CLASS 12 2026 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 3 সমাধান।

CLASS 12 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION 2026 wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সমাধান।

MATHEMATICS
SEMESTER-III
2026

CLASS 12 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION 2026 wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সমাধান।

CLASS 12 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি

প্রতিটি প্রশ্নের বিকল্প উত্তরগুলির মধ্যে থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে OMR উত্তরপত্রে উত্তর দাও।

1. একটি গোলাকার বেলুনের আয়তন 10 cm³/sec হারে বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 16 cm তখন উপরিতলের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার হবে
(A) 1.5 cm²/sec (B) 1.8 cm²/sec
(C) 2 cm²/sec (D) 1.25 cm²/sec

Solution: ধরি r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বেলুনের আয়তন V cm³ এবং উপরিতলের ক্ষেত্রফল A cm²
এখানে r = 16 cm এবং ^dv/_dt = 10 cm³/sec
V = ⁴/₃πr³
বা, ^dv/_dt = ⁴/₃π.3r² ^dr/_dt
বা, 10 = 4π.(16)².^dr/_dt
⇒ 10 = 4π.256.^dr/_dt
বা, 5 = 2.256π.^dr/_dt
বা, ^dr/_dt = ⁵/_2.256π
আবার, A = 4πr²
বা, ^dA/_dt = 4.π.2r.^dr/_dt
বা, ^dA/_dt = 4.π.2.16 × ⁵/_2.256π = ⁵/₄ = 1.25
Ans: (A) 1.5 cm²/sec

2. x ∈ (0, 1), x-এর সকল মানের জন্য, নীচের কোনটি সঠিক ?
(A) e^x < 1 + x (B) log_e(1 + x) < x
(C) sinx > x (D) log_ex > x

Solution: f(x) = log_e(1 + x) এবং g(x) = x
∴ f(0) = log_e(1 + 0) = log_e1 =0
এবং g(0) = 0
f`(x) = ¹/_{1 + x} এবং g`(x) = 1
যেহেতু x > 0, তাই ¹/_{1 + x} < 1।
অর্থাৎ f`(x) < g(x)।
f(0) =g (0) এবং f`(x) < g(x) হলে f(x) < g(x) হবে x > 0 এর জন্য।
অর্থাৎ, log_e(1 + x) < x যখন x ∈ (0, 1)
Ans: (B) log_e(1 + x) < x

3. f(x) = ^x/_{1 + |x|} অপেক্ষকটি যে বিস্তারে ক্রমবর্ধমান তা হবে
(A) R (B) R – {-1}
(C) (-1, 1) (D) (-∞, 0)

Solution: x = 0 হলে,
f(x) = ⁰/_{1 + 0} = 0
x > 0 হলে,
f(x) = ^x/_{1 + x}
∴ f‘(x)
= ^{1 + x – x}/_{(1 + x)²}
= ¹/_{(1 + x)²} > 0
আবার, x < 0 হলে,
f(x) = ^x/_{1 – x}
∴ f‘(x)
= ^{1 – x + x}/_{(1 – x)²}
= ¹/_{(1 – x)²} > 0 > 0 ∴
x এর সমস্ত বাস্তব মানের (x ≠ -1) জন্য f‘(x) > 0 হয়।
∴ x ∈ R – {-1} বিস্তারে ক্রমবর্ধমান।
Ans: (B) R – {-1}

4. যদি y = x সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে তবে
(A) k = 0 (B) k = ±1
(C) -∞ < k < ∞ (D) 0 ≤ k < ∞

Solution: y = x
∴ ^dy/_dx = 1
ধরি, (u, v) বিন্দুতে, সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে।
(u, v) বিন্দুতে ^dy/_dx = 1
আবার xy = k²
∴ y + x.^dy/_dx = 0
বা, ^dy/_dx = –^y/_x
(u, v) বিন্দুতে ^dy/_dx = –^v/_u
y = x সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে।
∴ 1 × –^v/_u = -1
বা, u = v
(u, v) বিন্দুটি xy = k² -এর উপর অবস্থিত।
∴ u.v = k²
অতএব k -এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
∴ -∞ < k < ∞
Ans: (C) -∞ < k < ∞

5. যদি lx – my + n = 0 সরলরেখা y² = 4ax অধিবৃত্তকে স্পর্শ করে তবে
(A) am² = nl (B) an² = ml
(C) al² = mn (D) mn = al

Solution: y² = 4ax
∴ 2y.^dy/_dx = 4a
বা, y.^dy/_dx = 2a
বা, ^dy/_dx = ^2a/_y
(h, k) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
(y – k) = [^dy/_dx]_{(h, k)} (x – h)
বা, (y – k) = ^2a/_k×(x – h)
বা, yk – k² = 2ax – 2ah
⇒ 2ax – yk = 2ah – k² . . . [(h, k) বিন্দুটি y² = 4ax অধিবৃত্ত-এর উপর অবস্থিত। ∴ k² = 4ah]
বা, 2ax – yk = 2ah – 4ah
বা, 2ax – yk = -2ah . . . (i)
আবার lx – my + n = 0
বা, lx – my = -n . . . (ii)
i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
^2a/_l = ^-k/_-m = ^-2ah/_-n
∴ ^2a/_l = ^-k/_-m
বা, k = ^2am/_l
এবং ^2a/_l = ^-2ah/_-n
বা, ¹/_l = ^h/_n
বা, h = ⁿ/_l
∵ y² = 4ax, (h, k) বিন্দুগামী।
∴ k² = 4ah
বা, ^4a²m²/_l² = 4a.ⁿ/_l
বা, ^am²/_l = n
⇒ am² = nl
Ans: (A) am² = nl

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

\(6.\ X =\begin{bmatrix}3 \quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3 \end{bmatrix}\) হলে \(x^5\) হবে \(\\(A)\ 36X\quad (B)\ 50X\quad (C)\ 90X\quad(D)\ 81X\)

\(\textbf{Solution:}\\ X =\begin{bmatrix}3 \quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3 \end{bmatrix}\\\quad =3\begin{bmatrix}1 \quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1 \end{bmatrix}=3I\\∴ X^5 = (3I)^5\\ = 343I = 81.3I = 81X\\ \textbf{Ans: (D) 81X}\)

7. S এবং T যথাক্রমে 2 × m এবং 3 × n ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্স এবং তাদের গুণ TS একটি সংজ্ঞাত p × 4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে, m, n ও p-এর মান হবে

(A) m = 3, n = 2, p = 4
(B) m = 4, n = 2, p = 3
(C) m = 3, n = 4, p = 2
(D) m = 4, n = 3, p = 2
Solution: S এবং T যথাক্রমে 2 × m এবং 3 × n ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্স।
TS সংজ্ঞাত।
∴ T -এর স্তম্ভ সংখ্যা = S -এর স্তম্ভ সংখ্যা
বা, n = 2
TS, 3×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
আবার, TS, p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
∴ p = 3, m = 4
Ans: (B) m = 4, n = 2, p = 3

8. a, b, c -এর কোন্ মাানের জন্য নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হবে? \(\begin{bmatrix}1 \quad a+b-c\quad a+b+c\\1\quad\quad\quad 2\quad\quad a-b+c\\9\quad\quad\quad 5\quad\quad\quad 3\end{bmatrix}\\(A)\ a = 3,\ b = 2,\ c = 4\quad (B)\ a = 2,\ b = 3,\ c = 1\\(C)\ a = 1,\ b = 2,\ c = 3\quad (D)\ a = 0,\ b = 1,\ c = 3\)

Solution: ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হবে যদি
A = A^T হয়।

\(∴\ \begin{bmatrix}1 \quad a+b-c\quad a+b+c\\1\quad\quad\quad 2\quad\quad a-b+c\\9\quad\quad\quad 5\quad\quad\quad 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 9\\a+b-c\quad 2\quad\quad\quad\quad 5\\a+b+c\quad a-b+c\quad\quad 3\end{bmatrix}\)

∴ a + b – c = 1 . . . (i)
a + b + c = 9 . . . (ii) এবং
a – b + c = 5 . . . (iii)
(ii) – (i) করে পাই,,
a + b + c – a – b + c = 9 – 1
বা, 2c = 8
বা, c = 4
(ii) – (iii) করে পাই,
a + b + c – a + b – c = 9 – 5
বা, 2b = 4
বা, b = 2
(ii) নং থেকে পাই,
a + b + c = 9
বা, a + 2 + 4 = 9
বা, a = 3
Ans: (A) a = 3, b = 2, c = 4

9. যদি A একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A| = 7 তবে |2A^T| -এর মান হবে
(A) 32 (B) 28 (C) 16 (D) 56

Solution: A একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A| = 7
∴ |A^T| = 7
|2A^T| = 2³.|A^T|
= 8.7 = 56
Ans: (D) 56

HS 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

10. যদি 3 × 3 ক্রমের A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব থাকে এবং |A| = 5 হয় তবে |adj A| -এর মান হবে
(A) 20 (B) 15 (C) 5 (D) 25

Solution: A 3 × 3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব আছে। |A| = 5
∴ |adj A|
= |detA|^{3 – 1}
= (5)² = 25
Ans: (D) 25

11. সকল অখণ্ড সংখ্যার সেট z -এর ওপর সম্বন্ধ ρ এবং ρ = {(x, y); |x – y| ≤ 5, x, y ∈ z} হয় তবে ρ হবে
(A) স্বসম এবং প্রতিসম
(B) স্বসম এবং সংক্রমণ
(C) সংক্রমণ এবং প্রতিসম
(D) সমতুল্যতা

Solution: ধরি x ∈ Z
স্বসমতা:
(x, x) ∈ ρ
∴ |x – x| = 0 ≤ 5 → সম্বন্ধটি স্বসম
প্রতিসমতা:
x, y ∈ ρ ⇒ |x – y| ≤ 5
∴ y – x = -(x – y)
∴ |y – x| = |-(x – y)|
= |x – y| ≤ 5 ⇒ y, x ∈ ρ → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সংক্রমণতা:
x, y, z ∈ ρ
∴ |x – y| ≤ 5 ∧ |y – z| ≤ 5
∴ |x – z| ≤ |x – y| + |y – z| ≤ 5 + 5 ≤ 10 → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
অতএব সম্বন্ধটি সমতুল্যও নয়।
Ans: (A) স্বসম এবং প্রতিসম

12. বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R → R, g: R → R, হলো এমন দুটি চিত্রণ যে,
f(x) = |x| – x², g(x) = 2x + 3; ∀x ∈ R, তবে (gof)(-3) -এর মান হবে
(A) 9 (B) -9 (C) 6 (D) -6

Solution: f(x) = |x| – x², g(x) = 2x + 3;
∴ (gof)(-3)
= g{f(-3)}
= g(|3| – 3²)
=g(3 – 9)
= g(-6) = 2.(-6) + 3 = -12 + 3 = -9
Ans: (B) -9

13. বিবৃতি (Q): বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক: f: R → R, f(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f(x) উপরিচিত্রণ (onto) হবে না।
কারণ (R): একটি অপেক্ষক F: X → Y একৈক চিত্রণ হবে যদি F(a) = F(b) ⇒ a = b হয়।

বিকল্পসমূহ।
(A) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য এবং (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা
(B) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য কিন্তু (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়
(C) (Q) সত্য কিন্তু (R) মিথ্যা
(D) (Q) মিথ্যা কিন্তু (R) সত্য
Solution: বিবৃতি (Q): f: R → R, f(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞা।
∴ f(x) -এর মান সর্বদা পূর্ণসংখ্যা হবে অর্থাৎ f(x) ∈ Z
কিন্তু x-এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে অর্থাৎ x ∈ R।
∴ f(x) উপরিচিত্রণ (onto) হবে না। → বিবৃতিটি সত্য।
কারণ (R): একটি অপেক্ষক একৈক চিত্রণ হবে
যদি F(a) = F(b) ⇒ a = b → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: (B) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য কিন্তু (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়

14. মনে করি, f: R → R (R বাস্তব সংখ্যার সেট) চিত্রনটি নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: f(x) = 2x – 3. তবে f^-1{0} এর মান হবে
(A) -3 (B) 3/2 (C) 3 (D) ±3

Solution: f: R → R এবং f(x) = 2x – 3
∴ 2x – 3 = 0
বা, x = ³/₂
Ans: (B) ³/₂

15. cot^-1 (-¹/_√3) -এর মুখ্য মান হবে
(A) ^2π/₃ (B) – ^π/₃ (C) ^π/₃ (D) ^π/₆
Solution: cot^-1 (-¹/_√3)
= cot^-1 (-cot ^π/₃)
= cot^-1 {cot (π – ^π/₃)}
=cot^-1 cot ^2π/₃
= ^2π/₃
Ans: (A) ^2π/₃

16. দুটি স্বাধীন ঘটনা হলো A ও B। তাহলে ঘটনা দুটির মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে
(A) P(A/B) (B) P(B/A)
(C) P(A) + P(B) – P(AB)
(D) P(A) + P(B) – 2P(AB)

Solution: দুটি ঘটনার মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∪ B) – P(AB)
= P(A) + P(B) – P(AB) – P(AB)
=P(A) + P(B) – 2P(AB)
Ans: (D) P(A) + P(B) – 2P(AB)

17. একজন বক্তি প্রতিদিন রাতে TV -তে হয় Discovery অথবা Sports চ্যানেল দেখেন। তার Sports চ্যানেল দেখার সম্ভাবনা ⁴/₅ । যদি তিনি Discovery চ্যানেলটি দেখেন তবে তাঁর ঘুমিয়ে পড়ার সম্ভাবনা ³/₄ এবং sports চ্যানেলের ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₄ । যদি কোনো একদিন ব্যক্তিটি ঘুমিয়ে পড়েন তবে ঐ দিন তার Discovery চ্যানেলটি দেখার সম্ভাবনা হবে
(A) ³/₅ (B) ⁴/₅(C) ⁴/₇(D) ³/₇

Solution: ধরি, TV -তে হয় Discovery চ্যানেল দেখার ঘটনা A এবং Sports চ্যানেল দেখার ঘটনা B.
এখানে P(B) = ⁴/₅
P(A∪B) = 1
⇒ P(A) + P(B) = 1
⇒ P(A) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
X ঘুমিয়ে পড়ার ঘটনা হলে P(X/A) = ³/₄ এবং P(X/B) = ¹/₄
Bayes উপপাদ্য থেকে পাই,

\(P(A/X) = \frac{P(X/A).P(A)}{P(X/A).P(A) + P(X/B).P(B)}\\\quad = \frac{\frac{3}{4}.\frac{1}{5}}{\frac{3}{4}.\frac{1}{5}+\frac{1}{4}.\frac{4}{5}}\\\quad = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\\ Ans:\ (D)\ \frac{3}{7}\)

18. যদি কোনো সম্ভাবনা নিবেশনে সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক X-এর ক্ষেত্রে গড় মান ⁶/₅ এবং x² -এর গড় মান 2 হয় তবে X-এর সমক পার্থক্য হবে
(A) ^√7/₅ (B) ^√14/₅ (C) ⁷/_√5 (D) √⁶/₅

Solution: গড় মান E(X) = ⁶/₅ এবং E(x²) = 2

∴ সমক পার্থক্য \(= \sqrt{E(x^2) – {E(x^2)}^2}\\= \sqrt{2 – \left( \frac{6}{5} \right)^2}\\= \sqrt{2 – \left( \frac{36}{25} \right)}\\ = \sqrt{\frac{14}{25}} = \frac{√14}{5}\\ Ans:\ (B)\ \frac{√14}{5}\)

19. যদি দুটি ঘটনা A এবং B -এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা x এবং A ও B উভয়ই ঘটার সম্ভাবনা y হয় তবে P(A) + P(B) -এর মান হবে
(A) x + y (B) x + 2y
(C) 2x + 2y (D) 2x + y

Solution: A বা B এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B)
A ও B উভয়ই ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∩ B) = y
A বা B এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা:
P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B) = x
বা, P(A) + P(B) – 2y = x
বা, P(A) + P(B) = x + 2y
Ans: (B) x + 2y

