Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

ভেদ তিন প্রকারের। যথা-
(a) সরল ভেদ
(b) ব্যস্ত ভেদ
(c) যৌগিক ভেদ
⛔ সরল ভেদঃ দুটি পরস্পর সম্পর্কিত চলরাশি যদি এমন হয় যে , একটির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মানও বৃদ্ধি পায় বা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির মানও হ্রাস পায়, তখন ওই দুটি চলরাশির মধ্যকার সম্পর্ককে সরলভেদ বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর সরল ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ b
a ∝ b
⇒ a = bk – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ^a/_b = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর সরল ভেদে থাকলে তাদের ভাগফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ ব্যস্ত ভেদঃ দুটো চলরাশির মধ্যে যখন একটি রাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মান হ্রাস পায় কিংবা একটি রাশির মান হ্রাস পেলে অপরটির মান বৃদ্ধি পায়, তখন ওই রাশি দুটি ব্যস্ত ভেদে আছে বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ ¹/_b
a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ab = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকলে তাদের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ যৌগিক ভেদঃ যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুণফলের সঙ্গে সরল ভেদে থাকে ,তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশিগুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়।

⛔⛔ যৌগিক ভেদের উপপাদ্যঃ x, y, z তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x ∝ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x ∝ z যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x ∝ yz হবে , যখন y এবং z উভয়ই পরিবর্তনশীল।

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

Solution:
^A/_B = ²⁵/₁₀ = ³⁰/₁₂ = ⁴⁵/₁₈ = ²⁵⁰/₁₀₀ = ⁵/₂
∴ A = ⁵/₂×B
∴ A ∝ B
Ans: A ও B পরস্পর সরলভেদে আছে।
ভেদ ধ্রুবকের মান ⁵/₂

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

x	18	8	12	6
y	3	²⁷/₄	⁹/₂	9

x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

Solution:
xy = 18×3 = 54
= 8×²⁷/₄ =54
⇒ 12×⁹/₂ =54
= 6×9 =54
∴ xy = 54
∴ x ∝ ¹/_y
Ans: x ও y এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক আছে।

3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

Solution:
ধরি, বিপিনকাকুর ট্যাক্সি t মিনিটে s কিমি দূরত্ব অতিক্রম করে।
সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে থাকে।
∴ s ∝ t
বা, s = kt – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখানে, t= 25 হলে s = 14 হয়।
∴ 14 = 25k
বা, k = ¹⁴/₂₅
∴ s = ¹⁴/₂₅×t
5 ঘণ্টা = 5×60 = 300 মিনিট
t = 300 হলে,
s = ¹⁴/₂₅×300
বা, s = 14×12 = 168
Ans: 5 ঘণ্টায় তিনি 168 কিমি পথ যাবেন

(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

Solution:
ধরি, প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = y এবং শিশুর সংখ্যা = x
মোট সন্দেশের সংখ্যা স্থির রেখে শিশুর সংখ্যা বাড়ালে শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা কমে যাবে। ∴ প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ এবং শিশুর সংখ্যা পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে।
x ∝ ¹/_y
∴ x = k¹/_y – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
x = 5 হলে y = 24 হয়।
∴ 5 = k×¹/₂₄
বা, k = 5×24
∴ x = 5×24×¹/_y
y = (24 – 4) = 20 হলে ,
x = 5×24×¹/₂₀
বা, x = 6
Ans: শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে প্রত্যেকে 6 টি গোটা সন্দেশ পেত।

(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

Solution:
ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = N এবং সময় = t
মোট কাজের পরিমাণ স্থির রেখে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়লে দিনসংখ্যা কমবে।
∴ গ্রামবাসীর সঙ্গে সময়ের পরস্পর ব্যস্ত সম্পর্ক।
N ∝ ¹/_t
∴ N = k¹/_t – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 50 হলে t = 18 হয়।
∴ 50 = k×¹/₁₈
বা, k = 50×18
∴ N = 50×18×¹/_t
t = 15 হলে ,
N = 50×18×¹/₁₅
বা, N = 60
পুকুরটি 15 দিনে কাটতে 60 জন লোক লাগবে।
Ans: অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।

কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6

Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
y ∝ √x
∴ y = k√x – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 9 যখন x = 9
∴ 9 = k×√9
বা, 3k = 9
বা, k = 3
∴ y = 3√x
y = 6 হলে,
6 = 3√x
বা, √x = 2
বা, √x = 4
Ans: x-এর মান 4

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 4 ও z = 5 হলে x = 3 হয়
∴ 3 = k×⁴/₅
বা, 4k = 15
বা, k = ¹⁵/₄
∴ x = ¹⁵/₄×^y/_z
y = 16 ও z = 30 হলে,
x = ¹⁵/₄×¹⁶/₃₀
বা, x = 2
Ans: x-এর মান 2

(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়।x, y ও z-এর মধ্যে y = 6 ও z = ¹/₅ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়
∴ ¹/₆ = k×⁵/₉
বা, 30k = 9
বা, k = ³/₁₀
∴ x = ³/₁₀×^y/_z
y = 6 ও z = ¹/₅ হলে,
x = ³/₁₀×⁶/_¹/₅
বা, x = ³/₁₀×30
বা, x = 9
Ans: x-এর মান 9

5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y

Solution:
x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^x/_y = k
⇒ ^x+y/_x-y = ^k+1/_k-1 – – – – [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
বা, x + y = ^k+1/_k-1×(x – y)
∴ x + y ∝ x – y (Proved)

(ii) A ∝ ¹/_C, C ∝ ¹/_B হলে, দেখাই যে, A ∝ B

Solution:
A ∝ ¹/_C
∴ A = k×¹/_C – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ A = ^k/_C
⇒ C = ^k/_A
C ∝ ¹/_B
∴ C = m×¹/_B – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^k/_A = ^m/_B – – – – [∵ C = ^k/_A ]
⇒ Am = Bk
বা, A = ^k/_m × B
∴ A ∝ B (Proved)

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

Solution:
a ∝ b
∴ a = kb – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ ¹/_c
∴ b = m¹/_c – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, b = ^m/_c
c ∝ d
∴ c = nd – – – – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∵ a = kb
⇒ a = k×^m/_c – – – – [∵ b = ^m/_c ]
⇒ a = k×^m/_nd – – – – [∵ c = nd]
বা, a = ^km/_n×¹/_d
∴ a ∝ ¹/_d
Ans: a ও d-এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক বর্তমান।

(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – -(i) – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – (ii) – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
z ∝ x
⇒ z = nx – – – -(iii) – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x×y×z = ky×mz×nx
বা, 1 = kmn
ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক –
ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 (Ans)

Class X Variation ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 কষে দেখি 13

6. x + y ∝ x – y হলে,
(i) x² + y² ∝ xy

Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
∴ ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
∴ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my

$$\large{\therefore\frac{x^2+y^2}{xy}\\=\frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\=\frac{y^2(m^2+1)}{m.y^2}\\= \frac{m^2+1}{m}\\=Constant\\\therefore x^2+y^2∝xy\quad\mathbf{(Proved)} }$$

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³

Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
⇒ y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my

$$\large{⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x^3}{y^3}=m^3\\⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{m^3+1}{m^3-1}\\⇒ x^3+y^3=\left(\frac{m^3+1}{m^3-1}\right)(x^3-y^3)\\\therefore x^3+y^3∝x^3-y^3\quad\mathbf{(Proved)}}$$

(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
⇒ y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
বা, ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
বা, x = my

$$\large{\quad\therefore\frac{ax + by}{px + qy}\\=\frac{a×my+by}{p×my+qy}\\=\frac{y(am+b)}{y(pm+q)}\\=\frac{am+b}{pm+q}}$$

= ধ্রুবক – – – – – [∵ m, a, b, p, q প্রত্যেকে ধ্রুবক]
∴ ax + by ∝ px + qy (Proved)

7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
Solution:
a² + b² ∝ ab
বা, a² + b² = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

$$\large{\quad\frac{a^2+b^2}{ab}=k\\⇒\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{k}{2}\\⇒\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=m\\⇒\frac{a+b}{a-b}=Constant\\\therefore a+b∝a-b\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

