Tag: গণিত প্রকাশ

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
```
🔅🔅দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ ঃ-
      ax² + bx + c = 0   (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং  a ≠ 0)
```
✴️ শ্রীধর আচার্যের সূত্র ঃ
ax² + bx + c = 0 হলে
\(\Large{🔅\quad\quad x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}}\)
b² – 4ac কে নিরূপক বলে।
⛔(i) যদি b² – 4ac < 0 হয়, তবে বীজদ্বয় অবাস্তব বা কাল্পনিক এবং অসমান হবে।
⛔⛔(ii) যদি b² – 4ac = 0 হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং সমান হবে।
⛔⛔⛔(iii) যদি b² – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং অসমান হবে।
⛔⛔⛔⛔(iv) যদি b² – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, অমূলদ এবং অসমান হবে।
⭕ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে ঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + বীজদ্বয়ের গুনফল = 0
⇒ x² – (p + q)x + pq = 0
⭕ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে,
🔅বীজদ্বয়ের সমষ্টি\(\Large{\quad\quad p+ q =-\frac{b}{a}\\}\) 🔅বীজদ্বয়ের গুনফল\(\Large{\\\quad\quad pq =-\frac{c}{a}}\)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 1
1.নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) 2x² + 7x + 3 = 0
সমাধানঃ
2x² + 7x + 3 = 0
এখানে, a = 2; b = 7; c = 3;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² – 4.2.3
= 49 – 24 = 25 > 0
Ans: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
(ii) 3x² – 2√6x + 2 = 0
সমাধানঃ
3x² – 2√6x + 2 = 0
এখানে, a = 3; b = -2√6; c = 2;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-2√6)² + 4.3.2
= 24 – 24 = 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
(iii) 2x² -7x + 9 = 0
সমাধানঃ
2x² – 7x + 9 = 0
এখানে, a = 2; b = – 7; c = 9;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² + 4.2.9
= 49 – 72 = -23 <0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক
(iv) ²/₅ x² – ²/₃ x + 1 = 0
সমাধানঃ
²/₅x² – ²/₃ x + 1 = 0
এখানে, a = ²/₅ ; b = – ²/₃ ; c = 1;
প্রদত্ত সমীকরণটির নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= ( – ²/₃ )² – 4 .²/₅.1
= ⁴/₉ – ⁸/₅
⇒ ^20-72/₄₅
= – ⁵²/₄₅ < 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 2
2. k-এর কোন মান/ মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
(i) 49x² + kx + 1 = 0
সমাধানঃ
49x² + kx + 1 = 0
এখানে, a = 49 ; b = k ; c = 1;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac
⇒ (k)^² – 4.49.1 = 0
বা, k² = 196
বা, k = ±√196 = ±14
Ans: k = ±14
(ii) 3x² -5x + 2k = 0
সমাধানঃ
3x² – 5x + 2k = 0
এখানে, a = 3 ; b = – 5 ; c = 2 ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (-5)² – 4.3.2k = 0
বা‌, 25 – 24k = 0
বা – 24k = – 25
বা, k = ²⁵/₂₄
Ans: k-এর মান ²⁵/₂₄
(iii) 9x² -24x + k = 0
সমাধানঃ
9x² – 24x + k = 0
এখানে, a = -9 ; b = -24 ; c = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (- 24)^² – 4.9.k = 0
বা, 36k = 576
∴ k = 16
Ans: k-এর মান 16
(iv) 2x²+ 3x + k = 0
সমাধানঃ
2x² + 3x + k = 0
এখানে, a = 2 ; b = 3 ; c = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়। ∴
∴ b² – 4ac = 0
বা, (3)² – 4.2.k = 0
বা, 8k = 9
∴ k = ⁹/₈
Ans: k – এর মান ⁹/₈
(v) x² – 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0
সমাধানঃ
x²- 2(5+2k)x +3 (7+10k)=0
এখানে,
