PROSTUTI

Tag: একাদশ শ্রেণীর সেটতত্ত্ব

  • Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)

    1 সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
    (i) সেট্সমূহের ধারণা, উপসেট্‌, দুটি সেটের সমতা, সার্বিক সেট্ এবং শূন্য সেট্, সসীম ও অসীম সেট্।
    S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.3 , অনুচ্ছেদ 1.5 এর 4, 5, 7, 3,1 দেখো।

    (ii) দুটি সেটের যোগ, ছেদ ও অন্তর, পূরকতা।
    S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.8 এর 1, 2, 4, 5 দেখো।

    2. ভেন চিত্র কী? সেট তত্ত্বে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করো।

    3 সেটের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ বিবৃত করো।

    ▶️ বর্গৈকসম সূত্র
    A যেকোনো একটি সেট হলে
    (i) A ⋃ A = A
    (ii) A ⋂ A = A

    ▶️ বিনিময় সূত্র
    A এবং B যেকোনো দুটি সেট হলে
    (i) A ⋃ B = B ⋃ A 
    (ii) A ⋂ B = B ⋂ A 
    এবং AB = BA 

    ▶️ সেটের সংযোগ সূত্র (Associative Law):
    A, B, C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
    (i) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C 
    (ii) (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)

    ▶️ সেটের বণ্টন সূত্র (Distributive Law):
    A,B,C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
    (i) A ⋃ ( B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
    (ii) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

    ▶️ অভেদ সূত্র (Identity Law):
    A যে-কোনো সেট এবং U সার্বিক সেট এবং ∅ শুন্য সেট হলে,
    (i) A ⋃ ϕ = A
    (ii) A ⋂ U = A
    (iii) A ⋃ U = U
    (iv) A ⋂ ϕ = ϕ

    Set Theory

    ▶️ পূরক সূত্র(Complement Law):
    U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ শুন্য সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
    (i) A ⋃ A′ = U
    (ii) A ⋂ A′ = ϕ
    (iii) (A′)′ = A
    (iv) U′ = ϕ
    (v) ϕ′ = U

    ডি মরগানের সূত্র(De Morgan’s Law) :
    A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
    (i) (A ⋃ B)′ = A′ ⋂ B′
    (ii) (A ⋂ B)′ = A′ ⋃ B′

    একাধিক সসীম সেটের যোগের পদসংখ্যা নির্ণয়ঃ
    A একটি সসীম সেট হলে, A এর পদসংখ্যা n(A) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
    A এবং B দুইটি সসীম সেট হলে (A⋃B) ও একটি সসীম সেট হবে।
    (i) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
    (ii) n(A⋃B)′ = n(S) – n(A⋃B) = n(S) – n(A) – n(B) + n(A⋂B)
    (iii) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – (A⋂B) – n(B⋂C) – n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)

    4 দেখাও যে, n-সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট্ A-র সূচক সেট্ 2n -সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে।

    সমাধানঃ
    ধরি, A একটি সেট যার উপাদান বা পদের সংখ্যা n.
    A সেটে যদি কোনো পদ না থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC0
    A সেটে যদি 1টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC1
    আবার A সেটে যদি 2টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC2
    – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
    A সেটে যদি nটি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nCn
    ∴A সেট্‌ থেকে যে সকল উপসেট্ গঠন করা যায় তার মোট সংখ্যা
    = nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
    এখন, (1 + x)n = nC0 + nC1.x+ nC2.x2 + ….. + nCn.xn
    x-এর স্থলে 1 বসিয়ে পাই,
    2″ = nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
    ∴ নির্ণেয় মোট উপসেটের সংখ্যা = 2. 1

    সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

    সেট তত্ত্ব Set Theoryপ্রশ্নমালা- 1
    সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেটCLICK HERE
    উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেটCLICK HERE
    ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহCLICK HERE
    বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)CLICK HERE
    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)CLICK HERE
    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)CLICK HERE
    দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)CLICK HERE

    Set Theory
    Q. NO. 5, 6

    5. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {a, b}, C = {a, b, d}, D = {c, d} এবং E = {d} ; যুক্তিসহ নিম্নলিখিত বক্তব্যসমূহের কোন্গুলি সত্য বলো:
    (i) B ⊂ A
    (ii) D ⊅ E
    (iii) D ⊂ B
    (iv) {a} ⊂ A

    (i) B ⊂ A
    সমাধানঃ
    a, b ∈ A এবং a, b ∈ B
    আবার c ∈ A কিন্তু c ∉ B
    ∴ B ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

    (ii) D ⊅ E
    সমাধানঃ
    d ∈ E এবং d ∈ D
    আবার c ∈ D কিন্তু c ∉ E
    ∴ E ⊂ D
    ∴ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।

    (iii) D ⊂ B
    সমাধানঃ
    c ∈ D কিন্তু c ∉ B 
    ∴ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।

    (iv) {a} ⊂ A
    সমাধানঃ
    ∵ a ∈ A
    ∴ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

    Set Theory

    6. মনে করো, A = {a, b, c. d, e, f, g, h, i}, B = {b, d, f, h}, C = {a, c, e, g, i}, D = { c, d, e} এবং E = {c, e}। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন্ সেট্ X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে?
    (i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
    (ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
    (iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
    (iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A

    (i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
    সমাধানঃ
    X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট্ হবে যদি x ∈ B হয় কিন্তু x ∉ X হয়।
    এখানে b, d, f, h ∈ B কিন্তু b, d, f, h ∉ C এবং b, d, f, h ∉ E
    ∴ X = C বা X = E হতে পারে। (Ans)

    (ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
    সমাধানঃ
    এখানে B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
    আবার B এবং D, C এর সাবসেট নয়।
    X = B বা X = D হতে পারে। (Ans)

    (iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
    সমাধানঃ
    এখানে E সেট D এর সাবসেট। কিন্তু E এর সাবসেট নয়।
    X = E হতে পারে। (Ans)

    (iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
    সমাধানঃ
    এখানে E সেট C এর সাবসেট।
    কিন্তু B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
    সুতরাং কোনো সেটই X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে না। (Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 7

    7. A = { a, b, c, d, e }, B = { a, c, e, g } এবং C = { b, c, f, g } হলে দেখাও যে,
    (i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
    (ii) ( A ∩ B)  ∪ C = ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)

