PROSTUTI

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2025) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

Complete Solution of MP-24 Mathematics

মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান

Written by

TEAM PROSTUTI

in

, ,

Complete Solution of MP-24 Mathematics

মাধ্যমিক গণিত ২০২৪ সমাধান

2024 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২৪

Complete Solution of MP-24 Mathematics

2024
MATHEMATICS
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π এর আসন্ন মান 22/7 ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে। ] 
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায় ]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো। 

বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক  প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) Question with complete solution

2024CLICK HERE
2023CLICK HERE
2022CLICK HERE
2021করোনার জন্য 2021 সালে মাধ্যমিক পরীক্ষা
হয়নি।
2020CLICK HERE
2019CLICK HERE
2018CLICK HERE
2017CLICK HERE

Complete Solution of MP-24 Mathematics

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের হার বার্ষিক 10% হলে, দ্বিতীয় বছরে কোনো মূলধনের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অনুপাত-
(a) 20 : 21 (b) 10 : 11 (c) 5 : 6 (d) 1 : 1

Ans: (a) 20 : 21
[ধরি, আসল P টাকা
দ্বিতীয় বছরে সরল সুদ
= Prt/100
= P×10×2/100 টাকা
= P/5 টাকা
দ্বিতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ

\(\Large{\quad P\left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{2} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{2}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{11}{10} \right )^{2}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{121}{100}-1 \right)\\=\frac{21P}{100}}\)

সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অনুপাত
= P/5 : 21P/100
= P/5×100 : 21P/100×100
= 20P : 21P = 20 : 21]

2020 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

ii) যদি ax2 + abcx + bc= 0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে-
(a) abc = 1 (b) b = ac (c) bc = 1 (d) a = bc
Ans: (d) a = bc
[ধরি, বীজদ্বয় α ও 1/α
∴  α × 1/α = bc/a
বা, 1 = bc/a
বা, a = bc]

iii) 5 সেমি ও 7 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব-
(a) 1 cm (b) 2 cm (c) 3 cm (d) 4 cm
Ans: (b) 2 cm
[5 সেমি ও 7 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5/2 = 2.5 cm ও 7/2 = 3.5 cm
∴ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব
= (3.5 – 2.5) cm
= 1 cm

(iv) tan θ + cot θ এর সর্বনিম্নমান-
(a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
Ans: (b) 2
[(tan θ + cot θ)2
= (tan θ – cot θ)2 + 4tan θcot θ
=  (tan θ – cot θ)2 + 4
∵ (tan θ – cot θ)2 ≥ 0
⇒ (tan θ – cot θ)2 + 4 ≥ 0 + 4
⇒ (tan θ – cot θ)2 + 4 ≥ 4
⇒ (tan θ + cot θ)2 ≥ 4
⇒ tan θ – cot θ ≥ 2]

(ⅴ) সমান ভূমি বিশিষ্ঠ একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট চোঙের উচ্চতা সমান হলে তাদের ঘনফলের অনুপাত –
(a) 1 : 3 (b) 1 : 2 (c) 2 : 3 (d) 3 : 4
Ans: (c) 2 : 3
[ধরি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ r = h
নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট চোঙের ঘনফলের অনুপাত
= 2/3πr3 : πr2h
= 2r3 : 3r2×r
= 2 : 3]

(vi) প্রথম দশটি স্বভাবিক সংখ্যার গড় A এবং মধ্যমা M হলে সম্পর্কটি –
(a) A > M (b) A < M (c) A = 1/M (d) A = M
Ans: (d) A = M

Complete Solution of MP-24 Mathematics

2. শূন্যস্থান পুরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) P এর মান কত হলে (P-3) x2+ 5x + 10 = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। P = _______________
Ans: 3
[সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি –
P – 3 = 0 হয়
বা, P =  3 হয়]

(ii) আসল বা মূলধন এবং কোনো নির্দিষ্ট সময়ের চক্রবৃদ্ধি সুদের সমষ্টিকে _______________ বলে।
Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি

(iii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলি _______________
Ans: সমানুপাতী

(iv) sin (θ – 30o) = 1/2 হলে cos θ এর মান হবে _______________
Ans: 1/2
[ sin (θ – 30o) = 1/2
⇒ sin (θ – 30o) = sin30o
⇒ θ – 30o = 30o
⇒ θ = 30o + 30o
⇒ θ = 60o
∴ cosθ = cos60o = 1/2

(ⅴ) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V, ভূমির ব্যাসার্ধ R এবং উচ্চতা H হলে, H = _______________
Ans: 3V/πR2
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন
V = 1/3πR2H
বা, πR2H = 3V
বা, H = 3V/πR2]

(vi) ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজনো 8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে x-এর মান _______________
Ans: 22
[এখানে তথ্যের সংখ্যা 9
∴ মধ্যমা = 9+1/2 তম পদ
= 5 তম পদ
= x + 2
∴ x + 2 = 24 
বা, x = 22]

Complete Solution of MP-24 Mathematics

3. সত্য মিথ্যা লেখো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) অংশীদারি কারবারে তিনজন সদস্যের মূলধনের অনুপাতে a : b : c এবং নিয়োজিত সময়ের অনুপাত x : y : z হলে তাদের লাভের অনুপাত হবে ax : by : cz
Ans:  সত্য
[তিনজনের মূলধনের অনুপাতে = a : b : c এবং
নিয়োজিত সময়ের অনুপাত = x : y : z
∴ তাদের লাভের অনুপাত
= a×x : b×y : c×z
= ax : by : cz]

(ⅱ) যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয় তবে a ∝ 1/d হবে।

Ans: সত্য
[ a ∝ b
⇒ a = kb – – – [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ 1/c
⇒ b = m×1/c – – – [m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
= m/c এবং
c ∝ d
⇒ c = nd – – – [n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ a = kb
= k×m/c
= km/c
= km/nd
= km/n×1/d
a ∝ 1/d]

(iii) কোনো বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা অবশ্যই সমান্তরাল হবে।
Ans: মিথ্যা

(iv) একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা 2 ঘন্টায় π/6 রেডিয়ান কোণ আবর্তন করে।
Ans: মিথ্যা
[ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা,
12 ঘন্টায় আবর্তন করে 2π রেডিয়ান
1 ঘন্টায় আবর্তন করে 2π/12 রেডিয়ান
2 ঘন্টায় আবর্তন করে 2π×2/12 রেডিয়ান
= π/3 রেডিয়ান।]

(v) একই ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ নিরেট গোলক ও নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের অনুপাত 2: 1।
Ans: মিথ্যা
[r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ নিরেট গোলক ও নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের অনুপাত
= 4πr2 : 3πr2 = 4 :]
= 4 : 3]

(vi) একটি শ্রেণীতে n সংখ্যক সংখ্যার গড় x̄। যদি প্রথম (n-1) সংখ্যার সমষ্টি K হয়, তাহলে n-তম সংখ্যাটি হবে (n – 1) x̄ + K।
Ans:  মিথ্যা
n সংখ্যক সংখ্যার গড় x̄
∴ n সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = nx̄
প্রথম (n-1) সংখ্যার সমষ্টি K
∴ n-তম সংখ্যাটি হবে = nx̄ – k

Complete Solution of MP-24 Mathematics

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

1) 500 টাকার বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরের সুদ 105 টাকা হয়, নির্ণয় করো

Solution:
 ধরি t বছরের সুদ 105 টাকা হয়।
আসল(P) = 500 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ(r) 10%
সুদ = 105 টাকা

\(\Large{∴500\left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{t} – 500=105\\⇒500\left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{t}=105+500\\⇒500\left (\frac{11}{10} \right )^{t}=605\\⇒\left (\frac{11}{10} \right )^{t}=\frac{605}{500}\\⇒\left (\frac{11}{10} \right )^{t}=\frac{121}{100}\\⇒\left (\frac{11}{10} \right )^{t}=\left (\frac{11}{10} \right )^{2}}\)

∴ t = 2
Ans: 2 বছরের সুদ 105 টাকা হয়।

(ii) একটি অংশীদারি কারবারে ইলা, রহিমা ও বেলার মুলধণের অনুপাত 3 : 8 : 5। ইলার লাভ বেলার লাভের চেয়ে 600 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত টাকা লাভ হয়েছিল?

Solution:
ইলা, রহিমা ও বেলার মুলধণের অনুপাত 3 : 8 : 5
∴ ইলা, রহিমা ও বেলার লাভের অনুপাত হবে 3 : 8 : 5
∴ ইলার লাভ 3x টাকা হলে বেলার লাভ হবে 5x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
5x – 3x = 600
বা, 2x = 600
বা, x = 300
∴ মোট লাভ = (3x + 8x + 5x) টাকা
= 16x টাকা
= 16 × 300 টাকা
= 4800 টাকা
Ans: মোট 4800 টাকা লাভ হয়েছিল।

Complete Solution of MP-24 Mathematics

(iii) x2 – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α, β হলে 1/α + 1/β এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -(-22)/1 = 22
বীজদ্বয়ের গুনফল = α × β = 105/1= 105
প্রদত্ত রাশি = 1/α + 1/β
= β + α/αβ
= 22/105
Ans: 1/α + 1/β এর মান 22/105

(iv) যদি (3x – 2y) : (3x + 2y) = 4 : 5 হয়, তবে (x + y) : (x – y) এর মান কত?

Solution:
(3x – 2y) : (3x + 2y) = 4 : 5
বা, (3x – 2y)/(3x + 2y) = 4/5
বা, 5(3x – 2y) = 4(3x + 2y)
বা, 15x – 10y = 12x + 8y
বা, 15x – 12x = 8y + 10y
বা, 3x = 18y
বা, x = 6y
∴ (x + y) : (x – y)
= (6y+ y) : (6y – y)
= 7y : 5y
= 7 : 5
Ans: (x + y) : (x – y) এর মান 7 : 5

(v) ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে BOC ব্যাস, ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভুজ, ∠ADC = 110o হলে ∠ACB এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

B C D A O 110°

‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে BOC ব্যাস
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠BAC= 90o
এখানে ∠ADC = 110o
∠ADC + ∠ABC = 180o – – – [বৃত্তস্থ চর্তুভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180o হয়।]
বা, 110o + ∠ABC = 180o
বা, ∠ABC = 180o – 110o = 70o
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180o
বা, 70o + 90o + ∠ACB = 180o
বা, 160o + ∠ACB = 180o
বা, ∠ACB = 180o – 160o = 20o
Ans: ∠ACB এর মান 20o

Complete Solution of MP-24 Mathematics

(vi) ABCD ট্রপিজিয়ামের BC ∥ AD এবং AD = 4 সেমি, AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে, AO/OC = DO/OB = 1/2 -হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

B C D A O > >

ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.।
AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে এবং
AO/OC = DO/OB = 1/2
△AOD ও △BOC এর ক্ষেত্রে,
∠OAD = একান্তর ∠OCD – – – – [ ∵ AD||BC এবং AC ভেদক]
∠ODA = একান্তর ∠OCB – – – – [∵ AD||BC এবং DB ভেদক]
∠AOD = ∠BOC – – – – [বিপ্রতীপ কোন]
∴△AOD এবং △BOC সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ AD/BC = AO/OC = DO/OB = 1/2
∴ AD/BC = 1/2
⇒ 4/BC = 1/2  – – – – [AD = 4]
⇒ BC = 8
Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

(vii) △ABC এর ∠ABC = 90°, AB = 6 সেমি, BC = ৪ সেমি হলে △ABC এর পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC এর ∠ABC = 90o,
AB = 6 সেমি,
BC = 8 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = (6)2 + (8)2
⇒ AC2 = 36 + 64
⇒ AC2 = 100
∴ AC = 10
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র ঐ ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত হয়।
Ans: ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10/2 = 5 সেমি.

Complete Solution of MP-24 Mathematics

(viii) rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0o < θ < 90o  হয় তাহলে r এবং θ এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
rcosθ = 2√3
বা, (rcosθ)2 = (2√3)2
বা, r2cos2θ = 12 – – – (i)
rsinθ = 2
বা, (rsinθ)2 = (2)2
বা, r2sin2θ = 4 – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
r2cos2θ + r2sin2θ = 12 + 4
⇒ r2(cos2θ + sin2θ) = 16
⇒ r2×1 = 16 – – – – [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
∴ r = 4
∵ rsinθ = 2
⇒ 4×sinθ = 2
⇒ sinθ = 2/4 = 1/2
⇒ sinθ = sin30o
∴ θ = 30o
Ans: r এর মান 4 এবং
θ এর মান 30o

(ix) sin (A + B) = 1 এবং cos (A – B) = 1 হলে cot2A এর মান নির্ণয় করো। 0o ≤ (A + B) ≤ 90o এবং A ≥ B
Solution:
sin (A + B) = 1
⇒ sin (A + B) = sin90o
∴ A + B = 90o – – – – (i)
cos (A – B) = 1
⇒ cos (A – B) = cos0o
∴ A – B = 0o – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
A + B – A – B = 90o + 0o
⇒ 2A = 90o
∴ cot2A
= cot90o
= 0
Ans: cot2A এর মান 0

Complete Solution of MP-24 Mathematics

(x) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

Solution:
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr2 বর্গ একক
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে,
গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে
= 4π(2r)2 বর্গ একক
= 16πr2 বর্গ একক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে
= (16πr2 – 4πr2) বর্গ একক
= 12πr2 বর্গ একক
= 12πr2/4πr2 × 100 %
= 300 %
Ans: বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে 300 %

(xi) একটি ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 সেমি হলে, ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি।
প্রশ্নানুযায়ী,
√2a = 6√2
বা, a = 6
∴ ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
= 6a2 বর্গ একক
= 6×(6)2 বর্গ সেমি
= 216 বর্গ সেমি
Ans: ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সেমি

(xii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 7, ∑fixi = 140 হলে ∑fi এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 7,
∑fixi = 140
∵ গড় = ∑fixi/∑fii
∴ ∑fixi/∑fii = 7
বা, 140/∑fii = 7
বা, ∑fi × 7 = 140
বা, ∑fi = 20
Ans: ∑fi এর মান 20

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Complete Solution of MP-24 Mathematics

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) গোবিন্দবাবু কর্মক্ষেত্র থেকে অবসর নেওয়ার সময় 5,00,000 টাকা পেলেন। ঐ টাকার কিছুটা ব্যাঙ্ক ও বাকিটা পোস্ট অফিসে জমা রাখেন। প্রতি বছর সুদ বাবদ 33,600 টাকা পান। ব্যাঙ্ক ও পোস্ট অফিসে বার্ষিক সরল সুদের হার যথাক্রমে 6% ও 7.2%। তিনি কোথায় কত টাকা রেখেছিলেন তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, গোবিন্দবাবু ব্যাঙ্কে রাখেন x টাকা
∴ পোস্ট অফিসে রাখেন = (500000 – x) টাকা
ব্যাঙ্কের ক্ষেত্রে,
 আসল(P1) = x টাকা
সুদের হার(r1) = 6%
সময়(t1) = 1 বছর
প্রতি বছর ব্যাঙ্ক থেকে সুদ পান

\(\large{= I_{1} = \frac{x×6×1}{100} \\ ⇒ \quad I_{1} = \frac{3x}{50}}\)

পোস্ট অফিসের ক্ষেত্রে,
 আসল(P2) = (500000 – x) টাকা
সুদের হার(r2) = 7.2%
সময়(t2) = 1 বছর
প্রতি বছর পোস্ট অফিস থেকে সুদ পান

\(\large{= I_{2} = \frac{(500000-x)×7.2×1}{100} \\ ⇒ \frac{(500000-x)×72}{100×10}\\=\frac{(500000-x)×36}{500}}\)

প্রশ্নানুযায়ী ,

\(\large{\quad \frac{3x}{50}+\frac{36(500000-x)}{500}=33600 \\ ⇒\frac{30x+36(500000-x)}{500}=33600 }\)

⇒ 30x + 36(500000 – x) = 33600×500
⇒ 30x + 18000000 – 36x = 16800000
⇒ -6x = 168 00000 – 180 00000
⇒ -6x = – 12 00000
⇒ 6x = 12 00000
⇒ x = 200000
∴ 500000 – x = 500000 – 200000
= 300000
Ans: গোবিন্দবাবু ব্যাঙ্কে রেখেছিলেন 200000 টাকা ও
পোস্ট অফিসে রেখেছিলেন 300000 টাকা

Complete Solution of MP-24 Mathematics

(ii) আমন 25,000 টাকা 3 বছরের জন্য এমনভাবে ধার করলেন যে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6%, 3 বছরের শেষে আমন সুদে আসলে কত টাকা জমা দেবে?

Solution:
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6%
25,000 টাকা প্রথম বছরের শেষে সুদে-আসলে হবে
= 25000(1 + 4/100) টাকা
= 25000(1 + 1/25) টাকা
= 25000×26/25 টাকা
= 1000×26 টাকা
1000×26 টাকা দ্বিতীয় বছরের শেষে সুদে-আসলে হবে
= 1000×26(1 + 5/100) টাকা
= 1000×26(1 + 1/20) টাকা
= 1000×26×21/20 টাকা
= 50×26×21 টাকা

50×21×26 টাকা তৃতীয় বছরের শেষে সুদে-আসলে হবে
= 50×21×26(1 + 6/100) টাকা
= 50×21×26(1 + 3/50) টাকা
= 50×21×26×53/50 টাকা
= 21×26×53 টাকা
= 28938 টাকা
Ans: 3 বছরের শেষে আমন সুদে আসলে 28938 টাকা জমা দেবে।

Complete Solution of MP-24 Mathematics

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) A এর গতিবেগ B এর গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশী। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে A, B এর থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। B-এর গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার?
Solution:
ধরি, B এর গতিবেগ x মিটার/সেকেন্ড
∴ A এর গতিবেগ (x + 1)  মিটার/সেকেন্ড
180 মিটার দৌড়াতে ,
B এর সময় লাগে 180/x সেকেন্ড এবং
A এর সময় লাগে 180/(x + 1) সেকেন্ড
প্রশ্নানুসারে ,

\(\Large{\quad\frac{180}{x}-\frac{180}{x+1}=2 \\ ⇒\frac{180(x+1)-180x}{x(x+1)}=2\\⇒\frac{180x+180-180x}{x^{2}+x}=2\\⇒\frac{180}{x^{2}+x}=2\\ \\⇒\frac{90} {x^{2}+x}=1}\)

⇒ x2 + x = 90
⇒ x2 + x – 90 = 0
⇒ x2 + 10x – 9x – 90 = 0
⇒ x(x + 10) – 9(x + 10) = 0
⇒ (x+10)(x-9) = 0
হয় x + 10 = 0 নতুবা, x – 9 = 0
বা, x = -10 বা, x = 9
বেগ ঋণাত্মক  হতে পারে না।
x ≠ – 10 ∴ x = 9
Ans: B-এর গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে 9 মিটার।

(ii) সমাধান করো:

\(\Large{\mathbf{\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4}\)

ধরি, 2x+1= a

\(\Large{\therefore \quad a+\frac {3}{a}=4\\⇒\frac {a^{2}+3}{a}=4}\)

⇒ a2 + 3 = 4a
⇒ a2 – 4a + 3 = 0
⇒ a2 – 3a – a + 3 = 0
⇒ a(a – 3) – 1(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 1) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 1 = 0
বা, a = 3 বা, a = 1
a = (2x + 1) বসিয়ে পাই,
a = 3 হলে
2x + 1 = 3
⇒ 2x = 3 – 1
⇒ 2x = 2
∴ x = 1
a = 1 হলে
2x + 1 = 1
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0, 1

Complete Solution of MP-24 Mathematics

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) যদি (√a + √b) ∝ (√a – √b) হয়, তবে দেখাও যে (a + b) ∝ √ab.

Solution:
(√a + √b) ∝ (√a – √b)
⇒ (√a + √b) =k (√a – √b) – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(\Large{⇒\frac{√a + √b}{√a – √b}=k\\⇒\left(\frac{√a + √b}{√a – √b}\right)^2=k^2\\⇒\frac{(√a + √b)^2}{(√a – √b)^2}=k^2\\⇒\frac{(√a + √b)^2+(√a – √b)^2}{(√a + √b)^2-(√a – √b)^2}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\\⇒\frac{2[(√a)^2+(√b)^2]}{4√a√b}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\\⇒\frac{2(a+b)}{4√a√b}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\\⇒\frac{(a+b)}{2√a√b}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\\⇒(a+b)=2\left(\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)\sqrt{ab}}\)

(a + b) ∝ √ab – – – – [∵ 2.k2+1/k2-1=ধ্রুবক]
∴ (a + b) ∝ √ab (Proved)

(ⅱ) যদি x = √3 + √2, y = 1/x হয় তবে (x + 1/x)2 + (1/y – y)2 = কত?

Solution:
x = √3 + √2

\(\Large{y=\frac{1}{x}\\\quad=\frac{1}{√3 + √2}\\\quad=\frac{(√3-√2)}{(√3+√2)(√3-√2)}\\\quad=\frac{√3-√2}{(√3)^2-(√2)^2}\\\quad=\frac{√3-√2}{3-2}\\\quad=√3 – √2}\)

y = 1/x
⇒ xy = 1
∴ x + 1/x
= x + y
= √3 + √2 + √3 – √2
= 2√3
∴ 1/y – y
= x – y
= √3 + √2 – (√3 – √2)
= √3 + √2 – √3 + √2
= 2√2
প্রদত্ত রাশি
= (x + 1/x)2 + (1/y – y)2
= (2√3)2 + (2√2)2
= 12 + 8
= 12 + 8
Ans: (x + 1/x)2 + (1/y – y)2 = 20

Complete Solution of MP-24 Mathematics

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) x/y + z = y/z + x = z/x + y হলে দেখাও যে প্রতিটি অনুপাতের মান 1/2 অথবা -1।

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই)

\(\Large{=\frac{x+y+z}{y+z+z+x+x+y}\\=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}\\=\frac{x+y+z}{2(x+y+z)}\\=\frac{1}{2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয়

\(\Large{=\frac{x-y}{y+z-z-x}\\=\frac{x-y}{y-x}\\=\frac{x-y}{-(x-y)}\\=-1\quad \mathbf{(Proved)}}\)

(ii)a. b. c ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো যে, 1/b = 1/b-a + 1/b-c
Solution:
a. b. c ক্রমিক সমানুপাতী

\(\Large{\therefore\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k- – – [k= Constant]\\ ∴a=bk;\quad\quad b=ck\\⇒a=ck^2\\\mathbf{L.H.S}=\frac{1}{b}=\frac{1}{ck}}\)\(\Large{\mathbf{R.H.S.}\\=\frac{1}{b-a}+\frac{1}{b-c}\\=\frac{1}{ck-ck^2}+\frac{1}{ck-c}\\=\frac{1}{ck(1-k)}+\frac{1}{c(k-1)}\\=\frac{1}{ck(1-k)}-\frac{1}{c(1-k)}\\=\frac{1-k}{ck(1-k)}\\=\frac{1}{ck}=\mathbf{L.H.S.\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-24 Mathematics

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান-প্রমাণ করো।

Solution: P A C B D O

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB ও ∠ADB যে-কোনো দুটি কোণ ABDC বৃত্তাংশে অবস্থিত।
প্রামান্য বিষয়: ABDC বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণই সমান।
∵ ∠ACB ও ∠ADB, ABDC বৃত্তাংশস্থ যে-কোনো দুটি বৃত্তস্থ কোণ,
∴ ∠ACB ও ∠ADB পরস্পর সমান প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে।
অঙ্কন: O, A এবং O, B  যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB ও ∠ADB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB এবং
∠AOB = 2∠ADB
∴ 2∠ACB = 2∠ADB
বা, ∠ACB = ∠ADB
∴ একই বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান।   (Proved)

(ii) প্রমাণ করো যে, বৃত্তের বহিস্থ কোন বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

Solution: P A B O

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B,
O.A; O, B; O, P যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: (i) PA = PB
(ii) ∠POA = ∠POB
প্রমাণ: PA ও PB স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
POA ও POB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
∠OAP = ∠OBP – – – (প্রত্যেকে 1 সমকোণ)
অতিভুজ OP সাধারণ বাহু এবং
OA = OB – – – (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ΔΡΑΟ = ΔΡΒO – – – [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴PA = PB [Proved]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়।
∴ ∠POA = ∠POB [Proved]

Complete Solution of MP-24 Mathematics

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে, AB + CD = AD + BC

Solution: S P Q R A B C D O

স্বীকারঃ ABCD চতুর্ভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরিলিখিত। ধরি, AB, BC, CD ও DA বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q. R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB + CD = BC + DA
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AS ও AP
∴ AS = AP . . . .  [বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়]
অনুৰূপে, BP = BQ, CQ = CR এবং DR = DS
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
∴ AB + CD = BC + DA (Proved)

(ii) PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90o এবং PS, অতিভুজ QR-এর ওপর লম্ব। প্রমাণ করো যে 1/PS2 – 1/PQ2 = 1/PR2
Solution:

Q P R S

স্বীকার: PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90o এবং PS, অতিভুজ QR-এর ওপর লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: 1/PS2 – 1/PQ2 = 1/PR2
প্রমাণ: ∵ PQR সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌনিক বিন্দু P থেকে QR-এর ওপর PS লম্ব।
∴ △PSQ, △PSR ও △PQR পরস্পর সদৃশ।
△PQR ও △PSQ-এর ক্ষেত্রে,

\(\Large{\quad\frac{QR}{PQ}=\frac{PQ}{QS}=\frac{PR}{PS}\\∴\frac{QR}{PQ}=\frac{PQ}{QS}\\⇒\frac{1}{PQ^2}=\frac{1}{QR.QS}- – – (i)\\আবার\\\quad \frac{PQ}{QS}=\frac{PR}{PS}\\∴\frac{1}{QS}=\frac{PR}{PS.PQ}- – – (ii)}\)

△PQR ও △PSR-এর ক্ষেত্রে,

\(\Large{\quad\frac{QR}{PR}=\frac{PR}{SR}=\frac{PQ}{PS}\\∴\frac{QR}{PR}=\frac{PR}{SR}\\⇒\frac{1}{PR^2}=\frac{1}{QR.RS}- – – (iii)\\আবার\\\frac{PR}{SR}=\frac{PQ}{PS}\\∴\frac{1}{SR}=\frac{PQ}{PS.PR}- – – (iv)}\)

(i) + (iii)করে পাই

\(\Large{\frac{1}{PQ^2}+\frac{1}{PR^2}\\\quad=\frac{1}{QR.QS}+\frac{1}{QR.RS}\\\quad=\frac{1}{QR}\left(\frac{1}{QS}+\frac{1}{RS}\right)\\\quad=\frac{1}{QR}\left(\frac{RS+QS}{QS.RS}\right)\\\quad=\frac{1}{QR}×\frac{QR}{QS.RS}\\\quad=\frac{1}{QS}×\frac{1}{SR}\\\quad=\frac{PR}{PS.PQ}×\frac{PQ}{PS.PR}\\\quad=\frac{1}{PS^2}\\∴\frac{1}{PQ^2}+\frac{1}{PR^2}=\frac{1}{PS^2}\\⇒\frac{1}{PS^2}-\frac{1}{PQ^2}=\frac{1}{PR^2}\quad\mathbf{(Proved)}}\)

Complete Solution of MP-24 Mathematics

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(ⅰ) 4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 9 সেমি দূরত্বে একটি বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর স্পর্শক অঙ্কন পদ্ধতি

(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সেমি এবং 5 সেমি। ঐ ত্রিভুজটির একটি পরিবৃত্ত অঙ্কন করো।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

Complete Solution of MP-24 Mathematics

12. যে কোনো দুইটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) কোন সমকোণী ত্রিভুজের দুটি সূক্ষ্ম কোণের অন্তর 72o হলে কোণ দুটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 90o – θ
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (90o – θ) = 72o
বা, θ – 90o + θ = 72o
বা, 2θ = 72o + 90o
বা, 2θ = 162o
বা, θ = 81o
θ = 81o
= 81×π/180
= 9π/20
∴ অপর কোণটি
= 90o – 81o
= 9×π/180
= π/20

Ans: কোণ দুটির বৃত্তীয় মান যথাক্রমে π/20 ও 9π/20;

(ii) 5sin2θ + 4cos2θ = 9/2 সম্পর্ক থেকে tanθ এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
 5sin2θ + 4cos2θ = 9/2
⇒ 2(5sin2θ + 4cos2θ) = 9×1
⇒ 2(5sin2θ + 4cos2θ) = 9×(sin2θ + cos2θ)
⇒ 10sin2θ + 8cos2θ = 9sin2θ + 9cos2θ)
⇒ 10sin2θ – 9sin2θ = 9cos2θ – 8cos2θ
⇒ sin2θ = cos2θ
⇒ sinθ = cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 1
∴ tanθ = 1
Ans: tanθ এর মান 1

(iii) যদি sin17o = x/y  হয়, তাহলে দেখাও যে

\(\Large{\mathbf{\quad sec17^o – sin73^o =\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}}}\)

L.H.S.
= sec17o – sin73o
= sec17o – sin(90o – 17o)

\(\Large{=\frac{1}{cos17^o}-cos17^o\\=\frac{1-cos^217^o}{cos17^o}\\=\frac{sin^217^o}{cos17^o}\\=\frac{sin^217^o}{\sqrt{1-sin^217^o}}\\=\frac{(\frac{x}{y})^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\\=\frac{\frac{x^2}{y^2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}}\\=\frac{x^2}{y^2\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}}\\=\frac{x^2×y}{y^2\sqrt{y^2-x^2}}\\=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-24 Mathematics

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) কোন স্তম্ভের একই পার্শ্বে এবং পাদবিন্দুগামী একই অনুভূমিক সরলরেখায় অবস্থিত দুটি বিন্দু থেকে স্তম্ভের শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং ϕ। স্তম্ভের উচ্চতা h হলে বিন্দু দুটির দূরত্ব নির্ণয় করো।
Solution:

A B C D h θ ϕ

চিত্রে,
AB স্তম্ভের উচ্চতা h
∠ACB = θ
∠ADB = ϕ
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC/AB = cot∠ACB
বা, BC/h= cotθ
বা, BC = hcotθ
আবার ABD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BD/AB = cot∠ADB
বা, BD/h= cotϕ
বা, BD = hcotϕ
∴  DC = BD – BC
= hcotϕ – hcotθ
= h(cotϕ – cotθ)
Ans: বিন্দু দুটির দূরত্ব h(cotϕ – cotθ)

(ii) 120 মিটার চওড়া রাস্তার দুপাশে ঠিক বিপরীতে A ও B বিন্দুতে দুটি সমান উচ্চতার স্তম্ভ আছে। স্তম্ভ দুটির পাদবিন্দুর সংযোগ রেখার উপর C বিন্দু থেকে A ও B বিন্দুতে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 60o ও 30o হলে AC মান নির্ণয করো।
Solution:

A C B E F 60° 30°

চিত্রে,
AB = 120 মিটার চওড়া রাস্তা
∠ACE = 60o
∠BCF = 30o
ধরি AC = x মিটার
EAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AE/AC = tan60o
বা, AE/x = √3
বা, AE = x√3 – – – – (i)
FBC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BF/BC = tan30o
বা, BF/BC = 1/√3
বা, √3BF = BC
বা, √3BF = AB – AC
বা, √3AE = 120 – x – – – – [∵ BF = AE]
বা, √3×x√3 + x = 120 – – – – [AE = x√3 বসিয়ে পাই]
বা, 4x = 120
বা, x = 30
Ans: AC-এর মান 30

Complete Solution of MP-24 Mathematics

14. যে কোনো দুইটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি আইসক্রীমের নিচের অংশ শঙ্কু আকৃতি ও ওপরের অংশ অর্ধগোলাকৃতি যাহাদের ভূমি একই। শঙ্কুর উচ্চতা 9 cm এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 2.5 cm হলে, আইসক্রীমটির আয়তন নির্ণয় করো।

শঙ্কু আকৃতি অংশের ব্যাসার্ধ 2.5 cm এবং উচ্চতা 9 cm
∴ শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= 1/3πr2×h
= 1/3π(2.5)2×9 ঘন সেমি
∴ অর্ধগোলাকৃতি অংশের আয়তন
= 2/3πr3
= 2/3π(2.5)3 ঘন সেমি

∴ আইসক্রীমটির আয়তন
= শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন + অর্ধগোলাকৃতি অংশের আয়তন
= [1/3π(2.5)2×9 + 2/3π(2.5)3] ঘন সেমি
= 1/3π(2.5)2[9 + 2×2.5] ঘন সেমি
= 1/3π×25/10×25/10[9 + 5] ঘন সেমি
= 1/3×22/7×5/2×5/2×14 ঘন সেমি
= 1/3×11×5×5 ঘন সেমি
= 275/3×11×5×5 ঘন সেমি
= 912/3 ঘন সেমি
Ans: আইসক্রীমটির আয়তন 912/3 ঘন সেমি

(ii) একটি ফাঁপা চোঙাকৃতি পাইপের বাইরের ও ভিতরের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অন্তর 44 বর্গ সেমি এবং পাইপের দৈর্ঘ্য 14 সেমি, পাইপটির পদার্থের ঘনফল 99 ঘন সেমি। পাইপটির বাইরের ও ভেতরের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, পাইপটির বাইরের ও ভেতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R সেমি এবং r সেমি
এখানে পাইপের দৈর্ঘ্য 14 সেমি
∴ পাইপের বাইরের  বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πR×14 বর্গ সেমি
= 28πR বর্গ সেমি
এবং  ভিতরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr×14 বর্গ সেমি
= 28πr বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
28πR – 28πR = 44
বা, 28π(R – r) = 44
বা, 28×22/7×(R – r) = 44
বা, 2(R – r) = 1
বাবা, 2R – 2r = 1 – – – – (i)
আবার
πR2×14 – πr2×14 = 99
বা,14π(R2 – r2) = 99
বা, 14×22/7×(R + r)(R – r) = 99
বা, 4×(R + r)×1/2 = 9
বা, 2R + 2r = 9 – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
2R – 2r + 2R + 2r = 9 + 1
বা, 4R = 10
বা, 2R = 5
বা, R = 2.5
(ii) নং থেকে পাই,
2×2.5 + r = 9
বা, 5 +2r = 9
বা, 2r = 9 – 5
বা, r = 2
Ans: পাইপটির বাইরের ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি এবং
পাইপটির ভেতরের ব্যাসার্ধ 2 সেমি।

(iii) ঘনকাকৃতির একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 75 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ⅖ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার হলে প্রতি বালতিতে কত লিটার জল ধরে?

Solution:
চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন
= (1.5)3 ঘন মিটার
= 3.375 ঘন মিটার
= 3375 ঘন ডেসিমি
= 3375লিটার – – – [∵ ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
76 বালতি জল = চৌবাচ্চাটির আয়তনের (1 – 2/5) অংশ
= 3/5 অংশ
∴ 75 বালতি জল = 3375 × 3/5 লিটার
= 675×3 লিটার
∴ 1 বালতি জল = 675×3/75 লিটার
= 27 লিটার
Ans: প্রতি বালতিতে 27 লিটার জল ধরে।

Complete Solution of MP-24 Mathematics

15. যে কোনো দুইটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) নীচের তথ্যের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো।

শ্রেণি0 – 55 – 1010-1515-2020-2525-3030-3535 – 40
পরিসংখ্যা261016221185

Solution:
পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল –

শ্রেণি0 – 55 – 1010-1515-2020-2525-3030-3535-40
পরিসংখ্যা261016221185

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 22
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 20-25
এখানে, l = 20;  f0 = 16;
f1 = 22; f2 = 11
h = 20 – 25 =5;
∴ সংখ্যাগুরুমান

\(\Large{=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=20+\frac{22-16}{2×22-16-11}×5\\=20+\frac{6}{44-27}×5\\=20+\frac{6}{17}×5\\=20+\frac{30}{17}}\)

= 20 + 1.76 (প্রায়)
= 21.76
Ans: পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান 21.76

(ii) নিম্নলিখিত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে যে কোনো পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো:

শ্রেণী সীমা85 – 105105 – 125125 – 145145 – 165165-185185-205
পরিসংখ্যা312181052

Solution:
ধরি, কল্পিত গড়(a) = 155
∴ di = xi – 155
এবং ui = xi – 155/20
∴ পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী
মধ্যক(xi)		di = xi – 155ui = xi – 155/20xifi
85-105395-60-3-9
105-12512115-40-2-24
125-14518135-20-1-18
145-16510155000
165-18551752015
185-20521954024
মোটΣfi=50Σxifi=-42

এখানে Σfi=50
Σxifi=-42
h = 20
∴ গড়=

\(\Large{=a+\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}×h\\=155+\frac{-42}{50}×20}\)

= 155 – 16.8
= 138.2
Ans: নির্ণেয় গড় 138.2

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো:

প্রাপ্ত নম্বর10-এর কম20-এর কম30-এর কম40-এর কম50-এর কম60-এর কম
শিক্ষার্থী সংখ্যা81529426070

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা
(নম্বর)		শ্রেণি সীমানাক্ষুদ্রতর সূচক
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা		পরিসংখ্যা
(শিক্ষার্থী সংখ্যা)
10-এর কম10-এর কম88
20-এর কম10-2015(15-8)=7
30-এর কম20-3029(29-15)=14
40-এর কম30-4042(42-29)=13
50-এর কম40-5060(60-42)=18
60-এর কম50-6070(70-60)=10
মোটN=70

এখানে,  N = Σfi = 70
∴ N/2 = 70/2 = 35
এখানে, 35 অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 30-40
∴ 30-40 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 30; N = 70; C = 29; fm = 13; h = 10]

\(\Large{ = 30 + \left(\frac{35 – 29}{13}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{60}{13}\\ = 30 + \frac{60}{13}}\)

= 30 + 4.615
= 34.62 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 34.62

PREVIOUS
NEXT

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!