Category: MP MATHEMATICS SOLUTION

Complete Solution of MP-24 Mathematics

মাধ্যমিক গণিত ২০২৪ সমাধান

2024 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২৪

Complete Solution of MP-24 Mathematics

2024
MATHEMATICS
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে। ] 
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায় ]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো। 

বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক  প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) Question with complete solution

Complete Solution of MP-24 Mathematics

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

2020 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2020 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

Complete Solution of MP-20

মাধ্যমিক গণিত ২০২০ সমাধান

2020 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২০

2020
MATHEMATICS
Compulsory
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

2021 করোনার জন্য মাধ্যমিক পরীক্ষা হয় নি।

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলোর উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণক যন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না।গণনার প্রয়োজনে π-এর আসন্ন মান 22/7  ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।

Complete Solution of MP-20

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার-
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ ধরি, আসল = x টাকা
মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে সুদ হবে x টাকা
সময় = t বছর
∴ x = ^x×10×r/₁₀₀
বা, 1 = ^r/₁₀
বা, r = 10]

(ii) x² – 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
(a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3
Ans: (c) 3

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, ∠AOB = 60^o হলে, ∠COD-এর মান হবে –
(a) 30^o (b) 60^o (c) 120^o (d) 180^o
Ans: (b) 60^o
[∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত(a) 1:5   (b) 5:4   (c) 25:16   (d) 25:64
Ans: (d) 25:64
[ধরি,, দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা যথাক্রমে h₁ ও h₂ এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক।
প্রশ্নানুসারে,

(v) যদি sinθ – cosθ  = 0, (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান-
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2
Ans: (d) 2√2
[ sinθ – cosθ  = 0
⇒ sinθ = cosθ
⇒ sinθ = sin(90^o – θ)
⇒ θ = 90^o – θ
⇒ 2θ = 90^o
⇒ θ = 45^o
secθ + cosecθ = x
⇒ sec45^o + cosec45^o = x
⇒ √2 + √2 = x
⇒ 2√2 = x

(vi) 1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 -এর সংখ্যাগুরু মান-
(a) 2 (b) 3 (c) 8 (d) 10
Ans: (c) 8
[1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 কে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই
1, 2, 2, 3, 3, 8, 8, 8, 8, 10]

Complete Solution of MP-20

2. শূন্যস্থান পুরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) আনিসুর 600 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 500 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে। তাদের লভ্য্যাংশের অনুপাত হবে ________।
Ans: 3 : 2
[আনিসুর ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 4500 : 3000
= 45 : 30
= 3 : 2
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ লভ্যাংশের অনুপাত = 18 : 25]

(iii) দুটি কোণের সমষ্টি ________  হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয়।
Ans:. 180^o

(iv) sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান ________ হবে।
Ans: 1
[0 ≤ sinθ ≥ 1 হয়
∴ 0 ≤ sin3θ ≥ 1
∴sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে।]

(v) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে, গোলক ও চোঙের ________ সমান হবে।
Ans: আয়তন

(vi) কিছু ছাত্রের বয়স হল (বছর) 10, 11, 9, 7, 13, 8, 14। এদের বয়সের মধ্যমা হল ________ বছর।
Ans: 10
[ছাত্রেদের বয়স মানের উর্দ্ধক্রমে সাজিয়ে পাই 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14
এখানে তথ্যের সংখ্যা 7(অযুগ্ম)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদ
= ⁷⁺¹/₂ তম পদ
= ⁸/₂ তম পদ
= 4 তম পদ= 10]

Complete Solution of MP-20

3. সত্য মিথ্যা লেখো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) বার্ষিক ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদে-আসলে হল 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা।
Ans: সত্য
[ ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদ
= ^prt/₁₀₀ টাকা।
∴ t বছরের সুদ-আসল
= 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা।]

(ii) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে।

Ans: মিথ্যা
[ 2a = 3b = 4c =k(ধরি)
∴ 2a = k; ∴ a = ^k/₂;
3b = k; ∴ b = ^k/₃;
4c = k ∴ c = ^k/₄;
∴ a : b : c
= ^k/₂ : ^k/₃ : ^k/₄
= ^k/₂×12 : ^k/₃×12 : ^k/₄×12
= 6 : 4 :3]

(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভূজ হবে।
Ans: সত্য
[ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13
ধরি ত্রিভুজের বাহু তিনটি 5x একক, 12x একক ও 13x একক
∴ (5x)² + (12x)²
= 25x² +144x²
= 169x²
= (13x)²
∴ (13x)² = (5x)² + (12x)²
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ।]

(iv) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে, রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে।
Ans: সত্য

(v) n যদি যুগ্মসংখ্যা হয়, তবে মধ্যমা হবে- (ⁿ/₂)-তম ও (ⁿ/₂ – 1)-তম পর্যবেক্ষণের গড়।
Ans: মিথ্যা
[n যুগ্মসংখ্যা হলে মধ্যমা হয়- (ⁿ/₂)-তম ও (ⁿ/₂ + 1)-তম পর্যবেক্ষণের গড়]

(vi)একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
Ans:  মিথ্যা
[ধরি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (V)
= ¹/₃×πr²h ঘন একক
ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃×π(^r/₂)²×2h ঘন একক
= ¹/₃×π×^r2/₄×2h ঘন একক
= ¹/₃×π×^r2/₂×h ঘন একক
= ¹/₂×¹/₃×πr²h ঘন একক
= ¹/₂×V ঘন একক
∴ ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন পূর্বের আয়তনের অর্ধেক হয়।]

Complete Solution of MP-20

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(i) কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 5:6 হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূল যথাক্রমে 5x টাকা ও 6x টাকা ।
আসল(P) = 5x টাকা
∴ সুদ(I) = (6x -5x) টাকা = x টাকা
সময়(t) = 1 বছর
বার্ষিক সরল সুদের হার
= ^x×100/_5x.5 – – – – [ r=^100I/_Pt সুত্র থেকে পাই]
= 4%
Ans: বার্ষিক সরল সুদের হার 4%

(ii) A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে। A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B-এর মূলধন কত?

Solution:
ধরি B-এর মূলধন x টাকা
A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা
∴ B-এর লভ্যাংশ (1050-630) টাকা = 420 টাকা
∵ মূলধনের অনুপাত = লভ্যাংশের অনুপাত
∴ ⁹⁰⁰/_x = ⁶³⁰/₄₂₀
⇒ ⁹⁰⁰/_x = ³/₂
⇒ x = 900ײ/₃
∴ x = 600
Ans: B-এর মূলধন 600 টাকা

(iii) x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।
Solution:
x ∝ y
∴ x = ky –  – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (i)
y ∝ z
∴ y = mz –  – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (ii)
z ∝ x
∴ z = nx –  – – [n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (iii)
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
xyz = ky×mz×nx
⇒ 1 = kmn
Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল ধ্রুবক।

Complete Solution of MP-20

(v) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে, OB = 6 সেমি, OD=8 সেমি এবং OA = 5সেমি।OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:
এখানে OB = 6 সেমি,
OD =8 সেমি এবং
OA = 5 সেমি।
ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু অবস্থিত।
∴ OA² + OC² = OB² + OD²
⇒ 5² + OC² = 6² + 8²
⇒ 25 + OC² = 36 + 64
⇒ OC² = 100 – 25
⇒ OC² = 75
∴ OC = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.

(vi) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o, AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
∠ABC = 90^o,
AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি
∴ AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 3² + 4²
⇒ AC² = 9 + 16
⇒ AC² = 25
⇒ AC² = 5²
∴ AC = 5
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AB×BC
= ¹/₂×3×4 বর্গ সেমি.
  = 6 বর্গ সেমি. – – – (i)
অবার B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD
∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AC×BD
= ¹/₂×5×BD বর্গ সেমি.
  = ⁵/₂×BD বর্গ সেমি – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
⁵/₂×BD = 6
বা, BD = ¹²/₅ = 2.4
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি.

(vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং 3 সেমি। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ(r₁) = 8 সেমি.
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ(r₂) = 3 সেমি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব (d) = 13 সেমি.
∴ বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

\(\Large{=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}\\=\sqrt{(13)^2-(8-3)^2}\\=\sqrt{169-25}\\=\sqrt{144}\\=12}\)

Ans: বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

(viii) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান কত?
Solution:
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায়  আবর্তন করে 360^o
ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায়  আবর্তন করে ^360o/₁₂
= ^360o/₁₂×^π/₁₈₀
= ^π/₆
Ans: ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান ^π/₆

Complete Solution of MP-20

(ix) tan4θ.tan6θ = 1 এবং 6θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান নির্ণয় করো। ।
Solution:
tan4θ.tan6θ = 1
⇒ tan4θ = ¹/_tan6θ
⇒ tan4θ = cot6θ
⇒ tan4θ = tan(90^o – 6θ)
⇒ 4θ = 90^o – 6θ
⇒4θ + 6θ = 90^o
⇒ 10θ = 90^o
∴ θ = 9^o
Ans: θ-এর মান 9^o

(x) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘনসেমি। শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা(h) = 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘনসেমি।
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি. এবং
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l
∴ ¹/₃×πr²h = 100π
বা, ¹/₃×r²×12 = 100
বা, 4r²  = 100
বা, r²  = 25
বা, r² = 5²
বা, r = 5
আবার
l² = h² + r²
⇒ l² = (12)² + (5)²
⇒ l² = 144 + 25
⇒ l² = 169
⇒ l² = (13)²
∴ l = 13
Ans: শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি.। 

(xi) দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

Solution:
দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4।
ধরি, গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ একক এবং r₂ একক।
∴ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 4πr₁² বর্গ একক এবং 4πr₂² বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,

\(\Large{\quad\frac{4πr_1^2}{4πr_2^2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{1}{4}\\⇒\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\\⇒\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}⇒}\)

∴ দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত

\(\Large{=\frac{\frac{4}{3}πr_1^3}{\frac{4}{3}πr_2^3}\\=\frac{r_1^3}{r_2^3}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\\=\left(\frac{1}{2}\right)^3\\=\frac{1}{8}\\1:8}\)

Ans: দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত 1 : 8

\(\large{\mathbf{(xii)\quad u_i=\frac{x_i-35}{10},\quad Σf_iu_i=30}}\) এবং Σfi = 60 হয়, তাহলে x̄-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: এখানে A = 35 h = 10

\(\large{\quad \bar{x}=A+\frac{Σf_iu_i}{Σf_i}×h\\⇒\bar{x}=35+\frac{30}{60}×10\\⇒\bar{x}=35+\frac{1}{2}×10\\⇒\bar{x}=35+5=40}\)

Ans: x̄-এর মান 40

Complete Solution of MP-20

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5×1=5

(i) তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হাসপ্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 6000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে?

Solution:
মেশিনের বর্তমান মূল্য (P) = 6000 টাকা
মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে

\(\Large{=P\left( {1 -\frac{r}{100}} \right)^n\\=6000\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3\\=6000\left( {1 -\frac{1}{10}}\right)^3\\=6000\left( {\frac{9}{10}} \right)^3\\=6000×{\frac{9×9×9}{10×10×10}}}\)

= 6×9×9×9 টাকা
= 4374 টাকা
Ans: 3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে 4374 টাকা।

(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে। তারা ঠিক করে যে, সেই আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে। কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো।

Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 120000 : 150000 : 110000
= 12 : 15 : 11
এক মাসে 29260 টাকা লাভ হয়।
29260 টাকার ²/₅ অংশ
= 29260ײ/₅ টাকা
= 5852×2 টাকা
= 11704 টাকা
তিন বন্ধু 11704 টাকা কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করে নেয়।
11704 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 17556׳/₃₊₂₊₂ টাকা
= 17556׳/₇ টাকা
= 1672×3 টাকা
= 5016 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 17556ײ/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 17556ײ/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
11704 টাকা কাজের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর বাকি থাকে (29260 – 11704) বা, 17556 টাকা।
17556 টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে।
17556 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 17556 ×¹²/_12+15+11 টাকা
= 17556×¹²/₃₈ টাকা
= 462×12 টাকা
= 5544 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 17556×¹⁵/₃₈ টাকা
= 462×15 টাকা
= 6930 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 17556×¹¹/₃₈ টাকা
= 462×11 টাকা
= 5082 টাকা
∴ প্রথম বন্ধু মোট পায় = (5016 + 5544) = 10560 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু মোট পায় = (3344 + 6930) = 10274 টাকা
তৃতীয় বন্ধু মোট পায় = (3344 + 5082) = 8426 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 10560 টাকা, 10274 টাকা এবং 8426 টাকা পাবেন।

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) সমাধান করো:

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\Solution:\\}}\)\(\large{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{x+5-x+3}{x^2+5x-3x-15}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{8}{x^2+2x-15}=\frac{1}{6}}\)

⇒ x² + 2x – 15 = 48
⇒ x² + 2x – 15 – 48 = 0
⇒ x² + 2x – 63 = 0
⇒ x² + 9x – 7x – 63 = 0
⇒ x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x – 7) = 0
হয় x + 9 = 0 নতুবা x – 7 = 0
∴ x = -9 ∴ x = 7
Ans: নির্ণেয় সমাধান 7 এবং -9

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে, সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা x এবং x + 2
প্রশ্নানুযায়ী
x(x + 2) = 143
বা, x² + 2x = 143
বা, x² + 2x – 143 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0এর সঙ্গে তুলনা করে পাই যেখানে,
a = 1, b = 2, c = -143
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

\(\Large{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{2^2-4.1.(-143)}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{4+572}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{576}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±24}{2}\\=\)

∴ x = ^-2+24/₂ এবং x = ^-2-24/₂
বা, x = ²²/₂ বা, x = ^-26/₂
∴ x = 11 ∴ x = -13
সংখ্যা দুটি ধনাত্মক সংখ্যা।
∴ x ≠ -13
∴ x = 11
x + 2 = 11 + 2 = 13
Ans: সংখ্যা দুটি 11 এবং 13

Complete Solution of MP-20

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) x = 2 + √3 এবং x + y = 4 হলে, xy + ¹/_xy -এর সরলতম মান নির্ণয় করো।

Solution:
x = 2 + √3 এবং x + y = 4
∴ y = 4 – x
= 4 – (2 + √3)
= 4 – 2 – √3
= 2 – √3
∴ xy = (2 + √3)×(2 – √3)
= 2² – (√3)²
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি = 1 + ¹/₁
= 1 + 1 = 2
Ans: xy + ¹/_xy -এর সরলতম মান 2

(ii) a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a³ + b³ + c³ ∝ 3abc

Solution:
b ∝ c
∴ b = kc – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
a ∝ b
∴ a = mb – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, a = m.kc
বা, a = kmc

\(\Large{∴\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\\=\frac{(kmc)^3+(kc)^3+c^3}{3kmc.kc.c}\\=\frac{k^3m^3c^3+k^3c^3+c^3}{3k^2mc^3}\\=\frac{c^3(k^3m^3+k^3+1)}{3k^2mc^3}\\=\frac{k^3m^3+k^3+1}{3k^2m}}\)

= ধ্রুবক
∴ a³ + b³ + c³ ∝ 3abc (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) x : a = y : b = z : c হলে দেখাও

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}=\frac{3xyz}{abc}}}\)

Solution:x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = ak;
y = bk;
z = ck

\(\Large{\mathbf{\underline{L.H.S.}\\}=\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}\\=\frac{(ak)^3}{a^3}+\frac{(bk)^3}{b^3}+\frac{(ck)^3}{c^3}\\=\frac{a^3k^3}{a^3}+\frac{b^3k^3}{b^3}+\frac{c^3k^3}{c^3}\\=k^3+k^3+k^3\\=3k^3\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{3xyz}{abc}\\=\frac{3.ak.bk.ck}{abc}\\=\frac{3k^3abc}{abc}\\=3k^3=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}\)

\(\Large{\mathbf{(ii)}}\) যদি \(\large{\mathbf{\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}}}\) হয়, তবে প্রমান করো \(\Large{\mathbf{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}}\)

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\\∴\frac{c(ay-bx)}{c.c}=\frac{b(cx-az)}{b.b}=\frac{a(bz-cy)}{a.a}\\∴\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{abz-cay}{a^2}}\)

প্রতিটি অনুপাতের মান (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে)

\(\Large{=\frac{acy-bcx+bcx-abz+abz-cay}{c^2+b^2+c^2}\\=0\\∴\frac{ay-bx}{c}=0\\⇒ay-bx=0\\⇒bx=ay\\⇒\frac{x}{a}=\frac{y}{b} – – – (i)\\\quad\frac{cx-az}{b}\\⇒cx-az=0\\⇒cx=az\\⇒\frac{x}{a}=\frac{z}{c} – – – (ii)}\)

(i) ও (ii) থেকে পাই
^x/_a = ^y/_b = ^z/_c (Proved)

Complete Solution of MP-20

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB ও ∠ADB যে-কোনো দুটি কোণ ABDC বৃত্তাংশে অবস্থিত।
প্রামান্য বিষয়: ABDC বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণই সমান।
∵ ∠ACB ও ∠ADB, ABDC বৃত্তাংশস্থ যে-কোনো দুটি বৃত্তস্থ কোণ,
∴ ∠ACB ও ∠ADB পরস্পর সমান প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে।
অঙ্কন: O, A এবং O, B  যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB ও ∠ADB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB এবং
∠AOB = 2∠ADB
∴ 2∠ACB = 2∠ADB
বা, ∠ACB = ∠ADB
∴ একই বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান।   (Proved)

(ii) প্রমাণ করো, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B,
O.A; O, B; O, P যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PA = PB
প্রমাণ: PA ও PB স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
POA ও POB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
∠OAP = ∠OBP – – – (প্রত্যেকে 1 সমকোণ)
অতিভুজ OP সাধারণ বাহু এবং
OA = OB – – – (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ΔΡΑΟ = ΔΡΒO – – – [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴PA = PB [Proved]

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমান কর A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

স্বীকারঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কনঃ A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
∴ ∠PQA এবং ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PQA = ∠PQB = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [Proved]

(ii) সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর উপর ∠A =90°, BC-এর উপর AD লম্ব , প্রমাণ করো,

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}{△ACD-এরক্ষেত্রফল}=\frac{BC^2}{AC^2}}}\)

স্বীকারঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ, অতিভুজ BC- এর উপর AD লম্ব

প্রামাণ্য বিষয়ঃ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল} = ^BC2/_AC²
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠BAC সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব।
∵ সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয় এবং প্রতিটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথেও সদৃশ হয়।
∴ △ABC এবং △DAC পরস্পর সদৃশ
∴ ^BC/_AC = ^AB/_AD = ^AC/_DC
△ABC -এর ক্ষেত্রফল = ¹/₂×AB×AC
△ACD -এর ক্ষেত্রফল = ¹/₂×DC×AD
∴ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল}
= ^½×AB×AC/_½×DC×AD
= ^AB×AC/_DC×AD
= ^AB/_AD × ^AC/_DC
= ^BC/_AC × ^BC/_AC
= ^BC2/_AC²
∴ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল} = ^BC2/_AC² [Proved]

Complete Solution of MP-20

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 4 সেমি. ও 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করো।

(ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A তে স্পর্শক অঙ্কন করো।

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) যদি sin 17^o = ^x/_y হয়, তাহলে দেখাও যে,

\(\Large{\mathbf{sec17^o-sin73^o=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\Solution}}\)

\(\Large{\quad sin17^o=\frac{x}{y}}\\∴cos17^o=\sqrt{1-sin^217^o}\\\quad=\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}\\\quad=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\∴sec17^o=\frac{1}{cos17^o}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}\\sin73^o=sin(90-73)^o\\=cos17^o\\=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y} \)

L.H.S.

\(\Large{\quad sec17^o-sin73^o\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}-\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\\quad=\frac{y^2-(\sqrt{y^2-x^2})^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{y^2-y^2+x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

(ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135^o এবং তাদের অন্তর ^π/₁₂ হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো।
Solution:
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 135^o – θ
π/12 = 180^o/12
=15^o
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (135^o – θ) = 15^o
বা, θ – 135^o + θ = 15^o
বা, 2θ = 15^o + 135^o
বা, 2θ = 150^o
বা, θ = 75^o
বা, θ = 75 × π^c/180
বা, θ = 5π^c/12
∴ অপর কোণটি = 135^o – 75^o
= 60^o
= 60× π^c/180
= π^c/3
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60^o ও 75^o এবং
বৃত্তীয় মান যথাক্রমে π^c/3 ও 5π^c/12

(iii) মান নির্ণয় করো:

\(\Large{\mathbf{\frac{5cos^2\frac{π}{3}+4sec^2\frac{π}{6}-tan^2\frac{π}{4}}{sin^2\frac{π}{6}+cos^2\frac{π}{6}}\\Solution}}\)

\(\Large{\quad\frac{5cos^2\frac{π}{3}+4sec^2\frac{π}{6}-tan^2\frac{π}{4}}{sin^2\frac{π}{6}+cos^2\frac{π}{6}}\\=\frac{5cos^260^o+4sec^230^o-tan^245^o}{sin^230^o+cos^230^o}\\=\frac{5×(\frac{1}{2})^2+4×(\frac{2}{√3})^2-(1)^2}{1} – – (∵sin^2θ+cos^2θ=1)\\=}\)

= 5×¹/₄ + 4×⁴/₃ -1
= ⁵/₄ + ¹⁶/₃ -1
= ^15+64-12/₁₂
= ⁶⁷/₁₂
= 5 ⁷/₁₂
Ans: নির্ণেয় মান 5 ⁷/₁₂

Complete Solution of MP-20

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একটি হ্রদের h মিটার উপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ α এবং হ্রদের উপর ওর প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β। প্রমাণ করো, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{2hsecα}{tanβ-tanα}}}\)

ধরা যাক, MN হ্রদের A বিন্দুর উপর h মিটার উচ্চতায় অবস্থিত B বিন্দু থেকে P বিন্দুতে অবস্থিত মেঘের উন্নতি কোণ α;
আবার B বিন্দু থেকে Q বিন্দুতে মেঘের প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β ।
চিত্রে AB = h মিটার
∠CBP = α এবং
∠CBQ = β
এখানে BC ∥ AD;
AB = CD
এবং AD = BC
BPC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^PC/_BC =  tanα
⇒ PC = BC tanα
আবার BCQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CQ/_BC =  tanβ
⇒ CQ = BC tanβ
⇒ DQ + CD = BC tanβ
⇒ DP + CD = BC tanβ- – – [∵হ্রদ থেকে মেঘের দূরত্ব এবং হ্রদ থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান ∴ DP = DQ]
⇒ CP + CD + CD = BC tanβ
⇒ CP + 2CD = BC tanβ
⇒ CP + 2AB = BC tanβ – – – [∵ AB = CD]
⇒ CP + 2h = BC tanβ
⇒ 2h = BC tanβ – CP
⇒ 2h = BC tanβ – BC tanα – – – [∵ PC= BC tanα]
⇒ 2h = BC(tanβ – tanα) – – – (i)
BPC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BC/_BP =  cosα
⇒ BC= BP cosα
(i) নং-এ BC = BP cosα বসিয়ে পাই
2h = BP cosα(tanβ – tanα)
বা, 2h = BP×¹/_secα×(tanβ-tanα)
বা, BP = ^2hsecα/_tanβ-tanα
যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব ^2hsecα/_tanβ-tanα (Proved)

(ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথম চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় কর।

চিত্রে,
স্তম্ভ AB = 180 মিটার এবং
স্তম্ভ CD = 60 মিটার।
এখানে, ∠PBQ = 60^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AB/_BC =  tan60^o
বা, ^AB/_BC = √3
বা, ¹⁸⁰/_BC = √3
বা, √3BC = 180
বা, BC = ¹⁸⁰/_√3
বা, BC = 60√3
আবার DCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan∠CBD = ^DC/_BC
বা, tan∠CBD = ⁶⁰/_60√3
বা, tan∠CBD = ¹/_√3
বা, tan∠CBD = tan30^o
∴ ∠CBD = 30^o
Ans: প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ 30^o

Complete Solution of MP-20

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি.। নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে ,নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে,
নলটির বহির্ব্যাসার্ধ (R) = 5 সেমি.
নলটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 4 সেমি.
ধরি, নলটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
∴ নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= [2π×5×h + 2π×4×h + 2π(5² – 4²)] বর্গসেমি
= 2π[5h + 4h + (25 – 16)] বর্গসেমি
= 18πh + 18π = 18π(h + 1) বর্গসেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
18π(h + 1) = 1188
বা, 18ײ²/₇(h + 1) = 1188
বা, 18×¹/₇(h + 1) = 54
বা, ¹/₇(h + 1)= 3
বা, h + 1= 21
∴ h = 10.5
Ans: নলটির দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি.

(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে। পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় করো।
Solution:
অর্ধগোলাকার পাত্রের অন্তর্ব্যাসার্ধ(R) = 9 সেমি.
∴ অর্ধগোলাকার পাত্রের আয়তন
= ²/₃πR³
= ²/₃π(9)³ ঘনসেমি.
= ²/₃×π×9×81 ঘনসেমি.
= 2×π×3×81 ঘনসেমি.
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ(r) = ³/₂ সেমি.
এবং উচ্চতা(h) = 4 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr²h .
= π×(³/₂)²×4 ঘনসেমি.
= π×⁹/₄×4 ঘনসেমি.
= 9π ঘনসেমি.
ধরি, পাত্রটি খালি করতে xটি বোতল দরকার।
∴ x.9π = 2×π×3×81
বা, 9x = 2×3×81
বা, x = 2×3×9
∴ x = 54
Ans: পাত্রটি খালি করতে 54টি বোতল দরকার।

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত খরচ পড়বে?
Solution:
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ মিটার।
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে
l² = h² + r²
বা, l² = (14)² + (²¹/₂)²
বা, l² = 196 + ⁴⁴¹/₄
বা, l² = ^784+441/₄
বা, l² = ¹²²⁵/₄
বা, l = ³⁵/₂
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇ײ¹/₂׳⁵/₂ বর্গ মিটার
= 11×3׳⁵/₂ বর্গ মিটার
= ¹¹⁵⁵/₂ বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে = ¹¹⁵⁵/₂×1.50 টাকা = 866.25 টাকা।
Ans: পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

Complete Solution of MP-20

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

নম্বর	ছাত্রী সংখ্যা
10-এর কম 20-এর কম 30-এর কম 40-এর কম 50-এর কম	6 10 18 30 46

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	শ্রেণী সীমানা (নম্বর)	পরিসংখ্যা (ছাত্রী সংখ্যা) (fi)	শ্রেণী মধ্যক(xi)	xifi
10-এর কম	0-10	6	5	30
20-এর কম	10-20	(10-6)=4	15	60
30-এর কম	20-30	(18-10)=8	25	200
40-এর কম	30-40	(30-18)=12	35	420
50-এর কম	40-50	(46-30)=16	45	720
মোট		Σfi=46		Σxifi=1430

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 45 জন ছাত্রীর নম্বরের গড়

$$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{1430}{46}\\=31.666\\=31.67}$$

Ans: ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 31.08 (প্রায়)

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো

শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	4 7 10 15 10 8 5

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হলঃ

শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (সেমি)
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	4 7 10 15 10 8 5	4 11 21 36 46 54 59

এখানে,  N = Σf_i = 59
∴ ^N/₂ = ⁵⁹/₂ = 29.5
যে শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ^N/₂ বা ঠিক ^N/₂ অপেক্ষা বৃহত্তর সেটিই হবে মধ্যমা শ্রেণি।
এখানে, 29.5 বা 29.5 এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 30-40
∴ 30-40 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 30; N = 59; C = 21; fm = 15; h = 10]

\(\Large{ = 30 + \left(\frac{29.5 – 21}{15}\right).10\\ = 30 + \frac{8.5}{15}.10\\ = 30 + \frac{85}{15}\\ = 30 + \frac{17}{3}}\)

= 30 + 5.67
= 35.67 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 35.67

(iii) নীচের শ্রেণি বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	পরিসংখ্যা
3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24	2 6 12 24 21 12 3

Solution:
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হলঃ

শ্রেণি	পরিসংখ্যা
3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24	2 6 12 24 21 12 3

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 24
সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণীটি হল 12-15
সংখ্যাগুরু মান

\(\Large{=l+\left(\frac{f_{m}-f_{1}}{2f_{m}-f_{1}-f_{2}}\right).h}\)

এখানে সংখ্যাগুরু শ্রেণীর,
নিম্নমান(l) = 12
  পরিসংখ্যা(f_m) = 24
পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা(f₁) =12
পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা(f₂) = 21
শ্রেণী দৈর্ঘ্য(h) = 3
∴ সংখ্যাগুরু মান 

\(\Large{=12+\left(\frac{24-12}{2.24-12-21}\right).3\\=12+\left(\frac{12}{48-33}\right).3\\=12+\left(\frac{12}{15}\right).3\\=12+\frac{12}{5}}\)

= 12+2.4
= 14.4
Ans: শ্রেণি বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান 14.4

PREVIOUS

NEXT

• JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
• জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
• Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
• Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
• COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply
• Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply
• PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply
• ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply
• NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply
• Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply
• SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply
• Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree
• KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree
• SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE

January 29, 2024