PROSTUTI

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2025) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত Class XII S N Dey

Written by

TEAM PROSTUTI

in

,

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

দীর্ঘ উত্তরধর্মী  প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

1. x – অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে-
(A) 0, 1, 0 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0

Ans: (C) 0, 0, 1
[l = cos0o = 1;
m = cos90o = 0
n = cos90o = 0]

2. y অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 1, 1, 1 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0
Ans: (D) 0,1, 0
[l = cos90o = 0;
m = cos0o = 1
n = cos90o = 0]

3. z-অক্ষের দিক কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 0, 0, 1 (B) 0, 1, 0 (C) 1, 1, 1 (D) 1, 0, 0

Ans: (A) 0, 0, 1
[l = cos90o = 0;
m = cos90o = 0
n = cos0o =1]

4. যদি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4 হয়, তবে তার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) 9/11, 6/11, 2/11 (B) –9/11, 6/11, –2/11 (C) 9/11, 6/11, –2/11 (D) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (B) –9/11, 6/11, –2/11
[দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4
∴ দিক্ কোসাইনগুলি হল

$$\large{l=\frac{-18}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-18}{\sqrt{484}}=\frac{-18}{22}=\frac{-9}{11}\\m=\frac{12}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{12}{\sqrt{484}}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}\\n=\frac{-4}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-4}{\sqrt{484}}=\frac{-4}{22}=\frac{-2}{11}\\}$$

5. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(A)যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ ≠ 2 হবে।
(B) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ = 2 হবে।
(C) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হয়, তবে l2 + m2 + n2 ≠ 1 হবে।
(D) দুটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণের কোসাইন, তাদের দিক্ কোসাইনের ভেক্টর গুণের সাথে সমান হবে।

Ans: (A) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α+β+γ ≠ 2 হবে। [α, β, γ কোণ গুলি একই তলে অবস্থিত নয়]

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

6. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 1, -2, 1 এবং 4, 3, 2-এর সঙ্গে সমানুপাতিক হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-
(A) 3π/4 (B) π/2 (C) π/3 (D) π/4/4

Ans: (B) π/2
[এখানে a1 = 1; b1 = -2; c1 =1
এবং a2 = 4; b2 = 3; c2 = 2

$$\large{cosθ=\frac{|a_1.a_2+b_1.b_2+c_1.c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}×\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\\\quad=\frac{|1.4+(-2).3+1.2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\\quad=\frac{|4-6+2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=\quad\frac{0}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=0\\\therefore cosθ=0\\⇒cosθ=cos\frac{π}{2}\\⇒θ=\frac{π}{2}]}$$

7. যদি 0 মূলবিন্দু এবং OP(= 3 ) সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2-এর সঙ্গে সমানুপাতি হয়, তবে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে-
(A) (-1, 2, -2) (B) (1, 2, 2) (C) –1/9, 2/9, –2/9 (D) (3, 6, -9)
Ans: (A) (-1, 2, -2)
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (-1/3×3, 2/3×3, –2/3×3)
= (-1, 2, -2)]

$$\large{\quad=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}}\\\quad⇒\frac{-1}{\sqrt{1+4+4}},\frac{2}{\sqrt{1+4+4}},\frac{-2}{\sqrt{1+4+4}}\\⇒\frac{-1}{\sqrt{9}},\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}}$$

8. একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে
(A) π/6 (B) π/4 (C) cos-1(1/√3) (D) cos-1(1/3)
Ans: (D) cos-1(1/3)
[ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –

O(0,0,0) Y Z X Q(0,a,a) C(0,a,0) B(a,a,0) A(a,0,0) (a,0,a)S P(a,a,a)(0,0,a)R
$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}}$$

9.(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) -3, 1 ,4 (B) -1, 5, -2 (C) –3/√26, 1/√26, 4/√26 (D) –1/√30, 5/√30, –2/√30
Ans: (C) –3/√26, 1/√26, 4/√26
[(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ-
(−2 – 1), (3 – 2), (1 + 3) বা, -3, 1, 4
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে

$$\large{\quad=\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{1}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{4}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}}\\\quad⇒\frac{-3}{\sqrt{9+1+16}},\frac{1}{\sqrt{9+1+16}},\frac{4}{\sqrt{9+1+16}}\\⇒-\frac{3}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{4}{\sqrt{26}}}$$

10. যদি একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1 এর সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে z অক্ষের সঙ্গে তার নতি হবে
(A) π/2 (B) π (C) 3π/2 (D) 3π/4
Ans: (D) 3π/4
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে

$$\large{\quad⇒\frac{0}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{-1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}}\\\quad⇒0,\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}]}$$

∴ z অক্ষের সঙ্গে নতি
cosγ = –1/√2
⇒ cosγ = -cosπ/4
⇒ cosγ = cos(π – π/4)
⇒ cosγ = cos3π/4
∴ γ = 3π/4]

11. যদি ত্রিমাত্রিক দেশে মূলবিন্দু O থেকে r একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু P(x, y, z) হয়, তবে OP সরলরেখাটির দিক কোসাইনগুলি হবে
(A) r/x, r/y r/z (B) rx, ry, rz
(C) x/r, y/r, z/r (D) এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (C) x/r, y/r, z/r

$$\large{[\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\}$$দিক কোসাইনগুলি হবে$$\large{\quad⇒\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\quad⇒\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}]}$$

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. নিম্নলিখিত বিষয়গুলির সংজ্ঞা দাও :
(i) একটি সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ।
Ans: ত্রিমাত্রিক দেশে কোনো সরলরেখা বা ঐ সরলরেখার দিক নির্দেশক ভেক্টর, তিনটি অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে, সেই কোন তিনটিকে ঐ সরলরেখার  দিক্ কোণসমূহ বলে।

(ii) একটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ।
Ans: কোনো সরলরেখা বা ভেক্টর x y z অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে  যথাক্রমে α, β, এবং γ কোণ উৎপন্ন করলে, cosα, cosβ এবং cosγ কে ওই সরলরেখা বা ভেক্টরের দিক্ কোসাইন বলা হয়।

(iii) একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ।
Ans: যদি তিনটি সংখ্যা কোন সরলরেখার দিক কোসাইনের সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে ওই সংখ্যাত্রয়কে ওই সরলরেখার দিক্ অনুপাত বলে।

2. (i) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে?

