Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1 -

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

দ্বাদশ শ্রেণীর S. N. DEY এর সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য নিচে দেওয়া BUTTON-এ ক্লিক করো।

Unit 1	সম্বন্ধ ও চিত্রণ RELATIONS AND FUNCTIONS	▶️ CLICK HERE
Unit-2:	বীজগণিত Algebra	▶️ CLICK HERE
Unit-3:	কলনবিদ্যা Calculus	▶️ CLICK HERE
Unit-4:	ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি Vector & Three dimensional geometry	▶️ CLICK HERE
Unit-5:	রৈখিক প্রোগ্রামবিধি Linear Programming	▶️ CLICK HERE
Unit-6:	সম্ভাবনা Probability	▶️ CLICK HERE

Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ

1. A = (1, 2, 3, 4) এবং A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ I_A হলে-
A. (1, 2) ∈ I_A
B. (2, 2) ∈ I_A
C. (2, 1 ) ∈ I_A
D. (3, 4) ∈ I_A
Ans: B. (2, 2) ∈ I_A
[একক সম্বন্ধ I_A হলে I_A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}]

2. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর –
A. স্বসম এবং প্রতিসম হয়
B. প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়।
C. স্বসম এবং সংক্রমন হয়
D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়
Ans: D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
A. A = {1, 2, 3} এবং R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1,2)) হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
B. A = {a, b, c, d) এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(a, c), (b, d), (b, c) (c, a) (d, b)} তাহলে, A -র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
C. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
Ans: D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
[A. X (3, 3) ∉ R
B. X (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
A. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একক সম্বন্ধ সর্বদাই A -এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
B. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A -এর ওপর একটি একক সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
D. X = {a, b, c} এবং Y= {c, a, b} হয়, তবে XxY = YxX হবে।
Ans: C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
[(1, 2) এবং (2, 1 ) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ]

5. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় –
A. 2⁴
B. 2⁸
C. 2¹²
D. 2¹⁶
Ans: D. 2¹⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 4 টি
∴ AxA তে মোট পদসংখ্যা হবে = 4×4 = 16 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2¹⁶]

6. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e} সেটে মোট সম্বন্ধসমুহের সংখ্যা –
A. 2⁶
B. 2⁸
C. 2⁴
D. 2¹⁵
Ans: A. 2⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 3 এবং B সেটের পদসংখ্যা 2
∴ AxB তে মোট পদসংখ্যা হবে = 3×2 = 6 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2⁶]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. মনে করো, A = { 8, 9, 10, 11 } এবং B = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য, R-এর ক্ষেত্র হবে –
A. {2, 3, 4, 5}
B. {8,‌ 9, 10}
C. {8, 9, 10, 11}
D. {8, 10}
Ans: B. {8,‌ 9, 10}
[xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
∴ R = {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
R-এর ক্ষেত্র হবে {8,‌ 9, 10}]

8. R = {(x, y) : x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R -এর পাল্লা হবে –
A. {-2, -1, 0, 1, 2}
B. {-2, -1, 0}
C. {5, 4, 3, 2, 1}
D. {4, 3, 2, 1}
Ans: C. {5, 4, 3, 2, 1}
[x = -2 (|x| = |-2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-2 – 3| = |-5| = 5
x = -1 (|x| = |-1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-1 – 3| = |-4| = 4
x = 0 (|x| = |0| = 0 < 3) হলে
y = |x – 3| = |0 – 3| = |-3| = 3
x = 1 (|x| = |1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |1 – 3| = |-2| = 2
x = 2 (|x| = |2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |2 – 3| = |-1| = 1
R-এর পাল্লা হবে {5,‌ 4, 3, 2, 1}]

9. যদি C থেকে R-এর ওপর ϕ সম্বন্ধটি হয় xϕy ⇔ |x| = y.তবে নীচের কোনটি সঠিক?
A. (2+3i)ϕ13
B. 3ϕ(-3)
C. (1+i)ϕ2
D. iϕ1
Ans: D. iϕ1
[xϕy ⇔ |x| = y
|(2+3i)| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
|3| = √3² = √9 = 3
|(1+i)| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
|i| = √1²) = 1]

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

UNIT – 1
সম্বন্ধ ও চিত্রণ
RELATIONS AND FUNCTIONS

সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসम হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে তার সংখ্যা হল –
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ans: A. 1
[A = {1, 2, 3}; R = {(1, 2), (1, 3)}
সম্বন্ধটি স্বসম হলে (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R হবে।
সম্বন্ধটি প্রতিসम হলে (1, 2), (1, 3) ∈ R ⇒ (2, 1), (3, 1) ∈ R হবে।
∴ R = {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}]

