PROSTUTI

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Written by

TEAM PROSTUTI

in

, ,

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

UNIT 2
CHAPTER 2
SEMESTER-2
Straight Line সরলরেখা

SEMESTER-2 সরলরেখা

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. কোনো সরলরেখার প্রবণতা বলতে কী বোঝ?
Ans: কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ করে তার tan-এর মানকে সরলরেখার প্রবণতা (gradient) বা নতিমাত্রা (slope) বলে;
যদি কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে, তবে তার প্রবণতা হবে m = tanθ

2. (i) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণকে এবং
(ii) x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণকে x/a + y/b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় কি না যুক্তিসহ বলো।

(i) Solution: মূলবিন্দুগামী সরলরেখার ক্ষেত্রে c = 0
∴ মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়
 y = mx
বা, mx – y = 0
mx – y = 0 সরলরেখাকে x/a + y/b = 1 আকারে প্রকাশ করলে,
y/0 হয় যা অসংজ্ঞাত।
তাই মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণকে x/a + y/b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় না।

(ii) Solution: x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ

\(\quad y = b\\⇒ 0.x + y = b\\⇒ \frac{x}{\frac{b}{0}}+ \frac{y}{b} = 1 \)

y = b সরলরেখাকে x/a + y/b = 1 আকারে প্রকাশ করলে a = b/0 হয় যা অসংজ্ঞাত।
তাই x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণকে x/a + y/b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় না।

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       বীজগণিত

👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

  • 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
  • 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
  • 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
  • 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

3. 3x + 4y – 12 = 0 সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল (বর্গএককে) নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের ছেদিতাংশ আকার হল:
3x + 4y – 12 = 0
বা, x/4 + y/3 = 1 
প্রদত্ত সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে 4 একক ও 3 একক ছেদ করে।
স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয় ও প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= 1/2×|4×3| = 6 বর্গএকক।
Ans: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 6 বর্গএকক

4. x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 45° কোণে নত যে সরলরেখাটি y-অক্ষকে (0, 3) বিন্দুতে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখার প্রবনতা (m)
= tan 45°=1
এবং সরলরেখাটি y অক্ষ থেকে 3 একক ছেদ করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
y = 1.x + 3
বা, x – y + 3 = 0
Ans: নির্নেয় সমীকরণ: x – y + 3 = 0

5. 2x – 3y + 5 = 0 সরলরেখার নতিমাত্রা এবং y-অক্ষে ছেদিতাংশ নির্ণয় করো।

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের প্রবনতা-ছেদিতাংশ আকার হল:
2x – 3y + 5 = 0
বা, 3y = 2x + 5
বা, y = 2/3x + 5/3
Ans: সরলরেখার নতিমাত্রা 2/3
এবং y-অক্ষে ছেদিতাংশ 5/3 একক

6. একটি সরলরেখার x -অক্ষের ও y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে (-4) ও 6 একক হলে সরলরেখাটির সমীকরণ কী হবে?

Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণের ছেদিতাংশ আকার হল:

\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

সরলরেখার x -অক্ষের ও y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে (-4) ও 6 একক
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(\quad \frac{x}{-4}+\frac{y}{6}=1\)

বা, 3x – 2y = – 12
বা, 3x – 2y + 12 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 3x – 2y + 12 = 0

7. 3x + 2y = 8 সরলরেখাটির নতিমাত্রা এবং y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ কত?

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের প্রবনতা-ছেদিতাংশ আকার হল:
3x + 2y = 8
বা, 2y = -3x + 8
বা, y = –3/2x + 4
Ans: সরলরেখাটির নতিমাত্রা –3/2 এবং
y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ 4 একক

8. (3, -√3) ও (√3 , -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার নতিমাত্রা কত?

Solution: (3, -√3) ও (√3 , -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার নতিমাত্রা
= -1 + √3/√3 – 3
= -1 + √3/√3(1 – √3)
= –(1 – √3)/√3(1 – √3)
= –1/√3
Ans: সরলরেখার নতিমাত্রা –1/√3

9. 3x + 4y + 15 = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব কত?
Solution:

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের অভিলম্ব আকার হল: \(\quad 3x + 4y + 15 = 0\\⇒\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}.x + \frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}.y + \frac{15}{\sqrt{3^2+4^2}} = 0\\⇒\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + \frac{15}{5}= 0\\⇒\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 3= 0\)Ans: সরলরেখাটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক।

10. (-3, -4) ও (2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: (-3, -4) ও (2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
y + 4/-4 – 5 = x + 3/-3 – 2
বা, y + 4/-9 = x + 3/-5
বা, y + 4/9 = x + 3/5
বা, 9x + 27 = 5y + 20
বা, 9x – 5y + 7 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 9x – 5y + 7 = 0

11. যে সরলরেখার নতিমাত্রা 1 এবং x-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ (-3) একক সেটি নির্ণয় করো। 

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার নতিমাত্রা 1 এবং সরলরেখাটি (-3, 0) বিন্দুগামী।
ধরি প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ y = x + c 
∵ সরলরেখাটি (-3, 0) বিন্দুগামী।
  ∴ 0 = -3 + c
বা, c = 3
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ
     y = x + 3
বা, x – y + 3 = 0 
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x – y + 3 = 0

12. (1, -2) বিন্দুগামী যে সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষে সমান ছেদিতাংশ সৃষ্টি করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষ থেকে a একক ছেদ করে।

∴ সরলরেখার সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)

বা, x + y = a . . .  (i)
(i) নং সরলরেখা (1, -2) বিন্দুগামী।
  ∴ 1 – 2 = a
বা, a = – 1
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
  x + y = – 1
বা, x + y + 1 = 0 
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + y + 1 = 0

13. যে সরলরেখা x এবং y-অক্ষে সমান ছেদিতাংশ সৃষ্টি করে তার প্রবণতা কত হবে?

Solution: ধরি, সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষ থেকে a একক ছেদ করে।
∴ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ হবে

\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)

বা, x + y = a
বা, y = – x + a
∴ প্রবণতা = – 1
Ans: নির্ণেয় প্রবণতা -1

14. যে সরলরেখার ঋণাত্মক y-অক্ষের ছেদিতাংশ 2 এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে নতি 30° তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: সরলরেখার ঋণাত্মক y-অক্ষের ছেদিতাংশ 2 এবং সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে নতি 30°
∴ সরলরেখার প্রবনতা (m)
= tan30° = 1/√3
এখানে c = -2
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
y = 1/√3.x – 2
বা,√3y – x + 2√3 = 0
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ √3y – x + 2√3 = 0

15. আমরা যদি সরলরেখার সমীকরণ 3x + 3y + 7 = 0 কে x cos α + y sin α = p আকারে লিখি তাহলে p-এর মান কত হবে?

Solution:
3x + 3y + 7 = 0

\(⇒\frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}}x + \frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}}y=-\frac{7}{\sqrt{3^2 + 3^2}}\\⇒\frac{3}{3\sqrt{2}}x + \frac{3}{3\sqrt{2}}y=-\frac{7}{3\sqrt{2}}\\⇒\frac{-3}{3\sqrt{2}}x + \frac{-3}{3\sqrt{2}}y=\frac{7}{3\sqrt{2}}\)

∴ সমীকরণটিকে  x cos α + y sin α = p আকারে লিখলে হয়

\(\quad \frac{-3}{3\sqrt{2}}x + \frac{-3}{3\sqrt{2}}y=\frac{7}{3\sqrt{2}}\)

যেখানে cosα = -3/3√2;  sin α = -3/3√2 এবং p = 7/3√2
Ans: p = 7/3√2

16. n-এর মান ঋণাত্মক ধরে lx + my + n = 0 সরলরেখার সমীকরণকে অভিলম্ব আকারে প্রকাশ করো।

Solution:
lx + my + n = 0

\(⇒\frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y+\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}=0\\⇒\frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y=-\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}\)Ans: প্রদত্ত সমীকরণটির অভিলম্ব আকার: \(\ \frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y=-\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}\)

17. P(x1, y1) ও Q(x2, y2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে দেখাও যে, x2 = x1 + r cos θ, y2 = y1 + r sin θ , যেখানে r = PQ

Solution: P(x1, y1) ও Q(x2, y2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।

