PROSTUTI

Tag: গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি

  • বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    ▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ছিন্ন করে।
    ▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।
    🔅 কোনো বৃত্তের যে সকল জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
    ▶️ তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্তই আকাঁ সম্ভব।
    ▶️ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে বিন্দু তিনটি দিয়ে কোনো বৃত্তই আকাঁ সম্ভব নয়।

    ✴️ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ: কোনো চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে।
    ▶️ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ হয়।
    ▶️ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ✴️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী প্রতিটি জ্যায়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
    ▶️ ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
    ▶️ পরিধি বৃত্তের বৃহত্তম চাপ।

    1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

    A B C O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    OB = 5 সেমি
    AB = 8 সেমি
    ∴ BC = ½ × AB
    = ½ × 8 সেমি
    = 4 সেমি
    OCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OC2 + BC2 = OB2
    OC2 = OB2 – BC2
    = 52 – 42
    ⇒ 25 – 16
    ⇒ 9
    ∴ OC = √9
    = 3
    Ans: O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি

    2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি । PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    A B P Q S O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    AB = 26 সেমি
    ∴ OQ = ½ × AB
    = 26/2 সেমি
    = 13 সেমি
    OS = 5 সেমি
    OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OS2 + SQ2 = OQ2
    SQ2 = OQ2 – OS2
    ⇒ (13)2 – 52
    = 169 – 25
    = 144
    ∴ SQ = √144
    = 12
    ∴ PQ = 2 × SQ
    = 2 × 12
    = 24 সেমি
    Ans: PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    P Q S O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    PQ = 4 সেমি
    OS = 2.1 সেমি
    ∴ SQ = ½ × PQ
    = ½ × 4 = 2 সেমি।
    OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OQ2 = OS2 + SQ2
    ⇒ (2.1)2 + 22
    = 4.41 + 4
    = 8.41
    ∴ OQ = √8.41
    =2.9
    ∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × OQ
    = 2 × 2.9
    = 5.8 সেমি
    Ans: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি

    Country, Capital and Currency of South America CLICK HERE

    4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও ৪ সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।

    P Q C D A B O

    সমাধানঃ
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    CD = 6 সেমি
    AB = 8 সেমি এবং
    OQ = 4 সেমি
    ∴ QD = ½ × CD
    = ½ × 6 = 3 সেমি।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 8 = 4 সেমি।
    OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OD2 = OQ2 + QD2
    = 42 + 32
    ⇒ 16 + 9
    = 25
    ∴ OD = 5
    OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OP2 + PB2 = OB2
    বা, OP2 + 42 = 252 – – – [∵ OB=OD]
    ⇒ OP2 = 25 – 16
    বা, OP2 = 9 =(3)2
    ∴ OP = 3
    Ans: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

    5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি, হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

    P Q C D A B O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    AB = 48 সেমি
    OP ⟂ AB অঙ্কন করা হল।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 48 = 24 সেমি।
    প্রশ্নানুসারে, OP = 7 সেমি
    OAP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OB2 = PB2 + OP2
    = 242 + 72
    ⇒ 576 + 49
    = 625 = (25)2
    ∴ OB = 25 
    ∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 25 সেমি।
    আবার, O কেন্দ্র থেকে CD জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি।
    ∴ OQ = 20 সেমি।
    OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OQ2 + QD2 = OD2
    বা, 202 + QD2 = 252 – – – [∵ OB=OD]
    বা, 400 + QD2 = 625
    ⇒ QD2 = 625 – 400
    বা, QD2 = 225 =(15)2
    ∴ OD = 15
    ∴ CD = 2 × 15 সেমি
    = 30 সেমি
    Ans: নির্নেয় জ্যা –এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি।

    6.পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP ⊥ AB, AB = 6 সেমি. এবং PC = 2 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    P C A B O

    চিত্রে AB = 6 সেমি
    OP⟂AB
    ∴ P, AB –এর মধ্যবিন্দু।
    BP = ½ × AB
    =½ × 6 = 3 সেমি
    প্রশ্নানুসারে, PC = 2 সেমি
    ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
    OB = OC = r – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ OP = OC – PC
    = (r – 2 ) সেমি
    OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    PB2 + OP2 = OB2
    ∴ 32 + (r – 2)2 = r2
    বা, 9 + r2 – 4r + 4 = r2
    বা, – 4r = – 13
    ⇒ 4r = 13
    বা, r = 13/4
    বা, r = 3.75
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.75 সেমি

    7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC = DB

    P C D A B O

    স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
    অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
    এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
    ∴ AP = BP এবং CP = DP
    ∴ AC = AP – CP
    = BP – DP
    = DB
    ∴ AC = DB (প্রমাণিত)

    Complete Solution of MP-2023 P.Sc CLICK HERE

    8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

    P C D A B O

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু P এবং P বিন্দুগামী অপর একটি জ্যা CD যা বৃত্তের ব্যাস নয়।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ প্রমাণ করতে হবে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। অর্থাৎ P, CD –এর মধ্যবিন্দু নয় প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণ হবে।
    অঙ্কনঃ O, P যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ P, AB এর মধ্যবিন্দু।
    ∴ OP⟂ AB
    যেহেতু, AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী
    ∴ AB ও CD উভয়েই OP এর উপর P বিন্দুতে লম্ব হতে পারে না।
    ∴ CD, OP –এর উপর লম্ব নয়।
    আবার, যেহেতু কোনো জ্যা –এর মধ্যবিন্দু ও বৃত্তের কেন্দ্র সংযোজক রেখাংশ জ্যা এর উপর লম্ব।
    ∴ P, CD এর মধ্যবিন্দু নয়। 
    কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। [ প্রমাণিত]

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ.

