Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

1. নীচের কোন ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:

ΔΑBC এবং ΔPQR এর ক্ষেত্রে,
^AB/_QR = ²/₄ = ¹/₂
^BC/_PQ = ^2.5/₅ = ¹/₂
^CA/_RP = ³/₆ = ¹/₂
∴ ^AB/_QR = ^BC/_PQ = ^CA/_RP
∴ ΔΑBC এবং ΔPQR সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
Ans: ΔΑBC এবং ΔPQR সদৃশ।

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

2. নীচের ত্রিভুজ জোড়া দেখি ও ∠A-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:

এখানে
^XY/_CB = ^4.2/_8.4 = ¹/₂
^YZ/_AB = ⁷/₁₄ = ¹/₂
^ZX/_AC = ^5.2/_10.4 = ¹/₂
∴ ^XY/_CB = ^YZ/_AB = ^ZX/_AC
∴ ΔXYZ এবং ΔABC সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
ΔXYZ এবং ΔABC এর অনুরূপ কোণগুলি সমান হবে।
∴ ∠A = ∠Z = 65^o
Ans: ∠A-এর মান 65^o

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

3. আমাদের মাঠে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি কাঠির 4 সেমি. দৈর্ঘ্যের ছায়া মাটিতে পড়েছে। ওই একই সময়ে যদি একটি উঁচু টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হয়, তবে টাওয়ারের উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:

AB টাওয়ার এবং DE কাঠি, BC ভূমির উপর লম্বভাবে অবস্থিত।
এখানে, DE = 6 মিটার, DC= 4 মিটার,
BC =28 মিটার
∠ABC = ∠EDC = 90^o
ΔΑBC এবং ΔDEC এর ক্ষেত্রে,
∠ABC = ∠EDC = 90^o
∠ACB = ∠ECD – – – [সাধারণ কোণ]
∠CAB = অনুরূপ কোণ ∠CED [∵ AB || ED এবং AC ভেদক]
ΔΑBC এবং ΔDEC সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^BA/_DE = ^BC/_DC
⇒ ^BA/₆ = ²⁸/₄ = ¹/₂
⇒ BA = 6×7 = 42
Ans: টাওয়ারের উচ্চতা 42 মিটার।

4. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
সমাধান:

স্বীকার: ΔΑBC এর AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E;
প্রামান্য বিষয়: DE || BC
এবং DE = ¹/₂ BC
প্রমাণ: ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D;
∴ AD = ¹/₂AB
⇒ ^AD/_AB = ¹/₂
আবার, ∆ABC এর AC বাহুর মধ্যবিন্দু E;
∴ AE = ¹/₂AC
⇒ ^AE/_AC = ¹/₂
∴ ^AD/_AB = ^AE/_AC = ¹/₂
∆ABC এর,
^AD/_AB = ^AE/_AC
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
DE || BC (প্রমাণিত)
∆ADE ও ∆ABC এর,
∠ADE = অনুরূপ কোণ ∠ABC – – – [∵ DE || BC এবং AB ভেদক]
∠AED = অনুরূপ কোণ ∠ACE – – – [∵ DE || BC এবং AC ভেদক]
এবং ∠A দুটি ত্রিভুজেরই সাধারণ কোণ
∴ ∆ADE এবং ∆ABC সদৃশকোণী
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^AD/_AB = ^AE/_AC = ^DE/_BC
⇒ ^DE/_BC = ^AD/_AB = ¹/₂
∴ DE = ¹/₂BC (প্রমাণিত)

5. তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে, প্রমাণ করি যে, AB : BC = XY : YZ
সমাধান:

স্বীকার: O বিন্দুগামী তিনটি সমবিন্দু সরলরেখা হল OP, OQ এবং OR; OP, OQ এবং OR তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: : AB : BC = XY : YZ
প্রমাণ: ΔΟΑΒ এবং ΔΟXY এর,
∠OAB = অনুরূপ কোণ ∠OXY – – – [∵ AC || XZ এবং OX ভেদক]
∠OBA = অনুরূপ কোণ ∠OYX – – – [∵ AC || XZ এবং OY ভেদক]
∠AOB = ∠XOY – – – [একই কোণ]
∴ ΔΟΑΒ এবং ΔΟXY সদৃশকোণী
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^OA/_OX = ^OB/_OY = ^AB/_XY
⇒ ^OB/_OY = ^AB/_XY – – – (i)
অনুরুপে প্রমাণ করা যায়, ∆ΟBC এবং ΔΟΥΖ সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^OB/_OY = ^OC/_OZ = ^BC/_YZ
⇒ ^OB/_OY = ^BC/_YZ – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∴ ^AB/_XY = ^BC/_YZ
বা, ^AB/_BC = ^XY/_YZ
∴ AB : BC = XY :YZ (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

6. PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম অঙ্কন করেছি যার PQ || SR; PR ও QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, OP : OR = OQ : OS;
যদি SR = 2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।।
সমাধান:

স্বীকার: PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম, যার PQ || SR; PR ও QS কর্ণদুটি ০ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: OP : OR = OQ : OS
আবার যদি SR = 2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।
অর্থাৎ OP : OR = OQ : OS =1 : 2
প্রমাণ: △OPQ এবং △ORS এর,
∠OPQ = একান্তর কোণ ∠ORS – – – [∵ PQ||SR এবং PR ভেদক]
∠OQP = একান্তর কোণ ∠OSR – – – [∵ PQ||SR এবং SQ ভেদক]
এবং ∠POQ = বিপ্রতীপ ∠ROS
∴ △OPQ এবং △ORS সদৃশকোণী
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^OP/_OR = ^OQ/_OS = ^PQ/_SR – – – (i)
বা, ^OP/_OR = ^OQ/_OS
∴ OP : OR = OQ : OS (প্রমাণিত)
SR = 2PQ হলে,
^PQ/_SR = ¹/₂ হয়
(i) নং থেকে পাই,
^OP/_OR = ^OQ/_OS = ^PQ/_SR
∴ ^OP/_OR = ^OQ/_OS = ¹/₂
∴ OP : OR = OQ : OS =1 : 2 (প্রমাণিত)

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

7. PQRS একটি সামান্তরিক। S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ এবং বর্ধিত RQ-কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, PS : PX = QY : QX = RY : RS.
সমাধান:

স্বীকার: PQRS একটি সামান্তরিক, S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ ও বর্ধিত RQ কে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PS : PX = QY : QX = RY : RS.
প্রমাণ: △XSP এবং △XYQ এর,
∠XSP = একান্তর কোণ ∠XYQ – – – [∵ SP||QY এবং SY ভেদক]
∠SXP = বিপ্রতীপ কোণ ∠YXQ
এবং ∠SPX = একান্তর কোণ ∠YQX – – – [∵ SP||QY এবং PQ ভেদক]
∴ △XSP এবং △XYQ সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^XS/_XY = ^SP/_YQ = ^XP/_XQ
বা, ^SP/_YQ = ^XP/_XQ
বা, ^SP/_XP = ^YQ/_XQ – – – (i)
আবার, △YQX এবং △YRS এর,
∠YXQ = অনুরূপ কোণ ∠YSR – – – [∵ PQ||SR এবং YS ভেদক]
∠YQX = অনুরূপ কোণ ∠YRS – – – [∵ PQ||SR এবং YR ভেদক]
∠XYQ = ∠SYR – – – [দুটি ত্রিভুজেরই সাধারণ কোণ]
∴ △YQX এবং △YRS সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^YQ/_YR = ^YX/_YS = ^XQ/_SR
বা, ^YQ/_YR = ^XQ/_SR
⇒ ^YR/_YQ = ^SR/_XQ
বা, ^YR/_SR = ^YQ/_XQ – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^SP/_XP = ^YQ/_XQ = ^YR/_SR
⇒ SP : XP = YQ : XQ = YR : SR
∴ PS : PX = QY : QX = RY : RS (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

8. দুটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ∆ABC ও ∆PQR সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, BX : QY = BC : QR.
সমাধান:

স্বীকার: দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ △ABC ও △PQR সদৃশকোণী।
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q এবং ∠C = ∠R. X ও Y যথাক্রমে ∆ABC এবং △PQR এর পরিকেন্দ্র। BC ও QR অনুরূপ বাহু।
প্রামান্য বিষয়: BX : QY = BC : QR.
প্রমাণ: BC বৃত্তচাপের উপর ∠BXC কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠BAC পরিধিস্থ কোণ।
∴ ∠BXC = 2∠BAC
∴ ∠BAC = ¹/₂∠BXC
আবার, QR বৃত্তচাপের উপর ∠QYR কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠QPR পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠QYR =2∠QPR
∴ ∠QPR = ¹/₂∠QYR
∠BAC= ∠QPR – – – (স্বীকার)
⇒ ¹/₂∠BXC = ¹/₂∠QYR
⇒ ∠BXC = ∠QYR
এখন, BX = XC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠XBC = ∠XCB
△BXC থেকে পাই,
∠XBC + ∠XCB + ∠BXC = 180^o
বা, 2∠XBC + ∠BXC = 180^o
বা, ∠BXC= 180^o – 2∠XBC
আবার, YQ = YR – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠YQR = ∠YRQ
এখন △QYR থেকে পাই,
∠YQR + ∠YRQ + ∠QYR = 180^o
বা, 2∠YQR + ∠QYR = 180^o
বা, ∠QYR = 180^o – 2∠YQR
∵ ∠BXC = ∠QYR
∴ 180^o – 2∠XBC = 180^o – 2∠YQR
⇒ – 2∠XBC = – 2∠YQR
⇒ ∠XBC = ∠YQR
△BXC এবং △QYR এর,
∠XBC = ∠YQR,
∠XCB = ∠YRQ
এবং ∠BXC = ∠QYR.
∴ △BXC এবং △QYR সদৃশকোণী
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
△ BX : QY = BC : QR = XC : YR
∴ BX : QY = BC : QR (প্রমাণিত)

9. কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, PX.XQ = RX.XS
অথবা
একটি বৃত্তে দুটি জ্যা পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্র অপরটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্রের সমান হবে।
সমাধান:

স্বীকার: PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করা হল।
প্রামান্য বিষয়: △PXS এবং △RXQ সদৃশকোণী
এবং PX.XQ = RX.XS
প্রমাণ: ∠SPQ = ∠SRQ – – -[∵ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান হয়।]
∴ ∠SPX = ∠QRX
△SPX এবং △QRX ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠XPS = ∠XRQ – – – [পূর্বে প্রমানিত]
∠PSX = ∠RQX – – – [ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
এবং ∠SXP = ∠RXQ – – – [বিপ্রতীপ কোণ]
∴ △PXS এবং △RXQ সদৃশকোণী – – – (প্রমাণিত)
দ্বিতীয় অংশ:
যেহেতু সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^PX/_RX = ^XS/_XQ = ^PS/_RQ
⇒ ^PX/_RX = ^XS/_XQ
⇒ PX.XQ = RX.XS – – – (প্রমাণিত)

10. একটি সরলরেখার উপর P এবং Q দুটি বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব। PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। OT, PQ-এর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, ¹/_OT = ¹/_PR + ¹/_QS
সমাধান:

স্বীকার: XY সরলরেখার উপর P ও Q যেকোনো দুটি বিন্দু I P ও Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর PR ও QS লম্ব। PR ও QS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে, OT, PQ-এর উপর লম্ব।
প্রমাণ্য বিষয়: ¹/_OT = ¹/_PR + ¹/_QS
প্রমাণ: △RPQ এবং △OTQ এর মধ্যে,
∠RPQ = ∠OTQ – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
∠RQP = ∠OQT – – – [একই কোণ]
∠PRQ = অনুরূপ কোণ ∠TOQ – – – [ ∵ PR || TO এবং RQ ভেদক]
∴ △RPQ এবং △OTQ সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^OT/_PR = ^TQ/_PQ = ^OQ/_RQ
⇒ ^OT/_PR = ^TQ/_PQ – – – (i)
আবার, △SPQ এবং △OPT এর মধ্যে
∠SQP = ∠OTP – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
∠SPQ = ∠OPT – – – [একই কোণ]
∠PSQ = অনুরূপ কোণ ∠POT [∵ OT || SQ এবং PS ভেদক]
∴ △SPQ এবং △OPT সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ∴ ^OP/_SP = ^PT/_PQ = ^OT/_SQ
⇒ ^OT/_SQ = ^PT/_PQ – – – (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

\(\Large{\quad\frac{OT}{PR}+\frac{OT}{SQ}=\frac{TQ}{PQ}+\frac{PT}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=\frac{TQ+PT}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=\frac{PQ}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=1\\⇒\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}=\frac{1}{OT}\\∴\frac{1}{OT}=\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\quad\quad\mathbf{(Proved)}}\)

11. একটি বৃত্তে অন্তলিখিত ∆ABC; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, AB.AC = AE.AD.
Solution:

স্বীকার: ∆ABC ত্রিভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত, যার ব্যাস AD; AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী
এবং AB.AC = AE.AD.
প্রমাণ: ΔΑEB এবং △ACD-এর ক্ষেত্রে,
∠AEB = ∠ACD – – – [প্র্যতেকে সমকোণ]
∠ABE = ∠ADC – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
∠BAE = ∠DAC – – – [অবশিষ্ট কোণ]
∴ ΔAEB এবং ΔACD সদৃশকোণী (প্রমাণিত)
আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
∴ ^AB/_AD = ^AE/_AC = ^BE/_DC
⇒ ^AB/_AD = ^AE/_AC
⇒ AB.AC = AD.AE (প্রমাণিত)