20. একটি সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক X -এর সম্ভাবনা নিবেশন হলো নিম্নরূপ:

x = x_i	0	1	2	3	4
P(X = x_i)	k	2k	3k	4k	5k

তাহলে P( X ≥ 2) হবে
(A) ¹/₅ (B) ²/₅ (C) ³/₅ (D) ⁴/₅
Solution: সমসম্ভব চলকের ক্ষেত্রে,
∑P_i = 1
∴ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
বা, 15k = 1
বা, k = ¹/₁₅
P( X ≥ 2)
= P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)
= 3k + 4k + 5k
=12k = 12.¹/₁₅
= ⁴/₅
Ans: (D) ⁴/₅

21. sin^-1x + sin^-1y = ^2π/₃ হলে cos^-1x + cos^-1y -এর মান হবে
(A) ^π/₃ (B) ^π/₆ (C) ^2π/₃ (D) ^5π/₃

Solution: sin^-1x + sin^-1y = ^2π/₃
বা, ^π/₂ – cos^-1x – ^π/₂ + cos^-1y = ^2π/₃
বা, – (cos^-1x + cos^-1y) + π = ^2π/₃
বা,(cos^-1x + cos^-1y) = ^2π/₃ – π
বা, – (cos^-1x + cos^-1y) = – ^π/₃
বা, cos^-1x + cos^-1y = ^π/₃
Ans: (A) ^π/₃

\(22.\ 2tan^{-1}\sqrt{x} – cos^{-1}\left( \frac{1 – x}{1 – x} \right)\) -এর মান হলো

(A) 0 (B) 1 (C) ¹/₃ (D) ¹/₂
Solution:

\(\quad 2tan^{-1}\sqrt{x} – cos^{-1}\left( \frac{1 – x}{1 – x} \right)\\=cos^{-1}\left( \frac{1 -(\sqrt{x})^2}{1 + (\sqrt{x})^2} \right)-cos^{-1}\left( \frac{1 – x}{1 – x} \right)\\=cos^{-1}\left( \frac{1 – x}{1 – x} \right)-cos^{-1}\left( \frac{1 – x}{1 – x} \right)\\=0\\\textbf{Ans: (A) 0} \)

23. যদি A = [a_ij] একটি 2 × 2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)², তবে A হবে

\((A) \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2} \\8\quad 18 \end{bmatrix}\quad (B) \begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2} \\8\quad 18 \end{bmatrix}\\ (C) \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2} \\8\quad 9 \end{bmatrix}\quad (D) \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{15}{2} \\4\quad 18 \end{bmatrix}\)

\(Solution: A = [a_{ij}]_{2×2} = \begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12} \\ a_{21}\quad a_{22}\end{bmatrix}\\ ∵ a_{ij} = \frac{1}{2}(i + 2j)^2\\ a_{11} = \frac{1}{2}(1 + 2.1)^2 = \frac{1}{2}.(3)^2 = \frac{9}{2} \\a_{12} = \frac{1}{2}(1 + 2.2)^2 = \frac{1}{2}.(5)^2 = \frac{25}{2} \\a_{21} = \frac{1}{2}(2 + 2.1)^2 = \frac{1}{2}.(4)^2 = 8 \\a_{22} = \frac{1}{2}(2 + 2.2)^2 = \frac{1}{2}.(6)^2 = 18\)

\(∴ A =\ \begin{bmatrix} \frac{9}{2} \quad \frac{25}{2}\\ 8\quad 18\end{bmatrix}\\ \textbf{ Ans: (A)}\ \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2} \\8\quad 18 \end{bmatrix} \)

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

24. যদি \( A =\ \begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 1\quad 1\end{bmatrix}\) হয় এবং \(f(x) = x^2 – 2x – 5\) হলে f(A) এর মান হবে \( (A)\ \begin{bmatrix} -2 \quad 0\\ 0\quad -2\end{bmatrix}\quad (B)\ \begin{bmatrix} -3 \quad 0\\ 0\quad -3\end{bmatrix}\\(C)\ \begin{bmatrix} 2 \quad 0\\ 0\quad 3\end{bmatrix}\quad (D)\ \begin{bmatrix} -3 \quad 0\\ 0\quad -2\end{bmatrix}\)

Solution:

\( f(x) = x^2 – 2x – 5\\ ∴ f(A) = A^2 – 2A – 5 \\= \begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 2\quad 1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 2\quad 1\end{bmatrix} – 2.\begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 2\quad 1\end{bmatrix} – 5. \begin{bmatrix} 1 \quad 0\\ 0\quad 1\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 1+4 \quad 2+2\\ 2+2\quad 4+1\end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 2 \quad 4\\ 4\quad 2\end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 5 \quad 0\\ 0\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 5 \quad 4\\ 4\quad 5\end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 2 \quad 4\\ 4\quad 2\end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 5 \quad 0\\ 0\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} -2 \quad 0\\ 0\quad -2\end{bmatrix}\\ \textbf{ Ans: (A)}\ \begin{bmatrix} -2 \quad 0\\ 0\quad -2\end{bmatrix} \)

\( 25.\ A =\ \begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \( B =\ \begin{bmatrix} -1 \quad 1\\ -2\quad 0\end{bmatrix}\) হলে বামস্তম্ভের ম্যাট্রিক্স-এর সঙ্গে ডানস্তম্ভের ম্যাট্রিক্স মেলাও ও সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো।

    বামস্তম্ভ           ডানস্তম্ভ

\(\ (i)\ A + A^T\quad\quad (a) \ \ \begin{bmatrix} -2 \quad -1\\ -1\quad 0\end{bmatrix}\\ (ii)\ (A + B)^T\quad\quad (b) =\ \ \begin{bmatrix} 2 \quad 5\\ 5\quad 8\end{bmatrix}\\(iii)\ (AB)^T\quad\quad (c) =\ \ \begin{bmatrix} 0 \quad 1\\ 3\quad 4\end{bmatrix}\\(iv)\ B + B^T\quad\quad (d) \ \ \begin{bmatrix} -5 \quad 11\\ 1\quad 3\end{bmatrix}\)

বিকল্পসমূহ:
(A) (i) – (a), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (b)
(B) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (a), (iv) – (d)
(C) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (a)
(D) (i) – (b), (ii) – (d), (iii) – (c), (iv) – (a)
Solution:

\( \ A =\ \begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 3\quad 4\end{bmatrix}\ ∴ A^T = \begin{bmatrix} 1 \quad 3\\ 2\quad 4\end{bmatrix}\\ B =\ \begin{bmatrix} -1 \quad 1\\ -2\quad 0\end{bmatrix}\ ∴ B^T= \begin{bmatrix} -1 \quad -2\\ 1\quad 0\end{bmatrix}\)

\((i)\ A + A^T =\begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 3\quad 4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 \quad 3\\ 2\quad 4\end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 2 \quad 5\\ 5\quad 8\end{bmatrix}\ →(b)\\(ii)\ A + B =\begin{bmatrix} 1 \quad 2\\ 3\quad 4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \quad 1\\ -2\quad 0\end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 0 \quad 3\\ 1\quad 4\end{bmatrix}\\∴ (A + B)^T = =\begin{bmatrix} 0 \quad 1\\ 3\quad 4\end{bmatrix}\ →(c)\\(iii)\ (AB)^T = B^T.A^T\\ =\begin{bmatrix} -1 \quad -2\\ 1\quad 0\end{bmatrix}. \begin{bmatrix} 1 \quad 3\\ 2\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} -1-4 \quad -3-8\\ 1+0\quad 3+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 \quad 11\\ 1\quad 3\end{bmatrix}\ → (d)\\(iv)\ B + B^T = \begin{bmatrix} -1 \quad 1\\ -2\quad 0\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \quad -2\\ 1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} -2 \quad -1\\ -1\quad 0\end{bmatrix}\ →(a)\)

Ans: (C) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (a)

26. f(x) = log_x(log_ex) হলে f^‘(e) -এর মান হবে
(A) e (B) ²/_e (C) ¹/_e (D) 0

\(Solution: f(x) = log_x(log_ex)= \frac{log_e(log_ex)}{log_ex}\\ ∴ f'(x) =\frac{log_ex.\frac{1}{log_ex}.\frac{1}{x}-log_e(log_ex).\frac{1}{x}}{(log_ex)^2}\\ ∴ f'(e)\\=\frac{log_ee.\frac{1}{log_ee}.\frac{1}{e} – log_e(log_ee).\frac{1}{e}}{(log_ee)^2}\\=\frac{\frac{1}{e}-log_e.1.\frac{1}{e}}{1}\\= \frac{1}{e}-0.\frac{1}{e} = \frac{1}{e}\\ Ans:\ (C)\ \frac{1}{e}\)

27. যদি x = sin^-1t এবং y = √(1 – t²) হয় তাহলে t = 1 -এ ^d²y/_dx² – এর মান হবে
(A) 1 (B) 0 (C) ¹/₂ (D) -1

\(Solution: x = sin^{-1}t\\ ∴ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 – t^2}}\\y = \sqrt{1 – t^2}\\∴ \frac{dy}{dt} = \frac{-2t}{2\sqrt{1 – t^2}}= \frac{-t}{\sqrt{1 – t^2}}\\∴ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\\quad = \frac{\frac{-t}{\sqrt{1 – t^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1 – t^2}}} = -t\\ ∴ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-t) = \frac{d}{dt}(-t).\frac{dt}{dx}\\\quad = -1.\sqrt{1 – t^2}\\∴ \frac{d^2y}{dx^2}_{t=1} = -1\sqrt{1 – 1} = 0 \\Ans:\ (B)\ 0\)

28. যদি ^dx/_dy = l এবং ^d²x/_dy² = m হয় তবে ^d²y/_dx² -এর মান হবে

\((A)\ \frac{-m}{l^3}\quad (B) \frac{m}{l^3}\quad (C) \frac{l}{m}\quad (D) 0\\ Solution: \frac{dx}{dy} = l\\⇒ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{l}\\⇒ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{l} \right)\\\quad = \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{l} \right).\frac{dy}{dx}\\\quad = \frac{-1}{l^2}.\frac{dl}{dy}.\frac{1}{l} \\\quad= \frac{-1}{l^3}.\frac{d}{dy}\left( \frac{dx}{dy} \right)\\\quad= \frac{-1}{l^3}.\frac{d^2x}{dy^2}\\\quad= \frac{-1}{l^3}.m = \frac{-m}{l^3}\\ Ans:\ (A)\ \frac{-m}{l^3}\)

29. যদি f(x) = {x² + ax + b, x < 1
                      x,      x ≥ 1 হয় এবং f(x), x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয়  তবে (a - b)-এর মান হবে 
(A) 0  (B) -2  (C) -6 (D) -3

Solution: lim_x→1- x² + ax + b = 1 + a + b
lim_x→1+ x = 1
f(x) অবকলনযোগ্য।
∴ x = 1 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ f(x)
⇒ 1 + a + b = 1
⇒ a = -b
Lf‘(x) = 2x + a
∴ Lf‘(1) = 2 + a
Rf‘(x) = 1
∴ Rf‘(1) = 1
f(x) অবকলনযোগ্য।
∵ Lf‘(1) = Rf‘(1)
∴ 2 + a = 1
⇒ a = -1
∴ b = 1
a – b = -1 – 1 = -2
Ans: (B) -2

SEMESTER-3

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

\(30.\;f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{x^3 + 3x^2 – x – 3}\) অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুগুলি হবে

(A) x = 1, – 1, – 3 (B) x = – 1, – 3
(C) x = 1, – 3 (D) x = 1, -1
Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
x³ + 3x² – x – 3 = 0 হয়।
∴ x³ + 3x² – x – 3 = 0
বা, x²(x + 3) – 1(x + 3) = 0
বা,(x + 3)(x² – 1) = 0
বা,(x + 3)(x + 1)(x – 1) = 0
∴ x = -1, 1, -3
Ans: (A) x = 1, – 1, – 3

31. যদি\(\begin{vmatrix}-x^2\quad xy\quad xz\\xy\quad -y^2\quad yz\\xz\quad yz \quad -z^2 \end{vmatrix}= λx^2y^2z^2\) হয় তবে λ-এর মান হলো \(\\(A)\ 1\quad (B)\ 2\quad (C)\ 3\quad (D)\ 4\)

\(Solution:\ \begin{vmatrix}-x^2\quad xy\quad xz\\xy\quad -y^2\quad yz\\xz\quad yz \quad -z^2 \end{vmatrix}= λx^2y^2z^2\\⇒ xyz\begin{vmatrix}-x\quad y\quad z\\x\quad -y\quad z\\x\quad y \quad -z \end{vmatrix}= λx^2y^2z^2\\⇒ x^2y^2z^2\begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\1\quad 1 \quad -1\end{vmatrix}= λx^2y^2z^2\\⇒\begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\1\quad 1 \quad -1\end{vmatrix}= λ\)

⇒ -1(1 – 1) – 1(-1 – 1) + 1(1 + 1) = λ
⇒ 2 + 2 = λ
∴ λ = 4
Ans: (D) 4

32. kx + y + z = 1 , x + ky + z = k এবং x + y + kz = k^2 সমীকরণত্রয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যদি
(A) k ≠ 1 (B) k ≠ 1, k ≠ 2
(C) k ≠ 1, k ≠ -2 (D) k ≠ 0 হয়।

Solution: সমীকরণত্রয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যদি △ ≠ 0 হয়।

\(∴\ \begin{vmatrix}k\quad 1\quad 1\\1\quad k\quad 1\\1\quad 1\quad k \end{vmatrix}≠ 0\\⇒\begin{vmatrix}k+2\quad 1\quad 1\\k+2\quad k\quad 1\\k+2\quad 1\quad k \end{vmatrix}≠ 0\\⇒(k+2)\begin{vmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad k\quad 1\\1\quad 1\quad k \end{vmatrix}≠ 0\)

⇒ (k+2)[1(k² -1) – 1(k – 1) + 1(1 – k)] ≠ 0
⇒ (k+2)[(k + 1)(k – 1)-(k – 1) -(k – 1)] ≠ 0
⇒(k+2)(k – 1)(k + 1 – 1 – 1) ≠ 0
⇒ (k+2)(k – 1)(k – 1) ≠0
∴ k ≠ -2, k ≠ 1
Ans: (C) k ≠ 1, k ≠ -2

\(33.\ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x^3 – 1}\) যখন x ≠ 1 অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে f(1)-এর মান হবে

(A) 1 (B) ¹/₃ (C) ¹/₃ (D) 2
Solution: f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।

\(∴ \lim_{x→1} f(x) = f(1)\\⇒ lim_{x→1}\ \frac{x^2 – 1}{x^3 – 1}= f(1)\\⇒ lim_{x→1}\ \frac{(x)^2 – (1)^2}{(x)^3 – (1)^3}= f(1)\\⇒ lim_{x→1}\ \frac{(x+1)(x – 1)}{(x – 1)(x^2 +x + 1)}= f(1)\\⇒ lim_{x→1}\ \frac{(x+1)}{(x^2 +x + 1)}= f(1)\\⇒ \frac{1+1}{1+1+1}= f(1)\\⇒ \frac{2}{3}= f(1)\\Ans:\ (C)\ \frac{2}{3}\)

34. যদি x^myⁿ = (x + y)^{m + n} হয় তাহলে ^dy/_dx-এর মান হবে
(A) 0 (B) ^y/_x (C) ^{x + y}/_xy (D) xy

Solution: x^myⁿ = (x + y)^{m + n} উভয়দিকে log নিয়ে পাই,
log(x^myⁿ) = log(x + y)^{m + n}
⇒ logx^m + logyⁿ = (m+n)log(x + y)
⇒ mlogx + nlogy = (m+n)log(x + y)
x -এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

\(\ \quad \frac{m}{x} + \frac{n}{y}.\frac{dy}{dx} = (m+n).\frac{1+ \frac{dy}{dx}}{x+y}\\⇒ \frac{n}{y}.\frac{dy}{dx} – \frac{(m+n)}{x+y}\frac{dy}{dx} = \frac{(m+n)}{x+y}-\frac{m}{x}\\⇒\frac{dy}{dx}\left[ \frac{n}{y}-\frac{(m+n)}{x+y} \right]= \frac{x(m+n) – m(x+y)}{x(x+y)}\\⇒\frac{dy}{dx}\left[ \frac{n(x+y)-y(m+n)}{y(x+y)} \right] = \frac{x(m+n) – m(x+y)}{x(x+y)}\\⇒\frac{dy}{dx}.\frac{nx+ny-my-ny}{y} = \frac{mx+nx – mx-my}{x}\\⇒\frac{dy}{dx}\frac{nx-my}{y} = \frac{nx-my}{x}\\⇒\frac{dy}{dx}.\frac{1}{y} = \frac{1}{x}\\⇒\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\\ Ans:\ (B)\ \frac{y}{x}\)

35. f(2) = 4, f′(2) = 4 হলে \(\lim_{x → 2}\ \frac{xf(2) – 2f(x)}{x – 2}\) -এর মান হবে

(A) -2 (B) 2 (C) 3 (D) -4

\(Solution:\ \lim_{x → 2}\ \frac{xf(2) – 2f(x)}{x – 2}\\=lim_{x → 2}\ \frac{xf(2) – 2f(2) + 2f(2) – 2f(x)}{x – 2}\\= lim_{x → 2}\ \frac{(x – 2)f(2) – 2[f(x) – f(2)]}{x – 2}\\= lim_{x → 2}\ \frac{(x – 2)f(2)}{x – 2} – lim_{x → 2}\ \frac{2. [f(x) – f(2)]}{x – 2}\\= f(2) – 2.f^′(x)\\= 2 – 2.4 = -4\\Ans:\ (D)\ -4\)

\(36.\ y = \frac{log_{e}x}{x}\) হলে f'(e) -এর মান হবে \(\\(A)\ e\quad (B)\ \frac{2}{e}\quad (C)\ \frac{1}{e}\quad(D)\ 0\)

Solution:

\(\ \quad y = \frac{log_{e}x}{x}\\∴ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}.\frac{1}{x} – \frac{log_{e}x}{x^2}\\\quad =\frac{1-log_{e}x}{x^2}\)

চরম বা অবম মানের জন্য,
^dy/_dx = 0 হবে।

\(\ ∴ \frac{1-log_{e}x}{x^2}=0\\⇒1 – log_ex = 0 \\⇒ log_ex = 1 \\⇒ x = e\\ ∴ y = \frac{log_ee}{e}\\\quad = \frac{1}{e} \) y-এর সর্বোচ্চ মান\(\quad \frac{1}{e}\\Ans:\ (C)\ \frac{1}{e}\)

37. বিবৃতি-I: f(x) = 3 + |x – 3|-এর স্থানীয় অবম মান 3 ।
বিবৃতি-II: f(x) = sinx-এর অসীম সংখ্যক চরম ও অবম মান আছে।
সঠিক বিকল্প কোনটি?
(A) বিবৃতি-I সত্য, বিবৃতি-II মিথ্যা
(B) বিবৃতি-I মিথ্যা, বিবৃতি-II সত্য
(C) বিবৃতি-Ⅰ, বিবৃতি-II উভয়ই সত্য
(D) বিবৃতি-Ⅰ, বিবৃতি-II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: f(x) = 3 + |x – 3|
∵ |x – 3| ≥ 0
⇒ 3 + |x – 3| ≥ 3
∴ f(x) -এর স্থানীয় অবম মান 3 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: f(x) = sinx
আবার
-1 ≤ sinx ≤ 1 sinx -এর চরম ও অবম মান যথাক্রমে 1 এবং -1 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: (A) বিবৃতি-I সত্য, বিবৃতি-II মিথ্যা

38. P(A) = ¹/₄, P(B) = ¹/₃ এবং P(A – B) = ¹/₆ হলে A ও B ঘটনাদ্বয় পরস্পর
(A) পৃথক (B) স্বাধীন (C) স্বাধীন নয় (D) সম্পূর্ণ

Solution: P(A – B) = ¹/₆
বা, P(A) – P(A∩B) = ¹/₆
বা, ¹/₄ – P(A∩B) = ¹/₆
⇒ – P(A∩B) = ¹/₆ – ¹/₄ = – ¹/₁₂
বা, P(A∩B) = ¹/₁₂
আবার
P(A) × P(B) = ¹/₄ × ¹/₃ = ¹/₁₂
∴ P(A∩B) = P(A).P(B)
A ও B ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।
Ans: (B) স্বাধীন

39. একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রাকে n বার উৎক্ষেপণ করা হলো। যদি হেড্ পড়ার সম্ভাবনা p(0 < p < 1) তবে r (r < n) তম হেড্, n তম উৎক্ষেপণে পড়ার সম্ভাবনা হবে
(A) ^n-1C_{r – 1}p^r q^{n – r} (B) ⁿC_r p^r q^{n – r} (C) p^r (D) p^{n – r}

Solution: একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা n বার উৎক্ষেপণ করা হয়েছে।
হেড পড়ার সম্ভাবনা p
∴ টেইল পড়ার সম্ভাবনা q = 1 – p
r-তম হেড n-তম উৎক্ষেপণে পড়তে হলে, প্রথম (n – 1) উৎক্ষেপণে r – 1 বার হেড পড়তে হবে এবং পরবর্তী n-তম উৎক্ষেপণে অবশ্যই হেড পড়তে হবে।
প্রথম (n – 1) উৎক্ষেপণের মধ্যে r – 1 বার হেড পড়ার সম্ভাবনা
= ^n-1C_{r – 1}p^{r – 1} q^{n – r}
n-তম উৎক্ষেপণে হেড পড়ার সম্ভাবনা = p
∴ মোট সম্ভাবনা
= ^n-1C_{r – 1}p^{r – 1} q^{n – r} × p
= ^n-1C_{r – 1}p^r q^{n – r}
Ans: (A) ^n-1C_{r – 1}p^r q^{n – r}

40. যদি X, Y, Z তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ও পরিপূর্ণ ঘটনা যেখানে P(X) = ²/₃P(Y), P(Z) = ¹/₃P(Y) হয়, তবে P(Z)-এর মান হবে
(A) ¹/₆ (B) ¹/₃ (C) ⁵/₆ (D) ²/₃

Solution: P(X) = ²/₃P(Y) বা,
এবং P(Z) = ¹/₃P(Y)
বা, P(Y) = 3.P(Z)
X, Y, Z তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ও পরিপূর্ণ
∴ P(X) + P(Y) + P(Z) =1
বা, ²/₃P(Y) + 3P(Z) + P(Z) = 1
বা, ²/₃.3P(Z) + 3P(Z) + P(Z) = 1
⇒ 2P(Z) + 3P(Z) + P(Z) = 1
বা, 6P(Z) = 1
বা, P(Z) = ¹/₆
Ans: (A) ¹/₆

Function or Mapping

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2026) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

CLASS 12 2026 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 3 সমাধান।

CLASS 12 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION 2026 wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সমাধান।

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি

2. x ∈ (0, 1), x-এর সকল মানের জন্য, নীচের কোনটি সঠিক ?
(A) e^x < 1 + x (B) log_e(1 + x) < x
(C) sinx > x (D) log_ex > x

3. f(x) = ^x/_{1 + |x|} অপেক্ষকটি যে বিস্তারে ক্রমবর্ধমান তা হবে
(A) R (B) R – {-1}
(C) (-1, 1) (D) (-∞, 0)

4. যদি y = x সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে তবে
(A) k = 0 (B) k = ±1
(C) -∞ < k < ∞ (D) 0 ≤ k < ∞

5. যদি lx – my + n = 0 সরলরেখা y² = 4ax অধিবৃত্তকে স্পর্শ করে তবে
(A) am² = nl (B) an² = ml
(C) al² = mn (D) mn = al

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

9. যদি A একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A| = 7 তবে |2A^T| -এর মান হবে
(A) 32 (B) 28 (C) 16 (D) 56

HS 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

10. যদি 3 × 3 ক্রমের A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব থাকে এবং |A| = 5 হয় তবে |adj A| -এর মান হবে
(A) 20 (B) 15 (C) 5 (D) 25

12. বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R → R, g: R → R, হলো এমন দুটি চিত্রণ যে,
f(x) = |x| – x², g(x) = 2x + 3; ∀x ∈ R, তবে (gof)(-3) -এর মান হবে
(A) 9 (B) -9 (C) 6 (D) -6

14. মনে করি, f: R → R (R বাস্তব সংখ্যার সেট) চিত্রনটি নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: f(x) = 2x – 3. তবে f^-1{0} এর মান হবে
(A) -3 (B) 3/2 (C) 3 (D) ±3

16. দুটি স্বাধীন ঘটনা হলো A ও B। তাহলে ঘটনা দুটির মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে
(A) P(A/B) (B) P(B/A)
(C) P(A) + P(B) – P(AB)
(D) P(A) + P(B) – 2P(AB)

21. sin^-1x + sin^-1y = ^2π/₃ হলে cos^-1x + cos^-1y -এর মান হবে
(A) ^π/₃ (B) ^π/₆ (C) ^2π/₃ (D) ^5π/₃

23. যদি A = [a_ij] একটি 2 × 2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)², তবে A হবে

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

26. f(x) = log_x(log_ex) হলে f^‘(e) -এর মান হবে
(A) e (B) ²/_e (C) ¹/_e (D) 0

27. যদি x = sin^-1t এবং y = √(1 – t²) হয় তাহলে t = 1 -এ ^d²y/_dx² – এর মান হবে
(A) 1 (B) 0 (C) ¹/₂ (D) -1

28. যদি ^dx/_dy = l এবং ^d²x/_dy² = m হয় তবে ^d²y/_dx² -এর মান হবে

SEMESTER-3

32. kx + y + z = 1 , x + ky + z = k এবং x + y + kz = k^2 সমীকরণত্রয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যদি
(A) k ≠ 1 (B) k ≠ 1, k ≠ 2
(C) k ≠ 1, k ≠ -2 (D) k ≠ 0 হয়।

34. যদি x^myⁿ = (x + y)^{m + n} হয় তাহলে ^dy/_dx-এর মান হবে
(A) 0 (B) ^y/_x (C) ^{x + y}/_xy (D) xy

38. P(A) = ¹/₄, P(B) = ¹/₃ এবং P(A – B) = ¹/₆ হলে A ও B ঘটনাদ্বয় পরস্পর
(A) পৃথক (B) স্বাধীন (C) স্বাধীন নয় (D) সম্পূর্ণ

40. যদি X, Y, Z তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ও পরিপূর্ণ ঘটনা যেখানে P(X) = ²/₃P(Y), P(Z) = ¹/₃P(Y) হয়, তবে P(Z)-এর মান হবে
(A) ¹/₆ (B) ¹/₃ (C) ⁵/₆ (D) ²/₃

Comments

Leave a Reply Cancel reply

More posts