a = 1;
b = -2(5+2k);
c =3 (7+10k);
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {-2(5+2k)}² – 4.1.3(7+10k) = 0
বা, 4{(5+2k)² – 1.3(7+10k)} = 0
⇒ (5+2k)² – 3 (7+10k) = 0
বা, 25 + 20k + 4k² – 21 – 30k = 0
বা, 4k² – 10k + 4 = 0
⇒ 2(2k² – 5k + 2) = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0
বা, 2k(k-2) – 1(k-2)= 0
⇒ (k -2)(2k-1)=0
হয় (k -2) =0 নতুবা (2k-1)=0
বা, k = 2 বা, k = ½
Ans: k = 2 ও ½
(vi) (3k+1)x² + (2k+1)x + k = 0
সমাধানঃ
(3k+1)x² + 2(k+1)x + k = 0
এখানে,
a = (3k+1);
b = 2(k+1);
c = k;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরুপক : b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {2(k+1)}² – 4. (3k+1).k = 0
বা, 4{(k+1)² – (3k+1).k} = 0
বা, (k+1)² – (3k+1).k = 0
⇒ k²+ 2k + 1 – 3k² – k = 0
বা, -2k² + k + 1 = 0
বা, -(2k² -k – 1) = 0
⇒ 2k² – k – 1 = 0
বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0
বা, 2k(k -1 ) + 1(k – 1) = 0
⇒ (2k + 1)(k – 1) = 0
হয় (2k + 1)= 0 নতুবা (k – 1) = 0
বা, 2k = – 1 বা, k = 1
বা, k = – ¹/₂
Ans: k = 2 ও – ¹/₂
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
Q. NO. 3
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
(i) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
4, 2
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 4 ও 2 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (4 + 2) x + 4 . 2 = 0
বা, x²– 6 x + 8 = 0 (Ans.)
(ii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, -3
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও – 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-4 – 3) x + (-4 x- 3) = 0
বা, x²+ 7x + 12 = 0 (Ans.)
(iii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, 3
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-4 + 3) x + (-4 x 3) = 0
বা, x²+ x – 12 = 0 (Ans.)
(iv) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
5, -3
সমাধানঃ সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 5 ও – 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (5 – 3) x + (5 x- 3) = 0
বা, x²– 2x – 15 = 0 (Ans.)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 4 & 5
4. m এর মান কত হলে 4x² + 4(3m-1)x + m + 7 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?
সমাধানঃ
4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের
বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে
^{(m + 7)}/₄ = 1 হবে
বা, (m -+7) = 4 হবে।
বা, m = – 3
Ans: m-এর মান হবে -3
5. (b – c)x² + (c – a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b = a + c
সমাধানঃ
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের মান সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে। অর্থাৎ b² – 4ac = 0 হবে।
এখানে, a = (b – c);
b = (c – a);
c = (a – b)
∴ (c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
বা, c² – 2ac + a² – 4ab + 4ac + 4b² – 4bc = 0
বা, a² + 4b²+ c² – 4ab – 4bc + 2ac = 0
⇒ (a)² + (-2b)²+ (c)² + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0
বা, (a -2b + c)² = 0
বা, (a – 2b + c) = 0
⇒ a + c = 2b
∴ 2b = a + c (প্রমাণিত)
Q. NO. 6 & 7
6. (a² + b²)x²– 2(ac + bd)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ^a/_b = ^c/_d
সমাধানঃ
(a² + b²)x – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় সমান.