Solution:
x³ + y³ ∝ x³ – y³
বা, x³ + y³ = k(x³ – y³) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

$$\large{\quad\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=k\\⇒\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\\⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\\⇒\frac{x+y}{x-y}=Constant\\\therefore x+y∝x-y\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$

কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
t ∝ ¹/_N – – – – [যখন A স্থির]
এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।
t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
t ∝ ^A/_N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
∴ t = k×^A/_N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ t = ^kA/_N– – – – – – (i)
N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = ^k×18/₁₅
বা, k×18 = 5×15
বা, k = ²⁵/₆
(i) নং এ k = ²⁵/₆ বসিয়ে পাই,
t = ²⁵/₆ × ^A/_N
N = 10 এবং A = 12 হলে
t = ²⁵/₆ × ¹²/₁₀
∴ t = 5
Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।

9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)

Solution:
ধরি, r মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন V ঘন মিটার।
প্রশ্নানুযায়ী,
V ∝ r³
∴ V = kr³ – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
তিনটি গোলকের ব্যাস যথাক্রমে 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার বা ³/₂, 2 এবং ⁵/₂ মিটার
∴ তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ ³/₄, 1 এবং ⁵/₄ মিটার
তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে
V₁ = k(³/₄)³ = ²⁷/₆₄k ঘন মিটার
V₂ = k(1)³ = k ঘন মিটার
V₃ = k(⁵/₄)³ = ¹²⁵/₆₄k ঘন মিটার
∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন
= V₁ + V₂ + V₃
= ²⁷/₆₄k + k + ¹²⁵/₆₄k
⇒ k (²⁷/₆₄ + 1 + ¹²⁵/₆₄)
= k× ^(27+64+125)/₆₄
= ^216k/₆₄ ঘন মিটার
নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R মিটার হলে, নতুন গোলকের আয়তন হবে kR³ ঘন মিটার
∴ kR³ = ^216k/₆₄
বা, R³ = ²¹⁶/₆₄
বা, R³ = (⁶/₄)³
⇒ R = ⁶/₄
বা, R = ³/₂
∴ 2R = 3
Ans: নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y = -1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, y দুটি চল A এবং B –এর সমষ্টি।
∴ y = A + B
যেখানে,
A ∝ x
∴ A = kx – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
B ∝ ¹/_x
∴ B = m¹/_x – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = kx + ^m/_x – – – – (i)
x = 1 হলে y = -1 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
-1 = k + m – – – – (ii)
x = 3 হলে y = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = k×3 + ^m/₃
বা, 15 = 3k + m – – – – (iii)
(ii) – (i) করে পাই,
3k + m – (k + m) = 15 – (-1)
বা, 3k + m – k – m = 15 + 1
বা, 2k = 16
⇒ k = 2
(ii) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
-1 = 2 + m
বা, m = -3
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 2x – ³/_x
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক y = 2x – ³/_x

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

Solution:
a ∝ b
∴ a = k₁b – – – – – [যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ c
∴ b = k₂c – – – – – [যেখানে k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ a = k₁k₂c

$$\large{\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}\\=\frac{(k_1k_2c)^3(k_2c)^3+(k_2c)^3c^3+c^3(k_1k_2c)^3}{k_1k_2c×k_2c×c\{(k_1k_2c)3+(k_2c)^3+c^3\}}\\=\frac{k_1^3.k_2^3.c^3.k_2^3.c^3+k_2^3.c^3.c^3+c^3.k_1^3.k_2^3.c^3}{k_1.k_2^2c^3(k_1^3.k_2^3.c3+k_2^3.c^3+c^3)}\\=\frac{k_1^3.k_2^6.c^6+k_2^3.c^6+k_1^3.k_2^3.c^6}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2^3.c^6(k_1^3.k_2^3+1+k_1^3)}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2(k_1^3.k_2^3+k_1^3+1)}{k_1(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}}$$

= ধ্রুবক
∴ a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³) (Proved)

12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয় y টাকা যার y₁ অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং y₂ অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
∴ y₁ ∝ x
বা, y₁ = kx – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং y₂ ∝ x²
বা, y₂ = mx² – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = y₁ + y₂
= kx + mx² – – – – (i)
x = 100 হলে y = 5000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5000 = k×100 + m×(100)²
বা, 5000 = 100k + 10000m
বা, 50 = k + 100m – – – – (ii)
x = 200 হলে y = 12000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
12000 = k×200 + m×(200)²
বা, 12000 = 200k + 40000m
বা, 60 = k + 200m – – – – (iii)
(iii) – (ii) করে পাই,
k + 200m – (k + 100m) = 60 – 50
বা, k + 200m – k – 100m = 10
বা, 100m = 10
⇒ m = ¹/₁₀
(ii) নং সমীকরণে m = ¹/₁₀ বসিয়ে পাই,
50 = k + 100 × ¹/₁₀
বা, 50 = k + 10
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 40x + ¹/₁₀×x²
x = 250 মিটার হলে,
y = 40×250 + ¹/₁₀×(250)²
=10000 + ¹/₁₀×250×250
=10000 + 6250
=16250
Ans: 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতি CLICK HERE

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধ ও h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন v ঘন একক।
∴ V ∝ r²h
বা, V = kr²h – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধরি চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক।
∴ প্রথম চোঙের আয়তন (V₁) = k×(2r)²×5h = 20kr²h
দ্বিতীয় চোঙের আয়তন (V₂) = k×(3r)²×4h = 36kr²h
∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
= V₁ : V₂
= 20kr²h : 36kr²h
⇒ 20 : 36 = 5 : 9
চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 5 : 9 (Ans)

14. পাঁচলা গ্রামে কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, জমির পরিমাণ = A, লাঙলের সংখ্যা =N, দিনসংখ্যা = C
লাঙলের সংখ্যা, জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে এবং দিনের সংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।
∴ N ∝ A এবং N ∝ D
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
N ∝ ^A/_D – – – [যখন A ও D উভয়ই পরিবর্তনশীল]
∴ N = k×^A/_D – – – (i)- [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 25 হলে A = 2400, D = 36 হয়।
∴ 25 = k×²⁴⁰⁰/₃₆
বা, k = ^36×25/₂₄
বা, k = ³/₈
(i) নং থেকে পাই,
N = ³/₈×^A/_D
A = ²⁴⁰⁰/₂ = 1200, D = 30 হলে
N = ³/₈×¹²⁰⁰/₃₀
= 15
∴ অর্ধেক জমি 15 টি লাঙল 30 দিনে চাষ করতে পারে।
প্রশ্নানুসারে, অর্ধেক জমি 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে চাষ করতে পারে।
∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে। (Ans)

15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং আয়তন V ঘন একক।প্রশ্নানুসারে,
V ∝ r³
বা, V = k₁r³ – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ V² = k₁r⁶ – – – – (i)
আবার
A ∝ r²
বা, A = k₂r² – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ A³ = k₂r⁶ – – – – (ii)
(i) ÷ (ii) করে পাই,

$$\large{\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2r^6}{K_2^3r^6}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2}{K_2^3}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=k\\\quad\quad \left[k=\frac{k_1^2}{K_2^3}=Constant\right]\\\therefore V^2∝A^3}$$গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকে। (Proved)

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) x ∝ ¹/_y হলে,
(a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

Ans: (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y³ (d) x² ∝ y²

Ans: (d) x² ∝ y²
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, x² = (ky)²
বা, x² = k²y²
⇒ x² ∝ y²]

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

Ans: (b) 4
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 8 যখন x = 2
(i) নং থেকে পাই,
2 = k×8
বা, k = ¹/₄
∴ x = ¹/₄×y
বা, x = ¹/₄×16 – – – – – [∵ y = 16]
বা, x = 4]

(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

Ans: (b) 8
[ x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 4 যখন x = 8
(i) নং থেকে পাই,
8 = k×4²
বা, k = ¹/₂
∴ x = ¹/₂×y²
বা, 32 = ¹/₂×y² – – – – – [∵ x = 32]
বা, y² = 64
⇒ y = 8]

(v) যদি y − z ∝ ¹/_x, z − x ∝ ¹/_y এবং x − y ∝ ¹/_z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

Ans: (a) 0
[ y – z ∝ ¹/_x
∴ y – z = k₁× ¹/_x – – – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x(y − z) = k₁ – – – – – – (i)
z − x ∝ ¹/_y
∴ z − x = k₂×¹/_y – – – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y(z − x) = k₂– – – – – – (ii) এবং
x − y ∝ ¹/_z
∴ x − y = k₃×¹/_z – – – – – – [k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, z(x − y) = k₃ – – – – – (iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = k₁ + k₂ + k₃
বা, xy − xz + yz − xy) + zx − yz = k₁ + k₂ + k₃
বা, 0 = k₁ + k₂ + k₃
∴ তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 0]

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) y ∝ ¹/_x হলে, ^y/_x = অশূন্য ধ্রুবক

Ans: মিথ্যা
[ y ∝ ¹/_x
∴ x = k × ¹/_x – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]

(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z

Ans: সত্য
[ x ∝ z
∴ z ∝ x
y ∝ z
∴ z ∝ y
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
z ∝ xy
বা, xy ∝ z]

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে, x ∝ ______

Ans: z
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, y = ^k/_x – – – – – (i)
y ∝ ¹/_z
∴ y = m ×¹/_z – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, ^k/_x = ^m/_z
বা, ^x/_k = ^z/_m
⇒ ^x/_z = ^k/_m
বা, ^x/_z = ধ্রুবক – – – – – [∵ k, m ধ্রুবক]
∴ x ∝ z]

(ii) x ∝ y এবং xⁿ ∝ ______

Ans: xⁿ
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xⁿ = (ky)ⁿ
বা, xⁿ = kⁿyⁿ
∴ xⁿ ∝ yⁿ]

(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______

Ans: x
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, y = ^x/_k – – – – – (i)
[ x ∝ z
∴ x = mz – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, z = ^x/_m – – – – – (i)
(i)+(ii) করে পাই,
y + z = ^x/_k + ^x/_m
বা, y + z = x(¹/_k + ¹/_m)
∴ y + z ∝ x

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
⇒ k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক: x = ^y2/_4a

(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y ∝ z
∴ y = mz – – – (ii) – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] এবং
z ∝ x
∴ z = nx – – – (iii) – – [ n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x × y × z = ky × mz × nx
বা, 1 = kmn
Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1

(iii) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
x ∝ ¹/_y
বা, x = k × ¹/_y – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = ^k/_xএবং
y ∝ ¹/_z
বা, y = m ×¹/_z– – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, ^k/_x= ^m/_z
⇒ ^z/_x= ^m/_k
বা, ^z/_x= ধ্রুবক
বা, z ∝ x
Ans: x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

সমাধানঃ
x ∝ yz
বা, x = kyz – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ zx
বা, y = mzx – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = mz×kyz
⇒ 1 = kmz²
⇒ ¹/_km = z²
বা, z = √¹/_km
বা, z = ধ্রুবক
∴ z একটি অশূন্য ধ্রুবক। (Proved)

(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
b ∝ a³
∴ b = ka³ – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
a এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে।
∴ b-এর বৃদ্ধির অনুপাত

$$\large{\frac{b_1}{b_2}=\frac{ka_1^3}{ka_2^3}\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{27}}$$Ans: b, 8:27 অনুপাতে বৃদ্ধি

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_cএবং c ∝ d হয় তবে a ∝ ¹/_d হবে। (সত্য / মিথ্যা)

VIEW ANSER

▶️ যদি (√a + √b) ∝ (√a – √b) হয়, তবে দেখাও যে (a + b) ∝ √ab.

VIEW ANSER

MP-2023

▶️ যদি b ∝ a² হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,

$\Large{\mathbf{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}$

VIEW ANSER

MP-2022

▶️ a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ^a/_b = ধ্রুবক হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা
[ a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
∴ ab = k = ধ্রুবক]

▶️ 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a³ + b³ + c³ ∝ 3abc

VIEW ANSER

MP-2019

▶️ x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

VIEW ANSER

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy}}$

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ যদি x ∝ y হয়, তাহলে:
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y² (d) x² ∝ y²

VIEW ANSER

▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)

VIEW ANSER

MP-2017

▶️ x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।

VIEW ANSER

▶️ একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?

VIEW ANSER

KOSHE DEKHI 12

KOSHE DEKHI 14