Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.২
|| RATIO AND PROPORTION || KOSHE DEKHI 5.2 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

⛔ a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে ad = bc হয়।
⛔ a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে b² = ac হয়।

তিনটি বাস্তব সংখ্যা a, b ও c, (b ≠ 0, c ≠ 0) ক্রমিক সমানুপাতে থাকলে তাদের মধ্যে সম্পর্ক –
⛔ a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে b² = ac হয়।
⛔ b ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত হবে যদি a এবং c উভয়েই ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত হয় এবং
b ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত হবে যদি a এবং c উভয়েই ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত হয়।
a এবং c বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে b অসংজ্ঞাত হবে।
⛔ a, b ও c ক্রমিক সমানুপাতে থাকলে b-কে a ও c -এর মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional) এবং c-কে তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional) বলা হয় ।

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি।
(i) 10 : 35 :: x : 42
(ii) x : 50 :: 3 : 2

(i)
সমাধান:
10 : 35 :: x : 42
বা, ¹⁰/₃₅ = ^x/₄₂
⇒ x × 35 = 42 × 10
বা, x = 6 × 2
∴ x = 12
Ans: x-এর মান 12

(ii)
সমাধান:
x : 50 :: 3 : 2
বা, ^x/₅₀ = ³/₂
বা, x = ³/₂ × 50
⇒ x = 75
Ans: x-এর মান 75

2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি –
(i) ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅
(ii) 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা
(iii) x²y, y²z, z²x
(iv) (p – q), (p² – q²), p² – pq + q²

(i) সমাধান: ধরি, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅ -এর চতুর্থ সমানুপাতী x;
সংখ্যা চারটি হল ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅ এবং x

$$\large{∴\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{x}\\⇒x×\frac{1}{3}=\frac{1}{4} × \frac{1}{5}\\⇒x=\frac{1}{4} × \frac{1}{5}×3\\⇒x=\frac{3}{20}}$$

Ans: ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅ -এর চতুর্থ সমানুপাতী ³/₂₀

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

(ii) সমাধান: ধরি, 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা -এর চতুর্থ সমানুপাতী x;
সংখ্যা চারটি হল 9.6, 7.6, 28.8 এবং x

$$\large{∴\frac{9.6}{7.6}=\frac{28.8}{x}\\⇒x×9.6=28.8 × 7.6\\⇒x=\frac{28.8 × 7.6}{9.6}\\⇒x=\frac{288 × 76 × 10}{96 × 10 ×10}\\⇒x=\frac{12 × 19}{10}\\⇒a=22.8}$$

Ans: 9.6, 7.6, 28.8 -এর চতুর্থ সমানুপাতী 22.8 কিগ্রা।

(iii)
সমাধান: ধরি, x²y, y²z, z²x -এর চতুর্থ সমানুপাতী x;
সংখ্যা চারটি হল x²y, y²z, z²x এবং x

$$\large{∴\frac{x^2y}{y^2z}=\frac{z^2x}{a}\\⇒a×x^2y=z^2x × y^2z\\⇒a=\frac{z^2x × y^2z}{x^2y}\\⇒a=\frac{yz^3}{x}}$$

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

Ans: x²y, y²z, z²x -এর চতুর্থ সমানুপাতী ^yz3/_x

(iv)
সমাধান: ধরি, (p – q), (p² – q²), p² – pq + q² -এর চতুর্থ সমানুপাতী x;
সংখ্যা চারটি হল (p – q), (p² – q²), p² – pq + q² এবং x

$$\large{∴\frac{(p – q)}{(p^2–q^2)}=\frac{p^2–pq+q^2}{x}\\⇒x×(p – q)=(p^2– q^2) × (p^2;– pq + q^2)\\⇒x=\frac{(p^2–q^2)×(p^2–pq+q^2)}{(p–q)}\\⇒x=\frac{(p–q)×(p+q)×(p^2–pq+q^2)}{(p–q)}\\⇒x=(p+q)×(p^2–pq+q^2)\\⇒x=p^3+q^3}$$

Ans: (p – q), (p² – q²), p² – pq + q² -এর চতুর্থ সমানুপাতী p³+q³

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি –
(i) 5, 10
(ii) 0.24, 0.6
(iii) p³q², q²r
(iv) (x – y)², (x² – y²)²

(i)
সমাধান: ধরি, 5, 10 -এর তৃতীয় সমানুপাতী x;
সংখ্যা তিনটি হল 5, 10 এবং x

$$\large{∴\frac{5}{10}=\frac{10}{x}\\⇒x×5=10 × 10\\⇒x=20}$$

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

Ans: 5, 10 -এর তৃতীয় সমানুপাতী 20

(ii)
সমাধান: ধরি, 0.24, 0.6 -এর তৃতীয় সমানুপাতী x;
সংখ্যা তিনটি হল 0.24, 0.6এবং x

$$\large{∴\frac{0.24}{0.6}=\frac{0.6}{x}\\⇒x×0.24=0.6 × 0.6\\⇒x=\frac{0.6 × 0.6}{0.24}\\⇒x=\frac{6×6×100}{24×10×10}\\⇒x=\frac{3}{2}\\⇒x=1.5}$$

Ans: 0.24, 0.6 -এর তৃতীয় সমানুপাতী 1.5

(iii)
সমাধান: ধরি, p³q², q²r -এর তৃতীয় সমানুপাতী x;
সংখ্যা তিনটি হল p³q², q²rএবং x

$$\large{∴\frac{p^3q^2}{q^2r}=\frac{q^2r}{a}\\⇒a×p^3q^2=q^2r × q^2r\\⇒a=\frac{q^2r × q^2r}{p^3q^2}\\⇒a=\frac{q^2r^2}{p^3}}$$

Ans: p³q², q²r -এর তৃতীয় সমানুপাতী ^q2r2/_q³

(iv)
সমাধান: ধরি, (x – y)², (x² – y²)² -এর তৃতীয় সমানুপাতী a;
সংখ্যা তিনটি হল (x – y)², (x² – y²)²এবং a

$$\large{∴\frac{(x – y)^2}{(x^2 – y^2)^2}=\frac{(x^2 – y^2)^2}{a}\\⇒a×(x – y)^2=(x^2 – y^2)^2 × (x^2 – y^2)^2\\⇒a=\frac{(x^2 – y^2)^2 × (x^2 – y^2)^2}{(x – y)^2}\\⇒a=\frac{(x – y)^2×(x + y)^2×(x – y)^2×(x + y)^2}{(x – y)^2}\\⇒a=(x + y)^4(x – y)^2}$$

Ans: (x – y)², (x² – y²)² -এর তৃতীয় সমানুপাতী (x + y)⁴(x – y)²

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি –
(i) 5 এবং 80
(ii) 8.1 এবং 2.5
(iii) x³y এবং xy³
(iv) (x – y)², (x + y)²

(i)
সমাধান: ধরি, 5 এবং 80 এর মধ্যসমানুপাতী x;
সংখ্যা তিনটি হল 5, 80এবং x

$$\large{∴\frac{5}{x}=\frac{x}{80}\\⇒x^2=5 × 80\\⇒x=\sqrt{ 5 × 80}\\⇒x=\sqrt{400}\\⇒x=20}$$

Ans: 5 এবং 80 এর মধ্যসমানুপাতী 20

(ii)
সমাধান: ধরি, 8.1 এবং 2.5 এর মধ্যসমানুপাতী x;
সংখ্যা তিনটি হল 8.1, 2.5 এবং x

$$\large{∴\frac{8.1}{x}=\frac{x}{2.5}\\⇒x^2=8.1 × 2.5\\⇒x=\sqrt{ 8.1 × 2.5}\\⇒x=\sqrt{\frac{81 × 25}{10×10}}\\⇒x=\frac{9 × 5}{10}\\⇒x=4.5}$$

Ans: 8.1 এবং 2.5 এর মধ্যসমানুপাতী 0.45

(iii)
সমাধান: ধরি, x³y এবং xy³ এর মধ্যসমানুপাতী a;
সংখ্যা তিনটি হল x³y, xy³এবং a

$$\large{∴\frac{x^3y}{a}=\frac{a}{xy^3}\\⇒a^2=x^3y × xy^3\\⇒a=\sqrt{x^3y × xy^3}\\⇒a=\sqrt{x^4y^4}\\⇒a=x^2y^2}$$

Ans: x³y এবং xy³ এর মধ্যসমানুপাতী x²y²

(iv)
সমাধান: ধরি,, (x – y)², (x + y)² এর মধ্যসমানুপাতী a;
সংখ্যা তিনটি হল (x – y)², (x + y)²এবং a

$$\large{∴\frac{(x – y)^2}{a}=\frac{a}{(x+y)^2}\\⇒a^2=(x – y)^2 × (x + y)^2\\⇒a=\sqrt{(x – y)^2× (x + y)^2}\\⇒a=(x – y)× (x + y)\\⇒a=x^2 – y^2}$$

Ans: নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী (x² – y²)।

Class -X অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত Complete Solution of Koshe Dekhi 5.2

5. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

Ans: যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান: ধরি, x, y, z তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা।

$\Large{∴\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\}$ এবং$ \Large{\\\frac{z}{y}=\frac{y}{x}}$

Ans: তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 3টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যায়।

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ মনেকরি 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা যথাক্রমে 2, 6, a, b, c

$$\Large{∴\frac{2}{6}=\frac{6}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\∴\frac{2}{6}=\frac{6}{a}\\⇒a=\frac{6×6}{2}=18}$$আবার$$\Large{\frac{6}{a}=\frac{a}{b}\\⇒\frac{6}{18}=\frac{18}{b}\\⇒\frac{1}{3}=\frac{18}{b}\\⇒b=54}$$এবং$$\Large{\frac{2}{6}=\frac{b}{c}\\⇒\frac{1}{3}=\frac{54}{c}\\⇒c=162}$$

Ans: পঞ্চমটি হল 162

8. 6, 15, 20 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ ধরি 6, 15, 20 43 এর প্রত্যেকটির সঙ্গে x যোগ করতে হবে।

$$\Large{∴\frac{6+x}{15+x}=\frac{20+x}{43+x}\\⇒(6+x)(43+x)=(20+x)(15+x)\\⇒258+6x+43x+x^2 =300+20x+15x+x^2\\⇒258+49x=300+35x\\⇒49x-35x=300-258\\⇒14x=-42\\⇒x=3}$$

Ans: 6, 15, 20 43 এর প্রত্যেকটির সঙ্গে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

9. 23, 30, 57 এবং 78-এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ ধরি 23, 30, 57, 58-এর প্রত্যেকটির থেকে x বিয়োগ করতে হবে।

$$\Large{∴\frac{23-x}{30-x}=\frac{57-x}{78-x}\\⇒(23-x)(78-x)=(57-x)(30-x)\\⇒1794-23x-78x+x^2 =1710-57x-30x+x^2\\⇒1794-101x=1710-87x\\⇒-101x+87x=1710-1794\\⇒-14x=-84\\⇒14x=84\\⇒x=6}$$

Ans: 23, 30, 57, 58-এর প্রত্যেকটির থেকে 6 বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

10. p, q, r, s-এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ ধরি p, q, r, s-এর প্রত্যেকটির থেকে x বিয়োগ করতে হবে।

$$\Large{∴\frac{p-x}{q-x}=\frac{r-x}{s-x}\\⇒(p-x)(s-x)=(q-x)(r-x)\\⇒ps-px-sx+x^2 =qr-qx-rx+x^2\\⇒ps-px-sx=qr-qx-rx\\⇒qx+rx-px-sx=qr-ps\\⇒x(q+r-p-s)=qr-ps\\\\⇒x= \frac{qr-ps}{q+r-p-s}}$$

Ans: p, q, r, s-এর প্রত্যেকটির থেকে ^{qr – ps}/_{q + r – p – s} বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

Madhyamik Question

MP-2023

▶️ 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ 2ab : c², bc : a² এবং ca: 2b² এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1. (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: সত্য
[যৌগিক অনুপাত = 2ab.bc.ca : c²a²2b²
= 2(abc)² : 2(abc)² = 1 : 1]

▶️ (a²bc) এবং (4bc) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x এর মান __________।
Ans: 2abc
[x²= a²bc×4bc
বা, x²= (2abc)²
বা, x = 2abc]

MP-2018

▶️ x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী। (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ ^x³y/_x²y² = ^x/_y
এবং ^x²y²/_xy³ = ^x/_y
∴ ^x³y/_x²y² = ^x²y²/_xy³
x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী]