Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-3

S N Dey Matrix Solution Part-1

Matrix S N Dey Solution Part-2

\(\mathbf{1.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

হলে A² – 4A + 3I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ A² – 4A + 3I

\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+0+0\quad 0+0-1\quad 2+0+1\\2+0+0\quad 0+0+1\quad 1+0-1\\0-1+0\quad 0+0+1\quad 0+1+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-8+3\quad -1-0+0\quad 3-4+0\\2-4+0\quad\quad 1-0+3\quad 0+4+0\\-1+0+0\quad -1+4+0\quad 2-4+3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad\quad 4\quad\quad 4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)

\(\mathbf{1.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

হলে A² – 5A – 14I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

∴ A² – 5A – 14I

\(=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-14\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 9+20\quad -15-10\\-12-8\quad\quad 20+4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 15\quad -25\\-20\quad\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}14\quad 0\\0\quad 14\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)

\(\mathbf{2.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে, (i) A(BC) = (AB)C (ii) A(B + C) = AB + AC

(i)
Solution:

\(\quad BC\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0-6\quad\quad 0-1+0\quad\quad 0-2+2\\3+0-3\quad -6+2+0\quad\quad 0+4+1\\4+0+0\quad -8-2+0\quad 0-4+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\)

L.H.S.
A(BC)

\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12+0+36\quad -2+0-90\quad 0+0-36\\\quad 6+0+40\quad\quad 1-24-100\quad 0+30-40\\-24+0+8\quad -4+4-20\quad 0-5-8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad\quad -123\quad -10\\-16\quad -20\quad -13\end{bmatrix}\\=\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\)

R.H.S.
(AB)C

\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36+0-12\quad -72-20+0\quad 0-40+4\\58+0-12\quad -116-7-0\quad 0-14+4\\ 5+0-21\quad -10+10+0\quad\quad 0-20+7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad -123\quad -10\\ -16\quad -20\quad\quad -13\end{bmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)

(ii)
Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B + C\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\)

L.H.S.
A(B + C)

\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+63\quad -6+0-18\quad -4+0-9\\-1+18+70\quad\quad 3+18-20\quad 2+6-10\\4-3+14\quad -12-3-4\quad -8-1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\\\\\quad AC\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+27\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\-1+0+30\quad\quad 2+6+0\quad 0+12-10\\4+0+6\quad -8-1-0\quad 0-2-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\)

R.H.S.
AB + AC

\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}=L.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}\)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{3.}\\\)প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)

x-এর কোনো মান থাকলে তা নির্ণয় করো যাতে AB = BA সম্পর্ক সিদ্ধ হয়।

Solution:14 4.8

\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\\quad ∴AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad x+0+0\quad x+0+0\\0-x+0\quad 0-4+0\quad 0-5+0\\0+0-x\quad 0+0-6\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∴BA\\=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad 0-x+0\quad 0+0-x\\x+0+0\quad 0-4+0\quad 0+0-5\\x+0+0\quad 0-6+0\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∵BA=AB\\∴\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)

AB = BA
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
∴ x = -x
⇒ x +x = 0
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x-এর মান 0

4. A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে কি? উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তর সমর্থন করো।

Solution:
AB = AC হলে সর্বদা B = C নাও হতে পারে।
ধরি,

\(A=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad∴AB\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}18-15\quad 12-15\\6-5\quad 4-5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad ∴AC\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-3\quad –6+3\\2-1\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\)

∴ AB = AC কিন্তু B ≠ C (Proved)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{5.}\\\) \(A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)

হলে (A + I₃)(A – I₃)-এর মান নির্ণয় করো যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:

\(\quad A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-I_3\\=(A+I_3)-2I_3\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A+I_3)(A-I_3)\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-3-8\quad\quad 3-3-12\quad\quad 4+9-4\\\quad 1-1-6\quad -3-1-9\quad -4+3-3\\\quad 2+3-1\quad -6+3-3\quad -8-9-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12\quad -12\quad\quad 9\\\quad -6\quad -13\quad -4\\\quad 3\quad -6\quad -18\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)

6. (i)
মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\)

f(A) নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=2A^2+3A+5\\=2A×A+3A+5I\\=2\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}4+3\quad 2+4\\6+12\quad 3+16\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\quad 3\\9\quad 12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18\quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\quad 12\\36\quad 38\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}25\quad 15\\45\quad 55\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)

Matrix S N Dey Solution Part-3

6. (ii)

\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\)

এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে দেখাও যে, f(A) = 0

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=A^2-2A-3\\=A×A-2A-3I\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+4\quad 2+2\\2+2\quad 4+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 4\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5-2-3\quad 4-4-0\\4-4-0\quad 5-2-3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\)

∴ f(A) = 0 (Proved)

\(\mathbf{7.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

এবং A² + 2I₃ = 3A হলে x-এর মান নির্নয় করো; এখানে I₃ হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\∴A^2+2I_3\\=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2x+0\quad x+2x+0\quad -2+4x-4\\ 2+4+0\quad 2x+4+0\quad -4+8+8\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad\quad 0+0+4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+1\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\)

∵ A² + 2I₃ = 3A

\(∴\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad\quad 12\\0\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\\⇒\)

ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + 3 = 3
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x = 0

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{8.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t, যেখানে A^t হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix},\quad B^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\AB=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2-1\quad -4+1\\3-4\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\\-1\quad-2\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\\B^tA^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2-1\quad\quad 3-4\\-4+1\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)

(AB)^t =B^tA^t (Proved)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{8.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে, (AB)^I =B^IA^I যেখানে A^I হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 0\\\quad 1\quad\quad 4\\\quad 3\quad -1\end{bmatrix}.\quad B^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad -5\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-4-3+12\quad -2+0-15\\0-12-4\quad\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\∴AB^I=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\\quad -17\quad\quad 5\end{bmatrix}\\B^IA^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-4-3-12\quad 0-12-4\\\quad -2+0-15\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\-17\quad\quad 5\end{bmatrix}\)

(AB)^I =B^IA^I (Proved)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{8.(iii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে, (AB)^T =B^TA^T যেখানে A^T হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix},\quad B^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -2-2+10\quad\quad 1+8-5\\-3+0-20\quad\quad 2-3-8\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad\quad 6\quad 4\\-23\quad -9\quad 15\end{bmatrix}\\∴(AB)^T=\begin{bmatrix}28\quad -23\\ 6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\∴B^TA^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -3+0-20\\-2-2+10\quad 2-3-8\\\quad 1+8-5\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\)

(AB)^T =B^TA^T (Proved)

\(\mathbf{8.(iv)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\end{bmatrix},\quad B^t==\begin{bmatrix} -2\\\quad -1\\\quad -4\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad\quad 4\\-4\quad -2\quad -8\\-6\quad -3\quad -12\end{bmatrix}\\(AB)^t=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\\∴B^tA^t=\begin{bmatrix}-2\\-1\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)

(AB)^t =B^tA^t (Proved)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{9.\\}\)\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\)

ম্যাট্রিক্স AA^I = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে a, b, c-এর মান নির্ণয় করো।( এখানে A^I হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:

\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\\∴A^I=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\∴AA^I=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}\\∴AA^I=I\\⇒\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{pmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2a + 2 + 2b = 0
⇒ a + b + 1 = 0 – – – – (i)
2a + 2c + 2 = 0
⇒ a + c + 1 = 0 – – – – (ii)
4 + c + b = 0
⇒ b + c + 4 = 0 – – – – (iii)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
a + b + 1 + a + c + 1 + b + c + 4 = 0
⇒ 2a + 2b + 2c + 6 = 0
⇒ a + b + c = -3 – – – – (iv)
(iv) – (i) করে পাই
a + b + c -a – b – 1 = -3
∴ c = -2
(iv) – (ii) করে পাই
a + b + c -a – c – 1 = -3
∴ b = -2
(iv) – (iii) করে পাই
a + b + c -b – c – 4 = -3
∴ a = 1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ a = 1; b = -2; c = -2

\(\mathbf{10.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\)

হলে দেখাও যে (A^IB)A একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^IB=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+0+0\quad\quad 2+0+0\quad 0+0+0\\-2+2+0\quad -4+3+0\quad 0-1+0\\\quad 2-2+0\quad\quad 4-3-1\quad 0+1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A^IB)A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0+0\quad -2+2+0\quad 2-2+0\\0+0+0\quad\quad 0-1+0\quad 0+1-1\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad 0+0-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)

∴ এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। (Proved)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{11\\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=∴A+A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+4\quad\quad 2+3\quad -1+1\\3+2\quad\quad 5+5\quad\quad 7-2\\1-1\quad -2+7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}\\A-A^I=\)

এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
আবার

\(A-A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-4\quad\quad 2-3\quad -1-1\\3-2\quad\quad 5-5\quad\quad 7+2\\1+1\quad -2-7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\)

এটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।

\(∴\frac{1}{2}(A+A^I)+\frac{1}{2}(A-A^I)\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8+0\quad 5-1\quad 0-2\\5+1\quad 10+0\quad 5+9\\0+2\quad 5-9\quad 2+0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad\quad 4\quad -2\\6\quad\quad 10\quad\quad 14\\2\quad -4\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad\quad 5\quad\quad \frac{9}{2}\\1\quad\quad \frac{9}{2}\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)

Matrix S N Dey Solution Part-3

\(\mathbf{12. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,

\(A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।

Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল

\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)

∴ P(1) :
A¹ = A

\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.1\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A

\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 4\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.2\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m

\(=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2m\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2+2m\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2(m+1)\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।

\(\mathbf{12. (ii)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\)

হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,

\(A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।

Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল

\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)

∴ P(1) :
A¹ = A

\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.1\quad -4.1\\\quad 1\quad\quad 1-2.1\end{bmatrix}\)

∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A

\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-4\quad -12+4\\3-1\quad -4+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -8\\2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.2\quad -4.2\\2\quad\quad 1-2.2\end{bmatrix}\)

∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m

\(=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+6m-4m\quad -4-8m+4m\\\quad 3m+1-2m\quad\quad -4m-1+2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+2m\quad -4-4m\\m+1\quad -1-2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2(m+1)\quad -4(m+1)\\m+1\quad\quad 1-2(m+1)\end{bmatrix}\)

∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

\(\mathbf{13.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\)

হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,

\(A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।

Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল

\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)

∴ P(1) :
A¹ = A

\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos1θ\quad isin1θ\\isin1θ\quad cos1θ\end{bmatrix}\)

P(1) সত্য
∴ P(2) :
A²= A×A

\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ\quad icosθsinθ+isinθcosθ\\isinθcosθ+isinθcosθ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ\quad isin2θ\\isin2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\)

∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m

\(=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\\\quad ∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad i sinθ\\i sinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ+i^2sinmθsinθ\quad icosmθsinθ+isinmθcosθ\\isinmθcosθ+icosmθsinθ\quad i^2sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ-sinmθsinθ\quad i(cosmθsinθ+sinmθcosθ)\\i(sinmθcosθ+cosmθsinθ)\quad -sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(mθ+θ)\quad isin(mθ+θ)\\isin(mθ+θ)\quad cos(mθ+θ)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(m+1)θ\quad isin(m+1)θ\\isin(m+1)θ\quad cos(m+1)θ\end{bmatrix}\)

∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।

Matrix S N Dey Solution Part-3

14.যদি

\(A=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,

\(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।

Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল

\(P(n) : A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)

∴ P(1) :
A¹ = A

\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^1\quad \frac{b(a^1-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A

\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+0\quad ab+b\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad b(a+1)\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a+1)(a-1)}{a-1}\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a^2-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m

\(=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad a^{m+1}\quad a^mb+\frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0+0\quad\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^{m+1}\quad \frac{a^{m+1}b-a^mb+ba^m-b}{a-1}\\0\quad\quad 1\quad\quad\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad a^{m+1}\quad \frac{b(a^{m+1}-1)}{a-1}\\0\quad 1\quad\end{bmatrix}\)

∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।

15.যদি

\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)

হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,

\(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\), n ∈ N এর জন্য।

Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল

\(P(n): A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix},\quad n∈N\\∴P(1): \\A^1=A\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\end{bmatrix}\\\)

∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A

\(=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\end{bmatrix}\\\)

∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m

\(=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\\\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\end{bmatrix}\)

∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।

\(\mathbf{16.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)

এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে দেখাও যে,

\(I+A=(I-A)\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{Solution:\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.\\}\)\(I+A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\∴I-A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\\)

\(\mathbf{R.H.S.\\}\)\(\quad (I-A) \begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad -\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\\\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad\quad \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad x\\-x\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad -\frac{2x}{1+x^2}\\\frac{2x}{1+x^2}\quad\quad \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\quad x=tan\frac{α}{2} (Let)\\=\begin{bmatrix}\frac{1-x^2+2x^2}{1+x^2}\quad \frac{-2x+x-x^3}{1+x^2}\\\frac{-x+x^3+2x}{1+x^2}\quad \frac{2x^2+1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x-x^3}{1+x^2}\\\frac{x+x^3}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x(1+x^2)}{1+x^2}\\\frac{x(1+x^2)}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -x\\x\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=L.H.S. \quad (Proved)\)

\(\mathbf{17}\\\)\(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

হলে প্রমাণ করো যে, (2I + 3E)³ = 8I + 36E

Solution:

\(\quad (2I+3E)\\=2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 3\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\\quad ∴(2I+3E)^2\\=(2I+3E)(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4+0\quad 6+6\\0+0\quad 0+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\\\mathbf{L.H.S}\\\quad ∴(2I+3E)^3\\=(2I+3E)^2(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8+0\quad 12+24\\0+0\quad 0+8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}\\\mathbf{R.H.S.}\\\quad 8I +36I\\=8\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+36\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 0\\0\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 36\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)

PREVIOUS

NEXT