Uncategorized - PROSTUTI

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

2026
MATHEMATICS
Time-3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks: 90

Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness, overwriting and bad handwriting.

[ 1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে -এর আসন্ন মান 22/7 ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।।
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 8 নং পৃষ্ঠায়।]

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

(i) কোন মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার হবে
(a) 5% (b) 10%
(c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ধরি, মূলধন(P) = x টাকা
∴ সুদাসল= 2x টাকা
সুদ(I) = x টাকা
সময়(t) = 10 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_x.10 = 10]

(ii) ax² + bx + c = 0 (a>0) এর বীজ দুটি সমান কিন্তু বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত হবে
(a) b = c, c = 0 (b) b = 0, c > 0
(c) b = 0, c < 0 (d) b > 0, c = 0
Ans: (c) b = 0, c < 0
[b = 0 হলে,
ax² + c = 0
বা, x² = -c/a
বা, x = √-^c/_a
∵ a > 0
∴ c < 0 হবে।
বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত b = 0, c < 0]

(iii) 6, 7, x, y, 16 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে:
(a) x + y = 21 (b) x + y = 16
(c) x – y = 21 (d) x – y = 19
Ans: (b) x + y = 16
[^{6 + 7 + x + y + 16}/₅ = 9
বা, 29 + x + y = 5×9
বা, x + y = 45 – 29 = 16]

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

(iv) একটি বৃত্তের 121 সেমি দৈঘোর চাপ কেন্দ্রে 77° কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে
(a) 110 সেমি (b) 100 সেমি
(c) 90 সেমি (d) 70 সেমি
Ans: (c) 90 সেমি
এখানে, s = 121 সেমি; θ = 77°

\([θ = 77°\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =\left(\frac{77×22}{180×7}\right)^c\\\quad =\left(\frac{11×11}{90}\right)^c\) আমরা জানি \(\quad s= rθ\\\therefore 121=r×\frac{11×11}{90}\\⇒r=\frac{121×90}{11×11}=90]\)

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a ও d এর সম্পর্ক হবে
(a) √2a = d (b) √3a = d
(c) a = √3d (d) a = √2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠DCE = 96° হলে ∠BOD এর মান কত?
(a) 42° (b) 84°
(c) 442° (d) 168°
Ans: (d) 168°

[∠DCE = 96°
∴ ∠BCD = 180° – 96° = 84°
BAD বৃত্তচাপের উপর ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BOD = 2.∠BCD
= 2.84° = 168°]

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক বছরে আসল ও সুদ-আসলের অনুপাত 8 : 9 হলে বার্ষিক সুদের হার ____________
Ans: 12.5 %
[ধরি, আসল 8x টাকা হলে সুদ-আসলে হবে 9x টাকা
সুদ(I) = (9x – 8x) = x টাকা
সময়(t) = 1 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_8x.1 = 12.5]

(ii) (√3 – 5) এর অনুবন্ধী করনী ____________
Ans: – √3 – 5

(iii) কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের দুই প্রান্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর ____________
Ans: সমান্তরাল

(iv) যদি x = asec θ ও y = b cot θ হলে\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}=\) ____________

Ans: 1
[x = asec θ
⇒ ^x/_a = sec θ
ও y = b cot θ
⇒ ^y/_b = cot θ
⇒ ^b/_y = tan θ

\(∴ \frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\left( \frac{x}{a} \right)^2-\left( \frac{b}{y}\right)^2\\=sec^2 θ-tan^2 θ=1]\)

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে, তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ____________
Ans: 27πr² বর্গ একক
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
= 3πr²
= 3π(3r)² = 27πr²]

(vi) 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যা যথাক্রমে 1. 2. 3. 4, f এবং এদের যৌগিক গড় 4 হলে f এর মান ____________
Ans: 10

\([∴\bar{x}= \frac{f_ix_i}{f_i}\\⇒4=\frac{1.1+2.2+3.3+4.4+5.f}{1+2+3+4+f}\\⇒4=\frac{1+4+9+16+5f}{10+f}\)

⇒ 40 + 4f = 30 + 5f
⇒ f = 10]

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) sin² θ = (sin θ)², 0° < θ < 90°
Ans: সত্য

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের মধ্যে অন্তলিখিত বৃহত্তম ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি।
Ans: মিথ্যা
[গোলকের ব্যাসার্ধ 4 সেমি
∴ ঘনকের কর্ণ= গোলকের ব্যাস
⇒ √3.a = 4.2 = 8 . . .[a = ঘনকের বাহু]
⇒ a = ⁸/_√3]

(iii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ স্থূলকোণ।
Ans:   মিথ্যা

(iv) x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5 হলে উহাদের মধ্যমা 3 হবে।
Ans:   মিথ্যা
[x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5
∴ ^{x – 3 + x – 1 + 7 + x + 2x – 1 + 3x – 5}/₆ = 7.5
⇒ 8x – 3 = 45
⇒ 8x = 48
বা, x = 6
রাশিগুলি হল 3, 5, 7, 6, 11, 13
রাশিগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
3, 5, 6, 7, 11, 13
∴ মধ্যমা = ^{তৃতীয় পদ + চতুর্থ পদ}/₂
                  = ^{7 + 6}/₂ = 6.5]

(ν) χ ∞ ¹/_y হলে (xy)¹⁰ ধ্রুবক।
Ans:   সত্য
[   x ∞ ¹/_y
⇒ x = k.¹/_y
⇒ xy = k . . .[k = ধ্রুবক]
∴ (xy)¹⁰ = k¹⁰ = ধ্রুবক]

(vi) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।
Ans:   মিথ্যা
[রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4
রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত 80 : 100 = 4 : 5
∴ রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত ≠ রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত]

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(i) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটা ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল, A এর লভ্যাংশ কত?
Solution: A এবং B এর মূলধনের অনুপাত
= 15000 : 45000 = 1 : 3
∴ A এর লভ্যাংশ : B এর লভ্যাংশ = 1 : 3
⇒ ^{A এর লভ্যাংশ}/₃₀₃₀ = ¹/₃
⇒ A এর লভ্যাংশ = 1010
Ans: A এর লভ্যাংশ = 1010 টাকা।

(ii) △ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP=4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB এর মান নির্ণয় কর.।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}\)

⇒ x² = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

প্রদত্ত CD=6সেমি.
∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB=∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
⇒ 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

Solution: tan θ + cot θ = 2
⇒ tan θ + ¹/_{tan θ} = 2
⇒ tan² θ + 1 = 2tan θ
বা, tan² θ – 2tan θ + 1= 0
বা, (tan θ – 1)² = 0
⇒ tan θ – 1 = 0
⇒ tan θ = 1
∴ cot θ = 1
প্রদত্ত রাশি
= tan⁷ θ + cot⁷ θ
= 1⁷ + 1⁷ = 1 + 1 = 2
Ans: tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান 2

(v) x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি হলে, sec θ = ^x/_y হতে পারে কি? উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
Ans: sec θ = ^x/_y হতে পারে।
sec θ = ^x/_y = ^{অতিভুজ}/ _ভূমি
অতিভুজ ≥ ভূমি হয়
অর্থাৎ x ≥ y হবে. . . [যেহেতু x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি]

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

Solution: ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
শর্তানুযায়ী,
2πr₁ : 2πr₂ = 3 : 4
বা, r₁ : r₂ = 3 : 4
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত

\(\quad πr_{1}^2h_{1}:πr_{2}^2h_{2}\\=\frac{πr_{1}^2h_{1}}{πr_{2}^2h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}\)Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32

(vii) যদি \(x_1, x_2, …… x_n\) রাশিগুলির যৌগিক গড় x হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে,\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\)

\(Solution:\\\quad \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2=n\bar{x}^2 \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}.n\bar{x}+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x} \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\ (Proved)\)

(viii) সুদের হার 5.5% থেকে 6%-এ বৃদ্ধি পেলে কিছু টাকার বার্ষিক সুদ 49.50 টাকা বৃদ্ধি পায়। আসল নির্ণয় কর।
Solution:
সুদের হার 5.5% থেকে বেড়ে 6% হওয়ায়
সুদের বৃদ্ধি হয় (6 – 5.5)% = 0.5%
∴ 0.5 টাকা আয় বেশি হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় বেশি হয় ¹⁰⁰/_0.5 টাকায়
49.50 টাকা আয় বেশি হয় 200×49.50 টাকায়
= 9900 টাকায়
Ans: নির্ণেয় আসল 9900 টাকা

(ix) x² – 4x = K(x – 1) – 5 সমীকরণটির বীজ দুটির সমষ্টি 7 হলে K-এর মান নির্ণয় কর।
Solution: x² – 4x = K(x – 1) – 5
বা, x² – (4 + K)x + K + 5= 0
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ^{(4 + K)}/₁ = 4 + K
প্রশ্নানুযায়ী,
4 + K = 7
বা, K = 3
Ans: K-এর মান 3

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

Solution: (a + b) : √ab = 2 : 1
⇒ ^{(a + b)²}/_ab = ⁴/₁
⇒ (a + b)² = 4ab
বা,(a + b)² – 4ab = 0
বা,(a – b)² = 0
⇒ a – b = 0
⇒ a = b
∴ a : b = a : a = 1 : 1
Ans: a : b = 1 : 1

(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে আয়তন শতকরা কত বাড়বে।

Solution: গোলকের ব্যাসার্ধ r একক হলে আয়তন হবে = ⁴/₃πr³ ঘন একক
গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে ব্যাসার্ধ হবে
= r×¹⁵⁰/₁₀₀ = ^3r/₂ একক
নতুন গোলকের আয়তন হবে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ ঘন একক
আয়তন বৃদ্ধি পারে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ – ⁴/₃πr³
= ⁴/₃πr³(²⁷/₈ – 1)
⇒ ⁴/₃πr³×¹⁹/₈

\(=\frac{\frac{4}{3}πr^3×\frac{19}{8}}{\frac{4}{3}πr^3}×100\%\)

= ¹⁹/₈×100%
= ^19×25/₂% = ⁴⁷⁵/₂ = 237.5%
Ans: আয়তন 237.5% বাড়বে।

(xii) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ। যদি AD = AB, ∠DAC = 60° এবং ∠BDC = 50° হয় তাহলে ∠ACD এর মান নির্ণয় কর।

Solution: ∠DAC = 60°
∠BDC = 50°
∴ ∠BAC = 50° – – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
∴ ∠DAB = ∠DAC + ∠BAC
= 60° + 50° = 110°
ABD ত্রিভুজের AD = AB
∴ ∠ABD = ∠ADB
= ^{180° – 110°}/₂
= 35°
∠ACD = ∠ABD- – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
= 35°
Ans: ∠ACD এর মান 35°

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% ও দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তাহলে 25,000 টাকার দু বছরের সুদ নির্ণয় কর।
Solution: বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% হলে প্রথম বছরে সুদ হয়
= ^{25,000 × 4 × 1}/₁₀₀ = 1000 টাকা
∴ প্রথম বছরের শেষে সুদাসল
= (25,000 + 1,000) = 26,000 টাকা
আবার বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার দ্বিতীয় বছর 5% হলে দ্বিতীয় বছরে সুদ হয়
= ^{26,000 × 5 × 1}/₁₀₀ = 1300 টাকা
∴ দু বছরের মোট সুদ = (1000 + 1300) = 2300 টাকা
Ans: দু বছরের সুদ 2300 টাকা

(ii) তিনবন্ধু 4,800 টাকা, 6,600 টাকা ও 9,600 টাকা নিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করল। প্রথম জন দেখাশোনার জন্য লাভের ¹/₈ অংশ বেতন হিসাবে পেল এবং বাকি লাভ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল। এক বছর পর প্রথমজন 780 টাকা পেলে বাকি দুজন কত টাকা করে পাবে।

Solution: তিনবন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 4,800 : 6,600 : 9,600
= 48 : 66 : 96 = 8 : 11 : 16
ধরি মোট লাভ হয় x টাকা লাভের ¹/₈ অংশ
= x.¹/₈ = ^x/₈ টাকা
∴ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল
= (x – ^x/₈) = ^7x/₈ টাকা
^7x/₈ টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ⁸/₃₅ = ^x/₅ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹¹/₃₅ = ^11x/₄₀ টাকা এবং তৃতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹⁶/₃₅ = ^2x/₅ টাকা
∴ প্রথম বন্ধু মোট পায়
= (^x/₈ + ^x/₅) = ^{5x + 8x}/₄₀ = ^13x/₄₀ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
^13x/₄₀ = 780
বা, x = 780 × ⁴⁰/₁₃
বা, x = 60 × 40 = 2400
∴ দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ¹¹/₄₀ = 660 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ²/₅ = 960 টাকা
Ans: বাকি দুজন পাবে 660 টাকা এবং 960 টাকা।

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

.Solution:
b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – (bc – ac) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – {b(c – a) + a(b – c)}x + a(b – c) = 0
⇒b(c – a)x² – b(c – a)x – a(b – c)x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x(x – 1) – a(b – c)(x – 1) = 0
⇒(x – 1){b(c – a)x – a(b – c)} = 0
হয় (x – 1) = 0
(x – 1) = 0 হলে x = 1
নতুবা {b(c – a)x – a(b – c)} = 0
{b(c – a)x – a(b – c)} = 0 হলে,
b(c – a)x = a(b – c)
বা, x = ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 বা x= ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

(ii) দুই অংকের একটি সংখ্যার দশকের অঙ্ক এককের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 15 কম। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
Solution: ধরি এককের অঙ্ক x
∴ দশকের অঙ্ক (x – 3)
অতএব সংখ্যাটি হল
= x.1 + (x – 3).10 = 11x – 30
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল
= x(x – 3) = x² – 3x
প্রশ্নানুযায়ী,
x² – 3x = 11x – 30 – 15
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 9x – 5x + 45 = 0
⇒x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
⇒(x – 9)(x – 5) = 0
হয় (x – 9) = 0
(x – 9) = 0 হলে x = 9
∴ সংখ্যাটি হল = 11.9 – 30 = 69
নতুবা (x – 5) = 0
x – 5 = 0 হলে x = 5
∴ সংখ্যাটি হল = 11.5 – 30 = 25
Ans: সংখ্যাটি হল 25 অথবা 69

Click here to visit our Facebook

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(ⅰ) (x³ +y³) ∞ (x³ – y³) হলে, দেখাও যে (x² + y²) ∞ xy.

Solution: (x³ + y³) ∞ (x³ – y³)
⇒ (x³ + y³) = k(x³ – y³). . . [k = Constant]

\(⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}= k\\⇒\frac{x^3 + y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\left( \frac{x}{y} \right)^3 = \frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}= \sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}= m\)

⇒ x = my

\(∴ \frac{x^2+y^2}{xy}\\= \frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\= \frac{y^2(m^2+1)}{my^2}\\=\frac{m^2+1}{m}=Constant\\∴ (x^2+y^2) ∞ xy\quad (Proved)\)

(ii) x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1 হলে 3x² – 5xy + 3y² এর মান নির্ণয় কর।

Solution: x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1

\(∴ x(2 – √3) = 1\\⇒ x=\frac{1}{2 – √3}\\⇒ x=\frac{(2 + √3)}{(2 – √3)(2 + √3)}\\⇒x=\frac{2 + √3}{4-3}\\⇒x=(2 + √3)\\\quad y(2 + √3) = 1\\⇒ y=\frac{1}{2 + √3}\\⇒ y=\frac{(2 – √3)}{(2 + √3)(2 – √3)}\\⇒y=\frac{2 – √3}{4-3}\\⇒y=(2 – √3)\)

∴ x + y = (2 + √3) + (2 – √3) = 4
xy = (2 + √3)(2 – √3) = 4 – 3 = 1
∴ 3x² – 5xy + 3y²
= 3(x² + 2xy + y²) – 11xy
= 3(x + y)² – 11xy
=3(4)² – 11
= 3.16 – 11
= 48 – 11 = 37
Ans: 3x² – 5xy + 3y² এর মান 37

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

\((i)\ \frac{a + b – c}{a + b} = \frac{b + c – a}{b + c} = \frac{c + a – b}{c +a}\) এবং a + b + c = 0 হলে প্রমাণ করো যে, a = b = c

\(Solution:\\\quad \frac{a + b – c}{a + b}= \frac{b + c – a}{b + c}= \frac{c + a – b}{c + a}\\⇒1 – \frac{c}{a + b}= 1 – \frac{a}{b + c}= 1 – \frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}=\frac{a}{b + c}=\frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}+1=\frac{a}{b + c}+1=\frac{b}{c + a}+1\\⇒\frac{c + a + b}{a + b}= \frac{a + b + c}{b + c}= \frac{b + c + a}{c + a}\\⇒\frac{1}{a + b}=\frac{1}{b + c}=\frac{1}{c + a}. . . [∵ a + b + c ≠ 0]\)

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
⇒ a = c . . . (i)
b + c = c + a
⇒ b = a . . . (ii)
(ii) ও (ii) থেকে পাই,
∴ a = b = c (Proved)

\((ii)\ x = \frac{8ab}{a+b}\) হলে, \(\frac{x + 4a}{x – 4a} +\frac{ x + 4b}{x – 4b}\) এর মান নির্ণয় কর।

\(Solution:\\\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}\)আবার\(\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}\)

\(∴\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\\=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\\=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\\=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\\=\frac{2b-2a}{b-a}\\=\frac{2(b-a)}{b-a}=2\)

\(Ans: \frac{x + 4a}{x – 4a}+\frac{x + 4b}{x – 4b}\) এর মান 2

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) প্রমাণ কর কোন বৃত্তের একটি বৃত্ত চাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ চাপের দ্বারা গঠিত যে কোন বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
Ans:

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOB = 2∠ACBঅঙ্কনঃ C, O যুক্ত করে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।
প্রমাণঃ △AOC-এর OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OAC = ∠OCA
আবার, △AOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠AOD = ∠OAC + ∠OCA
              = 2∠OCA . . (i) . . [∠OAC = ∠OCA]
আবার△BOC-এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OBC = ∠OCB
     △BOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠BOD = ∠OBC + ∠OCB
              = 2∠OCB . . (ii) . . [∠OBC = ∠OCB]
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
      ∠AOD + ∠BOD = 2∠OCA + 2∠OCB
বা, ∠AOB = 2(∠OCA + ∠OCB)
বা, ∠AOB = 2∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB (প্রমাণিত)

(ii) প্রমাণ কর যে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরল রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
Ans:

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B = 90^o; AB = BC BD : CD = AB : AC

\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{AB^2+BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{BC^2+BC^2}}…[ ∵AB=BC]\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2}.BC}\\\quad =\frac{1}{\sqrt{2}}\\∴ CD=\sqrt{2}BD\\⇒CD^2=2BD^2\quad (Proved)\)

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

স্বীকারঃ ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ OA² + OC² = OB² + OD²
অঙ্কন: O বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা AB ও DC বাহুন্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
এবং PQ || BC (অঙ্কনানুসারে)
∴ PQ ⊥ AB এবং PQ ⊥ DC
∴ ΔΑΡΟ, ΔΒΡΟ, ΔCQO এবং ΔDQO প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ।
ΔΑΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OA² = OP² + PA²
ΔBΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OB² = OP² + PB²
ΔCQO-এর ক্ষেত্রে,
OC² = OQ² + QC²
এবং ΔDQO-এর ক্ষেত্রে,
OD² = OQ² + QD²
APQD ও BPQC এরা প্রত্যেকে আয়তক্ষেত্র।
∴ PA = QD এবং PB = QC
OA² + OC²
= OP² + PA² + OQ² + QC²
= OP² + QD² + OQ² + PB²
. . .[∵ PA = QD; PB = QC]
= OQ² + QD² + OP² + PB²
= OB² + OD²[প্রমাণিত]

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) △ABC এর ভূমি BC = 6 সেমি, ∠ABC = 60° ও AB = 8 সেমি। ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

(ii) 6 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন কর।

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

Solution: ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4
∴ ত্রিভুজের একটি কোণ 2x^c হলে অপর কোণ দুটি হবে 3x^c এবং 4x^c
∴ 2x + 3x + 4x = π
বা, 9x = π
বা, x = ^π/₉
∴ বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4×^π/₉^c = ^4π/₉^c
Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান ^4π/₉^c

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

\(Solution: tan θ = \frac{4}{3}\\∴sec θ = \sqrt{1 + tan^2 θ}\\=\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}\\ =\sqrt{\frac{9 + 16}{9}} = \frac{5}{3}\\∴ cos θ = \frac{3}{5}\\ sin θ = \sqrt{1 – cos^2 θ}\\\quad = \sqrt{1 – \left( \frac{3}{5} \right)^2}= \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \frac{4}{5}\)

∴ sin θ + cos θ
= ⁴/₅ + ³/₅ = ⁷/₅
Ans: sin θ + cos θ এর মান ⁷/₅

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।

Solution: A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
∴ A + B = 90°
⇒ A = 90° – B
L.H.S
= (sin A + cos A)²
= sin² A + cos² A + 2.sin A . cos A
=sin² A + cos² A + 2sin A . cos(90° – B)
= 1 + 2sin A sin B = R.H.S (Proved)

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একটি বাড়ীর ছাদ থেকে একটি ল্যাম্পপোষ্টের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও θ°। বাড়ী ও ল্যাম্পপোষ্টের উচ্চতার অনুপাত 3:2 হলে θ র মান নির্ণয় কর।
Solution:

চিত্রে, AB বাড়ী এবং CD ল্যাম্পপোষ্ট।
এখানে ∠EBD = ∠BDF = 30°. এবং
∠EBC = ∠BCA = θ
আবার ^AB/_CD = ³/₂
∴ CD = ²/₃ AB
BFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BF/_FD = tan 30° = ¹/_√3
⇒ FD = √3BF
BAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan θ = ^AB/_AC
⇒ tan θ = ^AB/_FD . . [∵ FD = AC]
⇒ tan θ = ^AB/_√3BF
⇒tan θ = ^AB/_{√3(AB – AF)}
⇒ tan θ = ^AB/_{√3(AB – CD)}
⇒ tan θ.√3(AB – ²/₃ AB) = AB
⇒ tan θ.√3AB(1 – ²/₃) = AB
⇒ tan θ.√3.¹/₃ = 1
⇒ tan θ.¹/_√3 = 1
⇒ tan θ = √3 = tan 60°
∴ θ = 60°
Ans: θ র মান 60°

(ii) একটি টিলার পাদদেশ থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° টিলার দিকে 30° ঢাল বেয়ে 100 মিটার যাওয়ার পর উন্নতি কোণ হয় 60°, টিলাটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
Solution:

ধরি, CF = h মিটার
এখানে BC হল টিলা
AE = 100 মিটার
∠CAD = 45°
∠EAD = 30°
∠CFE = 60°
ADE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^ED/_AE = sin 30°
⇒ ^ED/₁₀₀ = ¹/₂
⇒ ED = 50
আবার
   ^AD/_AE = cos 30°
⇒ ^AD/₁₀₀ = ^√3/₂
⇒ AD = 50√3
CFE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^CF/_EF = tan 60°
⇒ ^h/_EF = √3
⇒ EF = ^h/_√3
∴ AB = AD + DB
          = 50√3 + ^h/_√3
          = ^{150 + h}/_√3
BC = BF + CF
        = 50 + h . . [∵ BF = ED] . . (i)
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^BC/_AB = tan 45° = 1
⇒ BC = AB
⇒ 50 + h = ^{150 + h}/_√3
⇒50√3 + √3h = 150 + h
⇒ √3h – h = 150 – 50√3
⇒ h(√3 – 1) = 50√3(√3 – 1)
∴ h = 50√3
(i) নং থেকে পাই,
BC = 50 + 50√3
        = 50(1 + √3)
Ans: টিলাটির উচ্চতা 50(1 + √3) মিটার

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি নিরেট আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2 এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 468 বর্গসেমি, আয়তঘনকের আয়তন নির্ণয় কর।

Solution: আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2
আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য 4x সেমি হলে প্রস্থ ও উচ্চতা হবে যথাক্রমে 3x সেমি এবং 2x সেমি
∴ আয়তঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(4x.3x + 3x.2x + 2x.4x) বর্গসেমি
=2(12x² + 6x² + 8x²)
= 52x² বর্গসেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
52x² = 468
বা, x² = 9
বা, x = ±3
∴ x = 3 . . [x > 0]
∴ আয়তঘনকের আয়তন
= 4x.3x.2x
= 24.x³
=24.3³
=24.27
= 648 ঘন সেমি
Ans: আয়তঘনকের আয়তন 648 ঘন সেমি

(ii) 20 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ ও বহিব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4 সেমি ও 5 সেমি। ঐ চোঙটিকে গলিয়ে চোঙের এক তৃতীয়াংশ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরী করা হল, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস নির্ণয় কর।

Solution: ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ(r) = 4 সেমি,
বহিব্যাসার্ধ(R) = 5 সেমি
এবং উচ্চতা(h) = 20 সেমি
∴ ফাঁপা চোঙের আয়তন
= π(R² – r²)h
= π(5² – 4²).20
=π(25 – 16).20
= 180π ঘন সেমি
ধরি নির্ণেয় শঙ্কুর ব্যাসার্ধ x সেমি
এখানে শঙ্কুর উচ্চতা = ¹/₃.20 সেমি
∴ শঙ্কুর আয়তন = ¹/₃.π.r².¹/₃.20
∴ ¹/₃.π.r².¹/₃.20 = 180π
বা, r² = 9.3.3
বা, r = ±9
∵ r > 0
∴ r =9
⇒2r = 18
Ans: শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 18 সেমি

(iii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্র জলপূর্ণ আছে। ঐ জল 3 সেমি ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা হল কতগুলি বোতল জলপূর্ণ হবে?

Solution: 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্রে জল আছে
= ²/₃π9³
= 2π.3.81 ঘন সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ ³/₂ সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= π(³/₂)².4
= π.⁹/₄.4 = 9π ঘন সেমি
অর্ধগোলাকার পাত্রের জল দিয়ে চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা যাবে
= ^2π.3.81/_9π বা 54 টি।
Ans: 54 টি বোতল জলপূর্ণ হবে।

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(i) নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় কর:

শ্রেণী পরিসংখ্যা	5-14	15-24	25-34	35-44	45-54	55-64
ছাত্রসংখ্যা	3	6	18	20	10	3

Solution: প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:
ধরি, কল্পিত গড় 39.5

বয়স (বছর)	শ্রেণী সীমানা	রোগীর সংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	f_id_i
5-14	4.5-14.5	3	9.5	-30	-90
15-24	14.5-24.5	6	19.5	-20	-120
25-34	24.5-34.5	18	29.5	-10	-180
35-44	34.5-44.5	20	39.5=a	0	0
45-54	44.5-54.5	10	49.5	10	100
55-64	54.5-64.5	3	59.5	20	60
মোট		Σf_i=60			Σf_id_i=-230

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় \(\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\\ =39.5+\frac{-230}{60}\\\ =39.5-\frac{23}{6}\\\ =39.5-3.83\\\ =35.67\)Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 35.67

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

শ্রেণী	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	14	10	12	4

Solution: প্রদত্ত তথ্যের বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল –

শ্রেণি	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক)
100 বা 100-এর বেশি	8+14+10+12+4=48
120 বা 120-এর বেশি	48-8=40
140 বা 140-এর বেশি	40-14=26
160 বা 160-এর বেশি	26-10=16
180 বা 180-এর বেশি	16-12=4

ছক কাগজের x -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক এবং y -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক ধরে (100, 48), (120, 40), (140, 26), (160, 16), (180, 4) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং একটি বক্ররেখা বা ওজাইভ (বৃহত্তর সূচক) পেলাম।

Madhyamik -26 Mathematics Solution

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করোঃ-

প্রাপ্ত নম্বর	10 এর কম	20 এর কম	30 এর কম	40 এর কম	50 এর কম	60 এর কম
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	15	29	42	60	70

Solution: প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	8
10 – 20	15 – 8 = 7
20 – 30	29 – 15 = 14
30 – 40	42 – 29 = 13
40 – 50	60 – 42 = 18
50 – 60	70 – 60 = 10

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 18
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 40 – 50
এখানে, l = 40; f₀ = 13;
f₁ = 18; f₂ = 10
h = 50 – 40 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

\(= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=40+\frac{18-13}{2×18-13-10}×10\\=40+\frac{5}{13}×10\\=40+\frac{50}{13}\)

= 40 + 3.846 (প্রায়)
= 43.35 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 43.35

MP 2026 English Solution

February 22, 2026

Category: Uncategorized

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan7 θ + cot7 θ এর মান নির্ণয় কর।

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x2 + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD2 = 2BD2 Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA2 + OC2 = OD2 + OB2Ans:

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

(ii) যদি tan θ = 4/3 হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে (sin A + cos B)2 = 1 + 2sin A sin B .অঙ্কটি ভুল আছে।cos B এর জায়গায় cos A হবে।

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।