Category: MP MATHEMATICS SOLUTION

Complete Solution of MP-19 Mathematics

Complete Solution of MP-19

মাধ্যমিক গণিত ২০১৯ সমাধান

2019 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৯

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

2019
MATHEMATICS
Compulsory
Time-Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

Complete Solution of MP-19

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) কোনো অংশীদারী ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ¹/₂ : ¹/₃ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত-
(a) 2 : 3 (c) 1 : 1 (b) 3 : 2 (d) 5 : 3
Ans: (b) 3 : 2
[প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত
= ¹/₂ : ¹/₃
= ¹/₂×6 : ¹/₃×6
= 3 : 2]

(ii) যদি p+q =√13 এবং p-q= √5 হয়, তাহলে pq -এর মান-
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
Ans: (a) 2
[ p+q =√13 এবং p-q= √5²
∴ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (√13)² – (√5)²
⇒ 4pq = 13 – 5
⇒ 4pq = 8
∴ pq = 2]

(iii) কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65^o, ∠DAC = 40^o হলে ∠BCD এর মান-
(a) 75^o (b) 105^o (c) 115^o (d) 80^o
Ans: (c) 115^o

[∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
= 180° – 155° = 25°
∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° – 65°
= 115°]

(iv) tanα + cotα = 2 হলে tan¹³α + cot¹³α-এর মান-
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0
Ans: (b) 2
[ tanα + cotα = 2
⇒ tanα + ¹/_tanα = 2
⇒ ^tan²α+1/_tanα = 2
⇒ tan²α + 1 = 2tanα
⇒ tan²α – 2tanα + 1 = 0
⇒ (tanα)² – 2.tanα.1 + (1)² = 0
⇒ (tanα – 1)² = 0
⇒ tanα – 1 = 0
∴ tanα = 1
cotα = ¹/_tanα = ¹/₁ = 1
tan¹³α + cot¹³α
= (1)¹³ + (1)¹³
= 1 + 1 = 2]

(v) 2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে-
(a) 10 সেমি (b) 6 সেমি (c) 2 সেমি (d) 12 সেমি
Ans: (d) 12 সেমি
[2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির
দৈর্ঘ্য হবে = 2×2√6 সেমি = 4√6 সেমি
প্রস্থ হবে = 2√6 সেমি
উচ্চতা হবে = 2√6 সেমি
∴ আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
= √(4√6)² + (2√6)² + (2√6)² সেমি
= √96 + 24 + 24 সেমি
= √144 সেমি = 12]

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x₁₀ রাশিগুলির গড় 20 হলে x₁ + 4, x₂ + 4, x₃ + 4 …….. x₁₀ + 4 রাশিগুলির গড় হবে-
(a) 20 (b) 24 (c) 40 (d) 10
Ans: (b) 24
[প্রতিটি রাশির সঙ্গে 4 যোগ হয়েছে।
সুতরাং রাশিগুলির গড়ও 4 বৃদ্ধি পাবে।
অতএব রাশিগুলির গড় হবে 20 + 4 = 24]

Complete Solution of MP-19

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক সুদের হার ছিল __________ %
Ans: 10
[ ধরি, বার্ষিক সুদের হার r%

$\quad 100(1+\frac{r}{100})^2=121\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=\frac{121}{100}\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=(\frac{11}{10})^2\\⇒1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1\\⇒\frac{r}{100}=\frac{1}{10}\\∴r=10$

(ii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় __________ করণী
Ans: অনুবন্ধী করনী

(iii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________।
Ans: সমান

(iv) cos 53^o/sin37^o -এর সরলতম মান __________।
Ans: 1

[$\Large{\quad\frac{cos53^o}{sin37^o}\\=\frac{cos53^o}{sin(90^o-53^o)}\\=\frac{cos53^o}{cos53^o}\\=1}$]

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা __________।
Ans: 3টি

(vi) x₁, x₂ ….. x₁₀₀ চলগুলি ঊর্ধ্বক্রমে থাকলে, এদের মধ্যমা __________।
Ans: 50.5
[এখানে n = 100 (যুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = [ⁿ/₂ তম পদের মান + (ⁿ/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [¹⁰⁰/₂ তম পদের মান + (¹⁰⁰/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + (50+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + 51তম পদের মান] ÷2
= [50 + 51] ÷2
= 101 ÷2 = 50.5]

Complete Solution of MP-19

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা।
Ans: মিথ্যা
[ বার্ষিক সুদের হার 10%
আসল 100 টাকা
সময় 1 বছর
∴1 বছরের সরল সুদ
= ^100×1×10/₁₀₀ = 10 টাকা
1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= 100(1+¹⁰/₁₀₀)¹ টাকা
= 100(1+¹/₁₀) টাকা
= 100(¹⁰⁺¹/₁₀) টাকা
= 100×¹¹/₁₀ টাকা
= 110 টাকা
সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ সমান।]

(ii) ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত 1:1।
Ans: সত্য
[ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত
= ab×bc×ca : a²×b²×c²
= a²b²c² : a²b²c²
= 1 ; 1]

(iii) তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়।
Ans: সত্য

(iv) sin 30^o + sin 60^o > sin 90^o
Ans: সত্য
[sin 30^o + sin 60^o
= ¹/₂ + ^√3/₂
= ^1+√3/₂
= ^1+1.732/₂
= ^2.732/₂
= 1.366 > 1 = sin 90^o]

(v) একই ভূমি ও একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1:3 হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
∴লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত
= ¹/₃πr²h : πr²h
= ¹/₃ : 1
= 1 : 3]

(vi) 2, 3, 9, 10, 9,3,9 তথ্যের মধ্যমার মান 10।
Ans: মিথ্যা
[সংখ্যা গুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই
2, 3, 3, 9, 9, 9, 10
এখানে n = 7 (অযুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁷⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁸/₂ তম পদের মান
= 4-তম পদের মান
= 9]

Complete Solution of MP-19

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(i) বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, আসল(P) = P টাকা
এখানে, সুদের হার(r) = 5%
সময়(t) = 1 মাস
= 1/12 বছর
সুদ = 1 টাকা

$\large{∵ I=\frac{Prt}{100}\\⇒ 1=\frac{P×5×1}{100×12}\\⇒ P = 240}$

Ans: 240 টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা।

(ii) এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?
Solution:
ধরি, মোট লাভ হয়েছিল P টাকা
তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8
∴ প্রথম ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×³/₃₊₅₊₈ টাকা
= P×³/₁₆ টাকা
= ^3P/₁₆ টাকা
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×⁸/₁₆ টাকা
= ^8P/₁₆ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী
^8P/₁₆ – ^3P/₁₆ = 60
বা, ^8P-3P/₁₆ = 60
বা, ^5P/₁₆ = 60
বা, P = 60×¹⁶/₅
বা, P = 12×16
বা, P = 192
Ans: ব্যবসায় মোট 192 টাকা লাভ হয়েছিল।

(iii)

$\large{\mathbf{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}$

হলে, p-এর মান কত?
Solution:
ধরি,

$\large{\large{\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}=k}}$ যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।

