
= 5π^c/9
Ans: তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে 100° ও 5π^c/9

6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 135° – θ
π/12 = 180°/12
=15°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (135° – θ) = 15°
বা, θ – 135° + θ = 15°
বা, 2θ = 15° + 135°
বা, 2θ = 150°
বা, θ = 75°
বা, θ = 75 × π^c/180
বা, θ = 5π^c/12
∴ অপর কোণটি = 135° – 75°
= 60°
= 60°× π^c/180
= π^c/3
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60° ও 75° এবং
বৃত্তীয় মান যথাক্রমে π^c/3 ও 5π^c/12

7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = π^c
ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত = 2:3:4;
∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান
= π^c ×⁴/₉
= 4π^c/9
Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4π^c/9

8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
এখানে, s = 5.5 সেমি
r = 28 সেমি
আমরা জানি, s = rθ

$$ \Large{\therefore θ =\frac{s}{r}\\⇒θ =\frac{5.5}{28}\\⇒θ =\frac{55}{28×10}\\⇒θ =\frac{11}{28×2}\\⇒θ =\frac{11×2}{28×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7×4×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7}×\frac{1}{16}\\⇒θ =π^{c}×\frac{1}{16}\\⇒θ =\frac{π^{c}}{16}}$$

Ans: কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = ^πc/₁₆

9.একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান θ
এখানে, দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ : 30° = 5:2
বা, θ = 30° × ⁵/₂
বা, θ = 75°
বা, θ = 75 × ^π/₁₈₀
বা, θ = 5π^c/₁₂
Ans: প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান = 75°
ও বৃত্তীয় মান = 5π^c/12

10.একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি –5¹/₁₂ π কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
কোনটি ঋণাত্মক
∴ রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে আবর্তন করেছে।
5¹/₁₂ π
= 5π + ^π/₁₂
= 4π + π + ^π/₁₂
= 2×2π + 180° + ^180°/₁₂
= 2×2π + 180° + 15°
= 2×2π + 195°
ঘূর্ণায়মান রশ্মি একবার পূর্ণ আবর্তনে 2π কোণ উৎপন্ন করে।
Ans: রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে।
তারপরে আরও 195° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে।

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভূত কোণ ∠ABC = 45°; ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ABD, ∠BAD, ∠CBD এবং ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক BD
∴ ∠ABD = ∠CBD
এখানে, ∠ABC = 45°
∴ ∠ABD = ∠CBD
= 45°/2
= 45/2×π^c/180
= π^c/8
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180° – ∠ABC
= 180° – 45°
= 135°
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC;
∴ ∠BAD = ∠BCD
= 135°/2
= 135/2×π^c/180
= 3π^c/8
Ans:
∠ABD-এর বৃত্তীয় মান = π^c/8
∠BAD-এর বৃত্তীয় মান = 3π^c/8
∠CBD-এর বৃত্তীয় মান = π^c/8
∠BCD-এর বৃত্তীয় মান = 3π^c/8

12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

∴∠ACE = 180° – ∠ACB
= 180° – 60°
= 120°
= (120/180)π
= ⅔π
∵ AC = CE
∴ ∠CAE = ∠ CEA
= (180° – 120°)/2
= 60°/2
= 30°
= π/6
Ans: ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান হল-
∠ACE-এর বৃত্তীয় মান ⅔π
∠CAE-এর বৃত্তীয় মান π/6
∠AEC-এর বৃত্তীয় মান π/6

13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3, 5π/6 ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
π/3 = 180°/3
= 60°;
5π/6 = 5×180°/6
= 150°
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
= 360° – (60° + 150° + 90°)
= 360° – 300°
= 60°
= 60°×3/3
= 180°/3
= π/3
Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
বৃত্তীয় মান = π/3

14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে (a) π/4 রেডিয়ান (b) π/2 রেডিয়ান (c) π রেডিয়ান (d) 2π রেডিয়ান
Ans: 2π রেডিয়ান

(ii) π/6 রেডিয়ান সমান (a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
Ans: (d) 30°
[π/6 = 180°/6 = 30°]

(iii)একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান (a) π/3 (b) 2π/3 (c) π/6 (d) π/4
Ans: (b) 2π/3

[একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান $$\Large{\frac{(2n-4)×π}{2n}\\=\frac{(2×6-4)×π}{2×6}\\=\frac{8×π}{2×6}\\=\frac{2π}{3}}]$$

(iv) s =rθ সম্পর্কে θ-এর পরিমাপ করা হয় (a) যষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতেই নয়। Ans. (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

(v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের ∠A = 120° হলে, ∠C-এর বৃত্তীয় মান
(a) π/3 (b) π/6 (c) π/2 (d) 2π/3
Ans. (a) π/3
[বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়।
∴ ∠A + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° – ∠A
বা, ∠C = 180° – 120°
= 60° = π/3]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।
Ans. বিবৃতিটি সত্য।

(ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দু-বার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
Ans. বিবৃতিটি সত্য।

(C) শূন্যস্থান পুরণ করি :
(i) π রেডিয়ান একটি _____________ কোণ।
Ans. ধ্রুবক

(ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _____________ (প্রায়)।
Ans. 57°16’22”

(iii) 3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান _____________ ।
Ans. 5π/8

[3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান $$=π-\frac{3π}{8}\\=\frac{8π-3π}{8}\\=\frac{5π}{8}\\Ans. \quad \frac{5π}{8}$$]

দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 এখানে CLICK করো।

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, R/D-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
π রেডিয়ান = 180°
∴ 1 রেডিয়ান = 180/π
বা, R রেডিয়ান = 180R/π
প্রশ্নানুসারে,
D = 180R/π
∴ R/D = π/180
Ans: R/D-এর মান π/180

(ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান লিখি।
সমাধান:
63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণ
= 90° – 63°35’15”
= 89°59’60” – 63°35’15”
= 26°24’45”
Ans: 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান 26°24’45”

(ii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″ হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″
কোণদুটির সমষ্টি
= 65°56’55” + 64°3’5″
= 129°59’60”
=129°59′ – – – [∵ 60″ = 1′]
=130° – – – – – [∵ 60′ = 1°]
∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্ঠিক মান
= 180° – 130°
= 50°
Ans: তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 50 ×π/180 = 5π^c/18

(iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:

এখানে, s = 220 সেমি; θ = 63° $$s = 22 cm;\\ θ = 63°\\=63×\frac{π^c}{180}\\=63×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{63×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{11}{10}\right)^c$$আমরা জানি s= rθ$$\therefore 220=r×\frac{11}{10}\\⇒r=\frac{220×10}{11}=200$$Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।

(v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে 360°/12 = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
180° = π^c
∴ 1° = π^c/180
বা, 30° = π^c× 30/180
= π^c/6
Ans: কোণটির বৃত্তীয় মান π^c/6