SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

1. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A-এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধ বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম হয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়
Ⓒ স্বসম এবং সংক্রমণ হয়
Ⓓ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়
Ans:     Ⓓ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়

2. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e) সেটে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় —
Ⓐ 2⁶       Ⓑ 2⁸      Ⓒ 2⁴      Ⓓ 2¹⁵
Ans:     Ⓐ 2⁶
Solution: n(A) = 3; n(A) = 2;
∴ n(A×B) = 3×2 = 6;
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2ⁿ  = 2⁶

3. মনে করো, A = {8, 9, 10, 11} এবং B = {2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরূপে সজ্ঞাত: xRy⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য R-এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {2, 3, 4, 5}        Ⓑ {8, 9, 10}
Ⓒ {8, 9, 10, 11}     Ⓓ {8, 10}
Ans:    Ⓑ {8, 9, 10}
Solution: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
= {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
∴ R-এর ক্ষেত্র {8, 9, 10}

4. R = {(x, y): x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R-এর পাল্লা হবে —
Ⓐ {-2, -1, 0, 1, 2}
Ⓑ {-2, -1, 0}
Ⓒ {5, 4, 3, 2, 1}
Ⓓ {4, 3, 2, 1}

Ans: Ⓒ {5, 4, 3, 2, 1}
Solution: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3
∴ -3 < x > 3
⇒ x = -2, -1, 0, 1, 2
∴ y = |-2 – 3| = |-5| = 5, |-1 – 3| = |-4| = 4,
            |0 – 3| = |-3| = 3, |1 – 3| = |-2| = 2, |2 – 3| = |-1| = 1 ∴ y = {5, 4, 3, 2, 1}

5. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A-এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসম হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে, তার সংখ্যা হল —
Ⓐ 1     Ⓑ 2     Ⓒ 3     Ⓓ 4
Ans:     Ⓐ 1
Solution: R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসম হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না যদি R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3,1)} হয়।

6. মনে করো, X = {1, 2, 3, 4} এবং X-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2), (4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম
Ⓑ স্বসম নয় কিন্তু প্রতিসম
Ⓒ প্রতিসম নয়
Ⓓ সংক্রমণ

Ans: Ⓒ প্রতিসম নয়
Solution: 1 ∈ X কিন্তু (1, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
(1, 2) ∈ R এবং (2, 3) ∈ R কিন্তু (1, 3) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়

7. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)} A-র ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম               Ⓑ প্রতিসম
Ⓒ স্বসম নয় কিন্তু প্রতিসম
Ⓓ স্বসম বা প্রতিসম কোনোটিই নয়
Ans: Ⓓ স্বসম বা প্রতিসম কোনোটিই নয়
Solution: 4 ∈ A কিন্তু (4, 4) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়
(2, 1) ∈ R কিন্তু (1, 2) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
• 2. নির্ণায়ক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

8. R₁= {(a, ¹/_a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্যা} ক্ষেত্র ও পাল্লা যথাক্রমে —
Ⓐ {1, 2, 3} ও {1, ¹/₂, ¹/₃}
Ⓑ {2, 3, 4} ও {¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Ⓒ {1, 2, 3, 4} ও {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Ⓓ {1, 2, 3, 4} ও {1, 2, 3, 4}

Ans: Ⓒ {1, 2, 3, 4} ও {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}
Solution: R₁ = {(a, ¹/_a): 0 < a < 5 এবং a একটি অখণ্ড সংখ্যা}
∴ a = 1, 2, 3, 4
R₁ = {(1, 1), (2, ¹/₂), (3, ¹/₃), (4, ¹/₄)}
∴ R₁ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং পাল্লা {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄}

9. {1, 2, 3, 4} -এর R সম্বন্ধ নিম্নরূপে প্রদত্ত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের কোনটি সঠিক উক্তি?
Ⓐ R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়;
Ⓑ R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়;
Ⓒ R সম্বন্ধ প্রতিসম ও সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়;
Ⓓ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

Ans: Ⓑ R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়;
Solution: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R→ সম্বন্ধটি স্বসম
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
এবং (1, 3) ∈ R, (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ

10. R = {(x – 5, 2x – 7):  x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা} সম্বন্ধের — Ⓐ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 0, 2, 4}
Ⓑ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 2, 4}
Ⓒ পাল্লা = {5, 7, 11}
Ⓓ পাল্লা = {- 5, – 1, 3, 7}

Ans: Ⓐ ক্ষেত্র = {- 4, – 2, 0, 2, 4}
Solution: R = {(x – 5, 2x – 7):  x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}
∴ x = 1, 3, 5, 7, 9 ∴ R = {(-4, -5), (-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)
∴ R-এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4}