∴a = 2k,
b = 3k,
c = 4k এবং
∵ 2a – 3b + 4c = pk
∴ 2×2k – 3×3k + 4×4k = pk
বা, 4k – 9k + 16k = pk
বা,11k = pk
∴ p =11
Ans: p-এর মান 11

(iv) x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

Solution:
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
বা, k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
⇒ y² = 4ax (Proved)

Complete Solution of MP-19

(v) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.।
AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে এবং
^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
△AOD ও △BOC এর ক্ষেত্রে,
∠OAD = একান্তর ∠OCD – – – – [ ∵ AD||BC এবং AC ভেদক]
∠ODA = একান্তর ∠OCB – – – – [∵ AD||BC এবং DB ভেদক]
∠AOD = ∠BOC – – – – [বিপ্রতীপ কোন]
∴△AOD এবং △BOC সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AD/_BC = ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
∴ ^AD/_BC = ¹/₂
⇒ ⁴/_BC = 1/2 – – – – [AD = 4]
⇒ BC = 8
Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

(vi) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
AC = 3 সেমি
AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, BC ব্যাস।
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের
BC² = AB² + AC²
= 4² + 3²
= 16 + 9
= 25 = 5²
∴ BC = 5
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ⁵/₂
=2.5
Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি

(vii) △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC-এর,
∠ABC = 90^o
AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি.
∴ AC² = AB² + AC²
⇒ AC² = 5² + 12²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
⇒ AC² = (13)²
∴ AC = 13
∴ △ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AB×AC
= ¹/₂×5×12 বর্গ সেমি.
= 30 বর্গ সেমি.
আবার BD ⊥ AC,
∴△ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×BD×AC
= ¹/₂×BD×13 বর্গ সেমি.
= ¹³/₂×BD বর্গ সেমি.
∴ ¹³/₂×BD = 30
বা, BD=30 × ²/₁₃
বা, BD = ⁶⁰/₁₃
বা, BD = 4 ⁸/₁₃
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 4 ⁸/₁₃ সেমি.

(viii) (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?
Solution:
2sinθ cosθ = cosθ
বা, 2sinθ cosθ – cosθ = 0
বা, cosθ(2sinθ – 1) = 0
হয় cosθ =0 নতুবা 2sinθ – 1 = 0
বা, cosθ = cos90^o বা, 2sinθ = 1
বা, θ = 90^o বা, sinθ = ¹/₂
বা, sinθ = sin30^o
বা, θ = 30^o
Ans: θ-এর মান 90^o, 30^o

Complete Solution of MP-19

(ix) sin 10θ = cos8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, tan9θ-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
sin10θ = cos8θ
⇒ sin10θ = sin(90^o – 8θ)
⇒ 10θ = 90^o – 8θ
⇒ 10θ + 8θ = 90^o
⇒ 18θ = 90^o
⇒ θ = 5^o
∴ tan9θ = tan9×5^o
= tan45^o
=1
Ans: tan9θ-এর মান 1

(x) একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?
Solution:
আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং
a + b + c = 25,
ab + bc + ca = 240.5
∴ আয়তঘনাকৃতি ঘরের কর্ন

$\large{\quad =\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\=\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab + bc + ca)}\\=\sqrt{(25)^2-2×240.5}\\=\sqrt{625-481}\\=\sqrt{144}\\=12}$

Ans: ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 12 একক

(xi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের 5 গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r;
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quadπrl=\sqrt{5}×πr^2\\⇒l=\sqrt{5}×r\\⇒l^2=5r^2\\⇒h^2+r^2=5r^2\\⇒h^2=4r^2\\⇒h=2r\\\therefore \frac{h}{r}=\frac{2}{1}}$$

Ans: শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

(xii) প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা ⁿ⁺¹⁰³/₃ হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা হবে
= ^(2n+1)+1/₂
= ²ⁿ⁺²/₂
= n+1
প্রশ্নানুযায়ী,
n + 1 = ⁿ⁺¹⁰³/₃
⇒ 3n + 3 = n + 103
⇒ 3n – n = 103 – 3
⇒ 2n = 100
⇒ n = 50
Ans: n এর মান 50

Complete Solution of MP-19

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার 1¹/₂ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
সুদের পর্ব (n) = 6 মাস = ¹²/₆ = 2
সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 8000 টাকা
সময় (t) = 1¹/₂ বছর
1½ বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

$\large{=P{\left( {1 + \frac{r}{{200}}} \right)^{2n}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{10}{{200}}} \right)^{2\times \frac{3}{2}}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^3}\\=8000\times {\left(\frac{21}{20} \right)^3}\\=8000\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}}$

= 21×21×21 টাকা
= 9261 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ = (9261 -8000) টাকা
= 1261 টাকা
Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি 9261 টাকা ও
চক্রবৃদ্ধি সুদ 1261 টাকা

(ii) দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?

Solution:
দুই বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 40000 : 50000
= 4 : 5
ধরি মোট লাভ x টাকা।
লাভের 50% = x×⁵⁰/₁₀₀ = ^x/₂ টাকা
^x/₂ টাকা থেকে দুই বন্ধুর প্রত্যেকে পাবে
= ^x/₂ ÷ 2 = ^x/₄ টাকা
অবশিষ্ট ^x/₂ টাকা থেকে.
প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₂ ×⁴/₄₊₅ টাকা
= ^x/₂ × ⁴/₉ টাকা
= ^4x/₁₈ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = ^x/₂ × ⁵/₉ টাকা
= ^5x/₁₈ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(^5x/₁₈ + ^x/₄) – (^4x/₁₈ + ^x/₄) = 800
বা, ^5x/₁₈ + ^x/₄ – ^4x/₁₈ – ^x/₄ = 800
বা, ^5x/₁₈ – ^4x/₁₈ = 800
বা, ^5x-4x/₁₈ = 800
বা, ^x/₁₈ = 800
বা, x = 800×18 = 14400
∴ প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₄ + ^4x/₁₈ টাকা
= ^9x+8x/₃₆ টাকা
= ^17x/₃₆ টাকা
= ¹⁷/₃₆ × 14400 টাকা
= 17 × 400 = 6800 টাকা
Ans: প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।

Solution:
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β ²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β ²
= (α +.β)² – 2α.β
= (-1)² – 2.1
= 1 – 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
= (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- 1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0

(ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় 12/x টি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/(x – 6) টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,

$\Large{\quad\frac {12×30}{x-6}-\frac {12×30}{x}=3\\⇒\frac {360x-360(x-6)}{x(x-6)}=3\\⇒\frac {360x-360x-360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×2}{x^{2}-6x}=1}$

⇒ x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
⇒ x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24)= 0
হয় x – 30 = 0 নতুবা x + 24 = 0
বা, x = 30 বা, x = -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Complete Solution of MP-19

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল করো:

