SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1 বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1 Conventional Type
1. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স At -এর সমান হয়, তবে A-কে বলা হবে — Ⓐ প্রতিসম Ⓑ একক ম্যাট্রিক্স Ⓒ বিপ্রতিসম Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।Ans: Ⓐপ্রতিসম
2. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A’ হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি — Ⓐ At = -A হয় Ⓑ AAt = A হয় Ⓒ At A = A হয় Ⓓ A-1 হয়Ans: Ⓐ At = -A হয়
3. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং I একই ক্রমের একক ম্যাটিক্স হলে, A.I = t Ⓒ -A Ⓓ A.At Ans: Ⓐ A Solution: ∵ AI = IA =A
4. যদি A = [aij ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = i + 2j তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 0\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
\(\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)
Solution: [aij ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং aij = i + 2ja11 = 1 + 2.1 = 3; a12 = 1 + 2.2 = 5;a21 = 2 + 2.1 = 4; a22 = 2 + 2.2 = 6;
5. যদি A = [aij ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 1 /2 (i + 2j)2 তবে A হবে- \(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad Ⓓ \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\)
Solution: A = [aij ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং aij = 1 /2 (i + 2j)2 a11 = 1 /2 (1 + 2.1)2 = 9 /2 ;a12 = 1 /2 (1 + 2.2)2 = 25 /2 ;a21 = 1 /2 (2 + 2.1)2 = 8;a22 = 1 /2 (2 + 2.2)2 = 18;
6. যদি A = [aij ] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 3i – 2j তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\)
Solution: A = [aij ] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং aij = 3i – 2ja11 = 3.1 – 2.1 = 1; a12 = 3.1 – 2.2 = -1;a21 = 3.2 – 2.1 = 4; a22 = 3.2 – 2.2 = 2;a31 = 3.3 – 2.1 = 7; a32 = 3.3 – 2.2 = 5;
7. যদি A = [aij ] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 1 /2 |3i – 4j| তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 5\quad9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\)
Solution: A = [aij ] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং aij = 1 /2 |3i – 4j|
∴ a11 = 1 /2 |3.1 – 4.1| = 1 /2 |– 1| = 1 /2 ;a12 = 1 /2 |3.1 – 4.2| = 1 /2 |– 5| = 5 /2 ;a13 = 1 /2 |3.1 – 4.3| = 1 /2 |– 9| = 9 /2 ;a21 = 1 /2 |3.2 – 4.1| = 1 /2 |2| = 1;a22 = 1 /2 |3.2 – 4.2| = 1 /2 |– 2| = 1;a23 = 1 /2 |3.2 – 4.3| = 1 /2 |– 6| = 3
8. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A2 হবে — Ⓐ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓐ K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A এর অনুরূপ পদের K গুণ।
10. যদি \(\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\3\quad\quad\quad y\end{bmatrix}\)
হয়, তবে x-এর মান হবে — Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ans: Ⓒ 2 Solution: y = -2;
11. যদি \(\begin{bmatrix}1\quad 4\\2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}\ (y \lt 0) \)
হয়, তবে x – y + z এর মান হবে — Ⓐ 5 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ -3
Ans: Ⓐ5 Solution: x = 1; z = 22 = 4 ⇒ y = ±2
12. যদি \(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}\)
তবে B ম্যাট্রিক্সটি হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}0\quad 6\\-3\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7
\end{bmatrix}\)
\(Solution:\ B=(2A-3B)–2(A-2B)\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\quad -10\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)
13. যদি \(A=\begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) হবে — [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] Ⓐ A Ⓑ I Ⓒ 0 Ⓓ 5IAns: Ⓒ 0 Solution: (A – 2I)(A – 3I)\(=\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\\=\begin{bmatrix}2\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓒ\)
14. যদি \(A=\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\)
SEMESTER-3 সূচিপত্র
👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক
1. সম্বন্ধ 2. অপেক্ষক 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ 👉 UNIT-2 বীজগণিত
1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত 2. নির্ণায়ক 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান 👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা
1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা 2. অবকলন বা অন্তরকলন 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7 . চরম ও অবম মান 👉 UNIT-4 সম্ভাবনা
1. সম্ভাবনা 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন 3. দ্বিপদ বিভাজন 👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান
ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A2 = I হয়, তবে 2 + yz = 0 Ⓑ 1 – x2 + yz = 0 2 – yz = 0 Ⓓ 1 + x2 – yz = 0Ans: Ⓒ 1 – x2 – yz = 0 Solution: A2 = I
\(⇒\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad 0\\0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ x2 + yz = 1 2 – yz = 0
15. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা? Ans: Ⓓ ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।
Ans: Ⓒ শূন্য ম্যাট্রিক্স Solution: A ম্যাট্রিক্স প্রতিসম ∴ A = AT T
17. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A2 = A তবে (I + A)3 – 7A এর মান হবে — Ans: Ⓒ I Solution: (I + A)3 – 7A2 + IA + AI + A2 ) (I + A) – 7A2 = I এবং A2 = A]2 + IA + 3AI + 3A2 – 7A
18. যদি \(A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}\) ও \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}\)
এবং 2A + B + X = 0 হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স হল —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\7\quad -13\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad 13\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয় \(\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\)
Solution: 2A + B + X = 0
\(⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 2\\7\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\∴X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}→Ⓐ\)
\(19.\ A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}\) এবং \(A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\) হলে \(Ⓐ B=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓑ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad -2\end{bmatrix}\\Ⓒ B=\begin{bmatrix}4\quad 2\\2\quad 5\end{bmatrix}\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\)
Solution: A = 3(A – 2B) – 2(A – 3B)
\(=3\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-21\quad 21\\12\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-22\quad 18\\8\quad -26\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}→ Ⓓ\)
20. A = [1 2 3] হলে AAT হবে — Ans: Ⓒ [14] Solution: \(\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3
\end{bmatrix}\\=[1+4+9]=[14]→Ⓒ\)
\(21. \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\) এর মান হবে –
Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]Ans: Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]
\(Solution:\ \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}ax+hy+gz\quad hx+by+fz\quad gx+fy+cz\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)
= [ax²+hxy+gzx+hxy+by2 +fyz+gzx+fyz+cz²]2 +cz²+2hxy+2fyz+2gzx] → Ⓐ
22. a1 x + b1 y + c1 = 0 এবং a2 x + b2 y + c2 = 0 সমীকরণদ্বয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX + C = 0 যেখানে — \(Ⓐ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓑ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓒ\ A =\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓓ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_2\\c_1\end{bmatrix}\\Ans:\ ⒸA=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)
Solution: a1 x + b1 y + c1 = 02 x + b2 y + c2 = 0
\(∴A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)
23. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা? T = A T A = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।Ans: Ⓐ A. B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB তাহলে সর্বদা A = B হবে।
\(24.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\) হলে, \(A – A^T \) ম্যাট্রিক্সটি হবে —
Ⓐ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সAns: Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স Solution:
\(\quad A-A^T=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad 0\end{bmatrix}→Ⓑ\)
25. যদি A = [aij ] একটি n ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে — ij = 1/aij ∀ i, j Ⓑ aij ≠ 0 ∀ i, jij = 0 যেখানে i = j Ⓓ aij ≠ 0 যেখানে i = jAns: Ⓒ aij = 0 যেখানে i = j Solution: 3 ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}0\quad 2\quad -3\\-2\quad 0\quad 4\\3\quad -4\quad 0\end{bmatrix}\)
26. যদি \(2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
হয়, তবে x ও y এর মান — Ans: Ⓑ x = 2, y = 9
\(\ 2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
∴ 2x + 3 = 7
\(27.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\) হলে AB – 2B =
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad -6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 1\quad 14\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\-4\quad 2\quad 4\\1\quad 14\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\)
Solution: AB – 2B
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓓ\)
\(28.\ A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\)
হলে, A2 + 3A + 5I = \(Ⓐ\begin{pmatrix}8\quad 3\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}3\quad 8\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-1\quad -12\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)
Solution: A2 + 3A + 5I
\(=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 6\\-9\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}→Ⓑ\)
29. যদি \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে k -এর মান কত হলে A2 = 8A + KI হবে? Ⓐ 6 Ⓑ -6 Ⓒ -7 Ⓓ 7Ans: Ⓒ -7 Solution: A2 = 8A + KI
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\quad 0\\0\quad k\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8+k\quad 0\\8\quad 56+k\end{bmatrix}\)
∴ 8 + k = 1
30. যদি \(A=\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}\)
এবং A3 + A = 0 হয়, তাহলে x এবং y এর মধ্যে সম্পর্ক (x, y ≠ 0) হল — Ans: Ⓒ xy + 1 = 0 Solution: A3 + A = 0
\(⇒\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}xy\quad 0\\0\quad xy\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y\\xy^2\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y+x\\xy^2+y\quad 0\end{pmatrix}=0\)
∴ x2 y + x = 0
\(31.\ A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\)
হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স কী হবে যাতে 3A – 2X = B হয়? \(Ⓐ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad -\frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad 2\quad -2\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\)
Solution: 3A – 2X = B
\(⇒2X=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2X=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad 6\quad 10\\-7\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒X=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}→ Ⓑ\)
\(32.A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং B=\(\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে, AB = \(Solution:\ AB=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=I → Ⓑ\)
\(33.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\)হলে \(AA^T=\)
\(Ⓐ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\)
\(Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\\
Solution:\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}→Ⓓ\)
SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
\(34.\ A=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}\)
হলে A2 – 4A + 3I = \(Ⓐ\begin{pmatrix}2\quad 3\\6\quad 5\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\ Ⓒ\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution: A2 – 4A + 3I
\(=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}- 4\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad -4\\-4\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\quad -4\\-4\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}→Ⓑ\)
\(35.\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
হলে x-এর মান — Ans: Ⓑ x = – 2, – 14 Solution: \(\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
⇒ [2x + 16 + 10x + 12 + x2 + 4x] = 02 + 16x + 28] = 02 + 16x + 28 = 02 + 14x + 2x + 28 = 0
\(36.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে A2 – 4A + 3I = \(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
\(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\)
Solution: A2 – 4A + 3I
\(=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad 0\quad 4\\4\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}→ Ⓑ\)
37. প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)
x- এর যে মানের জন্য AB = BA হবে , তা হল —
Ans: Ⓐ 0 Solution: AB = BA
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)
∴ x= – x
\(38.\ A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)
এবং A2 + 2I3 = 3A হলে x-এর মান (l3 হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) — Ans: Ⓐ 0 A2 + 2I3 = 3A
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+1\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad 12\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}
\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}\)
∴ 2x + 3 = 3
\(39.A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)
এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে, I + A = (I – A)K যেখানে
\(Ⓐ\begin{bmatrix}cosα\quad sinα\\-sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}sinα\quad -cosα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}sinα\quad sin2α\\cosα\quad cos2α\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)
Solution: I + A = (I – A)K
\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}=\left( \begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix} \right)k\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}k\)
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{bmatrix}(let)\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+ctan\frac{α}{2}\quad b+dtan\frac{α}{2}\\-atan\frac{α}{2}+c\quad -btan\frac{α}{2}+d\end{bmatrix}\)
∴ a + c tan α /2 = 1 . . . . (i)α /2 = -tan α /2 . . . . (ii)α /2 = tan α /2 . . . . (iii)α /2 – 1 . . . . (iv)α /2 + (iii) করে পাই,α /2 + c tan2 α /2 + c – a tan α /2 = tan α /2 + tan α /2 2 α /2 ) = 2tan α /2 2 α /2 = 2tan α /2
\(⇒c=\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}×cos^2\frac{α}{2}\\⇒c=2sin\frac{α}{2}×cos\frac{α}{2}\\⇒c=2sin2.\frac{α}{2}=sinα\)
∴ Option Ⓐ, Ⓓ → ভুল এবং Ⓑ অথবা Ⓒ ঠিক (i) থেকে পাই,
\(\quad a+sinα.tan\frac{α}{2}=1\\⇒a=1-2sin\frac{α}{2}.cos\frac{α}{2}.\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}\\⇒a=1-2sin^2\frac{α}{2}=cos2.\frac{α}{2}=cosα\)
Click here to visit our Facebook
Analytical/Skill Based Type Fill in the Blanks
1. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B = ___________ Ⓐ B2 Ⓑ I Ⓒ A Ⓓ 0Ans: Ⓐ B2 Solution: B = BA = B(AB) = (BA)B = B.B = B2
2. (AB)t = ___________ t At Ⓑ At Bt Ⓒ At B Ⓓ Bt AAns: Ⓐ Bt At
3. যদি \(A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(f(x)=1+x+x^2+ ….. + x^{20}\)
হয়, তবে 3. f(A) = ___________
\(Ⓐ\quad 0\quad Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 1\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\)
Solution: f(A)= 1 + A + A2 + . . . . . + A20
\(A^2=\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\ 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴ f(A)= 1.I +\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix} + 0 +. . . . . + 0\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\ 0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}→Ⓒ\)
4. যদি \(A=\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}\)
, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X = ___________ যখন 3A + 4B = 2X হয় \(Ⓐ\begin{pmatrix}9\quad 18\\35\quad 27\end{pmatrix}Ⓑ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 17\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}Ⓓ\begin{pmatrix}18\quad 9\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\)
Solution: 3A + 4B = 2X
\(⇒ 3\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}=X\)
\(5.A=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)
হলে AAT = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\4\quad 2\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\3\quad 6\quad 9\\2\quad 4\quad 6\end{bmatrix}Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\9\quad 6\quad 3\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)
\(Solution:\\AA^T =\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix} → Ⓐ\)
\(6.A=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 5\quad 7\end{pmatrix}\)
হলে AB = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad -5\quad 7\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়\(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)
\(Solution:\\AB =\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix} → Ⓑ\)
\(7.P=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)
হলে p² = ___________ Ans: Ⓑ P
\(P^2=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}→ Ⓑ\)
8. α – β = = (2n + 1)π /2 , n ∈ Z হলে, \(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}\) এবং \(\quad \begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হবে ___________ 2 α + sin2 β) Ⓓ (sin2 α + cos2 β)Ans: Ⓑ 0 Solution:
\(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cos^2αcos^2β+cos α sin α cos β sin β\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cosαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad cosαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\\sinαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad sinαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}cosαcosβcos(α-β)\quad cosαsinβcos(α-β)\\sinαcosβcos(α-β)\quad sinαsinβcos(α-β)\end{pmatrix}\\=cos(α-β)\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos(2n + 1)\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos(nπ+\frac{π}{2})\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=±cos\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=0\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}=0 → Ⓑ\)
\(9.A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\)
হলে, A2 – 4A – ___________ I = 0
যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Ⓐ -5 Ⓑ 3 Ⓒ 5 Ⓓ -3Ans: Ⓒ 5
\(A^2-4A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=5I\)
\(10.X^2=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে K-এর মান ___________ হলে A2 = KA – 2I2 হবে। Ans: Ⓐ 1 Solution: A2 = KA – 2I2 \(⇒\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k-2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)
∴ 3k – 2 = 1
Leave a Reply