11. R = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 এবং y = |x – 3|} সম্বন্ধের —
Ⓐ ক্ষেত্র = {0, 1, 2} ও পাল্লা = {3, 4, 5}
Ⓑ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}
Ⓒ ক্ষেত্র = (- 2, – 1, 1, 2) ও পাল্লা = {2, 3, 4, 5}
Ⓓ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4}

Ans: Ⓑ ক্ষেত্র = {- 2, – 1, 0, 1, 2} ও পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}
Solution: R = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 এবং y = |x – 3|}
|x| < 3 ⇒ -3 < x < 3 y = |x – 3|
∴ R = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)
∴ R-এর ক্ষেত্র {- 2, – 1, 0, 1, 2} এবং পাল্লা = {1, 2, 3, 4, 5}

12. সকল ত্রিভুজসমূহের সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R = {(T₁, T₂): T₁ও T₂সদৃশ}। মনে করো, T₁, T₂ও T₃তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10; T₁, T₂ ও T₃ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ⓐ T₁ ও T₂      Ⓑ T₂ ও T₃      Ⓒ T₁ ও T₃      Ⓓ কেউই সম্বন্ধযুক্ত নয়

Ans: Ⓒ T₁ ও T₃
Solution: R = {(T₁, T₂): T₁ ও T₂ সদৃশ}
T₁ -এর বাহু তিনটি 3, 4, 5; 
T₂ -এর বাহু তিনটি 5, 12, 13
এবং T₃ -এর বাহু তিনটি 6, 8, 10;
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
এখানে ³/₆ = ⁴/₈ = ⁵/₁₀ = ¹/₂
∴ T₁ ও T₃ সম্বন্ধযুক্ত

13. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেটের ওপর সংজ্ঞাত “অপেক্ষা বড়ো” সম্বন্ধ —
Ⓐ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়।
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓐ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Solution: ধরি, প্রদত্ত সম্বন্ধটি R = {(a, b): a > b এবং a, b ∈ R}
ধরি, a, b, c ∈ R (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
∵ a > b এবং b > c ⟹ a > c
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R →সম্বন্ধটি সংক্রমণ
আবার a ∈ R হলে (a, a) ∉ R কারন a, a-এর থেকে বড়ো হতে পারে না। → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R হলে (b, a) ∉ R যেহেতু a > b সুতরাং b ≯ a→ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
∴ সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়

14. কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাসমূহের সেট -এর ওপর সংজ্ঞাত “l₁সরলরেখা l₂-এর ওপর লম্ব, l₁, l₂∈L” সম্বন্ধ L -এর ওপর —
Ⓐ সংক্রমণ, কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Solution: প্রদত্ত সম্বন্ধটি R = {(l₁, l₂): l₁ ⊥ l₂ এবং l₁, l₂ ∈ L}
l₁ ∈ L হলে l₁ ⊥ l₁ ∉ L
কারন কোনো সরলরেখাই, নিজের উপর লম্ব হতে পারে না। → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
l₁, l₂ ∈ L হলে l₁ ⊥ l₂ ⟹ l₂ ⊥ l₁ → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
l₁, l₂, l₃ ∈ L, l₁ ⊥ l₂  এবং l₂ ⊥ l₃
⟹ l₁ ∥ l₃ →সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়

15. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒“y, x দিয়ে বিভাজ্য” সব x ,y ∈N এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: R = {(x, y): “y, x দিয়ে বিভাজ্য” সব x ,y ∈ N}
যে-কোনো সংখ্যা সর্বদা সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়।
∴ (x ,x) ∈ R, ∀ x ∈ N → সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R কিন্তু (y, x) ∉ R
কারন y, x দিয়ে বিভাজ্যহলে x, y দিয়ে বিভাজ্য হবে না।→ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ R হলে (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
∴ y = ax এবং z = by
⟹ z = b.ax = abx
∴ z, x দিয়ে বিভাজ্য হবে।
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R হলে (x, z) ∈ R →সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
অতএব সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

16. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒x + y = 12 , সব x, y ∈ N -এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ স্বসম কিন্তু প্রতিসম কিংবা সংক্রমণ নয়
Ⓒ সমতুল্যতা সম্বন্ধ
Ⓓ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়

Ans: Ⓓ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়
Solution: R = {(x, y):  x + y = 12 , সব x, y ∈ N} 4 ∈ N
কিন্তু 4 + 4 = 8 ≠ 12 ⇒ (4, 4) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
x + y = 12 হলে y + x = 12 হবে সব x, y ∈ N 
∴ (x, y) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R →R সম্বন্ধটি প্রতিসম ।
(3, 9) ∈ R এবং (9, 3) ∈ R কিন্তু (3, 3) ∉ R কারন 3 + 3 = 6 ≠ 12
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়