$\large{\mathbf{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2-√2)(2+√2)}-\frac{30(4√3+√18)}{(4√3-√18)(4√3+√18)}-\frac{√18(3+√12)}{(3-√12)(3+√12)}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2)^2-(√2)^2}-\frac{30(4√3+3√2)}{(4√3)^2-(√18)^2}-\frac{3√2(3+√12)}{(3)^2-(√12)^2}\\=\frac{4√3(2+√2)}{4-2}-\frac{30(4√3+3√2)}{48-18}-\frac{3√2(3+2√3)}{9-12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{2}-\frac{30(4√3+3√2)}{30}-\frac{3√2(3+2√3)}{-3}}$

= 2√3(2 + √2) – (4√3 + 3√2) + √2(3 + 2√3)
= 4√3 + 2√6 – 4√3 – 3√2 + 3√2 + 2√6
= 2√6 + 2√6
= 4√6

Ans: নির্ণয় সরলতম মান 4√6

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy\\Solution:}}$

$\Large{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}\\⇒\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=k\frac{1}{x-y}- – (k= Constant)\\⇒ \frac{y-x}{xy}=\frac{k}{x-y}\\⇒ \frac{-(x-y)}{xy}=\frac{k}{x-y}}$

⇒ (x – y)² = -kxy
⇒ x² – 2xy + y² = – kxy
⇒ x² + y² = 2xy – kxy
⇒ x² + y² = xy(2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = (2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = ধ্রুবক
∴ x² + y² ∝ xy (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

Solution:
(3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6
⇒ ^{3x – 2y}/_{x + 3y} = 5/6
⇒ 6(3x – 2y) = 5(x + 3y)
⇒ 18x – 12y = 5x + 15
⇒ 18x – 5x = 15y + 12y
⇒ 13x = 27y
⇒ ^x/₂₇ = ^y/₁₃ = k (ধরি)
∴ x = 27k; y = 13k
প্রদত্ত রাশি:
= (2x + 5y) : (3x + 4y)
= (2×27k + 5×13k) : (3×27k + 4×13k)
= (54k + 65k) : (81k + 52k)
= 129k : 133k
= 129 : 133
= 17 : 19
Ans: নির্নেয় মান 17 : 19

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\large{\mathbf{\quad\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}$

প্রতিটি অনুপাতের মান (সংযোজন প্রক্রিয়া)

$\Large{=\frac{b+c-a+a+b-c+c+a-b}{y+z-x+z+x-y+x+y-z}\\=\frac{b+c+a}{y+z+x}\\=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(b+c-a)}{x+y+z-(y+z-x)}\\=\frac{a+b+c-b-c+a}{x+y+z-y-z+x}\\=\frac{2a}{2x}\\=\frac{a}{x}- – – (i)}$

আবার

$\Large{\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(c+a-b)}{x+y+z-(z+x-y)}\\=\frac{a+b+c-c-a+b}{x+y+z-z-x+y}\\=\frac{2b}{2y}\\=\frac{b}{y}- – – (ii)}$

এবং

$\Large{\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(a+b-c)}{x+y+z-(x+y-z)}\\=\frac{a+b+c-a-b+c}{x+y+z-x-y+z}\\=\frac{2c}{2z}\\=\frac{c}{z}- – – (iii)\\∴\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\quad\mathbf{(Proved)}}$

Complete Solution of MP-19

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-প্রমাণ করো।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
প্রামান্য বিষয়: ∠ACB =1 সমকোণ।।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং ∠ACB ওই একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB – – – [∵ একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
বা, ∠ACB = ¹/₂∠AOB
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ ∠AOB একটি সরলকোণ।
∴ ∠AOB = 2 সমকোণ
∴ ∠ACB = ¹/₂×2 সমকোণ
বা, ∠ACB = 1 সমকোণ
∴ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। (Proved)

(ii) প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের ওপর অবস্থিত হবে।

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে. AB + CD = BC + DA

স্বীকারঃ ABCD চতুর্ভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরিলিখিত। ধরি, AB, BC, CD ও DA বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q. R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB + CD = BC + DA
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AS ও AP
∴ AS = AP . . . . [বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়]
অনুৰূপে, BP = BQ, CQ = CR এবং DR = DS
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
∴ AB + CD = BC + DA (Proved)

(ii) △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)

স্বীকারঃ ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা।
প্রামান্য বিষয়: 5BC² = 4(BP² + CQ²)
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ BC² = AB² + AC²
= (2AQ)² + (2AP)² – – – [ যেহেতু P ও Q যথাক্রমে AC ও AB এর মধ্যবিন্দু]
= 4AQ² + 4AP²
= 4(AQ² + AP²) – – – – (i)
সমকোণী ত্রিভুজ BAP-এর ক্ষেত্রে,
BP² = AP² + AB²
= AP² + (2AQ)²
= AP² + 4AQ² – – – – (ii)
এবং সমকোণী ত্রিভুজ CAQ-এর ক্ষেত্রে,
CQ² = AQ² + AC²
= AQ² + (2AP)²
= AQ² + 4AP² – – – – (iii)
(ii) + (iii) করে পাই
BP² + CQ²
= AP² + 4AQ² + AQ² + 4AP²
= 5AP² + 5AQ²
= 5(AP² + AQ²) – – – – (iv)
∵ BC² = 4(AQ² + AP²) – – – -[(i) নং থেকে]
⇒ 5BC² = 5x̄4(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4x̄5(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4(BP² + CQ²) – – – -[(iv) নং থেকে]
∴ 5BC² = 4(BP² + CQ²) (Proved)

Complete Solution of MP-19

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি, AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি। ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে)

সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) △ABC-এর ∠C= 90^o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m² + n²
Solution:

△ABC-এর ∠C= 90^o,
BC = m এবং
AC = n
∴ AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = m² + n²

$\Large{∴AB=\sqrt{m^2+n^2}}$

∴ sinA = ^BC/_AB
= ^m/_{√m² + n²}
sinB = ^AC/_AB
= ⁿ/_{√m² + n²}

$\Large{\mathbf{L.H.S.}\\msinA+nsinB\\=m×\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}+n×\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2}{\sqrt{m^2+n^2}}+\frac{n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2+n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\sqrt{m^2+n^2}\quad \mathbf{R.H.S. \quad (Proved)}}$

(ii) মান নির্ণয় করো: ⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
Solution:
প্রদত্ত রাশি
⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
= ⁴/₃×(√3)² + 3×(^√3/₂)² – 2×(²/_√3)² – ³/₄×(¹/_√3)²
= ⁴/₃×3 + 3×³/₄ – 2×⁴/₃ – ³/₄×¹/₃
= 4 + ⁹/₄ – ⁸/₃ – ¹/₄
= ^48+27-32-3/₁₂
= ^75-35/₁₂ = ⁴⁰/₁₂
= ¹⁰/₃ = 3 ¹/₃
Ans: নির্ণেয় মান 3 ¹/₃

(iii) যদি ∠P + ∠Q = 90^o হয় তবে দেখাও যে,

$\Large{\quad\mathbf{\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ=cos^2p}}$

Solution:
∠P + ∠Q = 90^o
∴ ∠Q = 90^o – ∠P
L.H.S.

$\Large{\quad\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ}\\=\sqrt{\frac{sinP}{cos(90^o-P)}}-sinPcos(90^o-P)\\=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}}-sinPsinP$

= 1 -sin²P
= cos²P = R.H.S. (Proved)

Complete Solution of MP-19

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল। যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30^o কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90^o কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30° কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90° কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায়।
চিত্রে ∠DAQ =30^o
∴ ∠BAD = 90^o – 30^o = 60^o
∠DAC = 90^o
∴ ∠CAB = 90^o – 60^o = 30^o
AB=600 মিটার।
DBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DB/_BA= tan60^o
বা, ^DB/₆₀₀ = √3
বা, DB = 600√3
আবার CBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CB/_BA = tan30^o
বা, ^CB/₆₀₀= ¹/_√3
বা, CB =⁶⁰⁰/_√3 = 200√3
∴ CD = CB + DB
= 200√3 + 600√3
= 800√3
Ans: ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব হবে 800√3 মিটার।

(ii) একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে। রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50^o ও 45^o হয়। বাড়িটির উচ্চতা কত?(ধরে নাও tan 50^o = 1.2)

চিত্রে,
পতাকা দণ্ড DC= 3.6 মিটার এবং
বাড়ি AD
∠ABD = 45^o
∠ABC = 50^o
∴ DAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DA/_AB = tan45^o
বা, ^DA/_AB = 1
বা DA = AB
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CA/_AB = tan50^o
বা, ^CD+DA/_AB= 1.2
বা, ^3.6+DA/_AD = 1.2 – – – – [∵ AB = AD]
বা, 1.2DA = 3.6 + DA
বা, 1.2DA – DA = 3.6
বা 0.2DA = 3.6
বা, DA = 18
Ans: বাড়িটির উচ্চতা 18 মিটার।

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ¹/₃ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে? (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)
Solution:
চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন
= (1.2)³ ঘন মিটার
= 1.728 ঘন মিটার
= 1728 ঘন ডেসিমি
= 1728 লিটার – – – [: ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
64 বালতি জল = চৌবাচ্চাটির আয়তনের (1 – ⅓) অংশ
= ⅔ অংশ
∴ 64 বালতি জল = 1728 × ⅔ লিটার
= 1152 লিটার
∴ 1 বালতি জল = ¹¹⁵²/₆₄ লিটার
= 18 লিটার
Ans: প্রতি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

(ii) একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

Solution:
ধরি, তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 4r একক এবং দৈর্ঘ্য h একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ 2r একক
∴ তারের আয়তন = π(2r)²h ঘনএকক
= 4πr²h ঘনএকক
প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমালে ব্যাস হবে 4r×⁵⁰/₁₀₀ = 2r একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ হবে r একক
আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য হবে x একক
∴ তারের আয়তন হবে = πr²x ঘনএকক
আয়তন অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ পরিবর্তিত আয়তন = পূর্বের আয়তন
πr²x = 4πr²h
⇒ x = 4h
তারটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাবে
= (4h – h) একক
= 3h একক
= ^3h/_h.100 %
= 300 %
Ans: আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য বাড়াতে হবে 300%

(iii) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 77
⇒ ²²/₇×r×7 = 77
⇒ 22r = 77
∴ r= 7/2
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ²²/₇×⁷/₂×⁷/₂ বর্গ মিটার
= 11×⁷/₂ বর্গ মিটার
= ⁷⁷/₂ = 38.5 বর্গ মিটার
Ans: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

Complete Solution of MP-19

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
পরিসংখ্যা	7	11	K	9	13

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা(f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
0-20	7	10	70
20-40	11	30	330
40-60	k	50	50k
60-80	9	70	630
80-100	13	90	1170
মোট	Σf_i=k+40		Σx_if_i=2200+50k

নম্বরের যৌগিক গড় 54
প্রশ্নানুযায়ী,

$$\Large{\frac{Σf_{i}x{i}}{Σf_{i}}=54\\⇒\frac{2200+50k}{k+40}=54\\⇒54k+2160=2200+50k\\⇒54k-50k=2200-2160\\⇒4k=40\\\therefore k=10}$$

Ans: k-এর মান 10

Complete Solution of MP-19

(ii) নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরি করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	4
10 – 20	16 – 4 = 12
20 – 30	40 – 16 = 24
30 – 40	76 – 40 = 36
40 – 50	96 – 76 = 20
50 – 60	112 – 96 = 16
60 – 70	120 – 112 = 8
70 – 80	125 – 120 = 5

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 36
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 30 – 40
এখানে, l = 30; f₀ = 24;
f₁ = 36; f₂ = 20
h = 40 – 30 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

$\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=30+\frac{36-24}{2×36-24-20}×10\\=30+\frac{12}{28}×10\\=30+\frac{30}{7}}$

= 30 + 4.29 (প্রায়)
= 34.29 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 34.29

Complete Solution of MP-19

(iii) নীচের তালিকা থেকে একটি বিদ্যালয়ের দশম শ্রেণির 52 জন ছাত্রের গড় নম্বর প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ও কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নির্ণয় করো:

ছাত্র সংখ্যা	4	7	10	15	8	5	3
পরিসংখ্যা	30	33	35	40	43	45	48

Solution:

নম্বর(x_i)	পরিসংখ্যা(f_i)	f_ix_i	d_i = x_i – A	f_id_i
30	4	30	-10	-40
33	7	231	-7	-49
35	10	350	-5	-50
40	15	600	0	0
43	8	344	3	24
45	5	225	5	25
48	3	144	8	24
	Σf_i = 52	Σx_if_i = 2014		Σf_id_i = -66

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ঃ
নির্ণেয় গড় = 2014/52
= 38.73

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ঃ
ধরি, কল্পিত গড় A = 40
∴ গড়

$\Large{=A+\frac{Σf_{i}d_{i}}{Σf_{i}}\\=40+\frac{-66}{52}}$

= 40 – 1.26
= 38.74
Ans: নির্ণেয় গড় 38.73 (প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে)
এবং 38.74 (কল্পিত গড় পদ্ধতিতে)

PREVIOUS

NEXT

January 27, 2024

Complete Solution of MP-18 Mathematics

Complete Solution of MP-18

মাধ্যমিক গণিত ২০১৮ সমাধান

2018 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৮

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

2018
MATHEMATICS
Compulsory
Time-Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

কেবলমাত্র 2018 সালের প্রথম পরীক্ষার্থী এবং 2017 সালের প্রথমবার পরীক্ষায় অকৃতকার্য (কন্টিনিউয়িং, কম্পার্টমেন্টাল, বহিরাগত কম্পার্টমেন্টাল ও ই.ডব্লু.) পরীক্ষার্থীদের জন্য।

(New Syllabus)
(নতুন পাঠক্রম)
[ 1, 2, 3 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে-এর আসন্ন মান 22 7 ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

Complete Solution of MP-18

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন’ করো: 1×6-6

(i) বার্ষিক 10% সরল সুদের হারে a টাকার b মাসের সুদঃ

$\large{\mathbf{\quad (a)\frac{ab}{100}}}$ টাকা $\large{\mathbf{(b)\quad\frac{ab}{120}}}$ টাকা $\large{\mathbf{(c)\quad\frac{ab}{1200}}}$ টাকা $\large{\mathbf{(d)\quad\frac{ab}{10}}}$ টাকা $\large{\mathbf{\\Ans:\quad\quad (b)\quad\frac{ab}{120}}}$টাকা

[বার্ষিক সরল সুদের হার = 10%
আসল = a টাকা
সময় = b মাস = ^b/₁₂ বছর
∴ সুদ = ^a×b×10/_12×100 টাকা
= ^ab/₁₂₀ টাকা]

(ii) যদি x ∝ y হয়, তাহলে:
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y² (d) x² ∝ y²
Ans: (d) x² ∝ y²
[x ∝ y
⇒ x = ky
⇒ x² = k²y²
∴ x² ∝ y²]

2018 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2018 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

(iii) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100^o হলে ∠C-এর মান:
(a) 50^o (b)20^o (c) 80^o (d) 180^o

Ans: (c) 80^o
[∠A = 100^o
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোন দ্বয়ের সমষ্টি 180^o হয়।
∴ ∠A + ∠C = 180^o
বা, 100^o + ∠C = 180^o
বা, ∠C = 180^o – 100^o = 80^o]

(iv) ^7π/₁₂ -এর যষ্টিক পদ্ধতিতে মানটি হল:
(a) 115^o (b) 150^o (c) 135^o (d) 105^o
Ans: (d) 105^o
[^7π/₁₂ = ^{7×180^o}/₁₂
= 7×15^o = 105^o]

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a এবং d -এর সম্পর্ক হবে:
(a) √2a = d (b) √3a = d (c) a =√3d (d) a =√2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক
ঘনকের কর্ণ = √3×বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]

(vi) 6, 7, x, 8, y, 16 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে:
(a) x + y = 21 (b) x + y = 17 (c) x – y = 21 (d) x – y = 19
Ans: (b) x + y = 17
[ ^6+7+x+8+y+16/₆ = 9
⇒ ^x+y+37/₆ = 9
⇒ x + y = 54 – 37
∴ x + y = 17]

Complete Solution of MP-18

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

i) বার্ষিক r% সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের n বছরের সুদ ^pnr/₂₅ টাকা হলে মূলধনের পরিমাণ __________ টাকা হবে।
Ans: 4p
[ধরি মূলধনের পরিমাণ x টাকা
এখানে বার্ষিক সরল সুদ r%
সময় n বছর
সুদ ^pnr/₂₅ টাকা
∴ ^pnr/₂₅ = ^x.r.n/₁₀₀
⇒ p = ^x/₄
⇒ x = 4p]

(ii) (a – 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটিতে a-এর মান __________ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
Ans: 2
[x² এর সহগ শূন্য হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
∴ a – 2 = 0
⇒ a = 2]

(iii) ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A -এর মান হবে __________ ।
Ans: 90^o
[বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র হয়]

(iv) tan35^otan55^o = sinθ হলে, θ-এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান __________ হবে ।
Ans: 90^o
[ tan35^otan55^o = sinθ
⇒ tan35^otan(90^o – 35^o) = sinθ
⇒ tan35^o.cot35^o = sinθ
⇒ 1 = sinθ – – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ sin90^o = sinθ
∴ θ = 90^o

(v) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার চোঙ ও __________ র সমন্বয়।
Ans: শঙ্কু

(vi) মধ্যগামিতার মাপকগুলি হল গড়, মধ্যমা ও __________
Ans: সংখ্যাগুরুমান

Complete Solution of MP-18

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) নির্দিষ্ট আসলের উপর সমান হারে সুদ হলে 2 বছরের সরল সুদ, চক্রবৃদ্ধি সুদের তুলনায় বেশী।
Ans: সত্য

(ii) x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী।
Ans: সত্য
[ ^x³y/_x²y² = ^x/_y
এবং ^x²y²/_xy³ = ^x/_y
∴ ^x³y/_x²y² = ^x²y²/_xy³
x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী]

(iii) অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।
Ans: সত্য

(iv) sec²27^o – cot²63^o -এর সরলতম মান 1.
Ans: সত্য
[sec²27^o – cot²63^o
= sec²27^o – cot²(90^o – 27^o)
= sec²27^o – tan²27^o
= 1 – – – – – (∵ sec²θ – tan²θ = 1)

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে।

Ans: মিথ্যা
[ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।
∴ গোলকটির আয়তন(V₁) = ⁴/₃πr³ ঘন একক
গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির আয়তন হবে
= ⁴/₃π(2r)³ ঘন একক
= ⁴/₃π×8r³ ঘন একক
= 8×⁴/₃πr³ ঘন একক
= 8×V₁ ঘন একক]

(vi)

স্কোর	1	2	3	4	5
শিক্ষার্থীর সংখ্যা	3	6	4	7	5

বিভাজনটির সংখ্যাগুরু মান হল 3.
Ans: মিথ্যা
[এখানে স্কোর 4 এর পরিসংখ্যা সবচেয়ে বেশি।
∴ সংখ্যাগুরু মান 7]

Complete Solution of MP-18

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20

4 (i) বার্ষিক সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾% হওয়ায় এক ব্যক্তির বার্ষিক আয় 60 টাকা কম হয়। ঐ ব্যক্তির মূলধন নির্ণয় করো।
Solution:
সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾ হওয়ায়
সুদের হ্রাস হয় =(4- 3¾)%
= (4-¹⁵/₄) % = ¼%
∴ ¼ টাকা আয় কম হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় কম হয় 100×4 টাকায়
60 টাকা আয় কম হয় 100x4x60 টাকায়
= 24000 টাকায়
Ans: ঐ ব্যক্তির মূলধন 24000 টাকা

(ii) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল। A -এর লভ্যাংশ কত?

Solution:
A এবং B-এর মূলধনের অনুপাত
= 15000 : 45000
= 1:3
ধরি A-এর লভ্যাংশ x টাকা
B-এর লভ্যাংশ 3030 টাকা
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ x : 3030 = 1 : 3
বা, x = ¹/₃×3030
বা, x = 1010
Ans: A -এর লভ্যাংশ 1010 টাকা

$\large{\mathbf{(iii)\quad 2x+\frac{1}{x}=2}}$ হলে,$\large{\mathbf{\quad\frac{x}{2x^2+x+1}}}$ -এর মান কত ?

Solution:
x + ¹/_x = 2
বা, ^x²+1/_x = 2
বা, x² + 1 = 2x

,$\Large{\quad\quad\frac{x}{2x^2+x+1\\=\frac{x}{2x+x}\\=\frac{x}{3x}\\=\frac{1}{3}}}$

Ans: নির্ণেয় মান ¹/₃

(iv) কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে সমীকরণটি লেখ।

Solution:
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3
∴ বীজদ্বয়ের যোগফল
= 2 + (-3)
= 2 – 3 = -1
বীজদ্বয়ের গুনফল = 2×(-3) = -6
∴ দ্বিঘাত সমীকরণটি হল:
x² – (-1)x + (-6) = 0
বা, x² + x – 6 = 0
Ans: সমীকরণটি হল: x² + x – 6 = 0

Complete Solution of MP-18

(v) △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

$\large{\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}}$

⇒ x2 = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি কিন্দু। PQ এবং PR বৃত্তের দুটি স্পর্শক হলে PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:

OQ = OR = 5 সেমি,
OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂ × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি
Ans: PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি

(vii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60^o এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

প্রদত্ত CD = 6সেমি.
∴ AB = 6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO = BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB =180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
বা, 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO = BO = AB = 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(viii) tanθ + cotθ = 2 হলে tan⁷θ + cot⁷θ = কত?
Solution:
tanθ + cotθ = 2
⇒ tanθ + ¹/_tanθ = 2
⇒ ^{tan²θ +1}/_tanθ = 2
⇒ tan²θ + 1= 2tanθ
⇒ tan²θ – 2tanθ + 1 = 0
⇒ (tanθ – 1)² = 0
⇒ tanθ – 1 = 0
⇒ tanθ = 1
∴ cotθ = ¹/_tanθ
= 1
∴ tan⁷θ + cot⁷θ
= (1)⁷+(1)⁷
= 1 + 1 = 2
Ans: tan⁷θ + cot⁷θ = 2

Complete Solution of MP-18

(ix) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : 1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।
Solution:

চিত্রে AB স্তম্ভ এবং AC স্তম্ভের ছায়া
∴ ^AC/_AB = cot∠ACB
⇒ ^√3 : ₁ = cot∠ACB
⇒ √3 = cot∠ACB
⇒ cot30^o= cot∠ACB
⇒ 30^o = ∠ACB
Ans: সূর্যের উন্নতি কোণ 30^o

(x) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান ও তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি চোঙ দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও 2h একক এবং ব্যাসার্ধ r₁ একক ও r₂ একক
∵ দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান।
∴ πr₁²×h₁ = πr₂²×h₂
⇒ r₁²×h = r₂²×2h
⇒ r₁² = 2r₂²
⇒ (^r₁/_r₂)² = ²/₁
⇒ ^r₁/_r₂ = ^√2/₁
∴ r₁ : r₂ = √2 : 1
Ans: চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের √2 : 1

(xi) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
ধরি, নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = 2πr³
প্রশ্নানুযায়ী,
²/₃πr³ = 144π
বা r³ = 144×³/₂
বা r³ = 72×3 = 216
বা r³ = (6)³
বা r =6
∴ 2r = 2×6=12
Ans: গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

(xii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, Σfixi = 132 + 5K এবং Σfi = 20 হলে K-এর মান কত?
Solution:

$\large{\quad\frac{Σf_ix_i}{Σf_i}=\frac{132+5K}{20}\\⇒8.1=\frac{132+5K}{20}}$

⇒ 162 = 132 + 5K
⇒ 5K = 162 – 132
⇒ 5K = 13
∴ K = 6
Ans: K-এর মান 6

Complete Solution of MP-18

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ঐ টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
এখানে,
আসল(P) = 64000 টাকা
সুদের হার(r) = ^2.5/₁₀₀×100%
= 2.5%
সময়(t) = 2 বছর
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

$\large{=P{ \left( {1 + \frac{r}{{100}}}\right)^t}\\=64000{ \left( {1 + \frac{2.5}{{100}}} \right)^2}\\=64000{ \left( {1 + \frac{25}{{1000}}} \right)^2}\\=64000{ \left( {1 + \frac{1}{{40}}} \right)^2}\\=64000×\frac{41}{40}×\frac{41}{40}}$

= 40×41×41 টাকা
= 67240 টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= (67240 – 64000) টাকা
= 3240 টাকা
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 3240 টাকা

(b) A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 8,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল?

Solution:
ধরি, ব্যবসা শুরু করার x মাস বাদে আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল।
A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= [(6000×x) + (6000 + 3000)×(12 – x)] : (8000×12) : (9000×12)
= [(6x) + (6 + 3)×(12 – x)] : (8×12) : (9×12)
= [6x + 9×(12 – x)] : 96 : 108
= [6x + 108 – 9x] : 96 : 108
= (108 – 3x) : 96 : 108
= (36 – x) : 32 : 36
বছরের শেষে মোট 30000 টাকা লাভ হল
30,000 টাকার মধ্যে,
C পাবে = 30000×³⁶/_36-x+32+36 টাকা
= 30000×³⁶/_104-x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
30000×³⁶/_104-x = 10800
বা, 10800(104 – x) = 30000×36
বা, 108(104 – x) = 300×36
বা, 3(104 – x) = 300
বা, 104 – x = 100
বা, – x = 100 – 104 = -4
∴ x = 4
Ans: A, 4 মাস পরে আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল।

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সমাধান করো:

$\large{\mathbf{\quad\left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2-5\left(\frac{x+4}{x-4}\right)+6=0, (x≠4)\\Solution:}}$

$\large {\quad \left ( \frac {x+4}{x-4}\right)^2 – 5 \left( \frac {x+4}{x-4}\right)+6=0}$

ধরি,

$\large {\quad\frac {x+4}{x-4}=a}$

∴ a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 2) = 0
হয় (a – 3) = 0 নতুবা (a – 2) = 0
বা, a = 3 বা, a = 2
বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 3 বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 2
বা, 3x – 12 = x + 4 বা, 2x – 8 = x + 4
বা, 3x – x = 4 + 12 বা, 2x – x = 4 + 8
বা, 2x = 16 বা, x = 12
বা, x = 8 বা, x = 12
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 8 এবং 12

(b) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে?

Solution:
ধরি, দশকের ঘরের অঙ্ক x
∴ এককের ঘরের অঙ্ক (x + 6)
সংখ্যাটি = 10×x + 1×(x + 6)
= 10x + x + 6
= 11x + 6
অঙ্ক দুটির গুনফল = x(x + 6)
= x² + 6x
প্রশ্নানুযায়ী,
(11x + 6) – (x² + 6x) = 12
⇒ 11x + 6 – x² – 6x = 12
⇒ 5x + 6 – x² – 12 = 0
⇒ 5x – x² – 6 = 0
⇒ – (x² – 5x + 6) = 0
⇒ x² – 5x + 6 = 0

⇒ x² – 3x – 2x + 6 = 0
⇒ x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x – 2) = 0
হয় x – 3 = 0 অথবা x – 2 = 0
বা, x = 3 বা, x = 2
এককের অঙ্ক 3 + 6 = 9 বা, 2 + 6 = 8
Ans: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 8 অথবা 9

Complete Solution of MP-18

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সরলতম মান নির্ণয় করো:

$\large{\mathbf{\quad √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}}}$

Solution:
প্রদত্ত রাশি

$\Large{= √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}\\=√7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2(√7-√5)}{(√7+√5)(√7-√5)}\\=√35-√14-√35+√10+\frac{2(√14-√10)}{(√7)^2-(√5)^2}\\=√10-√14+\frac{2(√14-√10)}{7-5}\\=√10-√14+\frac{2(√14-√10)}{2}}$

= √10 – √14 + √14- √10
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলতম মান 0

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)

Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ x = k.mz
⇒ x = kmz

$\Large{∴\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\\=\frac{(kmz)^2+(mz)^2+z^2}{kmz.mz+mz.z+z.kmz}\\=\frac{k^2m^2z^2+m^2z^2+z^2}{km^2z^2+mz^2+kmz^2}\\=\frac{z^2(k^2m^2+m^2+1)}{z^2(km^2+m+km)}\\=\frac{k^2m^2+m^2+1}{km^2+m+km}}$

= ধ্রুবক
∴ (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx) (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

$\Large{\mathbf{(a)\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}}$

এবং a + b + c ≠ 0 হলে প্রমাণ করো a = b = c
Solution:

$\Large{\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}$

প্রতিটি পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে পাই,

$\Large{\quad\frac{a+b-c}{a+b}-1=\frac{b+c-a}{b+c}-1=\frac{c+a-b}{c+a}-1\\⇒\frac{a+b-c-a-b}{a+b}=\frac{b+c-a-b-c}{b+c}=\frac{c+a-b-c-a}{c+a}\\⇒\frac{-c}{a+b}=\frac{-a}{b+c}=\frac{-b}{c+a}\\⇒\frac{c}{a+b}=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}}$

পুনরায় প্রতিটি পক্ষের সঙ্গে 1 যোগ করে পাই,

$\Large{⇒\frac{c}{a+b}+1=\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{c+a}+1\\⇒\frac{c+a+b}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{b+c+a}{c+a}\\⇒\frac{1}{a+b}=\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}}$

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
বা, a = c – – – – (i)
আবার
b + c = c + a
বা, b = a – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
a = b = c (Proved)

(b) x : a = y : b = z : c হলে দেখাও (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² হবে।

Solution:
x : a = y : b = z : c
বা, ^x/_a = ^y/_b = ^z/_c = k – – – (k ≠ 0)
∴ ^x/_a = k ^y/_b = k ^z/_c = k
⇒ x = ak ⇒ y = bk ⇒ z = ck
L.H.S.
= (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)
= (a² + b² + c²){(ak)² + (bk)² + (ck)²}
= (a² + b² + c²){a²k² + b²k² + c²k²}
= (a² + b² + c²)k²(a² + b² + c²)
= k²(a² + b² + c²)²
R.H.S.
= (ax + by + cz)²
= (a.ak + b.bk + c.ck)²
= (a²k + b²k + c²k)²
= {k(a² + b² + c²)}²
= k²(a² + b² + c²)² = L.H.S.
∴ (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² (Proved)

Complete Solution of MP-18

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) প্রমাণ করো একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ।

স্বীকারঃ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: (i) △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(ii) △DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(iii) △DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ।
প্রমাণ: △DBA ও △ABC-এর মধ্যে,
∠BDA = ∠BAC = 90^o
∠ABD = ∠CBA
∴ অবশিষ্ট ∠BAD = ∠BCA
∴ △DBA ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
আবার, △DAC ও △ABC-এর মধ্যে,
∠ADC = ∠BAC = 90^o
∠ACD = ∠BCA.
∴ অবশিষ্ট ∠CAD = ∠CBA
∴ △DAC ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DAC ও △ABC সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
△DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। আবার,
△DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
△DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]

(b) প্রমাণ করো কোনো বৃত্তের স্পর্শক ও স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।৷
প্রামাণ্য বিষয়: OP ও AB পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, OP⊥ AB
অঙ্কন: AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু Q নিলাম। O, Q বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ: স্পর্শক AB-এর উপর স্পর্শবিন্দু P ছাড়া অন্য যে-কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হবে।
∴ OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
মনে করি, OQ বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ OR < OQ – – – [ ∵ R বিন্দু O ও Q-এর মধ্যবর্তী]
আবার, OR = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ OP<OQ
আবার Q বিন্দু AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু,
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
আবার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হয় লম্ব দূরত্ব।
∴ OP ⊥ AB (প্রমাণিত)

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।

স্বীকার: ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC;
প্রামাণ্য বিষয়: ∠BAC = 1 সমকোণ।
প্রমাণ: ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠ADB = 90°।
∴ AB² = AD²+ BD² – – – (i)
আবার, ADC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ADC = 90°
∴ AC²= AD² + CD² – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
AB² + AC² = AD² + BD² + AD² + CD²
= BD² + CD² + 2AD²
= BD² + CD² + 2BD.CD – – – [∵ AD = BD.CD]
= (BD + CD)² = BC²
∴ AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC = 1 সমকোণ।
∴ ∠BAC = 1 সমকোণ (Proved)

(b) একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AC = BD.

স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
∴ AP = BP এবং CP = DP
∴ AC = AP – CP
= BP – DP
= DB
∴ AC = DB (Proved)

Complete Solution of MP-18

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) 4 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করো যাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 7 সেমি। ঐ বৃত্তদুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

(b) একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি 7 সেমি এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°; ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।(কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

12 . যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(a) একটি বৃত্তের 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 60^o পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে, s = 220 সেমি;

$\Large{\quad θ = 60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{60×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{22}{21}\right)^c}$

আমরা জানি
s = rθ

$\Large{\therefore 220=r×\frac{22}{21}\\⇒ 220=r×\frac{22}{21}\\⇒r=\frac{220×21}{22}}$

=210
Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।

(b) যদি cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হয়, তাহলে tan²θ-এর মান নির্ণয় ।
Solution:
cos²θ – sin²θ = ¹/₂
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = 1
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = cos²θ + sin²θ – – – (∵ cos²θ + sin²θ = 1)
বা, 2cos²θ – 2sin²θ = cos²θ + sin²θ
বা, – 2sin²θ – sin²θ = cos²θ – 2cos²θ
বা, – 3sin²θ = – cos²θ
বা, 3sin²θ = cos²θ
বা, ^sin²θ/_cos²θ = ¹/₃
∴ tan²θ = ¹/₃
Ans. tan²θ-এর মান ¹/₃

(c) মান নির্ণয় করো:

$\Large{\mathbf{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\Solution:}}$

$\Large{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{cosec(90^o-17^o)}+\frac{tan 68^o}{cot (90^o-68^o)}+cos^2(90^o-46^o) + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{sec17^o}+\frac{tan 68^o}{tan 68^o}+sin^246^o+ cos^246^o\\=}$

= 1 + 1 +1
= 3
Ans: নির্ণেয় মান 3

Complete Solution of MP-18

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) সূর্য্যের উন্নতি কোণ 45^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি, খুঁটিটির উচ্চতা (AB) = x মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
∠BCA = 60^o ;
∠BDA = 45^o এবং
CD = 3 মিটার ।
আরও ধরা যাক BC = y মিটার।
এখন ͢ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BD = tan45^o
বা, ^AB/_BC+CD = 1
বা, ^x/_y+3 = 1
বা, y + 3 = x
বা, y = x – 3
আবার ͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BC = tan60^o
বা, ^x/_y = √3
বা, ^x/_x-3 = √3
বা, √3x + 3√3 = x
বা, √3x – x = 3√3
বা, x(√3 – 1) = 3√3
বা, x(√3 – 1)(√3 + 1) = 3√3(√3 + 1)
বা, x{(√3)² – (1)²} = 9 + 3√3
বা, x(3 – 1) = 9 + 3×1.732
বা, 2x = 9 + 5.196
বা, 2x = 14.196
∴ x = 7.098
Ans: খুঁটিটির উচ্চতা 7.098 মিটার

(b) 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30^o অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সে. পরে ঐ ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

ধরি, ব্যক্তিটি RS রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে প্রথমে P বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 30^o অবনতি কোণে এবং 2 সে. পরে Q বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন।
চিত্রে,
AB = 5√3 মিটার
∠BPA = 30^o
∠BQA = 45^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^5√3/_AP = ¹/_√3
বা, AP = 5√3×√3
বা, AP = 15
আবার ͢সমকোণী ত্রিভুজ BAQ থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AQ = tan45^o
বা, ^5√3/_AQ = 1
বা, AQ = 5√3
বা, AQ = 5×1.732
বা, AQ = 8.660
∴ PQ = AP + AQ
= 15 + 8.660
= 23.660
ট্রেনটি 2 সেকেন্ডে যায় 23.660 মিটার
∴ ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় ^23.660/₂ মিটার = 11.830 মিটার
Ans: ট্রেনটির গতিবেগ সেকেন্ডে 11.830 মিটার

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

(a) একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত?
Splution:
মনেকরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a সেমি
∴ ঘনকের আয়তন = (2a)³ ঘন সেমি
= 8a³ ঘন সেমি
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানাে হলে, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
= 2a × ⁵⁰/₁₀₀ সেমি
= a সেমি
∴ পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন = a³ ঘন সেমি
∴ সেমি মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত
= 8a³ : a³
= 8 : 1
Ans: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8 : 1

(b) ঢাকনাবিহীন একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ্য 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?(1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি)

Solution:
পাত্রটির ভুমির ব্যাস = 14
∴ পাত্রটির ভুমির ব্যাসার্ধ(r) = ¹⁴/₂= 7 সেমি.
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
πr(r + 2h) = 2002
⇒ ²²/₇×7×(7 + 2h) = 2002
⇒ 22(7 + 2h) = 2002
⇒ 7 + 2h = 91
⇒ 2h = 91 – 7
⇒ 2h = 84
⇒ h = 42
∴ পাত্রটিতে জল ধরবে
= πr²h
= ²²/₇×7²×42 ঘন সেমি.
= 22×7×42 ঘন সেমি.
= 6468 ঘন সেমি.
= 6.468 ঘন ডেসিমি.
= 6.468 লিটার
Ans: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

(c) 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত ও 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ঐ চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি ব্যাসের 100 টি নিরেট গোলক ডুবিয়ে দেওয়া যায়, তবে জলতল কত ডেসিমি উঠে আসবে?
Solution:
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি. = ²¹/₂₀ ডেসিমি.।
∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন
= 100×⁴/₃πr³
= 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³ ঘন ডেসিমি.।
চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত করবে।
ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
21×11× h = 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³
⇒ 21×11× h = 100×⁴/₃×²²/₇×²¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×²/₇×¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×¹/₂₀×²¹/₂₀×³/₁₀
⇒ h = 4×¹/₂×²¹/₂₀
⇒ h = ²¹/₁₀
∴ h = 2.1
Ans: চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

Complete Solution of MP-18

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4+4=8

(a) নিম্নে প্রদত্ত প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল-

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 78
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 18 – 20
এখানে, l = 18; f₀ = 45;
f₁ = 75; f₂ = 38
h = 20- 18= 2;
∴ সংখ্যাগুরুমান

$\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=18+\frac{75-45}{2×75-45-38}×2\\=18+\frac{30}{67}×2\\=18+\frac{60}{67}}$

= 18 + 0.895
= 18.89 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 18.89

(b) নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করো:

শ্রেণি সীমা	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35
পরিসংখ্যা	2	3	6	7	5	4	3

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
1-5	0.5-5.5	2	2
6-10	5.5-10.5	3	2+3=5
11-15	10.5-15.5	6	5+6=11
16-20	15.5-20.5	7	11+7=18
21-25	20.5-25.5	5	18+5=23
26-30	25.5-30.5	4	23+4=27
31-35	30.5-35.5	3	27+3=30

এখানে, N = 30
∴ ^N/₂ = ³⁰/₂ = 15
এখানে, 15-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15.5-20.5
∴ 15.5-20.5 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

$\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}$

এখানে l = 15.5; N = 30;
C = 11; fm = 7;
h = 15.5 – 20.5 = 5

$\Large{ = 15.5 + \left(\frac{15 – 11}{7}\right).5\\ = 15.5+ \frac{4}{7}.5\\ = 15.5 + \frac{20}{7}}$

= 15.5 + 2.857 (প্রায়)
= 15.5 + 2.86 (প্রায়)
= 18.36 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 18.36

(c) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করো:

প্রাপ্ত নম্বর	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
পরিসংখ্যা	4	8	12	6	10

Solution:

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
60 এর কম	4
70 এর কম	4+8=12
80 এর কম	12+12=24
90 এর কম	24+6=30
100 এর কম	30+10=40

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (60, 4), (70, 12), (80, 24), (90, 30), (100,40) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

PREVIOUS

NEXT

January 25, 2024

Category: MP MATHEMATICS SOLUTION

Complete Solution of MP-19 Mathematics

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

Complete Solution of MP-19

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

Complete Solution of MP-19

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(iv) x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

Complete Solution of MP-19

(vi) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।Solution:

(vii) △ABC-এর ∠ABC = 90o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

Complete Solution of MP-19

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3

Complete Solution of MP-19

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(ii) △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC2 = 4(BP2 + CQ2)

Complete Solution of MP-19

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(ii) একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

Complete Solution of MP-19

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

Complete Solution of MP-19

Complete Solution of MP-19

Complete Solution of MP-18 Mathematics

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

Complete Solution of MP-18

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন’ করো: 1×6-6

(iii) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100o হলে ∠C-এর মান: (a) 50o (b)20o (c) 80o (d) 180o

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

Complete Solution of MP-18

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে।

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20

(ii) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল। A -এর লভ্যাংশ কত?

(iv) কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে সমীকরণটি লেখ।

Complete Solution of MP-18

(xi) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

Complete Solution of MP-18

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x2 + y2 + z2) ∝ (xy + yz + zx)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

Complete Solution of MP-18

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD2 = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12 . যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(c) মান নির্ণয় করো:

Complete Solution of MP-18

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4+4=8

(vii) △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

(ii) △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)

(iii) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100^o হলে ∠C-এর মান:
(a) 50^o (b)20^o (c) 80^o (d) 180^o

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।