CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

SEMESTER-4
সূচিপত্র

👉 SEMESTER IV-এর প্রশ্নপত্রের সমাধান

2025 SEMESTER 4 QUESTION PAPER WITH SOLUTION

👉 UNIT-1 ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

1. ভেক্টর বীজগণিত
2. দুটি ভেক্টরের গুণ
3. দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
4. ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা 5. সমতল

👉 UNIT-2 কলনবিদ্যা

1. অনির্দিষ্ট সমাকল
2. পরিবর্ত বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাকলন
3. আংশিক সমাকলন
4. কয়েকটি বিশেষ আকারের অপেক্ষকের সমাকল
5. নির্দিষ্ট সমাকল
6. ক্ষেত্রফলরূপে নির্দিষ্ট সমাকল
7. অবকল সমীকরণ

👉 UNIT-3 রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

1. রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

MATHEMATICS
SEMESTER-IV (New System)
2026

Total Time: 2 Hours] [Total Marks: 40
পরিমিত এবং যথাযথ উত্তরের জন্য বিশেষ মূল্য দেওয়া হবে। বর্ণাশুদ্ধি, অপরিচ্ছন্নতা এবং অপরিস্কার হস্তাক্ষরের ক্ষেত্রে নম্বর কেটে নেওয়া হবে। উপান্তে প্রশ্নের পূর্ণমান সূচিত আছে।
Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting. Figures in the margin indicate full marks for the questions.

বিভাগ – ক
[২ নম্বরের প্রশ্ন]

1. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) যদি ভেক্টর α = ai + aj + ck; β = i + k এবং γ = ci + cj + bk একতলীয় হয়, তাহলে প্রমাণ করো c² = ab.

Solution: ∵ α = ai + aj + ck;
β = i + k এবং
γ = ci + cj + bk
ভেক্টর তিনটি একতলীয়।

∴\(\begin{vmatrix}a\ a\ c \\1\ 0\ 1 \\c\ c\ b\end{vmatrix}\)=0

⇒ a(0 – c) – a(b – c) + c(c – 0) = 0
⇒-ac – ab + ac + c² = 0
⇒ c² = ab (Proved)

B) যদি a = 4i – j + k এবং b = 2i – 2j + k হয়, তবে a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution: a = 4i – j + k
এবং b = 2i – 2j + k
∴ a + b
= 4i – j + k + 2i – 2j + k
= 6i – 3j + 2k
a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর

\(=\frac{a+b}{|a+b|}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{36+9+4}}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{49}}\)

= ¹/₇(6i – 3j + 2k)
Ans: a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর ¹/₇(6i – 3j + 2k)

2. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) ^{x – 2}/₃ = ^{y + 1}/_-2λ = ^{z – 2}/₀ এবং ^{x – 1}/₁ = ^{2y + 3}/_3λ = ^{z + 5}/₂ সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে λ-এর মান (গুলি) নির্ণয় করো।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Solution: ^{x – 2}/₃ = ^{y + 1}/_-2λ = ^{z – 2}/₀ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমুহ 3, -2λ, 0
এবং ^{x – 1}/₁ = ^{2y + 3}/_3λ = ^{z + 5}/₂
⇒ ^{x – 1}/₁ = ^{y – (-³/₂)}/_3/₂λ = ^{z – (-5)}/₂ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমুহ 1, ³/₂λ, 2
∵ সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব
∴ 3.1 + (-2λ).³/₂λ + 0.2 = 0
বা, 3 -3λ² = 0
বা,λ² = 1
বা, λ = ±1
Ans: λ-এর মানগুলি হল ±1

B) 2x + 2y – 2z + 1 = 0 তলটি (2, 1, 5) এবং (3, 4, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, 2x + 2y – 2z + 1 = 0 তলটি (2, 1, 5) এবং (3, 4, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে p বিন্দুতে বিভক্ত করে।
∴ p বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{3m + 2n}/_{m + n}, ^{4m + n}/_{m + n}, ^{3m + 5n}/_{m + n})
p বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 2.^{3m + 2n}/_{m + n} + 2.^{4m + n}/_{m + n} – 2.^{3m + 5n}/_{m + n} + 1 = 0
⇒ ^{6m + 4n + 8m + 2n – 6m – 10n + m + n}/_{m + n} = 0
⇒ 9m – 3n = 0
⇒3m = n
⇒ m : n = 1 : 3
Ans: 1 : 3 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে।

CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

3. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) a ও b-এর কোন্ মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত গাণিতিক অভিব্যক্তিটি সত্য হবে?\(\quad \int\frac{dx}{1 + sin x}=tan\left( \frac{x}{2}+a \right)+b\)

Solution:

\(\quad \int\frac{dx}{1 + sin x}\\=\int\frac{(1 – sin x)}{(1 + sin x)(1 – sin x)}dx\\=\int\frac{1 – sin x}{1 – sin^2 x}dx\\=\int\frac{1 – sin x}{cos^2 x}dx\\=\int sec^2 x dx-\int secxtanxdx+c\\=tanx-secx +c . . [c= Intregal\ Constant]\\=\frac{sin x}{cos x}-\frac{1}{cos x}+c\\=\frac{sin x-1}{cos x}\\=-\frac{1-sin x}{cos x}+c\)

\(=-\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin \frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{cos^22.\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)^2}{cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)^2}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})(cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2})}+c\\=-\frac{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{1-tan\frac{x}{2}}{1+tan\frac{x}{2}}+c\\=\frac{tan\frac{x}{2}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{x}{2}.tan\frac{π}{4}}+c\\=tan\left( \frac{x}{2}-\frac{π}{4} \right)+c\)

Ans: a = –^π/₄ এবং b = ধ্রুবক

B) মান নির্ণয় করো:\(\quad \int_{-1}^{1} e^{|x|}dx.\)

Solution: f(x) = e^|x|
f(-x) = e^|-x| = e^|x| = f(x)
∴ f(x) একটি যুগ্ম অপেক্ষক।

\(\quad \int_{-1}^{1} e^{|x|}dx\\=2\int_{0}^{1} e^xdx\\=2\left[ e^x \right]_0^1\\=2(e^1-e^0)\\=2(e-1)\)

4. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর-দাও:

A) y = √x, 2y – x + 3 = 0, x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ এবং প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution: y = √x
⇒ y² = x . . . (i)
2y – x + 3 = 0
⇒ x = 2y + 3 . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
y² = 2y + 3
⇒ y² – 2y – 3 = 0
⇒ (y – 3)(y + 1)= 0
∴ y = 3, -1
∴ x = 9, 1
ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 3), (1, -1)

প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল
= OABCO দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

\(= \int_{0}^{9}\sqrt{x}dx-\int_{3}^{9}\frac{x+3}{2}dx\\=\frac{2}{3}\left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_0^9-\frac{1}{2}\left[ \frac{x^2}{2}-3x \right]_3^9\\=\frac{2}{3}.9^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\left[ \frac{81}{2}-\frac{9}{2}-(27-9) \right]\\=\frac{2}{3}.27-\frac{1}{2}\left[ \frac{72}{2}-18 \right]\\=18-\frac{1}{2}.18\\=9\)

Ans: প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল 9 বর্গ একক.

B) y = sin²x বক্রের যে অঞ্চল x = 0, x = π কোটিদ্বয় এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution:

f(x) = y = sin²x
∴ x = 0, x = π কোটিদ্বয় এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

\(= \int_{0}^{π}ydx\\=\int_{0}^{π}sin^2xdx\\=\frac{1}{2}\int_{0}^{π}2sin^2xdx\\=\frac{1}{2}\int_{0}^{π}(1-cos2x)dx\\=\frac{1}{2}\left[ x-\frac{sin2x}{2} \right]_0^π\\=\frac{1}{2}[(π-0)-(0-0)]\\=\frac{π}{2}\)

5. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) যে বৃত্তগুলি, মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট ও একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত ও যে সরলরেখা প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তাদের ছেদবিন্দুগামী, সেই সকল বৃত্তগুলির অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: যে সকল বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ 1 একক তার সমীকরণ
  x² + y² = 1 . . . (i)
যে সরলরেখা প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তার সমীকরণ
   y = x
⇒ x – y = 0 . . . (ii)
(i) নং বৃত্ত ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ
    x² + y² – 1 + λ(x – y) = 0 . . . (iii)
উভয়দিকে x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
∴ 2x + 2y^dy/_dx + λ(1 – ^dy/_dx) = 0
⇒ λ(1 – y₁) = -2(x + yy₁)
⇒ λ = – ^{2(x + yy₁)}/_{(1 – y₁)}
(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
      x² + y² – 1 – ^{2(x + yy₁)}/_{(1 – y₁)}(x – y) = 0
⇒(1 – y₁)(x² + y² – 1) – 2(x + yy₁)(x – y) = 0
Ans: নির্ণেয় অবকল সমীকরণঃ
(1 – y₁)(x² + y² – 1) – 2(x + yy₁)(x – y) = 0

B) সমাধান করো: ^dy/_dx = e^x-y +x²e^-y

Solution:
    ^dy/_dx = e^x-y + x²e^-y
⇒ e^y .^dy/_dx = e^x +x²
    উভয় দিকে সমাকলন করে পাই
   ∫e^y dy = ∫e^x dx + ∫x² dx
⇒ e^y = e^x + ¹/₃x³ + c . .[c= সমাকলন ধ্রুবক]

6. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) একটি রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যার ক্ষেত্রে উত্তল বহুভুজাকার কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলি (0.0), (0, 4), (2, 3) ও (5, 0) হলে বিষয়াত্মক অপেক্ষক Z = 3x + 4y-এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হবে যে কৌণিক বিন্দুতে তা নির্ণয় করো।

Solution:

প্রান্তিক বিন্দু	Z = 3x + 4y
(0.0)	Z = 3.0+4.0= 0
(0, 4)	Z = 3.0+4.4= 16
(2, 3)	Z = 3.2+4.3= 18
(5, 0)	Z = 3.5+4.0= 15

Z_max = 18 যখন কৌণিক বিন্দু (2, 3)
Ans: Z = 3x + 4y-এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হবে (2, 3) কৌণিক বিন্দুতে

B) একজন আসবাবপত্রের ডিলার মাত্র দুটি আইটেম টেবিল এবং চেয়ার-এর ব্যবসা করে। তার কাছে বিনিয়োগের জন্য 5,000 টাকা আছে এবং সর্বাধিক 60 টি আসবাব রাখার জন্য স্থান আছে। প্রতিটি টেবিল ও চেয়ার পিছু তার খরচ যথাক্রমে 250 টাকা ও 60 টাকা। রৈখিক প্রোগ্রামবিধির সমস্যাটির শর্তগুলি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করো।

Solution: ধরি আসবাবপত্রের ডিলার x(≥0) টি টেবিল এবং y(≥0) টি চেয়ার রেখেছেন।
তার সর্বাধিক 60 টি আসবাব রাখার জন্য স্থান আছে।
∴ x + y ≤ 60
তার কাছে বিনিয়োগের জন্য 5,000 টাকা আছে এবং প্রতিটি টেবিল ও চেয়ার পিছু তার খরচ যথাক্রমে 250 টাকা ও 60 টাকা।
∴ 250x + 60y ≤ 5000
সমস্যাটির শর্তগুলি হল
      x + y ≤ 60
      250x + 60y ≤ 5000
      x ≥ 0 এবং y ≥ 0

বিভাগ খ
[3 নম্বরের প্রশ্ন]

7. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) যে সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু i এবং i + j ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয় সেটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো

Solution: ধরি সামান্তরিকের সংলগ্ন বাহু দুটি
α = i এবং
β = i + j
∴ α × β = i (i + j)
= i × i + i × j
= 0 + k = k
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= | α × β |
= √(0² + 1²) = √1 = 1
Ans: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক।

B) a, b, c তিনটি একক ভেক্টর হলে, প্রমাণ করো যে, la – b|² + |b – c|² + |c – a|² ≤ 9.

Solution: B) a, b, c তিনটি একক ভেক্টর।
∴ lal = 1, lbl = 1, lcl = 1
la – b|² = la – b|.la – b|
= a.a – a.b – b.a + b.b
=lal² – 2.a.b + lbl²
= 1 + 1 – 2.a.b = 2 – 2.a.b
|b – c|2 = |b – c|.|b – c|
= b.b – b.c – c.b + c.c
=lbl² – 2.b.c + lcl²
= 1 + 1 – 2.b.c = 2 – 2.b.c
|c – a|2 = |c – a|.|c – a|
= c.c – c.a – a.c + a.a
=lcl² – 2.c.a + lal²
= 1 + 1 – 2.c.a = 2 – 2.c.a

∴ la – b|² + |b – c|² + |c – a|²
= 2 – 2.a.b + 2 – 2.b.c + 2 – 2.c.a
= 6 – 2(a.b + b.c + c.a) . . . (i)
আবার
la + b + c|² ≥ 0
⇒ a.(a + b + c) + b.(a + b +c) + c(a + b + c)
⇒ lal² + lbl² + lcl² + 2(a.b + b.c + c.a) ≥ 0
বা,3 + 2(a.b + b.c + c.a) ≥ 0
⇒ 2(a.b + b.c + c.a) ≥ -3
∵ la – b|² + |b – c|² + |c – a|²
= 6 – 2(a.b + b.c + c.a)
≤ 6 – (-3) ≤ 9
la – b|² + |b – c|² + |c – a|² ≤ 9 (Proved)

8. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) সমাকলন করো: ∫^dx/_{tan x + cot x + secx + cosec X}

\(Solution:\\\quad tan x + cot x + secx + cosec x\\= \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x}+ \frac{1}{cos x} + \frac{1}{sin x}\\= \frac{sin^2 x + cos^2 x + sin x + cos x}{cos x.sin x}\\= \frac{1 + sin x + cos x}{cos x.sin x}\)

\(\quad \int\frac{dx}{tan x + cot x + secx + cosec x}\\=\int \frac{cos x.sin x}{1 + sin x + cos x}dx\\ = \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{(sin x + cos x + 1)(sin x + cos x – 1)}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{(sin x + cos x)^2 – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x.cos x – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{1 + 2 sin x.cos x – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{2 sin x.cos x}dx\\= \frac{1}{2}\int (sin x + cos x – 1)dx\)

= ¹/₂(-cos x + sin x – x) + k . . . [k = সমাকলন ধ্রুবক]
Ans: ¹/₂(-cos x + sin x – x) + k

B) সমাকলন করো: ∫^dx/_{sin(x-α)cos(x-β)}, যেখানে α, β দুটি ধ্রুবক।

\(Solution:\\\quad \int \frac{dx}{sin(x-α)cos(x-β)}\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos(α-β)}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos[(x-β)-(x-α)]}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos(x-β)cos(x-α)+sin(x-β)sin(x-α)}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\left[ \int cot(x-α) dx + ∫tan(x-β) dx \right]\)

9. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) সমাধান করো: x dy + y dx + y²(x dy – y dx)= 0.

\(\quad x dy + y dx + y^2(x dy – y dx)= 0\\⇒d(xy)+x^2y^2\frac{x dy – y dx}{x^2}= 0\\⇒\frac{d(xy)}{(xy)^2}+d\left( \frac{y}{x} \right)= 0\)উভয় দিকে সমাকলন করে পাই,\(\quad \int\frac{d(xy)}{(xy)^2}+\int d\left( \frac{y}{x} \right)= k\\⇒\frac{(xy)^{-2+1}}{-2+1}+\frac{y}{x}= k\\⇒-\frac{1}{xy}+\frac{y}{x}= k\\⇒\frac{-1+y^2}{xy}=k\\⇒(y^2-1)=kxy\ \quad(Ans)\)

B) সমাধান করো: (sin y + y sin x+ ¹/_x)dx + (xcos y – cosx + ¹/_y)dy = 0.

Solution:
     (sin y + y sin x+ ¹/_x)dx + (xcos y – cosx + ¹/_y)dy = 0
⇒ sin y dx + y sin x dx + ¹/_x dx + xcos y dy – cosx dy + ¹/_y dy = 0
⇒ (sin y dx + xcos y dy) – (cosx dy – y sin x dx ) + ¹/_x dx + ¹/_y dy = 0
⇒d(xsin y) – d(ycosx) + ¹/_x dx + ¹/_y dy = 0
     উভয় দিকে সমাকলন করে পাই
    ∫d(xsin y) – ∫d(ycosx) + ∫¹/_x dx + ∫¹/_y dy = k . . . [k = সমাকলন ধ্রুবক]
⇒ xsin y – ycosx + log_e x + log_e y = k
⇒ xsin y – ycosx + log_e xy = k    (Ans)

10. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) লেখচিত্রের সাহায্যে নীচের রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো এবং অভীষ্ট অপেক্ষক Z-এর অবম মান নির্ণয় করো। (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই)
z = 3x + 5y
শর্ত সাপেক্ষে x + 3y ≥ 3,
x + y ≥ 2
এবং x, y ≥ 0

Solution: প্রদত্ত অসমীকরণ তিনটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
     x + 3y = 3
⇒ ^x/₃ + ^y/₁ = 1
    x + y = 2
⇒ ^x/₂ + ^y/₂ = 1
    y = 0 এবং x = 0
x + 3y = 3 এবং x + y = 2 ছেদবিন্দুঃ
    x + 3(2 – x) = 3 . . . [∵ y = 2 – x]
⇒ x + 6 – 3x = 3
⇒ -2x = -3
∴ x = ³/₂
    y = 2 – ³/₂ = ¹/₂
x + 3y = 3 এবং x + y = 2-এর ছেদবিন্দু (³/₂, ¹/₂)

প্রান্তিক বিন্দু	z = 3x + 5y
(3, 0)	z = 3.3 + 5.0 = 9
(³/₂, ¹/₂)	z = 3.³/₂ + 5.¹/₂ = ^{9 + 5}/₂ = 7
(0, 2)	z = 3.0 + 5.2 = 10

Z_min = 7 যখন x = ³/₂, y = ¹/₂

B) লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রদত্ত রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই) z = 5x + 7y এর চরম মান নির্ণয় করো।
শর্ত সাপেক্ষে x + y ≤ 4,
                           3x + 8y ≤ 24,
                           10x+ 7y ≤ 35,
                           x, y ≥ 0

Solution: Z_max = 5x + 7y যখন বাধাগোষ্ঠী
          x + y ≤ 4,
          3x + 8y ≤ 24,
          10x+ 7y ≤ 35,
          x, y ≥ 0
প্রদত্ত অসমীকরণ তিনটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
     x + y = 4 . . . (i)
⇒ ^x/₄ + ^y/₄ = 1
সরলরেখাটি (4, 0) ও (0, 4)বিন্দুগামী।
     3x + 8y = 24
⇒ ^x/₈ + ^y/₃ = 1 . . . (ii)
সরলরেখাটি (8, 0) ও (0, 3)বিন্দুগামী।
     10x+ 7y = 35 . . . (iii)
⇒ ^x/_3.5 + ^y/₅ = 1
সরলরেখাটি (3.5, 0) ও (0, 5)বিন্দুগামী।

(i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
10x + 7(4 – x) = 35. . . [∵ y = 4 – x]
⇒ 3x = 35 – 28 = 7
⇒ x = ⁷/₃
∴ y = 4 – ⁷/₃ = ⁵/₃
(i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু (⁷/₃, ⁵/₃)
(i) ও (ii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
3x + 8(4 – x) = 24. . . [∵ y = 4 – x]
⇒ -5x = 24 – 32 = -8
⇒ x = ⁸/₃
∴ y = 4 – ⁸/₃ = ⁴/₃
(i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু (⁸/₃, ⁴/₃)

প্রান্তিক বিন্দু	z = 5x + 7y
O(3, 0)	z = 5.0 + 7.0 = 0
A(3.5, 0)	z = 5×3.5 + 7.0 = 17.5
C(⁷/₃, ⁵/₃)	z = 5.⁷/₃ + 7.⁵/₃ = ⁷⁰/₃
D(⁸/₃, ⁴/₃)	z = 5.⁸/₃ + 7.⁴/₃ = ⁶⁸/₃
E(0, 3)	z = 5.0 + 7.3 = 21

Ans: Z_max = ⁷⁰/₃ = 23¹/₃ যখন x = ⁷/₃, y = ⁵/₃

বিভাগ গ
[4 নম্বরের প্রশ্ন]

11. চারটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি \(a^2l + b^2m + c^2n=0\) এবং mn + nl + Im = 0 সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত। সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0\)

Solution: mn + nl + Im = 0
⇒ l(n + I) = -mn
⇒ l = –^mn/_{n + I}
আবার a²l + b²m + c²n =0
⇒ a².^-mn/_{n + m} + b²m + c²n = 0
⇒-a²mn + b²mn + b²m² + c²n² + c²mn = 0
⇒ b²m² + mn(b² + c² – a²) + c²n² = 0
⇒ b²(^m/_n)² + (b² + c² – a²)^m/_n + c² = 0
ইহা (^m/_n)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

∴ বীজদ্বয় \(\frac{m_1}{n_1}\) এবং \(\frac{m_2}{n_2}\) হলে,

\(\quad\frac{m_1}{n_1}×\frac{m_2}{n_2}=\frac{c^2}{b^2}\\⇒b^2.m_1m_2 = c^2.n_1n_2\\⇒\frac{m_1m_2}{\frac{1}{b^2}}=\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}. .; (i)\)অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,;\(\\\quad\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}=\frac{l_1l_2}{\frac{1}{a^2}}. .; (ii)\)

∴ (i) ও (ii) থেকে লেখা যায়,

\(\quad\frac{l_1l_2}{\frac{1}{a^2}}=\frac{m_1m_2}{\frac{1}{b^2}}=\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}=k\quad(Let)\\∴l_1l_2=\frac{k}{a^2},\quad m_1m_2=\frac{k}{b^2},\quad n_1n_2=\frac{k}{c^2}\)

সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব

\(∴ l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0\\⇒\frac{k}{a^2}+\frac{k}{b^2}+\frac{k}{c^2}=0\\⇒ k\left( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right)=0\\⇒\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0\quad (Proved)\)

B) মূলবিন্দু থেকে কোনো সমতলের ওপর আঁকা লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a, b, c) হলে, সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: মূলবিন্দু থেকে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a, b, c)
∴ সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের দিকঅনুপাতসমূহ a – 0, b – 0, c – 0 বা a, b, c
∴ সমতলটির সমীকরণ:
a(x – a) + b(y – b) + c(z – c) = 0
⇒ ax + by + cz = a² + b² + c²
Ans: সমতলটির সমীকরণ:
ax + by + cz = a² + b² + c²

C) একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু O থেকে সর্বদা 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে এবং x, y ও z অক্ষকে যথাক্রমে A, B এবং C বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথ (locus) হবে x^-2 + y^-2 + z^-2 = p^-2

Solution: মনে করি মূলবিন্দু থেকে সমতলটির উপর অঙ্কিত লম্বের দিকঅনুপাতসমূহ l, m, n. সমতলটি মূলবিন্দু থেকে সর্বদা 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে।
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে:
lx + my + nz = 3p

\(⇒\frac{l}{3p}x+\frac{m}{3p}y+\frac{n}{3p}z = 1\\⇒\frac{x}{\frac{3p}{i}}+\frac{y}{\frac{3p}{m}}+\frac{z}{\frac{3p}{n}} = 1\)

∴ A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (^3p/_l, 0, 0), (0, ^3p/_m, 0), (0, 0, ^3p/_n)
বা (^3p/_l, ^3p/_m, ^3p/_n)

∴ △ABC এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (x, y, z) হলে,

\(\quad x=\frac{\frac{3p}{l}+0+0}{3}= \frac{p}{l},\\\quad y = \frac{\frac{3p}{m}+0+0}{3}= \frac{p}{m},\\\quad z = \frac{\frac{3p}{n}+0+0}{3}= \frac{p}{n}\)

\(∴ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}\\=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\\=\frac{l^2}{p^2}+\frac{m^2}{p^2}+\frac{n^2}{p^2}\\=\frac{l^2+m^2+n^2}{p^2}\\= \frac{1}{p^2}…[∵ l^2+m^2+n^2=1]\\=p^-2\)

ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথ (locus) হবে
x^-2 + y^-2 + z^-2 = p^-2 (Proved)

D) ^x/₁ = ^y-1/₂ = ^{z – 2}/₃ সরলরেখাটির সাপেক্ষে (1, 6, 3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু নির্ণয় করো।

Solution: ধরি AB সরলরেখার সমীকরণ:
    ^x/₁ = ^y-1/₂ = ^{z – 2}/₃ = λ (ধরি)
∴ x = λ, y = 2λ + 1, z = 3λ + 2
AB সরলরেখার দিকঅনুপাতসমূহ 1, 2, 3
সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দু N-এর স্থানাঙ্ক (λ, 2λ + 1, 3λ + 2) এবং P-এর স্থানাঙ্ক (1, 6, 3)
∴ PN-এর দিকঅনুপাতসমূহ λ – 1, 2λ + 1 – 6, 3λ + 2 – 3 বা, λ – 1, 2λ – 5, 3λ – 1
AB সরলরেখার উপর PN লম্ব।
∴ 1(λ – 1) + 2(2λ – 5) + 3(3λ – 1) = 0
⇒ λ – 1 + 4λ – 10 + 9λ – 3 = 0
⇒ 14λ = 14
⇒λ = 1
N-এর স্থানাঙ্ক (1, 2.1 + 1, 3.1 + 2) = (1, 3, 5)
(1, 6, 3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু (α, β, γ) হলে,
∴ ^{1 + α}/₂ = 1 ⇒ 1 + α = 2 ⇒ α = 1
    ^{6 + β}/₂ = 3 ⇒ 6 + β = 6 ⇒ β = 0
    ^{3 + γ}/₂ = 5 ⇒ 3 + γ = 10 ⇒ γ = 7
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 0, 7)

12. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) মান নির্ণয় করো: \(∫_a^b \frac{f(x)dx}{f(x)+f(a+b-x)}\)

\(Solution:\\I=∫_a^b \frac{f(x)dx}{f(x)+f(a+b-x)}\\=∫_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(a+b-(a+b-x))}dx…\left[ ∵∫_a^bf(x)=∫_a^bf(a+b-x) \right]\\=∫_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\∴I+I=∫_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx+∫_a^b \frac{f(a+b-x)dx}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\⇒2I=∫_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\⇒2I=∫_a^b dx\\⇒2I=\left[ x \right]_a^b=(b-a)\\∴I=\frac{1}{2}(a-b)\quad (Ans)\)

B) দেখাও যে \(∫_0^{2000π} \frac{dx}{1+5^{sinx}}= 1000π\)

\(Solution:\\L.H.S.=∫_0^{2000π} \frac{dx}{1+5^{sinx}}\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{sinx}}\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{sin(2π-x)}}dx…\left[ ∵∫_a^bf(x)=∫_a^bf(a+b-x) \right]\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{-sinx}}dx\\=1000∫_0^{2π}\frac{5^{sinx}}{5^{sinx}+1}dx\\∴I+I=1000∫_0^{2π}\frac{1}{1+5^{sinx}}dx+1000∫_0^{2π}\frac{5^{sinx}}{5^{sinx}+1}dx\\⇒2I=1000∫_0^{2π}\frac{1+5^{sinx}}{1+5^{sinx}}dx\\⇒2I=1000∫_0^{2π}dx\\⇒2I=1000\left[ x \right]_0^{2π}=1000.(2π-0)\\∴I=500.2π=1000π =R.H.S.\quad (Proved)\)

13. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

A) x-অক্ষ, x = √3y সরলরেখা ও x² + y² = 4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট সমাকল ব‍্যবহার করে নির্ণয় করো।

Solution: x = √3y . . . (i)
x² + y² = 4 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
(√3y)² + y² = 4. . . [∵ y = 4 – x]
⇒ 4y² = 4
⇒ y² = 1
∴ y = ±1
x = √3(±1) = ±√3
(i) ও (ii) নং সমীকরণের প্রথম পাদে অবস্থিত ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, √3)

∴ প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল
= চিহ্নিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

\(=\int_{0}^{√3}\frac{x}{√3}dx+\int_{√3}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\\=\frac{1}{2√3}\left[ x^2 \right]_{0}^{√3}+\left[ \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+\frac{4}{2}sin^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) \right]_{√3}^{2}\\=\frac{1}{2√3}(3-0)+\left(0+2sin^{-1}(1)-\frac{√3}{2}-2sin^{-1}\frac{√3}{2} \right)\\=\frac{√3}{2}+2sin^{-1}\left(sin \frac{π}{2} \right)-\frac{√3}{2}-2sin^{-1}\left(sin \frac{π}{3} \right)\\=2.\frac{π}{2}-2.\frac{π}{3}\\=\frac{π}{3}\)

Ans: প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল ^π/₃ বর্গএকক।

B) কলনবিদ্যার সাহায্যে নিম্নলিখিত বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো:
x² + y² ≤ 1,
x + y ≤ 1.

Solution: প্রদত্ত অসমীকরণ দুটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
     x² + y² = 1 . . . (i)
     x + y = 1 . . . (ii)
(i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
     x² + (1 – x)² = 1. . . [∵ y = 1 – x]
⇒ x² + 1 – 2x + x² = 1
⇒ 2x² – 2x = 0
⇒2x(x – 1) = 0
      ∴ x = 0, y = 1
এবং x = 1, y = 0
বক্রদ্বয়ের ছেদবিন্দু (0, 1), (1, 0)

বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল
= চিহ্নিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

\(=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx-\int_{0}^{1}(1-x)dx\\=\left[\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}sin^{-1}x \right]_{0}^{1}-\left[ x-\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}\\=0+\frac{1}{2}sin^{-1}1-0-0-\left( 1-\frac{1}{2} \right)\\=\frac{1}{2}sin^{-1}\left( sin\frac{π}{2} \right)-\frac{1}{2}\\=\frac{1}{2}.\frac{π}{2}-\frac{1}{2}\\=\frac{1}{4}(π-2)\)

Ans: বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল ¹/₄(π – 2) বর্গএকক।

MP 2026 English Solution

CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

B) সমাধান করো: ^dy/_dx = e^x-y +x²e^-y

A) যে সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু i এবং i + j ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয় সেটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো

B) a, b, c তিনটি একক ভেক্টর হলে, প্রমাণ করো যে, la – b|² + |b – c|² + |c – a|² ≤ 9.

A) সমাকলন করো: ∫^dx/_{tan x + cot x + secx + cosec X}

B) সমাকলন করো: ∫^dx/_{sin(x-α)cos(x-β)}, যেখানে α, β দুটি ধ্রুবক।

A) সমাধান করো: x dy + y dx + y²(x dy – y dx)= 0.

B) সমাধান করো: (sin y + y sin x+ ¹/_x)dx + (xcos y – cosx + ¹/_y)dy = 0.

বিভাগ গ
[4 নম্বরের প্রশ্ন]

B) মূলবিন্দু থেকে কোনো সমতলের ওপর আঁকা লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a, b, c) হলে, সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

12. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

B) কলনবিদ্যার সাহায্যে নিম্নলিখিত বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো:
x² + y² ≤ 1,
x + y ≤ 1.

Comments