17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: (x, y) ∈R ⇒x + 2y = 10 সব x, y ∈N-এর জন্য N-এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম        Ⓑ সমতুল্যতা
Ⓒ সংক্রমণ      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Solution: R = {(x, y): x + 2y = 10 সব x, y ∈ N}
x + 2y = 10 এবং y + 2x = 10
⇒ x + 2y = y + 2x ⇒ x = y
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R ⇒ x = y
N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।

18. মনে করো, সব সেটসমূহের সেট S এবং S-এর ওপর R সম্বন্ধের সংজ্ঞা হয়: XRY যদি এবং কেবলমাত্র যদি X ⊆ Y সব X, Y এর জন্য। তবে S এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓐ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: S = সেটসমূহের সেট R = {(x, y): X ⊆ Y, X, Y ∈ S}
স্পষ্টতই, X ⊆ X ∀ X ∈ S
∴ (X, X) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম
আবার, ধরা যাক, (X, Y) ∈ R এবং (Y, Z) ∈ R যেখানে, X, Y, Z ∈ S
⇒ X ⊆ Y এবং Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z
∴ (X, Y) ∈ R এবং (Y, Z) ∈ R হলে (X, Z) ∈ R হয় → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
ধরা যাক, X ∈ S যেখানে X ≠ φ, φ ⊆ X কিন্তু X ⊄ φ
∴ (φ, X) ∈ R কিন্তু (X, φ) ≠ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

19. পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Z -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত R = {(x, y): x, y ∈Z এবং (x – y) এর মান জোড়।} তবে Z -এর ওপর R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓓ সমতুল্যতা
Solution: R = {(x, y): x, y ∈ Z এবং (x – y) এর মান জোড়।}
ধরি, (x – y) = 2k যেখানে k ∈ Z:
x ∈ Z হলে (x, x) ∈ R হবে যেহেতু x – x = 0 → সম্বন্ধটি স্বসম
আবার (x, y) ∈ R ⇒ (x – y) = 2k
⇒ (y – x) = -2k = 2(-k)
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম
x, y, z ∈ Z এবং (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R
⇒ (x – y) = 2k এবং (y – z) = 2m যেখানে k, m ∈ Z
∴ x – z = (x – y) + (y – z)
= 2k + 2m = 2(k + m) = 2n যেখানে k + m = n ∈ Z
∴ (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম এবং সংক্রমণ

20. মনে করো, সব বহুভুজসমূহের সেট A: A-তে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয় R = {(P₁, P₂: P₁ও P₂এর সমসংখ্যক বাহু আছে।} তবে R সম্বন্ধ —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓓ সমতুল্যতা
Solution: A = বহুভুজসমূহের সেটR = {(P₁, P₂: P₁ ও P₂ এর সমসংখ্যক বাহু আছে।}
বহুভুজ P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₁ এর বাহু সংখ্যা
∴ (P₁, P₁) ∈ R ∀ P₁ ∈ A → সম্বন্ধটি স্বসম
P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₂ এর বাহু সংখ্যা ⟹ P₂ এর বাহু সংখ্যা = P₁ এর বাহু সংখ্যা
∴ (P₁, P₂) ∈ R ⟹ (P₂, P₁) ∈ R ∀ P₁, P₂ ∈ A → সম্বন্ধটি প্রতিসম
P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₂ এর বাহু সংখ্যা এবং P₂ এর বাহু সংখ্যা = P₃ এর বাহু সংখ্যা
⟹ P₁ এর বাহু সংখ্যা = P₃ এর বাহু সংখ্যা
P₁, P₂, P₃ ∈ A-এর জন্য, (P₁, P₂) ∈ R এবং (P₂, P₃) ∈ R
⟹ (P₁, P₃) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম এবং সংক্রমণ

21. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: S = {(x, y): x²+ y²= 1 সব x, y ∈R এর জন্য।} তবে R-এর ওপর S সম্বন্ধটি —
Ⓐ প্রতিসম নয়
Ⓑ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা

Ans: Ⓒ প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়
Solution: S = {(x, y): x² + y² = 1 সব x, y ∈ R এর জন্য।}
∵ 1² + 1²  = 2 ≠ 1
∴ (1, 1) ∉ R  → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
x² + y² = 1 ⇒ y² + x² = 1
∴ (x, y) ∈ R ⟹ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
1, 0, 1 ∈ R-এর জন্য,
1² + 0²  = 1, 0² + 1²  = 1
কিন্তু 1² + 1²  = 2 ≠ 1
∴ (1, 0) ∈ R, (0, 1) ∈ R কিন্তু (1, 1) ∉ R  → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়।

22. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয়: R = {(x, y): x ∈N, y ∈N এবং x, y-এর গুণিতক।} N-এর ওপর সংজ্ঞাত R সম্বন্ধটি —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Ⓓ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়

Ans: Ⓓ স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Solution: R = {(x, y): x ∈ N, y ∈ N এবং x, y-এর গুণিতক।}
∵ x = 1.x 
∴ (x ,x) ∈ R, ∀ x ∈ N → সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R কিন্তু (y, x) ∉ R
কারন x, y-এর গুণিতক হলে y, x-এর গুণিতক হবে না। → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ R হলে (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
∴ x = a.y এবং y = b.z
⟹ x = a.bz = ab.z
∴ x, z -এর গুণিতক।
অতএব (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R হলে (x, z) ∈ R হয়→সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ সম্বন্ধটি স্বসম এবং সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়।

23. মনে করো, একটি সেট A-র ওপর R ও S দুটি সম্বন্ধ। তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক নয়? 
Ⓐ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর প্রতিসম হয়, তবে RUS এবং R∩S উভয়েই A -এর ওপর প্রতিসম হবে।
Ⓑ R স্বসম এবং S যে-কোনো সম্বন্ধ হয়, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর স্বসম হবে।
Ⓒ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হয়, তবে R∩S সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে।
Ⓓ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হলে, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে।

Ans: Ⓓ R এবং S উভয়েই A-এর ওপর সংক্রমণ হলে, তবে RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ
Solution: Ⓐ ধরি, (x, y) ∈ RUS যেখানে x, y ∈ A
∴ (x, y) ∈ R অথবা  (x, y) ∈ S
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R→ R, A-এর ওপর প্রতিসম
এবং (x, y) ∈ S ⇒ (y, x) ∈ S → S, A-এর ওপর প্রতিসম
∴ (x, y) ∈ RUS ⇒ (y, x) ∈ RUS → RUS, A -এর ওপর প্রতিসম
আবার (x, y) ∈ R∩S যেখানে x, y ∈ A
∴ (x, y) ∈ R এবং  (x, y) ∈ S
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R→ R, A-এর ওপর প্রতিসম
এবং (x, y) ∈ S ⇒ (y, x) ∈ S → S, A-এর ওপর প্রতিসম
∴ (x, y) ∈ R∩S ⇒ (y, x) ∈ R∩S
∴ R∩S, A -এর ওপর প্রতিসম → বিবৃতিটি সঠিক।

Ⓑ R স্বসম ধরি, (x, x) ∈ R যেখানে x ∈ A
(x, x) ∈ R ⇒ (x, x) ∈ RUS
∴ RUS সম্বন্ধ A-এর ওপর স্বসম → বিবৃতিটি সঠিক।
Ⓒ ধরি, (x, y), (y, R) ∈ R∩S যেখানে x, y, z ∈ A
∴ (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
এবং (x, y), (y, z) ∈ S ⇒ (x, z) ∈ S
∴ (x, z) ∈ R∩S ⇒(x, y), (y, R) ∈ R∩S
⇒(x, z) ∈ S
∴ R∩S সম্বন্ধ A-এর ওপর সংক্রমণ হবে। → বিবৃতিটি সঠিক। অতএব
Ⓓ বিবৃতিটি সঠিক নয়।

24. মনে করো, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট এবং N×N -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত। (a, b)R(c, d) ⇒ ¹/_a + ¹/_d = ¹/_b + ¹/_cসব (a, b), (c, d) ∈ N×N -এর জন্য। তবে N×N-এর ওপর R —
Ⓐ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓑ প্রতিসম এবং সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ
Solution:

ধরি, (a, b)R(c, d) এবং (c, d)R(e, f)
∵ (a, b)R(c, d)

এবং (c, d)R(e, f)

সব (a, b), (c, d), (e, f) ∈ N×N -এর জন্য,
(a, b)R(c, d) এবং (c, d)R(e, f)
⇒ (a, b)R(e, f)  → সম্বন্ধটি সংক্রমণ
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ

25. মনে করো, বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: aRb ⇔ |a – b| ≤ 1তবে R সম্বন্ধ হল —
Ⓐ শুধুমাত্র সংক্রমণ
Ⓑ শুধুমাত্র বিপ্রতিসম
Ⓒ শুধুমাত্র প্রতিসম
Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম

Ans: Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম
Solution: R = বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট
a ∈ R এবং |a – a| = |0| = 0 ≤ 1
∴ (a, a) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম।
a, b ∈ R এবং (a, b) ∈ R
⇒ |a – b| ≤ 1 ⇒ |-(b – a)| ≤ 1
⇒ |b – a| ≤ 1 ⇒ (b, a) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
a, b, c ∈ R (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
⇒ |a – b| ≤ 1 এবং |b – c| ≤ 1
∴ |a – c| = |(a – b) + (b – c)| ≤ |(a – b)| + |(b – c)| ≤ 1 +1 ≤ 2 ≮ 1
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R (a, c) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks___________

1. A = {1, 2, 3, 4} এবং A-সেটের ওপর উপাদানস্থির সম্বন্ধ I_Aহলে ________ ∈  I_A
Ⓐ {1, 2}        Ⓑ {2, 2}
Ⓒ {2, 1}        Ⓓ {3, 4}

Ans: Ⓑ {2, 2}
Solution: উপাদানস্থির সম্বন্ধ বা একক সম্বন্ধ (I_A) হলো এমন সম্বন্ধ যেখানে সেটের প্রতিটি উপাদান শুধুমাত্র নিজের সাথেই সম্পর্কিত থাকে।
∴ {2, 2} ∈  I_A

2. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় ________।
Ⓐ 2⁴        Ⓑ 2⁸        Ⓒ 2¹²        Ⓓ 2¹⁶
Ans: Ⓓ 2¹⁶
Solution: n(A) = 4
n(A×A) = 4×4 = 16
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2ⁿ = 2¹⁶

3. মনে করো, A = {a, b, c, d} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)} ; A-র ওপর R সম্বন্ধটি হবে ________।
Ⓐ সার্বিক সম্বন্ধ
Ⓑ স্বসম
Ⓒ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Ⓓ সংক্রমণ ও স্বসম

Ans: Ⓒ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Solution: A = {a, b, c, d}
R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}
b ∈ A কিন্তু (b, b) ∉ R → সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, c) ∈ R ⇒ (c, a) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(a, c) ∈ R এবং (c, a) ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম ও সংক্রমণ

4. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2), (4, 1)} A-র ওপর R সম্বন্ধ ________।
Ⓐ সংক্রমণ
Ⓑ সংক্রমণ নয়
Ⓒ সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓓ সমতুল্যতা সম্বন্ধ

Ans: Ⓑ সংক্রমণ নয় 
Solution: A = {1, 2, 3, 4}
∴ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2), (4, 1)}
(1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(4, 1) ∈ R এবং (1, 2) ∈ R কিন্তু (4, 2) ∉ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

5. কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ ________।
Ⓐ স্বসম কিন্তু প্রতিসম নয়
Ⓑ প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓒ স্বসম ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়
Ⓓ সমতুল্যতা
Ans: Ⓓ সমতুল্যতা

6. R = {(x, x²– 31): x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা সম্বন্ধের ক্ষেত্র ________ এবং পাল্লা ________
Ⓐ {3, 5, 7, 11}, {-22, -6, 18, 90}
Ⓑ {2, 3, 5, 11}, {-22, -6,18, 90}
Ⓒ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, 18, 90}
Ⓓ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, -6, 18, 90}

Ans: Ⓓ {2, 3, 5, 7, 11}, {-27, -22, -6, 18, 90}
Solution: R = {(x, x² – 31): x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
12-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলি হলো 2, 3, 5, 7, 11
∴ R = {(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18), (11, 90)}
সম্বন্ধের ক্ষেত্র {2, 3, 5, 7, 11} এবং
পাল্লা {-27, -22, -6, 18, 90}

7. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত। S = {(x, y): x, y ∈R এবং x = ±y} তবে R-এর ওপর S একটি ________ সম্বন্ধ।
Ⓐ স্বসম ও প্রতিসম
Ⓑ প্রতিসম ও সংক্রমণ
Ⓒ সমতুল্যতা
Ⓓ স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়।

Ans: Ⓒ সমতুল্যতা
Solution: S = {(x, y): x, y ∈ R এবং x = ±y} 
∵ x ∈ R এবং x = ±y
⇒ x = x এবং x = -x
∴ (x, x) ∈ R → সম্বন্ধটি স্বসম।
x, y ∈ R এবং x = ±y
⇒ x = y ⇒ y = x
এবং x = -y ⇒ y = -x
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
x, y, z ∈ R এবং x = ±y এবং  y = ±z
⇒  x = ±z
∴ (x, y) এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R → সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
∴ R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

Column Matching ___________

1. মনে করো A = {1, 2, 3} একটি প্রদত্ত সেট। বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [b], [iv] — [d]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

Ans: Ⓒ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Solution: A = {1, 2, 3} [i] {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (2, 2), (3, 3) আছে।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 1) আছে কিন্তু (1, 2) নেই।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়। সম্বন্ধটিতে (2, 1) এবং (1, 1) আছে, আবার (2, 1) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [c]
[ii] {(2, 3), (3, 2), (2, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে, আবার (2, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [a]
[iii] {(1,2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (2, 2), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1,2) ও (2, 3) আছে এবং (2, 1) ও (3, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সম্বন্ধটিতে (2, 3) এবং (3, 2) আছে, কিন্তু (2, 2) নেই।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়। → [d]
[iv] {(1,2), (2, 2)} সম্বন্ধটিতে (1, 1), (3, 3) নেই।
তাই সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1,2) আছে কিন্তু (2, 1) নেই।
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
সম্বন্ধটিতে (1, 2) এবং (2, 2) আছে, আবার (1, 2) আছে।
তাই সম্বন্ধটি সংক্রমণ। → [b]

2. মনে করো, R₁= {(x, y): x ∈ℕ, y ∈ ℕএবং 2x + y = 41} এবং R₂= {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x²+ y²= 25} বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [a], [iv] — [d]
Ⓒ [i] — [c], [ii] — [c], [iii] — [b], [iv] — [a]
Ⓓ [i] — [a], [ii] — [b], [iii] — [b], [iv] — [c]

Ans: Ⓐ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]
Solution: R₁ = {(x, y): x ∈ ℕ, y ∈ ℕ এবং 2x + y = 41}
R₁ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35), . . . ,  (20, 1)}
R₁ -এর ক্ষেত্র = {1, 2, 3, . . . , 19, 20} – [c]
R₁-এর পাল্লা = {1, 3, 5, . . . , 39} – [a]
R₂ = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং x² + y² = 25}
R₂ = {(-5, 0), (-4, -3), (-4, 3), (-3, -4), (-3, -4), (0, -5), (0, 5), (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (4, 3), (5, 0)}
R₂-এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} – [b]
R₂ -এর পাল্লা = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} – [d]

Relationship between Statements_____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. R = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}
বিবৃতি-A: R-এর ক্ষেত্র = (-4, -2, -1, 1, 2, 4}
বিবৃতি-B: R-এর পাল্লা = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4)

Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Solution: R = {(x, y)| x ও y পূর্ণসংখ্যা এবং xy = 4}
∴ R = {(- 4, – 1), (- 2, – 2), (- 1, – 4), (1, 4), (2, 2) ,(4, 1)}
∴ R -এর ক্ষেত্র = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4} এবং
পাল্লা = {- 4, – 2, – 1, 1, 2, 4}

2. বিবৃতি-A: কোনো সেটের ওপর P, Q দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হলে PUQ সমতুল্যতা সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
বিবৃতি-B: কোনো সেটের ওপর P, Q সম্বন্ধ দুটি সংক্রমণ হলে PUQ সংক্রমণ নাও হতে পারে।

Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ 
Solution: কোনো সেটের ওপর P, Q দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হলে PUQ স্বসম ও প্রতিসম হতে পারে, কিন্তু সংক্রমণ নাও হতে পারে।
তাই PUQ সমতুল্যতা সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
∴ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning_____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত, (x, y) ∈ R ⇒ (x – y)-এর মান n দিয়ে বিভাজ্য। বিবৃতি-1(A): R স্বসম এবং প্রতিসম কিন্তু সংক্রমন নয়
বিবৃতি-II(R): R সমতুল্যতা সম্বন্ধ

Ans: Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
Solution: R = {(x, y): (x – y) = nk যেখানে k ∈ Z}
x – x = 0 = n.0
∴ (x, x) ∈ R, ∀_x∈ Z
∴ সম্বন্ধটি স্বসম।
(x, y) ∈ R যেখানে x, y ∈ Z
⇒ (x – y) = nk
⇒ -(y – x) = nk
⇒(y – x) = n(-k)
⇒ (y, x) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম।
আবার ধরি, (x, y),  (y, z) ∈ R যেখানে x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, (y – z) = nl
∴ (x – z) = (x – y) + (y – z)
       = nk + nl = n(k + l)
∴ (x – z) ∈ R
অতএব (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
∴ সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ R সমতুল্যতা সম্বন্ধ