11. {1, 2, 3, 4} এর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1,3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের সঠিক উক্তি নির্বাচন করো:
A. R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসम কিন্তু সংক্রমন নয়;
B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
C. R সম্বন্ধ প্রতিসम ও সংক্রমন কিন্তু স্বসম নয়;
D. R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
[A. -X (1, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমন
C. -X (2, 2), (1, 1), (4, 4), (3, 3) ∈ R সম্বন্ধটি স্বসম
D. -X (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R সম্বন্ধটি প্রতিসम নয়]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

1.মনে করো A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6) এবং R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :
xRy ⇒ (x + y) এর মান জোড়, দেখাও যে, A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
Ans: A সেটের প্রতিটি পদ বিজোড় কিন্তু B সেটের পদ্গুলি জোড়। যেহেতু, একটি বিজোড় ও একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হয়। তাই x ∈ A ও ইয় ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হবে৷
∴ xRy ⇒ (x + y) –এর মান জোড়, এই সম্মন্ধটি একটি শূন্য সম্মন্ধ হবে ৷
∴ A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।

2. কখন কোনো সেট A – এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ স্বসম নয়? মনে করো, A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}; A -র ওপর R কি স্বসম?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R স্বসম হয় না যখন A সেটের কমপক্ষে একটি পদ a -এর জন্য (a, a) ∉ R হয়।
A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)};
এখানে, (b, b) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয় ।

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

3. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ প্রতিসম নয়? মনে করো, X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ কি প্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R প্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R হয়
X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)};
এখানে, (1,2) ∈ R কিন্তু ( 2,1) ∉ R
∴ R সম্বন্ধেটি প্রতিসম নয়।

4. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ বিপ্রতিসম নয়? মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর এটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:A-র ওপর R সম্বন্ধ কি বিপ্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R বিপ্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R কিন্তু a ≠ b হয়।
A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর সংজ্ঞাত সম্বন্ধ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:
এখানে, (3,4) ∈ R এবং (4,3) ∈ R কিন্তু 3 ≠ 4
∴ সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম নয়।

Class XII Relation

5. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ নয়? মনে করো, A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয় R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}; A র ওপর R সম্বন্ধ কি সংক্রমণ?
Ans: কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R ওই সেটের ওপর সংক্রমণ হয় না যখন a, b, c ∈ A এমন হয় যে (a, b) ∈ R এবং (b, c ) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R হয়।
A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}
এখানে (2, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R কিন্তু ( 2, 2) ∉ R
∴ A র ওপর R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

6. কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R একই সঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হতে পারে কি?
Ans: a,b ∈ A হলে, (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R হলে সম্বন্ধটি প্রতিসম হবে।
আবার (a,b) ∈ R এবং (b,a) ∈ R
⇒ a = b হলে সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম হবে।
∴ কোন সেট A এর উপর একটি সম্বন্ধ R যদি,
(a, b) ∈ R
⇒ a = b আকারে সংজ্ঞাত হয় তবে A -এর ওপর R সম্বন্ধ একইসঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হবে ।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Class XII Relation

7. নীচে সংজ্ঞাত প্রত্যেকটি সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা নির্ণয় করো:
(i) R₁ = {(a. ¹/_a) : 0 < a <5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা}
Ans:
∵ 0 < a < 5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা
R₁-এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং
R₁-এর পাল্লা {1, ½, ⅓, ¼}

(ii) R₂ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4}
Ans:
x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4
∴ R₂= {(-1, -4), (1, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 1), (4, 1)}
R₂-এর ক্ষেত্র {-4, -2, -1, 1, 2, 4} এবং
R₂-এর পাল্লা {-4, -2, -1, 1, 2, 4}

(iii) R₃ = {(x, y) : x ∈ N, y ∈ N এবং 2x + y = 41 )
Ans:
∵ 2x + y = 41
বা, y = 41 – 2x
∴ R₃ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35),. . . . . (19, 3),(20, 1)}
∴ R₃ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3. . . . . 19, 20} এবং
R₃ -এর পাল্লা {39, 37, 35,. . . . . 3, 1}

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

(iv) R₄ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং x² + y² = 25}
Ans:
R₄ = {(x, y)! x ও y অখণ্ড সংখ্যা x² + y² = 25}
∵ x² + y² = 25
বা, y² = 25 – x²
বা, y = √(25 – x²)
∵ x ও y অখণ্ড সংখ্যা।
∴ x এর মান -5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 হলে,
y এর মান হবে যথাক্রমে 0, 3, 4, 5, 4, 3, 0
∴ R₄ = {(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)}
∴ R₄ -এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} এবং
R₄ -এর পাল্লা = {0, 3, 4, 5)

(v) R₅ = (( x – 5, 2x – 7 ) : x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা }
Ans:
x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ x = {1, 3, 5, 7, 9}
∴ R₅ = {(-4, -5),(-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)}
∴ R₅ -এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4} এবং
∴R₅ -এর পাল্লা {-5, -1, 3, 7, 11}
(vi) R₆ = {(x, x² – 31 ) : x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা}
Ans:
x হল 12 এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
∴ x = {2, 3, 5, 7, 11}
R6={(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18),(11, 90)}
∴ R₆ -এর ক্ষেত্র ={2, 3, 5, 7, 11} এবং
∴ R₆ -এর পাল্লা = {-27, -22, -6, 18, 90}

Class XII Relation

(vii) R₇ = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| <3 এবং y = |x-3|}
Ans:
x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x|< 3
∴ x = {-2, -1, 0, 1, 2}
y = |-2 – 3| = 5, |-1 – 3| = 4, |0 – 3| = 3, |1 – 3| = 2, |2 – 3| = 1
R₇ = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)}
∴ R₇-এর ক্ষেত্র = { -2, -1, 0, 1, 2} এবং
R₇-এর পাল্লা = {5, 4, 3, 2, 1}
(viii) S = {(x, y) : x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈N এবং x + 3y = 12}
∵ x+3y=12
বা, 3y = 12 – x
বা, y = ^{(12 – x)}/ ₃
x = 3, হলে y = 3
x = 6, হলে y = 2
x = 9, হলে y = 1
S = {(3, 3), (6, 2), (9, 1)}
∴ S এর ক্ষেত্র {3,6,9} এবং
S এর পাল্লা {3,2,1}

Class XII Relation

8. একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
সমতুল্যতা সম্বন্ধঃ শূন্য নয় এমন কোন সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি –
(i) R সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হয় অর্থাৎ ∀x ∈ A এর জন্য (x, x) ∈ R হয়;
(ii) R সম্বন্ধ A এর ওপর প্রতিসম হয় অর্থাৎ ∀x, y ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R হয় এবং
(iii) R সম্বন্ধ A ওপর সংক্রমণ হয় অর্থাৎ ∀x, y, z ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R হয়।

⛔ কোন সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেট △ এর ওপর R সম্বন্ধ সর্বদা স্বসম কারণ যে কোনো ত্রিভুজ সর্বদা তার নিজের সঙ্গে সদৃশ হবে।
অর্থাৎ △₁ ∈ △ এর জন্য (△₁, △₁) ∈ R
△₁, △₂∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R
⇒ △₁, এবং △₂ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₂, এবং △₁ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₂, △₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
△₁, △₂, △₃∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R এবং (△₂, △₃) ∈ R
⇒ △₁, ও △₂ এবং △₂, ও △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₁, এবং △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₁, △₃) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

9. A = {a, b, c} সেটের ওপর একটি সমৃদ্ধ R এমনভাবে সংজ্ঞাত করো, যাতে সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়।
Ans:
R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
(a, a), (b, b), (c, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ টি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ নয়।

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

10. মনে করো, A= (1, 2, 3) এবং A -এর উপর R = (1, 1), (2, 3), (3, 3)} একটি সম্বন্ধ। R-এর সঙ্গে (i) সবচেয়ে কম (ii) সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড়সমূহ যোগ করো যাতে পরিবর্ধিত সম্বন্ধ দুটির প্রতিটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
Ans:
(i) R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি সেটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়।
(2,2) ∉ R
∴ (2,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি স্বসম সম্বন্ধ হবে।
আবার, (2, 3) ∈ R কিন্তু ( 3, 2) ∉ R
∴ (3,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি প্রতিসম হবে।
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}
(2,3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R
⇒ (2,2) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন সম্মন্ধ ।
সবচেয়ে কম সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে R সম্বন্ধটিকে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2,2) এবং (3, 2) যোগ করতে হবে।

(ii) A সেটের ওপর সংজ্ঞাত সবচেয়ে বড় সমতুল্যতা সম্বন্ধ হল A×A
A×A = {(1,1), (2, 2), ( 3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}
সুতরাং, সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে সম্বন্ধটিতে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2, 2), (1, 2), (1, 3), ( 2, 1) (3,1), (3, 2) পদ্গুলি যোগ করতে হবে।

11. মনে করো, T₁, T₂, T₃ তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10 ; T₁, T₂, এবং T₃ ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ans:
সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
এখানে 3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটির বাহুগুলি পরস্পর সমানুপাতিক।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধযুক্ত।