Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2 CLICK HERE

1. Bayes’ উপপাদ্য বিবৃত এবং প্রমাণ করো।

বেজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem)::
একটি ঘটনা X ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটে। এখন যদি শর্তমুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(A₁), P(A₂), P(A₃), …………. P(A_n) এবং শর্তযুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(X/A₁), P(X/A₂),…………….. P (X/A_n) জানা থাকে, তবে সেক্ষেত্রে X ঘটনা ঘটেছে এরূপ শর্তে A_i ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনার মান অর্থাৎ P(A_i/X) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত হয়:

এটি বেজের (Bayes’) উপপাদ্য রূপে পরিচিত।

প্রমাণ:
  ∵ A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটনাগুলি সম্পূর্ণ
∴ A₁UA₂UA₃,……………UA_n = S – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
এখন X একটি যে-কোনো ঘটনা হলে
X = S∩X
= [A₁UA₂……………UA_n]∩X
= (A₁∩X)U(A₂∩X)……………U(A_n∩X)
এখানে A₁∩X, A₂∩X……………U(A_n∩X) ঘটনাগুলি পৃথক কারণ A₁, A₂,…………… A_n ঘটনাগুলি পৃথক।
∴ সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য অনুসারে –
P(X) = P(A₁∩X) + P(A₂∩X) + …………… + P(A_n∩X)
= P(A₁)P(X/A₁) + P(A₂)P(X/A₂) + …………… +P(A_n)P(X/A_n) – – – – (i)
আবার সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য অনুসারে –
P(A_i∩X) = P(X)P(A_i/X)

2. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I : 1 টি সাদা ও 2 টি কালো; বাক্স II : 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III : 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, বাক্স-I, বাক্স-II এবং বাক্স-III নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A₁) = ¹/₁₊₂ = ¹/₃
P(W/A₂) = ²/₂₊₁ = ²/₃
P(W/A₃) = ²/₂₊₂ = ²/₄ = ¹/₂
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

3. কোনো বোলটু কারখানায় M₁, M₂, M₃ মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি,  M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোলটু উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁵/₁₀₀ = ¹/₄
P(A₂) = ³⁵/₁₀₀ = ⁷/₂₀
P(A₃) = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোলটুটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 5% = ⁵/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2% = ²/₁₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₃ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

4. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত হানার সম্ভাবনা কত? যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, E₁, E₂ ও E₃ যথাক্রমে A, B ও C -এর লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার ঘটনা
∴ P(E₁) = ⁴/₅; ∴ P(E^c₁) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
P(E₂) = ³/₄; ∴ P(E^c₂) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
P(E₃) = ²/₃; ∴ P(E^c₃) = 1 – ²/₃ = ¹/₃
কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত করার সম্ভাবনা-
= P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)∪(E₁∩E₂∩E₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃) + P(E₁∩E₂∩E₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃) + P(E₁)P(E₂)P(E₃)
= ¹/₅׳/₄ײ/₃ + ⁴/₅×¹/₄ײ/₃ + ⁴/₅׳/₄×¹/₃ + ⁴/₅׳/₄ײ/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12 + 24)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 50
= ⁵/₆ (Ans)

দুটি গুলি আঘাত করার ঘটনা F হলে –
P(F) = P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ¹/₅׳/₄ײ/₃ + ⁴/₅×¹/₄ײ/₃ + ⁴/₅׳/₄×¹/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 26 = ¹³/₃₀
আবার
P(F∩E^c₃)
= P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ⁴/₅׳/₄×¹/₃ = ¹/₅
যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা
= P(E^c₃/F)

5. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা ও 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান।
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(R/A₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(R/A₂) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₃) = ⁴/₄₊₁ = ⁴/₅
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

6. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R
∴ P(R/E₁) = ³/₂₊₃ = ³/₅
P(R/E₂) = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/W)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

7. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানীর দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় যন্ত্রটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂
∴ P(E₁) = 60% = ⁶⁰/₁₀₀ = ³/₅
P(E₂) = 80% = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = 80% = ⁸/₁₀
P(X/E₂) = 90% = ⁹/₁₀
∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

8. একটি থলি A-এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে; অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/E₁) = ¹/₁₊₆ = ¹/₇
P(W/E₂) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇
তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

9. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M₁, M₂ ও M₃ প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি,  M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁴/₁₇
P(A₂) = ²⁵⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁵⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁵/₁₇
P(A₃) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ⁴⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁸/₁₇
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 3% = ³/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2.5% = ²⁵/₁₀₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

10. একটি বাক্সে 2টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3টি রৌপ্য মুদ্ৰা আছে অন্য একটি বাক্সে 3টি স্বর্ণ ও 3 রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো

Solution:
ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ  হওয়ার ঘটনা G
∴ P(G/E₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(G/E₂) = ³/₃₊₃ = ³/₆ = ¹/₂
নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/G)
G ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,

11. দুটি থলি I ও II আছে। I থলিতে 3 টি সাদা ও 4 টি কালো বল এবং II থলিতে 5 টি সাদা ও 6 টি কালো বল আছে। থলি দুটির একটি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় বলটি সাদা। I থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, I ও II থলি নির্বাচনের ঘটনা A₁ ও A₂
∴ P(A₁) = P(A₂) = ¹/₂
আরও ধরি, থলি থেকে তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/A₁) = ³/₃₊₄ = ³/₇
P(W/A₂) = ⁵/₅₊₆ = ⁵/₁₁
তোলা বলটি সাদা হলে, তা থলি । থেকে তোলার সম্ভাবনা P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

12. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে—এই ঘটনার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ;
∴ P(R/A₁) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₂) = ⁴/₄₊₅ = ⁴/₉
P(R/A₃) = ²/₂₊₄ = ²/₆ = ¹/₃
উত্তোলিত বলটি লাল হলে, দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₂/R)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

13. কোনো বিমা কোম্পানী 2000টি স্কুটার এবং 3000টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02 বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, বিমা কোম্পানিটি দ্বারা বিমা করা যানটি স্কুটার ও মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি যানের দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা X
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_2000+3000 = ²⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ²/₅
P(A₂) = ³⁰⁰⁰/_2000+3000 = ³⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ³/₅
আবার,
P(X/A₁) = 0.01; P(X/A₂) = 0.02
∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়

14. A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে। ছক্কায় সত্যই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A₁ এবং 5 না পড়ার ঘটনা A₂
∴ P(A₁) = ¹/₆; P(A₂) = ⁵/₆
আরও ধরি, ছক্কা পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা A
P(A/A₁) = ⁸/₁₀ = ⁴/₅
P(A/A₂) = ²/₁₀ = ¹/₅
প্রশ্নানুযায়ী.
নির্ণেয় সম্ভাবনা = P(A₁/A)
A ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে। বেজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

15. কোনো Corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4 ; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X
∴ P(A₁) = 0.6; P(A₂) = 0.4
P(X/A₁) = 0.7; P(X/A₂) = 0.3
∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,

16. একটি বাক্সে 3টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড্‌ পাবার সম্ভাবনা ²/₃এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₂; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

Solution:
বাক্সটিতে 2টি ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা এবং 1টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা আছে। ধরি, E₁ ও E₂ হল ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা ও ঝোঁকশূন্য মুদ্রা নেওয়ার ঘটনা
∴ P(E₁) = ²/₃ P(E₂) = ¹/₃
আরও ধরি, তিনবার হেড পাওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = ²/₃ײ/₃ײ/₃ = ⁸/₂₇
∴ P(X/E₂) = ¹/₂×¹/₂×¹/₂ = ¹/₈
তিনবারই হেড পাওয়া গেলে, মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,