Solution:
যদি সম্ভব হয় তবে ধরি,
l = 1;
m = 2;
n = 3
∴ l2 + m2 + n2
= 12 +22 +32
= 1 + 4 + 9
=14 ≠ 1
দিক কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি 14;
∴ 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে না।

(ii) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে?

Solution:
যে কোনো সংখ্যা কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।
∴ 1, 2, 3 কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।

3. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
(i) (2, -1, 4) ও (0, 1, 5) (ii) (4, 3, -5) ও (-2, 1, -8)

(i)
Solution:
(2, -1, 4) ও (0, 1, 5) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0-2, 1+1, 5-4) বা, -2, 2, 1
∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –

$$\large{=\frac{-2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{1}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{1}{±\sqrt{4+4+1}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{9}},\frac{2}{±\sqrt{9}},\frac{1}{±\sqrt{9}}\\⇒\frac{-2}{±3},\frac{2}{±3},\frac{1}{±3}\\⇒\frac{-2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};\quad or\quad\frac{2}{3},\frac{-2}{3},\frac{-1}{3}\mathbf{(Ans)}}$$

(ii)
Solution:
(4, 3, -5) ও (-2, 1, -8) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 4, 1 – 3, -8 + 5) বা, -6, -2, -3
∴ ∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –

$$\large{=\frac{-6}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-2}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-3}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-2}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-3}{±\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{49}},\frac{-2}{±\sqrt{49}},\frac{-3}{±\sqrt{49}}\\⇒\frac{-6}{±7},\frac{-2}{±7},\frac{-3}{±7}\\⇒\frac{-6}{7},\frac{-2}{7},\frac{-3}{7};\quad or\quad\frac{6}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7}\mathbf{(Ans)}}$$

4. কোনো সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30° । বক্তব্যটি কি সঠিক? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

Solution:
সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30°
∴ l = cos120° = cos(2×90° – 60°) = -cos60° = –1/2
m = cos45° = 1/√2
n = cos30° = √3/2
∴ l2 + m2 + n2
= (-1/2)2 + (1/√2)2 + (√3/2)2
= 1/4 + 1/2 + 3/4
= 1 + 2 + 3/4
= 6/4= 3/2 ≠ 1
দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি 3/2;
∴ বক্তব্যটি সঠিক নয়। (Ans)

5. যে দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ √3/4, –1/4, –√3/2 এবং –√3/4, 1/4, –√3/2;  তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ √3/4, –1/4, –√3/2 এবং –√3/4, 1/4, –√3/2; 
∴ তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ θ হলে,
cosθ = √3/4×(-√3/4) +,(1/4)(-1/4) + ( –√3/2)(-√3/2)
= –3/16 – 1/16 + 3/4
= –-3 – 1 + 12/16
= 8/16 = 1/2
∴ cosθ = cosπ/3
⇒ θ = π/3
Ans: সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ π/3

6. মনে করো, A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, -1) এবং (-1, 1, 2); BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, –1) এবং (-1, 1, 2)
∴ BA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 1, 5 – 2, -1 – 3) বা 1, 3, -4
BC সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ  (-1 – 2, 1 – 5, 2 + 1) -3, -4, 3
∴ BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান θ হলে

$$\large{ cosθ=\frac{|1.(-3)+3.(-4)+(-4).3|}{\sqrt{(1)^2+(3)^2+(-4)^2}×\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+(3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-3-12-12|}{\sqrt{1+9+16}×\sqrt{9+16+9}}\\\quad\quad=\frac{|-27|}{\sqrt{26}×\sqrt{34}}\\\quad\quad=\frac{27}{2\sqrt{13}×\sqrt{17}}\\=\therefore cosθ=\frac{27}{2\sqrt{221}}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{27}{2\sqrt{221}}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$

7. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি নীচে দেওয়া হল। তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণগুলি নির্ণয় করো।(i) 2, 3, 6 এবং 1, 2, 2(ii) 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5(iii) p,q,r এবং q – r, r-p, p-q(iv) 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5

(i)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি  2, 3, 6 এবং 1, 2, 2
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে

$$\large{ cosθ=\frac{|2.1+3.2+6.2|}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(6)^2}×\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|2+6+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{1+4+4}}\\\quad\quad=\frac{20}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{20}{7×3}\\\therefore cosθ=\frac{20}{21}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{20}{21}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$

(ii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে

$$\large{ cosθ=\frac{|5.(-3)+(-12).4+13.5|}{\sqrt{(5)^2+(-12)^2+(13)^2}×\sqrt{(-3)^2+(4)^2+(5)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-15-48+65|}{\sqrt{25+144+169}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|2|}{\sqrt{338}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{2}{13\sqrt{2}×5\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{65}\\\therefore cosθ=\frac{1}{65}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{1}{65}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$

(iii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি p, q, r এবং q – r, r – p, p – q
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে

$$\large{ cosθ=\frac{|p.(q-r)+q.(r-p)+r.(p-q)|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{|pq-pr+qr-pq+pr-qr|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{0}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=0\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{2}\\\therefore θ=\frac{π}{2}\quad\mathbf{(Ans)}}$$

(iv)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে

$$\large{ cosθ=\frac{|2.3+1.(-4)+(-2).5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}×\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|6-4-10|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-8|}{\sqrt{9}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{8}{3×5\sqrt{2}}\\\therefore cosθ=\frac{4\sqrt{2}}{15}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{15}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. যে সরলরেখা তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই সমান কোণে নত থাকে তার দিক্ অনুপাতগুলি নির্ণয় করো। এক্ষেত্রে কতগুলি সরলরেখা হওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি সরলরেখাটি তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই α কোণে নত।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হবে cosα, cosα, cosα
∴ (cosα)2 + (cosα)2 + (cosα)2 = 1
বা, 3cos2α = 1
বা, cos2α = 1/3
বা, cosα = ±1/√3
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
1/√3, 1/√3, 1/√3 অথবা –1/√3, –1/√3, –1/√3 (Ans)
Ans: এক্ষেত্রে দুটি সরলরেখা হওয়া সম্ভব।

2 zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে π/3 কোণে নত আছে। রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে π/3 কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π/2 – π/3) বা, π/6 কোণে নত।
আবার zx সমতল y অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি y অক্ষের সঙ্গে π/2 কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cosπ/6, cosπ/2, cosπ/3
= √3/2, 0, 1/2 (Ans)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

3 কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি  α, β, γ  হলে, প্রমাণ করো sin2α + sin2β+ sin2γ = 2

Solution:
কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি  α, β, γ  হলে,
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
বা, 1 – sin2α + 1 – sin2β + 1 – sin2γ = 1
বা, 3 – sin2α – sin2β – sin2γ = 1
বা, – sin2α – sin2β – sin2γ = 1 – 3
বা, -(sin2α + sin2β + sin2γ) = -2
বা, sin2α + sin2β + sin2γ = 2 (Proved)

4. কোনো সরলরেখা (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী এবং x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত হলে রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution: 
সরলরেখাটি (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে –
l/2 – 6 = m/-3 + 7 = n/1 + 1 হবে।
⇒ l/– 4 = m/4 = n/2 = k (ধরি)
∴ l = -4k
m = 4k
n = 2k
∵ l2 + m2 + n2 = 1
⇒ (-4k)2 + (4k)2 + (2k)2 = 1
⇒ 16k2 + 16k2 + 4k2 = 1
⇒ 36k2 = 1
⇒ k2 = 1/36
∴ k = ± 1/6
∴ l = -4×(1/6) বা, -4×(-1/6) = –2/3 বা, 2/3
m = 4×(1/6) বা, 4×(-1/6) = 2/3 বা, –2/3
n = 2×(1/6) বা, 2×(-1/6) = 1/3 বা, –1/3
সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত।
∴ l = 2/3 অর্থাৎ m = –2/3 n = –1/3
Ans: সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ 2/3, –2/3, –1/3

5. xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে π/4 কোণে নত হলে, রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে π/4 কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π/2 – π/4) বা, π/4 কোণে নত।
আবার xy সমতল z অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি z অক্ষের সঙ্গে π/2 কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cosπ/4, cosπ/4, cosπ/2
= 1/√2, 1/√2, 0 (Ans)

6. A (4, 5, 0), B(2, 6, 2), C (2, 3, -1) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution: 
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A (4, 5, 0), B (2, 6, 2), C (2, 3, -1)

$$\large{AB=\sqrt{(2-4)^2+(6-5)^2+(2-0)^2}\\\quad=\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+4}=3\\BC=\sqrt{(2-2)^2+(3-6)^2+(-1-2)^2}\\\quad=\sqrt{(0)^2+(-3)^2+(-3)^2}\\\quad=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt{2}\\CA=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2+(0+1)^2}\\\quad=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+4+1}=3}$$

AB বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
2 – 4/3, 6 – 5/3, 2 – 0/3 বা, -2/3, 1/3, 2/3 (Ans)
BC বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
2 – 2/3√2, 3 – 6/3√2, -1 – 2/3√2 বা, 0, -1/√2, -1/√2 (Ans)
CA বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
4 – 2/3, 5 – 3/3, 0 + 1/3 বা, 2/3, 2/3, 1/3 (Ans)

7. দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে প্রমাণ কর যে, P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7);
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a1, b1, c1 হলে,
(a1, b1, c1) ≡ {(-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)} ≡ (-3, -5, -3)
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a2, b2, c2 হলে,
(a2, b2, c2) ≡ {(5 + 1), (8 + 2), (7 – 1)} ≡ (6, 10, 6)
∴ a1/a2 = -3/6 = –1/2
b1/b2 = -5/10 = –1/2
c1/c2 = -3/6 = –1/2
∵ a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = –1/2
∴ PQ এবং QR পরস্পর সমান্তরাল।
আবার PQ এবং QR সরলরেখার সাধারণ বিন্দু Q
∴ PQ ও QR একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ P, Q এবং R বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

8. মনে করো একটি সরলরেখা y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে π/4 এবং π/3 কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে যে সূক্ষ্মকোণটি উৎপন্ন করে তার মান নির্ণয় করো।

Solution: 
সরলরেখাটি y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে π/4 এবং π/3 কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে,
∴ l = cosθ
m = cosπ/4 = 1/√2
n = cosπ/3 = 1/2
∵ l2 + m2 + n2 = 1
∴ cosθ2 + (1/√2)2 + (1/2)2 = 1
⇒ cosθ2 + 1/2 + 1/4 = 1
⇒ cosθ2 = 1 – 1/2 – 1/4
⇒ cosθ2 = 4-2-1/4
⇒ cosθ2 = 1/4
∴ cosθ = ±1/2
cosθ = সূক্ষ্মকোণ
∴ cosθ = 1/2
⇒ cosθ = cosπ/6
∴ θ = π/6
Ans: সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে π/6 কোণ উৎপন্ন করে।

9. যদি O মূলবিন্দু এবং A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু হয়, তবে দেখাও যে, OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং মূলবিন্দু O (0, 0, 0)
OA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a1, b1, c1 হলে,
(a1, b1, c1) ≡ {(2 – 0), (3 – 0), (1 – 0)} ≡ (2, 3, 1)
OB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a2, b2, c2 হলে,
(a2, b2, c2) ≡ {(1 – 0), (1 – 0), (-5 – 0)} ≡ (1, 1 , -5)
∴ a1×a2 + b1×b2 + c1×c2
= 2×1 + 3×1 + 1×(-5)
= 2 + 3 – 5
= 0
∵ a1×a2 + b1×b2 + c1×c2 = 0
∴ OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব। (Proved)

10. দেখাও যে, (-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
(-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a1, b1, c1 হলে,
(a1, b1, c1) ≡ {(1 + 1), (3 – 0), (-1 + 2)} ≡ (2, 3, 1)
(9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a2, b2, c2 হলে,
(a2, b2, c2) ≡ {(7 – 9), (2 – 1), (-5 + 6)} ≡ (-2, 1 , 1)
∴ a1×a2 + b1×b2 + c1×c2
= 2×(-2) + 3×1 + 1×1
= -4 + 3 + 1
= 0
∵ a1×a2 + b1×b2 + c1×c2 = 0
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার পরস্পর লম্ব। (Proved)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

11. প্রমাণ করো যে, (4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (4, 3, -3) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।

Solution:
( 4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a1, b1, c1 হলে,
(a1, b1, c1) ≡ {(5 – 4), (3 – 5), (3 -0)} ≡ (1, -2, 3)
(4, 3, -3 ) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a2, b2, c2 হলে,
(a2, b2, c2) ≡ {(6 – 4), (-1 – 3), (3 + 3)} ≡ (2, -4, 6)
∴ a1/a2 = 1/2
b1/b2 = -2/-4 = 1/2
c1/c2 = 3/6 = 1/2
∵ a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল। (Proved)

12. কোণগুলি নির্ণয়ের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, A(3, 4, -1), B(1, 5, 1) এবং C(1, 2, -2) শীর্ষবিন্দুগামী ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Solution:
ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি (3, 4, -1), (1, 5, 1) এবং (1, 2, -2)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 3), (5 – 4), (1 + 1) বা, -2, 1, 2
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 1), (2 – 5), (-2 – 1) বা, 0, -3, -3
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (4 – 2), (-1 + 2)বা, 2, 2, 1

$$\large{\therefore cosA=\frac{|(-2).2+1.2+2.1|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1^2}}\\\quad\quad=\frac{|-4+2+1|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{|0|}{\sqrt{9}×\sqrt{9}}=0\\\therefore cosA=cos\frac{π}{2}\\⇒ A=\frac{π}{2} }$$আবার $$\large{ cosB=\frac{|(-2).0+1.(-3)+2.(-3)|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-3-6|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{0+9+9}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{9}×\sqrt{18}}\\\quad\quad=\frac{9}{3×3\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosB=cos\frac{π}{4}\\⇒ B=\frac{π}{4}}$$এবং$$\large{ cosC=\frac{|0.2+(-3).2+(-3).1|}{\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-6-3|}{\sqrt{0+9+9}×\sqrt{4+4+1}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{18}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{9}{3\sqrt{2}×3}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosC=cos\frac{π}{4}\\⇒ C=\frac{π}{4}\\\therefore cosB = cosC\\⇒ B=C}$$

∵ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (Proved)

13. (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x অক্ষের সঙ্গে যে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় করো।

Solution:
(1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (2 – 1), (1 – 3) বা, 2, 1, -2
∴ সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ –

$$\large{\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{4+1+4}},\frac{1}{\sqrt{4+1+4}},\frac{-2}{\sqrt{4+1+4}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{1}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{-2}{3}}$$

x অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হল 1, 0, 0
ধরি, (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা ও x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ cosθ = 2/3×1 + 1/3×0 + -2/3×0
⇒ cosθ = 2/3
⇒ θ = cos-1(2/3)

14.  দিক কোসাইন এবং দিক্ অনুপাতসমূহ নির্নয়ের সাহায্যে দেখাও যে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

Solution:
ধরি ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 2), (2 – 3), (0 – 1) বা, -4, -1, -1
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 +2), (1 – 2), (-1 – 0) বা, 2, -1, -1
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 1), (1 + 1) বা, 2, 2, 2
BC ও CA বাহুর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 2×2 + (-1)×2 + (-1)×2
= 4 – 2 – 2 = 0
∴ BC ও CA পরস্পর লম্ব।
ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (Proved)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

15. মূলবিন্দু O থেকে অঙ্কিত সরলরেখাদ্বয় OA এবং OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে 1, -1, -1 এবং 2, -1, 1 হলে, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
OA -এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 1, -1, -1
OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 2, -1, 1
ধরি, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ l, m, n
∴ l×1 + m×(-1) + n×(-1) = 0
বা, l – m – n = 0 – – – – (i)
এবং l×2 + m×(-1) + n×1 = 0
বা, 2l – m + n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,

$$\large{\frac{l}{-1-1}=\frac{m}{-2-1}=\frac{n}{-1+2}\\⇒\frac{l}{-2}=\frac{m}{-3}=\frac{n}{1}=k\quad [Let]}$$

∴ l = -2k; m = -3k; n = k
∵ l2 + m2 + n2 = 1
⇒ (-2k)2 + (-3k)2 + k2 = 1
⇒ 4k2 + 9k2 + k2 = 1
⇒ 14k2 = 1
⇒ 14k2 = 1/14
∴ k = ±1/√14
Ans: অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ হল
-2/√14, -3/√14, 1/√14 এবং 2/√14, 3/√14, -1/√14

16. A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B (0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B(0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু N
N বিন্দুটি BC সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, -11, 4) এবং (2, -3, 1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2p – 0.1/p + 1 , -3.p – 11/p + 1 , p + 4/p + 1) বা, (2p/p + 1 , -3P – 11/p + 1 , p + 4/p + 1)
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (-3 + 11), (1 – 4) বা, 2, 8, -3
A(1, 8, 4) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 8, 4)
AN সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(2p/p + 1 – 1), ( -3P – 11/p + 1 – 8) ,( p + 4/p + 1 – 4)} বা, {(p – 1/p + 1), (-11P – 19/p + 1) ,(-3p/p + 1)}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (p – 1/p + 1)×2 + (-11P – 19/p + 1)×8 + (-3p/p + 1)×(-3) = 0
বা, 2(p – 1) + (-11P – 19)×8 + (-3p)×(-3) = 0
বা, 2p – 2 – 88P – 152 + 9p = 0
বা, -77p = 154
বা, p = -2
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2×(-2)/-2 + 1 , -3×(-2) – 11/-2 + 1 , -2 + 4/-2 + 1)
= (-4/-1 , -5/-1 , 2/-1)
= (4, 5, -2)
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 5, -2)

17. (7, 4, 2 ) এবং ( 3, -2, 5 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (2, a, 5) এবং (b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল হলে, a ও b এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(7, 4, 2) এবং (3, -2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (3 – 7,  -2 – 4, 5 – 2) বা -4, -6, 3
(2, a, 5) এবং(b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (b – 2, -15 – a, 11 – 5) বা b – 2, -15 – a, 6
∵ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
∴ -4/b – 2 = -6/-15 – a = 3/6
⇒ -4/b – 2 = -6/-15 – a = 1/2
∴ -4/b – 2 = 1/2 -6/-15 – a = 1/2
বা, b – 2 = -8 বা, -12 = -15 – a
বা, b = -6 বা, a = -3
Ans: a = -3 এবং b = -6

18. (4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব হলে, k -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 4, -1 +3, 5 – 2) বা -1, 2, 3
(k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (7 – k, 3 + 2, -2 – 1) বা 7 – k, 5, -3
সংযোজক সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ (-1)×(7 – k) + 2×5 + 3×(-3) = 0
বা, -7 + k + 10 – 9 = 0
বা, k = 6
Ans: k -এর মান 6

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

19. যে সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5 তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3 হলে

$$\large{cosθ=\frac{|(-4).3+3.4+5.(-5)|}{\sqrt{(-4)^2+(3)^2+(-5)^2}×\sqrt{3^2+4^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|-12+12-25|}{ \sqrt{16+9+25}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-25|}{\sqrt{50}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{25}{50}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{3}\\\therefore θ=\frac{π}{3}}$$Ans: সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3

20. মনে করো A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (4 – 2, 5 + 3, 2 + 1) বা 2, 8, 3
CD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 + 3, 3 – 4, 5 – 1) বা 5, -1, 4
ধরি AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m , n
∴ 2l + 8m + 3n = 0 – – – – (i)
এবং 5l – m + 4n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,

$$\large{\frac{l}{32-(-3)}=\frac{m}{15-8}=\frac{n}{-2-40}\\⇒\frac{l}{35}=\frac{m}{7}=\frac{n}{-42}=k\\⇒\frac{l}{5}=\frac{m}{1}=\frac{n}{-6}=k\quad [Let]\\\therefore l=5k;\quad\quad m=k:\quad\quad n=-6k;\\\quad\quad l^2+m^2+n^2=1\\⇒(5k)^2+(k)^2+(-6k)^2=1\\⇒25k^2+k^2+36k^2=1\\⇒62k^2=1\\⇒k^2=\frac{1}{62}\\\therefore k⇒±\frac{1}{62}\\=}$$

Ans: AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হল 5/√62, 1/√62, –6/√62 এবং –5/√62, –1/√62, 6/√62

21. দিক্ অনুপাতের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
ধরি ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 4, –3 – 2, 1 + 6) বা, 1, -5, 7
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 5, 4 + 3, 5 – 1) বা, 7, 7, 4
DC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 11, 4 – 9, 5 + 2) বা, 1, -5, 7
AD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 4, 9 – 2, -2 + 6) বা, 7, 7, 4

AB ও DC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ AB || DC
আবার BC ও AD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ BC || AD
ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং BC || AD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
AB ও BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 1×7 + (-5)×7 + 7×4
= 7 – 35 + 28
= 0
∴ AB ও BC পরস্পর লম্ব।
∴ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল এবং একটি কোণ সমকোণ।
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
(4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। (Proved)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

22. দিক্ সংখ্যার সাহায্যে দেখাও যে, P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। সামান্তরিকটি কি একটি আয়তক্ষেত্র হবে?

Solution:
PQRS চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5 )
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 4, 3 – 7, 4 – 8) বা, -2, -4, -4
SR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 1, -2 – 2, 1 – 5) বা, -2, -4, -4
PS সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 4, 2 – 7, 5 – 8) বা, -3, -5, -3
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 2, -2 – 3, 1 – 4) বা, -3, -5, -3
PQ ও SR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PQ || SR
আবার PS ও QR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PS || QR
PQRS চতুর্ভুজের PQ || SR এবং PS || QR
∴ PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
P, Q, R এবং S বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। (Proved)
PQ ও PS -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= (-2)×(-3) + (-4)×(-5) + (-4)×(-3)
= 6 + 20 + 12
= 38 ≠ 0
∴ PQ ও PS পরস্পর লম্ব নয়।
সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে না। (Proved)

23. মনে করো, দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l1, m1, n1 এবং l2, m2, n2 । প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l1, m1, n1 এবং l2, m2, n2
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c
নির্ণেয় সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখা।
∴ al1 + bm1 + cn1 = 0 – – – – (i)
al2 + bm2 + cn2 = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) সমাধান করে পাই,

$$\large{\frac{a}{m_1n_2-m_2n_1}=\frac{b}{l_2n_1-l_1n_2}=\frac{c}{l_1m_2-l_2m_1}=k\quad [Let]\\\therefore a=k(m_1n_2-m_2n_1)\\\quad b=k(l_2n_1-l_1n_2)\\\quad c=k(l_1m_2-l_2m_1)}$$

Ans: লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ
k(m1n2 – m2n1), k(l2n1 – l1n2), k(l1m2 – l2m1)
= (m1n2 – m2n1), (l2n1 – l1n2), (l1m2 – l2m1)

24. মনে করো P(−9, 4, 5 ) এবং Q (11, 0, -1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু। যদি O মূলবিন্দু এবং ON সরলরেখা PQ সরলরেখার ওপর লম্ব হয়, তবে N-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, N বিন্দুটি PQ সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
P ও Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (−9, 4, 5 ) এবং (11, 0, -1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (11p – 9/p + 1 , 0.p + 4/p + 1 , -p + 5/p + 1) বা, (11p – 9/p + 1 , 4/p + 1 , -p + 5/p + 1)
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 9), (0 – 4), (-1 – 5) বা, 20, -4, -6
ON সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(11p – 9/p + 1 – 0), ( 4/p + 1 – 0) ,(-p + 5/p + 1 – 0)} বা, {(11p – 9/p + 1), (4/p + 1) ,(-p + 5/p + 1)}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (11p – 9/p + 1)×20 + (4/p + 1)×(-4) + (-p + 5/p + 1)×(-6) = 0
বা, 20(11p – 9) – 4×4 – 6(-p + 5) = 0
বা, 220p – 180 – 16 + 6p – 30 = 0
বা, 226p = 226
বা, p = 1
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (11.1 – 9/1 + 1 , 0.1 + 4/1 + 1 , -1 + 5/1 + 1)
= (1, 2, 2)
Ans: N-এর স্থানাঙ্ক (1, 2, 2)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

25. মনে করো A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3)
AB-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 + 2), (3 – 0), (-3 – 3) বা, 2, 3, -6
CD-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 3), (4 – 3), (3 – 5) বা, 2, 1, -2
AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে

$$\large{cosθ=\frac{|2×2+3×1+(-6)×(-2)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}×\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|4+3+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{19}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{19}{7×3}\\cosθ=\frac{19}{21}\\\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{19}{21}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

26. দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো যাদের দিক্ কোসাইনসমূহ নীচের সমীকরণগুলি সিদ্ধ করে:

(i) l + m + n = 0; l2 + m2 – n2 = 0

Solution:
l + m + n = 0
বা, n = -(l + m),
আবার
l2 + m2 – n2 = 0
বা, l2 + m2 – {-(l + m)}2 = 0
বা, l2 + m2 – l2 – 2lm – m2 = 0
বা, -2lm = 0
  হয় l = 0 নতুবা m = 0
l = 0 হলে n = -m হয়
আবার m = 0 হলে n = -l হয়
∴ সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল 0, m, -m এবং l, 0, -l
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে

$$\large{cosθ=\frac{|0×l+m×0+(-m)×(-l)|}{\sqrt{0^2+m^2+(-m)^2}×\sqrt{l^2+0^2+(-l)^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{m^2+m^2}×\sqrt{l^2+l^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{2m^2}×\sqrt{2l^2}}\\\quad\quad=\frac{ml}{m\sqrt{2}×l\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos \frac{π}{3}\\⇒θ=\frac{π}{3}}$$∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3

(ii) 2l + 2m – n = 0; mn + Im + nl = 0

Solution:
2l + 2m – n = 0
বা, n = 2l + 2m – – – – – (i)
mn + Im + nl = 0
বা, n(m + l) + Im = 0 – – – – – (ii)
(ii) নং এ n = 2l+ 2m বসিয়ে পাই,
(2l + 2m)(m + l) + Im = 0
বা, 2lm + 2l2 + 2m2 + 2Im + lm = 0
বা, 2l2 + 5Im + 2m2 = 0
বা, 2(l/m)2 + 5(l/m) + 2 = 0
∴ সমীকরনের বীজদ্বয় l1/m1 ও l2/m2 হলে,
l1/m1 × l2/m2 = 1
⇒ l1l2 = m1m2 – – – – (ii) এবং
l1/m1 + l2/m2 = –5/2
⇒ 2( l1m2 + l2m1) = -5m1m2
∵ n = 2l + 2m
∴ n1×n2 = (2l1+ 2m1)×(2l2+ 2m2)
⇒ n1×n2 = 4l1l2 + 4l1m2 + 4m1l2 + 4m1m2
⇒ n1n2 = 2{2(l1m2+l2m1)}+ 4l1l2 + 4m1m2
⇒ n1n2 = 2×-5m1m2+ 4m1m2+ 4m1m2 – – – – [∵ l1l2 = m1m2]
⇒ n1n2 = -10m1m2+ 8m1m2
⇒ n1n2 = -2m1m2
∴ l1l2 + m1m2 + n1n2
⇒ m1m2 + m1m2 + (-2m1m2) – – – – [∵ l1l2 = m1m2]
⇒ 2m1m2 – 2m1m2
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ π/2 (Ans)

(iii) l + 2m + 3n = 0; 3lm – 4ln + mn = 0

Solution:
l + 2m + 3n = 0
বা, l = -(2m + 3n) – – – – – (i)
আবার
3lm – 4ln + mn = 0
বা, 3{-(2m + 3n)}m – 4{-(2m + 3n)}n +mn = 0
বা, -6m2 – 9nm + 8mn + 12n2 + mn = 0
বা, -6m2 + 12n2 = 0
বা, 12n2 = 6m2
বা, 2n2 = m2
বা, n2/m2 = 1/2
বা, n/m = ±1/√2
⇒ n1/m1 = 1/√2; n2/m2 = – 1/√2
∴ n1/m1 × n2/m2 = 1/√2 × (-1/√2)
⇒ n1n2/m1m2 = – 1/2
⇒ n1n2 = –m1m2/2 – – – – – (ii)
আবার
n1/m1 + n2/m2 = 1/√2 + (-1/√2)
⇒ n1m2+n2m1/m1m2 = 1/√2 – 1/√2 = 0
⇒ n1m2 + n2m1 = 0 – – – – – (iii)
(i) নং থেকে পাই,
l1 = -(2m1 + 3n1) এবং
l2 = -(2m2 + 3n2)
∴ l1×l2 = {-(2m1 + 3n1)}×{-(2m2 + 3n2)}
⇒ l1l2 = 4m1m2 + 6m1n2 + 6n1m2 + 9n1n2
⇒ l1l2 = 4m1m2 + 6(m1n2 + n1m2) + 9n1n2
⇒ l1l2 = 4m1m2 + 6×0 + 9n1n2 – – – [(iii) নং থেকে]
⇒ l1l2 = 4m1m2 + 9n1n2
⇒ l1l2 = 4m1m2 + 9×(-m1m2/2) – – – [(ii) নং থেকে]
⇒ l1l2 = 4m1m2 – 9×m1m2/2
⇒ l1l2 = – m1m2/2
∴ l1l2 + m1m2 + n1n2
⇒ – m1m2/2 + m1m2 – m1m2/2
⇒ m1m2/2 – m1m2/2
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ π/2 (Ans)

(iv) 3l + m + 5n = 0; 6mn – 2nl + 5lm = 0

Solution:
3l + m + 5n = 0
বা, m = -(5n + 3l)
আবার
6mn – 2nl + 5lm = 0
বা, 6{-(5n + 3l)}n – 2nl + 5l{-(5n+3l)} = 0
বা, -30n2 – 18ln -2nl – 25ln -15l2 = 0
বা, -30n2 – 45ln – 15l2 = 0
বা, -15(2n2 + 3ln – l2) = 0
বা, 2n2 + 3ln + l2 = 0
বা, 2n2 + 2ln + ln + l2 = 0
বা, 2n(n + l) + l(n + l) = 0
বা, (n + l)(2n + l) = 0
হয় (n+l)=0 নতুবা (2n + l) = 0
বা, l = -n বা, l = -2n
  l = -n হলে
m = -(5n + 3×-n) = -5n + 3n = -2n
l = -2n হলে
m = -(5n + 3×-2n) = -5n + 6n = n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের  দিক্ অনুপাতসমূহ হল -n, -2n, n এবং -2n, n, n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে

$$\large{cosθ=\frac{(-n)×(-2n)+(-2n)×n+n×n}{\sqrt{(-n)^2+(-2n)^2+n^2}×\sqrt{(-2n)^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{2n^2-2n^2+n^2}{\sqrt{n^2+4n^2+n^2}×\sqrt{4n^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{\sqrt{6n^2}×\sqrt{6n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{n\sqrt{6}×n\sqrt{6}}\\\quad\quad=\frac{1}{6}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$

1. প্রমাণ করো যে, দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ a2l + b2m + c2n =0 এবং mn + nl + lm = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়।

Solution:
a2l + b2m + c2n =0
বা, l = – b2m + c2n/a2 – – – -(i)
mn + nl + lm = 0
বা, mn + l(n + m) = 0 – – – -(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
mn + (- b2m + c2n/a2)(n + m) = 0
বা, a2mn – (b2m + c2n)(n + m) = 0
বা, a2mn – b2mn – b2m2 – c2n2 – c2mn = 0
বা, b2m2 + b2mn + c2mn – a2mn + c2n2 = 0
বা, b2m2 + (b2 + c2 – a2)mn + c2n2 = 0
বা, b2(m/n)2 + (b2 + c2 – a2)(m/n) + c2= 0 – – – (iii) – – [n2 দিয়ে ভাগ করে পাই]
(iii) নং সমীকরণ m/n এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l1, m1, n1 এবং l2, m2, n2 হয় তবে (iii) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে m1/n1 এবং m2/n2
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি l1/l2 = m1/m2 = n1/n2
∴ m1/m2 = n1/n2
⇒ m1/n1 = m2/n2
∴ বীজদুটি সমান।
∴ (b2 + c2 – a2) – 4b2c2 = 0
⇒ (b2 + c2 – a2)2 – (2bc)2 = 0
⇒ (b2 + c2 – a2 + 2bc)(b2 + c2 – a2 – 2bc) = 0
⇒ {(b2 + 2bc + c2) – a2}{(b2 – 2bc + c2)- a2} = 0
⇒ {(b + c)2 – (a)2}{(b – c)2 – (a)2} = 0
⇒ (b + c + a)(b + c – a)(b – c + a)(b – c + a) = 0
∴ (a + b + c) = 0
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়। (Proved)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

2. দেখাও যে, দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ al + bm + cn = 0 এবং pl2 + qm2 + rn2 = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a2/p+ b2/q + c2/r = 0 হয়।

Solution:
al + bm + cn = 0
বা, l = bm + cn/a
আবার
pl2 + qm2 + rn2 = 0
বা, p(bm + cn/a)2 + qm2 + rn2 = 0
বা, p×(b2m2 + 2bcmn + c2n2/a2) + qm2 + rn2 = 0
বা, pb2m2 + 2pbcmn + pc2n2 + a2qm2 + a2rn2 = 0
বা, (pb2 + a2q)m2 + 2pbcmn + (pc2 + a2r)n2 = 0
বা, (pb2 + a2q)(m/n)2 + 2pbc(m/n) + (pc2 + a2r) = 0 – – – – (i)
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l1, m1, n1 এবং l2, m2, n2 হয় তবে (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে m1/n1 এবং m2/n2
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি l1/l2 = m1/m2 = n1/n2
∴ m1/m2 = n1/n2
বা, m1/n1 = m2/n2
∴ (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হবে।
(i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে নিরূপক শূন্য হবে।
∴ (2pbc)2 – 4×(pb2 + a2q)×(pc2 + a2r) = 0
বা, 4p2b2c2 – 4(p2b2c2 + a2b2pr + a2c2pq + a4qr) = 0
বা, p2b2c2 – p2b2c2 – a2b2pr – a2c2pq – a4qr = 0
বা, – a2b2pr – a2c2pq – a4qr = 0
বা, a2b2pr + a2c2pq + a4qr = 0
বা, a4qr + a2b2pr + a2c2pq = 0
বা, a2/p+ b2/q + c2/r = 0 – – (Proved)– – – [a2pqr দিয়ে ভাগ করে পাই]

3. প্রমাণ করো যে,
একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী সুক্ষ্মকোণের মান π/2 – sin-1 1/3

O(0,0,0) Y Z X Q(0,a,a) C(0,a,0) B(a,a,0) A(a,0,0) (a,0,a)S P(a,a,a)(0,0,a)R

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –

$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}\\⇒θ=\frac{π}{2}-sin^{-1}\frac{1}{3}\\\quad\quad\quad[∵ sin^{-1}\frac{1}{3}+cos^{-1}\frac{1}{3}=\frac{π}{2}]\\∴θ=\frac{π}{2}sin^{-1}\frac{1}{3}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
prostuti_home
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

4. যদি একটি সরলরেখা, একটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে  α, β, γ,  δ  কোণ উৎপন্ন করে, তবে প্রमान করো যে, cos2α + cos2β + cos2γ + cos2δ = 4/3

O(0,0,0) Y Z X Q(0,a,a) C(0,a,0) B(a,a,0) A(a,0,0) (a,0,a)S P(a,a,a)(0,0,a)R

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
∴ BR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, -a, a
∴ CS -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, -a, a
সরলরেখাটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে  α, β, γ,  δ  কোণ উৎপন্ন করে
ধরি নির্ণেয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l, m, n

$$\large{cosα=\frac{al+am+an}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l+m+n}{\sqrt{3}} \\cosβ=\frac{-al+am+an}{\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}\\cosγ=\frac{-al-am+an}{\sqrt{(-a)^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l-m+n}{\sqrt{3}}\\cosδ=\frac{al-am+an}{\sqrt{a^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l-m+n}{\sqrt{3}}}$$

L.H.S.
= cos2α + cos2β + cos2γ + cos2δ
= (l + m + n/√3)2 + (-l + m + n/√3)2 + (-l – m + n/√3)2 + (l – m + n/√3)2
= 1/3 [(l + m + n)2 + (-l + m + n)2 + (-l – m + n)2 + (l – m + n)2]
= 1/3 × 4(l2 + m2 + n2)
= 1/3 × 4 – – – – – [∵ l2 + m2 + n2 = 1]
= 4/3 = R.H.S. (Proved)

5. যদি তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখার  দিক কোসাইনসমূহ l1, m1, n1; l2, m2, n2 এবং l3, m3, n3 হয়, তবে দেখাও যে প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি (l1 + l2 + l3), (m1 + m2 + m3), (n1 + n2 + n3) দিক সংখ্যাবিশিষ্ট সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে।

Solution:
ধরি, প্রথম সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l1, m1, n1
দ্বিতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l2, m2, n2
এবং তৃতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l3, m3, n3
সরলরেখা তিনটি পরস্পর লম্ব ।
∴ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
l2l3 + m2m3 + n2n3 = 0
∴ l3l1 + m3m1 + n3n1 = 0
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটির দিক সংখ্যা (l1 + l2 + l3), (m1 + m2 + m3), (n1 + n2 + n3)
আরও ধরি, প্রদত্ত সরলরেখাটি প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সরলরেখার সঙ্গে θ1, θ2 এবং θ3 কোণ উৎপন্ন করে।

$$\large{cosθ_1\\=\frac{l_1(l_1+l_2+l_3)+m_1(m_1+m_2+m_3)+n_1(n_1+n_2+n_3)}{\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}\\\quad\quad\quad[\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}=k\quad(Let)]}\\=\frac{l_1^2+l_1l_2+l_3l_1)+m_1^2+m_1m_2+m_3m_1+n_1^2+n_1n_2+n_3n_1}{k}\\=\frac{(l_1^2+m_1^2+n_1^2)+(l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2)+(l_3l_1+m_3m_1+n_3n_1)}{k}\\\\=\frac{1+0+0)}{k}=\frac{1}{k} }$$

অনুরূপে পাওয়া যায়
cosθ2 = 1/k
cosθ3 = 1/k
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে। (Proved)

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

6. A, B, C, D একটি সামান্তরিকের চারটি শীৰবিন্দু। যদি A, B এবং C-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 0, 0), (3, -4, 4) এবং (7, 1, 4) হয়, তবে দিক্ অনুপাতের সাহায্যে D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি D এর স্থানাঙ্ক (x, y, z)
∴ AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 0), ( -4 – 0), (4 – 0) বা 3, -4, 4
CD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x – 7), ( y – 1), (z – 4)
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ CD = AB
(x – 7) = 3 বা, x = 10
(y – 1) = -4, বা, y = -3
(z – 4) = 4 বা, z = 8
Ans: D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (10, -3, 8)

7. মনে করো, P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3; তাহলে PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
দুটি প্রদত্ত বিন্দু P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1)
∴ PQ এর দিক্ অনুপাতসমূহ – (2 + 1), (5 – 0), (1 – 3) বা, 3, 5, -2
L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3
∴ L সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ

$$\large{\frac{6}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{2}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{3}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{2}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{3}{\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{49}},\quad\frac{2}{\sqrt{49}},\quad\frac{3}{\sqrt{49}}\\⇒\frac{6}{7},\quad\frac{2}{7},\quad\frac{3}{7}}$$

PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
= 6/7×3 + 2/7×5 + 3/7×(-2)
= 18/7 + 10/7 – 6/7
= 18+10-6/7
= 22/7 একক
Ans: PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 22/7 একক

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

8. দেখাও যে, যদি দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনগুলি al + bm + cn = 0 এবং pl2 + qm2 + rn2 = 0 দ্বারা প্রকাশ করা  যায়, তবে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে a2(q+r) + b2 (r+p) + c2(p + q) = 0

Solution:
al + bm + cn = 0
∴ l = –bm + cn/a
এবং m = –al + cn/b
আবার pl2 + qm2 + rn2 = 0
বা, p(-bm + cn/a)2 + qm2 + rn2 = 0
বা, p×(b2m2 + 2bcmn + c2n2)/a2 + qm2 + rn2 = 0
বা, pb2m2 + 2bcmnp + pc2n2 + a2qm2 + a2rn2 = 0
বা, m2(pb2 + a2q) + 2bcmnp + n2(pc2 + a2r) = 0
বা, (m/n)2(pb2 + a2q) + 2bcpm/n + pc2 + a2r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় m1/n1 এবং m2/n2 হলে,
m1/n1 × m2/n2 = pc2 + a2r/pb2 + a2q
⇒ m1m2/pc2 + a2r = n1n2/pb2 + a2q

এবং pl2 + qm2 + rn2 = 0
বা, pl2 + q(-al + cn/b)2 + rn2 = 0
বা, pl2 + q × (a2l2 + 2acln + c2l2)/b2 + rn2 = 0
বা, pl2b2 + qa2l2 + 2aclnq + c2ql2 + b2rn2 = 0
বা, l2(pb2 + a2q) + 2aclnq + n2(qc2 + b2r) = 0
বা, (l/n)2(pb2 + a2q) + 2bcpl/n + qc2 + b2r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় l1/n1 এবং l2/n2 হলে,
l1/n1 × l2/n2 = qc2 + b2r/pb2 + a2q
⇒ l1l2/qc2 + b2r = n1n2/pb2 + a2q
∴ l1l2/qc2 + b2r = m1m2/pc2 + a2r = n1n2/pb2 + a2q = k (ধরি)
∴ l1l2 = k(qc2 + b2r)
m1m2 = k(pc2 + a2r)
n1n2 = k(pb2 + c2r)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 হবে।
বা, k(qc2 + b2r) + k(pc2 + a2r) + k(pb2 + a2q) = 0
বা, k(qc2 + b2r + pc2 + a2r + pb2 + a2q) = 0
বা, qc2 + b2r + pc2 + a2r + pb2 + a2q = 0
বা, a2(q + r) + b2(r + p) + c2(p + q) = 0 (Proved)

PREVIOUS
NEXT

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!