Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা 4A Straight Line in Three Dimensional Space Ex 4A Class XII S N Dey Solution

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

1. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ হয় –

$$\large{(a)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(b)\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0\\(c)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(d)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0}$$

Ans: (b)
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 1, 0, 0
∴ x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]

2. ᾱ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী যে সরলরেখা β̄ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হয়-
(a) r̄ = ᾱ + β̄ (b) r̄ = β̄ + tᾱ
(c) r̄ = ᾱ + tβ̄ (d)এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (c) r̄ = ᾱ + tβ̄

3. যে সরলরেখার প্রতিসম আকারে সমীকরণ ^{x – 1}/₃ = ^{y – 5}/₁ = ^{z – 3}/₀ সেই সরলরেখার সমান্তরাল যে-কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি হয় –
(a) (3, 1, 0) (b) (3, -1, 0) (c) (1, 5, 3) (d) (-3, 1, 0)
Ans: (a) (3, 1, 0)

4. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x – 2 = 2y + 1 = 2z – 4. তার দিক্ অনুপাতগুলি হয়-
(a) ¹/₃, –¹/₂, ¹/₂ (b) –¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
(c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂ (d) ¹/₃, ¹/₂, –¹/₂
Ans: (c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂

$$\large{\quad 3x-2=2y+1=2z-4\\⇒3(x-\frac{2}{3})=2(y+\frac{1}{2})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}}$$

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

5. ( 1, 2, 3) ও (4, 0, 6) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখার সমীকরণ হয় –

$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{6}\\(b)\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-6}{3}\\(c)\quad\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}\\(d)\quad\frac{x-4}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-6}{3}\\\mathbf{Ans\quad(d)}\\\[\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{3}]}$$

6. (5, 2, 7) বিন্দুগামী যে সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয়-

$$\large{(a)\quad\frac{x-5}{b}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-7}{b},b≠0\\(b)\quad\frac{x+5}{b}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+7}{b},b≠0\\(c)\quad\frac{x-5}{0}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-7}{0},b≠0\\(d)\quad\frac{x+5}{0}=\frac{y+2}{b}=\frac{z+7}{0},b≠0}$$

Ans: (c)
[y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে b ≠ 0 ]

7. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
(b) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত হয়, ^x₁/_a = ^y₁/_b = –^z₁/_c ।
(c) (1, 0, 0) ও (0, 5, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হয় r̄ = (1, 0, 0) + t(-1, -5, 3)
(d) x = 3 + 2t, y = 5, z = 3 সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল।
Ans: (a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ x-অক্ষ বা x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]

8. যদি P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6), R(7, 8, 9) বিন্দুত্রয় সমরেখ হয়, তবে Q বিন্দু PR সরলরেখাকে যে অনুপাতে ছেদ করে তা হল –
(a) 2 : 1 (b) 1 : 2 (c) 1 : 1 (d) 1 : 3
Ans: (c) 1 : 1
[P(1, 2, 3) ও R(7, 8, 9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁺⁷/₂, ²⁺⁸/₂, ³⁺⁹/₂) বা (4, 5, 6)
∵ PR-এর মধ্যবিন্দু Q
∴ Q বিন্দু PR সরলরেখাকে 1 : 1 অনুপাতে ছেদ করে.]

$$\mathbf{\large{9.\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}}\\}\\$$

সরলরেখাটি z-অক্ষের সমান্তরাল হলে,
(a) a = c = 0 ও b ≠ 0 হবে
(b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
(c) b = c = 0 ও a ≠ 0 হবে
(d) a = b = c = 0 হবে

Ans: (b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
[z-অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 0, 1]

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

10. (1, 2, 3) ও (4, 5, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়-

$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6},\\(b)\quad\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{4-2},\\(c)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{5-2}=\frac{z-6}{5-3},\\(d)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{2-5}=\frac{z-6}{3-6}\\\mathbf{Ans:\quad}(a)\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}\\}$$$$[\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}]}$$

অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. x – অক্ষের কার্তেসিয় ও ভেক্টর সমীকরণ লেখো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দুটি x – অক্ষের উপর অবস্থিত এবং x – অক্ষের দিক্ অনুপাতসমূহ হল 1, 0, 0
x – অক্ষের কার্তেসিয় সমীকরণ

$$\large{\quad\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0} \quad\mathbf{(Ans)}\\}$$

x – অক্ষের ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = 0î + 0ĵ + 0k̂ + t(1î + 0ĵ + 0k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = tî (Ans)

2. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{2x – 5}/₃ = ^{6 – 3y}/₂ = ^{z + 1}/₆ হলে, ওই সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ কি হবে?

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ

$$\large{\quad \frac{2x-5}{3}=\frac{6-3y}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{2(x-\frac{5}{2})}{3}=\frac{-3(y-\frac{6}{3})}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}×6}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}×6}=\frac{z+1}{6×6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{9}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{36}}$$Ans: প্রদত্ত সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 9, -4, 36;

3. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 4, তার দিক্ কোসাইনগুলি লেখ।

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ

$$\large{\quad 6x-2=3y+1=2z-4\\⇒6(x-\frac{2}{6})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-2}{3}}$$

∴ সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, 2, 3;
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনগুলি হল

$$\large{=±\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1+4+9}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{14}},\quad±\frac{2}{\sqrt{14}},\quad±\frac{3}{\sqrt{14}}\quad\mathbf{(Ans)}}$$

4. ^{x – 5}/₂ = ^{y + 6}/₀ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখাটি কোন্ অক্ষের ওপর লম্ব?
Solution:

$$\large{\frac{x-5}{2}=\frac{y+6}{0}=\frac{z-3}{2}\\}$$

সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, 0, 2;
আবার y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0;
∴ 2×0 + 0×1 + 2×0 = 0
∴ প্রদত্ত সরলরেখাটি এবং y অক্ষের ওপর লম্ব। (Ans)

5. ^{x – 5}/₃ = ^{y + 4}/₇ = ^{z – 6}/₂ সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লেখো।
Solution:

$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\\}$$

সরলরেখাটি (5, -4, 6) বিন্দুগামী এবং 3, 7, 2 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট।
∴ সরলরেখাটি 5î – 4ĵ + 6k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং 3î + 7ĵ + 2k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
প্রদত্ত সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ-
r̄ = 5î – 4ĵ + 6k̂ + t(3î + 7ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল যে সরলরেখা (1, -2, 5) বিন্দুগামী, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(1, -2, 5) এর অবস্থান ভেক্টর î – 2ĵ + 5k̂
(1, -2, 5) বিন্দুগামী যে সরলরেখা î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = î – 2ĵ + 5k̂ + t(î – 2ĵ + 3k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, -2, 3
(1, -2, 5) বিন্দুগামী এবং 1, -2, 3 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –

$$\large{\frac{x-1}{1}=\frac{y-(-2)}{-2}=\frac{z-5}{3}\\⇒\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-5}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$

2. (5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(5, 2, -4) এর অবস্থান ভেক্টর 5î + 2ĵ – 4k̂
(5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = 5î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î + 2ĵ – 8k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 3, 2, -8
(5, 2, -4) বিন্দুগামী এবং 3, 2, -8 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –

$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-(-4)}{-8}\\⇒\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}\quad\mathbf{(Ans)} }$$

3. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{x + 3}/₂ = ^{y – 5}/₄ = ^{z + 6}/₂ হলে, সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –

$$\large{\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}\\⇒ \frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z-(-6)}{2} \\}$$

সরলরেখাটি (-3, 5, -6) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 4, 2
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = -3î + 5ĵ – 6k̂ + t(2î + 4ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

4. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 2 = 5y – 4 = 3 – z; সরলরেখাটি যে বিন্দুগামী তার স্থানাঙ্ক ও তার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো। সরলরেখাটি প্রতিসম (symmetric) আকারে প্রকাশ করো এবং তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –

$$\large{3x+2=5y-4=3-z\\⇒ 3(x+\frac{2}{3})=5(y-\frac{4}{5})=-1(z-3)\\⇒ \frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\\}$$

Ans: সরলরেখাটি (-²/₃, ⁴/₅, 3) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ ¹/₃, ¹/₅, -1
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –

$$\large{\frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$

সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –²/₃î + ⁴/₅ĵ + 3k̂ + t(¹/₃î + ¹/₅ĵ – k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

5. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z; সরলরেখাটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুগামী, তা নির্ণয় করো ও রেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে সেটি প্রতিসম (symmetric) আকারে ও ভেক্টর আকারে প্রকাশ করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –

$$\large{3x+1=6y-2=1-z\\⇒ 3(x+\frac{1}{3})=6(y-\frac{1}{3})=-1(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{z-1}{-1} \\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6} \\}$$

Ans: সরলরেখাটি (-¹/₃, ¹/₃, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 1, -6
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –

$$\large{\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$

সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –¹/₃î + ¹/₃ĵ + k̂ + t[2î + ĵ – 6k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

6. (1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় সমীকরণ –

$$\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{-5-2}=\frac{z-(4)}{2-(-4)}\\⇒\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+4}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$

ভেক্টর সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = 1î + 2ĵ – 4k̂ + t[(4 – 1)î + (-5 – 2)ĵ + (2 + 4)k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
= î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î – 7ĵ + 6k̂) (Ans)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

7. কোনো সরলরেখার সমীকরণ x = by + c, z = ay + d হলে তার প্রতিসম (symmetric) আকারে কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
প্রতিসম আকারে কার্তেসীয় সমীকরণঃ

$$\large{x=by+c\quad⇒y=\frac{x-c}{b}\\z=ay+d\quad⇒y=\frac{z-d}{a}\\\therefore \frac{x-c}{b}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-d}{a}}$$

প্রদত্ত সরলরেখাটি (c, 0, d) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক অনুপাতসমূহ b, 1, a;
ভেক্টর সমীকরণঃ
(c, 0, d) এর অবস্থান ভেক্টর cî + dk̂ এবং সরলরেখাটি bî + ĵ + ak̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ হল
∴ r̄ = cî + dk̂ + t(bî + ĵ + ak̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

8. P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂; PQRS একটি সামান্তরিক হলে, QS সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি, PQRS সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂;
∴ P. Q ও R বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 5, -8), (0, -3, 6) ও (-3, 2, 3)
সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2-3/₂, ⁵⁺²/₂, ^-8+3/₂) = (-¹/₂, ⁷/₂, –⁵/₂)
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
∴ QO সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:

$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-0}{0+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3-\frac{7}{2}}=\frac{z-6}{6+\frac{5}{2}}\\⇒\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-\frac{13}{2}}=\frac{z-6}{\frac{17}{2}}\\⇒\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}—(i)}$$∴ QS সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:$$\large{\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$

ভেক্টর সমীকরণঃ
QS সরলরেখা (0, -3, 6) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাতসমূহ 1, -13, 17
∴ সরলরেখাটি -3ĵ + 6k̂ বিন্দুগামী এবং î – 13ĵ + 17k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
QS সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
∴ r̄ = -3ĵ + 6k̂ + t(î – 13ĵ + 17k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]

9. দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î + 5k̂, î + ĵ + 3k̂ ও – 5i + 3j – k হলে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
ধরি বিন্দু তিনটি হল P, Q এবং R
∴ ŌP̄ = 4î + 5k̂
ŌQ̄ = î + ĵ + 3k̂
ŌR̄ = -5î + 3ĵ – k̂
∴ P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 0, 5), (1, 1, 3) এবং (-5, 3, -1)
∴ PQ সরলরেখার সমীকরণঃ

$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-0}{0-1}=\frac{z-5}{5-3}\\⇒\frac{x-4}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-5}{2}—-(i)}$$(i) নং সমীকরণে (-5, 3, -1) বসিয়ে পাই,$$\large{\frac{-5-4}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-1-5}{2}\\⇒\frac{-9}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-6}{2}\\⇒-3=-3=-3}$$

(-5, 3, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ PQ সরলরেখাটি (-5, 3, -1) অর্থাৎ R বিন্দুগামী।
∴ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

10. ^{x + 2}/₃ = ^{y + 1}/₂ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি নির্ণয় করো।

Solution:

ধরি$$\large{\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}=t\\}$$

– – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
∴ x = 3t – 2
y = 2t – 1
z = 2t + 3
∴ সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3t – 2, 2t – 1, 2t + 3)
(3t – 2, 2t – 1, 2t + 3) বিন্দু থেকে (1, 3, 3 ) বিন্দুর দূরত্ব
= √{(3t – 2 – 1)² + (2t – 1 – 3)² + (2t + 3 – 3)²}
= √{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²}
প্রশ্নানুযায়ী
√{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²} = 5
⇒ (3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)² = 25
⇒ 9t² + 9 – 18t + 4t² + 16 – 16t + 4t² = 25
⇒ 17t² + 25 – 34t = 25
⇒ 17t² – 34t = 0
⇒ 17t(t – 2) = 0
⇒ t(t – 2) = 0
∴ t = 0, t = 2
t = 0 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×0 – 2, 2×0 – 1, 2×0 + 3) = (-2, -1, 3)
t = 2 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×2 – 2, 2×2 – 1, 2×2 + 3) = (4, 3, 7)
সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি হল (-2, -1, 3) এবং (4, 3, 7) (Ans)

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

11. যদি p̄.q̄ = |p̄||q̄| হয়, তবে দেখাও যে, P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা (যেখানে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂ ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂) মূলবিন্দুগামী হবে।

Solution:
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌP̄ = p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌQ̄ = q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂
ধরি p̄ ও q̄ এর মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ ŌP̄.ŌQ̄ = p̄.q̄
= |p̄||q̄|cosθ
∴ |p̄||q̄|cosθ = |p̄||q̄| – – – – [∵ p̄.q̄ = |p̄||q̄|]
⇒ cosθ = 1
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°
ŌP̄ ও ŌQ̄ এর মধ্যবর্তী কোণ 0°
অর্থাৎ ŌP̄ ও ŌQ̄ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী। (Proved)

12. (i) 2î – ĵ + k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং -î + 4ĵ + k ও i + 2ĵ + 2k̂ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো। সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ-ও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
এখানে
ā = 2î – ĵ + k̂
b̄ = (î + 2ĵ + 2k̂) – (-î + 4ĵ + k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
∴ r̄ = 2î – ĵ + k̂ + t(2î – 2ĵ + k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (2, -1, 1) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, -2, 1
∴ সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ হল-

$$\large{\frac{x-2}{2}=\frac{y-(-1)}{-2}=\frac{z-1}{1}\\⇒\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1} \quad\mathbf{(Ans)}}$$

(ii) কোনো সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 2 হলে সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি এবং ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:

$$\large{6x-2=3y+1=2z-2\\⇒6(x-\frac{1}{3})=3(y-\frac{-1}{3})=2(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-1}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}}$$

সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি হল 1, 2, 3 (Ans)
সরলরেখাটি (¹/₃, –¹/₃, 1) বিন্দুগামী
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = ¹/₃î – ¹/₃ĵ + k̂ + t(î + 2ĵ + 3k̂) (Ans)