∴ সমীকরণের নিরূপক অর্থাৎ b²-4ac = 0
এখানে,
a = (a² + b²);
b = -2(ac + bd);
c = (c² + d²) ;
∴ {- 2(ac + bd)}² -4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা, 4(ac+bd)² – 4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা, 4{(ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²)} = 0
বা, (ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²) = 0
⇒ a²c² + 2abcd + b²d² – a²c² – a²d² – b²c² – b²d² = 0
বা, 2abcd – a²d² – b²c² = 0
বা, -(a²d² – 2abcd + b²c²) = 0
⇒ (ad – bc)² = 0
বা, ad – bc = 0
বা, ad = bc
∴ ^a/_b = ^c/_d (Proved)
7. প্রমাণ করি যে, 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয়।
সমাধানঃ
এখানে,
a = 2(a² + b²);
b = 2(a+b);
c = 1;
∴ 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0
সমীকরণের নিরূপক
= b² – 4ac
= {2(a + b)}² – 4.{2(a² + b²)}.1
= 4{(a + b)² – (2a² +2b²)}
= 4(a² + 2ab + b²– 2a² – 2b²)
⇒ 4(- a² + 2ab – b²)
= – 4(a² – 2ab + b²)
= – 4(a – b)²
∵ (a – b)² ≥ 0
∴ 4(a – b)² ≥ 4.0
∴ – 4(a – b)² ≤ 0
a ≠ b হলে,
– 4(a – b)² = 0 হয় অর্থাৎ নিরূপক শূন্য হয়।
নিরূপক শূন্য হলে বীজদ্বয়ের কোন বাস্তব বীজ থাকে না।
∴ a ≠ b হলে সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)
Q. NO. 8 & 9
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(i) α² + β² এর মান নির্ণয় করি।
(i) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α² + β²
= (α+β)² – 2.α.β
⇒ (- ²/₅)² – 2. (-³/₅)
= ⁴/₂₅ + ⁶/₅
= ^{(4 +30)}/₂₅
⇒ ³⁴/₂₅ (Ans)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(ii) α³ + β³ এর মান নির্ণয় করি।
(ii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α³ + β³
= (α+β)³ – 3.α.β (α+β)
⇒ (- ²/₅)³ – 3.(- ³/₅).(- ²/₅ )
= – ⁸/₁₂₅ – ¹⁸/₂₅
= ^{(- 8 – 90)}/₁₂₅
⇒ –⁹⁸/₁₂₅ (Ans)
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iii) ¹/_α + ¹/_β এর মান নির্ণয় করি।
(iii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
⇒ ¹/_α + ¹/_β
⇒ ^{(α +.β)}/_αβ
= ^– ^2/₅/_– _⅗
= ²/₃ (Ans)
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iv) ^α²/_β + ^β²/_α এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
\(\Large{=\frac{α^2}{β}+\frac{β^2}{α}\\=\frac{α^3+β^3}{αβ}\\=\frac{(α +β)^3-3α β(α +β)}{αβ}\\=\frac{\frac{-8}{125}-\frac{18}{25}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-8-90}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-98}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{-98\times 5}{-3\times 125}\\=\frac{98}{75}\quad Ans}\)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
9. ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac
সমাধানঃ
ধরি ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজ দুটি যথাক্রমে α ও 2α বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α + 2 α = – ^b/_a
বা, 3α = – ^b/_a
বা, α = – ^b/_3a
বীজদ্বয়ের গুণফল-
\(\Large{\quad α\times 2α. =\frac{c}{a}\\⇒2α^2=\frac{c}{a}\\⇒2\left(\frac{-b}{3a}\right)^2=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a}=c\\⇒2b^2=9ac\quad (Proved)}\)

পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি
Q. NO. 10 & 11
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক , সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধানঃ
x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = – p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় ¹/_α ও ¹/_β
নির্ণেয় সমীকরনের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ¹/_α + ¹/_β
= ^{(α +.β)}/_αβ
⇒ ^-p/₁
= -p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল
= ¹/_α . ¹/_β
= ¹/_αβ = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- p)x + 1 = 0
বা, x² + px + 1 = 0
11. x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β²
= (α +.β)² – 2α.β
⇒ (-1)² – 2.1
= 1- 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
= (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (-1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) x²– 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) – 2 (c) 6 (d) – 6
Ans: (c) 6
সমাধানঃ
α + β = –^b/_a
= – ^(-6)/₁ = 6
(ii) x² – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল – 2 হলে, k-এর মান
(a) – 2 (b) – 8 (c) 8 (d) 12
Ans: (c) 8
সমাধানঃ
x² – 3x + k = 10
বা, x² – 3x + k-10 = 0
∴ ^c/_a = k-10
প্রশ্নানুযায়ী
k-10 = – 2
বা, k= -2+10 = 8
(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² – 4ac হবে
(a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 (d) কোনােটিই নয়
Ans: (a) > 0
(iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) c = – ^b/_2a (b) c = ^b/_2a (c) c = – ^b²/_4a (d) c = ^b²/_4a
Ans: (d) c = ^b²/_4a
সমাধানঃ
বীজদ্বয় সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে অর্থাৎ
b² – 4ac = 0 হবে।
বা, – 4ac = – b²
⇒ 4ac = b²
বা, c = ^b²/_4a
(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজয় α এবং β হলে ¹/_α + ¹/_β এর মান
(a) – ³/₈ (b) ²/₃ (c) – 4 (d) 4
Ans: (c) 4
সমাধানঃ
α + β = – ^b/_a
= – ⁽⁸⁾/₃ = –⁸/₃ এবং
αβ = ^c/_a
= ²/₃
∴ ¹/_α + ¹/_β = ^{(β+ α)}/_αβ
= ^–⁸/₃/_²/₃
= -4
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
Ans: উক্তিটি মিথ্যা।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (-1)² – 4.1.1
⇒ 1 – 4
= -3 < 0
(ii) x² – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
Ans: উক্তিটি সত্য ।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (1)² – 4.1.2
⇒ 1 – 8
= -7 < 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i)7x² – 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ________
Ans: 2 : 3
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – ^(-12)/₇ = ¹²/₇
বীজদ্বয়ের গুণফল = ¹⁸/₇ ;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত
= ¹²/₇ : ¹⁸/₇
⇒ 12 : 18
= 2 : 3
(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = ________
Ans: a
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = 1
বা, c = a
(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে a + c = ________
Ans: 0
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = – 1
বা, c = -a
বা, a + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল 24
∴ দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ
x² – ( বীজদ্বয়ের সমষ্টি).x+ বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – 14x + 24 = 0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ x² – 14x + 24 = 0
(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
kx²+ 2x + 3k = 0 সমীকরণের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –²/_k এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = ^3k/_k = 3
∵ বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুনফল সমান।
∴ –²/_k = 3
বা, k = – ²/₃
Ans: k-এর মান – ²/₃
(iii) x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, ( α – β )এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β ;
α + β = -(-22) = 22 এবং
α.β = 105
∴ ( α – β )² = ( α + β )² – 4α β
বা, ( α – β )² = (22)² – 4 x 105
বা, ( α – β )²= 484 – 420 = 64
⇒ α – β = ±√64
বা, α – β = ±8
Ans: α – β = এর মান ± 8.
(iv) x² – x = k(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² – x = k(2x – 1)
বা, x² – x – 2kx + k = 0
বা, x² – (1 + 2k)x + k = 0
প্রশ্নানুযায়ী,
1 + 2k = 0
বা, 2k = -1
বা, k = – ¹/₂
Ans: k-এর মান – ¹/₂
(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² + bx + 12 = 0 এর একটি বীজ 2,
∴ (2)² + b.2 + 12 = 0
বা, 4 +2b +12 = 0
বা, 2b +16 = 0
⇒ 2b = -16
বা, b = -8
আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণেরও একটি বীজ 2
∴ (2)² + b.2 + q = 0
বা, 4 +2.(-8) +q = 0 . . . . . .[∵ b = -8]
বা, 4 – 16 +q = 0
⇒ – 12 +q = 0
বা, q = 12
Ans: q-এর মান 12
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α, β হলে ¹/_α + ¹/_β এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ যদি ax² + abcx + bc= 0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে-
(a) abc = 1 (b) b = ac (c) bc = 1 (d) a = bc
Ans: (d) a = bc
[ধরি, বীজদ্বয় α ও ¹/_α
∴ α × ¹/_α = ^bc/_a
বা, 1 = ^bc/_a
বা, a = bc]
MP-2022
▶️ 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?
VIEW ANSER
▶️ সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ 5x² – 2x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি α ও β হলে ¹/_α + ¹/_β-এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ ax² + 2bx + c = 0 (a≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, b² = ________ হবে
VIEW ANSER

▶️ x²– 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
(a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3

Ans: (c) 3
MP-2019
▶️ x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে সমীকরণটি লেখ।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)

Ans: সমান
PREVIOUS
NEXT
April 13, 2023
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
Complete Solution of Quadratic Equation
দশম শ্রেণির দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
1. (i) 4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – l)-এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রী ধর আচার্যের সুত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান:
4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1)
বা, 4x² + (2x)² – (1)² = 8x² – 4x
বা, 4x² + 4x² – 1 = ৪x² – 4x
⇒ ৪x² – ৪x² – 4x – 1 =0
বা, 4x – 1 = 0,
এটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
∴ এখানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করা যাবে না।
(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পরি বুঝে লিখি।
Ans: শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারি।
(iii) 5x² + 2y – 7 = 0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে \(\Large{k = \frac{k±12}{10}}\) পাওয়া গেলে kএর মান কী হবে?
সমাধানঃ
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
\(\Large{\quad x= \frac {-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-2 ± \sqrt{2^{2} – 4.5.(-7)}}{2.5} \\ ⇒x= \frac{-2 ± \sqrt{4 + 140}}{10} \\ ⇒x= \frac{-2 ± \sqrt{144} }{10} \\⇒x= \frac{-2 ± 12 }{10} }\)
শর্তানুযায়ী\(\Large{\quad \frac{k±12}{10} = \frac{-2 ± 12 }{10} \\ ⇒ k±12= -2 ±12 \\ ⇒ k = -2}\)
Ans: k-এর মান -2
2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।
(i) 3x² + 11x – 4 = 0

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 3 , b = 11 এবং c = -4
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (11)² – 4.3.(- 4) = 121 + 48 = 169 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{ x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-11 ± \sqrt{169}}{2.3} \\ ⇒x= \frac{-11 ± 13}{6} \\ ⇒x= \frac{-11 + 13}{6} \quad or, x= \frac{-11 – 13}{6}\\⇒x= \frac{2}{6} \quad \quad or, x=\frac{-24}{6}\\⇒x= \frac{1}{2} \quad \quad or, x=-4}\)
Ans: বীজ দুটি হল -4, ¹/₂
ii) (x – 2)(x + 4) + 9 = 0
সমাধান:
(x – 2)(x + 4) + 9 = 0
বা, x² + 4x – 2x – 8 = 9
বা, x² + 2x – 8 + 9 = 0
⇒ x² + 2x +1 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 1, b = 2 এবং c = 1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.1.1
= 4 – 4 = 9 = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল-
\(\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(2) ± \sqrt{0}}{2.1} \\ ⇒x= \frac{-2 ± 0}{2} \\ ⇒x= \frac{-2+0}{2} \quad or, x= \frac{-2-0}{2}\\⇒x= -1 \quad \quad or, x=-1}\)
Ans: বীজ দুটি হল -1, -1
(iii) (4x – 3)² -2(x + 3) = 0
সমাধান:
(4x – 3)² -2(x + 3) = 0
বা, (4x)² – 2 . 4x . 3 + (3)² – 2x – 6 = 0
বা, 16x² – 24x + 9 – 2x – 6 = 0
বা, 16x² – 26x + 3 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax²+bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 16, b = – 26 এবং c = 3
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (-26)² – 4.16.3
= 676 – 192 = 484 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-26) ± \sqrt{484}}{2.16} \\ ⇒x= \frac{26 ± 22}{32} \\ ⇒x= \frac{26+22}{32} \quad or, x= \frac{26-22}{32}\\⇒x= \frac{48}{32} \quad \quad or, x=\frac{4}{32}\\⇒x= \frac{3}{2} \quad \quad or, x=\frac{1}{8}}\)
Ans: বীজ দুটি হল ¹/₈, ³/₂
(v) 3x² + 2x – 1 = 0
সমাধান:
3x² + 2x – 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+ bx + c = 0 [a ≠ 0] Program সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2 এবং c = -1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.3.(-1)
= 4 + 12 = 16 > 0
3x² + 2x – 1 = 0 সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-2 ± \sqrt{16}}{2.3} \\ ⇒x= \frac{-2 ± 4}{6} \\ ⇒x= \frac{-2+4}{6} \quad or, x= \frac{-2-4}{6}\\⇒x= \frac{2}{6} \quad \quad or, x=\frac{-6}{6}\\⇒x= \frac{1}{3} \quad \quad or, x=1}\)
Ans: বীজ দুটি হল ¹/₃, 1
(v) 3x² + 2x + 1 = 0
সমাধান:
3x² + 2x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+ bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2 এবং c = 1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.3.1
= 4 – 12 = – 8 < 0
Ans: 3x² + 2x + 1 = 0 সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
(vi) 10x² – x – 3 = 0
সমাধান:
10x² – x – 3 = 0 সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 10, b = -1, c = -3
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-1)² – 4.10.(-3)
⇒1 + 120 = 121 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-1) ± \sqrt{121}}{2.10} \\ ⇒x= \frac{1 ± 11}{20} \\ ⇒x= \frac{1+11}{20} \quad or, x= \frac{1-11}{20}\\⇒x= \frac{12}{20} \quad \quad or, x=\frac{-10}{20}\\⇒x= \frac{3}{5} \quad \quad or, x=\frac{-1}{2}}\)
Ans: বীজ দুটি হল ³/₅, –¹/₂
(vii) 10x² – x + 3 = 0
সমাধান:
10x² – x + 3 = 0 সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরনের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a =10, b = – 1 এবং c = 3
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (- 1)² – 4.10.3
=1 -120= -119 <0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
(viii) 25x² – 30x + 7 = 0
সমাধান:
25x² – 30x + 7 = 0 [a ≠ 0]
সমীকরনটি ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 25 , b = -30, c = 7
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-30)² – 4.25.(7)
= 900 – 700 = 200 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{\quad x=\frac {-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}\\ ⇒ x=\frac{-(-30) ± \sqrt{200}}{2.25}\\ ⇒x=\frac{30 ± 10\sqrt{2}}{50}\\ ⇒x=\frac{30 + 10\sqrt{2}}{50} \quad or, x=\frac{30 – 10\sqrt{2}}{50}\\⇒x=\frac{10(3+\sqrt{2})}{50} \quad \quad or, x=\frac{10(3-\sqrt{2})}{50}\\⇒x= \frac{3+\sqrt{2}}{5}\quad\quad or, x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}}\)
Ans: বীজ দুটি হল ^3+√2/₅, ^3-√2/₅
(ix) (4x – 2)² + 6x = 25
সমাধান:
(4x – 2)² + 6x = 25
বা, (4x)² – 2 . 4x . 2 + (2)² + 6x-25=0
বা, 16x² – 16x + 4 + 6x – 25 = 0
বা, 16x² – 10x – 21 =0
সমীকরনটি ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 16 , b = -10, c = – 21
∴ সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-10)² – 4.16.(-21)
= 100 + 1344 = 1444 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
\(\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-10) ± \sqrt{1444}}{2.16} \\ ⇒x= \frac{10 ± 38}{32} \\ ⇒x= \frac{10 + 38}{32} \quad or, x= \frac{10 – 38}{32}\\⇒x= \frac{48}{32} \quad \quad or, x=\frac{-28}{32}\\⇒x= \frac{3}{2} \quad \quad or, x=\frac{-7}{8}}\)$$ বীজ দুটি হল 3/2 -⅞
Ans: বীজ দুটি হল ³/₂, –⁷/₈

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।
(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে 2 সেমি. কম হয়, তবে সাথির আকাঁ সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 2x + 6 সেমি. এবং
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = 2x + 6 – 2 সেমি.
= 2x + 4 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²
বা, x² + (2x)² + 2.2x.4 + (4)² = (2x)² + 2.2x.6 + (6)²
বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36
⇒ x² + 16x + 16 = 24x + 36
বা, x² + 16x – 24x + 16 – 36 = 0
বা, x² – 8x – 20 = 0
⇒ x² – 10x + 2x – 20 = 0
বা, x(x – 10) + 2(x – 10) = 0
বা, (x – 10)(x + 2) = 0
হয় (x – 10) = 0 নতুবা (x +2) = 0
বা, x = 10 বা, x = – 2
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 2 ∴ x = 10
Ans: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি., (2.10 + 4) = 24 সেমি. এবং (2.10 + 6) = 26 সেমি.
(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x
∴ দশকের ঘরের অঙ্ক 2x
সংখ্যাটি হল = 10×2x + 1×x
= 20x + x = 21x
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x.2x
= 2x²
প্রশ্নানুসারে,
21x.x = 189
বা, 21x²= 189
⇒ x²= 9
বা, x = ± √9
বা, x = ± 3
(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অনিকের গতিবেগ x মিটার/সেকেন্ড
∴ সালমার গতিবেগ (x + 1) মিটার/সেকেন্ড
180 মিটার দৌড়াতে ,
অনিকের সময় লাগে 180/x সেকেন্ড এবং
সালমার সময় লাগে 180/x + 1) সেকেন্ড
প্রশ্নানুসারে,
,\(\Large{ \quad\frac{180}{x}-\frac{180}{x+1}=2 \\ ⇒\frac{180(x+1)-180x}{x(x+1)}=2 \\ ⇒\frac{180x+180-180x}{x^{2}+x}=2\\⇒\frac{180}{x^{2}+x}=2\\ \\⇒\frac{90} {x^{2}+x}=1 }\)
⇒ x² + x = 90
⇒ x² + x – 90 = 0
বা, x² + 10x – 9x – 90 = 0
⇒ x(x + 10) – 9(x + 10) = 0
⇒ (x + 10)(x – 9) = 0
হয় (x + 10) = 0 নতুবা (x – 9) = 0
বা, x = -10 বা, x = 9
বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 10 ∴ x = 9
Ans: অনিকের গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = (x +5) মিটার এবং
প্রস্থ = (x -3) মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x +5).(x -3) বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে,
2.x² – (x +5).(x -3) = 78
বা, 2x² – (x² – 3x + 5x – 15) = 78
বা, 2x² – (x² + 2x – 15) = 78
⇒ 2x² – x² – 2x + 15 – 78 = 0
বা, x² – 2x – 63 = 0
বা, x² – 9x + 7x – 63 = 0
⇒ x(x – 9) +7(x – 9) = 0
বা, (x – 9)(x +7) = 0
হয় (x – 9) = 0 নতুবা , (x + 7) = 0
বা, x = 9 বা, x = – 7
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 7 ∴ x = 9
Ans: বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার ।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সারির সংখ্যা x
∴ প্রতি সারিতে চারাগাছ লাগান ( x + 24) টি।
মোট চারাগাছ লাগান = x.( x + 24) টি
প্রশ্নানুসারে,
x.( x + 24) + 10 = 350
বা, x² + 24x + 10 – 350 = 0
বা, x² + 24x – 340 = 0
⇒ x² + 34x – 10x – 340 = 0
বা, x(x + 34) – 10(x +34) = 0
বা, (x + 34)(x – 10) = 0
হয় (x + 34) = 0 নতুবা , (x – 10) = 0
বা, x = – 34 বা, x = 10
সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না
x ≠ – 34 ∴ x = 10
Ans: সারির সংখ্যা 10 টি।
(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, কুন্তল একটি জিনিস তৈরি করতে x মিনিট নেয়।
∴ জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে (x – 5) মিনিট নেয়।
6 ঘন্টা = 6×60 = 360 মিনিট
কুন্তল x মিনিটে করে 1 টি জিনিস
1 মিনিটে করে ¹/_x টি জিনিস
কুন্তল 360 মিনিটে করে ³⁶⁰/_x টি জিনিস
জোসেফ 360 মিনিটে করে ³⁶⁰/_(x-5) টি জিনিস।
প্রশ্নানুযায়ী,
,\(\Large{\quad \frac{360}{x-5}-\frac{360}{x}=6 \\ ⇒\frac{360x-360(x-5)}{x(x-5)}=6 \\ ⇒\frac{360x-360x+1800}{x^{2}-5x}=6\\⇒\frac{1800}{x^{2}-5x}=6\\ \\⇒\frac{300} {x^{2}-5x}=1}\)
⇒ x² – 5x = 300
⇒ x² – x – 300 = 0
বা, x² – 20x + 15x – 300 = 0
⇒ x(x – 20) + 15(x – 20) = 0
⇒ (x – 20)(x + 15) = 0
হয় (x – 20) = 0 নতুবা (x + 15) = 0
বা, x = 20 বা, x = -15
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না
x ≠ – 15 ∴ x = 20
Ans: কুন্তল ওই সময়ে জিনিস তৈরি করে = ³⁶⁰/₂₀ = 18 টি
(vii) স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি
সমাধান:
ধরি, স্রোতের বেগ x কিমি/ঘন্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (8 + x) কিমি/ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (8 + x) কিমি/ঘন্টা.
∴ স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. যেতে সময় লাগে ¹⁵/_{(8 + x)} ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. যেতে সময় লাগে ²²/_{(8 – x)} ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী
,\(\Large{\quad\frac{15}{8+x}+\frac{22}{8-x}=5 \\ ⇒\frac{15(8-x)+22(8+x)}{(8+x)(8-x)}=5 \\ ⇒\frac{120-15x+176+22x}{64-x^{2}}=5\\⇒\frac{296+7x}{64-x^{2}}=5}\)
⇒ 296 + 7x = 5(64 – x²)
⇒ 296 + 7x = 320 – 5x²
= 5x² + 7x + 296 – 320 = 0
⇒ 5x² + 7x – 24 = 0
⇒ 5x² + 15x – 8x – 24 = 0
= 5x(x + 3) – 8(x + 3) = 0
= (x + 3)(5x – 8) = 0
হয় (x + 3) = 0 নতুবা (5x – 8) = 0
বা, x = -3 বা, 5x = 8
বা, x = ⁸/₅ = 1³/₅
বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 3 ∴ x = 1³/₅
Ans: স্রোতের বেগ 1³/₅ কিমি/ঘন্টা।
জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় কিভাবে করবে তা দেখতে এখানে Click করো।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌঁছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি ছিল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় x কিমি.
∴ এক্সপ্রেস ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় (x – 15) কিমি.
180 কিমি. যেতে,
সুপারফাস্ট ট্রেনের সময় লাগেxতার 180/x ঘন্টা এবং
এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে তার 180/(x – 15) ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad\frac{180}{x-15}-\frac{180}{x}=1 \\ ⇒\frac{180x-180(x-15)}{x(x-15)}-=1 \\ ⇒\frac{180x-180x-2700}{x^{2}-15x}=1}\)
⇒ x² – 15x = 2700
⇒ x² – 15x – 2700 = 0
= x² – 60x + 45x – 2700 = 0
⇒ x(x – 60) + 45(x – 60) = 0
⇒ (x – 60)(x + 45) = 0
হয় (x – 60) = 0 নতুবা (x + 45) = 0
বা, x = 60 বা, x = -45
যেহেতু ট্রেনের গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ -45
∴ x = 60
Ans: সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 60 কিমি.
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকার চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।
সমাধানঃ
ধরি প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম x টাকা
∴ x টাকায় পাওয়া যায় 1 কিগ্রা. মাছ
1 টাকায় পাওয়া যায় ¹/_x কিগ্রা. মাছ
240 টাকায় পাওয়া যায় ²⁴⁰/_x কিগ্রা. মাছ
আবার প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম (x – 20) টাকা এবং প্রতি কিগ্রা. চালের দাম (x -40) টাকা
∴ 240 টাকায় পাওয়া যায় ²⁴⁰/_{(x – 20)} কিগ্রা. ডাল
এবং 280 টাকায় পাওয়া যায় ²⁸⁰/_{(x – 40)} কিগ্রা. চাল প্রশ্নানুযায়ী,
প্রশ্নানুযায়ী, \(\Large{\quad\frac{240}{x}+\frac{240}{x-20}=\frac{280}{x-40} \\ ⇒\frac{240(x-20)+240x}{x(x-20)}= \frac{280}{x-40}\\⇒ \frac{240x-240×20+240x}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{480x-4800}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{40(12x-120)}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{12x-120}{x^{2} -20x}= \frac{7}{x-40}}\)
⇒ (12x – 120)(x – 40) = 7(x² – 20x)
⇒ 12x² – 480x – 120x + 4800 = 7x² – 140x
= 12x² – 7x² – 600x + 140x + 4800 = 0
⇒ 5x² – 460x + 4800 = 0
⇒ 5(x² – 92x + 960) = 0
= x² – 92x + 960 = 0
⇒ x² – 80x – 12x + 960 = 0
⇒ x(x – 80) – 12(x – 80) = 0
∴ (x – 80)(x – 12) = 0
হয় (x – 80) = 0 নতুবা (x – 12) = 0
বা, x = 80 বা, x = 12
যেহেতু প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম, প্রতি কিগ্রা. মাছের দামের চেয়ে 20 টাকা কম তাই প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম 12 টাকা হতে পারে না।
∴ x = 80
Ans: প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম 80 টাকা।
Madhyamik Question
MP-2020
▶️ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে, সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 1.3
KOSHE DEKHI 1.5
April 6, 2023

error: Content is protected !!