    (i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { a, b, c, d, e } ∪ { a, c, e, g }
    = { a, b, c, d, e, g }
    ( A ∪ B) ∩ C = { a, b, c, d, e, g } ∩ { b, c, f, g }
    = { b, c, g }
    A ∩ C = { a, b, c, d, e } ∩ { b, c, f, g }
    = { b, c }
    B ∩ C = { a, c, e, g } ∩ { b, c, f, g }
    = { c, g }
    ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) = { b, c } ∪ { c, g }
    = {b, c, g }
    ∴( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) (Proved)

    Set Theory

    (ii) ( A ∩ B)  ∪ C = ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)
    সমাধানঃ
    A ∩ B = { a, b, c, d, e } ∩ { a, c, e, g }
    = { a, c, e, }
    (A ∩ B)  ∪ C = { a, c, e, } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    A ∪ C = { a, b, c, d, e } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    B ∪ C = { a, c, e, g } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    ∴ ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)
    = { a, b, c, d, e } ∩  {a, b, c, e, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g } (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 8 (i), (ii)

    8. (i) মনে করো, সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 3, 4, 5 } এবং A = { 3, 4, 5 } ও B = { 1, 4, 5 } তার দুটি উপসেট্। যাচাই করে দেখাও যে, ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ।
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { 3, 4, 5 } ∪  { 1, 4, 5 }
    = { 1, 3, 4, 5 }
    (A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 1, 3, 4, 5 }
    = {2}
    A’ = S – A
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 5 }
    = {1, 2}
    B’ = S – B
    =  { 1, 2, 3, 4, 5 } – {1, 4, 5}
    = {2, 3}
    A’ ∩ B’ =  {1, 2} ∩ {2, 3}
    = {2}
    ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (Proved)

    (ii) S = { 1, 2, 3, … ,  12 }-কে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেট্ A, B, C-তে বিভক্ত করা হল যাতে A ∪ B ∪ C = S, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ হয়। এরূপে S-কে কত রকমভাবে বিভক্ত করা যাবে?
    সমাধানঃ
    S সেটে মোট পদ আছে 12টি।
    ∴ সেটটিকে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেটে ভাগ করলে প্রতিটি সেটে পদের সংখ্যা হবে 4 টি করে।
    আবার, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ সুতরাং, A, B, C সেটের প্রতিটির পদ ভিন্ন ভিন্ন হবে। সুতরাং, এরূপে S-কে যতরকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় তা হল

    $$ \Large{=\frac {12!}{4! × 4! × 4!} \\ ⇒ \frac {12!}{(4!)^{3}}}$$

    Set Theory
    Q. NO. 9 (i), (ii), 10 (i) – (iii)

    9. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C ={1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে
    (i) A – B
    (ii) A – C নির্ণয় করো এবং
    তারপর দেখাও যে, A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
    সমাধানঃ
    A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 3, 4, 5}
    = {1}
    (ii) A – C = {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 4, 5, 6, 7}
    = {2}
    B ∩ C = {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4, 5, 6, 7}
    = {3, 4, 5}
    ∴ A – (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} – {3, 4, 5}
    = {1, 2}
    (A – B) ∪ (A – C) = {1} ∪ {1, 2}
    = {1, 2}
    ∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)

    10. সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 }  এবং A = { 1, 2, 8, 32 } , B = { 4, 8, 32 } তার দুটি উপসেট্‌ হলে দেখাও যে,
    (i) (AC)C = A
    (ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
    (iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC

    (i) (AC)C = A
    সমাধানঃ
    AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    (AC)C = S – AC
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 16 }
    = { 1, 2, 8, 32 }
    ∴ (AC)C = A (প্রমাণিত)

    Set Theory

    (ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
    সমাধানঃ
    A ∩ B = { 1, 2, 8, 32 }∩{ 4, 8, 32 }
    = { 8, 32 }
    ∴ ( A ∩ B)C = S – ( A∩B)
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 8, 32 }
    = { 1, 2, 4, 16 }
    আবার, AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    BC = S – B
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 16 }
    ∴ AC ∪ BC = { 4, 16 } ∪ { 1, 2, 16 }
    = {1, 2, 4, 16}
    ∴ ( A ∩ B)C  = AC ∪ BC (Proved)

    (iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { 1, 2, 8, 32 } ∪ { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 4, 8, 32 }
    (A ∪ B)C = S – ( A ∪ B)
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 4, 8, 32 }
    = { 16 }
    AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    BC = S – B
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 16 }
    ∴ AC ∩ BC  =  { 4, 16 } ∩ { 1, 2, 16 }
    ={ 16 }
    ∴  ( A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 11

    11. (i) P = { a, b, c, d, e, f } এবং Q = { a, c, e, f } হলে প্রমাণ করো যে, ( P – Q)  ∪ ( P ∩ Q)  = P।
    সমাধানঃ
    (i) P – Q = { a, b, c, d, e, f } – { a, c, e, f }
    = { b, d }
    P ∩ Q = { a, b, c, d, e, f } ∩ { a, c, e, f }
    = { a, c, e, f  }
    ∴ ( P – Q)  ∪ ( P ∩ Q) 
    = { b, d } ∪ { a, c, e, f  }
    = { a, b, c, d, e, f } = P (Proved)

    (ii) যদি P = { θ :  sinθ – cosθ  = √2 cosθ } এবং Q = { θ : sinθ + cosθ  = √2 sinθ }  হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P = Q।
    সমাধানঃ
    ধরি, x ∈ P যে-কোনো একটি পদ।
    ∴ sinx – cosx  = √2 cosx
    বা, sinx  = √2 cosx + cosx
    বা, sinx  = (√2 + 1) cosx 
    ।বা, 1 /(√2 + 1)  sinx = cos x
    বা, (√2 – 1) /(2 – 1) sinx = cosx
    বা, √2 sinx – sinx = cosx
    ⇒ √2 sinx  = cosx + sin x
    ⇒ x ∈ Q
    ∵ x একটি যে-কোনো পদ,
    ∴ P ⊆ Q – – – (i)
    আবার ধরা যাক, y ∈ Q যে-কোনো একটি পদ।
    ∴ siny + cosy  = √2 siny
    ⇒ cosy  = √2 siny – siny
    ⇒ cosy  = (√2 – 1) siny 
    = siny  = 1 /(√2 – 1) cosy 
    ⇒ siny  = (√2 + 1) /(2 – 1) cosy
    ⇒ siny  = (√2 + 1) cosy
    = siny  = √2 cosy + cosy
    ⇒ siny – cosy = √2 cosy
    ⇒ y ∈ P যেহেতু, y একটি যে-কোনো পদ।
    ∴ Q ⊆ P – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    P = Q (প্রমাণিত)

    Set Theory
    Q. NO. 12 – 13

    12. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5}  এবং ( B ∪ C)  = { 3, 4, 6}  হলে,
    (i) ( A ∩ B)  ∪ ( A ∩ C)
    (ii) ( A – B)  ∩ ( A – C)  নির্ণয় করো।

    সমাধানঃ
    (i) ( A ∩ B)  ∪ ( A ∩ C)
    = A ∩ ( B ∪ C)
    = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ { 3, 4, 6} = {3, 4} (Ans)

    (ii) ( A – B)  ∩ ( A – C)
    = A – ( B ∪ C)
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 } = { 1, 2, 5 } (Ans)

    13. তিনটি সেট্ P,  Q এবং R এমনভাবে গঠন করো, যাতে P ∩ Q ≠ ϕ, Q ∩ R ≠ ϕ, R ∩ P ≠ ϕ কিন্তু P ∩ Q ∩ R = ϕ হয়।
    সমাধানঃ
    ধরা যাক, P = { p, q },
    Q = { q, r },
    R = { r, p }
    ∴ P ∩ Q = { p, q } ∩ { q, r }
    = { q } ≠ ϕ
    Q ∩ R = { q, r } ∩ { r, p }
    = { r } ≠ ϕ
    R ∩ P = { r, p } ∩ { p, q }
    = { p } ≠ ϕ
    ∴ P ∩ Q ∩ R = ( P ∩ Q)  ∩ R
    = { q } ∩ { r, p }
    = ϕ (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 14 – 15

    14. মনে করো, A, B এবং C  তিনটি সেট্। যদি A ⊂ B এবং B ⊂ C হয়, তবে A ⊂ C হবে কি? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের সত্যতা প্রতিষ্ঠা করো।
    সমাধানঃ
    ধরা যাক, x ∈ A
    এখন, x ∈ A ⇒ x ∈ B [ ∵ A ⊂ B ] – – (i)
    আবার, x ∈ B ⇒ x ∈ C [ ∵ B ⊂ C ] – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে,
    x ∈ A ⇒ x ∈ C
    ∴ A ⊂ C
    A ⊂ B এবং B ⊂ C হলে, A ⊂ C হবে। (Proved)

    15. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {a, b, c, d, e}  এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} তার দুটি উপসেট্। ( A ∩ B)’  এবং ( A ∪ B)’ নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    A ∩ B = {a, b, d} ∩ {b, d, e}
    = {b, d}
    ∴ ( A ∩ B)’ = S – (A ∩ B)
    = {a, b, c, d, e} – {b, d}
    = {a, c, e} (Ans)
    A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
    = {a, b, d, e}
    ∴ ( A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
    = {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
    = {c} (Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 16 – 19 (i)

    16. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; AC ∩ BC নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    AC ∩ BC = ( A ∪ B)C
    = S – ( A ∪ B)
    ⇒ {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4}
    = {1, 5, 6} (Ans)

    17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট্ ℕ এবং aℕ = { ax : x ∈ ℕ } হলে, 3ℕ ∩ 7ℕ নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
    3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
    7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
    ∴  3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
    = 21ℕ (Ans)

    18. মনে করো, সব অখণ্ড সংখ্যার সেট্ ℤ এবং A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ } ও B = { x : x = 4n, n ∈ of ℤ } : A ∩ B নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
    = 6ℕ
    B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
    = 4ℕ
    ∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
    = kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
    ⇒ 12ℕ
    = { x: x = 12n, n ∈ ℤ} (Ans)

    19 যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
    (i) ( B – A) ∩ A = ϕ
    সমাধানঃ
    (B-A) ∩ A
    = (B ∩ AC) ∩ A
    = B ∩ ( AC ∩ A)
    ⇒ B ∩ ϕ
    = ϕ
    ∴ ( B – A) ∩ A = ϕ (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 19 (ii), (iii)

    (ii) AC – BC  = B – A 
    সমাধানঃ
    ধরি, ∀x ∈ (AC – BC)
    ⇒ x ∈ AC এবং x ∉ BC
    ⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
    বা, x ∈ B এবং  x ∉ A
    ⇒ x ∈ (B – A)
    ∴ AC – BC  ⊆ B – A – – – (i)
    আবার ধরি,
    ∀y ∈ (B – A)
    ⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
    ⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
    বা,y ∈ AC এবং y ∉ BC
    ⇒ y ∈ (AC – BC)
    ∴ B – A ⊆ AC – BC – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    AC – BC  = B – A
    ∴ AC – BC  = B – A (Proved)

    (iii) A-B = A-(A∩B)
    সমাধানঃ
    যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
    A∩B ⊆ B

    ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
    ⇒ x∈A এবং x∉B
    ⇒ x∈A এবং x∉A∩B  [ ∵ A∩B ⊆ B ]
    ∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
    সুতরাং, x ∈ A-B
    ⇒ x∈A – (A∩B)
    ∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)
    ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B)  যে-কোনো পদ
    ⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
    ⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
    বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
    ⇒ (y ∈ A এবং y ∈ AC) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
    ⇒ y ∈ ( A ∩ AC)  অথবা y ∈ ( A – B)
    বা, y ∈ ( A ∩ AC)  ∪ ( A – B)
    ⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
    ⇒ y ∈ A – B
    সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
    ⇒ y ∈ A – B
    ∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
    A-B = A-(A∩B) (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 19 (iv) – (viii), 20 (i)

    (iv) A-B = A∩BC 
    সমাধানঃ
    ∀x ∈(A-B)
    ⇒ x∈A এবং x∉B
    ⇒ x∈A এবং x∈BC
    ∴ x∈A∩BC
    A-B = A∩BC (Proved)

    (v) B-AC = A∩B 
    সমাধানঃ
    ∀x ∈ (B – AC)
    ⇒ x∈B এবং x∉AC
    ⇒ x∈B এবং x∈ A
    বা, x∈B∩A
    ⇒ x∈A∩B 
    ∴ B-AC = A∩B (Proved)

    (vi) B⊆(A-B)C
    সমাধানঃ
    যে-কোনো দুটি সেটে A ও B-এর জন্য
    B⊆AC∪B
    ⇒ B⊆(A∩BC)C.   [ডি মর্গানের সূত্র]
    ⇒ B⊆(A-BC)
    ∴ B⊆(A-B)C (Proved)

    (vii) (A∪B)-(A∩B) = (A-B)∪(B-A)
    সমাধানঃ
    (A∪B)-(A∩B)
    = [ (A∪B)-A]∪[(A∪B)-B]
    = [(A∪B)∩AC]∪[(A∪B)∩BC]
    ⇒ [(A∩AC)∪(B∩AC)]∪[(A∩BC)∪(B∩BC)]…. [বণ্টন সূত্র]
    = [ϕ∪(B-A)]∪[(A-B)∪ϕ)
    = (B-A)∪(A-B)
    ⇒ (A-B)∪(B-A)
    ∴ (A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) (Proved)

    (viii) (A-B)∪(A∩B) = A
    সমাধানঃ
    (A-B)∪(A∩B)
    = (A∩BC)∪(A∩B)
    = A∩(BC∪B) ….. [বণ্টন সূত্র]
    = A∩S  [S হল সার্বিক সেট্‌]
    = A
    ∴ ( A – B)  ∪ ( A ∩ B)  = A (Proved)

    20. মনে করো, A, B এবং C তিনটি প্রদত্ত সেট্‌; উদাহরণের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, নীচের বিবৃতিগুলি সত্য নয়:
    (i) B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে,
    সমাধানঃ
    ধরি, B = {x}
    ∵ B ∈ A
    ∴ A = {B} ={{x}}
    ∴ x ∉ A
    x ∈ A হবে, বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 20 (ii)- (iii), 21 – 22

    (ii) B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে
    সমাধানঃ
    ধরি, B = {b} এবং
    A = {a, b},
    ∵ A ∈ C
    ∴ C = {A}
    অর্থাৎ, C = {{a, b}}
    স্পষ্টতই, {b} ∉ C
    ∴ B ∉ C
    সুতরাং, B ∉ C বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    (iii) A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে
    সমাধানঃ
    ধরি, A = { a } এবং
    B = { b, c },
    C = { a, c }
    স্পষ্টতই, A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু, A ⊂ C
    ∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    21. সেট্ প্রক্রিয়া প্রয়োগে 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির গসাগু নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির উৎপাদকগুলির সেট A, B এবং C ;
    A = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
    B = {1, 3, 5, 15 } এবং
    C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
    সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির বৃহত্তম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির গসাগু।
    A∩B∩C = {1, 3}
    A∩B∩C এর বৃহত্তম উপাদানটি হল 3
    Ans: 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গসাগু 3.

    22. (i) সেট্ তত্ত্বের প্রয়োগে 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গুননীয়কের সেট A, B এবং C ;
    A = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180 ……. }
    B = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200……. } এবং
    C = {30, 60, 90, 120, 150, 180.. }
    সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির ক্ষুদ্রতম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির লসাগু।
    A∩B∩C = {150, 300….. }
    A∩B∩C এর ক্ষুদ্রতম উপাদানটি হল 150
    Ans: 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু 150

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    Set Theory
    Q. NO. 23 & 24

    23. ভেন্ চিত্রের প্রয়োগে বা অন্য পদ্ধতিতে নীচের প্রশ্নটির সমাধান করো: একটি শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরেজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে তা নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    যে সমস্ত ছাত্ররা ইংরেজি পাঠ করে তাদের সেটকে E এবং যে সমস্ত ছাত্ররা হিন্দি পাঠ করে তাদের সেটকে H দ্বারা সূচিত করা হল।
    প্রশ্নানুসারে, n(E) = 45 এবং n(H) = 30
    ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয়ে পাঠ করে 70 জন ছাত্র।
    ∴ n(EUH) = 70
    ∵ n(EUH) = n(E) + n(H) – n(E∩H)
    ⇒ 70 = 45 + 30 – n(E∩H)
    ⇒ n(E∩H) = 45 + 30 – 70
    ∴ n(E∩H) = 5
    Ans: 5 জন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে।

    24. কলকাতার 1003টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63টি পরিবারের রেডিয়ো বা টিভি ছিল না; 794টি পরিবারের রেডিয়ো এবং 187টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল?
    সমাধানঃ
    ধরি ,কলকাতার পরিবারের সেট S, রেডিয়ো ছিল এমন পরিবারের সেট R এবং টিভি ছিল এমন পরিবারের সেট T ;
    এখানে, n(S) = 1003, n(R) = 794, n(T)= 187
    রেডিয়ো বা টিভি ছিল এমন পরিবারসমূহের সেট = RUT
    ∴ রেডিয়ো বা টিভি ছিল না এমন পরিবারসমূহের সেট্ = (RUT)C
    প্রশ্নানুযায়ী,
    n(RUT)C = 63
    ∴ n(S) – n(RUT) = n(RUT)C
    ⇒ 1003 – n(RUT) = 63
    ⇒ n(R) + n(T) – n(R∩T) = 940
    বা, 794 +187 – n( R∩T) = 940
    ⇒ 981- 940 = n(R∩T)
    ⇒ 41 = n(R∩T)
    Ans: রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল এমন পরিবারের সংখ্যা 41।

    Set Theory
    Q. NO. 25

    25. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যানুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে?
    সমাধানঃ
    ধরি , A সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট  A এবং B সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট B;
    প্রশ্নানুযায়ী,
    n(A) = 720
    n(B) = 450
    n(A ∪ B) = 1000
    n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
    ⇒ 1000 = 720 + 450 – n(A∩B)
    ⇒1000 = 1170 – n(A∩B)
    ⇒ n(A∩B) = 1170 -1000 = 170
    Ans: 170 জন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে।

    Set Theory
    Q. NO. 26

    26. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে। শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না তা গণনা করো। সম্ভাব্য সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করা তাও নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, A এবং B পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যক্তিদের সেট যথাক্রমে A এবং B।
    প্রদত্ত শর্তানুসারে,
    n(A) = 60 এবং
    n(B∩AC) = 25
    কোনো না কোনো পত্রিকা পাঠ করে, এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা
    n(A∪B) =  n(A) + n(B∩AC)
    = 60 + 25 = 85
    ∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা = 100 – 85 = 15(Ans)

    আবার, B ⊆ A∪B
    ⇒  n(B) ≤ n(A∪B)
    ⇒ n(B) ≤ 85
    ∴ সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা 85 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)
    আবার, n(A∩B) ≥ 0
    ⇒ n(A)+ n(B) – n(A∪B) ≥ 0
    বা, 60 + n(B) – 85 ≥ 0
    বা, n(B) ≥ 25
    ∴ সম্ভাব্য সর্বনিম্ন শতকরা 25 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 27

    27. (i) দুটি সেট্ A ও B-এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p ও q-এর মান নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ (i) A সেটের পদসংখ্যা, n(A)  = p এবং
    B সেটের পদসংখ্যা, n(B) = q
    A সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(A))  = 2p এবং
    B সেটের উপসেটের সংখ্যা =n(P(B))  = 2q
    প্রশ্নানুসারে,
    2p – 2q = 56
    ⇒ 2q (2p – q – 1) = 8×7
    ⇒2q (2p – q – 1) = 8×7
    ⇒2q (2p – q – 1) = 23 (23 – 1)
    স্পষ্টতই, উপরের শর্ত সিদ্ধ হবে যদি q = 3 এবং p – q = 3 হয়।
    ∵ p – q = 3
    বা, p – 3 = 3
    বা p = 6
    Ans: p = 6 এবং q = 327.

    (ii) দুটি সসীম সেট্ A এবং B-এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, A∪B-এর সবচেয়ে বেশি এবং সবচেয়ে কম কতগুলি উপাদান সংখ্যা পাওয়া যাবে।
    সমাধানঃ A সেটের উপাদান সংখ্যা n(A)  = m এবং
    B সেটের উপাদান সংখ্যা n(B) = n
    আমরা জানি,
    n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = m + n – n(A∩B)
    A∩B = ϕ হবে যদি A এবং B বিছিন্ন সেট হয়।
    সেক্ষেত্রে n(A∩B) = 0
    ∴ n(A) + n(B) – n(A∩B)
    = m + n – 0
    = m + n
    ∴ n(A∪B) ≤ m + n হবে।
    Ans: n(A∪B) এর বৃহত্তম মান = m + n
    আবার n(A∩B)  ≤ [n(A), n(B) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম]
    ∴ n(A) + n(B) – n(A∩B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
    ⇒ n(A∪B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
    Ans: n(A ∪ B) এর ক্ষুদ্রতম মান = m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম।

    PREVIOUS
    HOME
    NEXT
  • SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)

    SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)

    Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)

    Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (VSA)

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)

    প্রিয় ছাত্রছাত্রী,
    এর আগের পোস্টে আমরা একাদশ শ্রেণির গণিতের ( S. N. DEY ) প্রথম অধ্যায় সেটতত্ত্বের প্রশ্নমালা -1 এর  বহু বিকল্পধর্মী প্রশ্নগুলোর উত্তর করেছিলাম। আজকে আমরা অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নগুলোর সমাধান করবো। এর পরের পোস্টে আমরা সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন এবং দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রশ্ন গুলোর সমাধান করবো। তাই পরবর্তী প্রশ্নগুলোর সমাধান পেতে  আমাদের পেজটি নিয়মিত ফলো করতে থাকো। এছাড়া বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সরকারি ও বেসরকারি স্কলারশিপ সম্বন্ধে জানতে, চাকরির পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য আমাদের পেজটি ফলো করতে পারো।

    Q No – 01 (i),(ii)

    1. উদাহরণসহ সংজ্ঞা দাওঃ

    (i) সেট্ঃ
    বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত পৃথক বস্তুসমূহের সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। 
    সুতরাং কোনো বস্তুসমূহের সংগ্রহকে সেট বলা হবে যদি
    (i) সংগ্রহটি সু-সংজ্ঞায়িত হয়,
    [সু-সংজ্ঞায়িত বলতে বোঝায় সেটের অন্তর্গত বস্তুসমূহ একটি নির্দিষ্ট ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য মেনে চলবে।]
    (ii) সংগ্রহের অন্তর্গত যে কোনো দুটি বস্তু পরস্পর পৃথক হয়।
    (iii) সংগ্রহের অন্তর্গত বস্তুগুলি ক্রম নিরপেক্ষ হয়।

    (ii) সসীম সেট্ঃ
    যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় অর্থাৎ উপাদান সংখ্যা সসীম হয় তাদের সসীম সেট বলে। যেমন, 
    A = {a, e, i, o, u}

    অসীম সেট্ঃ
    যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না অর্থাৎ উপাদান সংখ্যা অসীম হয় তাদের অসীম সেট বলে। যেমন, 
    A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}

    Q No – 01 (iii),(iv),(v)

    (iii) শূন্য সেট্ঃ
    যে সেটে কোনো পদ নেই তাকে শূন্য সেট বলে। যেমন,
    B  = {x : x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 2 < x < 3}

    (iv) সার্বিক সেট্ঃ
    সেটের আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে এর উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে সাধারণত U প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
    উদাহরণ: কোনো বিদ্যালয়ের সকল শিক্ষার্থীর সেট হলো সার্বিক সেট।

    (v) একপদী সেট্ঃ
    যে সেটে শুধুমাত্র একটি পদ থাকে তাকে একপদী সেট বলে। যেমন,
    C  = {x : x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 2 < x < 4}

    Q No – 01 (vi),(vii)

    (vi) সমান সেট্ঃ
    দুইটি সেটের উপাদান একই হলে সেট দুইটিকে সমান সেট বলা হয় এবং = চিহ্ন দিয়ে সমতা বোঝানো হয়। উদাহরণ: A = {a, b, c}, এবং B = {a, c, b} দুটি সেট। এখানে A ও B সেট দুটি সমান সেট। এদের A = B দ্বারা প্রকাশ করা হয়

    (vii) উপসেট্ঃ
    যদি A সেটের প্রত্যেকটি পদ B সেটেরও পদ হয়, তবে A কে B এর উপসেট বলে। যেমন
    A = {a, b} এবং  B = {b, a, c} দুটি সেট।
    একে A ⊆ B প্রতীকের সাহায্যে লেখা হয়

    যথার্থ উপসেট্ঃ
    যদি দুটি সেট A ও B এমন হয় যে, B সেটের প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ হয় (B ⊆ A) কিন্তু A সেটে কমপক্ষে এমন একটি পদ থাকে যা B সেটের অন্তর্গত নয় (A ≠ B) তাহলে B সেটকে A সেটের যথার্থ উপসেট বলা হয়।
    উদাহরন,
    A = {a, s, d, f, g, h } এবং B = {a, d, h, g, f } দুটি সেট।
    এখানে B সেটের প্রতিটি পদই  A সেটের পদ কিন্তু A সেটের s পদটি B সেটের অন্তর্গত নয়।
    সুতরাং B সেট A সেটের যথার্থ উপসেট (B ⊂ A)।

    Q No – 01 (viii) – (x)

    (viii) দুটি সেটের যোগঃ
    যদি A ও B দুটি প্রদত্ত সেট হয় এবং অপর একটি সেট যদি এমনভাবে গঠিত হয় যে যার পদসমূহ প্রদত্ত সেট A অথবা B অথবা A ও B উভয়েরই পদ হয় তবে ঐ সেটটিকে A ও B এর যোগ বলা হয় এবং এই সেটটিকে A ∪ B আকারে প্রকাশ করা হয়।
    যেমন A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B =  {3, 5, 6} হলে  
    A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    (ix) দুটি সেটের ছেদঃ
    A ও B দুটি প্রদত্ত সেটের সাধারণ পদসমূহ দ্বারা গঠিত সেটকে A ও B এর ছেদ বলা হয় এবং এই সেটটিকে A ⋂ B আকারে প্রকাশ করা হয়।
    যেমন A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B =  {3, 5, 6} হলে  
    A ⋂ B = {3, 5}

    (x) বিচ্ছেদ সেট্ঃ
    যদি দু’টি সেটের মধ্যে কোন সাধারণ উপাদান না থাকে, তাহলে সেট দু’টিকে বিচ্ছেদ সেট বা সংযোগহীন সেট বলা হয় । দু’টি সেটের বিচ্ছেদ সেট হল ফাঁকা সেট ।
    যেমন যদি A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {5, 6, 7} হয় তাহলে,
    A ⋂ B = { } হল বিচ্ছেদ সেট।

    সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

    সেট তত্ত্ব Set Theoryপ্রশ্নমালা- 1
    সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেটCLICK HERE
    উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেটCLICK HERE
    ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহCLICK HERE
    বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)CLICK HERE
    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)CLICK HERE
    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)CLICK HERE
    দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)CLICK HERE

    Q No – 01 (xi) – (xiii)

    (xi) পূরক সেট্ঃ
    যদি A সেট সার্বিক সেট U এর একটি উপসেট হয় তবে A এর উপাদানগুলো বাদে সার্বিক সেটের অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এর পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে A’ বা A° বা Ac দ্বারা সূচিত করা হয়।
    Ac = U – A = { x | x ∈ U ∧ x ∉ A }
    যেমন U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} এবং A = {a, d, e} হলে
    Ac = U – A = { x | x ∈ U ∧ x ∉ A }
    = {b, c, f, g, h, i}

    (xii) দুটি সেটের অন্তরঃ
    কোনো একটি সেট থেকে অপর একটি সেট বাদ দিলে তাকে সেটের অন্তর বলে।
    A ও B দুটি সেট হলে A\B হলো সেটের অন্তর ।
    উদাহরণঃ
    A = {a, s, d, f, g, h } এবং B = {a, g, p, f, t} হলে
    A/B = A – B = {a, s, d, f, g, h } – {a, g, p, f, t} = {s, d, h}

    (xiii) সূচক সেট্ঃ
    যে সেটের পদগুলো একটি প্রদত্ত সেটের উপসেট, তাকে প্রদত্ত সেটের সূচক সেট বলে। সূচক সেটকে P(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। প্রতীকের সাহায্যে লেখা যায়- P(A) = { X : X ⊆ A}
    যদি A = {a, b, c} হয়, তবে A সেটের উপসেটগুলো হয় =  {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, {}
    সুতরাং A সেটের সূচক সেট হল = P(A) = { {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, { } }

    Q No – 02 (i),(ii)

    2. পার্থক্য নিরূপণ করোঃ
    (i) শূন্য সেট্ ও সার্বিক সেটের মধ্যে
    Ans: (i) নির্দিষ্ট নিয়ম বা ধর্মের ওপর ভিত্তি করে সংজ্ঞাত কোনও সেটের যদি একটিও পদ না থাকে তবে ঐ সেটকে শূন্য সেট বলে । সেট সম্পর্কিত আলোচনায় কোনও বিশেষ সংজ্ঞাধীনে আলোচ্য সেটগুলো অন্য একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটের উপসেট হিসাবে ধরা হয় । ঐ নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটটিকে আলোচ্য সেটগুলির  সার্বিক সেট বলে।
    (ii) শূন্য সেটে কোনো পদ থাকে না কিন্তু সার্বিক সেটে কমপক্ষে একটি পদ থাকবেই।
    (iii) শূন্য সেট যেকোনো সেটের সাবসেট কিন্তু সার্বিক সেট যেকোনো সেটের সাবসেট নয়।
    (iv) শূন্য সেটকে  ϕ অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয় এবং সার্বিক সেটকে U দ্বারা নির্দেশ করা হয় ৷

    (ii) উপসেট্ ও প্রকৃত উপসেটের মধ্যে
    (i) যদি কোন একটি সেটের সবগুলো উপাদান অন্য আরেকটি সেটে থাকে তাহলে দ্বিতীয় সেটটিকে প্রথম সেটটির উপসেট বলে।
    যদি একটি  সেটের প্রত্যেক উপাদান যদি অপর একটি সেটে থাকে এবং অপর সেটে অন্তত একটি উপাদান থাকে যা প্রথম সেটে নেই, তবে দ্বিতীয় সেটটিকে প্রথম সেটের প্রকৃত উপসেট বলে।
    (ii) প্রকাশ পদ্ধতিঃ উপসেটকে B ⊆ A আকারে প্রকাশ করা হয় কিন্তু প্রকৃত উপসেটকে B ⊂ A আকারে প্রকাশ করা হয়।

    Q No – 02 (iii),(iv)

    (iii) দুটি সেটের যোগ ও ছেদের মধ্যে
    (i) যদি A ও B দুটি প্রদত্ত সেট হয় এবং অপর একটি সেট যদি এমনভাবে গঠিত হয় যে, যার পদসমূহ প্রদত্ত সেট A অথবা B অথবা A ও B উভয়েরই পদ হয় তবে ঐ সেটটিকে A ও B এর যোগ বলা হয় এবং এই সেটটিকে A ∪ B আকারে প্রকাশ করা হয়।
    A ও B দুটি প্রদত্ত সেটের সাধারণ পদসমূহ দ্বারা গঠিত সেটকে A ও B এর ছেদ বলা হয় এবং এই সেটটিকে A ⋂ B আকারে প্রকাশ করা হয়।
    (ii) U, A-এর একটি সার্বিক সেট হলে, A ∪ U = U হয় কিন্তু A ⋂ U = A হয় ।
    (ii) A ও B দুটি প্রদত্ত সেটের মধ্যে একটি অশূন্য সেট হলে A ∪ U কক্ষনই শুন্য সেট হবে না, কিন্তু A ⋂ U শুন্য সেট হবে।

    (iv) দুটি সেটের যোগ ও অন্তরের মধ্যে
    যদি A ও B দুটি প্রদত্ত সেট হয় এবং অপর একটি সেট যদি এমনভাবে গঠিত হয় যে, যার পদসমূহ প্রদত্ত সেট A অথবা B অথবা A ও B উভয়েরই পদ হয় তবে ঐ সেটটিকে A ও B এর যোগ বলা হয় এবং এই সেটটিকে A ∪ B আকারে প্রকাশ করা হয়।
    কোনো একটি সেট থেকে অপর একটি সেট বাদ দিলে তাকে সেটের অন্তর বলে। A ও B দুটি সেট হলে A\B হলো সেটের অন্তর ।

    Q No – 02 (v), 3, 4

    (v) সার্বিক সেট্ ও পূরক সেট্
    (i) সেট সম্পর্কিত আলোচনায় কোনও বিশেষ সংজ্ঞাধীনে আলোচ্য সেটগুলো অন্য একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটের উপসেট হিসাবে ধরা হয় । ঐ নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটটিকে আলোচ্য সেটগুলির  সার্বিক সেট বলে।
    যদি A সেট সার্বিক সেট U এর একটি উপসেট হয় তবে A এর উপাদানগুলো বাদে সার্বিক সেটের অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এর পূরক সেট বলে।
    (ii) সার্বিক সেটকে U দ্বারা নির্দেশ করা হয় , A এর পূরক সেটকে A’ বা Ac বা Ac দ্বারা সূচিত করা হয়।
    (iii) Ac = U – A হয়, কিন্তু Uc = ϕ হয়।

    3. প্রমাণ করো যে, প্রত্যেক সেট্ তার নিজের উপসেট্।
    প্রমাণ: ধরি, A যে-কোনো একটি সেট্।
    প্রমাণ করতে হবে যে, A ∈ A।
    যদি সম্ভব হয়, মনে করি, A ∉ A I
    সুতরাং, A সেটে কমপক্ষে একটি পদ আছে, যা A সেটের পদ নয়।
    ইহা সম্ভব নয়।
    অতএব, A ∈ A (প্রমাণিত)। 

    4. দেখাও যে, শূন্য সেট্ সব সেটের উপসেট্।
    প্রমাণ: ধরি, A যে-কোনো একটি সেট্।
    প্রমাণ করতে হবে যে, ϕ ∈ A – – [যেখানে ϕ হল শূন্য সেট।]
    যদি সম্ভব হয়, মনে করি, ϕ ∉ A
    স্পষ্টতই, ϕ, A সেটের উপসেট নয় বলে ϕ সেটে কমপক্ষে একটি পদ আছে, যা A সেটের পদ নয়;
    কিন্তু সংজ্ঞানুযায়ী ϕ সেটে কোনো পদ নেই।
    সুতরাং, ϕ ∉ A এটি সত্য হতে পারে না।
    অতএব, ϕ ∉ A (প্রমাণিত)।

    Q No – 05 (i)

    5. সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
    (i) সূচক সেট্ 

    সূচক সেট্ঃ
    যে সেটের পদগুলো একটি প্রদত্ত সেটের উপসেট, তাকে প্রদত্ত সেটের সূচক সেট বলে। সূচক সেটকে P(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। প্রতীকের সাহায্যে লেখা যায়- P(A) = { X : X ⊆ A}
    যদি A = {a, b, c} হয়, তবে A সেটের উপসেটগুলো হয় =  {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, {}
    সুতরাং A সেটের সূচক সেট হল = P(A) = { {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, { } }

    Q No – 05 (ii)

    5. সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
    (ii) ভেন্ চিত্র

    ভেন্ চিত্রঃ
    কোনো সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে যে জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করা হয় তাকে ভেন-অয়লার বা ভেনচিত্র বলে। বিভিন্ন আকারের সীমাবদ্ধ সামতলিক ক্ষেত্র যেমন : আয়তকার ক্ষেত্র, বৃত্তাকার ক্ষেত্র ইত্যাদি ক্ষেত্র দ্বারা ভেনচিত্রে সেট প্রকাশ করা হয়।
    সেট ও সেটের বিভিন্ন প্রক্রিয়াসমূহ চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপনের কৌশল প্রথম উদ্ভাবন করেন অয়লার। পরবর্তীকালে ইংরেজ গণিতবিদ জন ভেন এর প্রভুত বিকাশ ঘটান। যেহেতু অয়লার ও ভেন এই চিত্রের উদ্ভাবন করেন তাই তাদের নামানুসারে এই চিত্রের নামকরন করা হয় ভেন-অয়লার চিত্র বা সংক্ষেপে ভেনচিত্র।
    ভেনচিত্রে প্রত্যেকটি সেটকে সমতল ক্ষেত্র হিসাবে বিবেচনা করা হয় যাদের প্রত্যেকটি ক্ষেত্র বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ। সাধারনত  সাবসেটকে বুঝাতে বৃত্তাকার ও সার্বিক সেটকে বুঝাতে আয়তাকার বা বর্গাকার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়।
    বোঝানোর সুবিধার জন্য অনেক সময় সার্বিক সেট বা তার উপসেটসমূহকে বিভিন্নভাবে রেখাঙ্কিত করে বোঝানো হয়।

    Q No – 05 (iii)

    5. সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
    (iii) দ্বিত্ব নীতি

    দ্বিত্ব নীতিঃ
    সেট সমূহের যোগ (∪) ও ছেদ (⋂) প্রক্রিয়া দুটি দ্বিত নীতি মেনে চলে। এই নীতি অনুযায়ী যদি যোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুটির কোনও একটি সম্পর্ক অভেদ হয়, তবে যোগের জায়গায় ছেদ ও ছেদের জায়গায় যোগ লিখে প্রাপ্ত দ্বৈত সম্পর্কটিও অভেদ হবে।
    উদাহরণস্বরূপঃ A U (B⋂C) = (AUB) ⋂ (AUC) অভেদের দ্বৈত অভেদ হয়, A ⋂ (BUC) = (A⋂B) U(A⋂C)
    আবার যোগ্ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুটির কোন অভেদের সাথে দুটি সার্বিক সেট U ও শূন্য সেট ϕ থাকে তবে U ও ⋂ এবং  U ও ϕ পরস্পর পরিবর্তন করে দ্বৈত অভেদ পাওয়া যায়। 
    বিপরীতক্রমে, (A⋂ϕ) U (U⋂A) = A অভেদের দ্বৈত অভেদ হয়, (AUU) ⋂ (ϕUA) = A

    Download our App Madhyamik Prostuti

    Q No – 06, 07

    6. যদি A = { a, b, c } হয়, তবে
    (i) A-এর উপসেট্সমূহ এবং
    (ii) A-এর যথার্থ উপসেট্সমূহ লেখো।
    Ans:
    (i) A-এর উপসেট্‌সমূহ হল
    = ϕ,  { a },  { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { c, a }, { a, b, c } ;

    (ii) A-এর যথার্থ উপসেটসমূহ হল
    = ϕ,  { a },  { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { c, a } ;

    7. একটি সেট্ A-এর সূচক সেটের সংজ্ঞা দাও। A = { {1}, {2, 3} } সেটের সূচক সেট্‌টি লেখো।
    অনুচ্ছেদ 1.5
    Ans:
    A-এর সূচক সেট
    p(A) = { ϕ, { {1} }, { {2, 3} }, { {1}, {2, 3} } }

    Q No – 08

    8. A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 5, 8}, C = { 3, 4, 5, 6, 7} হলে,
    (i) A ∪ B
    (ii) B ∩ C
    (iii) A ∪ (B ∪ C)
    (iv) A ∪ (B ∩ C) নির্ণয় করো।
    Ans:
    (i) A ∪ B = { 1, 2, 3, 4} ∪  { 2, 4, 5, 8}
    = { 1, 2, 3, 4, 5, 8}

    (ii) B ∩ C = { 2, 4, 5, 8} ∩ { 3, 4, 5, 6, 7}
    = {4, 5}

    (iii) B ∪ C = { 2, 4, 5, 8} ∪ { 3, 4, 5, 6, 7}
    = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
    ∴ A ∪ (B ∪ C) = { 1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
    = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

    (iv) B ∩ C = { 2, 4, 5, 8} ∩ { 3, 4, 5, 6, 7}
    = { 4, 5}
    ∴ A ∪ (B ∩ C)= { 1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5}
    = {1, 2, 3, 4, 5}

    Q No – 09, 10

    9. P = { a, b, c, d, e}এবং Q = { a, e, i, o, u} হলে প্রমাণ করো যে,
    (i) P ⊂ P ∪ Q    
    (ii) P ∩ Q ⊂ P
    Ans:
    (i) P ∪ Q =  { a, b, c, d, e} ∪ { a, e, i, o, u}
    = { a, b, c, d, e, i, o, u}
    ∴ P ⊂ P ∪ Q

    (ii) P ∩ Q = { a, b, c, d, e} ∩ { a, e, i, o, u}
    = { a, e}
    ∴ P ∩ Q ⊂ P

    10.A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে প্রমাণ করো যে, A ⊆ C।
    Ans:
    A ⊆ B
    ∴ x ∈ A ⇒x ∈ B …….(i)
    আবার B ⊆ C
    ∴ x ∈ B ⇒ x ∈ C …….(ii)
    (i) এবং (ii) থেকে পাই
    x ∈ A ⇒ x ∈ C
    ∴ A ⊆ C

    Q No – 11, 12

    11.A ∪ B = B হলে দেখাও যে, A ⊆ B।
    Ans:  
    ধরি, x ∈ A
    ∴x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ B [∵ A ∪ B = B] 
    x ∈ A ⇒ x ∈ B
    ∴A ⊆ B

    12. A ⊆ B হলে দেখাও যে, A – B = ϕ।
    Ans:
    ∵ A ⊆ B
    ∴ ∀x ∈  A ⇒ x ∈ B
    অতএব x সেটে এমন কোনো পদ নেই যা B সেটে নেই।
    ∵ A – B = ϕ (Proved)

    Q No – 13, 14

    13. যে-কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, A ∪ B = A ∩ B হলে দেখাও যে, A = B
    Ans: 
    ধরি, x ∈ A
    ∴ x ∈  A ∪ B => x ∈  A ∩ B… [∵ A ∪ B = A ∩ B]
    ∴ x ∈  A এবং x ∈ B => x ∈  B x ∈  A ⇒ x ∈ B
    ∴   A ⊆ B
    একইভাবে প্রমাণ করা যায়
    B ⊆ A
    ∵ A ⊆ B এবং  B ⊆ A
    ∴ A = B

    14.(i) সেট্ প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, 3 + 4 = 7
    Ans:  ধরি, A = {a, b, c} এবং B = {1, 2, 3, 4} ∴ n(A) = 3 এবং n(B) = 4A ∪ B ={a, b, c, 1, 2, 3, 4} এবং n(A ∩ B) = ϕ∴ n(A ∪ B) = 7 এবং n(A ∩ B) = 0n(A ∪ B) = 7=> n(A) + n(A) – n(A ∩ B) = 7=> 3 + 4 – 0 = 7=> 3 + 4  = 7 (Proved)

    14.(ii)রস্‌টার পদ্ধতিতে প্রকাশ করো: A = { (x, y): ( x, y)  হল y = x সরলরেখা এবং y = ex বক্রের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক}

    PREVIOUS
    HOME
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights