Complete Solution of MP-18 Mathematics

চিত্রে AB স্তম্ভ এবং AC স্তম্ভের ছায়া
∴ ^AC/_AB = cot∠ACB
⇒ ^√3 : ₁ = cot∠ACB
⇒ √3 = cot∠ACB
⇒ cot30^o= cot∠ACB
⇒ 30^o = ∠ACB
Ans: সূর্যের উন্নতি কোণ 30^o

(x) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান ও তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি চোঙ দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও 2h একক এবং ব্যাসার্ধ r₁ একক ও r₂ একক
∵ দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান।
∴ πr₁²×h₁ = πr₂²×h₂
⇒ r₁²×h = r₂²×2h
⇒ r₁² = 2r₂²
⇒ (^r₁/_r2)² = ²/₁
⇒ ^r₁/_r2 = ^√2/₁
∴ r₁ : r₂ = √2 : 1
Ans: চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের √2 : 1

(xi) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
ধরি, নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = 2πr³
প্রশ্নানুযায়ী,
²/₃πr³ = 144π
বা r³ = 144׳/₂
বা r³ = 72×3 = 216
বা r³ = (6)³
বা r =6
∴ 2r = 2×6=12
Ans: গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

(xii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, Σfixi = 132 + 5K এবং Σfi  = 20 হলে K-এর মান কত?
Solution:

⇒ 162 = 132 + 5K
⇒ 5K = 162 – 132
⇒ 5K = 13
∴ K = 6
Ans: K-এর মান 6

Complete Solution of MP-18

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ঐ টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
এখানে,
আসল(P) = 64000 টাকা
সুদের হার(r) = ^2.5/₁₀₀×100%
= 2.5%
সময়(t) = 2 বছর
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

= 40×41×41 টাকা
= 67240 টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= (67240 – 64000) টাকা
= 3240 টাকা
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 3240 টাকা

(b) A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 8,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল?

Solution:
ধরি, ব্যবসা শুরু করার x মাস বাদে আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল।
A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= [(6000×x) + (6000 + 3000)×(12 – x)] : (8000×12) : (9000×12)
= [(6x) + (6 + 3)×(12 – x)] : (8×12) : (9×12)
= [6x + 9×(12 – x)] : 96 : 108
= [6x + 108 – 9x] : 96 : 108
= (108 – 3x) : 96 : 108
= (36 – x) : 32 : 36
বছরের শেষে মোট 30000 টাকা লাভ হল
30,000 টাকার মধ্যে,
C পাবে = 30000׳⁶/_36-x+32+36 টাকা
= 30000׳⁶/_104-x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
30000׳⁶/_104-x = 10800
বা, 10800(104 – x) = 30000×36
বা, 108(104 – x) = 300×36
বা, 3(104 – x) = 300
বা, 104 – x = 100
বা, – x = 100 – 104 = -4
∴ x = 4
Ans: A, 4 মাস পরে আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল।

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সমাধান করো:

ধরি,

∴ a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 2) = 0
হয় (a – 3) = 0 নতুবা (a – 2) = 0
বা, a = 3 বা, a = 2
বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 3 বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 2
বা, 3x – 12 = x + 4 বা, 2x – 8 = x + 4
বা, 3x – x = 4 + 12 বা, 2x – x = 4 + 8
বা, 2x = 16 বা, x = 12
বা, x = 8 বা, x = 12
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 8 এবং 12

Complete Solution of MP-18

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সরলতম মান নির্ণয় করো:

Solution:
প্রদত্ত রাশি

= √10 – √14 + √14- √10
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলতম মান 0

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)

Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ x = k.mz
⇒ x = kmz

= ধ্রুবক
∴ (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx) (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

এবং a + b + c ≠ 0 হলে প্রমাণ করো a = b = c
Solution:

প্রতিটি পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে পাই,

পুনরায় প্রতিটি পক্ষের সঙ্গে 1 যোগ করে পাই,

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
বা, a = c – – – – (i)
আবার
b + c = c + a
বা, b = a – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
a = b = c (Proved)

(b) x : a = y : b = z : c হলে দেখাও (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² হবে।

Solution:
x : a = y : b = z : c
বা, ^x/_a = ^y/_b = ^z/_c = k – – – (k ≠ 0)
∴ ^x/_a = k ^y/_b = k ^z/_c = k
⇒ x = ak ⇒ y = bk ⇒ z = ck
L.H.S.
= (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)
= (a² + b² + c²){(ak)² + (bk)² + (ck)²}
= (a² + b² + c²){a²k² + b²k² + c²k²}
= (a² + b² + c²)k²(a² + b² + c²)
= k²(a² + b² + c²)²
R.H.S.
= (ax + by + cz)²
= (a.ak + b.bk + c.ck)²
= (a²k + b²k + c²k)²
= {k(a² + b² + c²)}²
= k²(a² + b² + c²)² = L.H.S.
∴ (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² (Proved)

Complete Solution of MP-18

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) প্রমাণ করো একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ।

স্বীকারঃ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: (i) △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(ii) △DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(iii) △DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ।
প্রমাণ: △DBA ও △ABC-এর মধ্যে,
∠BDA = ∠BAC = 90^o
∠ABD = ∠CBA
∴ অবশিষ্ট ∠BAD = ∠BCA
∴ △DBA ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
আবার, △DAC ও △ABC-এর মধ্যে,
∠ADC = ∠BAC = 90^o
∠ACD = ∠BCA.
∴ অবশিষ্ট ∠CAD = ∠CBA
∴ △DAC ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DAC ও △ABC সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
△DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। আবার,
△DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
△DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]

(b) প্রমাণ করো কোনো বৃত্তের স্পর্শক ও স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।৷
প্রামাণ্য বিষয়: OP ও AB পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, OP⊥ AB
অঙ্কন: AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু Q নিলাম। O, Q বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ: স্পর্শক AB-এর উপর স্পর্শবিন্দু P ছাড়া অন্য যে-কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হবে।
∴ OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
মনে করি, OQ বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে। 
অর্থাৎ  OR < OQ – – – [ ∵ R বিন্দু O ও Q-এর মধ্যবর্তী]
আবার, OR = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ OP<OQ
আবার Q বিন্দু AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু,
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
আবার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হয় লম্ব দূরত্ব।
∴  OP ⊥ AB (প্রমাণিত)

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।

স্বীকার: ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC;
প্রামাণ্য বিষয়: ∠BAC = 1 সমকোণ।
প্রমাণ: ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠ADB = 90°।
∴ AB² = AD² + BD² – – – (i)
আবার, ADC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ADC = 90°
∴ AC²  = AD² + CD² – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
AB² + AC² = AD² + BD² + AD² + CD²
=  BD² + CD² + 2AD²
= BD² + CD² + 2BD.CD – – – [∵ AD = BD.CD]
= (BD + CD)² = BC²
∴ AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC = 1 সমকোণ।
∴ ∠BAC = 1 সমকোণ (Proved)

(b) একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AC = BD.

স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
∴ AP = BP এবং CP = DP
∴ AC = AP – CP
= BP – DP
= DB
∴ AC = DB (Proved)

Complete Solution of MP-18

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) 4 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করো যাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 7 সেমি। ঐ বৃত্তদুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

(b) একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি 7 সেমি এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°; ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।(কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

12 . যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(a) একটি বৃত্তের 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 60^o পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে, s = 220 সেমি;

\(\Large{\quad θ = 60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{60×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{22}{21}\right)^c}\)

আমরা জানি
s = rθ

\(\Large{\therefore 220=r×\frac{22}{21}\\⇒ 220=r×\frac{22}{21}\\⇒r=\frac{220×21}{22}}\)

=210
Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।

(b) যদি cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হয়, তাহলে tan²θ-এর মান নির্ণয় ।
Solution:
cos²θ – sin²θ = ¹/₂
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = 1
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = cos²θ + sin²θ – – – (∵ cos²θ + sin²θ = 1)
বা, 2cos²θ – 2sin²θ = cos²θ + sin²θ
বা, – 2sin²θ – sin²θ = cos²θ – 2cos²θ
বা, – 3sin²θ = – cos²θ
বা, 3sin²θ = cos²θ
বা, ^sin2θ/_cos²θ = ¹/₃
∴ tan²θ = ¹/₃
Ans. tan²θ-এর মান ¹/₃

(c) মান নির্ণয় করো:

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{cosec(90^o-17^o)}+\frac{tan 68^o}{cot (90^o-68^o)}+cos^2(90^o-46^o) + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{sec17^o}+\frac{tan 68^o}{tan 68^o}+sin^246^o+ cos^246^o\\=}\)

= 1 + 1 +1
= 3
Ans: নির্ণেয় মান 3

Complete Solution of MP-18

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) সূর্য্যের উন্নতি কোণ 45^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি,  খুঁটিটির উচ্চতা (AB) = x  মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
 ∠BCA = 60^o ;
∠BDA = 45^o এবং
      CD = 3 মিটার ।
আরও ধরা যাক BC = y মিটার।
এখন ͢ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BD = tan45^o
বা, ^AB/_BC+CD = 1
বা, ^x/_y+3 = 1
বা, y + 3 =  x
বা, y = x – 3
আবার ͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BC = tan60^o
বা, ^x/_y = √3
বা, ^x/_x-3 = √3
বা, √3x + 3√3 =  x
বা, √3x – x = 3√3
বা, x(√3 – 1) = 3√3
বা, x(√3 – 1)(√3 + 1) = 3√3(√3 + 1)
বা, x{(√3)² – (1)²} = 9 + 3√3
বা, x(3 – 1) = 9 + 3×1.732
বা, 2x = 9 + 5.196
বা, 2x = 14.196
∴ x = 7.098
Ans: খুঁটিটির উচ্চতা 7.098 মিটার

(b) 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30^o অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সে. পরে ঐ ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

ধরি, ব্যক্তিটি RS রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে প্রথমে P বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 30^o অবনতি কোণে এবং 2 সে. পরে Q বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন।
চিত্রে,
AB = 5√3 মিটার
∠BPA = 30^o
∠BQA = 45^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^5√3/_AP = ¹/_√3
বা, AP = 5√3×√3
বা, AP = 15
আবার ͢সমকোণী ত্রিভুজ BAQ থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AQ = tan45^o
বা, ^5√3/_AQ = 1
বা, AQ = 5√3
বা, AQ = 5×1.732
বা, AQ = 8.660
∴ PQ = AP + AQ
= 15 + 8.660
= 23.660
ট্রেনটি 2 সেকেন্ডে যায় 23.660 মিটার
∴ ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় ^23.660/₂ মিটার = 11.830 মিটার
Ans: ট্রেনটির গতিবেগ সেকেন্ডে 11.830 মিটার

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

(a) একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত?
Splution:
মনেকরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a সেমি
∴ ঘনকের আয়তন = (2a)³ ঘন সেমি
= 8a³ ঘন সেমি
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানাে হলে, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
= 2a × ⁵⁰/₁₀₀ সেমি
= a সেমি
∴ পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন = a³ ঘন সেমি
∴ সেমি মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত
= 8a³ : a³
  = 8 : 1
Ans: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8 : 1

(b) ঢাকনাবিহীন একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ্য 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?(1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি)

Solution:
পাত্রটির ভুমির ব্যাস = 14
∴ পাত্রটির ভুমির ব্যাসার্ধ(r) = ¹⁴/₂ = 7 সেমি.
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
πr(r + 2h) = 2002
⇒ ²²/₇×7×(7 + 2h) = 2002
⇒ 22(7 + 2h) = 2002
⇒ 7 + 2h = 91
⇒ 2h = 91 – 7
⇒ 2h = 84
⇒ h = 42
∴ পাত্রটিতে জল ধরবে
= πr²h
= ²²/₇×7²×42 ঘন সেমি.
= 22×7×42 ঘন সেমি.
= 6468 ঘন সেমি.
= 6.468 ঘন ডেসিমি.
= 6.468 লিটার
Ans: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

(c) 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত ও 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ঐ চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি ব্যাসের 100 টি নিরেট গোলক ডুবিয়ে দেওয়া যায়, তবে জলতল কত ডেসিমি উঠে আসবে?
Solution:
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি. = ²¹/₂₀ ডেসিমি.।
∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন
= 100×⁴/₃πr³
= 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³ ঘন ডেসিমি.।
চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত করবে।
ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
  21×11× h = 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³
⇒ 21×11× h = 100×⁴/₃ײ²/₇ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃ײ/₇×¹/₂₀ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×¹/₂₀ײ¹/₂₀׳/₁₀
⇒ h = 4×¹/₂ײ¹/₂₀
⇒ h = ²¹/₁₀
∴ h = 2.1
Ans: চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

Complete Solution of MP-18

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4+4=8

(a) নিম্নে প্রদত্ত প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল-

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 78
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 18 – 20
এখানে, l = 18;  f₀ = 45;
f₁ = 75; f₂ = 38
h = 20- 18= 2;
∴ সংখ্যাগুরুমান

\(\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=18+\frac{75-45}{2×75-45-38}×2\\=18+\frac{30}{67}×2\\=18+\frac{60}{67}}\)

= 18 + 0.895
= 18.89 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 18.89

(b) নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করো:

শ্রেণি সীমা	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35
পরিসংখ্যা	2	3	6	7	5	4	3

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
1-5	0.5-5.5	2	2
6-10	5.5-10.5	3	2+3=5
11-15	10.5-15.5	6	5+6=11
16-20	15.5-20.5	7	11+7=18
21-25	20.5-25.5	5	18+5=23
26-30	25.5-30.5	4	23+4=27
31-35	30.5-35.5	3	27+3=30

এখানে,  N = 30
∴ ^N/₂ = ³⁰/₂ = 15
এখানে, 15-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15.5-20.5
∴ 15.5-20.5 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 15.5; N = 30;
C = 11; fm = 7;
h = 15.5 – 20.5 = 5

\(\Large{ = 15.5 + \left(\frac{15 – 11}{7}\right).5\\ = 15.5+ \frac{4}{7}.5\\ = 15.5 + \frac{20}{7}}\)

= 15.5 + 2.857 (প্রায়)
= 15.5 + 2.86 (প্রায়)
= 18.36 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 18.36

(c) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করো:

প্রাপ্ত নম্বর	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
পরিসংখ্যা	4	8	12	6	10

Solution:

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
60 এর কম	4
70 এর কম	4+8=12
80 এর কম	12+12=24
90 এর কম	24+6=30
100 এর কম	30+10=40

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (60, 4), (70, 12), (80, 24), (90, 30), (100,40) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

PREVIOUS

NEXT

• JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
• জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
• Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
• Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
• COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply
• Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply
• PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply
• ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply
• NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply
• Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply
• SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply
• Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree
• KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree
• SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE

Complete Solution of MP-18 Mathematics

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Comment *

Name *

Email *

Website

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.

More posts

• CLASS 12 2026 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 3 সমাধান।

  March 12, 2026

• Madhyamik -26 Mathematics Solution

  February 22, 2026

• Complete Solution of MP-26 P. Sc

  February 14, 2026

• SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

  February 13, 2026