\(∴ tanθ = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\\⇒ \frac{sinθ}{cosθ} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\\⇒ \frac{x_2 – x_1}{cosθ} = \frac{y_2 – y_1}{sinθ} = r\\∴\frac{x_2 – x_1}{cosθ} =r\\⇒x_2-x_1=rcosθ\\⇒ x_2 = x_1 + rcosθ\)এবং \(\quad \frac{y_2 – y_1}{sinθ}= r\\⇒ y_2 – y_1 = rsinθ\\⇒ y_2 = y_1 + rsinθ\ (Proved) \)

18. x cos α + y sin α = p সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution: x cos α + y sin α = p সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হল:

\(\quad \frac{x}{psec α}+\frac{y}{pcosec α}=1\)

প্রদত্ত সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে psec α একক ও pcosec α একক ছেদ করে।
∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= 1/2×psec α×pcosec α
=  p2/2.cos α.sin α
= p2/sin 2α
= p2cosec2α বর্গএকক
Ans: নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল p2cosec2α বর্গএকক

19. P বিন্দু A(x1, y1) ও B(x2, y₂) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে। যদি ax + by + c = 0 সরলরেখা P বিন্দুগামী হয়, তবে দেখাও যে,

\(\quad \frac{m}{n} = – \frac{ax_1 + by_1 + c_1}{ax_2 + by_2 + c_2}\)

Solution: P বিন্দু A(x1, y1) ও B(x2, y₂) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (mx2 + nx1/m + n, my2 + ny1/m + n)
ax + by + c = 0 সরলরেখা P বিন্দুগামী।

\(∴ a×\frac{mx_2 + nx_1}{m + n} + b×\frac{my_2 + ny_1}{m + n} + c = 0\\⇒ amx_2 + anx_1 + bmy_2 + bny_1 + mc + nc = 0 \\⇒ amx_2 + bmy_2 + mc= -(anx_1 + bny_1 + nc) \\⇒ \frac{m}{n}=-\frac{anx_1 + bny_1 + nc}{amx_2 + bmy_2 + mc}\ (Proved)\)

20. দেখাও যে, (a, b) ও (c, d) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণকে (x – a)(y – d) = (x – c)(y – b) আকারে প্রকাশ করা যায়।

Solution:

(a, b) ও (c, d) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:\(\quad \frac{y – d}{x – c}= \frac{d – b}{c – a} . . . (i)\\\) (c, d) ও (a, b) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ: \(\quad \frac{y – b}{x – a}= \frac{b-d}{a-c}\\⇒\frac{y – b}{x – a}=\frac{d – b}{c – a} . . . (ii)\)
(i) ও (ii) থেকে পাই,\(\quad \frac{y – d}{x – c}= \frac{y – b}{x – a}\\⇒ (x – a)(y – d) = (x – c)(y – b) (Proved)\)

Click here to visit our Facebook

21. একটি বর্গক্ষেত্রের দুটি বাহু যদি 5x – 2y = 13 এবং 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের অংশে হয়, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution: সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ 5x – 2y = 13 এবং 5x – 2y + 16 = 0
স্পষ্টতই সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী দূরত্বই হল বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য।

সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব\(\\=\frac{|-13 – 16|}{\sqrt{5^2 + 2^2}} = \frac{|-29|}{\sqrt{29}}= \frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\)একক

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
= (√29)2 = 29 বর্গএকক
Ans: নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 29 বর্গএকক

22. (2k, -2) এবং (1, -k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবণতা (-2) হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: (2k, -2) এবং (1, -k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবণতা = -k + 2/ 1- 2k
প্রশ্নানুযায়ী,
-k + 2/ 1- 2k = -2
বা, -2 + 4k = -k + 2
বা, 5k = 4
বা, k = 4/5
Ans: k = 4/5

23. 7x – 6y = 20 সরলরেখার ওপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যার কোটি ভুজের দ্বিগুণ।

Solution: ধরি, বিন্দুটি হল (h, 2h)
(h, 2h)বিন্দুটি 7x – 6y = 20 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 7.h – 6.2h = 20
বা, -5h = 20
বা, h = -4  
∴ বিন্দুটি হল (-4, -8)
Ans: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক  (-4, -8)

24. 3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক হলে m-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব\(\\=\frac{|3.0 – 4.0 + m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = ±\frac{m}{5}\)

প্রশ্নানুযায়ী,
±m/5 = 2
বা, m = ±10
Ans: m = ±10

25. 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at2, 2at) একটি বিন্দু; এর থেকে সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at2, 2at) অবস্থিত।
∴ 2.at2 – 5.2at + 12a = 0
বা, t2 – 5t + 6 = 0
বা, t2 – 3t – 2t + 6 = 0
বা, t(t – 3) – 2(t – 3) = 0
বা, (t – 2)(t – 3) = 0
∴ t = 2, 3
বিন্দু দুটি হল (a.22, 2a.2) এবং (a.32, 2a.3) বা, (4a, 4a) এবং (9a, 6a)
Ans: দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4a, 4a) এবং (9a, 6a)

26. যে সরলরেখার নতি 150° এবং মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 10 একক তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:  ধরি,সরলরেখার সমীকরণ
y = mx + c
বা, mx – y + c = 0
এখানে নতি
m = tan150° = tan(180 – 30)°
⇒ m = -tan30° = -1/√3

মূলবিন্দু থেকে mx – y + c = 0 সরলরেখার দূরত্ব =\(\\\frac{|0 – 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}= 10\\⇒|c| = 10\sqrt{\frac{1}{3} + 1} . . . [m = -\frac{1}{√3}]\\⇒|c| = 10.\sqrt{\frac{4}{3}}\\⇒ c = ±\frac{20}{√3}\)∴ সরলরেখার সমীকরণ: \(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y± 20/√3 = 0\\⇒-x – √3y ± 20 = 0\\⇒x + √3y = ± 20\)

Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + √3y = ± 20

27. (4. -6) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান
(i) পরস্পর সমান ও একই চিহ্নযুক্ত
(ⅱ) পরস্পর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

(i) Solution: অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান  পরস্পর সমান ও একই চিহ্নযুক্ত।

ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)

বা, x + y = a
সরলরেখাটি (4. -6) বিন্দুগামী।
∴ 4 – 6 = a
বা, a = -2
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x + y = -2
বা, x + y + 2 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + y + 2 = 0 

(ii) Solution: অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান  পরস্পর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত।

ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)

বা, x – y = a সরলরেখাটি (4. -6) বিন্দুগামী।
∴ 4 + 6 = a
বা, a = 10
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x – y = 10
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ
x – y = 10

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি 
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. (3, -4) এবং (1, 2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো এবং তারপর দেখাও যে, (3, -4), (1, 2) এবং (2, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। 

Solution: (3, -4) এবং (1, 2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y – 2}{2+4}=\frac{x – 1}{1-3}\\⇒\frac{y – 2}{6}=\frac{x – 1}{-2}\\⇒\frac{y – 2}{3}=\frac{x – 1}{-1}\)

বা, -y + 2 = 3x – 3
বা, 3x + y = 5 . . .  (i)
(2, -1) বিন্দুটি (i) নং সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই, 
   3.2 – 1 = 5 
∴ (2, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
অতএব (3, -4), (1, 2) এবং (2, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

2. একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হয় (2, -2), (4, 2) এবং (-1, 3); ত্রিভুজটির (-1, 3) বিন্দুগামী মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় করো। 

Solution: (2, -2) ও (4, 2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু = (2+4/2, -2+2/2) = (3, 0)
∴ (3, 0) ও (-1, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 3/3 – 0  = x + 1/-1 – 3
বা, y – 3/3  = x + 1/-4
বা, 3x + 3 = -4y + 12
বা, 3x + 4y = 9 
Ans: মধ্যমার সমীকরণ 3x + 4y = 9

3. মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা (4, -2) এবং (1,  10) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:  (4, -2) এবং (1,  10) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে যে বিন্দু 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক
= (2.1 + 1.4/2 + 1, 2.10 + 1.(-2)/2 + 1)
= (2, 6) 
∴  (2, 6) ও মূলবিন্দুগামী(0, 0) সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 0/0 – 6  = x – 0/0 – 2
বা, y/3  = x/1
বা, 3x – y = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 3x – y = 0

4. একটি সরলরেখা (3, 5) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছিন্ন অংশ ওই বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। সরলরেখাটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দু থেকে তার লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (a, 0) (0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
(a, 0) (0, b) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (a/2, b/2)
প্রশ্নানুযায়ী,
    a/2 = 3
বা, a = 6 এবং
b/2 = 5
   বা, b = 10
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x/6 + y/10 = 1
বা, 5x + 3y = 30 (Ans)
মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|5.0 + 3.0 – 30|}{\sqrt{5^2+3^2}}\\=\frac{|-30|}{\sqrt{25+9}}=\frac{30}{34}\)একক (Ans)

5. একটি সরলরেখা (1, 2) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছেদিতাংশ ওই বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে বিভক্ত হয়। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (a, 0), (0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছেদিতাংশ যে বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক
= (3.0 + 2.a/3+2, 3.b + 2.0/3+2)
= (2a/5, 3b/5) 
প্রশ্নানুযায়ী,
    2a/5 = 1
বা, a = 5/2 এবং
3b/5 = 2
বা, b = 10/3 
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ: 
     2x/5 + 3y/10 = 1
বা, 4x + 3y = 10 (Ans)

6. x cos α+ y sin α= 4 সরলরেখাটির অক্ষ দুটি দিয়ে যে রেখাংশ ছেদিত হয়, সেই রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: x cos α + y sin α = 4 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হল:

\(\quad \frac{x}{4sec α}+\frac{y}{4cosec α}=1\)

প্রদত্ত সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (4sec α, 0) (0, 4cosec α) বিন্দুতে ছেদ করে।
রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = 4sec α + 0/2 
বা, h = 2secα
বা, cos α = 2/h এবং
k = 0 + 4cosec α/2 
বা, k = 2sin α 
বা, sin α = 2/k 
 ∵ sin2 α + cos2 α = 1
বা, (2/k)2 + (2/h)2 = 1
বা, 4/k2 + 4/h2 = 1
বা, 1/k2 + 1/h2 = 1/4
বা, 1/h2 + 1/k2 = 1/4
∴ মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ 1/x2 + 1/y2 = 1/4 (Ans)

7. একটি গতিশীল সরলরেখার সব অবস্থানে রেখাটির অক্ষ দুটির ছেদিতাংশ দুটির অন্যোন্যকের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক। দেখাও যে, রেখাটি একটি স্থিরবিন্দুগামী।

Solution: ধরি, গতিশীল সরলরেখার সমীকরণ:

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) . . . (i)

সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক ও b একক ছেদ করে।
∴ অক্ষ দুটির ছেদিতাংশ দুটির অন্যোন্যকের সমষ্টি:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{k} . . . [k = ধ্রুবক]\\⇒\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=k . . . (ii)\)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
 x = y = k
∴ (i) নং সরলরেখাটি সর্বদা (k, k) বিন্দুগামী যা একটি স্থিরবিন্দু।
∴ রেখাটি একটি স্থিরবিন্দুগামী। (Proved)

8. একটি গতিশীল সরলরেখা তার সব অবস্থানে অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 2c2 বর্গএকক। গতিশীল রেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, গতিশীল সরলরেখার সমীকরণ:

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) . . . (i)

∴ সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক ও b একক ছেদ করে।
∴ অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 
= 1/2|a×b|
প্রশ্নানুযায়ী
     1/2|a×b| = 2c2
বা, 1/2.a×b = ±2c2 . . .  (ii)
(i) রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে
h = a+0/2
বা, a = 2h এবং
k = 0+b/2
বা, b = 2k
(ii) নং থেকে পাই  
    1/2×2h×2k = ±2c2
বা, hk = ±c2
Ans: মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ xy = ± 2c2

9. P(h, k) ও Q(k, h) বিন্দু যথাক্রমে 6x – y = 1 ও 2x – 5y = 5 সরলরেখার ওপর অবস্থিত; PQ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। 

Solution: P(h, k) ও Q(k, h) বিন্দু যথাক্রমে 6x – y = 1 ও 2x – 5y = 5 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
  ∴ 6h – k = 1
বা, 6h – k – 1 = 0 . . . (i)
     2k – 5h = 5
বা, – 5h + 2k – 5 = 0 . . . (ii) 
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,    

\(\quad \frac{h}{5+2}= \frac{k}{5+30}= \frac{1}{12-5}\\⇒ \frac{h}{7}= \frac{k}{35}= \frac{1}{7}\\⇒\frac{h}{1}= \frac{k}{5}= 1\)

∴ h = 1, k = 5
∴ P = (1, 5), Q = (5, 1)
PQ সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y-1}{1-5}= \frac{x-5}{5-1}\\⇒\frac{y-1}{-4}= \frac{x-5}{4}\\⇒\frac{y-1}{1}= \frac{x-5}{1}\)

বা, y – 1 = – x + 5
বা, x + y = 6
Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ: x + y = 6

10. 4x + 3y + k = 0 সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার পরিসীমা 24 একক হলে k এর মান নির্ণয় করো।

Solution: 4x + 3y + k = 0 -এর ছেদিতাংশ আকার:

\(\quad \frac{x}{\frac{-k}{4}}+\frac{y}{\frac{-k}{3}}\)
A B Y O X

সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয় থেকে যথাক্রমে -k/4 এবং -k/3 একক ছেদ করে।
∴ AOB সমকোনী ত্রিভুজের, 
OA = k/4  এবং OB = k/3

\(∴ AB=\sqrt{\frac{k^2}{16}+\frac{k^2}{9}}=\sqrt{\frac{9k^2+16k^2}{144}}=\frac{5k}{12}\)

∴△AOB-এর পরিসীমা
     = k/3 + k/4 + 5k/12
     = 4k+3k+5k/12 = 12k/12  = k
প্রশ্নানুযায়ী,
     k = 24
Ans: k এর মান 24

11. ax + by + c = 0 সরলরেখা এমনভাবে গতিশীল যে, তার সব অবস্থানে a + b + c = 0 । দেখাও যে, সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: a + b + c = 0
বা, c = – a – b
সরলরেখার সমীকরণ:
     ax + by + c = 0
বা, ax + by – a – b = 0
বা, a(x – 1) + b(y – 1) = 0 
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (1, 1) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়।
∴ সরলরেখাটি (1, 1) বিন্দুগামী।
Ans: সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1)

12. দেখাও যে, (a + 2b) x + (a – 3b) y + b – a = 0 সরলরেখাটি সর্বদাই একটি স্থির বিন্দু দিয়েযায় এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: সরলরেখার সমীকরণ:
    (a + 2b) x + (a – 3b) y + b – a = 0
বা, a(x + y – 1)  + b(2x – 3y + 1) = 0 . . .  (i)
স্পষ্টতই, a ও  b-এর সকল বাস্তব মানের জন্য  (i) নং সরলরেখা x + y – 1 = 0 এবং 2x – 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী হবে।
    x + y – 1 = 0 . . .  (ii) এবং
  2x – 3y + 1 = 0 . . .  (iii)
(ii) ও (iii) নং থেকে পাই,  

\(\quad \frac{x}{1-3}= \frac{y}{-2-1}= \frac{1}{-3-2}\\⇒ \frac{x}{-2}= \frac{y}{-3}= \frac{1}{-5}\\⇒\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{1}{5}\\\ ∴ x = \frac{2}{5},\ y = \frac{3}{5}\)

∴ সরলরেখাটি (2/5, 3/5) বিন্দুগামী।
Ans: সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2/5, 3/5)

13. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p সরলরেখার সমীকরণকে নীচের আকারে লেখা যায়:

\(\quad \frac{x – pcos α}{-sin α}=\frac{y – psin α}{cos α}=r\)

Solution: সরলরেখার সমীকরণ  

     x cos α + y sin α = p
বা, x cos α + y sin α = p(sin2 α + cos2 α)
বা, x cos α – pcos2 α + y sin α – psin2 α = 0
বা, cos α(x – pcos α) + sin α(y – psin α) = 0
বা, cos α(x – pcos α) = – sin α(y – psin α) 

বা,\(\frac{x – pcos α}{-sin α}=\frac{y – psin α}{cos α}=r \) যেখানে\(r = \frac{\sqrt{(x – pcos α)^2+(y – psin α)^2}}{\sqrt{sin^2⁡ α + cos^2 α}}\\=\sqrt{(x – pcos α)^2+(y – psin α)^2}\)

14. 4x + 3y = 5cos α এবং 6x – 8y = 5sin α সরলরেখা দুটির মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব যথাক্রমে p1 ও p2 হলে দেখাও যে, p12 + 4p22 = 1

Solution: মূলবিন্দু থেকে 4x + 3y = 5cos α সরলরেখার লম্বদূরত্ব 

\(\ p_1=\frac{|4.0 + 3.0 – 5cos α|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\=\frac{|-5cos α|}{\sqrt{25}}\\=\frac{5cos α}{5}= cos α\)মূলবিন্দু থেকে 6x – 8y = 5sin α সরলরেখার লম্বদূরত্ব\(p_2=\frac{|6.0 + 8.0 – 5sin α|}{\sqrt{6^2+8^2}}\\=\frac{|5sin α| }{\sqrt{100}}\\=\frac{|5sin α|}{10}= \frac{sin α}{2}\)

L.H.S. 
  = p12 + 4p22 
  = cos2 α + 4×sin2 α/4
  = cos2 α + sin2 α 
  = 1 = R.H.S.
∴ p12 + 4p22 = 1 (Proved)

15. 3x + y – 5 = 0 এবং x + 5y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং (3, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। এই সরলরেখাটি অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। 

Solution: 3x + y – 5 = 0 এবং x + 5y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু: 

\(\ \frac{x}{3+25} = \frac{y}{-5-9}= \frac{1}{15-1}\\⇒\frac{x}{28} = \frac{y}{-14}= \frac{1}{14}\)

∴ x = 2, y = -1
∴ সরলরেখাটির ছেদবিন্দু (2, -1)
অতএব  (2, -1) ও (3, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\ \frac{y – 2}{2+1} = \frac{x – 3}{3-2}\\⇒\frac{y – 2}{3} = \frac{x – 3}{1}\)

বা, 3x – 9 = y – 2
বা, 3x – y = 7 (Ans)
3x – y = 7 সরলরেখাটির ছেদিতাংশ আকার হল:

\(\ \frac{x}{\frac{7}{3}} + \frac{y}{-7}=1\)

 সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে 7/3 একক ও 7 একক ছেদ করে। 
∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= 1/2×7/3×7
= 49/6 বর্গএকক(Ans) 

16. x + y + 4 = 0 এবং 2x + 3y + 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ ax + y + 6 = 0 হলে a-র মান কত হবে?

Solution: x + y + 4 = 0 এবং 2x + 3y + 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
     x + y + 4 + k(2x + 3y + 10) = 0
বা, (1 + 2k)x + (1 + 3k)y + (4 + 10k) = 0 . . . (i)
ax + y + 6 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখা অভিন্ন।

\(∴ \frac{1 + 2k}{a} = \frac{1 + 3k}{1}= \frac{4 + 10k}{6}\\∴ \frac{1 + 3k}{1}= \frac{4 + 10k}{6}\)

বা, 6 + 18k = 4 + 10k
বা, 8k = -2
বা, k = –1/4 
আবার

\(\ \frac{1 + 2k}{a} = \frac{1 + 3k}{1}\)

বা, a(1 + 3k) = 1 + 2k
বা, a(1 – 3.14) = 1 – 2.14
বা, a(4 – 3) = 4 – 2
বা, a = 2
Ans: a-র মান 2

17. 3x – 4y + 1 = 0 এবং 5x + y – 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দগামী যে সরলরেখা অক্ষ দুটি থেকে সমান দৈর্ঘ্যের অংশ ছিন্ন করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 3x – 4y + 1 = 0 এবং 5x + y – 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
    3x – 4y + 1 + k(5x + y – 1) = 0
বা, (3 + 5k)x + (k – 4)y + (1 – k) = 0
বা, (3 + 5k)x + (k – 4)y = k – 1 

বা,\( \frac{x}{\frac{k – 1}{3 + 5k}} + \frac{y}{\frac{k – 1}{ k-4}} = 1 . . . (i)\)

প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা x-অক্ষ ও y-অক্ষ দ্বারা ছিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে k – 1/3 + 5k এবং k – 1/k-4
প্রশ্নানুসারে, 

\(\left| \frac{k – 1}{3+5k} \right|=\left| \frac{k – 1}{k-4} \right|\\⇒\frac{k – 1}{3+5k} =±\frac{k – 1}{k-4}\)(+) চিহ্ন ধরে,\(\\\ \frac{k – 1}{3+5k} =\frac{k – 1}{k-4}\)

বা, 3k – 3 + 5k2 – 5k = k2 – k – 4k + 4
বা, 5k2 – 2k – 3 = k2 – 5k + 4
বা, 4k2 + 3k – 7 = 0
বা, 4k2 + 7k – 4k – 7 = 0
বা, k(4k + 7) – 1(4k + 7) = 0
বা, (4k + 7)(k – 1) = 0
∴ k = –7/4, 1
k = 1 হলে,
   (3 + 5.1)x + (1 – 4)y = 1 – 1 
বা, 8x – 3y = 0
এটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা যা অক্ষ দুটিকে ছিন্ন করে না। 
∴ k ≠ 1
k = –7/4 হলে,
    (3 – 5.7/4)x + (-7/4 – 4)y = –7/4 – 1
বা, (12 – 35)x + (-7 – 16)y = -7 – 4
বা, -23x – 23y = -11
বা, 23x + 23y = 11

(-) চিহ্ন ধরে,\(\\\ \frac{k – 1}{3+5k} =-\frac{k – 1}{k-4}\)

বা, k2 – k – 4k + 4 = -3k + 3 – 5k2 + 5k
বা, k2 – 5k + 4 = -5k2 + 2k + 3
বা, 6k2 – 7k + 1 = 0
বা, 6k2 – 6k – k + 1 = 0
বা, 6k(k – 1) – 1(k – 1) = 0 
বা, (6k – 1)(k – 1) = 0 
∴ k = 1/6, 1
∵ k ≠ 1
∴ k = 1/6
k = 1/6 হলে,
    (3 + 5.1/6)x + (1/6 – 4)y = 1/6 – 1
বা, (18 + 5)x + (1 – 24)y = 1 – 6
বা, 23x – 23y = -5
বা, 23x – 23y + 5 = 0
Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
23x + 23y = 11 অথবা, 
23x – 23y + 5 = 0

18. একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির ওপর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে এবং x + 3y + 4 = 0 ও 2x – y = 13 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x + 3y + 4 = 0 ও 2x – y = 13 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
     x + 3y + 4 + k(2x – y – 13) = 0
বা, (1 + 2k)x + (3 – k)y + (4 – 13k) = 0
বা, (1 + 2k)x + (3 – k)y = 13k – 4

বা,\( \frac{x}{\frac{13k – 4}{1 + 2k}} + \frac{y}{\frac{13k – 4}{3 – k}} = 1 . . . (i)\)

13k – 4 = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে যা অক্ষ দুটিকে ছিন্ন করবে না।
∴ 13k – 4 ≠ 0
প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা x-অক্ষ ও y-অক্ষ দ্বারা ছিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13k – 4/1 + 2k এবং 13k – 4/3-k
প্রশ্নানুসারে,

\(\ \frac{13k – 4}{1 + 2k} = – \frac{13k – 4}{3 – k}\\⇒ \frac{1}{1 + 2k} = – \frac{1}{3 – k} . . . [∵ 13k – 4 ≠ 0] \)

⇒ 3 – k = -1 -2k
⇒ k = -4
(i) নং সমীকরণকে k = -4 বসিয়ে পাই,

\( \frac{x}{\frac{13(-4) – 4}{1 + 2(-4)}} + \frac{y}{\frac{13(-4) – 4}{3 – (-4)}} = 1\\⇒\frac{x}{\frac{-56}{-7}} + \frac{y}{\frac{-56}{7}} = 1\\⇒\frac{x}{8} + \frac{y}{-8} = 1\\⇒x-y=8\)

Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ x – y = 8

19. একটি আলোকরশ্মি P(1, 2) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষে অবস্থিত A বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে Q(5, 3) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। 

Solution: A বিন্দুটি x-অক্ষে অবস্থিত।
ধরি, A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, 0)
AQ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে, 
tanθ = 3 – 0/5 – h  = 3/5 – h
AP সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π -θ) কোণ উৎপন্ন করে।
 ∴ tan(π – θ) = 2 – 0/1 – h
বা, -tanθ = 2/1 – h
 ∴ 3/5 – h = – 2/1 – h
বা, -3 + 3h = 10 – 2h
বা, 5h = 13
বা, h = 13/5
Ans: A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (13/5, 0)

20. 3x + 4y = 4 এবং 2x + 5y + 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী যেসব সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো। 

Solution: 3x + 4y = 4 এবং 2x + 5y + 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:  

\(\quad \frac{x}{8+20} = \frac{y}{-8-6}= \frac{1}{15-8}\\⇒\frac{x}{28} = \frac{y}{-14}= \frac{1}{7}\\⇒\frac{x}{4} = \frac{y}{-2}=1 \\∴x=4;\quad y= -2\)

ধরি, (4, -2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
     y + 2 = m(x – 4)
বা, mx – y – (4m + 2) = 0 . . .  (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) নং সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|m.0 – 0 – (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}\\= \frac{|- (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}\)প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{|- (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}=2\)

বা, (4m + 2)2 = 4(m2 + 1)
বা, 16m2 + 16m + 4 = 4m2 + 4
বা, 12m2 + 16m = 0
বা, 4m(3m + 4) = 0
∴ m = 0, -4/3
m = 0 হলে সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
    y + 2 = 0.(x – 4)
বা, y + 2 = 0
m = -4/3 হলে,
সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
     y + 2 = –4/3(x – 4)
বা, 3y + 6 = -4x + 16
বা, 4x + 3y = 10
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
y + 2 = 0, 4x + 3y = 10

21. 2y – 3x + 16 = 0 এবং 3x + y = 1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং (4, 3), (2, – 7) ও (-9, -20) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ঠ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। 

Solution: 2y – 3x + 16 = 0 এবং 3x + y = 1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-2-16} = \frac{y}{48-3}= \frac{1}{-3-6}\\⇒\frac{x}{-18} = \frac{y}{45}= \frac{1}{-9}\\⇒\frac{x}{2} = \frac{y}{-5}= 1\\∴x=2;\quad y= -5\)

∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -5)
(4, 3), (2, – 7) ও (-9, -20) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ঠ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
= (4+2-9/3, 3-7-20/3)
= (-3/3, -24/3)
= (-1, -8)
(2, -5) ও (-1, -8) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 8}{-8 + 5} ;= \frac{x + 1}{-1 – 2}\\⇒\frac{y + 8}{-3} = \frac{x + 1}{-3}\)

বা, y + 8 = x + 1
বা, x – y = 7
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x – y = 7

22. x – y + 4 = 0, 2x + 3y – 6 = 0,  8x + 7y – 26 = 0 এই সরলরেখাগুলি সমবিন্দু কি না তা পরীক্ষা করো। 

Solution:  x – y + 4 = 0, 2x + 3y – 6 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{6-12} = \frac{y}{8+6}= \frac{1}{3+2}\\⇒\frac{x}{-6} = \frac{y}{14}= \frac{1}{5}\\∴x=-\frac{6}{5};\quad y= \frac{14}{5}\)

∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (– 6/5, 14/5) 
8x + 7y – 26 = 0 সমীকরণের বামপক্ষে (– 6/5, 14/5) বসিয়ে পাই,
   8.(– 6/5) + 7.(14/5) – 26
= – 48 + 98 – 130/5
= 98 – 178/5
= –80/5 = -16 ≠ 0
(– 6/5, 14/5) বিন্দুটি 8x + 7y – 26 = 0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।
∴ সরলরেখাগুলি সমবিন্দু নয়।

23. a -র মান কত হলে 7x – 11y + 3 = 0, 4x + 3y – 9 = 66 এবং 13x + ay – 48 = 0 সরলরেখা তিনটি একই বিন্দু দিয়ে যাবে।

Solution: 7x – 11y + 3 = 0, 4x + 3y – 9 = 66 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:  

\(\frac{x}{99-9} = \frac{y}{12+63}= \frac{1}{21+44}\\⇒\frac{x}{90} = \frac{y}{75}= \frac{1}{65}\\⇒\frac{x}{18} = \frac{y}{15}= \frac{1}{13}\\∴x=\frac{18}{13};\quad y= \frac{15}{13}\)

∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (18/13, 15/13)  
সরলরেখা তিনটি একই বিন্দু দিয়ে যাবে যদি (18/13, 15/13) বিন্দু দ্বারা 13x + ay – 48 = 0 সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ 13.18/13 + a.15/13 – 48 = 0 
বা, 234 + 15a – 624 = 0
বা, 15a = 390
∴ a = 26
Ans: a -র মান 26

24. a1x + b1y + c =0 , a2x + b2y + c = 0 এবং a3x + b3y + c = 0 (c ≠ 0) সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হলে দেখাও যে (a1 , b1), (a2, b2) এবং (a3, b3) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution: ধরি, a1x + b1y + c =0 , a2x + b2y + c = 0 এবং a3x + b3y + c = 0 (c ≠ 0) সরলরেখা তিনটি (α, β) বিন্দুগামী।
∴ a1α + b1β + c = 0 . . .  (i) 
   a2α + b2β + c = 0 . . .  (ii)  
এবং a3α + b3β + c = 0 . . .  (iii)
(i), (ii) এবং (iii) থেকে বলা যায়,
 aα + bβ + c = 0 এর তিনটি সমাধান (a1, b1), (a2, b2) এবং (a3, b3)
∴ xα + yβ + c = 0  সরলরেখার ওপর (a1, b1), (a2, b2),এবং (a3, b3) বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
অতএব (a1, b1), (a2, b2) এবং (a3, b3)  বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

25. দেখাও যে (α, β) বিন্দুগামী এবং a1x + b1y + c1 = 0 ও  a2x + b2y + c2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়,

\(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_1α+ b_1β+ c_1}= \frac{a_2x + b_2y + c_2}{a_2α+ b_2β+ c_2}\)

Solution: a1x + b1y + c1 = 0 ও  a2x + b2y + c2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
 a1x + b1y + c1 + k(a2x + b2y + c2) = 0 . . .  (i) 
ছেদবিন্দুগামী সরলরেখাটি (α, β) বিন্দুগামী।
∴ a1α + b1β + c1 + k(a2α + b2β + c2) = 0

\(⇒k=-\frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}\)

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই,

\(\quad a_1x + b_1y + c_1 -\frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}(a_2x + b_2y + c_2) = 0\\⇒a_1x + b_1y + c_1 = \frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}(a_2x + b_2y + c_2)\\⇒\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_1α+ b_1β+ c_1} = \frac{a_2x + b_2y + c_2}{a_2α+ b_2β+ c_2}\ (Proved)\)

26. প্রমাণ করো যে, xcos θ + ysin θ = p সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের সমীকরণ হয়,   p2 (x2 + y2) = 4x2y2 

Solution:
xcos θ + ysin θ = p

⇒ \(\frac{x}{psec θ}+\frac{y}{pcosec θ}=1\)

সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে (psec θ, 0), (0, pcosec θ) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = psec θ+0/2
বা, 2h = psec θ
বা, cos θ = p/2h
এবং k = 0+pcosec θ/2
বা, 2k = pcosec θ
বা, sin θ = p/2k
 ∵ sin2 θ + cos2 θ = 1
বা, p2/4k2 + p2/4h2 = 1
বা, p2(h2+k2)/4h2k2 = 1
বা, p2(h2 + k2) = 4h2k2 
Ans: সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের সমীকরণ হয় p2(x2 + y2) = 4x2y2

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি 
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. (2, 3) বিন্দুগামী কোনো সরলরেখা দ্বারা অক্ষ দুটির ছেদিতাংশের সমষ্টি 10 একক। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি,সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a ও b একক ছিন্ন করে। 
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ 

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

বা, bx + ay = ab
প্রশ্নানুযায়ী,
    a + b = 10
বা, b = 10 – a . . . (i)
সরলরেখাটি (2, 3) বিন্দুগামী,
 ∴ 2b + 3a = ab
বা, 2b – ab + 3a = 0
বা, b(2 – a) + 3a = 0
বা, (10 – a)(2 – a) + 3a = 0 . . . [∵ b = 10 – a]
বা, 20 – 10a – 2a + a2 + 3a = 0 
বা, a2 – 9a + 20 = 0
বা, (a – 5)(a – 4) = 0
∴ a = 4, 5
a = 4 হলে
b = 10 – 4 = 6
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবে:
    6x + 4y = 24
বা, 3x + 2y = 12
আবার a = 5 হলে
b = 10 – 5 = 5
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবে: 
    5x + 5y = 25
বা, x + y = 5
Ans: নির্ণেয় সমীকরণঃ
  3x + 2y = 12 অথবা x + y = 5

2. মূলবিন্দুগামী দুটি সরলরেখা 4x + 3y = 12 সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে। সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 4x + 3y = 12

\(⇒\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

∴ সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের স্থানাঙ্ক
= (1.3 + 2.0/1+2, 1.0 + 2.4/1+2) এবং (2.3 + 1.0/1+2, 2.0 + 1.4/1+2)
= (1, 8/3) এবং (2, 4/3)
ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx . . . (i)
(i) নং সরলরেখাটি (1, 8/3) বিন্দুগামী হলে,
 8/3 = m.1
⇒ m = 8/3
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y = 8/3x 
⇒ 8x – 3y = 0 
(i) নং সরলরেখাটি (2, 4/3) বিন্দুগামী হলে, 
   4/3 = m.2
⇒ m = 2/3
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y = 2/3x 
⇒ 2x – 3y = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
 8x – 3y = 0 এবং 
 2x – 3y = 0

3. একটি পরিবর্তনশীল সরলরেখা AB, যা x ও y-অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে, সর্বদাই একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (α, β) দিয়ে যায়। যে বিন্দুতে AB রেখাংশ 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়, সেই বিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(a, 0) ও B(0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ 

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

বা, bx + ay = ab  . . . (i)
সরলরেখাটি অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশ যে বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = 1.a + 2.0/1+2
বা, h = a /3
বা, a = 3h
আবার
k = 1.0 + 2.b/1+2
বা, k = 2b/3
বা, b = 3k/2
সরলরেখাটি নির্দিষ্ট বিন্দু (α, β) দিয়ে যায়।
 ∴ bα + aβ = ab  . . . [(i) নং থেকে পাই]
বা, 3k/2.α + 3h.β = 3h.3k/2 . . . [a, b-এর মান বসিয়ে]
বা, 3αk + 6βh = 9hk
বা, αk + 2βh = 3hk
বা, α/h + 2β/k = 3
Ans: বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ:
α/x + 2β/y = 3

4. (2, 3) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে 12 বর্গএকক ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন করে; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি,সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)যেখানে a ও b যথাক্রমে x ও y অক্ষের উপর ছেদিতাংশ।

 প্রশ্নানুযায়ী,
    1/2ab = 12
বা, ab = 24 . . . (i)
সরলরেখাটি (2, 3) বিন্দুগামী,  

\(∴\ \frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)

বা, 2b + 3a = ab
বা, 2b + 3a = 24
⇒ 2ab + 3a2 = 24a
বা, 3a2 – 24a + 48 = 0
বা, a2 – 8a + 16 = 0
⇒ (a – 4)2 = 0
বা, (a – 4) = 0
বা, a = 4
(i) নং থেকে পাই, 
4.b = 24
বা, b = 6 

Ans: নির্ণেয় সমীকরণঃ\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\\⇒ 3x + 2y = 12\)

5. একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 24 বর্গএকক। সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক হলে সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি,সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a ও b একক ছিন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

বা, bx + ay = ab
প্রশ্নানুযায়ী, 
   1/2|ab| = 24
বা, ab = ±48 . . . (i)
আবার অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক 

\(∴\sqrt{(a)^2+(b)^2}=10\)

বা, a2 + b2 = 100
∵ ab = ±48 এবং a2 + b2 = 100
∴ a = ±8, b = ±6
অথবা
  a = ±6, b = ±8
a = ±8, b = ±6 হলে,
সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
     ±8x ± 6y = ± 48
বা, ±4x ± 3y = ± 24
অথবা
a = ±6, b = ±8 হলে,
     ±6x ± 8y = ± 48
বা, ±3x ± 4y = ± 24
Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ
   ±4x ± 3y = ± 24,
   ±3x ± 4y = ± 24

6. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু দুটি (2a, 0), (0, a) এবং সমান বাহু দুটির একটির সমীকরণ x = 2a। ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ এবং তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, ABC ত্রিভুজের ভূমি BC -এর  C(2a, 0) এবং B(0, a) বিন্দুতে অবস্থিত।
সমান বাহু দুটির একটির সমীকরণ x = 2a।
ধরি, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2a, k)
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ AC = AB

\(\sqrt{(2a-2a)^2+(k-0)^2}= \sqrt{(2a-0)^2+(k-a)^2}\)

⇒ k2 = 4a2 + k2 – 2ka + a2
⇒ 5a2 = 2ak
⇒ 5a = 2k
⇒ k = 5a/2
∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2a, 5a/2)

AB বাহুর সমীকরণ:\(\ \frac{y – a}{a-\frac{5a}{2}} = \frac{x – 0}{0 – 2a}\\⇒\frac{y – a}{-\frac{3a}{2}} = \frac{x}{- 2a}\\⇒\frac{2y – 2a}{3} = \frac{x – 0}{2}\)

বা, 3x – 4y + 4a = 0       

BC বাহুর সমীকরণ:\(\ \frac{y – 0}{0-a}= \frac{x – 2a}{2a – 0}\\⇒\frac{y}{-a}= \frac{x – 2a}{2a} \\⇒ \frac{y}{-1} = \frac{x – 2a}{2}\)

বা, x + 2y – 2a = 0
ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু হল A(2a, 0), B(0, a), এবং C(2a, 5a/2)
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= 1/2[2a(a – 5a/2) + 0 + 2a(0 – a)]
= 1/2[2a×(-3a/2) + 0 + 2a( – a)]
⇒ 1/2[a×(-3a) – 2a2]
= 1/2[-3a2 + 0 – 2a2]
= – 5a2/2 বর্গএকক
Ans: অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
3x – 4y + 4a = 0 এবং 
x + 2y – 2a = 0
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 5a2/2 বর্গএকক

7. (4, 5) ও (7, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ 5x + 4y = 4 সরলরেখা দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয় তা নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, (4, 5) ও (7, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ P বিন্দু দ্বারা  m : n অনুপাতে বিভক্ত হয়।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক 
=(4n + 7m/m + n, 5n – m/m + n)
বিন্দুটি 5x + 4y = 4 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 5.4n + 7m/m + n + 4.5n – m/m + n = 4
বা, 5(4n + 7m) + 4(5n – m) = 4(m + n)
বা, 20n + 35m + 20n – 4m = 4m + 4n
⇒ 40n + 31m – 4n – 4m = 0
বা, 36n + 27m = 0
বা, 27m = – 36n
⇒ 3m = – 4n
⇒ m/n = – 4/3
Ans: 4 : 3 অনুপাতে বহিঃবিভক্ত হয়।

8. A(2, 5) ও B(- 3, – 4) দুটি স্থির বিন্দু। P বিন্দু AB রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। P বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। যদি k-এর মান পরিবর্তনশীল হয়, তবে প্রাপ্তফল থেকে AB সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: P বিন্দু AB রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক
=(-3k + 2/k + 1, -4k + 5/k + 1)
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (p, q) হলে,
     p = -3k + 2/k + 1
বা, pk + p = -3k + 2
বা, k(p + 3) = 2 – p
⇒ k = 2 – p/p + 3 . . . (i)
এবং
     q = -4k + 5/k + 1
বা, qk + q = -4k + 5
বা, k(q + 4) = 5 – q
⇒ k = 5 – q/q + 4  . . .  (ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই, 
   2 – p/p + 3 = 5 – q/q + 4
বা, 2q + 8 – pq – 4p = 5p – pq + 15 – 3q
বা, 5q – 9p = 7
⇒ 9p – 5q + 7 = 0
Ans: P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3k + 2/k + 1, -4k + 5/k + 1)
AB সরলরেখার সমীকরণ:  
9x – 5y + 7 = 0

9. A(- 2, – 5) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার প্রবণতা 3/4। সরলরেখার ওপর অবস্থিত B বিন্দুর A বিন্দু থেকে দূরত্ব 10 একক হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: A(- 2, – 5) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার প্রবণতা 3/4
∴ সরলরেখার সমীকরণ:
  y + 5 = 3/4(x + 2)
বা, 4y + 20 = 3x + 6
বা, 3x – 4y – 14 = 0 . . . (i)
ধরি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(i) নং সরলরেখার ওপর B বিন্দু অবস্থিত।
∴ 3h – 4k – 14 = 0 . . . (ii)
আবার,

\(\sqrt{(h+2)^2+(k+5)^2}= 10\)

(h + 2)2 +(k + 5)2 = 100
বা, h2 + 4h + 4 + k2 + 10k + 25 = 100
বা, h2 + 4h + k2 + 10k = 71 . . . (iii)
(ii) ও (iii) সমাধান করে পাই,
  h = -10, k = -11
অথবা  h = 6, k = 1
Ans: B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-10, -11) অথবা (6, 1)

10. A(1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে। যদি এই সরলরেখার সঙ্গে x + y = 4 সরলরেখার ছেদবিন্দুর A থেকে দূরত্ব 1/3√6 একক হয়, তবে θ-র মান নির্ণয় করো।

Solution: x + y = 4 সরলরেখার উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, 4 – α)
ধরি, A(1, 2) বিন্দুগামী এবং  x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখা x + y = 4 সরলরেখাকে (α, 4 – α) বিন্দুতে ছেদ করে। 
প্রশ্নানুযায়ী, 

\(\sqrt{(α-1)^2+(4-α-2)^2}= \frac{1}{3}√6\\⇒\sqrt{(α-1)^2+(2-α)^2}= \frac{1}{3}√6\)

⇒ α2 – 2α + 1 + 4 – 4α + α2 = 1/9.6
⇒ 2α2 – 6α + 5 = 2/3
বা, 6α2 – 18α + 13 = 0

\(∴ α = \frac{18±\sqrt{(18)^2- 4.6.13}}{2.6}\\\ = \frac{18±\sqrt{324- 312}}{12}\\\ = \frac{18±\sqrt{12}}{12}\\\ = \frac{18±2\sqrt{3}}{12}\\\ = \frac{9±\sqrt{3}}{6}\)

α = 9+√3/6 হলে,
4 – α
= 4 – 9+√3/6 =15-√3/6
α = 9-√3/6 হলে,
4 – α
= 4 – 9-√3/6 =15+√3/6
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক B(9+√3/6, 15-√3/6) অথবা B′(9-√3/6, 15+√3/6)
AB সরলরেখার প্রবনতা:

AB সরলরেখার প্রবনতা:\(tanθ = \frac{\frac{15-\sqrt{3}}{6} – 2}{\frac{9+\sqrt{3}}{6} – 1}\\\ =\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\ =\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\left(\\\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \right)}\\\ =\frac{4-2\sqrt{3}}{3-1}=2-\sqrt{3}\\∴ tanθ = tan15°\\⇒θ = 15°\)
AB′ সরলরেখার প্রবনতা:\(tanθ = \frac{\frac{15+\sqrt{3}}{6} – 2}{\frac{9-\sqrt{3}}{6} – 1}\\\ =\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\\ =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\left(\\\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \right)}\\\ =\frac{4+2\sqrt{3}}{3-1}=2+\sqrt{3}\\∴ tanθ = tan75°\\⇒θ = 75°\)

Ans: θ-র মান 15°, 75°

11. যেসব সরলরেখা (3, 1) বিন্দুগামী এবং মূলবিন্দু থেকে যাদের লম্বদূরত্ব 1 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, (3, 1) বিন্দুগামী এবং m প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
   y – 1 = m(x – 3)
বা, mx – y + (1 – 3m) = 0
প্রশ্নানুযায়ী, 

\(\ \frac{|m.0-0+1 – 3m|}{m^2 + 1} = 1\\⇒\frac{|1 – 3m|}{m^2 + 1} = 1\)

⇒ (1 – 3m)2 = m2 + 1
⇒ 1 – 6m + 9m2 = m2 + 1
বা, 8m2 – 6m = 0
বা, 2m(4m – 3) = 0
∴ m = 0, 3/4
m = 0 হলে সরলরেখার সমীকরণ:
   y – 1 = 0.(x – 3)
বা, y – 1 = 0
m = 3/4 হলে সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 1 = 3/4.(x – 3)
বা, 3x – 9 = 4y – 4
বা, 3x – 4y – 5 = 0
Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
  y – 1 = 0 এবং 
 3x – 4y – 5 = 0

12. দেখাও যে, মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা 5x – 3y – 2 = 0 ও x + y – 10 = 0 সরলরেখা দুটির সঙ্গে সমবিন্দু।Solution: 5x – 3y – 2 = 0 ও x + y – 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    x/30+2 = y/-2+50= 1/5+3
বা, x/32 = y/48= 1/8
বা, x/4 = y/6= 1
∴ x = 4, y = 6
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6)
মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 3/3 – 0  = x – 2/2 – 0
বা, 3x – 6 = 2y – 6
বা, 3x – 2y = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণের বামপক্ষে (4, 6) বসিয়ে পাই, 
3.4 – 2.6 = 12 – 12 = 0
∴ (i) নং সমীকরণ (4, 6) দ্বারা সিদ্ধ হয়।
মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখা দুটির সঙ্গে সমবিন্দু। (Proved)

13. প্রমাণ করো যে, ax + (b + c)y + d = 0, bx + (c + a)y + d = 0 এবং cx + (a + b)y + d = 0 সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু।

Solution: ax + (b + c)y + d = 0 ও bx + (c + a)y + d = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\frac{x}{(b+c)d-(c+a)d} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{a(c+a)-b(b+c)}\\⇒\frac{x}{bd-ad} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{ac+a^2-b^2-bc}\\⇒ \frac{x}{d(b-a)} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{(a+b)(a-b)+c(a-b)}\\⇒ \frac{x}{-d(a-b)} = \frac{y}{-d(a-b)} = \frac{1}{(a-b)(a+b+c)}\\⇒\frac{x}{-d} = \frac{y}{-d} = \frac{1}{(a+b+c)}\\∴ x = \frac{-d}{a+b+c}\ , y = \frac{-d}{a+b+c}\)∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\)
cx + (a + b)y + d = 0 সমীকরণের বামপক্ষে\(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\) বসিয়ে পাই,\(c.\frac{-d}{a+b+c} + (a + b).\frac{-d}{a+b+c} + d \\=\frac{-cd-ad-bd+ad+bd+cd}{a+b+c} =0\)∴ cx + (a + b)y + d = 0 সমীকরণ \(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\) দ্বারা সিদ্ধ হয়।

∴ প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু। (Proved)

14. xcos α + ysin α = p , xcos β + ysin β = q এবং y = xtan θ সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো।

Solution: xcos α + ysin α = p ও xcos β + ysin β = q সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\ \frac{x}{-qsin α + psin β} = \frac{y}{-pcos β + qcos α} = \frac{1}{cos α.sin β – sin α.cos β}\\⇒ \frac{x}{psin β – qsin α} = \frac{y}{qcos α – pcos β} = \frac{1}{sin (β – α)}\\∴ \frac{x}{psin β – qsin α} = \frac{1}{sin (β – α)}\\⇒ x = \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}\)এবং\(\frac{y}{qcos α – pcos β} = \frac{1}{sin (β – α)}\\⇒ y = \frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}\)
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক\(\left( \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)},\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)} \right)\)
সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হবে যদি y = xtan θ সমীকরণটি \(\left( \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)},\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)} \right)\) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়।\(∴\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}=\frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}.tan θ\\⇒\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}=\frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}.\frac{sin θ}{cos θ}\)

 ⇒ cosθ(qcosα – pcosβ) = sinθ(psinβ – qsinα)
⇒ qcosθcosα – pcosθcosβ = psinθsinβ – qsinθsinα
⇒, q(cosθcosα + qsinθsinα) = p(cosθcosβ + sinθsinβ)
⇒ qcos(θ – α) = pcos(θ – β)
Ans: সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হবে যদি qcos(θ – α) = pcos(θ – β) হয়।

15. ab + bc + ca = 0 হলে দেখাও যে,

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{c},\ \frac{x}{b} + \frac{y}{c} = \frac{1}{a} ও\ \frac{x}{c} + \frac{y}{a} = \frac{1}{b}\) সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু।

Solution:

\(\ ab + bc + ca = 0\\⇒\frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc} + \frac{ca}{abc} = 0\\⇒\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0\\∵\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{c}\\⇒\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = -\frac{1}{a} – \frac{1}{b} . . . (i)\)আবার \(\ \frac{x}{b} + \frac{y}{c} = \frac{1}{a}\\⇒\frac{x}{b} + \frac{y}{c} = -\frac{1}{b} – \frac{1}{c} . . . (ii)\)এবং\(\ \frac{x}{c} + \frac{y}{a} = \frac{1}{b}\\⇒\frac{x}{c} + \frac{y}{a} = -\frac{1}{c} – \frac{1}{a} . . . (iii)\)

(i), (ii) এবং (iii) থেকে বলা যায় যে সরলরেখা তিনটি (-1, -1) বিন্দুগামী।
∴ প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি  সমবিন্দু। (Proved)

16. px + qy + r = 0 সরলরেখার পরিবর্তনশীল সহগ তিনটি p, q, r-এর মধ্যে pa + qb + rc = 0 সম্বন্ধ থাকলে (যেখানে a, b, c স্থির ধ্রূবক), দেখাও যে পরিবর্তনশীল সরলরেখাটি সর্বদা একটি স্থির বিন্দুগামী।

Solution: pa + qb + rc = 0

বা, \(\frac{pa}{c}+\frac{qb}{c}+r=0 . . . (i)\)
স্পষ্টতই (i) নং থেকে বলা যায় যে প্রদত্ত px + qy + r = 0 সরলরেখাটি \(\left( \frac{a}{c},\frac{b}{c} \right)\) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়। 
∴ px + qy + r = 0 সরলরেখাটি \(\left( \frac{a}{c},\frac{b}{c} \right)\)বিন্দুগামী।

এটি একটি স্থির বিন্দু।
∴ পরিবর্তনশীল সরলরেখাটি সর্বদা একটি স্থির বিন্দুগামী।  ( Proved)

17. প্রমাণ করো যে, \(y = m_1x + c_1 , y = m_2x + c_2\ ও\ x = 0\) দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =\(\frac{1}{2}.\frac{(c_1 -c_2)^2}{|m_1- m_2|} \) বর্গএকক হবে।

Solution: সরলরেখা তিনটির সমীকরণ:
y = m1x + c1 . . . (i)
y = m2x + c2 . . . (ii) ও 
x = 0 . . . (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
y – y = m1x + c1 – m2x – c2
বা, (m2 – m1)x = c1 – c2 

বা, x = \(\frac{(c_1 -c_2)}{m_2- m_1}\)

(i) নং থেকে পাই,

\(y = m_1.\frac{(c_1 -c_2)}{m_2- m_1}+c_1\\⇒ y= \frac{m_1c_1 -m_1c_2+m_2c_1-m_1c_1}{m_2- m_1}\\⇒y= \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\)∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}, \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\right)\)

y = m1x + c1 এবং y = m2x + c2 সরলরেখা y অক্ষকে যথাক্রমে (0, c1) এবং (0, c2) বিন্দুতে ছেদ করে। 

∴ গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি \(A(0, c_1), B(0, c_2)\) এবং C\(\left(\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}, \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\right)\)

ত্রিভুজেটির ক্ষেত্রফল

\(=\frac{1}{2}.\left| \left[ 0+0+\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}(c_1 -c_2) \right] \right|\\=\frac{1}{2}.\left| \left[\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}(c_1 -c_2) \right] \right|\\=\frac{1}{2}.\frac{(c_1 -c_2)^2}{|m_2- m_1|}\)বর্গএকক

18. x/2+ y/3 =1 এবং  x/3 + y/2 =1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী একটি গতিশীল সরলরেখা x ও y-অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো। 

Solution: x/2+ y/3 =1 এবং  x/3 + y/2 =1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
   (x/2+ y/3 – 1) + k( x/3 + y/2 -1) = 0
বা, 3x + 2kx + 2y + 3ky = 6k + 6
বা, (3 + 2k)x + (2 + 3k)y = 6(k + 1)

\(⇒ \frac{x}{\frac{6(k + 1)}{3+2k}} + \frac{y}{\frac{6(k + 1)}{2 + 3k}} =1\)
∴ A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(\left( \frac{6(k + 1)}{3+2k},0 \right),\left( 0,\frac{6(k + 1)}{2 + 3k} \right)\)

AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু (α, β) হলে,
    α = 3(k + 1)/3 + 2k
বা, 3α + 2kα = 3k + 3
বা, k(2α – 3) = 3(1 – α)
⇒ k = 3(1 – α)/2α – 3 . . . (i) 
     β = 3(k + 1)/2 + 3k
বা, 2β + 3βk = 3k + 3
বা, k(3β – 3) = 3 – 2β
⇒ k = 3 – 2β/3(β – 1) . . . (ii) 
(i) ও (ii) থেকে পাই,
     3(1 – α)/2α – 3 = 3 – 2β/3(β – 1)
বা,  9β – 9 – 9αβ + 9α = 6α – 4αβ – 9 + 6β
বা, – 5αβ = -3α – 3β 
⇒ – 5αβ = -3(α + β) 
বা, 5αβ = 3(α + β) 
Ans: AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
 5xy = 3(x + y)

19. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 9 = 0 এবং 4x – 3y + 16 = 0। এর তৃতীয় বাহু D(5, 2) বিন্দু দিয়ে যায়, যেখানে BD : DC = 4 : 5। তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

4    5 D C B A

Solution: AB এবং AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 9 = 0 এবং 4x – 3y + 16 = 0 
স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব। 
AB এবং AC বাহুর প্রবণতা যথাক্রমে -3/4 এবং 4/3
ধরি BC বাহুর প্রবণতা m 
AB ও BC বাহুর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, 

\(tanθ = \left| \frac{m+\frac{3}{4}}{1-m.\frac{3}{4}} \right|\\ = \left| \frac{4m+3}{4-3m} \right| . . . (i)\)

AC ও BC বাহুর মধ্যবর্তী কোণ 90° – θ

\(\quad tan(90° – θ) = \left| \frac{m-\frac{4}{3}}{1+m.\frac{4}{3}} \right|\\⇒ cotθ= \left| \frac{3m-4}{3+4m} \right| . . . (ii)\)(i)×(ii) করে পাই,\(\\ tanθ×cotθ = \left| \frac{4m+3}{4-3m}×\frac{3m-4}{3+4m} \right|\\⇒ 1= \left| \frac{4m+3}{4-3m}×\frac{3m-4}{3+4m} \right|\)

বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = ±(4m + 3)(3m – 4)
(+) চিহ্ন ধরে,
    (4 – 3m)×(3 + 4m) = (4m + 3)(3m – 4)
বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = -(4 – 3m)×(3 + 4m)
বা, 2(4 – 3m)×(3 + 4m) = 0
⇒ (4 – 3m)×(3 + 4m) = 0 
∴ (4 – 3m) = 0 হলে
m = 4/3 হয়।
এটি AC -এর প্রবনতা 
(3 + 4m) = 0 হলে
m = -3/4 হয়।
এটি AB -এর প্রবনতা 
(-) চিহ্ন ধরে,
 (4 – 3m)×(3 + 4m) = -(4m + 3)(3m – 4)
বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = (4 – 3m)×(3 + 4m)
এখান থেকে m-এর কোনো মান পাওয়া যাবে না। 
∴ m = ∞ 
∴ BC -এর প্রবনতা ∞ 
অতএব BC সরলরেখাটি y অক্ষের সমান্তরাল। 
ধরি, BC সরলরেখার সমীকরণ x = k
সরলরেখাটি D(5, 2) বিন্দুগামী। 
∴ 5 = k
BC সরলরেখার সমীকরণ x = 5 
Ans: তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ x = 5

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights