Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোন।
এখানে ∠BAC = θ
∴ tanθ = ^BC/_AB = ³/₄
ধরি, BC = 3k একক এবং AB = 4k একক, যেখানে k > 0
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
= (4k)² + (3k)²
= 16k² + 9k² = 25k²
∴ AC = ±5k
∵ AC > 0
∴ AC = 5k
∴ sinθ = ^BC/_AC
= ^3k/_5k = ³/₅

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

2. (i) cosecθ এবং tanθ-কে sinθ-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
Solution:

(ⅱ) cosecθ এবং tanθ-কে cosθ-এর মাধ্যমে লিখি।
Solution:

3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ – tanθ)-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
secθ + tanθ = 2
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, 2×(secθ + tanθ) = 1
∴ secθ + tanθ = ¹/₂
Ans: secθ – tanθ-এর মান ¹/₂

(ii) cosecθ –  cotθ = √2 – 1 হলে, (cosecθ + cotθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
cosecθ –  cotθ = √2 – 1
আমরা জানি,
cosec²θ – cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
বা, (cosecθ – cotθ)(√2 – 1) = 1
⇒ cosecθ – cotθ = ¹/_{√2 – 1}
⇒ cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{(√2 – 1)(√2 – 1)}
বা, cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{(√2)² – (1)²}
⇒ cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{2 – 1}
⇒ cosecθ – cotθ = √2 + 1
Ans: cosecθ + cotθ-এর মান √2 + 1

(iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ×cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
sinθ + cosθ = 1
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(sinθ + cosθ)² = (1)²
বা, sin²θ + cosθ² + 2.sinθ.cosθ = 1
বা, (1)² + 2sinθcosθ = 1 – – – – [∵ sin²θ + cosθ² = 1]
⇒ 1 + 2sinθcosθ = 1
বা, 2sinθcosθ = 0
∴ sinθcosθ = 0
Ans: sinθ×cosθ-এর মান 0

(iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ – cotθ)-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
tanθ + cotθ = 2
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(tanθ + cotθ)² = (2)²
বা, (tanθ – cotθ)² + 4.tanθ.cotθ = 4
বা, (tanθ – cotθ)² + 4 = 4
∴ (tanθ – cotθ)² = 0
∴ tanθ – cotθ = 0
Ans: tanθ – cotθ -এর মান 0

(v) sinθ – cosθ = ⁷/₁₃  হলে, sinθ + cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) সুত্র প্রয়োগ করে পাই,
(sinθ + cosθ)² + (sinθ + cosθ)² = 2(sin²θ + cos²θ)
⇒ (sinθ + cosθ)² + (⁷/₁₃)² = 2.1 – – – – [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ (sinθ + cosθ)² + ⁴⁹/₁₆₉ = 2
বা, (sinθ + cosθ)² = 2 – ⁴⁹/₁₆₉
⇒ (sinθ + cosθ)² = ^338-49/₁₆₉
⇒ (sinθ + cosθ)² = ²⁸⁹/₁₆₉
∴ sinθ + cosθ = ±¹⁷/₁₃
∵ 0^o ≤ θ ≤ 90^o
∴ sinθ + cosθ = ¹⁷/₁₃
Ans: sinθ + cosθ-এর মান ¹⁷/₁₃

(vi) sinθcosθ = ¹/₂  হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
sinθcosθ = ¹/₂
(sinθ + cosθ)²
= sin²θ + cos²θ + 2.sinθ.cosθ
= 1 + 2.¹/₂ = 1 + 1 = 2
∴ sinθ + cosθ = ±√2
∵ 0^o ≤ θ ≤ 90^o
∴ sinθ + cosθ = √2
Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(vii) secθ – tanθ = ¹/_√3 হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

Solution:
secθ – tanθ = ¹/_√3 – – – – (i)
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, (secθ + tanθ)×¹/_√3 = 1
∴ secθ + tanθ = √3 – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
secθ – tanθ + secθ + tanθ = ¹/_√3 + √3
বা, 2secθ = ¹⁺³/_√3
বা, 2secθ = ⁴/_√3
∴ secθ = ²/_√3
(ii) নং থেকে পাই,
secθ + tanθ = √3
বা, ²/_√3 + tanθ = √3
বা, tanθ = √3 – ²/_√3 = ^3-2/_√3
∴ tanθ = ¹/_√3
Ans: secθ -এর মান ²/_√3
tanθ -এর মান ¹/_√3

(viii) cosecθ + cotθ = √3 হলে, cosecθ এবং cotθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

Solution:
cosecθ + cotθ = √3 – – – – (i)
আমরা জানি,
cosec²θ – cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
বা, √3(cosecθ – cotθ) = 1
∴ cosecθ – cotθ = ¹/_√3 – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
cosecθ + cotθ + cosecθ – cotθ = √3 + ¹/_√3
বা, 2cosecθ = ³⁺¹/_√3
বা, 2cosecθ = ⁴/_√3
∴ cosecθ = ²/_√3
(i) নং থেকে পাই,
cosecθ + cotθ = √3
বা, ²/_√3 + cotθ = √3
বা, cotθ = √3 – ²/_√3 = ^3-2/_√3
∴ cotθ = ¹/_√3
Ans: cosecθ -এর মান ²/_√3
cotθ -এর মান ¹/_√3

(ix) ^{sinθ + cosθ}/_{sinθ – cosθ} = 7 হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
^{sinθ + cosθ}/_{sinθ – cosθ} = 7
বা, 7(sinθ – cosθ) = sinθ + cosθ
বা, 7sinθ – 7cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ – sinθ= cosθ + 7cosθ
বা, 6sinθ= 8cosθ
∴ ^sinθ/_cosθ = ⁸/₆
∴ tanθ = ⁴/₃
Ans: tanθ-এর মান ⁴/₃

(x) ^{cosecθ + sinθ}/_{cosecθ – sinθ} = ⁵/₂  হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
^{cosecθ + sinθ}/_{cosecθ – sinθ} = ⁵/₂
বা, 2(cosecθ + sinθ) = 5(cosecθ – sinθ)
বা, 2cosecθ + 2sinθ = 5cosecθ – 5sinθ
⇒ 2sinθ + 5sinθ = 5cosecθ – 2cosecθ
⇒ 7sinθ = 3cosecθ
বা, 7sinθ = ³/_sinθ
বা, sin²θ = ³/₇
∴ sinθ = ^√3/_√7
Ans: sinθ-এর মান ^√3/_√7

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(xi) secθ + cosθ = ⁵/₂ হলে, (secθ – cosθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
secθ + cosθ = ⁵/₂
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(secθ + cosθ)² = (⁵/₂)²
বা, (secθ – cosθ)² + 4secθ.cosθ = ²⁵/₄
বা, (secθ – cosθ)² + 4 = ²⁵/₄
⇒ (secθ – cosθ)² = ²⁵/₄ -4
বা, (secθ – cosθ)² = ^25-16/₄ = ⁹/₄
বা, secθ – cosθ = ³/₂
Ans: secθ – cosθ -এর মান ³/₂

(xii) 5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂-সম্পর্কটি থেকে tanθ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂
বা, 2(5sin²θ + 4cos²θ) = 9×1
বা, 10sin²θ + 8cos²θ = 9×(sin²θ + cos²θ)
⇒ 10sin²θ + 8cos²θ = 9sin²θ + 9cos²θ
⇒ 10sin²θ – 9sin²θ = 9cos²θ – 8cos²θ
বা, sin²θ = cos²θ
বা, sinθ = cosθ
∴ ^sinθ/_cosθ = 1
∴ tanθ = 1
Ans: tanθ-এর মান 1

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(xiii) tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃ হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ – cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ + cotθ)² – 2.tanθ.cotθ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ + cotθ)² – 2 = ¹⁰/₃
⇒ (tanθ + cotθ)² = ¹⁰/₃ + 2
বা, (tanθ + cotθ)² = ¹⁶/₃
∴ tanθ + cotθ = ⁴/_√3 – – – – (i)

আবার
tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ – cotθ)² + 2.tanθ.cotθ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ – cotθ)² + 2 = ¹⁰/₃
⇒ (tanθ – cotθ)² = ¹⁰/₃ – 2
বা, (tanθ – cotθ)² = ⁴/₃
∴ tanθ – cotθ = ±²/_√3 – – – – (ii)
tanθ – cotθ = ²/_√3 হলে
(i) + (ii) করে পাই,
tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = ⁴/_√3 + ²/_√3
বা, 2tanθ = ⁶/_√3
বা, tanθ = ³/_√3 = √3
tanθ – cotθ = –²/_√3 হলে
(i) + (ii) করে পাই,
tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = ⁴/_√3 – ²/_√3
বা, 2tanθ = ²/_√3
বা, tanθ = ¹/_√3
Ans: tanθ + cotθ = ⁴/_√3
tanθ – cotθ = ±²/_√3
tanθ = ¹/_√3 বা √3

(xiv) sec²θ + tan²θ = ¹³/₁₂ হলে, (sec⁴θ – tan⁴θ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
sec²θ + tan²θ = ¹³/₁₂
sec⁴θ – tan⁴θ
= (sec²θ)² – (tan²θ)²
= (sec²θ + tan²θ)(sec²θ – tan²θ)
⇒ ¹³/₁₂ × 1 – – – – [∵ sec²θ – tan²θ = 1]
= ¹³/₁₂
Ans: sec⁴θ – tan⁴θ = ¹³/₁₂

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

4. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR = √5 একক এবং PQ – RQ = 1 একক হলে, cosP – cosR-এর মান নির্ণয় করি।

PQR ত্রিভুজে ∠Q = 90^o
PR = √5 একক এবং
PQ – RQ = 1 একক
∴ cosP – cosR
= ^PQ/_PR – ^RQ/_PR
= ^{PQ – RQ}/_PR
⇒ ¹/_√5
Ans: cosP – cosR = 1/_√5

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(ii) XYZ ত্রিভুজে ∠Y সমকোণ। XY = 2√3 একক এবং XZ – YZ = 2 একক হলে, (secX – tanX)-এর মান নির্ণয় করি।

XYZ ত্রিভুজে ∠Y = 90^o
XY = 2√3 একক এবং
XZ – YZ = 2 একক
∴ secX – tanX
= ^XZ/_XY – ^YZ/_XY
= ^{XZ – YZ}/_XY
⇒ ²/_2√3 = 1/_√3
Ans: secX – tanX = 1/_√3

5. সম্পর্কগুলি থেকে ‘θ’ অপনয়ন করি:

(i) x = 2sinθ, y = 3cosθ

Solution:
x = 2sinθ
∴ sinθ = ^x/₂
y = 3cosθ
∴ cosθ = ^y/₃
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (^x/₂)² + (^y/₃)² = 1
⇒ ^x2/₄ + ^y2/₉ = 1
∴ 9x² + 4y² = 36
Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
9x² + 4y² = 36

(ii) 5x = 3secθ, y = 3tanθ

Solution:
5x = 3secθ
∴ secθ = ^5x/₃
∴ sec²θ = ^25x2/₉
y = 3tanθ
∴ tanθ = ^y/₃
∴ tan²θ = ^y2/₉
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
⇒ ^25x2/₉ – ^y2/₉ = 1
⇒ 25x² – y² = 9
Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
25x² – y² = 9

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

6. (i) যদি sinα = ⁵/₁₃ হয়, তাহলে দেখাই যে tanα + secα = 1.5

Solution:
sinα = ⁵/₁₃

\(\Large{∴cosα = \sqrt{1-sin^2α}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-\frac{25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{169-25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{144}{169}}\\\quad\quad\quad=\frac{12}{13}\\∴secα=\frac{13}{12}\\∴tanα=\frac{sinα}{cosα}\\\quad\quad=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{13}}\)

L.H.S.
tanα + secα
= ⁵/₁₂ + ¹³/₁₂
⇒ ⁵⁺¹³/₁₂ = ¹⁸/₁₂
= ³/₂ = 1.5 = R.H.S. (Proved)

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(ii) যদি tanA = ⁿ/_m হয়, তাহলে sinA ও secA উভয়ের মান নির্ণয় করি।

Solution:
tanA = ⁿ/_m
∴ cotA = ^m/_n
⇒cot²A = ^m2/_n²

\(\Large{∵ cosec^2A = 1 + cot^2A\\⇒cosec^2A = 1 + \frac{m^2}{n^2}\\⇒cosec^2A = \frac{n^2+m^2}{n^2}\\∴cosecA = \frac{\sqrt{n^2+m^2}}{n}\\∴sinA = \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\mathbf{\quad Ans}\\∴cosA = cotA.sinA\\\quad\quad\quad=\frac{m}{n}. \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\\quad\quad\quad=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}\\∴secA=\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m}\mathbf{\quad Ans}}\)

(ⅲ) যদি

\(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}\\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad∴xsinθ=x×\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=y×\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=ycosθ \\\quad∴\mathbf{xsinθ = ycosθ\quad (Proved)}}\)

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(iv) যদি \(\Large{\mathbf{sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{Cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\∴cosecα=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\\⇒ cosec^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒1+cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}-1\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{4a^2.b^2}{(a^2-b^2)^2}\\∴cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)

(v) যদি \(\Large{\mathbf{\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{\quad sinθ-cosθ =\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\)

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}=k}\)

∴ sinθ = kx এবং
cosθ = ky
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
বা, (kx)² + (ky)² = 1
⇒ k²x² + k²y² = 1
বা, k²(x² + y²) = 1
বা, k² = ¹/_{x² + y²}
∴ k = 1/√_{x² + y²}

\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\sinθ-cosθ\\\quad =kx-ky\\\quad=k(x-y)\\\quad=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}×(x-y)\\\quad=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(vi) যদি (1+ 4x²)cosA = 4x হয়, তাহলে দেখাই যে, cosecA + cotA = ^{1 + 2x}/ _{1 – 2x}
Solution:
(1+ 4x²)cosA = 4x

\(\Large{∴cosA=\frac{4x}{1+4x^2}\\∴sinA=\sqrt{1-cos^2A}\\\quad = \sqrt{1-\left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)^2}\\\quad =\sqrt{1-\frac{16x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1+4x^2)^2-4.1.4x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1-4x^2)^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\frac{1-4x^2}{1+4x^2}\\ ∴cosecA=\frac{1}{sinA}\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}\\∴cotA=\frac{cosA}{sinA}\\\quad =\frac{\frac{4x}{1+4x^2}}{\frac{1-4x^2}{1+4x^2}}\\\quad=\frac{4x}{1-4x^2}}\)

\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\CosecA+cotA\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}+\frac{4x}{1-4x^2}\\\quad=\frac{1+4x^2+4x}{1-4x^2}\\\quad =\frac{(1)^2+(2x)^2+2.1.2x}{(1)-(2x)^2}\\\quad =\frac{(1+2x)^2}{(1+2x)(1-2x)}\\\quad=\frac{1+2x}{1-2x}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

7. যদি x = asinθ এবং y = btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}=1}}\)

Solution:
x = asinθ এবং
y = btanθ

\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\frac{a^2}{a^2sin^2θ}-\frac{b^2}{b^2tan^2θ}\\=\frac{1}{sin^2θ}-\frac{1}{tan^2θ}\\=cosec^2θ-cot^2θ\\=1=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

8. যদি sinθ + sin²θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos²θ + cos⁴θ = 1

Solution:
sinθ + sin²θ = 1
⇒ sinθ = 1 – sin²θ
⇒ sinθ = cos²θ
∴ sin²θ = cos⁴θ
⇒ 1 – cos²θ = cos⁴θ
⇒ 1 = cos⁴θ + cos²θ
∴ cos²θ + cos⁴θ = 1 (Proved)

9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) যদি 3x = cosecα এবং ³/_x = cotα হয়, তাহলে 3(x² – ¹/_x²)-এর মান
(a) ¹/₂₇ (b) ¹/₈₁ (c) ¹/₃ (d) ¹/₉

Ans:   (a)¹/₃
[ cosecα = 3x
∴ cosec²α = 9x²
আবার cotα = ³/_x
∴ cot²α = ⁹/_x²
আমরা জানি
cosec²α – cot²α = 1
⇒ 9x² – ⁹/_x² = 1
⇒ 9(x² – ¹/_x²) = 1
∴ 3(x² – ¹/_x²) = ¹/₃]

(ii) যদি 2x = secA  এবং ²/_x = tanA হয়, তাহলে 2(x² – ¹/_x²)-এর মান
(a) ¹/₂ (b) ¹/₄ (c) ¹/₈ (d) ¹/₁₆

Ans:  (a) ¹/₂
[ secA = 2x
∴ sec²A = 4x²
আবার tanA = ²/_x
∴ tan²A = ⁴/_x²
আমরা জানি,
sec²A – tan²A = 1
⇒ 4x² – ⁴/_x² = 1
⇒ 4(x² – ¹/_x²) = 1
∴ 2(x² – ¹/_x²) = ¹/₂]

(iii) tanα + cotα = 2 হলে, (tan¹³α + cot¹³α)-এর মান
(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনটিই নয়

Ans:   (c)2
[ tanα + cotα = 2
⇒ tanα + ¹/_tanα = 2
⇒ tan²α + ¹/_tanα = 2
= tan²α + 1 = 2tanα
⇒ tan2α – 2tanα + 1 = 0
⇒ (tanα – 1)² = 0
tanα – 1 = 0
⇒ tanα = 1
cotα = ¹/_tanα
= ¹/₁ = 1
tan¹³α + cot¹³α
= (1)¹³ + (1)¹³
= 1 + 1= 2]

(iv) যদি sinθ – cosθ = 0 (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2

Ans:   (d) 2√2
[ sinθ – cosθ = 0
বা, sinθ = cosθ
বা, ^sinθ/_cosθ = 1
⇒ tanθ = tan45^o
বা, θ = 45^o
secθ + cosecθ = x
বা, sec45^o + cosec45^o = x
বা, √2 + √2 = x
∴ x = 2√2

(v) 2cos3θ = 1 হলে, θ-এর মান
(a) 10^o (b) 15^o (c) 20^o (d) 30^o

Ans:   (c)20^o
[ 2cos3θ = 1
বা, cos3θ = ¹/₂
বা, cos3θ = cos60^o
⇒ 3θ = 60^o
বা, θ = 20^o]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) যদি, 0^o ≤ α < 90^o হয়, তাহলে (sec²α + cos²α)-এর সর্বনিম্ন মান 2

Ans:  সত্য
[sec²α + cos²α
= (secα – cosα)² + 2×secα×cosα
= (secα – cosα)² + 2
∵ (secα – cosα)² ≥ 0
⇒ (secα – cosα)² + 2 ≥ 0 + 2
⇒ (secα – cosα)² + 2 ≥ 2
∴ sec²α + cos²α ≥ 2]

(ii) (cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . .  × cos90^o) -এর মান 1

Ans:  মিথ্যা
[ cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . .  × cos90^o
= cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . .  ×0
= 0]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) (⁴/_sec²θ + ¹/_1+cot²θ + 3sin²θ) -এর মান ________
Ans:  4

\(\Large{[\quad\frac{4}{sec^2θ}+\frac{1}{1+cot^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+\frac{1}{cosec^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+sin^2θ+3sin^2θ\\=4cos^2θ+4sin^2θ\\=4(cos^2θ+4sin^2θ)\\=4×1=4]}\)

(ii) sin(θ – 30^o) = ¹/₂ হলে, cosθ-এর মান ________

Ans:  ¹/₂
[sin(θ – 30^o) = ¹/₂
⇒ sin(θ – 30^o) = sin30^o
⇒ θ = 60^o
cosθ = cos60^o
= ¹/₂]

(iii) cos²θ – sin²θ = ¹/₂  হলে, cos⁴θ – sin⁴θ-এর মান ________

Ans:  ¹/₂
[cos⁴θ – sin⁴θ
⇒ (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
⇒ 1×¹/₂
= ¹/₂]

10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(i) যদি rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

Solution:
rcosθ = 2√3
⇒ (rcosθ)² = (2√3)²
⇒ r²cos²θ = 12 – – – (i),
rsinθ = 2
⇒ (rsinθ)² = (2)²
⇒ r²sin²θ = 4 – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
r²cos²θ + r²sin²θ = 12 + 4
বা, r²(cos²θ + sin²θ) = 16
বা, r² = 16
∴ r = 4
(ii) নং থেকে পাই,
4sinθ = 2
বা, sinθ = ¹/₂
বা, sinθ = sin30^o
∴ θ = 30^o
Ans: r-এর মান 4 এবং θ-এর মান 30^o

(ii) যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0^o ≤ A ≤ 90^o এবং 0^o ≤ B ≤ 90^o, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
sinA + sinB = 2 – – – (i)
∵ 0^o ≤ A ≤ 90^o এবং 0^o ≤ B ≤ 90^o
∴ sinA-এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং sinB-এর সর্বোচ্চ মান 1
sinA = 1 এবং sinB = 1 (i) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ sinA = 1 এবং sinB = 1
∴ sinA = sin90^o ∴ sinB = sin90^o
A = 90^o ∴ B = 90^o
∴ cosA + cosB
=  cos90^o + cos90^o
⇒ 0 + 0
⇒ 0
Ans: cosA + cosB -এর মান 0

(iii) যদি 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে (9tan²θ + 4cot²θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।

Solution:
9tan²θ + 4cot²θ
= (3tanθ)² + (2cotθ)²
= (3tanθ – 2cotθ)² + 2×3tanθ×2cotθ
⇒ (3tanθ – 2cotθ)² + 12×tanθ.cotθ
= (3tanθ – 2cotθ)² + 12×1- – – [∵ tanθ.cotθ = 1]
= (3tanθ – 2cotθ)² + 12
∵ (3tanθ – 2cotθ)² ≥ 0
⇒(3tanθ – 2cotθ)² + 12 ≥ 0 + 12
⇒ (3tanθ – 2cotθ)² + 12 ≥ 12
⇒9tan²θ + 4cot²θ ≥ 12
Ans: 9tan²θ + 4cot²θ-এর সর্বনিম্ন মান 12

(iv) (sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α)-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
sin6α + cos6α + 3sinα² cos²α
= (sin²α)³ + (cos²α)³ + 3sin²α cos²α(sin²α + cos²α)
= (sin²α + cos²α)³
⇒ (1)²
= 1
Ans: sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α -এর মান 1

(v) যদি cosec²θ =  2cotθ এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে θ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
cosec²θ =  2cotθ
বা, 1 + cot²θ – 2cotθ = 0
বা, cot²θ – 2×cotθ×1 + 1² = 0
⇒ (cotθ – 1)² = 0
⇒ cotθ – 1 = 0
বা, cotθ = 1
বা, cotθ = cot45^o
∴ θ = 45^o
Ans: θ-এর মান 45^o

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ rcos θ = 2√3, rsin θ = 2 এবং 0^o < θ < 90^o  হয় তাহলে r এবং θ এর মান নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ tan θ + cot θ এর সর্বনিম্নমান-
(a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
Ans: (b) 2
[(tan θ + cot θ)²
= (tan θ – cot θ)² + 4tan θcot θ
=  (tan θ – cot θ)² + 4
∵ (tan θ – cot θ)² ≥ 0
⇒ (tan θ – cot θ)² + 4 ≥ 0 + 4
⇒ (tan θ – cot θ)² + 4 ≥ 4
বা, (tan θ + cot θ)² ≥ 4
⇒ tan θ – cot θ ≥ 2]

▶️ 5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂ সম্পর্ক থেকে tanθ এর মান নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2023

▶️ θ এর যে মানের জন্য 5 + 4 sinθ -র বৃহত্তম মান হবে
(a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
Ans: (a) 9
[ 0 ≤ sinθ ≤ 1
⇒ 4×0 ≤ 4sinθ ≤ 4×1
⇒ 5 + 0 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 4 +5
∴ 5 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 9

▶️ tanθ cos 60° = √3/2 হলে, sin (θ – 15°) এর মান হবে __________।(শূন্যস্থান পূরণ)

VIEW ANSER

▶️ যদি \(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ

VIEW ANSER

▶️ দেখাও যে, \(\Large{\mathbf{\frac{tanθ + secθ – 1}{tanθ-secθ+1}=\frac{1+sinθ}{cosθ}}}\)

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ যদি sinθ – cosθ  = 0, (0^o ≤ θ ≤ 90_o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান-
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2

VIEW ANSER

▶️ (iv) sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান ________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 1
[0 ≤ sinθ ≥ 1 হয়
∴ 0 ≤ sin3θ ≥ 1
∴sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে।]

MP-2019

▶️ tanα + cotα = 2 হলে tan¹³α + cot¹³α-এর মান-
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0

VIEW ANSER

▶️ (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?

VIEW ANSER

▶️ △ABC-এর ∠C= 90^o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m² + n²

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ tanθ + cotθ = 2 হলে tan⁷θ + cot⁷θ = কত?

VIEW ANSER

▶️ যদি cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হয়, তাহলে tan²θ-এর মান নির্ণয় ।

VIEW ANSER

MP-2017

▶️ cos²θ – sin²θ = ¹/_x (x > 1), হলে cos⁴θ – sin⁴θ  __________(শূন্যস্থান পূরণ)

VIEW ANSER

▶️ x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

PREVIOUS

NEXT

• JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
• জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
• Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
• Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
• COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply
• Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply
• PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply
• ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply
• NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply
• Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply
• SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply
• Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree
• KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree
• SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE

Koshe Dekhi 23.3 Class 10

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Comment *

Name *

Email *

Website

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.

More posts

• CLASS 12 2026 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 3 সমাধান।

  March 12, 2026

• Madhyamik -26 Mathematics Solution

  February 22, 2026

• Complete Solution of MP-26 P. Sc

  February 14, 2026

• SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

  February 13, 2026