দশম শ্রেণির গণিত - PROSTUTI

Complete Solution of Quadratic Equation with one variable
দ্বিঘাত সমীকরণ
Chapter-1.1

মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ উপকরণ হল বিগত বছরের প্রশ্ন। সুতরাং মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভালো ফল করার জন্য প্রত্যেক পরীক্ষার্থীর উচিত তাদের পাঠ্যক্রম (Syllabus) শেষ করে বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান করা। তাই তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সাহায্য করার জন্য Prostuti2022 এর পক্ষ থেকে বিগত বছরের অর্থাৎ 2017 – 2024 সালের গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান করে দেওয়া হল। তোমাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে যদি এটি সাহায্য কর তবে আমাদের এ প্রচেষ্টা সার্থক হবে।

Complete Solution of Quadratic Equation with one variable

Madhyamik Previous Year (2017 – 2026) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2026) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো|

2026 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2025 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2024 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2023 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2022 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2021 সালে মাধ্যমিক পরীক্ষা হয়নি।	CLICK HERE
2020 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2019 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2018 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
2017 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
বিগত বছরের মাধ্যমিক ভৌত বিজ্ঞান প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE
বিগত বছরের মাধ্যমিক English প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান	CLICK HERE

দ্বিঘাত সমীকরণ

যদি কোন বহুপদী রাশিমালায় একটি মাত্র চল অর্থাৎ x বা y বা অন্য কোনো এক্লটি মাত্র চল থাকে তবে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালা বলে।
যেমন 2x -3, 4×2 -6x + 3
আবার একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালার চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা বলে।
যেমন 4x² -6x + 3 ;
3y² +5y + -1
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা দ্বারা কোন সমীকরণ গঠন করা হলো ওই সমীকরণকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো:
ax² + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
🔅(i) বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ-
ax² + c = 0 (যেখানে a, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0)
🔅(ii) মিশ্র বা অবিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ-
ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) একটিমাত্র চল থাকবে।
(ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে।
(iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে।
(iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 6.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1 কষে দেখি – 11.2
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 1
প্রশ্ন নম্বর – 2
কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 3
কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 4-(i), (ii)
প্রশ্ন নম্বর – 4-(iii), (iv)
প্রশ্ন নম্বর – 5
কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 6-(i), (ii)
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
Madhyamik Question

Quadratic Equation

কষে দেখি – 1.1
প্রশ্ন নম্বর – 1

নিচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি ।
- (i) x²-7x+2
- (ii) 7x⁵-x(x+2)
- 2x(x+5)+1
- (iv) 2x-1

সমাধানঃ-
(i) x²-7x+2 বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।

(ii) 7x⁵-x(x+2)
= 7x⁵-x²-2x
বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 ।
তাই সংখ্যামালাটি বহুপদী সংখ্যামালা কিন্তু দ্বিঘাত নয়।

(iii) 2x(x+5)+1
=2x²+10x+1
বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।

(iv) 2x-1
= 2x¹-1
এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1।
তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

Quadratic Equation

প্রশ্ন নম্বর – 2

2. নিচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c = 0 , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি ।

$$\Large{(i) \quad x -1+\frac{1}{x}= 6, (x≠0)\\(ii) \quad x +\frac{3}{x}=x^2, (x≠0)\\(iii) \quad x^2 -6\sqrt{x}+2=0, \\ (iv) \quad (x-2)^2 = x^2-4x+4 }$$

সমাধানঃ-
(i) x – 1 + ¹/_x = 6
বা, x² – x + 1 = 6x
ব, x²– x + 1 – 6x = 0
বা, x²– 7x + 1 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করলে হয়-
x²– 7x + 1 = 0

(ii) x + ³/_x = x²
বা, x² + 3 = x³
বা, x²– x³ + 3 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

(iii) x² – 6√x + 2 = 0
বা, x² – 6x^1/2 + 2 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

(iv) (x-2)² = x² – 4x + 4
বা, x² – 4x + 4 = x² – 4x + 4
উভয় দিকের রাশিমালা একই।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
[✴️এটি একটি অভেদ]

Quadratic Equationঃ

কষে দেখি – 1.1
প্রশ্ন নম্বর – 3

3. x⁶ – x³ – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ-
x⁶ – x³ – 2 = 0
বা, (x³)² – x³ – 2 = 0
বা, (a)² – a – 2 = 0 ———[ধরি, a = x³]
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করলে সমীকরণটি a অর্থাৎ x³ এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি x চলের ত্রিঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

Quadratic Equation

কষে দেখি – 1.1
প্রশ্ন নম্বর – 4-(i), (ii)

4.(i) (a-2)² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ-
সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি
a – 2 = 0
বা a = 2 হয়।
∴ a = 2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা ।

$$\Large{4.(ii)\quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\}$$

কে ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ-

$$\Large{ \quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\= 3x^2= 4 – x\\ = 3x^2+x-4=0}$$ ∴ x এর সহগ হবে 1।

প্রশ্ন নম্বর – 4-(iii), (iv)

4.(iii) 3x² + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2 কে ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।

সমাধানঃ-
3x² + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 4x + 3x + 12 + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
, 3x² – x² + 7x -7x + 23 – 14 = 0
বা, 2x² + 9 = 0
বা, 2x² + 0x + 9 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0 ।

4.(iv) (x+2)³ = x (x² – 1 ) কে ax² + bx + c = 0 , ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x² , x ও x⁰ এর সহগ লিখি ।

সমাধানঃ-
(x+2)³ = x (x² – 1 )
বা, (x)³ + 3 (x)² (2) + 3 (x) (2)² + (2)³ = x³ – x
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – x
ব, 6x² + 12x + 8 + x = 0
বা, 6x² + 13x + 8x⁰ = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0
x² এর সহগ 6 ,
x এর সহগ 13 এবং
x⁰ এর সহগ 8 ।

প্রশ্ন নম্বর – 5

5. নিচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) 42 কে এমন দুটি অংশে ভাগ করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।

সমাধানঃ-
ধরি, একটি অংশ = x
∴ অপর অংশটি = (42-x) ,
শর্তানুসারে,
x² = 42 – x
বা, x² + x – 42 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x² + x – 42 = 0 ।

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143।

সমাধানঃ-
ধরি, একটি সংখ্যা = 2x – 1
∴ অপর সংখ্যাটি হবে = (2x + 1) , [ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার পার্থক্য 2 ]
শর্তানুসারে,
(2x – 1)(2x + 1) = 143
বা, 4x² – 1 – 143 = 0
বা, 4x² – 144 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 4x² – 144 = 0 ।

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 143 ।

সমাধানঃ-
ধরি, একটি সংখ্যা = x
∴ অপর সংখ্যাটি হবে = (x + 1) , [ দুটি ক্রমিক সংখ্যার পার্থক্য 1 ]
শর্তানুসারে,
x² + (x+1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
বা, 2x² + 2x + 1 – 313 = 0
ব, 2x² + 2x – 312 = 0
বা, 2(x² + x – 156 ) = 0
বা, x² + x – 156 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x² + x – 156 = 0 ।

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

Quadratic Equation

কষে দেখি – 1.1
প্রশ্ন নম্বর – 6-(i), (ii)

6.নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।

সমাধানঃ-
ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার।
আয়তকার ক্ষেত্রের,
(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = (কর্ণ)²
∴ (x + 3)² + (x)² = (15)²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, 2x² + 6x + 9 – 225 = 0
ব, 2x² + 6x – 216 = 0
বা, 2( x² + 3x – 108 ) = 0
বা, x² + 3x – 108 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x² + 3x – 108 = 0

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো ।

সমাধানঃ-
ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
∴ 80 টাকায় পাওয়া যায় = 80/x কিগ্রা
প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হলে, চিনির দাম হতো (x-1) টাকা।
∴ এখন 80 টাকায়ে পাওয়া যায় = 80/(X-1)কিগ্রা

শর্তানুসারে,$\Large{\quad\frac{80}{x-1}-\frac{80}{x}=4\\⇒\frac{80x-80(x-1)}{x(x-1)}=4\\⇒\frac{80x-80x+80}{x^2 -x}=4\\⇒\frac{80}{x^2 -x}=4\\⇒\frac{20}{x^2 -x}=1\\⇒ x^2 -x=20\\⇒ x^2 -x-20=0}$

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x² – x – 20 = 0 ।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

প্রশ্ন নম্বর – 6-(iii), (iv)

(iii) দুটি ষ্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম ষ্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় ষ্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় ষ্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত।

সমাধানঃ-
ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
∴ 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/x ঘণ্টা
[ সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে,
300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘন্টা।.
শর্তানুসারে,

$\Large{\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\\⇒\frac{300(x+5)-300×x}{x(x+5)}=2\\⇒\frac{300x+1500-300x}{x^2+5x}=2\\⇒\frac{1500}{x^2+5x}=2\\⇒\frac{750}{x2+5x}=1\\⇒x^2+5x=750\\⇒x^2+5x-750=0}$

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x² + 5x – 750 = 0 ।

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।

সমাধানঃ-
ধরি, ঘড়ি বিক্রেতা x টাকায় ঘড়িটির ক্রয় করেছিলেন ।
ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য 336 টাকা
∴ লাভ = (336 – x) টাকা।
শতকরা লাভ = x %
∴ লাভ = x . x/100 টাকা
শর্তানুসারে,

$\Large{x.\frac {x}{100}=(336-x)\\⇒ \frac {x^2}{100}=(336-x)\\⇒x^2=100\times (336-x)\\⇒x^2=33600-100x\\⇒x^2+100x-33600=0}$

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x² +100x-33600=0।

Quadratic Equationঃকষে দেখি – 1.1
প্রশ্ন নম্বর – 6-(v), (vi)

(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ঐ দূরত্ত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।

সমাধানঃ-
ধরি, নৌকার বেগ x কিমি/ঘন্টা।
স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x+2) কিমি/ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x-2) কিমি/ঘন্টা ।
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে = 21/(x+2) ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে = 21/(x-2) ঘন্টা ।
[ সময় = দূরত্ব / গতিবেগ ।]
শর্তানুসারে,

$\Large{\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10\\⇒\frac{21(x-2)+21(x+2}{(x+2)(x-2)}=10\\⇒\frac{21x-42+21x+42}{x^2 -4}=10\\⇒\frac{42x}{x^2 -4}=10\\⇒\frac{21x}{x^2 -4}=5\\⇒5x^2 -20=21x\\⇒5x^2 -21x-20=0}$

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল: 5x² – 21x – 20=0।

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।

সমাধানঃ-
ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘন্টা।
মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘন্টা
এবং মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
মহিম x ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ
∴ মহিম 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/x অংশ
মহিম 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/x অংশ।
∴মজিদ 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/(x+3) অংশ
তারা উভয়ে একসঙ্গে 2 ঘন্টায় কাজ করে {2/x + 2/(x+3)} অংশ।
শর্তানুসারে,

$\Large{\frac{2}{x}+\frac{2}{x+3}=1\\⇒\frac{2(x+3)+2x}{x(x+3)}=1\\⇒\frac{2x+6+2x}{x^2+3x}=1\\⇒x^2+3x=4x+6\\⇒x^2+3x-4x-6=0\\⇒x^2-x-6=0}$

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল : x² – x – 6 = 0 ।

Quadratic Equation

প্রশ্ন নম্বর – 6-(vii), (viii)

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।

সমাধানঃ-
ধরি, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
∴একক স্থানীয় অঙ্ক হবে = (x+6)
∴ সংখ্যাটি হল = 10.x + 1. (x+6)
= 10x + x+6
= 11x + 6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x.(x+6)
শর্তানুসারে,
(11x + 6) – x(x+6) = 12
বা, 11x + 6 – x² – 6x = 12
বা, 5x + 6 – x² – 12 = 0
, 5x – x² – 6 = 0
বা, – ( x² – 5x + 6) = 0
বা, x² – 5x + 6 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল :- x² – 5x + 6 = 0 ।

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

সমাধানঃ-
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 45 মিটারএবং
প্রস্থ = 40 মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 x40 বর্গ মিটার
= 1800 বর্গ মিটার
ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
∴ রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (45+2x) মিটারএবং
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (40+2x) মিটার
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45+2x) x (40+2x) বর্গ মিটার
শর্তানুসারে,
(45+2x) x (40+2x) – (45.40) = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² – 1800 = 450
, 4x² + 170X – 450 = 0
বা, 2( 2x² + 85X – 225 ) = 0
বা, 2x² + 85X – 225 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 2x² + 85x – 225 = 0 ।

Madhyamik Question

▶️ কোন শর্তে ax2 + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে?
(a) a = 0 (b) b = 0 (c) c = 0 (d) এদের কোনটিই নয়। (বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন) M.P-2017
Ans: (c) c = 0
[দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হয় যদি ধ্রুবক পদের সহগ শূন্য হয়]

▶️ (a – 2)x2 + 3x + 5 = 0 সমীকরণটিতে a-এর মান _______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।(শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2018
Ans: 2
[x² এর সহগ শূন্য হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
∴ a – 2 = 0
⇒ a = 2]

▶️ P এর মান কত হলে (P-3) x²+ 5x + 10 = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। P = _______________ (শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2024
Ans: Ans: 3
[সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি –
P – 3 = 0 হয়
বা, P = 3 হয়]

PREVIOUS

NEXT