অধিসেট

সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট
সেটতত্ত্ব সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট

সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট

সার্বিক সেট (Universal Set)
সেটের সূত্র
সেটের সূত্র

সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট

প্রকৃত বা যথার্থ উপসেট ও অধিসেট
(Proper Subset and Superset)ঃ

যদি দুটি সেট A ও B এমন হয় যে, B সেটের প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ হয় (B ⊆ A) কিন্তু A সেটে কমপক্ষে এমন একটি পদ থাকে যা B সেটের অন্তর্গত নয় (A ≠ B) তাহলে B সেটকে A সেটের যথার্থ উপসেট এবং A সেটকে B সেটের অধিসেট বলা হয়।
B সেট A সেটের যথার্থ উপসেট অথবা A সেট B সেটের অধিসেট বক্তব্যটি A ⊃ B অথবা B ⊂ A আকারে প্রকাশ করা হয়। উদাহরন,
A = {a, s, d, f, g, h } এবং B = {a, d, h, g, f } দুটি সেট।
এখানে B সেটের প্রতিটি পদই A সেটের পদ কিন্তু A সেটের s পদটি B সেটের অন্তর্গত নয়।
সুতরাং B সেট A সেটের যথার্থ উপসেট (B ⊂ A)।
A সেট B সেটের অধিসেট (B ⊂ A)।
A = {a, b, c}, এবং B = {d, c, b, a, c} দুটি সেট। A সেটটি B সেটের একটি প্রকৃত উপসেট অর্থাৎ A⊂ B

উদাহরণঃ
সেট প্রতীকসমূহের সাহায্যে নিচের বিবৃতিগুলো লেখোঃ-
1. E সেট F সেটের অধিসেট ।
Ans: F ⊂ E

2. G এবং H পরস্পর বিচ্ছেদ সেট।
Ans: G ∩ H = φ ; যেখানে φ হলো শূন্য সেট।

সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট

সমান সেট (Equal Set)

দুইটি সেটের উপাদান একই হলে সেট দুইটিকে সমান সেট বলা হয় এবং = চিহ্ন দিয়ে সমতা বোঝানো হয়। উদাহরণ: A = {a, b, c}, এবং B = {a, c, b} দুটি সেট। এখানে A ও B সেট দুটি সমান সেট। এদের A = B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সার্বিক সেট (Universal Set)

সেটের আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে এর উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে সাধারণত U প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ: কোনো বিদ্যালয়ের সকল শিক্ষার্থীর সেট হলো সার্বিক সেট।

সেট তত্ত্ব Set Theory	প্রশ্নমালা- 1
সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট	CLICK HERE
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট	CLICK HERE
ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ	CLICK HERE
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)	CLICK HERE
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)	CLICK HERE
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)	CLICK HERE
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)	CLICK HERE

সূচক সেট (Power Set)

যে সেটের পদসমূহ একটি প্রদত্ত সেটের (A) উপসেট, তাকে প্রদত্ত সেটের সূচক সেট বলা হয় এবং একে P(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
P(A) = {X : X ⊆ A}
যদি A = {a, s, d} হয়, তবে A সেটের উপসেটসমূহ হবে –
{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}
সুতরাং A সেটের সূচক সেট = P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c} }
A সেটের পদসংখ্যা n হলে সূচক সেটের পদসংখ্যা হবে =2ⁿ
যেমন A সেটে মোট 3 টি পদ আছে।
তাই A সেটের সূচক সেটের পদসংখ্যা হবে = 2³ = 8 টি

উদাহরণঃ
3. A = {a, p, s, d} হয়, তবে A সেটের সূচক সেটের পদসংখ্যা নির্ণয় করো।
Ans: A সেটের পদসংখ্যা = 4
সুতরাং A সেটের সূচক সেটের পদসংখ্যা হবে = 2⁴ = 16 টি

ক্রমিত জোড় বা ক্রমজোড়

যদি কোনো সেটের একজোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড় আকারে প্রকাশ করা হয় তবে সেই উপাদানদ্বয়কে ক্রমজোড় বলা হয়।
দুটি ভিন্ন বা অভিন্ন উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম স্থানে এবং কোনটি দ্বিতীয় স্থানে অবস্থান করবে, তা সুনির্দিষ্ট থাকে, তবে উপাদানদ্বয়কে ক্রমিত জোড় বলা হয়। যেমন—a ও b দুটি উপাদানের মধ্যে যদি প্রথম স্থানে a এবং দ্বিতীয় স্থানে b অবস্থান করে, তবে (a, b)-কে ক্রমিত জোড় বলে।
দুটি ক্রমিত জোড় (a, b) ও (c, d) সমান হবে যদি এবং কেবল a = c এবং b = d হয়।
প্রতীকের সাহায্যে লেখা যায়,
(a, b) = (c, d) ⇒ a = c ∧ b = d

উদাহরণঃ
4. ক্রমিত জোড়ের নিয়ম অনুযায়ী x ও y-এর মান নির্ণয় করো।
(i) (2x – 4, 11) = (6, 3x – 4y) হলে, x ও y এর মান নির্ণয় করো।
Ans: এখানে, (2x – 4, 11) = (6, 3x – 4y)
সুতরাং, ক্রমিত জোড়ের ধারণা থেকে পাই,
2x – 4 = 6
বা, 2x – 4 = 6 + 4 =10
বা, x = 5
আবার,
11 = 3x – 4y
বা, 4y = 3x – 11
বা, 4y = 3. 5 – 11 = 15 – 11
বা, 4y = 4
বা, y = 1
Ans: নির্ণেয় মান: x = 5; y = 1

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

কার্তেসীয় গুণফল

দুটি সেটের প্রতিটি থেকে একটি করে উপাদান নিয়ে গঠিত সব ক্রমিত জোড়ের সেটকে কার্তেসীয় গুণফল বলে।
অর্থাৎ, যদি A ও B দুটি সেট হয়, তবে A সেটের যে-কোনো উপাদানকে প্রথম স্থানে এবং B সেটের যে-কোনো উপাদানকে দ্বিতীয় স্থানে রেখে সৃষ্ট ক্রমিত জোড়ের সেটকে A ও B-এর কার্তেসীয় গুণফল বলে।
একে A x B আকারে লেখা হয়। একে ‘A cross B’ পড়া হয়।
প্রতীকের সাহায্যে লেখা যায়,
A x B = {(c, d) : c ∈ A ∧ d ∈ B}

উদাহরণঃ
5. A = {x, y, z} এবং B = {1, 2} হলে, A ও B-এর কার্তেসীয় গুণফল এবং B ও A-এর কার্তেসীয় গুণফল নির্ণয় করো।
Ans: A x B = {x, y, z} x {1, 2} = {(x, 1) (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
B x A = {1, 2} x {x, y, z} = {(1, x) (1, y) (1, z) (2, x) (2, y) (2, z)}

কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত

(i) শূন্য সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
(ii) প্রত্যেক সেট তার নিজের উপসেট।
(iii) যদি A ⊆ B এবং B ⊆ C হয়, তবে A ⊆ C হবে।
(iv) A ⊆ B এবং B ⊆ A হলে, A =B হবে।

সেটের সূত্র

▶️ বর্গৈকসম সূত্র
A যেকোনো একটি সেট হলে
(i) A ⋃ A = A
(ii) A ⋂ A = A

▶️ বিনিময় সূত্র
A এবং B যেকোনো দুটি সেট হলে
(i) A ⋃ B = B ⋃ A
(ii) A ⋂ B = B ⋂ A
এবং AB = BA

▶️ সেটের সংযোগ সূত্র (Associative Law):
A, B, C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C
(ii) (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)

সেটের সূত্র

▶️ সেটের বণ্টন সূত্র (Distributive Law):
A,B,C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) A ⋃ ( B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
(ii) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

▶️ অভেদ সূত্র (Identity Law):
A যে-কোনো সেট এবং U সার্বিক সেট এবং ∅ শুন্য সেট হলে,
(i) A ⋃ ϕ = A
(ii) A ⋂ U = A
(iii) A ⋃ U = U
(iv) A ⋂ ϕ = ϕ

▶️ পূরক সূত্র(Complement Law):
U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ শুন্য সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
(i) A ⋃ A′ = U
(ii) A ⋂ A′ = ϕ
(iii) (A′)′ = A
(iv) U′ = ϕ
(v) ϕ′ = U

ডি মরগানের সূত্র(De Morgan’s Law) :
A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
(i) (A ⋃ B)′ = A′ ⋂ B′
(ii) (A ⋂ B)′ = A′ ⋃ B′

একাধিক সসীম সেটের যোগের পদসংখ্যা নির্ণয়ঃ
A একটি সসীম সেট হলে, A এর পদসংখ্যা n(A) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
A এবং B দুইটি সসীম সেট হলে (A⋃B) ও একটি সসীম সেট হবে।
(i) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
(ii) n(A⋃B)′ = n(S) – n(A⋃B) = n(S) – n(A) – n(B) + n(A⋂B)
(iii) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – (A⋂B) – n(B⋂C) – n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)

PREVIOUS

HOME

NEXT