2. বিবৃতি-I(A): A সেটে m-সংখ্যক ও B সেটে n-সংখ্যক পদ থাকলে A থেকে B-তে মোট 2^mn সংখ্যক সম্বন্ধ সংজ্ঞায়িত করা যায়।
বিবৃতি-II(R): A সেটে m-সংখ্যক ও B সেটে n-সংখ্যক পদ থাকলে A×B সেটের পদসংখ্যা হবে mn।

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Solution: n(A) = m, n(B) = n
∴ n(A×B) = n(A)×n(B) = mn
∴ A থেকে B-তে মোট সম্বন্ধের সংখ্যা = 2^mn

3. মনে করো, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R এরূপ যে, nRm ⇔ n, m-এর একটি উৎপাদক।
বিবৃতি-I(A): R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা নয়।
বিবৃতি-II(R): R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Solution: R = {(n, m): n, m-এর একটি উৎপাদক।}
(3, 6) ∈ R যেখানে 3, 6 ∈ N
3, 6-এর একটি উৎপাদক।
কিন্তু 6, 3-এর একটি উৎপাদক নয়।
∴ (6, 3) ∉ R
তাই সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
সম্বন্ধটি প্রতিসম নয় বলে সম্বন্ধটি সমতুল্যতাও নয়।

True and False_____________

1. বিবৃতি-I: A = {1, 2, 3} এবং B = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1, 2)} হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
বিবৃতি-II: A = {a, b, c, d} এবং A-এর উপর একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত।
R = {(a, c), (b, d), (b, c), (c, a), (d, b)}, তাহলে A-র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা
Solution: একটি সম্বন্ধ স্বসম হবে যদি প্রতিটি a ∈ A এর জন্য (a, a) ∈ R হয়।
এখানে, (3) ∈ A কিন্তু (3, 3) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে না। → বিবৃতি I মিথ্যা
একটি সম্বন্ধ প্রতিসম হবে যদি (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∈ R হয়।
এখানে, এখানে, (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R
∴ A-র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে না। → বিবৃতি II মিথ্যা

2. বিবৃতি-I: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
বিবৃতি-II: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমণ।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Solution: বিবৃতি-I: ধরি, A = {a, b, c} এবং R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b)}
এখানে R সম্বন্ধটি স্বসম
আবার (a, b) ∈ R কিন্তু  (b, a) ∉ R
∴ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: সার্বিক সম্বন্ধ হল সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
আবার কোনো সম্বন্ধ স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হলে সেটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
∴ সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমণ। → বিবৃতিটি সত্য

3. বিবৃতি-I: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত উপাদানস্থির সম্বন্ধ সর্বদাই A-এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
বিবৃতি-II: শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A-এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A-এর ওপর একটি উপাদানস্থির সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Solution: ধরি,A = {1, 2} এবং R₁ = {(1, 1), (2, 2)}
R₁ হল A-এর ওপর উপাদানস্থির এবং এটি স্বসম সম্বন্ধ।
R₂  = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}
R₂ হল A-এর ওপর স্বসম সম্বন্ধ কিন্তু উপাদানস্থির সম্বন্ধ নয়।
 সুতরাং একটি উপাদানস্থির সম্বন্ধ সর্বদাই একটি স্বসম সম্বন্ধ হয়। → বিবৃতি I সত্য
একটি স্বসম সম্বন্ধ উপাদানস্থির সম্বন্ধ নাও হতে পারে।→ বিবৃতি II সত্য 

4. বিবৃতি-I: মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2) , (3, 2), (2, 1), (1, 1)}।
তাহলে, A-র ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
বিবৃতি-II: যদি X = {a, b, c} এবং Y = {c, a, b} হয়, তবে X×Y = Y×X হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Solution: একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ হবে যদি (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R হয়।
এখানে (3, 2) ∈ R  (2, 1) ∈ R কিন্তু (3, 1) ∉ R → বিবৃতি-I মিথ্যা
X = {a, b, c} এবং Y = {c, a, b} = {a, b, c}
∴ X = Y
∴ X×Y = Y×X → বিবৃতি II সত্য

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY সম্বন্ধ

5. মনে করো, C থেকে R-এর ওপর ρ সম্বন্ধটি হয়: xρy ⇔|x| = y
বিবৃতি-I: (2 + 3i)ρ13
বিবৃতি-II: (1 + i)ρ2
বিবৃতি-III: iρ1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓓ বিবৃতি III সত্য
Solution: xρy ⇔|x| = y

6. মনে করো, A = {1, 3, 5} , B = {2, 4, 6} এবং A সেট থেকে B সেট-এ R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒(x + y) -এর মান জোড়
বিবৃতি-I: A থেকে B-তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
বিবৃতি-II: A থেকে B-তে R একটি সার্বিক সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
বিবৃতি-III: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি III সত্য

Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Solution: A সেটের পদ তিনটি বিজোড় এবং B সেটের পদ তিনটি জোড়।
একটি বিজোড় এবং একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় হয়।
তাই x ∈ A, y ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় হবে।
সুতরাং (x + y) -এর মান কখনও জোড় হবে না।
∴ সম্বন্ধটি একটি শূন্য সেট হবে। → বিবৃতি-I সত্য।

7. মনে করো, কোনো সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ওই সমতলে অন্য দুটি বিন্দু। P ও Q-র মধ্যে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল, যাতে OP = OQ হয়। তবে—
বিবৃতি-I: S সম্বন্ধটি স্বসম
বিবৃতি-II: S সম্বন্ধটি প্রতিসম
বিবৃতি-III: S সম্বন্ধটি সংক্রমণ
Ⓐ শুধুমাত্র বিবৃতি I, II সত্য
Ⓑ শুধুমাত্র বিবৃতি I, III সত্য
Ⓒ শুধুমাত্র বিবৃতি II, III সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য

Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য
Solution: S = {(P,  Q}: OP = OQ}
(P, P) ∈ S ∀ P
∵ OP = OP
∴ S সম্বন্ধটি স্বসম → বিবৃতি-I সত্য
আবার, (P, Q) ∈ S
⇒ OP = OQ
⇒ OQ = OP
⇒(Q, P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি প্রতিসম → বিবৃতি-II সত্য
পুনরায় (P, Q) ∈ S এবং (Q, R) ∈ S
⇒ OP = OQ এবং OQ = OR
∴ OP = OR অর্থাৎ (P, R) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ → বিবৃতি-III সত্য

Case Based_____________

1. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B = {1, 4, 7} ।
[i] A থেকে B-তে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধের সংখ্যা —
Ⓐ 21       Ⓑ 2²¹       Ⓒ 2¹⁰       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans:    Ⓑ 2²¹
Solution: n(A) = 7;     n(B) = 3
∴ n(A×B) = 7×3 = 21
∴ A থেকে B-তে সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধের সংখ্যা 2²¹

[ii] R হল A থেকে B সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ যেখানে R = {(x, y): x > y, x ∈A, y ∈B},
R-এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {1, 2, 4, 7}       Ⓑ {1, 4}       Ⓒ {2, 3, 4, 5, 6, 7}       Ⓓ {1, 4, 7}

Ans:    Ⓒ {2, 3, 4, 5, 6, 7}
Solution: R = {(x, y): x > y, x ∈ A, y ∈ B}
= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (5, 4), (6, 4), (7, 4)}
∴ R-এর ক্ষেত্র = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

[iii] R হল A থেকে B সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ যেখানে R = {(x, y): x > y, x ∈A, y ∈B} , R^-1এর ক্ষেত্র হবে —
Ⓐ {1, 4}       Ⓑ {2, 3, 4, 5, 6, 7}       Ⓒ {1, 4, 7}       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:    Ⓐ {1, 4}
Solution: R = {(x, y): x > y, x ∈ A, y ∈ B}
= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (5, 4), (6, 4), (7, 4)}
∴ R^-1 এর ক্ষেত্র = Rএর প্রসার = {1, 4}

2. A = {1, 2, 3} এবং A-এর ওপর একটি সম্বন্ধ নিম্নরূপ সংজ্ঞাত: R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 2)}
[i] R স্বসম নয় কারণ —
Ⓐ (2, 1) ∉ R      Ⓑ (3, 3) ∉ R      Ⓒ (2, 1) ∈ R      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans:    Ⓑ (3, 3) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ স্বসম হবে যদি প্রতিটি a ∈ A এর জন্য (a, a) ∈ R হয়।
এখানে 3 ∈ A কিন্তু (3, 3) ∉ R

[ii] R প্রতিসম নয় কারণ —
Ⓐ (3, 3) ∉ R      Ⓑ (1, 1) ∈ R      Ⓒ (2, 1) ∉ R      Ⓓ (1, 3) ∉ R
Ans:    Ⓒ (2, 1) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ প্রতিসম হবে যদি (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∈ R হয়।
এখানে, (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R

[iii] R সংক্রমণ নয় কারণ —
Ⓐ (3, 3) ∉ R      Ⓑ (2, 2) ∈ R      Ⓒ (2, 1) ∉ R      Ⓓ (1, 3) ∉ R
Ans:    Ⓓ (1, 3) ∉ R
Solution: একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ হবে যদি (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R হয়।
এখানে (1, 2) ∈ R  (2, 3) ∈ R কিন্তু (1, 3) ∉ R