    G S B A P M N QX Y

    স্বীকারঃ X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে SA –এর উপর লম্ব PAQ অঙ্কন করা হল। PAQ বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PA = AQ
    অঙ্কনঃ XM ⟂ PA এবং YN ⟂ AQ অঙ্কন করা হল।
    XN যুক্ত করা হল যা AS কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রমাণঃ XM, SA এবং YN প্রত্যেকেই PQ –এর উপর লম্ব।
    ∴ XM || SA || YN
    △XYN –এর XY –এর মধ্যবিন্দু S এবং SG || YN
    ∴ G, XN –এর মধ্যবিন্দু
    আবার, △NMX –এর G, XN –এর মধ্যবিন্দু।
    ∴ A বিন্দু MN এর মধ্যবিন্দু
    ∴ MA = NA
    আবার,
    M, AP –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ XM ⟂ AP]
    ∴ MA = ½ PA
    অনুরূপে, NA = ½ AQ
    ∵ MA = NA – – – [পূর্বে প্রমাণিত]
    ∴ ½ PA = ½ AQ
    ∴ PA = AQ [ প্রমাণিত]

    10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমাস্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।

    C D O E F B A

    চিত্রে, AB =10 সেমি.; CD = 24 সেমি.; EF = 17 সেমি.
    ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব x সেমি.।
    ∴ OE = x সেমি.
    OF = (17 – x) সেমি. বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর লম্ব যথাক্রমে OE ও OF;
    ∵ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ AE = ½ × AB
    = ½ × 10 = 5
    এবং CF = ½ × CD
    = ½ × 24 = 12
    ΔOEA এর ক্ষেত্রে,
    OA2 = AE2 + OE2
    = 52 + x2 – – – (i)
    ΔOFC এর ক্ষেত্রে,
    OC2 = CF2 + OF2
    = 122 + (17-x)2
    OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    OA2 = OC2
    ∴ 52 + x2 = 122 + (17-x)2
    বা, 25 + x2 = 144 + 289 – 34x + x2
    বা, 34x = 433 – 25
    ⇒ 34x = 408
    বা, x = 12
    (i) নং থেকে পাই,
    OA2 = AE2 + OE2
    বা, OA2 = 52 + 122
    ⇒ OA2 = 25 + 144
    বা, OA2 = 169
    ∴ OA = 13
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।

    11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q: বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD =2PQ

    B A C X Y D P Q

    স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ CD = 2PQ
    অঙ্কনঃ P ও Q বিন্দু থেকে যথাক্রমে CD এর উপর যথাক্রমে PX ও QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ PQ ∥ CD
    ∴ PQ ∥ XY
    আবার, PX ⊥ CD এবং QY ⊥ CD
    PX || QY
    PQYX চতুর্ভুজের,
    PQ Il XY, PX Il QY
    ∴ PQYX চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
    XY = PQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    ∴ AX = ½ × AC
    বা, AC = 2AX
    AY = ½ × AD
    বা, AD = 2AY
    ∴ CD = AC + AD
    = 2AX + 2AY
    ⇒ 2(AX + AY)
    = 2XY
    = 2PQ
    CD=2PQ [প্রমাণিত]

    MY OWN TRUE FAMILY Important Questions and Answer CLICK HERE

    12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

    A B C O P

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী।
    অঙ্কনঃ B ও C যুক্ত করা হল। ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রমাণঃ ΔABP এবং ΔACP এর মধ্যে
    AB = AC – – – [প্রদত্ত]
    ∠BAP = ∠CAP – – – [∵ AP, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক]
    AP সাধারণ বাহু
    S-A-S সর্বসমতানুসারে
    ΔABP = ΔACP
    ∠BPA = ∠CPA – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
    BP= CP – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
    ∠BPA +∠CPA = 180°
    ∴ ∠BPA = ∠CPA = 90°
    P, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AP ⊥ BC
    আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা এবং P, BC এর মধ্যবিন্দুএবং AP ⊥ BC
    ∴ AP, O বিন্দুর উপর দিয়ে অবস্থিত।
    ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]

    13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।

    P Q D C O R B A

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB=CD
    অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব অঙ্কন করলাম। O,A এবং O,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ΔOPR এবং ΔOQR এর মধ্যে
    ∠ORP = ∠ORQ – – – [OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∠OPR = ∠OQR – – – [উভয়েই সমকোণ]
    OR সাধারণ বাহু
    ∴ ΔOPM = ΔOQM – – – [A-A-S সর্বসমতানুসারে]
    ∴ OP = OQ – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
    ΔOPA এবং ΔOQC এর মধ্যে
    OP = OQ
    ∠OPA = ∠OQC – – – [উভয়েই সমকোণ]
    OC = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য]
    ∴ ΔOPA = ΔOQC – – – [S-A-S সর্বসমতানুসারে]
    ∴ AP = CQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    AP = ½ × AB এবং CQ = ½ × CD
    ∵ AP = CQ
    ½ × AB = ½ × CD
    AB = CD [প্রমাণিত]

    14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

    Q D C O P B A

    স্বীকারঃ  O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-এর মধ্যে AB জ্যা কেন্দ্রের নিকটবর্তী।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ  AB জ্যা -এর দৈর্ঘ্য, CD জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর
    অর্থাৎ, AB > CD
    অঙ্কনঃ O, A এবং O, C বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল। O থেকে AB ও CD দুটি জ্যা-এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ OP ⟂ AB
    ∴ AP = ½ × AB
    আবার, OQ ⟂ CD
    ∴ CQ = ½ CD এবং
    APO সমকোণী ত্রিভুজে,
    AP2 + OP2 = OA2
    CQO সমকোণী ত্রিভুজে,
    CQ2 + OQ2 = OC2
    আবার, OA = OC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ AP2 + OP2 = CQ2 + OQ2
    বা, AP2 – CQ2 = OQ2 – OP2 – – – (i)
    OP < OQ – – – [ প্রশ্নানুসারে ]
    ∴ OQ > OP
    ∴ OQ2 > OP2
    বা, OQ2 – OP2 > 0
    (i) নং থেকে পাই,
    AP2 – CQ2 > 0
    বা, AP2 > CQ2
    বা, AP > CQ
    বা, ½ × AB > ½ × CD
    ∴ AB >  CD [ প্রমাণিত ]
    একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর। (Proved)

    জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship Details

    15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।

    Q D C O P B A

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যস্থ P যেকোনো একটি বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি জ্যা AB ও CD এবং P, AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ।
    অঙ্কনঃ CD এর ওপর OQ লম্ব অঙ্কন করা হলো ।
    প্রমানঃ সমকোণী ত্রিভুজ ΔOPQ এর OP অতিভুজ।
    OP > OQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরবর্তী জ্যা ক্ষুদ্রতম হয়।
    ∴ AB < CD
    কোনও বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত জ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, যখন ঐ বিন্দু জ্যাটির মধ্যবিন্দু হবে (প্রমাণিত )

    16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) (M.CQ.) :

    (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB= 60° হলে, ∠COD-এর মান
    (a) 40° (b) 30° (c) 60° (d) 90°

    Ans: (c) 60°
    [∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    (ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
    (a) 12.5 সেমি. (b) 12 সেমি. (c) 69 সেমি. (d) 24 সেমি.

    O P B A

    Ans: (b) 12 সেমি.
    [[প্রদত্ত
    OB = 13 সেমি.
    AB =10 সেমি.
    OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 10 = 5
    BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    OP2 + PB2 = OB2
    ⇒ OP2 = OB2 – PB2
    ⇒ OP2 = 132 – 52
    বা, OP2 = 169 – 25 = 144
    ∴ OP = 6]

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব
    (a) 2 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 8 সেমি.

    Ans: (b) 4 সেমি.
    [বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।]

    (iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
    (a) 12 সেমি. (b) 16 সেমি. (c) 20 সেমি. (d) 5. সেমি.

    Q P O D C B A

    Ans: (a) 12 সেমি.
    [প্রদত্ত
    AB = CD =16 সেমি.
    OB = 10 সেমি.
    OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 12 = 6
    BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    OP2 + PB2 = OB2
    বা, OP2 = OB2 – PB2
    ⇒ OP2 = 102 – 82
    বা, OP2 = 100 – 64 = 36
    ∴ OP = 6
    আবার, বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
    ∴ OP = OQ = 6
    PQ = OP + OQ
    = 6 + 6 = 12]

    (v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O: একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি হলে BD-এর দৈর্ঘ্য
    (a) 2.5 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 10 সেমি. (d) কোনটিই নয়।

    P O D C B A

    Ans: (b) 5 সেমি.
    [∵ OP ⊥ AB
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PC = PD এবং PA = PB
    এখানে, AC = 5 সেমি
    ∴ BD = PB – PD
    = PA – PC
    = AC = 5
    BD-এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি]

    (B) সত্য / মিথ্যা লিখি :

    (i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

    Ans: মিথ্যা

    (ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

    Ans: সত্য
    [বৃত্ত দুটির তিনটি বিন্দু (A, B, C) একই , তাই বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

    (ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটি OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠OAB = ∠OAC

    Ans: মিথ্যা
    [সমান সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে]

    (C) শূন্যস্থান পুরণ করি :

    (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠POQ : ∠ROS = _______________ ।

    Ans: 1 :1
    [বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    (i) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের _______________ ।

    Ans: কেন্দ্রগামী
    [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]

    17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

    B C D A O

    সমাধানঃ
    A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    এখানে CD = 12 সেমি.
    AC = BC = 10 সেমি.
    AB ⊥ CD এবং
    OC = ½ × CD
    =½ ×12 = 6
    AOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    AO2 + OC2 = AC2
    বা, AO2 = AC2 – OC2
    ⇒ AO2 = 102 – 62
    বা, AO2 = 100 – 36 = 64
    ∴ AO = 8
    ∵ বৃত্তদুটির ব্যসার্ধ সমান
    ∴ AP = PB
    ∴ AB= 2 × ৪ সেমি. = 16 সেমি.
    Ans: বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি

    (ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB = AC = 6 সেমি. হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    B C P A O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত AB = AC = 6সেমি.
    ∵ AB = AC
    OA, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক
    এখানে OA = 5 সেমি.
    ধরি, OP = xসেমি.
    ∴ AP = OA-OP
    =(5-x)সেমি.
    ΔABP থেকে পাই,
    BP2 + AP2= AB2
    বা, BP2 = AB2 – AP2
    বা, BP2 = 62 – (5-x)2 – – – (i)
    আবার,  ΔBPO থেকে পাই,
    BP2 + OP2 = OB2
    বা, BP2 = OB2 – OP2
    বা, BP2 = 52 – x2 – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    62 – (5-x)2 = 52 – x2
    বা, 36 – (25-10x + x2 ) = 25 – x2
    ⇒ 36-25+10x – x2 = 25 – x2
    বা, 11+10x = 25
    বা, 10x = 25-11
    ∴ x = 1.4
    (i) নং সমীকরণে x = 1.4 বসিয়ে পাই,
    BP2 = 52 – (1.4)2
    বা, BP2 = 25 – 1.96
    বা, BP2 = 23.04
    ∴ BP = 4.8
    ∴ BC = 2 x BP
    = 2 x 4.8 = 9.6
    Ans: BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি.

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB  = 60° এবং CD = 6. সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

    C D O A B

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত CD=6সেমি.
    ∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
    ΔAOB এর
    AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB=∠OBA
    ΔAOB থেকে পাই,
    ∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
    বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
    ⇒ 2∠OAB = 120°
    বা, ∠OAB = 60°
    ∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
    ∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

    (iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং OP = 3 সেমি. হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।

    O P A B

    সমাধানঃধরি,
    P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য নূন্যতম তা হলো AB
    P, AB এর মধ্যবিন্দু এবং OP ⊥ AB
    এখানে  OA=5সেমি.
    APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OP2 AP2 = OA2
    বা, AP2 = OA2-OP2
    ⇒ AP2 = 52– 32
    বা, AP2 =25- 9=16
    ∴ AP = 4
    .∵ P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু
    ∴ AB = 2 x AP
    =2 x 4 সেমি. = 8 সেমি.
    Ans: নির্ণেয় জ্যাটির দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.

    (v) P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। PQ =5 সেমি. হলে, CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

    B A C X Y D P Q

    সমাধানঃ
    P ও Q বিন্দু থেকে CD এর উপর যথাক্রমে PX এবং QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
    ∴ AX= ½AC এবং AY=½AD
    PQYX চতুর্ভুজের PQIIXY এবং PX||QY – – – [ ∵ উভয়েই CD এর উপর লম্ব]
    PQYX একটি সামান্তরিক
    ∴ PQ =XY= 5 সেমি
    ∴ CD=AC+AD
    ⇒ CD= 2AX+ 2AY
    ⇒ CD= 2(AX+ AY)
    বা, CD= 2(5+ 5)
    ∴ CD= 10
    Ans: CD -এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

    MP-2024

    ▶️ কোনো বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা অবশ্যই সমান্তরাল হবে। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans:     মিথ্যা

    MP-2022

    ▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

    VIEW ANSER

    ▶️ প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, ∠AOB = 60o হলে, ∠COD-এর মান হবে –
    (a) 30o (b) 60o (c) 120o (d) 180
    Ans: (b) 60o
    [∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    MP-2018

    ▶️ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60o এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AC = BD.

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
  • ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০ Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০ Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০
    Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    TRIGONOMETRY: CONCEPT OF MEASUREMENT OF ANGLE
    কষে দেখি 20

    জ্যামিতিক কোণঃ দুটি রেখাংশ একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ওই বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয় । OA ও OB দুটি রেখাংশ O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, তার ফলে O বিন্দুতে ∠AOB কোণ উৎপন্ন হয়েছে । এই  ∠AOB কে আমরা জ্যামিতিক কোণ বলি ।

    O A B > >
    অধ্যায়বিষয়কষে দেখি
    1একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
    (Quadratic Equations
    with one variable)
    		কষে দেখি – 1.1
    কষে দেখি – 1.2
    কষে দেখি – 1.3
    কষে দেখি – 1.4
    কষে দেখি – 1.5
    2সরল সুদকষা (Simple Interest)কষে দেখি – 2
    3বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to circle)    		কষে দেখি – 3.1
    কষে দেখি – 3.2
    4আয়তঘন
    (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)    		কষে দেখি – 4
    5অনুপাত ও সমানুপাত
    (Ratio and Proportion)    		কষে দেখি – 5.1
    কষে দেখি – 5.2
    কষে দেখি – 5.3
    6চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস
    (Compound Interest and
    Uniform Rate of Increase or Decrease)    		কষে দেখি – 6.1
    কষে দেখি – 5.2
    7বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to
    Angles in a Circle)    		কষে দেখি – 7.1
    কষে দেখি – 7.2
    কষে দেখি – 7.3
    8লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)কষে দেখি – 8
    9দ্বিঘাত করণী
    (Quadratic Surd)    		কষে দেখি – 9.1
    কষে দেখি – 9.2
    কষে দেখি – 9.3
    10বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)    		কষে দেখি – 10
    11সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন
    (Construction : Construction of circumcircle
    and incircle of a triangle)    		কষে দেখি – 11.1
    12গোলক (Sphere)কষে দেখি – 12
    13ভেদ (Variation)কষে দেখি – 13
    14অংশীদারি কারবার (Partnership Business)কষে দেখি – 14
    15বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Tangent to a Circle)    		কষে দেখি – 15.1
    কষে দেখি – 15.2
    16লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)কষে দেখি – 16
    17সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
    (Construction: Construction of Tangent to a circle)    		কষে দেখি – 17
    18সদৃশতা (Similarity)কষে দেখি – 18.1
    কষে দেখি – 18.2
    কষে দেখি – 18.3
    কষে দেখি – 18.4
    19বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
    (Real life Problems related to different Solid Objects)    		কষে দেখি – 19
    20ত্রিকোণমিতি:
    কোণ পরিমাপের ধারণা    		কষে দেখি – 20
    21সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
    (Construction : Determination of Mean Proportional )    		কষে দেখি – 21
    22পিথাগোরাসের উপপাদ্য
    (Pythagoras Theorem)    		কষে দেখি – 22
    23ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
    (Trigonometric Ratios and
    Trigonometric Identities)    		কষে দেখি – 23.1
    কষে দেখি – 23.2
    কষে দেখি – 23.3
    24পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
    (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )    		কষে দেখি – 24
    25ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব
    (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)    		কষে দেখি – 25
    26রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা,
    ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান
    (Statistics : Mean, Median,
    Ogive, Mode)    		কষে দেখি – 26.1
    কষে দেখি – 26.2
    কষে দেখি – 26.3
    কষে দেখি – 26.4

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    ত্রিকোণমিতিক কোণঃ একটি রেখাংশকে তার প্রান্ত বিন্দুতে স্থির রেখে
    যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘোরানো হয় , তবে সেই রেখার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে তার পরবর্তী অবস্থান সেই প্রান্তবিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন করে। 

    ↻ ↻O > A > B C >

    OA রেখাকে তার প্রান্তীয় বিন্দু O তে স্থির রেখে ঘড়ির কাঁটার দিকে  বা বিপরীতদিকে ঘুরিয়ে যথাক্রমে OC ও OB  অবস্থানে নিয়ে গেলে, প্রথম অবস্থানের সঙ্গে এই অবস্থানগুলি যথাক্রমে ∠COA এবং ∠BOA কোণ উৎপন্ন করে । এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলে ।

    সুতরাং জ্যামিতিক কোণের পরিমাপই হল মূল বিচার্য বিষয় । জ্যামিতিক কোণের পরিমাপ 0° থেকে 360° পর্যন্ত যেকোনো মানের হতে পারে, কিন্তু তার চেয়ে বড়ো হতে পারেনা ।
    কিন্তু ত্রিকোণমিতির কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণিয়মান রেখার দিক ও তার ফলে সৃষ্ট কোণের পরিমান উভয়ই বিচার করা হয় ।

    ⛔ ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ধনাত্মক কোণ  বলে । 
    বিপরীতক্রমে ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঋণাত্মক কোণ  বলে । 
    জ্যামিতিক কোণের  ক্ষেত্রে রেখাটি একপাক সম্পূর্ণ ঘোরার পর আবার ঘুরতে শুরু করলে কোণের মান নতুন করে 0° থেকে বাড়তে শুরু করবে । তারপর একপাক সম্পূর্ণ করলে আবার 360° হবে। কিন্তু কোণের মান কখনই 360° এর বেশি হবেনা ।
    ত্রিকোণমিতিক কোণ যে কোনো পরিমাপের হতে পারে, এমনকি ঋণাত্মকও ।
    ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (1×360+30)° = 390° ;

    আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (2×360+30)° = (720+30)°=750°
    আবার ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার  দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(1×360+30)° = -390°
    আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(2×360+30)° = -(720+30)°= -750°

    ⛔ কোণ পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতিঃ
    ত্রিকোণমিতিক কোন পরিমাপ সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে করা হয়।
    👉         (ক) ষষ্টিক পদ্ধতি ও 
    👉         (খ) বৃত্তীয় পদ্ধতি 
             
    👉 1. ষষ্ঠিক পদ্ধতিঃ   এই পদ্ধতিতে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি পুরো একপাক ঘুরে এলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে 360° ধরে তার চার ভাগের একভাগকে 90° বা এক সমকোণ ধরা হয় । এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে 90 টি সমান ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) বলে।
    এই পদ্ধতিতে অন্যান্য নিম্ন এককগুলি হল মিনিট ও সেকেন্ড।
    এদের মধ্যে সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলঃ
     ✴️ এক সমকোণ = 90° ( ডিগ্রি ) 
    ✴️ 1° ( ডিগ্রি ) = 60′ ( মিনিট )
    ✴️ 1′ ( মিনিট ) = 60” ( সেকেন্ড )

    👉 2. বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ  যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে যে ধ্রূবক সম্পর্কটি রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে।  যে কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চাপ সবসময় কেন্দ্রে একটি নিদিষ্ট পরিমান কোণ ধারণ করে। এই কোণের পরিমানকেই বৃত্তীয় পদ্ধতিতে একক ধরা হয় এবং তাকে এক রেডিয়ান বলা হয়।
    ✴️  রেডিয়ান ঃ কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ওর কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান বলে।

    👉 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোন।  একে 1c (এক রেডিয়ান

    ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    $$\Large{\pi ^{c}=180^\circ\\\therefore1^{c}=\frac{180^\circ}{\pi}\\=\frac{180^\circ}{\frac{22}{7}}\\=\frac{180^\circ\times 7}{22}\\=\frac{90^\circ\times 7}{11}\\=\frac{630^\circ}{11}\\=57^\circ 16^{l}22^{ll}}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    👉 ষষ্টিক পদ্ধতি ও বৃত্তীয় পদ্ধতির সম্পর্কঃ
    1c = 57°16’22”

    ⛔ r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের s দৈর্ঘ্যের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় পরিমাপ θ হলে s = rθ হয়।

    পদ্ধতি দুটির এককগুলির মধ্যে সম্পর্কঃ 
    ষষ্ঠিক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি 
    360° = 2πc ;
    180° = πc ;
    90° = πc/2

    1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি :
    (i) 832′ (ii) 6312″
    (iii) 375″ (iv) 27 1/12°
    (v) 72.04″

    $$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 832’\\Ans:}\\832’\\=\frac{832′}{60}\\=13^o +52’\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 6312”\\Ans:}\\6312”\\=\frac{6312}{60}’\\=105\frac{12}{60}’\\=105’+\frac{1}{5}’\\=60’+45’+\frac{1}{5}×60”\\=1^o+45’+12”\\=1^o45’12”\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad 375”\\Ans:}\\375”\\=\frac{375}{60}’\\=\frac{25}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}×60”\\=6’+15”\\=6’15”\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 27\frac{1}{12}^o\\Ans:}\\27\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}×60’\\=27^o+5’\\=27^o5’\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 72.04^o\\Ans:}\\72.04^o\\=72^o+.04^o\\=72^o+.04×60’\\=72^o+2.4’\\=72^o+2’+.4’\\=72^o+2’+.4×60”\\=72^o+2’+24”\\=72^{o}2’24”\\-*-}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি :
    (i) 60° (ii) 135°
    (iii) -150° (iv) 72°
    (v) 22°30′ (vi) -62°30′
    (vii) 52°52’30” (viii) 40°16’24”

    $$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 60^o\\Ans:}\\60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\frac{π^c}{3}\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 135^o\\Ans:}\\135^o\\=135×\frac{π^c}{180}\\=3×\frac{π^c}{4}\\=\frac{3π^c}{4}\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad -150^o\\Ans:}\\-150^o\\=-150×\frac{π^c}{180}\\=-5×\frac{π^c}{6}\\=-\frac{5π^c}{6}\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 72^o\\Ans:}\\72^o\\=72×\frac{π^c}{180}\\=2×\frac{π^c}{5}\\=\frac{2π^c}{5}\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 22°30’\\Ans:}\\22°30’\\=22°+30’\\=22+\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=22°+\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(22+\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{44+1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{45}{2}\right)^o\\=\frac{45}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{1}{2}×\frac{π^c}{4}\\=-\frac{π^c}{8}\\-*-\\\mathbf{(vi)\quad\quad -62°30’\\Ans:}\\-62°30’\\=-62°-30’\\=-62-\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=-62°-\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(-62-\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-124-1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-125}{2}\right)^o\\=\frac{-125}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{-25}{2}×\frac{π^c}{36}\\=-\frac{25π^c}{72}\\-*-}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    $$\Large{\mathbf{(vii)\quad\quad 52°52’30”\\Ans:}\\52°52’30”\\=52°+52’+30”\\=52°+52’+\left(\frac{30}{60}\right)’\\=52°+52’+\left(\frac{1}{2}\right)’\\=52°+\left(52+\frac{1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{104+1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{105}{2}\right)’\\=52°+\left(\frac{105}{2×60}\right)^o \\=52°+\left(\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(52+\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{416+7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{423}{8}\right)^o\\=\frac{423}{8}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{47}{8}×\frac{π^c}{20}\\=\frac{47π^c}{160}\\-*-\\\mathbf{(viii)\quad\quad 40°16’24”\\Ans:}\\40°16’24”\\=40°+16’+24”\\=40°+16’+\left(\frac{24}{60}\right)’\\=40°+16’+\left(\frac{2}{5}\right)’\\=40°+\left(16+\frac{2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{80+2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{82}{5}\right)’\\=40°+\left(\frac{82}{5×60}\right)^o \\=40°+\left(\frac{41}{5×30}\right)^o\\=40°+\left(\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(40+\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6000+41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6041}{150}\right)^o\\=\frac{6041}{150}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{6041π^c}{27000}\\-*-}$$


    3. ΔABC-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি ∠ACD=144° হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    A B C D


    ΔABC-এর AC = BC
    ∴ ∠BAC = ∠ABC
    ∵ ∠ACD=144°
    ∴ ∠ACB = 180° – 144°
    = 36°
    = 36×π/180
    = πc/5
    ∴ ∠BAC + ∠ABC = πc – πc/5
    = 4πc/5
    ∴ ∠BAC = ∠ABC = ½×4πc/5
    = 2πc/5
    Ans: ΔABC-এর তিনটি কোণের মান ∠ABC = 2πc/5;
    ∠BCA = πc/5;
    ∠CAB = 2πc/5;

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 হলে, যষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি ।
    সমাধানঃ
    ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
    ∴ অপর কোণটি 90° – θ
    2π/5 = 2×180°/5 =72°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ – (90° – θ) = 72°
    বা, θ – 90° + θ = 72°
    বা, 2θ = 72° + 90°
    বা, 2θ = 162°
    বা, θ = 81°
    ∴ অপর কোণটি = 90° – 81° = 9°
    Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 81° ও 9°;

    5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ π/12; তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    একটি কোণের পরিমাপ = 65° এবং
    দ্বিতীয়টির পরিমাপ = π/12
    = 180°/12 = 15°
    ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
    ∴ তৃতীয় কোণটির মান
    = 180° – (65°+15°)
    = 180° – 80°
    = 100°
    = 100 × πc/180
    = 5πc/9
    Ans: তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে 100° ও 5πc/9

    6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি ।
    সমাধানঃ
    ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
    ∴ অপর কোণটি 135° – θ
    π/12 = 180°/12
    =15°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ – (135° – θ) = 15°
    বা, θ – 135° + θ = 15°
    বা, 2θ = 15° + 135°
    বা, 2θ = 150°
    বা, θ = 75°
    বা, θ = 75 × πc/180
    বা, θ = 5πc/12
    ∴ অপর কোণটি = 135° – 75°
    = 60°
    = 60°× πc/180
    = πc/3
    Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60° ও 75° এবং
    বৃত্তীয় মান যথাক্রমে πc/3 ও 5πc/12

    7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = πc
    ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত = 2:3:4;
    ∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান
    = πc × 4/9
    = 4πc/9
    Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4πc/9

    8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    এখানে, s = 5.5 সেমি
    r = 28 সেমি
    আমরা জানি, s = rθ

    $$ \Large{\therefore θ =\frac{s}{r}\\⇒θ =\frac{5.5}{28}\\⇒θ =\frac{55}{28×10}\\⇒θ =\frac{11}{28×2}\\⇒θ =\frac{11×2}{28×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7×4×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7}×\frac{1}{16}\\⇒θ =π^{c}×\frac{1}{16}\\⇒θ =\frac{π^{c}}{16}}$$

    Ans: কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = πc/16

    9.একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    ধরি, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান θ
    এখানে, দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ : 30° = 5:2
    বা, θ = 30° × 5/2
    বা, θ = 75°
    বা, θ = 75 × π/180
    বা, θ = 5πc/12
    Ans: প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান = 75°
    ও বৃত্তীয় মান = 5πc/12

    10.একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি –51/12 π কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    কোনটি ঋণাত্মক
    ∴ রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে আবর্তন করেছে।
    51/12 π
    = 5π + π/12
    = 4π + π + π/12
    = 2×2π + 180° + 180°/12
    = 2×2π + 180° + 15°
    = 2×2π + 195°
    ঘূর্ণায়মান রশ্মি একবার পূর্ণ আবর্তনে 2π কোণ উৎপন্ন করে।
    Ans: রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে।
    তারপরে আরও 195° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে।

    11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভূত কোণ ∠ABC = 45°; ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ABD, ∠BAD, ∠CBD এবং ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    B A C D

    ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক BD
    ∴ ∠ABD = ∠CBD
    এখানে, ∠ABC = 45°
    ∴ ∠ABD = ∠CBD
    = 45°/2
    = 45/2×πc/180
    = πc/8
    ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180° – ∠ABC
    = 180° – 45°
    = 135°
    ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC;
    ∴ ∠BAD = ∠BCD
    = 135°/2
    = 135/2×πc/180
    = 3πc/8
    Ans:
    ∠ABD-এর বৃত্তীয় মান = πc/8
    ∠BAD-এর বৃত্তীয় মান = 3πc/8
    ∠CBD-এর বৃত্তীয় মান = πc/8
    ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান = 3πc/8

    12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB = BC = CA আবার CE = BC ∴ CE = AC ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60° B E C A

     ∴∠ACE = 180° – ∠ACB
    = 180° – 60°
    = 120°
    = (120/180)π
    = ⅔π
    ∵ AC = CE
    ∴ ∠CAE = ∠ CEA
    = (180° – 120°)/2
    = 60°/2
    = 30°
    = π/6
    Ans: ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান হল-
    ∠ACE-এর বৃত্তীয় মান ⅔π
    ∠CAE-এর বৃত্তীয় মান π/6
    ∠AEC-এর বৃত্তীয় মান π/6

    13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3, 5π/6 ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    π/3 = 180°/3
    = 60°;
    5π/6 = 5×180°/6
    = 150°
    ∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
    = 360° – (60° + 150° + 90°)
    = 360° – 300°
    = 60°
    = 60°×3/3
    = 180°/3
    = π/3
    Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
    বৃত্তীয় মান = π/3

    14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

    (i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে (a) π/4 রেডিয়ান (b) π/2 রেডিয়ান (c) π রেডিয়ান (d) 2π রেডিয়ান
    Ans: 2π রেডিয়ান

    (ii) π/6 রেডিয়ান সমান (a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
    Ans: (d) 30°
    [π/6 = 180°/6 = 30°]

    (iii)একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান (a) π/3 (b) 2π/3 (c) π/6 (d) π/4
    Ans: (b) 2π/3

    [একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান $$\Large{\frac{(2n-4)×π}{2n}\\=\frac{(2×6-4)×π}{2×6}\\=\frac{8×π}{2×6}\\=\frac{2π}{3}}]$$


    (iv) s =rθ সম্পর্কে θ-এর পরিমাপ করা হয় (a) যষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতেই নয়। Ans. (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

    (v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের ∠A = 120° হলে, ∠C-এর বৃত্তীয় মান
    (a) π/3 (b) π/6 (c) π/2 (d) 2π/3
    Ans. (a) π/3
    [বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়।
    ∴ ∠A + ∠C = 180°
    বা, ∠C = 180° – ∠A
    বা, ∠C = 180° – 120°
    = 60° = π/3]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

    (i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।
    Ans. বিবৃতিটি সত্য।

    (ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দু-বার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
    Ans. বিবৃতিটি সত্য।

    (C) শূন্যস্থান পুরণ করি :
    (i) π রেডিয়ান একটি _____________ কোণ।
    Ans. ধ্রুবক

    (ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _____________ (প্রায়)।
    Ans. 57°16’22”

    (iii) 3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান _____________ ।
    Ans. 5π/8

    [3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান $$=π-\frac{3π}{8}\\=\frac{8π-3π}{8}\\=\frac{5π}{8}\\Ans. \quad \frac{5π}{8}$$]

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 এখানে CLICK করো।

    15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

    (i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, R/D-এর মান নির্ণয় করি।
    সমাধান:
    π রেডিয়ান = 180°
    ∴ 1 রেডিয়ান = 180/π
    বা, R রেডিয়ান = 180R/π
    প্রশ্নানুসারে,
    D = 180R/π
    ∴ R/D = π/180
    Ans: R/D-এর মান π/180

    (ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান লিখি।
    সমাধান:
    63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণ
    = 90° – 63°35’15”
    = 89°59’60” – 63°35’15”
    = 26°24’45”
    Ans: 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান 26°24’45”

    (ii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″ হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধান:
    দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″
    কোণদুটির সমষ্টি
    = 65°56’55” + 64°3’5″
    = 129°59’60”
    =129°59′ – – – [∵ 60″ = 1′]
    =130° – – – – – [∵ 60′ = 1°]
    ∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্ঠিক মান
    = 180° – 130°
    = 50°
    Ans: তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 50 ×π/180 = 5πc/18

    (iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
    সমাধান:

    এখানে, s = 220 সেমি; θ = 63° $$s = 22 cm;\\ θ = 63°\\=63×\frac{π^c}{180}\\=63×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{63×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{11}{10}\right)^c$$আমরা জানি s= rθ$$\therefore 220=r×\frac{11}{10}\\⇒r=\frac{220×10}{11}=200$$Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।


    (v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
    সমাধান:
    ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে 360°/12 = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
    180° = πc
    ∴ 1° = πc /180
    বা, 30° = πc × 30/180
    = πc/6 
    Ans: কোণটির বৃত্তীয় মান πc/6

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights