অন্তরকলজের ব্যাখ্যা

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1-CLICK HERE

3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)

(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$

4. দোলকের দৈর্ঘ্য l ও দোলনকাল T যদি T=2л√^l/_g সূত্র দ্বারা আবদ্ধ হয় এবং g দৈর্ঘ্যের ত্রুটি 1% হলে, দোলনকালের ত্রুটি নির্ণয় করো।
Solution:

$$\large{T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}\\⇒\frac{dT}{dl}=\frac{2π}{\sqrt g}.{\frac{1}{2\sqrt l}}\\⇒dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}.Δl\\ \quad ∵\quad\frac{Δl}{l}×100=1\\⇒\quadΔl=0.01l \\∴dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}×0.01l\\⇒dT=2π\sqrt{\frac{l}{g}}×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×0.005\\⇒\frac{dT}{T}=0.005\\∴\left(\frac{dT}{T}×100\right)\%=0.5\%}$$Ans: দোলনকালের ত্রুটি 0.5%

5. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। যদি ব্যাসার্ধের পরিমাপে সম্ভাব্য ত্রুটির মান 0.05 সেমি হয়, তবে গোলকের আয়তনের পরিমাপে ত্রুটি, আপেক্ষিক ও শতকরা ত্রুটির মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি,গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
এখানে, r = 20 সেমি এবং Δr = 0.05 সেমি
গোলকের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = 4πr²
⇒ dV = 4πr² × Δr
⇒ dV = 4π×(20)² ×0.05
⇒ dV = 4π×400×⁵/₁₀₀
⇒ dV = 80π
Ans: আয়তনের পরিমাপে ত্রুটির মান 80π
∴ ^dV/_V = ^80π/_{⁴/₃ π(20)³}
⇒ ^dV/_V = ^80×3/_4×8000
⇒ ^dV/_V = ³/₄₀₀
⇒ ^dV/_V = 0.0075
Ans: আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান 0.0075
∴ ^dV/_V × 100 = 0.0075×100
= 0.75
Ans: আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির মান 0.75

6. দেখাও যে, কোনো ঘনকের আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান তার বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির প্রায় তিনগুণ।

Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
ঘনকের আয়তন V হলে,
V = a³
∴ ^dV/_da = 3a²
⇒ dV = ^dV/_da .da
⇒ dV = 3a².da
⇒ dV = 3a² × a × ^da/_a
⇒ dV = 3a³ × ^da/_a
∴ ^dV/_V = ¹/_V × 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = ¹/_3a³× 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = 3 ^da/_a
∴ আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি = 3× বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি (Proved)

7. একটি বেলুনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ব্যাসার্ধ মাপতে গিয়ে যদি 0.01 সেমি ত্রুটি হয়, তবে বেলুনের আয়তন নির্ণয় করতে গিয়ে কত ত্রুটি হবে নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, বেলুনের ব্যাসার্ধ r;
এখানে, r = 7 সেমি এবং Δr = 0.01 সেমি
বেলুনের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = ⁴/₃ π.3.r²
⇒ ^dV/_dr = 4πr²
∴ ΔV = ^dV/_dr.Δr
⇒ ΔV = 4πr².Δr
⇒ ΔV = 4π7².0.01 – – – – [r = 7]
⇒ ΔV = 4×²²/₇×7²×¹/₁₀₀
⇒ ΔV = 6.16
Ans: বেলুনের আয়তন নির্ণয়ে ত্রুটি 6.16 বর্গসেমি ।

8. একটি ওলটানো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির জলাধারের উচ্চতা 24 ইঞ্চি ও ভূমির ব্যাস 12 ইঞ্চি। জলাধারে প্রতি মিনিটে 100 ঘনইঞ্চি জল ঢালা হয়। যখন জলাধারে জলের উচ্চতা 10 ইঞ্চি তখন জলতলের উচ্চতা কী হারে বৃদ্ধি পায়?

Solution:
ধরি, t সময়ে জলাধারে সঞ্চিত জলের আয়তন V;
জলের উপরিতলের ব্যাসার্ধ r এবং জলের গভীরতা h হলে,
সঞ্চিত জলের আয়তন
V = ¹/₃πr²h
এখানে,
OB = 24 ইঞ্চি ; OA =6 ইঞ্চি, OB= 24 ইঞ্চি;
t সময়ে CD = r; জলের গভীরতা CB = h
স্পষ্টতই, △AOB এবং △DCB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{OA}{CD}=\frac{OB}{CB}\\⇒\frac{6}{r}=\frac{24}{h}\\⇒\frac{1}{r}=\frac{4}{h}\\⇒r=\frac{h}{4}\\\therefore V=\frac{1}{3}.π.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h\\⇒ V=\frac{1}{3}.π.\frac{h}{16}^3\\⇒ \frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}.π.3.\frac{h}{16}^2.\frac{dh}{dt}\\ ⇒\frac{dV}{dt}=π.\frac{h}{16}^2\frac{dh}{dt}\\ \quad\quad\frac{dV}{dt}= 10;\quad h=10 \\100=\frac{π}{16}10^2\frac{dh}{dt}\\⇒ \frac{dh}{dt}=\frac{16}{π}\\}$$Ans: জলতলের উচ্চতা 16/π ইঞ্চি/মিনিট হারে বৃদ্ধি পায়।

9. 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি 15 ফুট উচ্চ একটি আলোকস্তম্ভের পাদদেশ থেকে ঘণ্টায় 3 মাইল বেগে সরে আসলে,
(i) তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কী হারে বৃদ্ধি পাবে?
(ii) তার ছায়ায় দূরবর্তী প্রান্ত কত বেগে গতিশীল হবে ?

(i)
Solution:
এখানে, আলোকস্তম্ভের উচ্চতা(AB) = 15 ফুট,
ব্যক্তির উচ্চতা(DE) = 6 ফুট,
dx/dt = 3 মাইল/ঘন্টা,
ধরি, BE = x, ছায়ার দৈর্ঘ্য(EC) = y,
স্পষ্টতই, △ABC এবং △DEC সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\\⇒\frac{15}{6}=\frac{x+y}{y}\\⇒\frac{5}{2}=\frac{x+y}{y}\\⇒5y=2(x+y)\\⇒3y=2x\\ ⇒3\frac{dy}{dt}=2\frac{dx}{dt}\\⇒3\frac{dy}{dt}=2.3\\⇒\frac{dy}{dt}=2}$$

Ans: ব্যক্তিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ঘন্টায় 2 মাইল বেগে বাড়বে।
(ii)
Solution:
d(x+y) = dy/dt + dx/dt
= 3 + 2 =5
Ans: ছায়ার দূরবর্তী প্রান্তের বেগ ঘন্টায় 5 মাইল বেগে গতিশীল হবে।

10.কোনো জলাধারের তলদেশ 3 ফুট বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। যদি জলাধারে জলের উচ্চতা প্রতি মিনিটে 1 ফুট বৃদ্ধি পায়, তবে তাতে কী হারে জল ঢালা হচ্ছিল?

Solution:
ধরি, জলাধারটির বাহুর দৈর্ঘ্য a ফুট এবং উচ্চতা h ফুট
∴ জলাধারটির আয়তন V = a²h
এখানে a = 3 ফুট, ^dV/_dt = a²
^dh/_dt = 1 ফুট/মিনিট
∵ V = a²h
⇒ ^dV/_dt = a².^dh/_dt
⇒^dV/_dt = 3²×1
⇒ ^dV/_dt = 9
Ans: 9 ঘনফুট/মিনিট হারে জল ঢালা হচ্ছিল।

11. প্রতি মিনিটে 3 ঘনফুট হারে বালি ফেলে ভূমি সমতলে একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হয়, যার উচ্চতা ভূমির ব্যাসার্ধের অর্ধেক। যখন ভূমির ব্যাসার্ধ 4 ফুট, তখন কী হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে?

Solution:
ধরা যাক,লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
এখানে ^dV/_dt = 3 ঘনফুট/মিনিট
এবং h = ^r/₂
বা, r = 2h
শঙ্কুর আয়তন হলে,
V = ¹/₃ πr²h
বা, V = ¹/₃ π(2h)²h
= ⁴/₃ πh³
∴ ^dV/_dt = ⁴/₃ π.3.h²
⇒ ^dV/_dt = 4πh² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(^r/₂)h² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(⁴/₂)² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π.4 ^dh/_dt
⇒ ^dh/_dt = ³/_16π
Ans: প্রতি মিনিটে ³/_16π ফুট হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে

12. 26 ফুট দীর্ঘ একটি মই উল্লম্ব দেওয়ালের গায়ে হেলানো অবস্থায় আছে। দেওয়াল থেকে মইটির নিম্নপ্রান্তের অনুভূমিক দূরত্ব 10 ফুট। যদি মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেন্ডে 10 ইঞ্চি বেগে নামতে থাকে, তবে তার নিম্নপ্রান্ত ভূমির ওপর কত বেগে গতিশীল হবে? মইটির প্রবণতা যে হারে পরিবর্তিত হয় তাও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, AB = x এবং BC = y
মইটির উচ্চতা(AC) = 26 ফুট = 26×12 ইঞ্চি
t সময়ে মইটি অনুভূমিক মেঝের সঙ্গে θ কোণ করে থাকলে,
প্রবণতা(m) = tanθ = ^x/_y
এখানে ^dx/_dt = 10 ইঞ্চি/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² + y² = (26×12)²
⇒ 2x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
y = BC = 10 ফুট = 10×12 ইঞ্চি হলে,
x² + y² = (26×12)² থেকে পাই,
x² + (10×12)² = (26×12)²
বা, x² = (26×12)² – (10×12)²
বা, x² = 12²(26² – 10²)
বা, x² = 12²(26 + 10)(26 – 10)
বা, x² = 12² × 36 × 16
বা, x = 12 × 6 × 4
∴ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^{12 × 6 × 4}/_{12 × 10}×(-10)
= 24
Ans: মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেণ্ডে 24 ইঞ্চি বা 2 ফুট বেগে গতিশীল।
দ্বিতীয় অংশঃ প্রবণতা পরিবর্তনের হার-
m = tanθ = ^x/_y

$$\large{\therefore\frac{dm}{dt}=\frac{y.\frac{dx}{dt}-x.\frac{dy}{dt}}{y^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{10.\frac{-10}{12}-2.24}{(10)^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-\frac{50}{6}-48}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{\frac{-50-288}{6}}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-338}{6.100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-169}{300}}$$Ans: প্রবণতা পরিবর্তনের হার, সেকেন্ডে 169/300 ফুট প্রতি সেকেন্ড

13. ভূমি সমতলে পর্যবেক্ষক থেকে 50 ফুট দূরে একটি বেলুন সেকেন্ডে 6 ফুট বেগে উল্লম্বভাবে ওপরদিকে ওঠে। যখন ভূমি থেকে বেলুনের উচ্চতা 120 ফুট তখন সেটি কত বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়?

Solution:
ধরি, AB = x ফুট এবং AC = y ফুট
এখানে ^dx/_dt = 6 ফুট/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
y² = x² + 50²
বা, y² = 120² + 50² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = 14400 + 2500
বা, x² = 16900
বা, x = 130
বা, (120) 2 + 502=y2
বা, y = 130
আবার,
y² = x² + 50²
⇒ 2y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₁₃₀×6
⇒ ^dy/_dt = ⁷²/₁₃
Ans: বেলুনটি সেকেন্ডে ⁷²/₁₃ ফুট বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়1

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

14. একটি বাড়ি থেকে 30 ফুট দূরে ভূমিতে একটি বাতি জ্বলছিল; 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি বাতির কাছ থেকে প্রতি সেকেন্ডে 5 ফুট বেগে বাড়ির দিকে হাঁটতে থাকে। বাড়ি থেকে যখন তার দূরত্ব 15 ফুট, তখন কী হারে দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কমতে থাকবে?

Solution:
ধরি, DE ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং ব্যক্তিটির উচ্চতা(BC) = 6 ফুট ;
চিত্রে AE = 30 ফুট, CE=15 ফুট, AC = x ফুট (ধরি,)
^dx/_dt = 5 ফুট/সেকেন্ড;
স্পষ্টতই, △AED এবং △ACB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}\\⇒\frac{y}{6}=\frac{30}{x}\\⇒xy= 180\\⇒ x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0\\⇒15.\frac{dy}{dt}+12.\frac{dx}{dt}=0 —(x=15 হলে,y=12)\\⇒ 15.\frac{dy}{dt}+12.5=0\\⇒\frac{dy}{dt}=-\frac{60}{15}=-4}$$Ans: দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সেকেন্ডে 4 ফুট হারে কমতে থাকবে।

15. একজন বালক একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছিল। ঘুড়িটির উচ্চতা যখন 160 ফুট তখন বালকটি থেকে ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য 200 ফুট (সুতোটি একটি সরলরেখায় আছে ধরে নাও) বালকটি থেকে অনুভূমিক তলের সমান্তরালভাবে ঘুড়িটি ঘণ্টায় 5 মাইল বেগে উড়তে থাকলে বালকটি কী হারে সুতো ছাড়ছিল?

Solution:
ধরি, ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য(AC) = y ফুট এবং BC = x ফুট
এখানে AB = 160 ফুট;
^dy/_dt = 5 মাইল/ঘণ্টা
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² +160² = y²
বা, x² +160² = 200²
বা, x² = 200² -160² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = (200 + 160)(200 + 160)
বা, x² = 360×40
বা, x = 6×20 = 120
∵ x² +160² = y²
⇒ 2x×^dx/_dt = 2y×^dy/_dt
⇒ x^dx/_dt = y^dy/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = 3
Ans: বালকটি 3মাইল/ঘণ্টা বেগে সুতো ছাড়ছিল।

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

16. অক্ষটিকে উল্লম্ব অবস্থায় রাখা একটি শঙ্কু আকৃতির পাত্র থেকে প্রতি মিনিটে 8৪৪ ঘনমিটার জল সমহারে পাম্প করে ফেলা হচ্ছে। যদি শঙ্কুর অর্ধ-শীর্ষকোণ 45° হয়, তবে যখন জলের গভীরতা 2 মিটার, তখন জলতল অবনমনের হার বের করো।

Solution:
সমকোণী △ABC-এর ∠BAC= 45°
ধরি শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং উচ্চতা hমিটার
∵ ∠BAC= 45°
∴ h = r
শঙ্কুর আয়তন V হলে,
V = ¹/₃ πr²h = ¹/₃ πr³ – – – [∵ h = r]
⇒ ^dV/_dr = ¹/₃×π×3r²
⇒ dv = πr² dr
⇒ 88 = π×2²×dr
⇒ 88 = ²²/₇×4×dr
⇒ dr = 7
Ans: জলতল অবনমনের হার 7 মিটার

17. একটি বৃত্তাকার কালির ফোঁটা সেকেন্ডে 2 বর্গসেমি হারে বড়ো হয়; 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ক্ষেত্রফল S = πr²
প্রশ্নানুসারে,
πr² = 2 × 2⁶/₁₁
বা, ²²/₇ r² = 2 × ²⁸/₁₁
বা, r² = ^4×7×7/_11×11
বা, r = ^2×7/₁₁ = ¹⁴/₁₁
এখানে, ^dS/_dt = 2
∵ S = πr²
⇒ ^dS/_dt = 2πr^dr/_dt
⇒ 2 = 2×²²/₇×¹⁴/₁₁×^dr/_dt
⇒ 1 = 4×^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ¹/₄ = 0.25
Ans: ব্যাসার্ধ সেকেন্ডে 0.25 সেমি বৃদ্ধি পায়।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

18. স্থির হ্রদে একটি পাথর ফেলা হয় এবং ঢেউগুলি সেকেন্ডে 4 সেমি হারে বৃত্তাকারে গতিশীল হয়। যে সময়ে বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বৃদ্ধি পায়?

Solution:
ধরি বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার ঢেউ-এর ক্ষেত্রফল S = πr²
এখানে, ^dr/_dt = 4
∵ S = πr²
∴ ^dS/_dt = 2πr.^dr/_dt
=2π×10×4
= 80π
Ans: 80 বর্গসেমি হারে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়।

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

19. দুটি রাস্তা AB ও BC পরস্পর B বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার। একজন ব্যক্তি A বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 4 মিটার বেগে B অভিমুখে সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে এবং ওই সময়ে B বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 8 মিটার বেগে অপর এক ব্যক্তি BC রাস্তায় সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে। যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কী হারে পরিবর্তিত হয়?

Solution:
এখানে, ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার।
ধরি, t সেকেন্ড পর তারা D ও E বিন্দুতে পৌছয়।
প্রথম ব্যক্তি A বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 4t মিটার এবং
দ্বিতীয় ব্যক্তি B বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 8t মিটার।
অাসে।
∴ BD = 28 – 4t এবং BE = 8t মিটার এবং DE = x (ধরি)

$$\large{\quad cos60°=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒\frac{1}{2}=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒(28-4t).8t=(28-4t)^2+(8t)^2-x^2\\⇒x^2=(28-4t)^2+64t^2+32t^2-224t\\⇒x^2=(28-4t)^2+96t^2-224t\\\therefore 2x\frac{dx}{dt}=2(28-4t)(-4)+192t-224\\⇒x\frac{dx}{dt}=-112+16t+96t-112\\⇒x\frac{dx}{dt}=112t-224\\⇒\frac{dx}{dt}=\frac{112t-224}{\sqrt{(28-4t)^2+96t^2-224t}}\\\therefore\left[\frac{dx}{dt}\right]_{t=3}=\frac{112×3-224}{\sqrt{(28-4×3)^2+96×3^2-224×3}}\\\quad\quad=\frac{336-224}{\sqrt{286+864-672}}\\\quad\quad=\frac{112}{\sqrt{448}}\\\quad\quad=\frac{16×\sqrt7×\sqrt7}{8\sqrt{7}}\\ \quad\quad=2\sqrt7}$$Ans: যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√7 হারে পরিবর্তিত হবে।

20. কোনো গ্যালভানোমিটারে C = ktanθ সমীকরণের সাহায্যে তড়িৎপ্রবাহ C-এর পরিমাণ নির্ণয় করা হয় (k একটি ধ্রুবক) θ = 45°-তে θ-এর পরিমাপে 0.7% ত্রুটির জন্য অনুরূপ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি নির্ণয় করো।

Solution:
C = ktanθ
∴ ^dC/_dθ = ksec²θ
এখানে, ^△θ/_θ × 100 = 0.7
বা, △θ = ^0.7θ/₁₀₀
∴ △C = ^dC/_dθ × △θ
= ksec²θ × ^0.7θ/₁₀₀

$$\large{=\frac{△C}{C}×100\\=\frac{\frac{ksec^2θ ×0.7θ}{100}}{ktanθ}×100\\= \frac{ksec^2θ ×7θ}{ktanθ×10×100}×100\\= \frac{sec^2θ ×7θ}{tanθ×10}\\= \frac{sec^245° ×7×\frac{π}{4}}{tan45°×10}\\= \frac{(\sqrt{2})^2×7×\frac{22}{7×4}}{1×10}\\= \frac{2×7×22}{7×4×10}\\= \frac{11}{10}=1.1}$$ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি শতকরা 1.1 Ans

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

21. ভূমি সমতল থেকে ⅔ কিমি উচ্চতায় একটি উড়োজাহাজ ঘণ্টায় 15 কিমি বেগে অনুভূমিক দিকে গতিশীল। ভূমির ওপর অবস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি কী হারে দূরে সরে যায় (প্রদত্ত, 2 মিনিট আগে উড়োজাহাজটি ওই স্থির বিন্দুর ওপর দিয়ে গিয়েছিল)?

Solution:
2 মিনিটে উড়োজাহাজটি যায়
= 15 × 2/60 কিমি
= ½ কিমি।
চিত্রে AC = ⅔ কিমি;
CB = x কিমি এবং AB = y কিমি হলে
x² = y² + (⅔)²
⇒ 2x ^dx/_dt = 2y ^dy/_dt
⇒ x ^dx/_dt = y. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = ^y/_x. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = y/x × 15 – – – [∵ ^dy/_dt = 15]
y= ½, x = ⅚ হলে
^dx/_dt = ^½/_⅚ × 15
⇒ ^dx/_dt = ⅗ × 15
= 9
Ans: স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি প্রতি ঘন্টায় 9 কিমি দূরে সরে যায়।